高等代数在中学数学解题中的若干应用
(精品)高等代数知识在初等数学中的应用毕业设计
本科生毕业论文高等代数知识在初等数学中的应用摘要 (I)Abstract (I)第一章绪论 (1)第二章高等代数与初等数学的联系 (1)2.1知识方面的区别与联系 (2)2.2思想方法方面的区别与联系 (2)2.3观念方面的区别与联系 (4)第三章多项式理论在初等数学中的应用 (5)3.1去重因式分解多项式 (5)3.2 利用因数定理分解多项式 (5)3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式 (6)3.4多项式的一些应用 (6)第四章行列式在初等数学中的应用 (8)4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 (8)4.2应用行列式分解因式 (9)4.3应用行列式解决数列问题 (9)第五章线性方程组在初等数学中的应用 (12)5.1 在平面解析几何上的应用 (12)5.2在空间解析几何中的应用 (13)5.3在求解二元方程组上的应用 (14)第六章柯西不等式在初等数学中的应用 (15)6.1柯西不等式在解析几何中的应用 (15)6.2柯西不等式在解其它题方面的应用 (15)第七章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充．高等代数是初等数学的进化．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系．另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用．如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维．用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准．教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维．关键词：高等代数多项式行列式柯西不等式初等代数应用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra is the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can often get twice the result with find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one the other the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problemsolution, but a mastery of knowledge and the development of students' divergent and associative thinking. In view of the new century of see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of第一章绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙．在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然．通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展．这样学生学习高等代数的难度就会大大降低．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”．高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。
浅谈高等代数在中学的应用
浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达指导老师:卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学,线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关键词】行列式；齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse。
In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school st udents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics。
This paper is d ivided into five parts. In these parts， we will give a lot of examples to show some applications of determinant， Linear equations, quadratic theory， matrix and transform, vector in elementary m athematics。
浅谈高师高等代数课程对中学数学教学的指导作用
ｉｕ ｔａ ｅ ｈａ ｈ ｉ ｒ ｖｎｇ ｅｆ ｃ ｆｈ ｇ ｒａｇ ｂ ａ ｏ ｉｄ ｅ ｓ ｈ ｏ ａｈ ｍａｉｓ ｔａ ｈ ｎ ．ｕｒｈ ｒ ｒ ， ｉ ｐ ｐ ｒ ｌ ｓｒ ｔｄ ｔ ｔｔ ｅ ｍｐ ｏ ｉ ｆｅ ｔｏ ｉｈｅ ｌ ｅ ｒ ｎ ｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌｍ ｔ ｅ ｔｃ ｅ ｃ ｉ ｇＦ ｔ ｅ ｍｏ ｅｔ ｓ ａ ｅ ｌ ｈ
Ａｂ ｔａ ｔＢ ｎ ｌｚｎ ｈ ｏ ｎ ｃｉｎ ｏ ｉｈｅ ｌｅ ｒ ｏ ｏ ｍａ ｏ ｌｇ ｎ ｉ ｄｅ ｓ ｈ ｏ ａｈ ｍ ａｉｓｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｓｒ ｃ ： ｙ ａ ａｙ ｉｇ ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔ ｆｈ ｇ ｒａｇ ｂ ａ ｆ ｒｎ ｒ ｌｃ ｌ ｅ ａ ｄ ｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌｍ ｔ ｅ ｔ ， ｓ ａ ｅ ｏ ｅ ｃ ｈ
数学专业毕业论文选题 (1)
数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。
浅谈高等数学在初等数学中的应用
浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。
高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。
站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。
运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。
标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。
它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。
本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。
一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。
这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。
二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。
其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。
高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2.国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
高等代数方法在中学数学中的应用
a + b − a 2 − b 2 + a b = −1 。
xA + xB 2
2k 2 +1
p 、y H =
由 CH = AH 可得 x C =
2 x2 A + yA 2 2 + yB xB 2 xC
4k 2 + 2 k2
p 。代入计算可得：
xA xB xC 0
yA 1 yB 1
0 0 1 1
x=2p。
当然，利用上述结论证明该题运算比较烦琐，要求 对行列式的计算很熟练，但方法简单、思路清晰且易于 掌握。
图1
分析：设圆 H 交 x 轴于点 C ，只需证 O 、 A 、 C 、
B 四点共圆方可。而这四点的坐标容易求出，从而可用
2．利用齐次线性方程组的解的理论解应用题
我们知道，齐次线性方程组
上述结论证明。至于第二问，求出其半径表达式，讨论 方可。 证明：依题意，设直线 AB 的方程为 y = k ( x − 2 p )
2 2 xH + yH =
两点 A 、 B ，以线段 AB 为直径做圆 H （ H 为圆心） ， 试证明抛物线的顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面 积最小时直线 AB 的方程。
y
4+ 4k 2 + 2 k4 p， 故要使
B
只需 k → ∞ ， 此时直线 AB 的方程为： 圆 H 的面积最小，
H o A Q C x
(x1 + x 2 + " + x n )2 ≥ 4 ( x1 x 2 + x 2 x 3 + " + x n x1 ) ，
结论得证。 例 6 （参考文献[5]113 页第 14 题） 已知 x, y, z ∈ R ，
浅谈高等数学在中学数学中的应用
浅谈高等数学在中学数学中的应用摘要本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系，同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。
通过讨论可以得知，高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。
本文第三部分重点介绍了微积分，不等式，行列式，以及高等几何等在初等数学中的应用，探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。
另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。
关键词高等数学中学数学微积分行列式AbstractThis study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problemKey words advanced mathematics Mathematics calculus目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 课题研究意义 (1)1.3 文献综述 (2)1.4 研究方法 (2)1.5 创新之处 (2)第二章高等数学与初等数学的地位与联系 (3)2.1 初等数学与高等数学的定位 (3)2.2 高等数学与中学数学的联系 (4)2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 (4)2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 (4)2.3 高等数学对初等数学的拓展 (5)2.3.1 代数方面 (5)2.3.2 几何方面 (6)第三章高等数学在初等数学中的应用 (8)3.1 高等代数在中学数学中的应用 (8)3.2.1 行列式的应用 (8)3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 (9)3.2 微积分方法在中学数学的应用 (9)3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 (10)3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 (10)3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 (12)3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 (14)3.3 高等几何在初等几何的应用 (14)3.3.1 仿射变换的应用 (14)3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 (15)3.3.2.1 仿射变换的应用 (15)3.3.2.2 笛沙格定理的应用 (16)3.3.2.3 点列中四点的交比 (17)3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 (18)第四章高考试题中的微积分在解题中的应用 (20)4.1 拉格朗日中值定理 (20)4.2 有关级数的应用 (23)总结 (26)参考文献............................................................ 错误!未定义书签。
陈盛高等代数在中学数学解题中的应用
高等代数在中学解题中的应用数学与计算机科学学院数学与应用数学专业 101301028 陈盛指导教师黄坤阳讲师【摘要】高等代数作为初等数学与高等数学的纽带，可见高等数学与中学数学有着密切的联系。
将高等代数与中学数学解题联系在一起有着其必然的意义。
本文阐明高等代数在中学数学解题中的应用意义，并归纳和总结了高等代数在中学数学解题中常用的知识点，主要从行列式在中学数学解题中的应用、矩阵在中学数学解题中的应用、线性方程组在中学数学解题中的应用三个方面进行解析。
【关键词】行列式；矩阵；线性方程组Application of Higher Algebra in middle school in problem solvingScienceSchool of mathematics and Computer Sciences, mathematics and applied mathematics 101301028 Chen ShengInstructor Huang Kunyang lecturer【Abstract】: the higher algebra as the link of elementary mathematics and higher mathematics, visible and middle school mathematicsmathematics are closely linked. The higher and middle school mathematics solving algebraic problems together with its inevitablesignificance. This paper explains that the application significance of Higher Algebra in middle school mathematics, and summarizes the common higher algebra in middle school mathematicsknowledge, mainly carries on the analysis from the application,determinant in middle school mathematics matrix of three aspects of application, in middle school mathematics linear equations in middle school mathematics the.【Keywords】: determinant; matrix; linear equations引言:高等代数是高等学校的一门基础课程，它也是数学专业的一门敲门砖。
高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数在中学数学中的一些应用高等代数是高中和大学数学教材中的一个重要部分，尤其是研究高等教育的学生，更应该了解高等代数的基础理论和一些常用的计算方法。
近年来，随着中学数学教育的不断更新，高等代数在中学数学中的应用越来越广泛，它已经成为中学数学教学的重要内容。
首先，高等代数在中学数学中的应用非常重要。
高等代数的主要课程内容包括多项式的计算、方程的求解以及曲线的研究。
由于这些课程内容都是有关数学的基础知识，所以学习者需要努力学习，并以正确的态度面对它们，以便更好地发挥其作用。
其次，高等代数在中学数学中的应用也包括抽象代数。
抽象代数是一门计算数学的分支，它涉及数论、群论、环论以及各种其他理论，对中学学生来说，学习这门课程可以让他们了解数学的抽象性，并开拓他们的思维方式。
此外，高等代数的一些基本概念也被应用到中学数学中。
首先是函数的概念，函数是一种关系，它可以把一个变量的取值和另一个变量的取值结合起来，它可以用来描述实际应用中遇到的一些数学模型，有助于学生更好地理解数学中的问题及其复杂性。
其次是极限概念，极限是指一个变量接近某个值时，该变量值的变化率趋近于零。
它可以帮助学生研究函数的行为趋势，因此可以研究函数的有效取值范围，从而推理出函数的解析解。
最后，高等代数在中学数学中的应用还包括高等数学的研究方法。
高等数学的研究方法包括专业的统计分析技术、立体几何的研究和多元函数分析等，可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
同时，这些研究方法也可以把学生带到数学的前沿，让他们接触最新的数学理论和发展动态，这对促进学生数学思维能力的发展也是非常重要的。
综上所述，高等代数在中学数学教学中有着广泛而重要的应用，它可以不仅帮助学生更好地理解基础知识，还可以更深入地研究函数、极限和高等数学的研究方法，从而更好的运用数学概念，推动中学数学教学的发展。
浅谈高等代数中的等价思想及其应用
浅谈高等代数中的等价思想及其应用蒋红梅高等代数是数学专业学生必修的一门基础课程，该课程概念多，定理多，教学内容抽象。
对于大学一年级学生来说，基本上是介绍新的代数理论，利用新的定义、定理、方法解决代数问题，缺少数学模型，学生总感到难学，遇到新的问题就不知如何下手。
究其原因在于学生不了解高等代数与初等代数的区别，用中学生的思想观念和学习方法来学习，未领会高等代数中蕴含的数学方法和思想，对概念和定理的理解不足，缺少对数学方法的理解和总结。
高等代数涉及的数学思想有很多，比如等价、类比、化归、结构、分类等思想，了解和应用这些数学思想可以更好地了解和掌握高代中的数学知识。
等价思想是高等代数中比较重要的一种思想方法，是学生从计算解题到学习代数结构的结合点，为后续课程的学习起到了铺垫的作用。
在教学中，教师应深刻理解和把握课程内容，澄清教学体系，学科思想，把握重点，化解难点，解决疑点，达到帮助学生更好地学习和掌握高等代数知识的目的，也有助于我系高等代数精品课程的建设。
本文就高等代数中的等价思想及其应用作了一些探究。
1、高等代数中的等价关系1.1关于矩阵的等价关系高等代数中关于矩阵的等价关系有矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同，弄清它们的联系与区别是十分必要的。
首先，这三者的研究对象不同，矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的研究对象分 别是mn A ，n A ，n A ；其次，满足的条件不一样，但n 阶实对称矩阵既相似又合同，相似或 合同的矩阵是等价的，等价矩阵不一定相似或合同。
在()F M mn 中矩阵等价是等价关系，由于初等变换法不改变矩阵的秩，因此矩阵的秩 是等价关系的完全不变量，每一类的代表元是⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rI ，r 为矩阵的秩，按等价关系可以分为{}1,m in +n m 类。
用消元法求解线性方程组时，运用矩阵的初等变换法将线性方程组化为同解线性方程组的问题转化为增广矩阵的等价问题。
在()F M n 中矩阵的相似是等价关系，由于相似矩阵有相同的行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形，因而行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形是()F M n 上矩阵相似的完全不变量，而特征多项式、秩、迹只是矩阵相似的不变量。
浅谈高等代数在中学的应用
浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达指导老师：卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关键词】行列式;齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science 【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse. In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school stud ents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divid ed into five parts. In these parts, we will give a lot of examples to show some applications of deter minant, Linear equations, quadratic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematic s.【Keywords】: determinant homogeneous linear system quadratic form matrix vector.引言:线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂．作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视．可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现．本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力．第1章 行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注, 行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。
高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数是一门研究变量、函数和关系的数学，用于探索和解决复杂的问题，主要涉及分析、几何和代数的基本原理，是应用数学的有效工具之一。
高等代数在中学数学中有着广泛的应用。
高等代数在中学数学中最广泛的应用是分析函数。
函数是一种多变量表示内容，这种表示可以帮助学生更好地理解结构和语义，从而用来求解问题。
使用高等代数可以更好地应用函数。
例如，中学学生可以使用高等代数的技术来求函数的导数和定义域，以及了解函数的性质和行为。
此外，高等代数在中学数学中还有广泛的应用。
当学生学习几何时，可以使用高等代数的技术求解凸包和若干几何问题，进而推导几何变换。
在解非线性方程组问题时，学生也可以运用高等代数的技巧，有助于理解抽象性和复杂性道理。
另外，高等代数还可以让学生更好地理解统计和概率。
其中，概率理论是有多变量分布等复杂模型的数学建模，可以用线性代数和高等代数解决复杂问题。
此外，学生还可以学习多元分析中的多项式，从而帮助他们了解数据的方差和相关性等。
总之，高等代数是中学数学的重要组成部分，它的应用场景非常广泛，能够为学生解决许多问题。
当学生要求解复杂的函数、凸包或分析多变量分布时，都能使用高等代数的基本原理，有效的解决问题，辅助理解抽象性和复杂性的道理。
高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文
高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．2.1求代数式的取值范围初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．2.2解决某些二元不定方程例3利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？答:甲乙丙各购1件，共需105元．中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．3.1应用于因式分解从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．内容仅供参考。
浅析高等代数与中学数学的关联
一
明显 ， 常借 助于图形 。而高等代数在数学基本知识技 能方面的
培养 上是承上启下 的 ， 一般先 给出严格 的定义 ， 然 后从定义 出
因式 分解的存在 和唯一性定理 ， 分别给 出了复数 系 、 实数系
的研究 ； 通过选定基 ， 将 向量之 间的关系转化 为向量坐 标之间 的关 系； 将 线性变换 的研 究转化为矩 阵的研 究等 ； 同时按元素
的讲解 ， 提高学 生的学 习兴趣 。 这样 ， 高等数学类课程 的学 习难
度就会大大降低 。
一
、
高等数学类课程与中学数学在知识方面的联 系
间的关系进行分类 ， 如用等价关 系、 相似关 系 、 合 同关系对矩 阵 分类 ； 利用 同构关 系对线 性空 间分类 、 用维数 对欧 氏空间分类 等， 这都用到归一化思想。 总之 ， 中学数学 教学 中， 由于受 中学 生理解能 力和所学 知
新 校 园 Ｘ ｉ ｎ Ｘ ｉ ａ ｏ Ｙ ｕ ａ ｎ
科研 教学
浅析高等代数与中学数学的关联
方 次 军 文分析 了高等代数与 中学数 学在知识 方面的联
武汉
４ ３ ０ ０ ６ ８ ）
的仅仅是向量元素 的一种特殊情形。 可见 ，高等代数在知识上 的确是 中学数学的继续和提高 。
发， 通 过严 密的逻辑推理得 出性质 、 定理 、 推论 ， 直至建立 完整 的理论体 系 ， 同时具备抽象性 和归一性 ， 应用更广泛 ， 从而能解
决更复杂的问题 。
参考文献 ：
和有理数系 的因式分解
高等代数在中学数学中的一些应用
1 行列式的应用
111 应用于因式分解
因式分解是中学数学的一个重要内容 ,虽然在中学数学中有很多方法可以解决因式分解问题 ,但对
于某些因式分解问题如果构造与之对应的行列式 ,然后使用行列式的性质去解决 , 会起到事半功倍的效
果。 例 1 对 a3 + b3 + c3 - 3 abc 因式分解。
ui + 1
1
,A=
1 ,则有 U i = AUi - 1 ,且 U0 =
u1
= 1 ,于是 , U1 = AU0 , U2 = AU1 = A2 U0 , …,
ui
10
u0
1
Un = AnU0 ,
因为
1+ 5 2
A= P
1
1+ 5 1- 5
P - 1 ,其中 P = 2
2 , P- 1 =
5
- 1- 5 25 ,
Jul. 2006 Vol. 27 Suppl .
高等代数在中学数学中的一些应用
曹福桃
(南宁外国语学校 ,广西 南宁 530006)
[ 摘 要 ] 以几个例子说明了高等代数作为一种工具在中学数学中的一些应用 。 [ 关键词 ] 高等代数 ;中学数学 ;构造法 [ 中图分类号 ] G63316 [ 文献标识码 ] A [ 文章 编号 ] 1002 - 5227(2006) S - 0135 - 03
在标准内积下 ,有 :
( a1 b1 +
a 2 b2 +
…+
a n bn )
2
≤(
a
2 1
+
a
2 2
+
…+ a2n)
高等数学在中学数学中的应用----毕业论文
⾼等数学在中学数学中的应⽤----毕业论⽂【标题】⾼等数学在中学数学中的应⽤【作者】丁海云【关键词】⾼等数学中学数学联系应⽤【指导⽼师】陈强【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1 引⾔近⼏年来，⾼等师范院校数学系的不少⼤学⽣对学习⾼等数学存在不少看法，如“现在学的⾼等数学好像与初等数学没有多⼤联系”，“学习⾼等数学对今后当中学数学教师作⽤不⼤”，有的甚⾄提出“⾼等数学在中学教学⾥根本⽤不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的⼤学⽣⼀⼊学就发现，他⾯对的问题好像和中学⾥学过的东西⼀点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了⽼师，他们⼜突然发现，要他们按⽼师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受⼤学数学训练之间的联系，于是很快坠⼊相沿成习的教学⽅法，⽽他们所受的⼤学训练⾄多成为⼀种愉快的回忆，对他们对教学毫⽆影响”．然⽽在新的数学教材中已经出现了⼀些基础的⾼等数学知识，可以说是数学发展的⼀种必然．现在的中学数学教师必须掌握⾼等数学的基础知识以适应数学发展和教材改⾰，⽽⾼等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等⽅⾯的作⽤就尤为突出了．本⽂探讨⼀些⾼等数学知识和⽅法在初等数学中的应⽤．2 初等数学与⾼等数学的联系⼀般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典⾼等数学时期、现代⾼等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．⽆论何种⽅法，都把第⼆发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,⽽把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“⾼等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“⾼等数学”．理论意义下的初等数学和⾼等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，⾼等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R? Descartes)1637年发明的解析⼏何看成为出现⾼等数学或进⼊⾼等数学时期的标志．⽽教育意义下的初等数学和⾼等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、⼩学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视⾼等教育阶段的数学主要内容为⾼等数学．当然，由于社会和教育的思想、⽅法、⼿段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“⾼等数学”也是⼀个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是⼀个不可分割的整体，它的⽣命⼒在于各部分之间的有机联系，只从学科表⾯上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深⼊研究初等数学，理清其中最基本的思想和⽅法，努⼒寻求初等数学和⾼等数学的结合点．2.1 知识⽅⾯的联系⾼等代数在知识上是中学数学的继续和提⾼．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性⽅程组理论等．从以下⼏个⽅⾯说明：⾸先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.⾼等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最⼤公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常⽤⽅法.⾼等代数⾸先⽤不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯⼀因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程的求解⽅法及⼀元⼆次⽅程根与系数的关系.⾼等代数接着讲⼀元n次⽅程根的定义，复数域上⼀元n次⽅程根与系数的关系及根的个数，实系数⼀元n次⽅程根的特点，有理系数⼀元n次⽅程有理根的性质及求法，⼀元n次⽅程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲⼆元⼀次、三元⼀次⽅程组的消元解法．⾼等代数讲线性⽅程组的⾏列式解法和矩阵消元解法、讲线性⽅程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为⾼等代数的数环、数域提供例⼦；中学代数学习的有理数、实数、复数、平⾯向量为⾼等代数的向量空间提供例⼦．中学代数中的坐标旋转公式成为⾼等代数中坐标变换公式的例⼦.其次，中学⼏何的内容体系主要是由平⾯⼏何、⽴体⼏何和平⾯解析⼏何三部分构成．平⾯⼏何研究由点的集合⽽形成的平⾯⼏何图形的性质；⽴体⼏何研究空间⼏何图形的性质诸如直线、平⾯及旋转体；平⾯解析⼏何研究形与数结合的问题，重点是⼆次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就⼆次曲线⽽⾔也侧重于定义的直观描述和各⾃所具有的性质．作为⾼等⼏何⽽⾔，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及⼆次曲线⼀般理论的研究，具有普适性、全⾯性．中学⼏何学习的向量的长度和夹⾓为欧⽒空间向量的长度和夹⾓提供模型，三⾓形不等式为欧⽒空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平⾯上的投影为欧⽒空间中向量在⼦空间的投影提供模型.第三，⾼等数学分⽀之⼀数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想⽅法上发⽣了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的⼀些基本概念如导数、积分、⽆穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运⽤代数运算求直线斜率这⼀问题的基础上，发展成为运⽤极限⽅法求曲线上的点的斜率⽽形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到⼀定阶段的必然结果．第四，集合论是关于⽆穷集合和超穷数的数学理论．它的建⽴是数学发展史上的⼀个⾥程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语⾔，同时也树⽴了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使⽤了点集、解集合等集合论语⾔．综上所述可知，⾼等代数在知识上的确是中学数学的继续和提⾼.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性⽅程组理论等问题，⽽且以整数、实数、复数、平⾯向量为实例，引⼊了数环、数域、向量空间、欧⽒空间等代数系统．这对⽤现代数学的观点、原理和⽅法指导中学数学教学是⼗分有⽤的.2.2 思想⽅⾯的联系中学数学思想和⽅法主要体现为三个层次，第⼀层次指数学各分科的具体解题⽅法和解题模式，如代数中的加减消元法、代⼊消元法、韦达法、判别式法、公式法、⾮负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；⼏何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助⾯的作法、⾯积⽅法、体积⽅法、图形及⼏何体的割补⽅法、三⾓形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第⼆层次指适⽤⾯很⼴的⼀些“通法”，如配⽅法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、⼀般化与特殊化法、参数法、反证法、同⼀法、观察与实验、⽐较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类⽐与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即⼈们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在⾼等数学教育活动中，上述数学思想和⽅法将得到进⼀步强化，⾼等数学各分⽀学科中⼏乎渗透了三个层次的思想和⽅法，在空间解析⼏何、⾼等⼏何、微分⼏何等学科中明显渗透着第⼀层次的思想和⽅法，第⼆、第三层次的思想和⽅法是数学学习和研究的重要⽅法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和⽅法的训练．除上述所举的思想和⽅法外，⾼等数学各分⽀学科中也渗透着许多新的思想和⽅法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性⽅程组的矩阵解法、⼆次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和⾼等数学教学的⼀个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学⽣的数学思想和⽅法，会⽤数学思想和⽅法来解决问题．3 ⾼等数学在中学数学中的应⽤⽤⾼等数学的观点、原理和⽅法，认识、理解和解决中学数学问题是我们⼤多数⼈的共同⽬的，也是⾼等数学价值的⼀种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等⽅⾯，体现⾮常明显．3.1 ⾼等数学在中学数学教学中的作⽤我们知道，初等数学与⾼等数学之间⽆论在观点上还是在⽅法上都有着很⼤的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学⽣不需要懂得什么⾼等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是⼀种误解．诚然，我们在课堂上不能把⾼等数学知识传授给学⽣，但我们作为⼀名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚⾄连⾃⼰对⼀些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：⼀⽅⾯，⾼等数学是初等数学的继续和提⾼；另⼀⽅⾯，初等数学⾥很多理论遗留问题必须在⾼等数学中才能得以澄清．因此，我们对⾼等数学在初等数学教学中的作⽤不能掉以轻⼼，下⾯就这个问题谈谈笔者的⼀些初浅的体会．3.1.1 ⾼等数学原理与中学数学教学⾸先，注重⾼等数学对初等数学的指导作⽤,运⽤原理，把握本质.多数教育⼯作者实践中认识到：教师只有深⼈研究⾼等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居⾼临下，把课教活．如有这样⼀道题⽬：例1 解⽅程．解此题若按三次⽅程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是⼀个关于“”的“⼀元⼆次⽅程”，，解之得= ．所以原⽅程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题⽬的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚⾄常数看作变量,⽽将字母间的关系看作函数关系,运⽤变量和函数的观点去考察它,会使⼀些问题变得容易或为解题提⽰⼀种可⾏的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学⽣的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的⼀些知识内容不可能严谨透彻,例如⾼中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推⼴到有理数,⽽指数函数的定义域是实数集.然⽽要在中学阶段讲清这个问题是不⼤容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,⼀些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作⽤,⼤都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过⾼等数学的知识加以证明和完善.可以说,运⽤⾼等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为⾼等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运⽤⾼等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提⾼⾼师⽣数学解题能⼒.其次，在教学中讲解⾼等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握⾼等数学中的概念、思想、⽅法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这⽅⾯的讲解，就能使学⽣充分地认识到⾼等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居⾼临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和⽅法没有加以解释和说明，就交给学⽣应⽤，虽然使⽤时能解决问题，但深⼊理解是不可能的．⽽作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的⽔平上，⽽应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这⾥的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这⾥的“+”只能看作是将a与bi连结成⼀个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表⽰复数的加法与乘法，则（C；+，）是⼀个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从⽽复数域就是实数域的⼀个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是⽅程的⼀个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全⼀致.3.1.2 ⾼等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透⾼等数学思想、观点,使它们相结合．现代⾼等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙⽽诱⼈的技巧和⽅法,使它更具有魅⼒．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的⽅法,⽽且⼜引进新的思想⽅法———极限法．运⽤极限⽅法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“⾮均匀”等可实现相互转化．所以，从⽅法论的⾓度来讲，数学分析的有关知识和⽅法对理解和解决⼀些中学数学问题会起导向作⽤．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，⽤微分⽅法求函数极值.解所以当>0时，⽆驻点，因⽽也⽆极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时⽆极值点；当 0时，有⼆驻点，⼜所以函数在处取得极⼤值在处取得极⼩值.这从思想、⽅法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运⽤这样的⽅法，将会使我们中学数学问题的解决思路⼤为开阔,⽅法更加灵活有效,从⽽摆脱对问题束⼿⽆策或盲⽬乱试的困境.另外⾼等数学知识进⼀步探讨和学习，可增强学⽣的求知欲，达到培养学⽣的学习兴趣．教师运⽤⾼等数学知识可以提⾼对学⽣提出的⼀些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 ⾼等⼏何思想与中学数学教学⾼等⼏何对教材内容的安排⼀般不同于中学⼏何，它是先给出定义、定理⽽后直观解释和证明，中学⼏何⼀般是先通过实例描述⽽后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同⼀问题得出的结论相同．全⾯了解欧⽒⼏何、仿射⼏何、射影⼏何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，⼜从局部上深⼊，才能深刻认识动与静、特殊与⼀般的辩证关系．就内容⽽⾔，⾼等⼏何⽐中学⼏何丰富，⽽且分析问题、处理问题的观点新颖，⽅法独特．如对偶原则，在研究点⼏何的同时，也研究了线⼏何的内容，对⼆次曲线的定义，既有⼏何定义，⼜有代数定义，开拓了认识眼界．从⽅法论来看，⾼等⼏何对具体问题处理的⽅法独特，⽽且灵活，对解决中学⼏何的有关命题提供了⼀种新的模式，也为中学⼏何的有关问题提供了知识背景．如利⽤中⼼射影投影⼀直线到⽆穷远来证明中学⼏何问题：若在平⾯上给定⼀个与直线有关的本质上是射影性质的⼏何命题，则只要恰当选择射影中⼼和向平⾯，总可以使直线的象直线是上的⽆穷远直线．由于⽆穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和⽅法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语⾔，⽽且树⽴了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学⽅法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有⼒研究⼯具，也是数学中⼗分重要的化归⽅法，利⽤映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从⽽实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射⽅法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有⼀⼀对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,⼜可⽤来指导数学发现.如：数学模型⽅法. 数学模型⽅法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的⼀种数学⽅法.中学数学中的解应⽤题是最简单的数学模型⽅法.过程如下图:图1：运⽤数学模型⽅法解题过程框图3.2 ⾼等数学在中学数学解题过程中的作⽤初等数学是⾼等数学的基础，⼆者有本质的联系．将⾼等数学的理论应⽤于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进⽽去指导初等数学的教学⼯作，是⼀个值得研究的课题．俗话说，站得⾼才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等⽅法外，还应善于⽤⾼等数学⽅法解决中学数学问题，特别是⼀些⽤初等数学⽅法难以解决或虽能解决但显得难、繁，⽽⽤⾼等数学⽅法则易于解决的中学数学问题,从⽽拓⼴解题思路和技巧，提⾼教师专业⽔平，促进中学数学教学．下⾯略⼏举例说明之：3.2.1 变换⾓度，化繁为简例3 求满⾜⽅程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上⾯的⽅程只能确定之间的函数关系，⽽不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是⽅程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题⽬⾥⾯却是两个未知数⼀个⽅程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的⽅程.在实数范围内，将⼀个等式分成⼏个等式，最常见的⽅法是利⽤⾮负数，即若⼏个⾮负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将⽅程变形为进⽽变为，由是锐⾓知，上式中两项均为负，故都都等于零．从⽽解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较⾼层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将⾼等数学的原理、⽅法应⽤于⼀些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学⽣的视野，⽽且可使学⽣体会到教师所使⽤的⾼等数学的原理、⽅法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进⽽更加有兴趣学习数学．3.2.2 利⽤函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的⼯具之⼀，有许多不等式在数学研究中有着重要的作⽤.但⽤初等数学知识证明⼀些不等式⽐较困难，下⾯利⽤⾼等数学的原理和⽅法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，⼜,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上⽅法体现了⽤初等数学知识证明⽐较难的不等式时，可充分利⽤⾼等数学的原理和⽅法思考，进⽽收到很好的效果．3.2.3 利⽤⾼等⼏何思想解初等⼏何问题在中学数学教学中往往会碰到⼀些初等⼏何问题,欲⽤传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,⽽⽤解析法却轻⽽易举,可⼜不能将此法告知学⽣,⾯临如何将它转化为纯⼏何的证明⽅法的问题,往往⼗分棘⼿．但利⽤⾼等⼏何知识进⾏思考，可收到很好的效果．例5 过⼀圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平⾯⼏何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三⾓形的对应边，宜将沿直线翻折⾄,则有, ,故知.这样，⼜将线段相等归结为⾓的相等，⽽⾓的相等关系在圆上⼜可利⽤圆周⾓定理进⾏转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利⽤⾼等⼏何的交⽐来证明，就⾮常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，⽽且还把结论推⼴到了⼆次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，⼀对平⾏线或⼀对相交直线，结论仍成⽴.⾼等数学的许多⽅法和技巧都能直接应⽤于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓⼴的作⽤．以上只是给出两个实例说明⾼等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等⼏何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学⽣，对于丰富学⽣的解题⽅法，特别是作为教师在将来的数学教学中⽤它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作⽤．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作⽤微积分在⾼等数学⾥占有⾮常⾼的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了⼀种新的思想⽅法——极限法．俗话说，站得⾼才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利⽤微积分思想解决中学数学问题特别是⼀些⽤初等数学⽅法难以解决或虽能解决但显得难、繁，⽽⽤微积分思想则易于解决的中学数学问题，从⽽拓⼴解题思路和技巧，提⾼教师专业⽔平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得=对上式取不定积分,得其中是常数,此处是含有变量的代数式,从⽽得恒等式.上式中令,得,于是= .⽤导数和积分进⾏因式分解,常可使解法简便、巧妙.3.3 ⾼等数学对中学数学问题的诠释在中⼩学数学教学中，⼈们往往重视对教学⽅法和解题思路的研究，这在许多教学经验⽂章中都可以看到.同时，⼈们也常常重视研究中⼩学数学教材的衔接问题以及初⾼中数学教材的衔接问题，这在许多教学研究⽂章中也可以看到.然⽽,在初等数学教学中涉及与⾼等数学衔接的问题却很少有⽂章谈到.笔者从阅读⼤量前辈的⽂章中总结于下，供分享.3.3.1 映射所引出的问题⾼中数学课本代数上册第⼀章幂函数、指数函数和对数函数中，叙述了映射、⼀⼀映射的概念.中学⼀级教师焦鸣讲述了他在课堂教学中曾经举的⼀个例⼦.例7 设集合A={弧CD上的点}，集合B={弦CD上的点},试建⽴⼀个对应关系f，使得f:A→B为⼀⼀映射.解:如图3所⽰,弧CD上的点与弦CD上的点建⽴如下对应关系f:过弧CD上的任⼀点P作弦CD的垂线得垂⾜T，则这样建⽴的映射f:A→B是⼀⼀映射．举了上述例⼦之后,当时就有学⽣提出疑问:根据平⾯⼏何知识可知,弧CD的长度⼤于弦CD的长度,即弧CD上的点多于弦CD上的点.⽽由上述例⼦,它们之间的点⼀⼀对应起来了,这不是⽭盾了吗?回答这个问题确实⽐较困难,它超出了初等数学的范围,⽽要到⾼等数学中去寻找答案.为此,先引进⼀个定义: 图3定义1 对于两个集合A和B,如果存在对应关系f,使A和B成为⼀⼀对应,则A和B叫做具有相同基数的或对等的集合.记作:A B.这⾥应注意A B与A=B的区别.例如:设A= {1、2、3、4},B= {红、黄、⿊、⽩},C={东、南、西、北}.显然有A B,B C,C A.可以看出,有限集合之间对等的充要条件就是它们的元素个数相同．可以告诉学⽣的是:⾃然数集和有理数集是对等的,和⽆理数集是不对等的,和弦CD上的点所成的集合也是不对等的.3.3.2 ⾼等数学对中学数学概念的诠释在⾼中数学课本代数上册第⼀章中,⽤描述性的语⾔给出了函数y=f(x)的反函数的定义.在谈到函数y=f(x)时,把它称为反函数的“原来的函数”.然⽽,有的数学复习资料及有些数学教师为了⽅便,往往把它说成是反函数的“原函数”.就是这两个字之差，就出现了科学性的错误．如以下两例：“反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，⽽应当是原函数的值域”.“反函数的定义域是原函数的值域，必须通过求原函数的值域得到”.⽽关于“原函数”的定义在⾼等数学的数学分析中早有定论.定义2 设已知函数f(x)，如果有函数F(x)使得=f(x),那么F(x)便叫做f(x)的原函数.(这⾥的是指F(x)的导数) 由此可见,“原函数”早就有它特定的含义,是不能随便乱⽤的.如果象⽂献上述两种说法，就是犯了科学性的错误．虽然学⽣由于所学知识的限制,不可能发现这个错误,但作为教师应该注意避免发⽣．这就提醒我们,在中学数学教学中,不能为了表达⽅便或其他原因,随意杜撰⼀个相关的词语来说明有关的问题．这样往往会在不知不觉中犯科学性错误,误⼈⼦弟．在这⾥我认为还是⽤“原来的函数”来表达⽐较贴切．从上述例⼦我们可以看到:中学数学教学虽然基本不涉及⾼等数学的内容,但⾼等数学起着潜在的作⽤.对于⼀个中学数学教师来说,只有掌握了相关的⾼等数学知识,才能在讲述有关内容时,做到讲得清楚,讲得透彻,讲得不含糊,不出现科学性错误.4 总结加强⽤⾼等数学的思想⽅法来指导中学数学研究，着眼研究中学数学与初等数学的接轨处，⽴⾜于更⾼观点，教学中⽤⾼等数学的⽅法去剖析初等数学，能培养学⽣⾯对新问题、新情境及综合运⽤所学知识解决问题的能⼒，对提⾼中学⽣的数学素养有着重要的意义；中学数教师善于⽤⾼等数学的观点处理中学数学中的问题，不但体现了⾼等数学具有居⾼临下的作⽤，⽽且对中学数学中有些较难的题型通过⽤⾼等数学的理论与⽅法较易解决，充分现了⾼等数学的优越性；⾼等数学能在更⾼层次上认识初等数学，特别是⼀些接轨处，不但让中学数学教师教轻松驾驭数学课堂，还使学⽣感到⾼等数学与初等数学存在联系，增。
高等代数对中学代数的指导作用【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学高等代数对中学代数的指导作用一、前言部分人们常有一种片面的观点, 认为高校里所学的专业知识在中学数学教学中几乎无用. 甚至有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不大。
其实高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面有很大的作用.我们还认为要把初等数学教好, 不仅要学习高等数学, 而且还一定要学“好”。
学“好”高等数学是指不仅要学习它的定理和方法, 更重要的是要学习它的“观点” ,也即必须掌握高等数学处理问题的特点, 并且将这些观点应用在处理初等数学的问题与教学中去。
众所周知, 我们可以用求导数的方法来求函数的极值, 用微分学中值定理来证明一些不等式、用行列式来求线性方程组的解、用空间解析几何来解立体几何的一些问题。
可能有些同志会说即使熟练地掌握了这些内容, 也不能对中学生讲, 因而在初等数学教学工作中还是用不上。
但是, 我们应该注意到, 学好高等数学不仅要学会这些方法, 而且要了解这些方法的精神实质以及为什么要这样处理问题。
这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思想。
我们可以用高等数学中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些方法是完全初等的, 可以为中学生所接受的, 而应用这些方法都可以将相当数量的、表面上看来完全无关的初等数学问题用儿乎相同的方法解出。
高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因素和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展。
高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方法。
注意与中学数学的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学的指导作用。
通过研究高等代数与中学数学的联系、区别，探讨高等代数对中学数学的指导,可以更好的学习高等代数和中学数学。
二、主题部分高等代数与中学代数是一脉相承的，是相辅相成的，高等代数是中学代数的深化与进一步研究，中学代数是中学生学习的比较简单基础的高等代数，已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员，从不同的角度对高等代数与中学代数的关系。
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高等代数在中学数学解题中的若干应用
人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．
高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．
2 线性相关[1]在中学数学解题中的应用
初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．
2.1 求代数式的取值范围
初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．
运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．
2.3 解决某些二元不定方程
例3 利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若
购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？
答: 甲乙丙各购1件，共需105元．
3 行列式在中学数学解题中的应用
中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．
3.1 应用于因式分解
从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．
4 矩阵应用于数列问题
利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．
在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．
5柯西施瓦兹不等式在解中学不等式中的应用
从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．
6 结束语
高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．。