奥数培训题（2）（1）分数的拆项（2）分数乘法应用题
分数乘除法奥数应用题
分数乘除法奥数应用题
1.一项工程,甲,乙两队合作需6天完成,现在乙队先做了4天,共完成这项工程的十五分之十三.如果把其余工程单独交给乙队单独做还要几天才能完成?
2.一项工程,单独做,甲要12天,乙要9天.若甲先做若干天后乙接着做,共用10天完成,问：甲做了几天?
3.一项工程,单独做,甲要6小时,乙要10小时.如果按甲,乙,甲,乙.的顺序交替工作,每次1小时,那么需要多少小时完成?
4.一部书稿,单独打,甲要14小时,乙要20小时,如果按甲,乙,甲,乙.的顺序交替工作,每次1小时,那么需要多少小时完成?
5.一个水池装有甲,乙两根水管.单开甲管,一又二分之一小时把空池住满水；单开乙管,一小时可以把池水放完.如果同时单开甲,乙两管,多少小时可以把满池水放完?。
幼儿园奥数分数的巧算练习及答案
幼儿园奥数分数的巧算练习及答案引言幼儿园奥数教育是培养孩子们数学思维和解决问题能力的重要环节。
对于幼儿来说，通过巧妙的算术练和答案，可以培养他们的逻辑思维能力和创造性思维能力。
本文提供一系列幼儿园奥数分数的巧算练及答案，以帮助幼儿在研究过程中更好地理解分数的概念和运算。
1. 练一题目小明有2个苹果，小红有4个苹果，将这些苹果平均分给两个人，请问每个人分到了几个苹果？写出计算过程。
计算过程根据题目描述，小明和小红共有6个苹果。
要平均分给两个人，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 先将总数6分成两部分，即6 ÷ 2 = 32. 每个人分到的苹果数为3答案每个人分到了3个苹果。
2. 练二题目小明喝了一杯盖碗茶的三分之一，他妈妈喝了剩下的四分之二，问茶杯里还剩下多少盖碗茶？写出计算过程。
计算过程根据题目描述，小明喝了盖碗茶的三分之一，剩下的四分之二给他妈妈。
我们可以按照以下步骤进行计算：1. 小明喝了三分之一，剩下的茶量为 1 - 1/3 = 2/32. 他妈妈喝了剩下的四分之二，即剩下茶量的四分之二，所以茶量减少了 2/3 × 4/2 = 4/6 = 2/33. 茶杯里还剩下的盖碗茶的量为 2/3答案茶杯里还剩下的盖碗茶的量为2/3。
结论通过以上的练和答案，幼儿可以巩固对分数概念的理解，学会进行基本的分数运算。
希望这些巧算练对幼儿园奥数研究有所帮助，激发他们对数学的兴趣和热爱。
注意事项：本文答案及计算过程仅供参考，可能存在任意数值替换导致结果不同的情况，请根据具体题目进行灵活运用。
(完整word版)小学六年级奥数专项：分数应用题
1 是原来总数的 3 。求现在书架上放着多少本书？
1 分析： 借出总数的 75%之后，还剩下 25%，又放上 60 本，这时架上的书是原来总数的 3 ，
这就可以找出 60 本书相当于故事书总数的几分之几了，问题也就可以求出来了。还可以画
找量率对应。如下图：
解答：（ 1） 60 本书相当于故事书总数的几分之几？
1 ，或可注满乙容器及甲 2
14、有三堆棋子，每堆棋子一样多， 并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆
里的白子数一样多，第三堆里的黑子为全部黑子的
2 。把三堆棋子集中在一起，白子为全 5
部棋子的几分之几？
7
二、练习
1、一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 8 天完成，甲每天比乙少做（
13 公顷，稻
分析： 通过读题，将题目中的条件列成文字等式：
1
1
1
1
菜地的 2 ＋稻田的 3 =13 公顷＋菜地的 3 ＋稻田的 2 =12 公顷
5
5
菜地的 6 ＋稻田的 6 =25 公顷
这就是说，菜地和稻田的
5 6 与 25 公顷相对应，因此可以求出两种地一共有多少公顷，
再求稻田有多少公顷。 解答： 两种地共有
1
1
总数的 8 ＋ 16 本＋总数的 2 － 8 本＋余下的 67 本 =“单位 1”
将等式变形，量率分别放在等号的两边：
1
1
16 本－ 8 本＋余下的 67 本 =“单位 1”－总数的 8 －总数的 2
1 13 从上面的式子中可以看出， (67 － 8＋16) 就是这批图书的 1－ 8 － 2 = 8 ，因此列式为：
6
8、庆丰文具店运来的毛笔比钢笔多 店共运来多少万支笔？
六年级上册奥数试题分数乘法的巧算 人教新课标
六年级上册奥数试题分数乘法的巧算人教新课标分数乘法的巧算（一）一、拆分因数，使计算简便。
1、拆分分数：一个分数接近单位“1”（小于单位“1”或大于单位“1”）例：1. 计算3334× 27 2. 计算2322×17练习1：48 50×134341×1333 34× 133938× 252、拆分整数：整数接近分数的分母或接近分母的倍数例： 1. 计算2019 ×12320092.计算 93 ×23 46练习2：52 ×37501001 ×1011002199×89994365× 129二、先分拆分数，然后运用乘法分配律进行简便运算。
3 5× 31 +15× 7 2623×15作业（二）22311×173842× 4313× 45 +23× 1539 40× 13 131 ×386557× 9 —47×6作业（四）17 38× 37 103 ×1510457× 5 +47×6 2517×78二、乘法分配律的进一步运用例1：计算527×5 + 457×923练习1：335×2525+ 37910×625338×4+ 558×5351049×4 — 249×712例2：计算22×17+ 11×27+337×211练习2：39×14+ 25×34+264×3139×38+ 15×18—54×350.7×149+234×15 + 0.7 ×59+14×159×35+ 24×15—115×38作业（一）（325+ 523+635+ 613）×（3 —311） 1614×45+ 1717×78+ 1315×56625×7 + 335×101322×15+ 11×25+335×211作业（二）（449+ 856+ 759+ 716）×（3 —314） 1915×56+ 1919×89— 2513×34425×1025+17910×53539×17+ 25×37+267×313作业（三）（1227—235—325+1757）×（8 —38）715×56+1312×23+ 2225×57758×4+ 438×5359×313+ 15×113—1013×35专题训练：例1：计算12+14+18+116+132+164+1128巩固练习：1 2 +14+18+116+132+16412+14+ 18+116+132+164+1128+1256分数乘法的巧算综合作业：计算下面各题1．4950 × 12 3839 × 40 58 × 15 + 38 ×23 2．978 ×8 + 867 × 7+ 756 ×6 + 645 ×579617 ×59 + 119 ×517 + 50×19 999+1002×10001001×1002—32019×20032002 + 2019×20042003 + 40052002×2003。
10小学奥数练习卷(知识点：分数的拆项)后附答案解析
10小学奥数练习卷（知识点：分数的拆项）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共4小题）1．计算：+++=（）A．B．C．D．2．计算：+++…++=（）A．B．C．D．3．计算：（﹣+﹣+）×120﹣÷（）A．42B．43C．15D．164．将写成两个分母的单位分数（分子为1的真分数）之和，写法有（）A．1种B．3种C．4种D．5种第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共26小题）5．1﹣﹣﹣﹣…﹣= ．6．计算：2+++++= ．7．算式：2016×的计算结果是．8．已知不同正整数a、b、c满足++=，那么这样的有序数组（a、b、c）有组（所谓的有序数组就是指（2、3、4）与（2、4、3）算不同的数组）．9．已知A=10×+9×+…，B=+…，则A+B= ．10．算式（+++++）×2015的计算结果是．11．算式2015÷（1++++）的计算结果是．12．计算：++= ．13．计算：481+265+904﹣184﹣160﹣703= ．14．计算：，得．15．1++++++++= ．16．算式：2102×（1﹣+﹣+﹣）的计算结果是．17．算式（9+7+5+3+1）×12的计算结果是．18．算式+++++++++的值的整数部分为．19．一个带分数，若把分数部分扩大到4倍，这个数变为3；若把分数部分扩大到7倍，这个数变为5，这个带分数是．20．= ．21．如果（A、B均为自然数），那么B最大是．22．从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是．23．计算：+++…++= ．24．一个分数的分子与分母之和是100，将它的分子、分母都减去6后约分得，那么原来的分数是．25．计算：++++= ．26．计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．27．已知生+=，A＜B，与的差最小是．28．在算式+++=2中，不同的汉字表示不同的自然数，那么“奥+数+网+杯”=．29．将分数的分子减去b，分母加b，则分数约分后是．那么b= ．30．对于大于零的分数，有如下4个结论：（1）两个真分数的和是真分数；（2）两个真分数的积是真分数；（3）一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；（4）一个真分数与一个假分数的积是一个假分数．其中正确结论的编号是．三．计算题（共5小题）31．计算：++…+32．计算：+++…+．33．计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19．34．（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）=35．计算．66.66÷12.5÷0.4÷0.8÷0.32013×100×（+++……+）四．解答题（共15小题）36．填写下面的等式：（1）=+（2）=+．37．在等式+++=1中，符号x，y，z分别代表三个不同的自然数，那么，这三个数的和为．38．古埃及人看待分数的方式和我们现代数学的方式不大相同，对于他们来说，只是一个不完整的分数．他们相信除外，所有的分数都是由一系列单位分数相加而成的，其中所有分子为1的分数，如，，，…等都称为单位分数．（1）用两个不同的分母均不超过13的单位分数表示，即将写成如下的形式：=+．其中4≤a，b≤13，并判断答案是否唯一？如果唯一，请给出证明；不唯一，请再写出一个．（2）利用（1）中的结果，解答下一个问题：在下列等式中，三个分母均为四位数：+=．请在八个方框内各填入一个数字，使等式成立．求这两个未知的四位数是什么？39．计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：（1）+++；（2）2×5﹣÷+3×．40．计算：（1）++++．（2）2.015×128+20.15×76+201×1.12．41．计算：（1）﹣+++﹣+（2）20.14×47+201.4×3.3+10.07×40（3）12﹣22+32﹣42+52﹣62+72﹣82+92（4）解方程组：．42．在下列各式中的括号内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立．1=++++++．43．计算：﹣﹣++﹣﹣++﹣．44．把7个同样大小的苹果平均分给12个小朋友．要把几个苹果平均切成四块，把几个苹果平均切成三块，每个小朋友可分得个苹果？45．（1）（0.34×2400×0.25+3×7+26.25÷）÷；（2）（××）÷（××）；（3）++++…+．46．= ．47．计算：．48．一个分数，分子减1后等于，分子减2后等于，则这个分数是．49．1994+﹣1+2﹣3+4﹣5+…+1992﹣1993．50．将拆成两个不相等的单位分数（n，m为自然数，n＜m）．n的值可以是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．计算：+++=（）A．B．C．D．【分析】根据拆项公式=×（﹣）拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：+++=+++=+×（﹣+﹣+﹣）=+×（﹣）=+﹣==故选：D．【点评】本题考查了分数拆项公式=×（﹣）的灵活应用．2．计算：+++…++=（）A．B．C．D．【分析】利用裂项法，将每个分数裂项，再相加，即可得出结论．【解答】解：+++…++=+…+=，故选：C．【点评】本题考查分数的拆项，考查裂项求和，解题的关键是正确裂项．3．计算：（﹣+﹣+）×120﹣÷（）A．42B．43C．15D．16【分析】首先对（﹣+﹣+）进行拆分，然后用所得的结果减去除以所得的商，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（﹣+﹣+）×120﹣÷=（+﹣﹣++﹣﹣++）×120﹣=（+）×120﹣=30+×120﹣=42故选：A．【点评】此题主要考查了分数的拆分，要熟练掌握，注意运算顺序．4．将写成两个分母的单位分数（分子为1的真分数）之和，写法有（）A．1种B．3种C．4种D．5种【分析】首先将46分解质因数，让得到的分数扩倍以后化简可以约去46的因数即可求解．【解答】解：依题意可知：46=1×46=2×23．==①当n=2时满足条件．．②当n=3时满足条件．．③当n=24时满足条件．．故选：B．【点评】本题考查对份数的拆项的理解和运用，关键是找到46的因数的个数．问题解决．二．填空题（共26小题）5．1﹣﹣﹣﹣…﹣= ．=变形，然后再根据拆项公式【分析】先根据高斯求和公式：Sn拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：1﹣﹣﹣…=1﹣﹣﹣﹣…﹣=1﹣2×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=1﹣2×（﹣）=1﹣1+=故答案为：．【点评】本题考查了分数拆项公式的灵活应用．6．计算：2+++++= 40．【分析】由题意，整数部分相加，分数部分裂项相加，即可得出结论．【解答】解：2+++++=2+3+5+7+11+12+++++=40+=40，故答案为40．【点评】本题考查分数的拆项，考查裂项求和，正确裂项求和是关键．7．算式：2016×的计算结果是1024 ．【分析】根据拆项公式把分母拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：分母：1+++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=2﹣=则，2016×=2016×=2016×=1024故答案为：1024．【点评】本题考查了分数拆项公式的灵活应用．8．已知不同正整数a、b、c满足++=，那么这样的有序数组（a、b、c）有12 组（所谓的有序数组就是指（2、3、4）与（2、4、3）算不同的数组）．【分析】根据题意：不妨设a＜b＜c；若a≥3，则≤=＜不可能有解；故a=2；可得=﹣=；显然，b≥4；故假设b值几种情况进行讨论，得出c值，然后三个数再进行重组，得出重组数即可．【解答】解：根据题意分析：不妨设a＜b＜c；若a≥3，则≤=＜不可能有解；故a=2；可得=﹣=；显然，b≥4；故假设几种情况如下：（1）b=4，则==；解得：c=20；（2）b=5，则==；解得：c=10；（3）b=6，则==；无解．（4）b=7，则==；无解．（3）若b≥8，则c＜b，也不符合．所以，满足a＜b＜c的解有两组：a=2，b=4，c=20；a=2，b=5，c=10；考虑顺序可交换，所以，共有解2×（3×2×1）=12（组）；故答案为12组．【点评】解题关键讨论分析，结论与题设条件相矛盾就舍去．再根据题意找到满足题设条件即可解答．9．已知A=10×+9×+…，B=+…，则A+B= 10 ．【分析】将A中的分数裂项，再与B相结合，即可得出结论．【解答】解：A+B=10×+9×+…++…=10×（1﹣）+9×（）+8×（）+…+1×（﹣）++…=10﹣9×+9×﹣8×+8×﹣…﹣﹣+﹣=10，故答案为10．【点评】本题考查分数的拆项，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．算式（+++++）×2015的计算结果是930 ．【分析】根据拆项公式=（﹣）×拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：（+++++）×2015=（1﹣+﹣+…+﹣）××2015=×2015=930故答案为：930．【点评】本题考查了分数拆项公式=（﹣）×的灵活应用．11．算式2015÷（1++++）的计算结果是1040 ．【分析】根据拆项公式拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：2015÷（1++++）=2015÷（1++﹣+﹣+﹣）=2015÷（2﹣）=2015×=1040；故答案为：1040．【点评】此题重点考查了学生对分数的拆项公式运用情况．12．计算：++= ．【分析】先把算式拆分为×+×+×，再根据乘法的分配律简算即可．【解答】解：++=×+×+×=×（++）=×1=；故答案为：．【点评】此题重点考查了学生对分数的拆项和运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．13．计算：481+265+904﹣184﹣160﹣703= 600．【分析】先把算式变形为481+265+904﹣185+﹣161+﹣704+，再根据加法的交换律与结合律以及分数的拆项公式=﹣简算即可．【解答】解：481+265+904﹣184﹣160﹣703=481+265+904﹣185+﹣161+﹣704+=（481﹣161）+（265﹣185）+（904﹣704）+（+++++）=320+80+200+（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=600+﹣=600．故答案为：600．【点评】本题属于比较复杂巧算问题，关键是对算式进行合理的变形，难点是利用拆项公式=﹣对分数进行拆分．14．计算：，得．【分析】这道题比较难，根据拆项公式：，把各个加数进行变式然后计算．【解答】解：==）=2×（）=2×（）=【点评】本题比较难，考查了学生的综合能力．计算时要观察算式的特征，发现规律进行计算，计算量比较大，要细心计算．15．1++++++++= ．【分析】这道题有一个明显的特点：从第二个加数起，每个加数都是它前面的一个数的．可以用拆项的方法进行简算．【解答】解：1++++++++，=1+（1﹣）+（）+（）+…+（），=1+1﹣，=1．故答案为：．【点评】此题考查了学生灵活运用拆项的方法，进行简算的能力．16．算式：2102×（1﹣+﹣+﹣）的计算结果是1508 ．【分析】根据拆项公式拆项后通过加减相互抵消，然后根据乘法分配律即可简算．【解答】解：2102×（1﹣+﹣+﹣）=2102×（1﹣+﹣﹣+﹣+﹣）=2102×（1﹣﹣）=2102×﹣×2012=1509﹣1=1508故答案为：1508．【点评】本题考查了分数拆项公式的灵活应用．17．算式（9+7+5+3+1）×12的计算结果是310 ．【分析】先把带分数分解成一个整数和一个真分数的和，然后根据加法结合律把整数部分相加，把分数部分相加，再根据=1﹣，=﹣，=﹣，…依次拆分，再加减相互抵消求解．【解答】解：（9+7+5+3+1）×12=[（9+7+5+3+1）+（++++）]×12=[（9+7+5+3+1）+（1﹣+﹣+﹣+﹣]×12=[（9+7+5+3+1）+（1﹣）]×12=（25+）×12=25×12+×12=300+10=310故答案为：310．【点评】此题中的分数属于两个连续自然数的乘积的形式，凡是这类型的分数，都可以把每个分数拆分成两个分数相减的形式．18．算式+++++++++的值的整数部分为46 ．【分析】先把算式通过拆分变形为50﹣5×（++++…++），然后讨论括号里的和的取值，即可解答．【解答】解：设A=+++++++++=5×（+++++++++）=5×（1×10﹣﹣﹣…﹣）=50﹣5×（++++…++）括号里的：++++…++=（+++）+（+）+（++）所以，++++…++＜5×（+）=则，A＞50﹣5×≈46.5同理，++++…++=（+++）+（+）+（++）所以，++++…++＞5×（+）=则，A＜50﹣5×≈46.8所以，46.5＜A＜46.8所以，[A]=46即，原式的值的整数部分为46．故答案为：46．【点评】本题考查了算式的取整问题，关键是通过拆分变成一些分数单位的和，再结合估算解决问题．19．一个带分数，若把分数部分扩大到4倍，这个数变为3；若把分数部分扩大到7倍，这个数变为5，这个带分数是1．【分析】把分数部分扩大到4倍，与把分数部分扩大到7倍，相差了（5﹣3），即它是分数部分的（7﹣4）倍，由此可求分数部分为：（5﹣3）÷（7﹣4）=，然后推算出整数部分即可．【解答】解：分数部分为：（5﹣3）÷（7﹣4）==整数部分为：3﹣×4=1所以，这个带分数是 1．故答案为：1．【点评】本题的难点是理解，分数部分扩大到4倍或7倍，只是分数部分变化了，但是整数部分没变化．20．= ．【分析】因为=﹣，所以原式为1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣，进一步计算即可．【解答】解：=1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=1﹣=故答案为：．【点评】此题运用了关系式：=﹣．21．如果（A、B均为自然数），那么B最大是2011 ．【分析】因为=，根据同分子分数的大小比较方法，显然，B＜2012，那么B最大是2011，然后验证即可．【解答】解：显然，B＜2012，那么B最大是2011，验证：=，=，=，所以A=2011×2012，符合要求；故答案为：2011．【点评】本题关键是根据分母越大分数值越小，对分数进行拆分．22．从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是和．【分析】通过分析，先求出++++的结果，然后减去，看看剩余结果与哪两个数最接近，即可解决问题．【解答】解：因为++++﹣，=++++﹣，=，又因为+=，所以去掉的应是和．故答案为：和．【点评】对于这种题型，应认真思考，找到解决问题的最佳途径，灵活解答．23．计算：+++…++= ．【分析】根据拆项公式=（﹣）×拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：+++…++=1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1+﹣﹣==；故答案为：．【点评】本题考查了分数拆项公式=（﹣）×的灵活应用．24．一个分数的分子与分母之和是100，将它的分子、分母都减去6后约分得，那么原来的分数是．【分析】可以设原来的分数的分子是x，那么分母就是100﹣x，进而根据题意，列出方程，即可求出分子和分母数值，进而得解．【解答】解：设原来的分数的分子是x，分母就是100﹣x，由题意得=3×（x﹣6）=100﹣x﹣63x﹣18=94﹣x4x=112x=28分母：100﹣x=100﹣28=72，所以原来的分数是．故答案为：．【点评】解决此题的关键是根据分数的基本性质，设出未知数，列出关系式，求出正确答案．25．计算：++++= ．【分析】把分子看作3=4﹣1，然后把份数进行拆项，然后通过加减相互抵消简算．【解答】解：++++=++++=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=1﹣=故答案为：．【点评】本题考查了分数的拆项，关键是分析式中数据的特征，通过合理的变形达到简算的目的．26．计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．【分析】根据平方差公式把算式变为：×××…×，然后通过交叉约分即可简算．【解答】解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=××…×=×××…×=×××…×=×=故答案为：．【点评】本题考查了分数的拆分，有一定的难度，关键是利用平方差公式把分子分母拆分成能够约分的数．27．已知生+=，A＜B，与的差最小是．【分析】先把进行拆分，拆分成+的形式，因为要求与的差最小，所以拆成的这两个分数应十分接近，也就是这两个分数的分母最接近，从而解决问题．【解答】解：===+=+；经过几次推算，与最接近，因此与的差最小是：﹣=﹣=；故答案为：．【点评】此题考查了学生分数的拆分知识，以及综合计算能力．28．在算式+++=2中，不同的汉字表示不同的自然数，那么“奥+数+网+杯”=12 ．【分析】如果4个数都不为1的话，只有最大为四个，和为2，但是四个数不能相同，所以，必须有一个1，不妨设奥=1，则++=1，同样，得出数=2，则网和杯为3和6，可求“奥+数+网+杯”．【解答】解：如果4个数都不为1的话，只有最大为四个，和为2，但是四个数不能相同，所以，必须有一个1，不妨设奥=1，则++=1，同样，如果三个没有2的话，只有最大为三个，和为1，但是三个数不能相同，所以，必须有一个2，不妨设数=2，则网和杯为3和6，所以“奥+数+网+杯”=12，故答案为12．【点评】本题考查分数的拆项，考查学生分析解决问题的能力，确定其中两个数为1，2是关键．29．将分数的分子减去b，分母加b，则分数约分后是．那么b= ．【分析】由题意可得：，解这个比例式，即可求出b的值．【解答】解：，3×（29﹣b）=2×（43+b）87﹣3b=86+2b5b=1b=故答案为：．【点评】由题意得出比例式，再据比例的基本性质即可求解．30．对于大于零的分数，有如下4个结论：（1）两个真分数的和是真分数；（2）两个真分数的积是真分数；（3）一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；（4）一个真分数与一个假分数的积是一个假分数．其中正确结论的编号是（2）（3）．【分析】真分数是指分子小于分母的分数，假分数是指分子大于或等于分母的分数；进而根据真、假分数的意义，以及和与加数、积与因数的关系判断即可，可以举实例验证说明结论的真伪．【解答】解：（1）如+=；所以两个真分数的和不一定是真分数，有可能是假分数，原说法×．（2）因为在乘积非0的乘法里，一个因数小于1，积就小于另一个因数，如×=；所以两个真分数的积一定还是真分数，原说法√．（3）因为一个数加上一个数后肯定比原数大，如=；所以一个真分数与一个假分数的和是一个假分数，原说法√．（4）如×=；所以一个真分数与一个假分数的积不一定是一个假分数，有可能是真分数，原说法×．故答案为：（2）（3）．【点评】解决此题明确真、假分数的意义，可以用举实例的方法来验证说明结论的真伪，这也是在数学上经常用的方法．三．计算题（共5小题）31．计算：++…+【分析】根据拆项公式=[﹣]×拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：++…+=[﹣+﹣+…+﹣]×=[﹣]×==【点评】本题考查了分数拆项公式=[﹣]×的灵活应用．32．计算：+++…+．【分析】根据拆项公式=﹣拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=【点评】本题考查了分数拆项公式=﹣的灵活应用．33．计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19．【分析】把整数部分单独相加，分数部分单独相加，然后根据拆项公式=﹣拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（++++++++）=（1+19）×10÷2+（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=100+=100【点评】本题考查了分数拆项公式=﹣的灵活应用．34．（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）=【分析】设分母中与两个因数相邻的自然数是n，则每一项都是形如：1﹣=，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）=×××…×==【点评】解答本题关键是根据数据的特点拆分组合，通过约分简算．35．计算．66.66÷12.5÷0.4÷0.8÷0.32013×100×（+++……+）【分析】（1）根据根据除法的性质和乘法的交换律与结合律简算即可．（2）根据乘法的分配律简算即可．（3）根据拆项公式=﹣拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：（1）66.66÷12.5÷0.4÷0.8÷0.3=（66.66÷2÷0.3）÷（12.5×0.8×0.2）=111.1÷2=55.55（2）2013×=（2012+1）×=2012×+1×=2011+=（3）100×（+++……+）=100×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=100×=99【点评】解答此题，应仔细观察，认真分析式中数据，运用运算技巧或运算定律合理简算．四．解答题（共15小题）36．填写下面的等式：（1）=+（2）=+．【分析】13的因数有1和13，分子和分母可以同时乘以（1+13），然后再化成最简分数即可．【解答】解：（1）===（2）===【点评】本题考查的是分数的拆分．37．在等式+++=1中，符号x，y，z分别代表三个不同的自然数，那么，这三个数的和为14 ．【分析】先求出=，在判断出将17拆成三个18的约数的数，判断即可得出结论．【解答】解：1﹣=，由于x，y，z分别代表三个不同的自然数，且三项的分子都是1，所以将17拆成三个是18的约数的数，而1到17之间只有1，2，3，6，9，明显只有2+6+9=17，所以，，即：x，y，z中是数2，3，9中其中一个，并且不能重复，所以x+y+z=14，故答案为14．【点评】此题是分数的拆项，主要考查了一个数的约数的确定方法，确定出1﹣17之间是18的约数的是解本题的关键．38．古埃及人看待分数的方式和我们现代数学的方式不大相同，对于他们来说，只是一个不完整的分数．他们相信除外，所有的分数都是由一系列单位分数相加而成的，其中所有分子为1的分数，如，，，…等都称为单位分数．（1）用两个不同的分母均不超过13的单位分数表示，即将写成如下的形式：=+．其中4≤a，b≤13，并判断答案是否唯一？如果唯一，请给出证明；不唯一，请再写出一个．（2）利用（1）中的结果，解答下一个问题：在下列等式中，三个分母均为四位数：+=．请在八个方框内各填入一个数字，使等式成立．求这两个未知的四位数是什么？【分析】（1）由题意，=+，答案唯一（2）1988=4×497，=+，在等式两边同时乘，就得到：+=；据此填写即可．【解答】解：（1）由题意，=+，答案唯一；=+，则=，∵4≤a，b≤13，∴a=4，b=12；（2）1988=4×497，=+，在等式两边同时乘，就得到：+=，所以这两个未知的四位数是5964，1491．【点评】本题主要考查分数的拆项，考查横式数字谜，把1988分解为4×497是解答此题的关键．39．计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：（1）+++；（2）2×5﹣÷+3×．【分析】（1）先把算式变形为+++，然后再拆项简算即可；（2）提取公因数，根据乘法的分配律简算即可．【解答】解：（1）+++=+++=﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=；（2）2×5﹣÷+3×=2×﹣×+3×=×（2﹣+3）=×5=28．【点评】此题重点考查了学生对分数的拆项方法以及运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．40．计算：（1）++++．（2）2.015×128+20.15×76+201×1.12．【分析】（1）先把算式变成2×（++++），再根据分数的拆项公式=﹣解答即可；（2）把算式中的20.15×76变成2.015×760，201×1.12变成2.015×112，再根据乘法的分配律简算．【解答】解：（1）++++=2×（++++）=2×（﹣+﹣+…+﹣）=2×（﹣）=2×=（2）2.015×128+20.15×76+201×1.12=2.015×128+2.015×760+2.015×112=2.015×（128+760+112）=2.015×1000=2015【点评】本题考查了学生对分数、小数四则混合运题目进行简算的能力，完成本题要注意分析式中的数据，灵活运用合适的运算定律简算．41．计算：（1）﹣+++﹣+（2）20.14×47+201.4×3.3+10.07×40（3）12﹣22+32﹣42+52﹣62+72﹣82+92（4）解方程组：．【分析】（1）根据拆项公式=+、=﹣拆项后通过加减相互抵消即可简算；（2）把算式变形为，再根据乘法的分配律简算；（3）从后到前，每两个数根据平方差公式解答即可；（4）先化简方程组，然后再根据代入消元法解答即可．【解答】解：（1）﹣+++﹣+=﹣+++﹣+=﹣﹣+﹣+﹣++﹣﹣+=0；（2）20.14×47+201.4×3.3+10.07×40=20.14×47+20.14×33+20.14×20=20.14×（47+33+20）=20.14×100=2014；（3）12﹣22+32﹣42+52﹣62+72﹣82+92=（92﹣82）+（72﹣62）+（52﹣42）+（32﹣22）+12=17+13+9+5+1=45；（4）整理得：把①代入②，解得：x=2，把x=2代入①，解得：y=3，所以，方程组的解是：．【点评】本题考查的知识点比较多，关键是明确算理，选择合适的计算方法．42．在下列各式中的括号内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立．1=++++++．【分析】+=，+=，+=，可以得出结果．【解答】解：因为+=，+=，+=，++++++=1，所以7个数为：3，4，9，10，12，15，18故答案为：3，4，9，10，12，15，18．【点评】此题解答的关键在拆分时要注意分子与分母在约分时，要使分子为1．43．计算：﹣﹣++﹣﹣++﹣．【分析】=﹣，=+，=﹣，=+…=+，=﹣，由此化简算式，再根据加法结合律和减法的性质简算．【解答】解：﹣﹣++﹣﹣++﹣=﹣（﹣）﹣（+）+（﹣）+（+）﹣（﹣）﹣（+）+（﹣）+（+）﹣（﹣）=﹣+﹣﹣+﹣++﹣+﹣﹣+﹣++﹣+=【点评】运用拆分法解题，主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简算的目的．44．把7个同样大小的苹果平均分给12个小朋友．要把几个苹果平均切成四块，把几个苹果平均切成三块，每个小朋友可分得个苹果？【分析】把其中的3个苹果每个平均分成4块，共分成4×3=12（块），每个小朋友分得12÷12=1（块），也就是每个小朋友分得个苹果；再把另外4个苹果每个平均分成3块，共分成3×4=12（块），每个小朋友可分得12÷12=1（块），也就是每个小朋友分得个苹果，这样每个小朋友就分得了+=个苹果．【解答】解：把其中3个苹果每个平均切成4块，每个朋友分得1块，也就是个，把另外4个苹果每个平均切成3块，每个小月友分得1块，也就是个，+=（个）．答：把7个同样大小的苹果平均分给12个小朋友．要把三个苹果平均切成四块，把四个苹果平均切成三块，每个小朋友可分得个苹果．【点评】本题主要是考查分数的意义、分数的加法．把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数．45．（1）（0.34×2400×0.25+3×7+26.25÷）÷；（2）（××）÷（××）；（3）++++…+．【分析】（1）根据数字特点，通过数字变形，运用乘法分配律简算．（2）根据除法的运算性质简算．（3）通过观察，每个分数的分母中的两个因数相差都是3，因此提出，然后把每个分数拆成两个分数相减的形式，通过加减相互抵消，解决问题．【解答】解：（1）（0.34×2400×0.25+3×7+26.25÷）÷=（0.34×2400×0.25+3×7+26.25×3）÷=[0.34×600×4×0.25+3×（7.75+26.25）]÷=（0.34×600+3×34）÷=（34×6+3×34）×=（3+6）×34×=9×34×=1989（2）（××）÷（××）=（÷）×（÷）×（÷）=2×2×2=8（3）++++…+=×（++++…+）=×（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=【点评】注意观察题目中数字构成的特点和规律，善于灵活运用运算定律或运算技巧，巧妙解答．46．= ．【分析】通过仔细观察，分母之间具有倍数关系，因此原式变为×（16+8+4+2+1），计算即可．【解答】解：++++=×（16+8+4+2+1）=×31=．故答案为：．【点评】仔细观察，找到解决问题的最佳方案，计算即可．47．计算：．【分析】因为：1+2+…+n=，所以可以利用它计算出各分母的和．从中找出规律．又1=，因此可把原式化为：+…．然后计算就比较简便了．【解答】解：原式=1+…，=2×[（1﹣）+（）+（）+…+（）]，=2×[1﹣]，=．【点评】此题如果用通分再相加的方法，显然很麻烦，需考虑简便的算法．本题考查了学生简算的能力．48．一个分数，分子减1后等于，分子减2后等于，则这个分数是．【分析】根据题干可得：这个分数的分母应该是6的倍数，假设分母是6，那么这个分数可以写成；只要求得这个分数的分子即可解决问题：则这个题就变成了=；或者是=；由此利用分数的基本性质即可解答．【解答】解：根据题意可得：这个分数的分母应该是6的倍数，假设分母是6，即：=；分母从3到6是扩大了2倍，要使分数大小不变，那么分子也要扩大2倍，由此得出2×2=（）﹣1，所以（）=5，答：这个分数是．故答案为：．【点评】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题．49．1994+﹣1+2﹣3+4﹣5+…+1992﹣1993．【分析】通过观察发现：从第2项与第3项、第4与第5项、…、第992与993项的和为﹣，于是可列式为：1994﹣[（）+（）+…+（）]．这样就非常简单了．【解答】解：原式=1994﹣[（）+（）+…+（）]，=1994﹣×（1994×），=1994﹣×1994，=1994×，=1163．【点评】此题考查了学生灵活运用简便算法的能力，能简算的就要坚持用简算的方法，以达到计算正确、迅速、合理、灵活的目的．50．将拆成两个不相等的单位分数（n，m为自然数，n＜m）．n的值可以是多少？【分析】此题实际上是把一个较大的分数单位拆成一个较小的分数单位的和．因此，可以先把分母分解成两个因数的积，然后根据分数的基本性质，给分数的分子和分母同时乘这两个因数的和，再把它拆成两个分数相加的和，并将每个加数进行约分．【解答】解：===+= +因为n＜m，所以n=2030答：n的值可以是2030．【点评】此题主要考查学生学习了“分数的基本性质、分数加减法的计算方法”等知识后，运用有关知识解决有一定思维难度的数学问题的能力．。
小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
2 小学奥数——分数的拆项 试题及解析
小学奥数——分数的拆项一.选择题（共12小题）1.计算：1111(6104088+++= )A.2788B.1855C.1344D.10332.计算：11111(3445569101011+++⋯++=⨯⨯⨯⨯⨯ ) A.433B.233C.833D.1113.将146写成两个分母的单位分数（分子为1的真分数）之和，写法有( ) A.1种 B.3种 C.4种 D.5种4.古埃及时代，人们最喜欢的是分子为l 的分数，如111,,234⋯，1n ，⋯等，我们不妨称这些分数为单位分数，其他的分数，只有它能写成若干个不同的单位分数之和时，人们才承认它是分数，例如，由于311424=+，所以他们承认34是分数.如果当时只知有四个单位分数：1111,,,2345，那么下列四个分数中，不被承认的分数是( )A.56B.712C.1920D.9105.1111120071111()()(1200722006(2008)200622007120081200622005(2007)20061n n n n ++⋯++⋯++-⨯++⋯++⋯+=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯ ) A.12007 B.12008C.12009D.14015E.120150286.在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子只能向前或向右翻动.开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图2所示的位置.此时，骰子朝上的点数不可能是下列选项中的( )A.3B.4C.5D.17.如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对(,)m n表示，如点A的位置为(3,3)，点B的位置为(6,2).点M从(0,0)开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到(1,0)，第2次向上移动2个单位到(1,2)，第3次向右移动3个单位到(4,2)， ，第n次移动n 个单位(n为奇数时向右，n为偶数时向上），那么点M第27次移动到的位置为()A.(182,169)B.(169,182)C.(196,182)D.(196,210)8.先找出规律，然后在括号里填上适当的数：23，4，20，6，17，8，14，10，()，()()A.12，13B.13，12C.11，12D.12，149.在下面的两个图形中发现其中四个数的关系，进而在第三个图形中的空白三角形中填入适当的数()，使该图中四个数也符合上述关系.A.9B.12C.10D.1110.动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多.一天，饲养员拿了十箱香蕉分给它们.每只猩猩比每只狒狒多分一根，每只猴子比每只猩猩多分一根.分完后，只剩下2根香蕉.如果每箱香蕉数量相同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩猩有16只.那么，动物.园里有( )只猴子.A.18B.19C.20D.1711.按照如图所示的规律，图6中小三角形共有()个.A.53B.51C.49D.4712.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 ⋯ 1 2 3 4 5 ⋯ 输出⋯1225310417526⋯那么，当输入数据是8时，输出的数据是( ) A.861B.863C.865D.867二.解答题（共38小题）13.计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （1）11114122440+++； （2）636528253757285⨯-÷+⨯.14.古埃及人看待分数的方式和我们现代数学的方式不大相同，对于他们来说，34只是一个不完整的分数.他们相信除23外，所有的分数都是由一系列单位分数相加而成的，其中所有分子为1的分数，如12，13，14，⋯等都称为单位分数. （1）用两个不同的分母均不超过13的单位分数表示13，即将13写成如下的形式：1113a b=+.其中4a …，13b …，并判断答案是否唯一？如果唯一，请给出证明；不唯一，请再写出一个. （2）利用（1）中的结果，解答下一个问题：在下列等式中，三个分母均为四位数：1111988+=W W W W W W W W. 请在八个方框内各填入一个数字，使等式成立.求这两个未知的四位数是什么？ 15.计算：（1）1111136101521++++.（2）12.01512820.1576201 1.122⨯+⨯+⨯.16.在下列各式中的括号内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立.1111111 1()()()()()()() =++++++.17.计算：（1）151111131 26122030427 -+++-+（2）20.1447201.4 3.310.0740⨯+⨯+⨯（3）222222222123456789-+-+-+-+（4）解方程组：142213136x yx y⎧+=⎪⎪⎨--⎪=-⎪⎩.18.1111115230460812162432++++=.19.（1）312(0.3424000.253726.25)4313⨯⨯+⨯+÷÷；（2）414225(1)()79111179⨯⨯÷⨯⨯；（3）111111447710101397100++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯.20.111111111994123451992199323232323+-+-+-+⋯+-.21.将12005拆成两个不相等的单位分数11(nn m+，m为自然数，)n m<.n的值可以是多少？22.计算：12579101112357820212435+++++++=.23.有一串数，第一个数是6，第二个数是3，从第二个数起，每个数都比它前面的那个数与后面的那个数的和小5，那么这串数中从第一个数到第200个数为止的这200个数之和是多少？24.如图是一张把自然数按一定顺序排列的数表.用一个五个空格的十字框可以框出五个不同的数字，现框出的框内五个数字的四角上数字的和是48，如果框出的五个数字的四角的和是624时，四个角上的数分别是多少？25.平面上有100条直线，其中没有两条直线相互平行，也没有三条直线或三条以上直线相交于一点，平面上这100条直线共有交点多少个？26.甲、乙、丙、丁四个停车场分别停着10、7、5、4辆轿车.每次都从停放轿车最多的停车场往另外3个停车场各开去一辆轿车.这样进行了2012次后，甲停车场停放轿车多少辆？27.如图是一个立方体魔方，我们可以从图中看到它的右侧、上侧和前侧.如果顺时针转动魔方右侧第一层90度，我们记作进行了一次R操作；如果逆时针转动魔方右侧第一层90度，则记作R'.对于上侧和前侧分别进行相同的旋转操作，分别记作U、U'、F、F'.现在对魔方进行4次转动：①F，②R，③U'，④F，请你在图中依次画出每完成一次转动后，阴影面所在的位置.28.一个22⨯的方格被涂上白色和黑色（黑色用阴影表示），不同的涂色方案表示不同的数字.图中的四组分别表示三位数791，475，364，614，那么B表示的三位数是多少？29.观察图中的数表规律，这个表中所有数的和是.30.设N等于五个连续奇数的乘积，N的末位数字是多少？31.已知数列112-，1123-，1134-，1145-，⋯问这个数列的第2008项是多少？32.填在图中的3个正方形内的数有相同的规律，请您找出它们的规律，然后确定出A、B、C，那么A B C++=.33.如图，将黑白两种小珠自上而下一层层地排，每层又是从左到右逐颗地排.当白珠刚好比黑珠多2003颗时，那么白珠恰好排列到第 层的第 颗.34.计算：1111121231231999+++⋯+++++++⋯+. 35.11111111612203042567290+++++++. 36.有9个分数的和为1，它们的分子都是1.其中的5个是13，17，19，111，133另外4个数的分母个位数字都是5.请写出这4个分数. 37.先阅读在计算. 211133=-⨯ 2113535=-⨯ 2115757=-⨯ ⋯试计算：111113355720132015+++⋯+⨯⨯⨯⨯的值. 38.11111246104088154+++=39.四个连续自然数的倒数之和等于1920，求这四个自然数的两两乘积之和. 40.如图，一个边长为1的正方形，根据图形计算2222392781++++⋯.41.将正整数按顺序无间隔地排成一排1234567891011121314⋯在199和200之间第一次出现“1992”四个数字相接.那么，第二次出现“1992”这个数字相接时是在 和 之间.42.如图，一个正方体的木块，六个面上分别写着数，相对面上两个数的和等于16，按照如图的位置摆好（上面是3，正面是5，右面是7)，先顺时针方向从左向右翻转2011次，再由前向后翻转2012次，这时，这个木块正面的数是多少？43.国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用.核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得.如：某书的书号是ISBN7107175432---，它的核检码的计算顺序是：①7101908771675544332207⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；②20711189÷=⋯；.③1192-=.这里的2就是该书号的核检码.依照上面的顺序，求书号730307618ISBN----□的核检码.44.1130.0769********÷=⋯小数点后面第2006个数字是；小数点后面2006个数位上的数，它们的和是.45.在一列数：13，35，57，79，911，1113，⋯中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于11000？46.现有如下一系列图形：当1n=时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计数出5条边.当2n=时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计数出16条边.当3n=时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计数出33条边.⋯按如上规律请你回答：当100n=时，长方形ABCD应分为多少个直角三角形？总计数出多少条边？47.找规律：（高等难度）根据下面字母的排列规律abacbadcbabacbadcbabacbadcbaba⋯，确定第100个字母应是=.48.有一串分数，11，12，22，12，13，23，33，23，13，14，24，34，44⋯请问710是第几个分数？第400个分数是几分之几？49.根据图中的几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形：50.对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1.如此进行直到为1时操作停止.问：经过9次操作变为1的数有多少个？参考答案与试题解析一.选择题（共12小题）1.计算：1111(6104088+++= )A.2788B.1855C.1344D.1033【解析】11116104088+++111162558811=+++⨯⨯⨯ 11111111()632558811=+⨯-+-+- 1111()63211=+⨯- 1116633=+- 11333=- 1033= 故选：D . 2.计算：11111(3445569101011+++⋯++=⨯⨯⨯⨯⨯ ) A.433B.233C.833D.111【解析】1111111111111344556910101134459101011+++⋯++=-+-+⋯+-+-⨯⨯⨯⨯⨯ 11831133=-=， 故选：C . 3.将146写成两个分母的单位分数（分子为1的真分数）之和，写法有( ) A.1种B.3种C.4种D.5种【解析】依题意可知： 46146223=⨯=⨯.111464646223n n n n n-==+⨯ ①当2n =时满足条件.111929246+=.②当3n =时满足条件.1111386946+=. ③当24n =时满足条件.11111044846+=. 故选：B .4.古埃及时代，人们最喜欢的是分子为l 的分数，如111,,234⋯，1n ，⋯等，我们不妨称这些分数为单位分数，其他的分数，只有它能写成若干个不同的单位分数之和时，人们才承认它是分数，例如，由于311424=+，所以他们承认34是分数.如果当时只知有四个单位分数：1111,,,2345，那么下列四个分数中，不被承认的分数是( )A.56B.712C.1920D.910【解析】511623=+ 7111234=+ 1911120245=++ 因此不被承认的分数是910. 故选：D . 5.1111120071111()()(1200722006(2008)200622007120081200622005(2007)20061n n n n ++⋯++⋯++-⨯++⋯++⋯+=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯ ) A.12007 B.12008C.12009D.14015E.12015028【解析】原式1200820082008200812007200720072007()()200812007220062006220071200812006220052005220061=⨯++⋯++-⨯++⋯++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111111111111111()()200812017220062006220071200812006220152015220161=⨯++++⋯+++-⨯++++⋯++++ 1220082017=⨯1=20150286.在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子只能向前或向右翻动.开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图2所示的位置.此时，骰子朝上的点数不可能是下列选项中的()A.3B.4C.5D.1【解析】如图所示：，第一种路径：滚动到位置1处，1在下，则6在上；滚动到位置2处，2在下，5在上；滚动到3处，3在下，则4在上；第二种路径：滚动到位置1处，1在下，则6在上；滚动到4处，3在下，4在上；滚动到3处，2在下，5在上；第三种路径：滚动到5处，3在下，4在上；滚动到4处，1在下，6在上，滚动到3处，4在下，3在上；所以最后朝上的可能性有3、4，5，6，而不会出现1，2.故选：D.7.如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对(,)m n表示，如点A的位置为(3,3)，点B的位置为(6,2).点M从(0,0)开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到(1,0)，第2次向上移动2个单位到(1,2)，第3次向右移动3个单位到(4,2)，⋯，第n次移动n 个单位(n为奇数时向右，n为偶数时向上），那么点M第27次移动到的位置为()A.(182,169)B.(169,182)C.(196,182)D.(196,210)【解析】据分析可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变；当向上移动时，列的数字不变，行的数字变化，所以点M第27次移动到的位置时，列的数字应该是127---中所有奇数的和，行的数字应该是127---中所有偶数的和，即13579111315171921232527196+++++++++++++=，++++++++++++=，2468101214161820222426182因此M第27次移动到的位置为(196,182).故选：C.8.先找出规律，然后在括号里填上适当的数：23，4，20，6，17，8，14，10，()，()()A.12，13B.13，12C.11，12D.12，14【解析】根据上面的分析，第9个数应该是14311+=，-=，第10个数应该是10212故选：C.9.在下面的两个图形中发现其中四个数的关系，进而在第三个图形中的空白三角形中填入适当的数()，使该图中四个数也符合上述关系.A.9B.12C.10D.11【解析】54210⨯÷=所以，第三个图形中的空白三角形中填入的数是10.故选：C.10.动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多.一天，饲养员拿了十箱香蕉分给它们.每只猩猩比每只狒狒多分一根，每只猴子比每只猩猩多分一根.分完后，只剩下2根香蕉.如果每箱香蕉数量相同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩猩有16只.那么，动物.园里有( )只猴子.A.18B.19C.20D.17【解析】动物园里有x只猴子，则狒狒6y+x-只，猩猩有16只，狒狒分y根香蕉，猩猩1根，猴子2y+根，++-++>，(2)(6)16(1)400x y y x y++-++，261616xy x xy y y=+++，2(1)1016x y y假设19x=，+++=+>，y y y383810164854400y>，48346y>，7.2设：8y=，y+=. 符合题意.4854438故选：B.11.按照如图所示的规律，图6中小三角形共有()个.A.53B.51C.49D.47【解析】根据分析可得，2++(16)4=+494=（个)53答：图6中小三角形共有53个.故选：A.12.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入⋯12345⋯那么，当输入数据是8时，输出的数据是( )A.861B.863C.865D.867【解析】28165+=，所以输出的数是865. 故选：C . 二.解答题（共38小题）13.计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：（1）11114122440+++； （2）636528253757285⨯-÷+⨯. 【解析】（1）11114122440+++ 2222244668810=+++⨯⨯⨯⨯ 11111111244668810=-+-+-+- 11210=- 25=；（2）636528253757285⨯-÷+⨯ 628628282375755=⨯-⨯+⨯ 2866(23)577=⨯-+ 2855=⨯ 28=.14.古埃及人看待分数的方式和我们现代数学的方式不大相同，对于他们来说，34只是一个不完整的分数.他们相信除23外，所有的分数都是由一系列单位分数相加而成的，其中所有分子为1的分数，如12，13，14，⋯等都称为单位分数.（1）用两个不同的分母均不超过13的单位分数表示13，即将13写成如下的形式：1113a b=+. 其中4a …，13b …，并判断答案是否唯一？如果唯一，请给出证明；不唯一，请再写出一个.（2）利用（1）中的结果，解答下一个问题：在下列等式中，三个分母均为四位数：1111988+=W W W W W W W W. 请在八个方框内各填入一个数字，使等式成立.求这两个未知的四位数是什么？【解析】（1）由题意，1113412=+，答案唯一； 1113a b =+，则313a a b-=，4a Q …，13b …，4a ∴=，12b =； （2）19884497=⨯，1113412=+，在等式两边同时乘1497，就得到：111596419881491+=，所以这两个未知的四位数是5964，1491.15.计算：（1）1111136101521++++. （2）12.01512820.1576201 1.122⨯+⨯+⨯. 【解析】（1）1111136101521++++ 111112()612203042=⨯++++ 1111112()233467=⨯-+-+⋯+- 112()27=⨯- 5214=⨯ 57=（2）12.01512820.1576201 1.122⨯+⨯+⨯ 2.015128 2.015760 2.015112=⨯+⨯+⨯2.015(128760112)=⨯++2.0151000=⨯2015=16.在下列各式中的括号内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立.11111111()()()()()()()=++++++. 【解析】因为1114123+=，1119186+=，11110156+=， 1111111141291810153++++++=， 所以7个数为：3，4，9，10，12，15，18故答案为：3，4，9，10，12，15，18.17.计算：（1）15111113126122030427-+++-+ （2）20.1447201.4 3.310.0740⨯+⨯+⨯（3）222222222123456789-+-+-+-+（4）解方程组：142213136x y x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=-⎪⎩. 【解析】（1）15111113126122030427-+++-+ 1231156671223122056677+++=-+++-+⨯⨯⨯ 111111111111223344556677=--+-+-++--+ 0=；（2）20.1447201.4 3.310.0740⨯+⨯+⨯20.144720.143320.1420=⨯+⨯+⨯20.14(473320)=⨯++20.14100=⨯2014=；（3）222222222123456789-+-+-+-+222222222(98)(76)(54)(32)1=-+-+-+-+1713951=++++45=；（4）142213136x yx y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=-⎪⎩整理得：142423y xx y ⎧=-⎪⎨⎪-=+⎩①②把①代入②，解得：2x=，把2x=代入①，解得：3y=，所以，方程组的解是：23 xy=⎧⎨=⎩.18.11111 15230460812162432++++=312432.【解析】11111 15230460812162432 ++++1(168421) 2432=⨯++++1312432=⨯312432=.故答案为：31 2432.19.（1）312 (0.3424000.253726.25)4313⨯⨯+⨯+÷÷；（2）414225 (1)() 79111179⨯⨯÷⨯⨯；（3）11111 1447710101397100 ++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯.【解析】（1）312 (0.3424000.253726.25)4313⨯⨯+⨯+÷÷32(0.3424000.253726.253)413 =⨯⨯+⨯+⨯÷2 [0.3460040.253(7.7526.25)]13 =⨯⨯⨯+⨯+÷2(0.34600334)13=⨯+⨯÷13(346334)2=⨯+⨯⨯13(36)342=+⨯⨯139342=⨯⨯1989=（2）414225(1)()79111179⨯⨯÷⨯⨯ 4210542()()()711991111=÷⨯÷⨯÷ 222=⨯⨯8=（3）111111447710101397100++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯ 133133()31447710101397100=⨯++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111111(1)3447710101397100=⨯-+-+-+-+⋯+- 11(1)3100=⨯- 1993100=⨯ 33100= 20.111111111994123451992199323232323+-+-+-+⋯+-. 【解析】原式1111111994[(1)(32)(19931992)]323232=--+-+⋯+-， 511994(1994)62=-⨯⨯， 51994199412=-⨯， 7199412=⨯， 111636=. 21.将12005拆成两个不相等的单位分数11(n n m+，m 为自然数，)n m <.n 的值可以是多少？ 【解析】111(4015)401511200540154015(4015)401540640154062030162806⨯+===+=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 因为n m <，所以2030n =答：n 的值可以是2030.22.计算：12579101112357820212435+++++++= 9320 . 【解析】12579101112357820212435+++++++ 125711111111()()()()357845373857=+++++++++++ 111151171211()()()()333477788555=+++++++++++ 1411145=++++ 143()45=++ 13120=+ 1420=. 故答案为：1420. 23.有一串数，第一个数是6，第二个数是3，从第二个数起，每个数都比它前面的那个数与后面的那个数的和小5，那么这串数中从第一个数到第200个数为止的这200个数之和是多少？【解析】设这个串数为6，3，a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，因为365a =+-，得2a =，235b =+-，得4b =，425c =+-，得7c =，745d =+-，得8d =，875e =+-，得6e =，685f =+-，得3f =，于是求得这串数为，6，3，2，4，7，8，6，3，⋯，200633÷=余2，是以六个数为一个周期的一串数.因此，33(632478)63999⨯+++++++=. 答：从第一个数到第200个数为止的这200个数之和是999.24.如图是一张把自然数按一定顺序排列的数表.用一个五个空格的十字框可以框出五个不同的数字，现框出的框内五个数字的四角上数字的和是48，如果框出的五个数字的四角的和是624时，四个角上的数分别是多少？【解析】根据题干分析可得，中心处的数字是：6244156÷=，左面数字是：1561155-=，右面数字是：1561157+=，上面数字是：1567149-=，下面数字是：1567163+=，答：四个角的数分别是149，155，157，163.25.平面上有100条直线，其中没有两条直线相互平行，也没有三条直线或三条以上直线相交于一点，平面上这100条直线共有交点多少个？【解析】从1条直线开始，找出它们的交点个数的规律特点如下：从上面可以看出：当有n条直线时，交点数为：(1) 123(1)2n nn-+++⋯+-=，所以当有100条直线时，交点数为100(1001)49502⨯-=，答：平面上这100条直线共有交点4950个.26.甲、乙、丙、丁四个停车场分别停着10、7、5、4辆轿车.每次都从停放轿车最多的停车场往另外3个停车场各开去一辆轿车.这样进行了2012次后，甲停车场停放轿车多少辆？【解析】首先是10，7，5，4，经过第一次变化后为7，8，6，5.第二次后是8，5，7，6.第三次是5，6，8，7.第四次后是6，7，5，8，第五次后又是7，8，6，5，又变回了第一次变化后的数量，也就是说从第二次开始，四次是一个循环，由于是从第二次开始，就用201212011-=，也就是从7，8，6，5开始经过2011次变换之后是多少，201145023÷=⋯，也就是经过502次循环后是7，8，6，5，最后再变3次是6，7，5，8，那么甲停车场有6辆车.答：这样进行了2012次后，甲停车场停放轿车6辆.27.如图是一个立方体魔方，我们可以从图中看到它的右侧、上侧和前侧.如果顺时针转动魔方右侧第一层90度，我们记作进行了一次R操作；如果逆时针转动魔方右侧第一层90度，则记作R'.对于上侧和前侧分别进行相同的旋转操作，分别记作U、U'、F、F'.现在对魔方进行4次转动：①F，②R，③U'，④F，请你在图中依次画出每完成一次转动后，阴影面所在的位置.【解析】：①F，②R，③U'，④F，请你在图中画出每完成一次转动后，阴影面所在的位置如下图：28.一个22⨯的方格被涂上白色和黑色（黑色用阴影表示），不同的涂色方案表示不同的数字.图中的四组分别表示三位数791，475，364，614，那么B表示的三位数是多少？【解析】由题意，B的第三位和D的第三位相同，所以B和D的选择应该是364和614中的一个，又因为B的第二位和C的第三位相同，四个数中，只有614的第二位和791的第三位是相同的，所以B是614.29.观察图中的数表规律，这个表中所有数的和是3080.【解析】依题意可和：看成数列规律为等差数列：第一数列数字和11111⨯=.第二数列数字和(212)21177+÷⨯=.第三数列数字和(323)211143+÷⨯=.规律总结为第一行和最后一行的和再除以2乘以11. (123457891011223344556677889100)2113080 +++++++++++++++++++÷⨯=故答案为：3080.30.设N等于五个连续奇数的乘积，N的末位数字是多少？【解析】1、3、5、7、9、11、13、15、17、19⋯连续组合总有5，如：1、3、5、7、9、或3、5、7、9、11、或7、9、11、13、15⋯任何奇数和5相乘尾数为5，所以N的末位数字是5.答：N的末位数字是5.31.已知数列112-，1123-，1134-，1145-，⋯问这个数列的第2008项是多少？【解析】第2008项是1120082009na=-；答：第2008项是11 20082009 =-.32.填在图中的3个正方形内的数有相同的规律，请您找出它们的规律，然后确定出A、B、C，那么A B C++=119.【解析】617A=+=628B=+=(67)8104C=+⨯=78104119A B C++=++=故填11933.如图，将黑白两种小珠自上而下一层层地排，每层又是从左到右逐颗地排.当白珠刚好比黑珠多2003颗时，那么白珠恰好排列到第2004层的第颗.【解析】（1）每层比上一层多2个，也就是说白珠第n 层就比黑球多n 个，当白珠是第2002层时，就多2002个，当白珠是第2004层时，就多2004个，现在需要的是多2003个，所以就是第2004层的倒数第二颗；（2）这组珠子的排列规律是：第一层是1个，表示为121⨯-；第二层是3个，表示为221⨯-；第三层是5个，表示为：321⨯-；第四层是7个，表示为421⨯-，⋯所以第2004层有：2004214007⨯-=（个)，400714006-=（个)，答：白球排列在第2004层的第4006个.故答案为：2004；4006.34.计算：1111121231231999+++⋯+++++++⋯+. 【解析】原式2221233419992000=+++⋯⨯⨯⨯， 11111112[(1)()()()]2233419992000=⨯-+-+-+⋯+-， 12[1]2000=⨯-， 99911000=. 35.11111111612203042567290+++++++. 【解析】11111111612203042567290+++++++ 11111111111111233445566789910=-+-+-+-+-+-+- 11210=- 5110-= 410=25=. 36.有9个分数的和为1，它们的分子都是1.其中的5个是13，17，19，111，133另外4个数的分母个位数字都是5.请写出这4个分数. 【解析】1111111111()137911335a b c d++++++++=， 1111101010109772316931111693337113371177931a b c d ++++++====+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 11155⨯=，1113515⨯=，1119545⨯=，111775385⨯=， 答：这四个分数是15、115、145、1385.37.先阅读在计算.211133=-⨯2113535=-⨯2115757=-⨯⋯ 试计算：111113355720132015+++⋯+⨯⨯⨯⨯的值. 【解析】111113355720132015+++⋯+⨯⨯⨯⨯1111111(1)23355710132015=-+-+-+⋯+-÷1(1)22015=-÷201422015=÷10072015= 38.11111246104088154+++= 【解析】11111246104088154+++1111(1246)()104088154=+++++++11111111117()325588111114=+⨯-+-+-+-131737=+⨯1177=+ 1177=. 39.四个连续自然数的倒数之和等于1920，求这四个自然数的两两乘积之和. 【解析】设这四个连续自然数分别为a ，1a +，2a +，3a +，则11111912320a a a a +++=+++， 所以1911111111420123a a a a a a a a a=+++<+++=+++， 则，4419a <. 易知1a =，2，4均不合题意，故3a =，这四个自然数为3，4，5，6，其两两乘积之和为：343536454656119⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.答：这四个自然数的两两乘积之和是119.40.如图，一个边长为1的正方形，根据图形计算2222392781++++⋯.【解析】有图可知：111⨯=22221392781++++⋯= 证明：2222392781++++⋯ 11111111111339927278133n n +=-+-+-+-+⋯+- 1113n +=-， 当n 的取值无限大时，1103n +=，所有，11113n +-=， 即，22221392781++++⋯=. 41.将正整数按顺序无间隔地排成一排1234567891011121314⋯在199和200之间第一次出现“1992”四个数字相接.那么，第二次出现“1992”这个数字相接时是在 919 和 之间.【解析】把1992分开看，19、9219前面加9为919，相应下一个数就为920，所以排列为919920921⋯⋯故答案为：919，920.42.如图，一个正方体的木块，六个面上分别写着数，相对面上两个数的和等于16，按照如图的位置摆好（上面是3，正面是5，右面是7)，先顺时针方向从左向右翻转2011次，再由前向后翻转2012次，这时，这个木块正面的数是多少？【解析】从左向右翻转，只有上下、左右四个面上的数字变化，前面和后面上的数字都不变化，从左向右翻转2011次后前面上的数字仍是5；20124503÷=；2012是4的倍数，前向后翻转2012次，各个面上的数字都不变化，这个木块正面的数还是5.答：这个木块正面的数是5.43.国际统一书号ISBN 由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用.核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得.如：某书的书号是ISBN 7107175432---，它的核检码的计算顺序是：①7101908771675544332207⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；②20711189÷=⋯；.③1192-=.这里的2就是该书号的核检码.依照上面的顺序，求书号730307618ISBN ----□的核检码.【解析】730307618ISBN ---；（1）7103908370675641382196⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）19611179÷=⋯；（3）1192-=，2就是该书号的核检码；答：该书号的校验码是2.44.1130.0769********÷=⋯小数点后面第2006个数字是 7 ；小数点后面2006个数位上的数，它们的和是 .【解析】200663342÷=⋯，一个循环0、7、6、9、2、3六个数字的第二个数字是7；(076923)33407+++++⨯++，273347=⨯+，90187=+，9025=；故答案为：7，9025.45.在一列数：13，35，57，79，911，1113，⋯中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于11000？ 【解析】这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，2111211000n n --<+， 999.5n >，从1000n =开始， 即从19992001开始，满足条件. 答：从19992001开始，1与每个数之差都小于11000. 46.现有如下一系列图形：当1n =时，长方形ABCD 分为2个直角三角形，总计数出5条边.当2n =时，长方形ABCD 分为8个直角三角形，总计数出16条边.当3n =时，长方形ABCD 分为18个直角三角形，总计数出33条边.⋯按如上规律请你回答：当100n =时，长方形ABCD 应分为多少个直角三角形？总计数出多少条边？【解析】当长方形的长和宽分成n 份时，如图所示连接各点，长方形ABCD 分为22n 个直角三角形，总计数出232n n +条边；当100n =时，222210020000n =⨯=；22323100210030200n n +=⨯+⨯=；答：当100n =时，长方形ABCD 应分为20000个直角三角形，总计数出30200条边.47.找规律：（高等难度）根据下面字母的排列规律abacbadcbabacbadcbabacbadcbaba ⋯，确定第100个字母应是=a .【解析】这组字母的排列规律为9abacbadcb 个一循环，1009111÷=⋯余数是1，因此第100个字母应与第1个字母相同，为a .故答案为：a .48.有一串分数，11，12，22，12，13，23，33，23，13，14，24，34，44⋯请问710是第几个分数？第400个分数是几分之几？【解析】（1）分母是7的分数一共有；27113⨯-=（个)；从分母是1的分数到分母是10的分数一共：135791113151719+++++++++(119)102=+⨯÷2002=÷100=（个)；那么从第100个分数开始依次是：110，210，310，410，510，610，710；所以第一个710是第107个分数. 答：第一次出现的710是第107个分数.（2）分母是3的分数有4个，分子是1，2，3，1；分母是4的分数有5个；分子是1，2，3，4，1；⋯分母是n的分数有1n+个(1)n>.共有1345(1)(1)(2)22n n n++++⋯++=+⨯+÷-，因为(261)(262)22376+⨯+÷-=，(271)(272)2404+⨯+-=，第404个分数是127，向前推为第403个分数是2727，第402个分数是2627，第401个分数是2527，第400个分数是24 27.所以这串数的第400个数是24 27.49.根据图中的几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形：【解析】故答案为：.50.对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1.如此进行直到为1时操作停止.问：经过9次操作变为1的数有多少个？【解析】123456789256128643216842112712663共有34个.第31页（共31页）。
小学奥数教程：分数乘除法速算巧算_全国通用（含答案）
小学奥数教程：分数乘除法速算巧算_全国通用（含答案）分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。
分数基本运算的常考题型有（1）分数的四则混合运算（2）分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择（3）复杂分数的化简（4）繁分数的计算分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。
此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。
【例1】58的分母扩大到32，要使分数大小不变，分子应该为__________。
【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】根据分数的基本性质：分母扩大倍数，要使分数大小不变，分子应该为扩大相同的倍数。
分母扩大：328=4（倍），分子为：45=20。
【答案】20【巩固】小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时，把除数56看成了58来计算，算出的结果是120，这道算式的正确答案是__________ 。
【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】根据题意可知，被除数为5120758，所以正确的答案为575906。
【答案】90例题精讲知识点拨教学目标分数乘除法速算巧算。
小学奥数教程：分数裂项计算 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
(完整word版)分数乘除法奥数题
分数乘除法奥数题例一：小华看一本书，每天看15页，4天后还剩全书的3/5没看，这本故事书是多少页？例二：小华看一本故事书，第一天看了全书的1/8还多21页，第二天看了全书的1/6少6页，还剩下172页，这本故事书一共有多少页？例三：惠华百货商场运到一批春秋西服，按原（出场）价加上运费、营业费和利润出售。
运费是原价的1/18，营业费和利润一共是原价的1/12，已知售价是123元，求出厂价是多少元？例四：菜园里西红柿获得丰收，收下全部的3/8时，装满3筐还多24千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？例五：建筑工地需要一批水泥，从仓库第一次运走全部的2/5，第二次运走余下的1/3，第三次运走（前两次运后）又余下的3/4，这时还剩下15吨水泥没运走，这批水泥共是多少吨？1.水果店运来一批句子和苹果，其中橘子重量占总重量的7/20,橘子比苹果少1440千克，运来橘子多少千克？2有两袋米，甲袋比乙袋少18千克，如果再从甲袋倒入乙袋6千克，这时甲袋的米相当于乙袋的5/8，两袋米原来各有多少千克？3.一页书，已经看了130页，剩下的准备8天看完，如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好是全书的5/22。
这本书共有多少页？4.妈妈买了一些苹果，第一天吃去1/3又1/3个，第二天吃去剩下的1/4又1/4个，第三天吃去在剩下的1/3个，这时剩下3个苹果。
问妈妈买了多少苹果？每天各吃了几个苹果？5.一瓶酒精，当用去酒精的一半后，连瓶共重700克；如只用去酒精的1/3后，连瓶共重800克，求瓶子的重量。
6.电视机厂五月份生产一批电视机，上旬生产的太熟占总数的3/11，下旬比中旬多生产中旬产量的1/5，正好是40台，这个厂五月份生产电视机多少台？例1：某车间男工人数比女工人数多2/5，女工人数比男工人数少几分之几？例2：某修路队修一条路，第一天修了全长的1/4，第二天修的路长是第一天的4/3，还剩500米没修，这条路全长多少米？例3：有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的1/3与二班分到的1/2相等，求两个班各分到多少皮球？例4：甲、乙两班共84人，甲班人数的5/8与乙班认数的3/4共有58人，问两班各多少人？例5：服装厂一车间认数占全厂的1/4，二车间人数比一车间少1/5，三车间人数比二车间多310，三车间是156人，这个服装厂全厂共有多少人？1.甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵树的1/4等于乙班种的棵树的1/5，又知乙班比甲班多种24棵，甲、乙两班各种多少棵？2.修路队修一条1800米的路，前5天完成了全长的1/4，照这样计算，把这条水渠修完还要多少天？3.甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，乙车离A地还有70千米，求A、B两地相距多少千米？4.甲、乙两台抽水机共同工作10小时，可以把整池水抽完，如果甲台抽水机工作4小时，乙台抽水机工作6小时，能抽完整池水的7/15,问甲、乙两台抽水机单独抽各需几小时？5.二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一般少先队员占本班认数的3/4，二班少先队员占本班认数的5/6，求两个班各有多少人？。
奥数专题分数加减法中的巧算(含答案)-
奥数专题——分数加减法中的巧算（2）同学们！在上一讲中，我们一起研究了一些分数加减法中的巧算方法，在这一讲中，我们继续来研究相关知识。
（一）阅读思考：1. 什么是拆分？拆分就是把一个分数写成几个分数的和或差的形式。
例如：16115110=+ 161213=- 学会了拆分，有时就可以不通分，也能较简便地解决上面的问题。
2. 观察思考161231213=⨯=- 1121341314=⨯=- 1201451415=⨯=- 1301561516=⨯=- 1421671617=⨯=- 21553351315=-⨯=- 42173371317=-⨯=- 当一个分数，分母是两个数的乘积，分子是这两个数的差时，就可以拆成这两个数分别作分母，1作分子的分数的差。
也就是d n n d n n dn d ⨯+=-+≠≠()1100（，） 例1. 计算：113135157119931995119951997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… 因为前面讲过，d n n d n n d ⨯+=-+()11 当n d ==12，时，有2131113⨯=- 当n d ==32，时，有2351315⨯=- 当n d ==52，时，有2571517⨯=- ……当n d ==19932，时，有2199319951199311995⨯=- 当n d ==19952，时，有2199519971199511997⨯=- 所以：113135157119931995119951997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… =-+-+11131315…11993119951199511997-+- =-1111997 =199619976. 求下面所有分数的和：11122212132333231314243444342414；，，；，，，，；，，，，，，；…； 1199121991198919911990199119911991199019911989199111991，，…，，，，，，…，。
六年级奥数-巧算分数乘法(2021年整理)
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巧算分数乘法分数乘法的计算法则：分子乘分子,分母乘分母，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘；若分数乘法中有带分数的,通常先把带分数化成假分数，然后再乘。
例1、294544⨯例2、计算:（1)1213321312⨯⨯ (2)2411201891⨯⨯⨯）（例3、计算：）－（）＋（）－（）＋（）－（）＋（99119911311311211211⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯例4、在31131613188325325⨯⨯⨯⨯、、、这4个乘法算式中, 的积大于第一个因数, 的积小于第一个因数, 的积等于第一个因数.例5、计算:）＋＋（）＋＋＋＋）－（＋＋＋（）＋＋＋＋（19991312120001312112000131211999131211⋯⨯⋯⋯⨯⋯例6、4个数9812117654、、、中最大数与最小数之积是 。
例7、计算：85748373⨯⨯＋练 习 题1、简算下列各题20433201⨯⨯ 4079481755⨯⨯130916579⨯⨯⨯ 72115035037588⨯⨯＋2、计算： 211531313⨯⨯ 531149313⨯⨯ 9910099⨯3、计算：）－（）－（）－（）＋（）＋（）＋（）＋（9115113111011611411211⨯⋯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯4、计算:）－（）－（）－（）－（）－（）－（）－（）－（1193110831973186317531643153314231⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯5、计算：83234632346321125.023*********⨯⨯⨯＋＋＋。
小升初小学数学分数问题应用题专题练习《分数的拆项》答案详解
分数问题—专题练习《分数的拆项》一．选择题1．（2018秋•淮南期末）111111( 24816128256++++⋯⋯++=)A．1 B．127128C．255256【分析】根据拆项公式11122n n n=-拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：111111 24816128256 ++++⋯⋯++11111111111 12244881664128128256 =-+-+-+-+⋯⋯+-+-11256=-255256=故选：C．2．（2013秋•闵行区校级月考）三个连续奇数倒数的和为71105，那么这三个数的和为()A．105 B．15 C．21【分析】要求这三个数的和是多少，首先应求出这三个数分别是多少，由三个数的倒数的和是71105，所以先把105分解质因数，然后变成三个连续奇数的乘积的形式，求出这三个连续奇数，再求和即可．【解答】解：105357=⨯⨯3、5、7是三个连续奇数，35715++=即，11171 357105 ++=答：这三个数的和为15．故选：B．3．（2012•乐清市）已知1115A B=+，A，B是非0不相同的自然数，A B+的最小值是()A．36 B．40 C．45 D．50【分析】根据题意，由分数的拆项公式1111(1)a a a a=+++，把15拆成两个分数的和，再根据题意进一步解答即可．【解答】解：根据题意，由分数的拆项公式可得：111115515(51)630=+=++⨯+；所以，当6A =，30B =时，A B +的值最小是：63036+=．故选：A ．4．（2011•湘桥区校级自主招生）有两个自然数，它们的倒数的和是12，这两个数是( ) A ．0和2 B ．1和2 C ．4和2 D ．3和6【分析】先把2拆成两个因数的积，然后根据分数的基本性质，给分数的分子和分母同时乘这两个因数的和，再把它拆成两个分数相加的和，并将每个加数进行约分．这时得到两个分数，这两个分数的分母就是要求的两个自然数． 【解答】解：1112121121212(12)12312363+===+=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯；所以这两个自然数是3和6．故选：D ．5．两个自然数的倒数和是58，这两个数是( ) A ．2和4 B ．2和6 C ．2和8 D ．2和10 【分析】先算一算各选项中两个自然数的倒数和是多少，找出两个自然数的倒数和是58的即可．【解答】解：A 、2和4的倒数和：113244+=，不符合题意； B 、2和6的倒数和：112263+=，不符合题意； C 、2和8的倒数和：115288+=，符合题意；D 、2和10的倒数和：1132105+=，不符合题意；故选：C ．二．填空题6．（2019秋•永州期末）计算：1111126122030----= 16． 【分析】根据拆项公式111(1)1n n n n =-++拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：1111126122030---- 111111111223344556=-+-+-+-+ 16= 故答案为：16． 7．（2018秋•静安区期末）我们把分子为1的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如111236=+，请将13分成两个分母不同的单位分数之和：13= 11412+ ． 【分析】先把13的分子和分母同时乘3，变成39，看能否分成两个不同的分数单位之和，如果不能，再同时乘4，化成分母是12的分数看能否分成两个不同的分数单位之和，如果不能再同时乘5⋯⋯． 【解答】解：1339= 39不能分成两个不同的分数单位之和；1413113121212124==+=+ 所以：将13分成两个分母不同的单位分数之和：1113412=+． 故答案为：11412+．8．（2019•深圳）计算：33557711112446681012⨯⨯⨯⨯+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ 5524【分析】根据拆项公式2(1)11(2)(2)n n n n n +=+++、1111()(2)22n n n n =-⨯++拆项后通过加减相互抵消即可简算． 【解答】解：33557711112446681012⨯⨯⨯⨯+++⋯+⨯⨯⨯⨯ 1111152446681012=⨯++++⋯+⨯⨯⨯⨯1111111115()22446681012=+⨯-+-+-+⋯+-1115()2212=+⨯-5524=+ 5524= 故答案为：5524．9．（2019•北京模拟）计算：1111111135791113156122030425672+++++++= 76418． 【分析】把带分数拆分为整数部分和真分数部分，然后根据加法的交换律与结合律变形，再根据拆项公式111(1)1n n n n =-++拆项后通过加减相互抵消即可简算． 【解答】解：1111111135791113156122030425672+++++++ 1111111(135********)()6122030425672=++++++++++++++11111111(115)82()23344589=+⨯÷+-+-+-+⋯+-1164()29=+-76418=+ 76418= 故答案为：76418．10．（2019春•黄冈期末）已知113244+=，11172488++=⋯⋯则1111124816256++++⋯+= 255256 ． 【分析】113112444+==- 11171124888++==- 所以可得规律：11111112481622n n ++++⋯+=-；由此规律解答即可． 【解答】解：1111124816256++++⋯+ 11256=-255256= 故答案为：255256．11．（2018秋•路南区期末）111111148163264128256++++++= 127256 ． 【分析】根据拆项公式11122n n n =-拆项后通过加减相互抵消即可简算． 【解答】解：111111148163264128256++++++111111112448816128256=-+-+-+⋯+-112256 =-127256=故答案为：127 256．12．（2018秋•永州期末）1111 23344520182019+++⋯+=⨯⨯⨯⨯20174038．【分析】根据拆项公式111(1)1n n n n=-++拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：1111 23344520182019 +++⋯+⨯⨯⨯⨯11111111 23344520182019 =-+-+-+⋯+-1122019=-20174038=故答案为：2017 4038．三．判断题13．（2014•临川区校级模拟）1112A B+=，11156A B C++=，则3C=√（判断对错）【分析】把1112A B+=代入11156A B C++=中，可得11526C+=，所以1511623C=-=，所以3C=．【解答】解：因为1112A B+=，11156A B C++=，所以115 26C+=，所以1511623C=-=，所以3C=．故答案为：√．14．（2012•成都模拟）19492002不能分成两个不同的分数单位的和．错误．（判断对错）【分析】要想判断19492002能不能分成两个不同的分数单位的和，应对此分数进行拆分．先把分母分成两个因数的积，然后根据分数的基本性质，给分数的分子和分母同时乘这两个因数的和，再把它拆成两个分数相加的和，并将每个分数进行约分．【解答】解：194919491949(10012)194910011949219491949 20021001210012(10012)10012100310012100320061004003⨯+⨯⨯===+=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯；故答案为：错误．四．计算题15．（2020•北京模拟）计算：111111112681220304256+++++++． 【分析】根据111(1)1n n n n =-++，把除了18之外的分数拆成两个分数的差，再加减相互抵销计算出得数即可． 【解答】解：111111112681220304256+++++++． 11111111111111122334455667788=-+-+-+-+-+-+-+ 11188=-+ 1=16．（2019•北京模拟）计算．111111135791115356399143195+++++ 【分析】根据分数的拆项、加法交换律、结合律分配律进行简算． 【解答】解：111111135791115356399143195+++++ 111111(1357911)()15356399143195=+++++++++++111111(1357911)()35577991111131315=+++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111136()235571315=+⨯-+-+⋯+-11136()2315=+⨯-23615=+ 23615=17．（2019•北京模拟）计算：11111261220380++++⋯+． 【分析】把分母先拆分为两个相邻自然数的乘积，然后根据分数的拆项公式111(1)1n n n n =-⨯++解答即可． 【解答】解：11111261220380++++⋯+ 11111122334451920=++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯111111111122334451920=-+-+-+-+⋯+-1120=- 1920=18．（2019•北京模拟）计算：11111141224406084+++++ 【分析】根据分数的拆项111(1)1n n n n =-++进行简算即可． 【解答】解：11111141224406084+++++1111111()22612203042=⨯+++++111111111111(1)222334455667=⨯-+-+-+-+-+-11(1)27=⨯-1627=⨯ 37=19．（2019•北京模拟）计算：111112123123412310+++⋯++++++++++⋯+． 【分析】把各个加数的分母算出来，再根据分数的基本性质，把各个加数的分子和分母同时乘2，再根据乘法分配律，各个加数提出一个2，则算式变成2乘一个算式的和，再把第二个算式拆项，将括号里的数进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可． 【解答】解：111112123123412310+++⋯++++++++++⋯+ 1111136101555=++++⋯+222226122030110=++++⋯+111112()6122030110=⨯++++⋯+111112()233445561011=⨯++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯11111111112()233445561011=⨯-+-+-+-+⋯+-112()211=⨯-1122211=⨯-⨯2111=- 911=20．（2019春•济南月考）观察下列各式：111111111,,12223233434=-=-=-⨯⨯⨯，⋯ 根据以上规律计算：（1）111112233420132014+++⋯⨯⨯⨯⨯ （2）111113355720132015+++⋯⨯⨯⨯⨯ 【分析】根据拆项公式111(1)1n n n n =-++或1111()(2)22n n n n =-⨯++，拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：（1）111112233420132014+++⋯⨯⨯⨯⨯ 111111112233420132014=-+-+-+⋯+-112014=- 20132014=（2）111113355720132015+++⋯⨯⨯⨯⨯ 11111111(1..)23355720132015=⨯-+-+-++-11(1)22015=⨯-1201422015=⨯10072015=五．解答题 21．（2020•北京模拟）请先阅读下列材料：因为121112122--==⨯；1132123236--==⨯， 所以：11122=-，111623=-，⋯⋯请你根据以上材料提供的信息，求1111111 261220304256++++++的值．【分析】根据题意可知，利用分数的拆项111(1)1n n n n=-++进行简算即可．【解答】解：因为11122=-，111623=-，⋯⋯所以则有：1111111261220304256++++++1111111111111 12233445566778 =-+-+-+-+-+-+-118=-78=．22．（2019•鄞州区）计算“111112481632++++“一般先通分再计算．如果借助图形思考，可以使计算简便．请在下面画一画示意图，再写出计算过程及结果．【分析】把正方形的面积看作单位“1”，平均分成2份，其中的一份就是12，再把剩下的12平均分成2份，其中的一份就是正方形面积的111224⨯=，以此类推（如下图），最终还剩下正方形面积的132；然后用1减去132即可．【解答】解：根据算式可以画图如下：所以，11111 2481632 ++++1132=-3132=23．（2019•山东模拟）在括号里填上合适的数．1112()()=+ 1111114()()()()()=+=++ 【分析】（1）把12的分子分母同时扩大2倍，然后把分子拆分为112+=即可；（2）同理，把14的分子分母同时扩大2倍，然后把分子拆分为112+=；同理分子分母同时扩大3倍，然后把分子拆分为1113++=即可； 【解答】解：111112444+==+ 111114888+==+1111111412121212++==++故答案为：4；4；8；8；12；12；12（答案不唯一）．24．（2019春•北京月考）把1表示成5个不同的单位分数的和的形式：111111()()()()()=++++． 【分析】先把1拆分为：11122=+，再把12拆分为1144+，以此类推，111488=+，11182412=+，据此解答即可． 【解答】解：1111112482412=++++，故答案为：2、4、8、24、12．25．（2018春•随州期末）观察算式1321162323-==-⨯ 14311123434-==-⨯ 198********-==-⨯ 我可以照样子写出：111240()()=- 【分析】根据拆项公式111(1)1n n n n =-++拆项即可． 【解答】解：116151124015161516-==-⨯ 故答案为：15，16．26．（2018•云岩区）两个异分母分数相加和是1316，你想怎样填？（不少于4个算式）()()13()()16+= 【分析】13112211310495867=+=+=+=+=+=+，先把1316分解成分子是上面每组中的两个数的和，在把能化简的化简即可求解．【解答】解：可以写出如下算式：131316416+=1111381616+=351316816+=191341616+=511316216+=371381616+=27．（2016秋•淮安区校级期末）应用已经掌握的规律，直接写出下面算式的得数．11111()24816256()++++⋯+=． 【分析】根据分数的拆项公式11122n n n =-把各项进行拆分，然后通过加减相互抵消简算即可． 【解答】解：1111124816256++++⋯+ 111111111122448816128256=-+-+-+-+⋯+-11256=-255256= 故答案为：255256．28．（2015•成都校级模拟）计算题（能用简便运算的请用简便方法计算）（1）154915[()]2691416+-⨯÷； （2）590.5[(0.15)]620++； （3）0.99.999.9999.99999.9++++；（4）1111113355779911++++⨯⨯⨯⨯⨯．【分析】（1）根据乘法分配律先算549()6914-⨯，然后算出中括号里的得数，再算括号外面的除法．（2）先算小括号里的加法，再算中括号里的加法，最后算外面的加法．（3）每一项都加上一个0.1，然后再减去0.5即可简算．（4）根据拆项公式1111()(2)22n n n n =⨯-++，拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：（1）154915[()]2691416+-⨯÷1594915[]261491416=+⨯-⨯÷115215[]228716=+-÷21152816=÷45=；（2）590.5[(0.15)]620+++ 530.5[]65=++143230=+2915=；（3）0.99.999.9999.99999.9++++(0.90.1)(9.90.1)(99.90.1)(999.90.1)(9999.90.1)0.5=+++++++++-1101001000100000.5=++++-111110.5=-11110.5=；（4）1111113355779911++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111111(1)23355779911=⨯-+-+-+-+-11(1) 211 =⨯-110 211=⨯511=29．（2014秋•浦东新区期末）计算111248++可以这样考虑：11122=-，111424=-，111848=-，1111111117(1)()()1 2482244888 ++=-+-+-=-=请你在理解的基础上计算下式的值：111111 1234510 24816321024+++++⋯+．【分析】把带分数的整数部分和整数部分相加，分数部分和分数部分相加，整数部分根据高斯求和公式计算；分数部分再根据拆项公式：11122n n n=-，把分数拆项，通过加减相互抵消简算即可．【解答】解：111111 1234510 24816321024+++++⋯+111111(1234510)()24816321024 =+++++⋯+++++++⋯+1111111 (110)102(1)224485121024=+⨯÷+-+-+-+⋯+-155(1)1024=+-1023551024=+1023551024=30．（2014•海安县模拟）11119 ()()()30++=．【分析】由题意，可把19拆分成3个数的和，且这3个数都是30的因数，以便约分成分子是1的最简分数，所以可把19拆成3610++，据此解答．【解答】解：因为193610=++，则：361019 30303030++=，即11119 105330++=；故答案为：10，5，3．。
小学奥数计算专题训练 分数拆分与裂项 练习试题有答案解析
小学奥数计算专题训练分数拆分与裂项练习试题一、填空题1、【答案】【解析】所以原式2、计算：【答案】【解析】原式3、计算：【答案】【解析】原式4、计算：【答案】【解析】原式5、计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式6、计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式7、计算：．【答案】【解析】原式8、计算：【答案】【解析】，，……所以，原式9、 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式10、计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式11、计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．12、计算：．【答案】【解析】原式13、计算：。
【答案】【解析】原式14、计算：= 。
【答案】【解析】原式15、。
【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．二、计算题16、【答案】【解析】原式======17、【答案】【解析】原式18、【答案】【解析】原式19、计算：【答案】【解析】原式20、【答案】【解析】原式21、【答案】【解析】原式22、【答案】【解析】原式23、【答案】【解析】原式== 24、【答案】【解析】25、计算：【答案】【解析】原式26、【答案】【解析】原式27、【答案】【解析】，，……，，所以原式28、【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝29、【答案】【解析】原式30、【答案】【解析】原式31、计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式32、计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．33、【答案】【解析】原式34、【答案】【解析】原式35、【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式36、【答案】【解析】原式37、计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝38、【答案】【解析】原式39、【答案】【解析】首先分析出原式40、计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式41、计算：【答案】【解析】原式42、计算：【答案】【解析】原式43、。
小学奥数 分数裂项综合题型训练,非常完整版带答案
分数裂项巧算综合题型训练建立抵消的思想，灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．板块一：基础题型1、计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10919818717616515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯1009818616414214．计算：.90172156142130120112161+++++++5．计算：⋅+++++970011301701281416．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+109109989887877676656590725642302012628．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯100999825432432232129．计算：⋅++++++24023921020920191211652110．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(板块二：中档题1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2008200716515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523⨯⨯⨯⨯⨯⨯1311119977553314．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2(5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+6．计算：⋅++++++42083938075920391223611237.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10981154364325321411.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(22212.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(板块三：拔高题型1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。
六年级数学上册奥数题-分数乘法(附答案)
六年级上册--第一单元-分数乘法-奥数题(附答案)第一单元 分数乘法板块一 巧算分数乘法分数的裂项公式：①()11111+-=+n n n n ，如3121321-=⨯。
②())11(11k n n k k n n +-=+，如）（512131521-=⨯。
③()k n n k n n k +-=+11，如8131835-=⨯ ④m n m n m n 11+=⨯+，如4131437+=⨯ ⑤()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++)2)(1(1)1(121)211n n n n n n n （，如)321211213211⨯-⨯=⨯⨯（ 【例题】例1.计算：（1）201820171431321211⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯（2）201820161861641421⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯（3）32291188552⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯（4）90197217561542133011+-+-（5）30282611086186416421⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯例2.巧算。
（1） 2012×（1+21+31+……+20111）-[1+(1+21)+(1+21+31)+……+(1+21+31+……+20111)]（2）200132200121432432132321221+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⨯⋅⋅⋅⨯+++++⨯+++⨯+（3））（）（）（（）（100011100111201411)201511201611-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯-（4））（）（）（）（20161312120171312112016131211201713121+⋅⋅⋅++⨯+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++⨯+⋅⋅⋅++(5)(6)655161544151433141⨯+⨯+⨯2007120082007200620082007+-⨯⨯+（7）（8）)201321()201321())201121()201121()921()921()721()721()52-1521-⨯+⨯-⨯+⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯+（）（（9）【练习】1.计算：（1）1+361+5121+7201+9301+11421+13561+15721+17901（2）31+151+351+631+991132132132111111212121156156156⨯（3）4238411010662⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯（4）31+43+52+75+87+209+2110+2411+3519（5）2.巧算。
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奥数培训题（2）（1）分数的拆项（2）分数乘法应用题
2011—2012学年度第一学期
昌茂培训中心六年级数学奥数班练习（2）
时间：（10月6日）姓名：等级：家长签名：
一、基础题训练 (!)8
1×14÷78 （45 ＋310 ）÷310 56 ÷（12 ＋56 ）34 ÷1516 ÷56 52－52×43÷25 2—95－154÷53 76÷（94+32×6
5）1514÷[（54+32）×11
10]
(2)求未知数x
58 x=40 43x —41=52 32X —83X=167 X÷51=25
二、拓展题训练 2006
20072006÷2006 3737371÷737373
1
三、奥数题训练：(1)分数的拆项 (2)分数乘法应用题
【例1】计算1－65＋127－209＋3011－4213＋5615－7217＋90
19 【点拨】此题形式略有变化。
认真审题会发现规律：（1）运算符号按减、加、减、加…有序排列。
（2）每个分数分母是两个连续自然数的积，分子是它们的和，因而可以这样拆开：
65=3232?+=21＋31 127=4343?+=31＋4
1 ……
【热身演练】
（1）1＋21-65＋127-209＋3011-42
13
（2）127-209＋3011-4213＋5615-72
17
【战术归纳】分数拆项的补充形式：
（1）分母为两个相邻自然数时：)1()1(+++n n n n =n 1+1
1+n 【例2】发电厂去年计划发电70万千瓦时，结果上半年完成计划的73，下半年完成计划的53，去年超额完成发电多少千瓦时？
【点拨】求超额发电多少万千瓦时，需先求超额完成了计划的几分之几？
【热身演练】
1、某生产队挖一条长300米的长渠，第一天挖了全长的51，第二天挖了余下的41，第三天、第四天挖的同样多，恰好挖完，第四天挖了多少米？
2、张兵看一本120页的书，第一天看了41，第二天看了余下的3
2，还剩多少页没有看？
3、将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51……，依此类推，直至最后减去余下的
1997
1，最后的结果是多少？
【战术归纳】分数乘法应用题的单位“1”是已知的，求单位“1”的几分之几是多少时，要弄清所求数量究竟占单位“1”的几分之几。
再依据单位“1”×对应分率=对应量，从而求得所求问题。