声学波长波极限分析过程
13、长波近似解析
将（4）式代入（3），可得
第3页
§3.5 长波近似
即
m 2 A e iqa e iqa B 2 A ( 6) 2 iqa iqa M B e e A 2 B
B 2 m 2 (7) iqa qa A (e e )
是用微观参数表示的弹性波的波速。
第7页
2、一维连续介质波动方程
因此连续介质因位移而引起的形变（应变）为：
§3.5 长波近似
设有一维连续介质，x点的位移为u(x)，(x+dx)点的位移为u(x+dx)，
u( x dx ) u( x ) dx
u( x )
u( x dx)
设介质的弹性模量为c，则在x点因形变而产生的恢复力
因此当l为有限整数时，不论l为奇数或偶数，都有 上式说明：
欧拉公式
u2 n l 1(10) lim q 0 u2 n 1
在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程实际可视为一
个方程，它们的一般表达式：
d 2 u2n l 2 2 2 q a u2n l (11) 2 dt m M
邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相集体运动。
第6页
§3.5 长波近似 从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离坐标可视
为连续坐标，所以有
u2n l Ae
i ( qr t )
u
于是，原子的运动方程可写为
2 2u 2 2 2 2 2 u q a u2 n l a 2 2 t m M m M r 2 2u u 2 2 v t 2 (12) 1 t r 2 2 上式为标准的宏观弹性波的波动方程，其中 vt a m M
第2章 晶格热振动
关于A,B齐次方程组无穷多解,有非零A,B解条件是方程组系数 行列式为零，可以得到一个关于2的一元二次方程，解得：
2
[mM(m2M22mMcosqa)12]
mM
2
[mM(m2M22mMcosqa)12]
mM
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
二、一维复式晶格的热振动 3.色散关系
+ 光学支
x2
dV(x) 0 dx x0
令：
＝ 1 2
d 2V ( x) dx2
选择合适的势能零点，有
V (x) 1 x2 2
f (x) dV (x) x dx
简谐近似
r 抛物线近似
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
一、一维简单晶格的热振动 3. 格波及色散关系
（1） q的物理意义， ＝2/q
3nN
Hˆ 总 Hˆ i i 1
2.2 三维晶格的热振动
三、三维复式晶格的热振动的一般规律 3.声子的概念
上述3nN个独立的线性谐振子的薛定谔方程可以分离变量求解，
其能量本证值为：
（n 1）
2
晶格振动的能量量子－－声子 声子是晶格集体振动的一种元激发
类比：光波和光子 声波和声子
2.2 三维晶格的热振动
g()d
0 exp 1
kBT
2.3晶格比热的实验研究结果
杜隆-柏替（Dulung-Petit）定律
当温度很高时，实验发现所有固体的晶格比热均趋于相同的常数
CV ~3NkB
离子固体：T～0，
CV ~ T3
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型
E 3Na exp
1
kBT
爱因斯坦温度
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型
东师《固体物理》20春在线作业2答案17
(判断题)34:
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)35:
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)36: 原子电负性描述原子得失电子的难易程度，用于衡量原子对外层电子吸引能力。
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)37:
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)38: 按照固体中原子的排列方式不同，将固体分为晶体和非晶体。
正确答案: B
(判断题)29: 每个布里渊区的体积都相等，且都等于倒格子原胞的体积。
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)30:
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)31:
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)32:
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)33:
A: 错误
B: 正确
(单选题)4:
A: －
B: －
C: －
D: －
正确答案: D
(单选题)5:
A: -
B: -
C: -
D: -
正确答案: C
(单选题)6:
A: -
B: -
C: -
D: -
正确答案: D
(单选题)7:
A: -
B: -
C: -
D: -
正确答案: A
(单选题)8:
A: -
B: -
C: -
D: -
正确答案: B
C: 某一格点
D: 某一点
正确答案: B
13、长波近似解析
vq
这里的c相当于杨氏模量.
q
第 10 页
§3.5 长波近似 恢复力： 把上式应用于一维复式格子，应变是 所以
F c
du dx
F c
um 1 um , (16 ) a
du um 1 um dx a
而第m+1个原子的位移而引起的对第m个原子产生的恢复力
圓频率小于纵光学波的圆频率。
离子晶体的极化由两部分贡献
构成：
E
第 16 页
§3.5 长波近似
对立方晶系,洛伦兹提出了
求解有效电场的一个方法：
正离子向左
Eeff
1 E P (1) 3 0
其中P为宏观极化强度。 离子晶体的极化由两部分贡献
构成：
E
第 17 页
§3.5 长波近似
离子位移极化:是正负离子的相对位移产生的电偶极矩，这种极化
§3.5 长波近似
u e * Eeff (5) u
为了表述方便，通常引入一个相对位移参量
W
1
2
u
1
2
N u V
1
2
u
其中ρ 为质量密度，Ω 为原胞体积。 这样极化强度
P
N * e u Eeff n0 e * u Eeff ( 2) V
由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化现象 。
模型：设每个原胞中只有两个电荷 量相等、符号相反的离子。
第 13 页
§3.5 长波近似
注意：只有当电磁波与光学波的频率、波长相同时才会发生强烈的耦合作用。 离子晶体中光学支的频率大约为1013s-1的数量级，而在此频段的电磁波 处于红外波段，波长大约为10－6 m数量级，因此要求光学支格波也要有同样 的波长。此波长要比离子晶体的晶格常数大得多，是长光学波。
固体物理复习_简述题
"固体物理"根本概念和知识点第一章根本概念和知识点1) 什么是晶体、非晶体和多晶？(H)*晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不经过结晶(即有序化)的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。
由许许多多个大小在微米量级的晶粒组成的固体，称为多晶。
2) 什么是原胞和晶胞？(H)*原胞是一个晶格最小的周期性单元，在有些情况下不能反响晶格的对称性；为了反响晶格的对称性，选取的较大的周期单元，称为晶胞。
3) 晶体共有几种晶系和布拉伐格子？(H)*按构造划分，晶体可分为7大晶系, 共14布拉伐格子。
4) 立方晶系有几种布拉伐格子？画出相应的格子。
(H)*立方晶系有简单立方、体心立方和面心立方三种布拉伐格子。
5) 什么是简单晶格和复式格子？分别举3个简单晶格和复式晶格的例子。
(H)*简单晶格中，一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。
碱金属具有体心立方晶格构造；Au、Ag和Cu具有面心立方晶格构造，它们均为简单晶格复式格子则包含两种或两种以上的等价原子，不同等价原子各自构成一样的简单晶格，复式格子由它们的子晶格相套而成。
一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl、CsCl、ZnS等；一种是一样原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，如：具有金刚石构造的C、Si、Ge等6) 钛酸钡是由几个何种简单晶格穿套形成的？(H)BaTiO在立方体的项角上是钡(Ba)，钛(Ti)位于体心，面心上是三组氧(O)。
三组氧(OI，OII，*3OIII)周围的情况各不一样，整个晶格是由 Ba、 Ti和 OI、 OII、 OIII各自组成的简立方构造子晶格(共5个)套构而成的。
7) 为什么金刚石是复式格子？金刚石原胞中有几个原子？晶胞中有几个原子？(H)*金刚石中有两种等价的C原子，即立方体中的8个顶角和6个面的中心的原子等价，体对角线1/4处的C原子等价。
高二物理竞赛课件：一维双原子链模型
4mM (m M )2
sin2
1
aq
2
独立的格波：
• 声学波（频率较低）
• 光学波（频率较高）
2 m
• 频率的禁带区
2
• 命名主要根据两种格波在长
M
波极限 ( q→0 ) 的性质
一维双原子链模型
声学波的长波极限
• 频率 q 0,
2 sin(aq) a
mM
2 q
mM
• 两种原子振幅比值
• 慢中子的能量：0.02~0.04 eV，与声子的能量同数量级； 中子的德布罗意波长：2~3×10-10 m（2~3 Å），与晶格常 数同数量级；可直接准确地给出晶格振动谱的信息
• 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况
典型晶格振动谱
Pb
Cu
典型晶格振动谱
Si GaAs
典型晶格振动谱
一维双原子链模型
一维双原子链模型
• 两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子
• M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4…
• 晶格常数、同种原子间的距离：2a
• 第2n+1个M原子的方程
M
d 22n1
dt 2
(22n1 2n2
2n )
• 第2n个m原子的方程
• 离子晶体中光学波的共振能引 起对远红外光的强烈吸收，可
应用于红外光谱学
• 晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光子受晶格的 非弹性散射来测定。
• 中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）与晶 体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非弹性散 射表现为中子吸收或发射声子的过程。
固体物理：3_3 一维双原子链 声学波和光学波
m2 2 2 cos aq
在长波极限下， q 0
2 max
2
(M Mm
m)
2
B ( A)
m
2
2
2 cosqa
m M
表明：长波光学模中原胞内两原子作相对振动，而且原胞
质心保持不动。这一点很重要，例如离子晶体中，原胞内正、 负离子振动方向相反，产生迅速变化的电偶极矩，与光波耦 合必然影响其光学性质，这就是为什么称为光学模的原因。
2 min
m 2
m
2
(
B A)
m2 2 2 cos aq
B ( A)
m2 2 2 cosqa
0
表明基元中相邻原子作相对振动，这是光 学模的振动特点。
东北师范大学物理学院
3 – 3 一维双原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
相邻原子的运动情况
（声学支Acoustic branches）
24516710gmk???maxoeminoemaxaemino?15nm??maxo?4mm?maxa?41510dyncm?第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院1声学波的最大频率14max310arads???光学波的最大频率光学波的最小频率14610rads??max2am???4mm?15nm??max2o????02mmmmm????14max256710oradsm?????min2om???cmgs2m???radsgdyncm第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院max0442oeev?min0396oeev?max0198aeev?2相应声子的能量minminooe??min2om???maxmaxooe??max2o????max2am???maxmaxaae??第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院6周期性边界条件periodicboundarycondition表明
声音的波长与频率的调节原理
声音的波长与频率的调节原理声音是一种机械波，它通过振动传递能量。
声音的波长和频率是描述声音波特性的两个重要参数。
1.波长：声音波长的定义是振动在介质中传播一个周期所经过的距离。
通常用符号λ表示，单位是米(m)。
波长与声音的传播速度有关，传播速度越快，波长越长。
2.频率：声音频率的定义是单位时间内声音波的振动次数。
通常用符号f表示，单位是赫兹(Hz)。
频率与声音的音高有关，频率越高，音高越高。
3.波长与频率的关系：根据波动方程v=λf（其中v表示波速，λ表示波长，f表示频率），波长和频率是成反比的关系。
当波速一定时，波长越长，频率越低；波长越短，频率越高。
4.声音的调节原理：声音的波长和频率可以通过调节声源的振动频率和介质的速度来实现。
例如，在空气中传播的声音，通过改变声源的振动频率可以产生不同音高的声音，而通过改变空气的速度（如吹气的力度）可以改变声音的波长和频率，从而产生不同音色的声音。
5.应用：声音的波长和频率在许多领域有重要的应用。
例如，在音乐领域，乐器的音高和音色与声音的波长和频率有关；在通信领域，无线电波的波长和频率用于调制和解调信号；在声学研究中，通过分析声音的波长和频率可以了解声波的传播特性和介质特性。
总结：声音的波长和频率是描述声音波特性的两个重要参数，它们之间有密切的关系。
通过调节声源的振动频率和介质的速度，可以改变声音的波长和频率，产生不同音高和音色的声音。
声音的波长和频率在各个领域有广泛的应用。
习题及方法：1.习题：一个频率为440Hz的声音在空气中传播，求该声音的波长。
解题思路：已知声音的频率为440Hz，空气中的声速大约为340m/s。
根据波动方程v=λf，可以求得该声音的波长。
解题方法：λ = v / f = 340m/s / 440Hz = 0.7727m答案：该声音的波长约为0.7727米。
2.习题：一个波长为1.5米的声音在空气中传播，求该声音的频率。
解题思路：已知声音的波长为1.5米，空气中的声速大约为340m/s。
固体物理一维单原子链ppt课件
方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
格波方程
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义
连续介质波
波数
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 格波的波形图
&原子位移和简正坐标的关系: 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令
则:
原子坐标和简正坐标的线性变换
—— 线性变换为么正变换
Q简正坐标: 动能和势能的形式都有平方和的形式.
原子位移
为实数 ,则:
……(1)
—— N项独立的模式，具有正交性
……(2) ——正交性
证明1):
……(1)
同时可写为:
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点
N很大，原子运动近似 为直线运动 处理问题时要考虑到 环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有 要求
—— h为整数
波矢的取值范围
波矢 h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 每个波矢在第一布里渊区占的线度
采用波恩－卡曼边界条件:
波矢q:
x1
2h1 N1a1b1
x1
h1 N1
x2
2h2 N 2 a2b2
x2
h2 N2
x3
2h3 N3a3b3
x3
h3 N3
波矢空间一个点占据的体积
3.5长波近似
b12b21 .. W ( b )WL 纵向振动方程 11 L 0 b22 .. W b11WT b12 ET 横向振动方程 T
光学波中的横波频率
作用在某离子上有效场
P：离子本身产生的电场；P Pe P : 1 E：宏观电场； 3 Eeff E P 0 3 0
离子位移极化强度； Pe为电子位移极化强度；P
1
1 * q* Pa q (2u2 n u2 n1 u2 n1 ) (u u ) * q 1 1 * 2 P Pa Pe P (u u ) Eeff q u E 1 P 1 ( E E ) E e eff eff eff 3 0
15. 对于光学横波，频率趋于零时对应什么物理图像？
对于光学横波，频率趋于零时恢复力系数趋于零，恢复力消失发生 位移的离子再也回不到原来的平衡位置，而到达另一平衡位置，即 离子晶体结构发生改变. 在这一新的结构中，正负离子存在固定的位移偶极距，即产生了自 发极化，产生了一个稳定的极化电场.
极化强度：P 0 ( r 1) E
2 s LO：纵向振动频率； LST关系： LO 2 2 TO
TO：横向振动的频率.
4. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?
11. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？
13. 何为极化声子？何为电磁声子？
s离子晶体的相对介电常数
晶体的光频相对介电常数.
两种极端的情况： 1.静电场 当正负离子发生稳定位移，离子达到 新的平衡位 0 软膜 移，形成稳定的极化电场， W 2.对应光频振动，由于离子的惯性，其振动不可能与高频同步.
光学波横波纵波声学波
推广
一维、三维
m维
晶体有N个原胞，每个原胞有n个原子 晶体的维数为m
晶体中格波振动频谱的支数=原胞内原子的自由度数mn m支声学波，m(n-1)支光学波
晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N 总的格波数目(振动模式数目) =晶体的自由度数Nmn
【例题】金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶 体有N个原胞，晶格振动模式数为多少? 答: 金刚石结构为三维复式格子，m=3
Nv0
(2 )3
V
(2 )3
波矢的取值范围 —— 原子振动位移函数 (格波解)
—— 同一原子在不同原胞中的相对位移取决于它的
相对位相差因子
(相对位相差因子的取值对于原胞中 任意一原子都相等，与k无关)
波矢q改变一个倒格矢: q q Gn
同一原子在不同原胞中的相对位相差因子变为：
—— 相对位相差因子没有改变，原子相对位移不变，格波 振动状态一样
方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解
A11, A12 , A13; A21, A22 , A23; A1x , A1y , A1z ; A2x , A2 y , A2z ;
An1, An2 , An3 Anx , Any , Anz
将方程解代回3n个运动方程
—— 3n个线性齐次方程
2,3 2,3
l k
)q ]
R
l k
i[t R
Ak e
l k
q ]
A ei[t ( N2a2 R k
l k
)q ]
l
R
k
声学波光学波横波
]
2,3 x,y,zk 1,2,L n
2,3 x,y,zk nearestatom ' s position
y x
—— , 为原子在三个方向上的位移分量
—— 一个原胞中有n个原子 —— 一个原胞中有3n个类似的方程
TO
一维双原子链：
晶体有N个原胞
N个波矢
原胞内原子的自由度数=2
2支格波
晶体的自由度数=2N
振动模式数为2N
一维单原子链：
晶体有N个原胞
N个波矢
原胞内原子的自由度数=1
1支格波
晶体的自由度数=N
振动模式数为N
晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数 格波振动频谱的支数=原胞内原子的自由度数 总的格波数目(振动模式数目)=晶体的自由度数
波矢q改变一个倒格矢:
qv
qv
v Gn
同一原子在不同原胞中的相对位相差因子变为：
—— 相对位相差因子没有改变，原子相对位移不变，格波 振动状态一样
q的取值限制在一个倒格子原胞中 —— 第一布里渊区
qv
h1 N1
v b1
h2 N2
v b2
h3 N3
v b3
—— N N1N2 N3 个取值
区分： 声学波、光学波 横波、纵波
声学波 (质心运动)
q 横波
光学波 (原子的相对运动)
q 纵波
布里渊区中心 q 0
长声学波
q
(原子以相同振幅，同
向振动)
长光学波
q
(原子相对振动，质
心不变)
布里渊区边界 q
2a
q
LA
短声学波
声学波传播过程的数值模拟分析
声学波传播过程的数值模拟分析声学波传播是研究声波在不同介质中传播规律的一门学科。
通过数值模拟分析声学波的传播过程，我们可以更好地理解和预测声波在不同介质中的行为，为声学相关领域的研究和应用提供有力支持。
声学波传播的数值模拟分析首先需要确定所研究的问题，如声源的特性、介质的物理参数以及边界条件等。
然后，通过建立合适的数学模型和方程组，利用计算机进行数值计算和解析。
最后，根据模拟结果对声波传播过程进行分析和评估。
在声学波传播的数值模拟分析中，常用的方法包括有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和边界元法（BEM）等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题和需求选择合适的方法进行模拟分析。
以有限差分法为例，它是一种离散化计算的方法。
首先，将声波传播问题的连续域转化为离散的有限差分网格，将时间和空间分割成小块。
然后，根据声学波动方程将声场的变化量用差分的形式表示。
最后，通过数值计算和迭代求解差分方程组，得到声场在各个时间和位置的数值解。
有限差分法的数值模拟分析具有一定的深度。
通过改变差分网格的分辨率，我们可以探究声波传播过程中的细节和特征。
例如，在分析声波在不同介质中的传播速度和衰减率时，可以通过调节网格大小和时间步长的方法来探讨它们对声波传播的影响。
此外，还可以研究声波在复杂介质结构中的传播规律，如声波在不同形状和密度的障碍物中的散射和衍射现象。
声学波传播的数值模拟分析还可以应用于声波在医学成像和工程设计中的研究。
例如，在医学领域中，数值模拟分析可以用于研究超声波在人体组织中的传播规律，以帮助医生进行准确的诊断和治疗。
在工程设计中，数值模拟分析可以用于研究声波在复杂环境中的传播特性，如建筑物中的声学设计和噪音控制。
当然，声学波传播的数值模拟分析也存在一些挑战和限制。
首先，模拟的精确度和计算效率之间存在着一定的平衡。
增加模拟的精度会导致计算量的增加，而过于追求计算效率可能会牺牲模拟的准确性。
其次，模拟结果往往需要与实验数据进行对比验证，以确保模拟的可靠性。
第四节长波近似
P b22E 0( 1)E,
式中是离子晶体的光频介电常量。
b22 0( 1 )
b12 0 s T 0
2
2
b22
b122
2 T0
0 ( s
1)
又
2 L0
b11
0
b122 b22
T20
b122
0 b22
2 T
0
2 L0
s
光频介电常量
---著名的LST关系
WL
b11
0 b22
b12 2
W L
WT
b11WT
b12ET
由麦克斯韦电磁波理论可知，ET EL ，则上式变为
WT b11WT
上面两方框中式子均为简谐方程，由此得振动频率
2 T0
b11,
2 L0
b11
b122
0 b22
2 T0
b122
0 b22
为了将系数b11，b21(=b12)和晶体的介电系数联系起来，再 考虑两种极端情况：
W
b11W
b12 E
(1)
P b21W b22E (2)
(1)式代表振动方程，右边第一项 b11W为准弹性恢复力，
第二项表示电场 E 附加了恢复力。
(2)式代表极化方程，b21W 表示离子位移引起的极化，第
二项表示电场 E 附加了极化。
2.LST关系(Lyddane—Sachs—Teller关系)
变软。称 TO 0 的振动模式为铁电软模(或光学软模)。
§3.4 长波近似
下面以一维双原子链为例讨论。
3.4.1 长声学波
1.对于声学支格波
2 A
mM
m
M
m2
固体物理讲义-第二章(第一和第二节)
弧线为 ω = 2(
β
M
1
) 2 sin
qa ；直线为 ω=Vq。 2
长波极限和短波极限下的原子位移示意图：
q 趋于 0, λ>>a
q 趋于 π/a, λ=2a
两种极限情况下，相邻原子的相对运动情况不同。
(3)格波的相速度(Vp)和群速度(Vg)。 两种速度存在不同的物理含义： 相速度(Vp)是特定频率为ω， 波矢为q的纯波 (单色波)的传播速度；而群速度(Vg)描述平均频率为ω，平均波矢为q的波包(复色
23
《固体物理学》
第二章 晶格振动和固体比热
利用欧拉公式： eiθ + e −iθ = 2 cos θ 和 1 − cos θ = 2sin 2
θ
2
ω2 =
2β 4β qa (1 − cos aq ) = sin 2 ( ) M M 2 1 β qa ⇒ ω = 2( ) 2 sin M 2
可以看出上式与n无关，表明n个联立方程都归结为同一个方程。只要ω和q 之间满足上式，就表示上式为联立方程的解。通常把之间的关系称为色散关系。 一维单原子链的色散曲线：
X m = Aei ( qma −ωt )
(2)格波波长：
= Aei ( qma + 2π −ωt ) = Aei ( qna −ωt ) = X n ; λ = 2π q
24
《固体物理学》 格波与连续介质波的差别：
第二章 晶格振动和固体比热
X = Aei ( qx −ωt ) ，式中，连续介质波中 x 表示空间的任一点，而在格波中只
U'= 1 2 β ∑ ( X n − X n +1 ) ， β = u "( a ) ， u ( x ) 表示一维原子链中距离为x的两原子 2 n
声学波和光学波
长波极限 光学波
B m ( ) A M
—— 长光学波同种原子振动方向一致，相邻原子振动相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
例题 一维复式格子中，如果
计算 1) 光学波频率的最大值
和最小值 , 和 ；
2
1 2
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
两种格波的振幅
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
，声学波频率
ห้องสมุดไป่ตู้
的最大值
3) 在
；
下，三种声子数目各为多少？
2) 相应声子的能量
4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
1) 声学波的最大频率
光学波的最大频率
A max
3 10
14
rad / s
1 2 1 2
1 2
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 不存在格波
频率间隙
( ) min ~ ( ) max
—— 一维双原子晶格 叫做带通滤波器
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
长波极限
声学波
应用
2 sin( qa ) mM
长波极限下声学波特点
长波极限下声学波特点
通俗地讲就是：在长波极限下（q趋近0）：
（1）对于光学波w+，有大小原子振幅比等于负的小大原子的质量比（B/A=-m/M）即Am+BM=0.所以光学波在长波极限下，描述的是原胞（大小原子）质心不动，大小原子相对于质心的振动，由于是负号，所以大小原子振幅方向相反，就像一个大人和一个小孩玩跷跷板一样，你上我下，你下我上。
“这就是你所问的描述的两个原子的运动！！！”
（2）对于声学波w-，有大小原子振幅比等于+1，即振幅大小和方向都相同。
所以大小原子可以看成是一个整体，就像一个大人抱着一个小孩一起挂在一根弹簧下，一起做上下振动。
就是原胞的质心在震动啦！“这就是你所问的一个原胞的振动，其实就是两个原子振动方向大小相同，看做是一个啦！。
0303一维双原子链 声学波和光学波
m2 2 2 cosaq
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
4.1
时m和M原子振动的振幅
声学波
—— m原子静止不动，相邻原子振动的相位相反
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
4.1
时m和M原子振动的振幅
光学波
长光学波中相邻原子的振动
(
B A
)
m M
—— 长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
两种格波中m和M原子振动振幅之比
•声学支格波仍描述元胞内原子的同相整体运动 •光学支格波仍描述元胞内原子的反相运动。
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第2n+1个M原子的方程 M 2n1 (2n2 2n 22n1)
第2n个m原子的方程 m2n (2n1 2n1 22n )
—— N个原胞，有2N个独立的方程 （总自由度数）
03_03_一维双原子链 声学波和光学波 —— 晶格振动与晶体的热学性质
3. 色散关系的特点 3.1 短波极限
2
(m M mM
)
{1
[1
4mM (m M
)2
sin2
aq]1/ 2}
( mM
)1/2{(m
M ) (M
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声学波长波极限分析过程
声学波长波极限分析过程的总结
声学波是指在流体或固体中传播的机械波，其频率和波长与声音的特性有关。
声学波的频率范围从次声波（低于人耳听觉范围）到超声波（高于人耳听觉范围），其波长范围从几米到几微米。
声学波的传播速度称为声速，其值取决于介质的密度和弹性模量。
声学波的分析过程通常涉及以下几个步骤：
- 建立声学控制方程。
根据声学现象的类型和复杂度，选择合适的物理模型和数学方程来描述声学波的产生、传输和检测。
常用的声学控制方程有标量波动方程、亥姆霍兹方程、线性化纳维-斯托克斯方程、线性化欧拉方程、线性化势流方程、Biot方程等。
- 求解声学控制方程。
根据声学控制方程的形式和求解域的特征，选择合适的数值方法和算法来求解声学控制方程。
常用的数值方法有有限元法、边界元法、间断伽辽金有限元法、射线追踪法等。
- 分析声学结果。
根据求解目标和应用需求，对求解得到的声学结果进行分析和评估。
常用的声学结果有压力、速度、密度、温度、能量、强度、相位、幅值、频率、波长、色散关系等。
声学波长是指两个相邻的相同相位点之间的距离，其值与频率和声速成反比。
声学波极限是指在某些条件下，声学波的行为发生变化或失效的极端情况。
常见的声学波极限有以下几种：- 长波极限。
当声学波的波长远大于介质中任何不均匀性或障
碍物的尺寸时，可以忽略散射、衍射等效应，简化为均匀介质中的平面波或球面波。
在长波极限下，压力声学可以近似为弹性波，而光学格子振动可以近似为等温流动。
- 短波极限。
当声学波的波长远小于介质中任何不均匀性或障碍物的尺寸时，可以忽略折射、反射等效应，简化为几何光学中的射线或光束。
在短波极限下，压力声学可以近似为几何声学或射线声学，而光学格子振动可以近似为色散无关的单色平面波。
- 非线性极限。
当声音源产生的压力变化非常大时，可以忽略线性化假设，考虑介质中压力和密度的非线性关系。
在非线性极限下，声学波的波形会发生畸变，产生高次谐波和激波等现象。