伽辽金加权余量法
间断伽辽金格式
间断伽辽金格式
伽辽金法直接针对原控制方程采用积分的形式进行处理，它通常被认为是加权余量法的一种。
这里先介绍加权余量法的一般性方程。
考虑定义域为V的控制方程，其一般表达式为：
Lu=P
精确解集u上的每一点都满足上述方程，如果我们寻找到一个近似解ū，它必然带来一个误差ε（x），把它叫做残差，即：
ε(x)=Lū-P
近似方法要求残差经加权后他在整个区域中之和应为0，即：
∫v[ Wi·(Lū-P)]dV=0 其中i=1,2,...,n
选取不同的加权函数Wi会得到不同的近似方法。
对于伽辽金法来说，加权函数Wi一般称为形函数Φ（或试函数），Φ的形式为
Φ=ΣΦi·Gi
其中Gi（i=1,2,...,n）为基底函数（通常取为关于x,y,z的多项式），Φi为待求系数，这里将加权函数取为基底为Gi的线性组合。
另外，一般近似解ū的构造也是选取Gi为基底函数，即
ū=ΣQi·Gi
其中，Qi为待定系数。
综上可得伽辽金法的表达形式如下：
选择基底函数Gi，确定ū=ΣQi·Gi中的系数Qi使得
∫v[ Φ·(Lū-P)]dV=0
对于Φ=ΣΦi·Gi类型的每一个函数Φ都成立，其中系数Φi为待定的，但需要满足Φ其次边界条件。
求解出Qi之后，就能得到近似解ū。
有限元法及应用知识点总结
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理， 他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理 论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问 题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上 的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性 （包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线 性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系 是非线性关系。研究这类问题一般都是假 定材料的应力和应变呈线性关系。它包括 大位移大应变及大位移小应变问题。如结 构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题， 橡胶部件形成过程为大应变问题。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移 使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使 系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解 的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算 模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得 的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界， 即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模 型偏于柔软。
平面单元划分原则（续）
• 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或 等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时 也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须 节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。
03加权余量法
dx u0 u1 0
解： （1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2
积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法 取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0
例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。 例（同前）： 步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2
x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
一维弹性杆件旋转问题的加权残值法和伽辽金法
则
������(������ + ������������) − ������(������) ������������
������ = ������ + ������������ − ������ = ������������
(5) (6)
将(7)代入(5)得：
������0 = −(2������1 + 3������2)
(7)
定义残差
���̃���(������) = ������(−2������1 − 3������2 + ������1������ + ������2������2)
(8)
∆(���̃���) = ���̃���′′(������) + ���̃���(������) + ������ = ������2������3 + 3������2������ + ������ + ������1(������2 − 2������ + 2) (9) 为使���̃���(������)为������(������)的近似解，可以要求
依次取������(������) = ������, ������(������) = ������2, ������(������) = ������3代入(16)达式得：
���̅���1
=
−
2 3
������0
−
3 4
������1
−
4 5
������2
+
1 3
=
0
���̅���2
0.7+加权余量法
Bi
dS = 0 式的权平均意
加权余量法对许多非线性问题具有收敛性，当 m → ∞ 时 φ 趋向 φ 。但是至今还缺少在一般情况下 的收敛性和误差界限的研究。 加权余量法对权的选取，有许多不同的形式。若权函数 Wi ( i = 1, 2 , m ) 就取试探函数项 N i ，这 种加权余量法就是熟知的 Galerkin 法。即
= RI L φ − f
()
（在 V 内
）
和
= RB B φ − g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
（在 S 边界）
可见， RI , RB 反映了试函数与真实解之间的误差，即余量。加权余量法就是要选择 m 个参数 ci ，使余 量 RI , RB 在某种权平均意义下为零。在 V 内选择 WIi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，在边界
()
Bi
R dS ∫ W=
S B
0= ( i 1, 2 m )
3、混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式 除余量。
41
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS = 0
1, 2 m ) 消 (i =
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法 必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
e
由于试函数 φ 的不同，余量 RI , RB 可能有如下三种情况，依此加权余量法可分为： 1、内部法 试函数满足边界条件，也即 R = B φ −= g 0 ，此种情况下，消除残差的条件为： B
()
R dV ∫ W=
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
加权余量法
0 x
dx 1 2
1 2
1
11 6
a1
0
W2 1 由④式得到：
1 2
x
12
1/2
1/ 2
R2 xdx x a1
解得：0
a1
0
0.1876
2 x x2 a2 a2 0.1702
2 6x x2 x3
加权余量法
4. 例题解析
为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：
一项近似解，n=1：
u1 a1x1 x
⑤
代入，得余量为：
R1x x a1 2 x x2
⑥
两项近似解，n=2：
u2 x1 xa1 a2 x
⑦
余量为：
R2 x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
将余量的二次方 R2 在域中积分：
I R2d
选择近似解的待定系数ai，使余量在全域的积分值达到极小。为此必须有：
I 0
i 1,2,, n
对ai求导，得到：
ai
R R d 0
ai
i 1,2,, n
由此得到n个方程，由此求解n个待定系数ai，将上式与式④比较可得，最
②
当x=1时，u=0
取它的近似解为
u x1 xa1 a2x
③
其中ai为待定参数，试探函数 N1 x1 x ，N2 x1 xx ，...显然近似解满
足边界条件，但是不满足微分方程，所以会产生余量。余量的加权积分为
零：
j
伽辽金法
（1.4）
不同的权函数WIi 和 WBi 反映了不同的消除余量的准则，其中伽 辽金法为选取尝试函数本身为加权函数，即：
___
WIi =WBi W j
此时（1.4）式可表示为：
___
___
V W j RI dV
W
S
j
RBdS
0
(i 1, 2,L , n)
（1.5）
此时可以定义 u%的变分 u%为：
谢谢
THAN到满足，若记：
RI RB
L(u%) B(u%)
f g
在V域内 在S边界上
显然 RI RB反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 WI，在边界S上引入边界权函数WB 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
V WIi RI dV S WBi RBdS 0 (i 1, 2,L , n)
EI
d4y dx4
q
0
其边界条件为：
y
dy dx
0
d
2
y
dx2
d3y dx3
0
(x 0) (x l)
若取试函数为：
y% c(x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2 )
不难验证其满足边界条件，也即RB 0。而控制方程的内部余量 RI 为:
RI EIc(120x 24l) q
此时：
N1 x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2
消除余量的条件为:
l
0 N1RI dx 0
由此可得： C 0.00908q EIl
B
0.1262ql 4 EI
伽辽金法的优点与缺点：
优点：用伽辽金法求解时，实际上是放松了问题原来对V内各点都 要精确满足平衡微分方程的要求，使问题变成了仅满足平衡微分方 程与一个加权函数的乘积在整个物体的定义域V内积分等于零的条 件，降低了求解难度。 不足：由于在近似求解时，应力分量并不精确满足平衡微分方程， 实际上会出现残差，因此，伽辽金法又称为加权残差法。
第1章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理复习题练习题
第1章 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 复习题1.1已知一个数学微分方程，如何建立它的等效积分形式？如何证明两者是等效的？ 1.2 等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么后者在数值分析中得到更多的应用？1.3 不同形式的加权余量法之间饿区别何在？除书中已列举的几种方法以外，你还能提出其他形式的加权余量法吗？如能，分析新方法有什么特点。
1.4什么是加权余量的伽辽金方法？它有什么特点？ 1.5如何识别一个微分算子是线性、自伴随的？识别它的意义何在？ 1.6 如何建立与线性、自伴随微分方程相等效的泛函和变分原理？如何证明它和加权余量的伽辽金方法之间的等效性？练习题1.1 一维热传导问题微分方程由（1.2.26）式给出，按1.2.2节例1.4给定的近似解及权函数用加权余量的配点法、子域法及伽辽金法求解并用图1.3进行校核。
1.2 某问题的微分方程是22220c Q x y φφφ∂∂+++=∂∂ 在Ω内 边界条件是 _φφ= （在1Γ上）_q n φ∂=∂ （在2Γ上） 其中和Q 仅是坐标的函数，试证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。
c第2章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 复习题2.1 选择位移模式的原则是什么？以８结点四边形单元为例，如何选择体现所述原则的位移模式？2.2 单元刚度矩阵每一个元素的力学意义是什么？矩阵具有什么性质？这些性质的力学意义是什么？2.3 什么是单元结点自由度和结构结点自由度之间的转换矩阵？它在实际计算执行中有什么作用？2.4结构刚度矩阵和载荷列阵的集成实际是如何进行的？ 2.5结构刚度矩阵有什么性质和特点？在计算中如何利用它们？ 2.6 什么是有限元解的收敛性？什么是解的收敛准则？为什么必须满足这些准则，有限元解才能收敛于微分方程的精确解？2.7为什么位移元解具有下限性？力学上如何解释？ 2.8 为什么位移有限元的应力结果精度低于位移结果？应力结果表现出哪些特点？有什么能改进应力结果的方法？2.9 和平面问题有限元分析相比较，轴对称问题有限元分析有什么相同点和不同点？ 练习题2.1 如图2.1所示的3结点三角形单元，厚度=1cm ，弹性模量t E =2.0×MPa ，泊桑比510ν=0.3。
《有限单元法》1-5章课后习题答案
δδ∏00且或∏,泛函极值性对于判断解的近似性质有意义,利用它可以对解的上下界做出估计。
思考题1.9什么是里兹法?通过它建立的求解方法有什么特点?里兹方法收敛性的定义是
什么?收敛条件是什么?
里兹法:在某一函数空间寻找试探函数,利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化
为该函数关于权值的极值问题。其特点是:试探函数是全域的,解的精度依赖于试探函数的
5qL L 5qL
wx L x当x , w
5 4
120EI + kl 2 480EI + 4kL
4
L 5qL
精确解w ???,应该是三角级数更接近精确解。因为是最小位能原理建立的
2 384EI
泛函,因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果,就可以知道哪
个更精确了。另外,取不同的阶数,逼近速度不同,三角函数更快。
可得最终结果(略)。3 2 2 2 w ww ww
δδw n ds?+ n dsδ dxdy?
xx?∫∫3 2∫2 2
ΓΓ?x xx ?x ?x? 2 2 2 3? ww ?
+δ dxdy?+δδ n ds w n ds? y y
∫22∫2∫2ΓΓ
?y ?x ?y ?x y xD?
0
2 2 2 3 ww ?
12
23
L LL
3
x
上式中的最后一项前面没有待定系数,这是由于使用了在xL处φ1的强制边界条件。
3
L
从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将(1 )
式代入教材(1.2.26 )式,得到残量:
x 66 xx
R x a ?6 + a 2? + + Qx
加权余量法在固体力学中的应用研究
加权余量法在固体力学中的应用研究摘要作为一种固体力学数值算法，加权余量法非常重要，无网格法、有限元法和边界元法等岩土工程计算算法，都是以基于加权余量法发展衍生的。
本文基于笔者多年以来对固体力学计算方法的研究，详细的介绍了加权余量法的原理，分析了其应用状况，阐述了该方法应用于固体力学的如何选择权函数和试函数，以便为诸多研究提供参考。
关键词加权余量法；固体力学；权函数；试函数中图分类号O34 文献标识码 A 文章编号1673-9671-（2012）111-0121-011 概述早期，加权余量法仅仅适用于传热、流体力学等学科领域，迄今为止，其在固体力学中已经得到了深层次的应用和发展。
在固体力学计算方法中，加权余量法是一种通用的数值计算方法，也是一种基于等效积分形式的类似计算方法，在求解非线性和线性微分方程使，其非常的有效。
在加权余量法发展研究过程中，基于该方法衍生了很多适应于具体应用场景的数值计算方法，包括无网格法、边界元法和有限元法，这三种计算方法因其适应环境不同而各具特色，目前已经逐渐的发展成为一种独立的方法。
本文基于笔者对加权余量法和固体力学计算方法的研究，详细的阐述了加权余量法的原理，分析了其应用状况，归纳该方法应用于固体力学的如何选择权函数和试函数等内容。
2 背景理论在工程科学计算领域中求解问题时，问题的最终解决方法通常是将其归结为求解具有初始条件和约束条件的微分方程组。
数学理论上，许多学者将微分方程形式称之为强形式，而在求数值解时，人们通常把微分方程的相关边界约束条件转换为变分形式；一些学者将微分方程等效为积分形式时，通常将其称之为弱形式，在一些文献中也存在一些学者将其称为积分提法[4]、伽辽金方程、变分方程和加权余量方法。
本文将详细的讨论求解数值时的加强余量法。
3 加权余量法的应用3.1 权余余量法的实施过程目前，针对工程或者物理学中产生的问题，人们通常针对其进行建模，抽象出来边界约束条件，将其归纳为微分方程，将其表示为未知函数u应该满足微分方程组，其一般形式如3.1所示。
有限元的理论基础
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
伽辽金加权余量法
伽辽金加权余量法一、概述伽辽金加权余量法（Gauss-Seidel weighted residual method）是一种常用的数值计算方法，主要用于求解偏微分方程。
它是在有限元法和有限差分法的基础上发展起来的一种数值求解方法，其优势在于其准确性和高效性。
二、方法原理伽辽金加权余量法是一种迭代方法，通过迭代修正待求解的误差来逼近真实解。
其基本原理可以概括为以下几步： 1. 根据数学模型建立待求解的偏微分方程； 2. 将方程经过合适的变换，转化为离散形式； 3. 对离散形式的方程进行求解； 4. 通过迭代计算，逐步逼近真实解。
三、算法步骤伽辽金加权余量法的具体步骤如下： 1. 初始化变量：设定初始解、迭代次数和收敛条件； 2. 使用已知初始解代入方程，求解方程的残差； 3. 根据求解方程的残差和权重系数，计算修正值； 4. 更新解：将修正值与初始解相加，得到新的解；5. 判断是否满足收敛条件，如果满足则输出当前解，否则返回第2步。
四、优势和适用范围伽辽金加权余量法相较于其他求解方法具有以下优势： - 精度高：伽辽金加权余量法可以通过增加迭代次数得到更精确的解； - 收敛速度快：通过选择合适的权重系数，伽辽金加权余量法可以在较少的迭代次数下达到收敛； - 适用性广：伽辽金加权余量法可以应用于各种类型的偏微分方程问题。
五、应用案例为了进一步说明伽辽金加权余量法的应用，我们以一维热传导方程为例加以说明。
5.1 问题描述考虑一维材料中的热传导问题，假设该材料的导热系数为k，温度分布为T(x)，在材料两端的边界条件为T(0) = T1和T(L) = T2。
5.2 方程建模根据热传导规律，可以得到如下的一维热传导方程：∂T ∂t =k∂2T∂x25.3 伽辽金加权余量法求解按照伽辽金加权余量法的步骤，可以将热传导方程转化为离散形式，并进行迭代求解。
1.将热传导方程进行离散化：T i n+1−T i nΔt =kT i+1n−2T i n+T i−1n(Δx)2其中，i表示离散网格点的索引，n表示迭代次数，Δt和Δx分别为时间步长和空间步长。
-迦辽金法
= ∫ x(2C2 )dΩ + ∫
0
d
Γ| x = 0
x((C1 x1 + C2 x 2 )
x =0
− 0) dΓ − 10) dΓ
+∫
Γ| x = d
x((C1 x1 + C2 x 2 )
x =d
= C2 d 2 + 0 + (C1d 2 + C2 d 3 − 10d ) = d 2C1 + d 2 (1 + d )C2 − 10d = 0
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式： 加权余数表达式：
j = 2时, 又得到一个代数方程： F2 ( R ) = ∫ ψ 2 RΩ dΩ + ∫ ψ 2 RΓ dΓ
Ω Γ
= ∫ x 2 (2C2 )dΩ + ∫
0
d
Γ| x = 0 Γ| x = d
x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 ) x 2 ((C1 x1 + C2 x 2 )
Γ Ω Γ
系数 代数方程写成矩阵形式：
系数矩 阵n×n
激励
边界条件
[ K ][C ] = [ F ][b]
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
K ji = w j l(ψ i )dΩ + w*ξ (ψ i )dΓ ∫Ω ∫Γ j 虽然元素值还需要积分、 矩阵元素值： 微分的求得，还难以借助 计算机求解，但至少化为 F j = ∫Ω w j q dΩ 了代数方程组。 b j = ∫ w* s dΓ 通过选择合适的加权函数 j Γ 和尝试函数可以大大简化
在x = 0处： Γ）x =0＝0 φ （ φ 在x = d处加权余量法－－例
有限元分析的数序基础-加权残值-等效积分-迦辽金等03B
n 用位移法求解弹性力学平面问题时，基本未知 函数是 x, y 方向的位移u(x,y)，v(x,y), 写成向量 形式为
n 应变位移关系是：
40
应力应变关系是
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用位移表示的应力为： 平衡方程为
即
41
用位移表示的平衡方程为 即 边界条件是
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保留沿x方向的方程，该问题的三大基本方程和边界 条件如下
平衡方程（无体力） 几何方程
物理方程 边界条件（BC）
7
（3）求解 对方程进行直接求解，可以得到：
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其中C及C1为待定常数，由边界条件，可求出 C1＝0，C＝P/A
8
讨论：
n 采用材料力学方法？
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OVERVIEW
36
微分方程组
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如果一个问题由一组微分方程描述，即
37
写成矩阵形式为 其中
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每一个方程和对应的边界条件写出加权余量公式有
38
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39
弹性力学平面问题
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OVERVIEW
3
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n SF—Strong Form. 偏微分方程 边界条件 著名的牛顿第二定律 : F = ma
n WF—Weak Form. “弱”形式：如加权余量法 等效 积分形式 weighted residual method (WRM). Galerkin
有限元-伽辽金法
单元结点温度列阵
e
12
3
Ni
(x,
y)
ai
bi x 2A
ci
y
i、j、m
e [Ni
Nj
N e
Nm
] ij
N
e e
Ni
Nj
Nm
m
9.3二维稳态热传导有限元方程
二、三结点三角形单元
Ni
(x,
y)
ai
bi x 2A
ci
y
i、j、m
Nr (x, y) ( ar br x cr y ) br
3
NeTQd NeTqds+ NeTh ds
e
2
3
9.3二维稳态热传导有限元方程
一、有限元方程
1
2
x 2 e
y22NxeT
Ne
Qx=0
NeT Qd
Ne y
T
Nye ,xdnx
n hNeT
3 ,y
Ne
y
ds
q
NeTqds+,xnNxeThd,ysny h
x (a ,b)
x=a
x=b
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du(x)dx+1(x)B1 udx+2 (x)B2 udx 0
a
a
a
9.1 伽辽金方法
一、加权余量法
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du(x)dx+1(x)B1 udx+2 (x)B2 udx 0
a
a
a
b
b
b
x,1 x,2 x (x)Du%(x)dx+1(x)B1 u%dx+2 (x)B2 u%dx 0
伽辽金法
此时：
N1 x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2
消除余量的条件为:
l
0 N1RI dx 0
由此可得： C 0.00908q EIl
B
0.1262ql 4 EI
伽辽金法的优点与缺点：
优点：用伽辽金法求解时，实际上是放松了问题原来对V内各点都 要精确满足平衡微分方程的要求，使问题变成了仅满足平衡微分方 程与一个加权函数的乘积在整个物体的定义域V内积分等于零的条 件，降低了求解难度。 不足：由于在近似求解时，应力分量并不精确满足平衡微分方程， 实际上会出现残差，因此，伽辽金法又称为加权残差法。
（1.4）
不同的权函数WIi 和 WBi 反映了不同的消除余量的准则，其中伽 辽金法为选取尝试函数本身为加权函数，即：
___
WIi =WBi W j
此时（1.4）式可表示为：
___
___
V W j RI dV
W
S
j
RBdS
0
(i 1, 2,L , n)
（1.5）
此时可以定义 u%的变分 u%为：
u% N1 a1 N2 a2 L Nm am
（1.6）
在多数情况下用伽辽金法得到的求解方程是对称的，所以在用加 权余量法建立有限元格式是几乎毫无意外地采用伽辽金法。
伽辽金法应用举例：
如图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷载作用，求悬臂端B的竖向位移 B为例， 说明基本方法的应用。
图示梁的控制方程为：
u——为问题待求的未知函数。
u% 当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 ，一般
具有以下形式：
n
u% Ci Ni NC
（1.3）
i 1
式中： Ci —— 待定系数，也可称为广义坐标；
第八讲_有限元法
• 线性、非线性和拟线性偏微分方程:
• a) 方程中所有出现未知函数或其偏导数的项都是 未知函数的一次式的方程叫线性方程
• b) 未知函数项或未知函数偏导数项不是一次式的 方程叫非线性方程；
• c) 非线性方程中所有未知函数的最高阶偏导数是 一次式的方程叫拟线性方程。
.
• 齐次和非齐次偏微分方程
.
静态线弹性有限元定解问题 ij, j fi 0
ijnj Ti 0
Vu i(ij,j fi) d V S u i(ijn j T i) d S 0
u i 真实位移的变分，连续可导。在给定位移的边界上， u i 0
高斯定律
张量形式
8/9/2013
虚应变
矩阵形式
.
3
小结：
等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。 加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。 伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。
加权函数、近似解试探函数、坐标插值 函数的类型一致
.
d）单元平衡方程
.
4） 总体分析
a） 建立选择矩阵：
.
b) 组集单元刚度矩阵
c) 组集等效节点载荷
Fe A 2 lAqe(x1 e) A 2 lAqe(x2 e) T
d） 解以节点为未知量的方程组
.
热传导问题的有限元方法
.
热传导方程
1. 一维问题
1）傅里叶定律
q: 单位时间、单位面积流过的热量 热流密度与温度梯度成正比。
单位：W/(m·K)
.
2）平衡方程
Q=cpmΔT 比热容：cp 单位：W·s/(kg·K) 1千克的物质的温度上升 （或下降）1摄氏度所需 的能量。
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伽辽金加权余量法
伽辽金加权余量法是一种用于估计地球大气层中的物质含量的方法。
它基于光的散射和吸收现象，通过测量不同波长下的光强度，推断出
大气层中某种物质的浓度。
本文将详细介绍伽辽金加权余量法的原理、应用、优缺点以及未来发展方向。
一、原理
1.1 光的散射和吸收
在大气层中，光线会发生散射和吸收现象。
当光线经过空气分子或云
雾等微粒时，会被这些微粒所散射，使得原本直线传播的光线变得弯
曲或偏转。
同时，不同波长的光线受到不同程度的散射影响，因此在
大气层中观察到的太阳光谱会出现一定程度上的变化。
此外，在大气层中还存在着各种化学物质，如臭氧、水蒸汽、二氧化
碳等。
这些物质对不同波长的光线也会发生吸收作用，使得通过大气
层传播的太阳光谱再次发生变化。
1.2 伽辽金加权余量法的原理
伽辽金加权余量法利用了光的散射和吸收现象，通过测量大气层中不同波长的光线强度，推断出大气层中某种物质的浓度。
具体来说，该方法将太阳光谱分为若干个波段，在每个波段内测量透过大气层后的光线强度，并计算出各波段内的平均强度值。
然后，根据不同波长下的平均强度值之间的比较关系，推断出大气层中某种物质的含量。
这里需要注意一点，即不同波长下的光线强度受到多种因素影响，如大气湍流、云雾遮挡等。
因此，在进行估算时需要对这些因素进行修正，并考虑它们对结果精度的影响。
二、应用
2.1 大气成分测量
伽辽金加权余量法是一种常用于大气成分测量的方法。
通过对太阳光谱进行分析，可以获得大气层中各种化学物质（如臭氧、水蒸汽、二氧化碳等）的浓度信息。
这对于研究大气层的结构和变化、预测气候变化等具有重要意义。
2.2 空间探测
伽辽金加权余量法还可以应用于空间探测领域。
在行星探测任务中，该方法可以通过对太阳光谱的分析，获取目标行星大气层中的成分信
息。
这对于了解行星环境、寻找适合生命存在的地方等都具有重要意义。
三、优缺点
3.1 优点
（1）非侵入性：伽辽金加权余量法不需要直接接触大气层，因此不会对大气层产生影响。
（2）高精度：该方法能够获得相对较高的精度，能够满足大多数科学研究和工程应用的需求。
（3）广泛应用：伽辽金加权余量法已经被广泛应用于大气成分测量和空间探测等领域。
3.2 缺点
（1）受到干扰：伽辽金加权余量法在实际应用中容易受到各种因素的干扰，如云雾遮挡、大气湍流等，这会影响测量结果的精度。
（2）复杂性：该方法需要对太阳光谱进行分析，并考虑多种因素的影响，因此相对复杂。
（3）仅限于大气层成分测量：伽辽金加权余量法只能用于大气层成分测量，无法直接应用于其他领域。
四、未来发展方向
4.1 提高精度
目前，伽辽金加权余量法已经可以获得相对较高的精度。
未来可以通
过改进算法、提高仪器灵敏度等方式进一步提高精度，以满足更加严
格的科学研究和工程应用需求。
4.2 拓展应用领域
伽辽金加权余量法目前主要应用于大气成分测量和空间探测等领域。
未来可以将其拓展到其他领域，如海洋环境监测、地质勘探等。
4.3 与其他技术结合
伽辽金加权余量法可以与其他技术结合使用，以获得更为准确的结果。
例如，在空间探测任务中，可以将该方法与光谱成像技术结合使用，
以获取更为详细的目标行星大气层成分信息。