声学波长波极限分析过程
13、长波近似解析
将（4）式代入（3），可得
第3页
§3.5 长波近似
即
m 2 A e iqa e iqa B 2 A ( 6) 2 iqa iqa M B e e A 2 B
B 2 m 2 (7) iqa qa A (e e )
是用微观参数表示的弹性波的波速。
第7页
2、一维连续介质波动方程
因此连续介质因位移而引起的形变（应变）为：
§3.5 长波近似
设有一维连续介质，x点的位移为u(x)，(x+dx)点的位移为u(x+dx)，
u( x dx ) u( x ) dx
u( x )
u( x dx)
设介质的弹性模量为c，则在x点因形变而产生的恢复力
因此当l为有限整数时，不论l为奇数或偶数，都有 上式说明：
欧拉公式
u2 n l 1(10) lim q 0 u2 n 1
在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程实际可视为一
个方程，它们的一般表达式：
d 2 u2n l 2 2 2 q a u2n l (11) 2 dt m M
邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相集体运动。
第6页
§3.5 长波近似 从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离坐标可视
为连续坐标，所以有
u2n l Ae
i ( qr t )
u
于是，原子的运动方程可写为
2 2u 2 2 2 2 2 u q a u2 n l a 2 2 t m M m M r 2 2u u 2 2 v t 2 (12) 1 t r 2 2 上式为标准的宏观弹性波的波动方程，其中 vt a m M
第2章 晶格热振动
关于A,B齐次方程组无穷多解,有非零A,B解条件是方程组系数 行列式为零，可以得到一个关于2的一元二次方程，解得：
2
[mM(m2M22mMcosqa)12]
mM
2
[mM(m2M22mMcosqa)12]
mM
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
二、一维复式晶格的热振动 3.色散关系
+ 光学支
x2
dV(x) 0 dx x0
令：
＝ 1 2
d 2V ( x) dx2
选择合适的势能零点，有
V (x) 1 x2 2
f (x) dV (x) x dx
简谐近似
r 抛物线近似
2.1 一维晶格（原子链）的热振动
一、一维简单晶格的热振动 3. 格波及色散关系
（1） q的物理意义， ＝2/q
3nN
Hˆ 总 Hˆ i i 1
2.2 三维晶格的热振动
三、三维复式晶格的热振动的一般规律 3.声子的概念
上述3nN个独立的线性谐振子的薛定谔方程可以分离变量求解，
其能量本证值为：
（n 1）
2
晶格振动的能量量子－－声子 声子是晶格集体振动的一种元激发
类比：光波和光子 声波和声子
2.2 三维晶格的热振动
g()d
0 exp 1
kBT
2.3晶格比热的实验研究结果
杜隆-柏替（Dulung-Petit）定律
当温度很高时，实验发现所有固体的晶格比热均趋于相同的常数
CV ~3NkB
离子固体：T～0，
CV ~ T3
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型
E 3Na exp
1
kBT
爱因斯坦温度
2.4 晶格比热的爱因斯坦模型
东师《固体物理》20春在线作业2答案17
(判断题)34:
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)35:
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)36: 原子电负性描述原子得失电子的难易程度，用于衡量原子对外层电子吸引能力。
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)37:
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)38: 按照固体中原子的排列方式不同，将固体分为晶体和非晶体。
正确答案: B
(判断题)29: 每个布里渊区的体积都相等，且都等于倒格子原胞的体积。
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)30:
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)31:
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)32:
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)33:
A: 错误
B: 正确
(单选题)4:
A: －
B: －
C: －
D: －
正确答案: D
(单选题)5:
A: -
B: -
C: -
D: -
正确答案: C
(单选题)6:
A: -
B: -
C: -
D: -
正确答案: D
(单选题)7:
A: -
B: -
C: -
D: -
正确答案: A
(单选题)8:
A: -
B: -
C: -
D: -
正确答案: B
C: 某一格点
D: 某一点
正确答案: B
13、长波近似解析
vq
这里的c相当于杨氏模量.
q
第 10 页
§3.5 长波近似 恢复力： 把上式应用于一维复式格子，应变是 所以
F c
du dx
F c
um 1 um , (16 ) a
du um 1 um dx a
而第m+1个原子的位移而引起的对第m个原子产生的恢复力
圓频率小于纵光学波的圆频率。
离子晶体的极化由两部分贡献
构成：
E
第 16 页
§3.5 长波近似
对立方晶系,洛伦兹提出了
求解有效电场的一个方法：
正离子向左
Eeff
1 E P (1) 3 0
其中P为宏观极化强度。 离子晶体的极化由两部分贡献
构成：
E
第 17 页
§3.5 长波近似
离子位移极化:是正负离子的相对位移产生的电偶极矩，这种极化
§3.5 长波近似
u e * Eeff (5) u
为了表述方便，通常引入一个相对位移参量
W
1
2
u
1
2
N u V
1
2
u
其中ρ 为质量密度，Ω 为原胞体积。 这样极化强度
P
N * e u Eeff n0 e * u Eeff ( 2) V
由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化现象 。
模型：设每个原胞中只有两个电荷 量相等、符号相反的离子。
第 13 页
§3.5 长波近似
注意：只有当电磁波与光学波的频率、波长相同时才会发生强烈的耦合作用。 离子晶体中光学支的频率大约为1013s-1的数量级，而在此频段的电磁波 处于红外波段，波长大约为10－6 m数量级，因此要求光学支格波也要有同样 的波长。此波长要比离子晶体的晶格常数大得多，是长光学波。
固体物理复习_简述题
"固体物理"根本概念和知识点第一章根本概念和知识点1) 什么是晶体、非晶体和多晶？(H)*晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不经过结晶(即有序化)的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。
由许许多多个大小在微米量级的晶粒组成的固体，称为多晶。
2) 什么是原胞和晶胞？(H)*原胞是一个晶格最小的周期性单元，在有些情况下不能反响晶格的对称性；为了反响晶格的对称性，选取的较大的周期单元，称为晶胞。
3) 晶体共有几种晶系和布拉伐格子？(H)*按构造划分，晶体可分为7大晶系, 共14布拉伐格子。
4) 立方晶系有几种布拉伐格子？画出相应的格子。
(H)*立方晶系有简单立方、体心立方和面心立方三种布拉伐格子。
5) 什么是简单晶格和复式格子？分别举3个简单晶格和复式晶格的例子。
(H)*简单晶格中，一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。
碱金属具有体心立方晶格构造；Au、Ag和Cu具有面心立方晶格构造，它们均为简单晶格复式格子则包含两种或两种以上的等价原子，不同等价原子各自构成一样的简单晶格，复式格子由它们的子晶格相套而成。
一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl、CsCl、ZnS等；一种是一样原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，如：具有金刚石构造的C、Si、Ge等6) 钛酸钡是由几个何种简单晶格穿套形成的？(H)BaTiO在立方体的项角上是钡(Ba)，钛(Ti)位于体心，面心上是三组氧(O)。
三组氧(OI，OII，*3OIII)周围的情况各不一样，整个晶格是由 Ba、 Ti和 OI、 OII、 OIII各自组成的简立方构造子晶格(共5个)套构而成的。
7) 为什么金刚石是复式格子？金刚石原胞中有几个原子？晶胞中有几个原子？(H)*金刚石中有两种等价的C原子，即立方体中的8个顶角和6个面的中心的原子等价，体对角线1/4处的C原子等价。
高二物理竞赛课件：一维双原子链模型
4mM (m M )2
sin2
1
aq
2
独立的格波：
• 声学波（频率较低）
• 光学波（频率较高）
2 m
• 频率的禁带区
2
• 命名主要根据两种格波在长
M
波极限 ( q→0 ) 的性质
一维双原子链模型
声学波的长波极限
• 频率 q 0,
2 sin(aq) a
mM
2 q
mM
• 两种原子振幅比值
• 慢中子的能量：0.02~0.04 eV，与声子的能量同数量级； 中子的德布罗意波长：2~3×10-10 m（2~3 Å），与晶格常 数同数量级；可直接准确地给出晶格振动谱的信息
• 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况
典型晶格振动谱
Pb
Cu
典型晶格振动谱
Si GaAs
典型晶格振动谱
一维双原子链模型
一维双原子链模型
• 两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子
• M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4…
• 晶格常数、同种原子间的距离：2a
• 第2n+1个M原子的方程
M
d 22n1
dt 2
(22n1 2n2
2n )
• 第2n个m原子的方程
• 离子晶体中光学波的共振能引 起对远红外光的强烈吸收，可
应用于红外光谱学
• 晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光子受晶格的 非弹性散射来测定。
• 中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）与晶 体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非弹性散 射表现为中子吸收或发射声子的过程。
固体物理：3_3 一维双原子链 声学波和光学波
m2 2 2 cos aq
在长波极限下， q 0
2 max
2
(M Mm
m)
2
B ( A)
m
2
2
2 cosqa
m M
表明：长波光学模中原胞内两原子作相对振动，而且原胞
质心保持不动。这一点很重要，例如离子晶体中，原胞内正、 负离子振动方向相反，产生迅速变化的电偶极矩，与光波耦 合必然影响其光学性质，这就是为什么称为光学模的原因。
2 min
m 2
m
2
(
B A)
m2 2 2 cos aq
B ( A)
m2 2 2 cosqa
0
表明基元中相邻原子作相对振动，这是光 学模的振动特点。
东北师范大学物理学院
3 – 3 一维双原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
相邻原子的运动情况
（声学支Acoustic branches）
24516710gmk???maxoeminoemaxaemino?15nm??maxo?4mm?maxa?41510dyncm?第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院1声学波的最大频率14max310arads???光学波的最大频率光学波的最小频率14610rads??max2am???4mm?15nm??max2o????02mmmmm????14max256710oradsm?????min2om???cmgs2m???radsgdyncm第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院max0442oeev?min0396oeev?max0198aeev?2相应声子的能量minminooe??min2om???maxmaxooe??max2o????max2am???maxmaxaae??第三章晶格振动与晶体的热学性质33一维双原子链东北师范大学物理学院6周期性边界条件periodicboundarycondition表明
声音的波长与频率的调节原理
声音的波长与频率的调节原理声音是一种机械波，它通过振动传递能量。
声音的波长和频率是描述声音波特性的两个重要参数。
1.波长：声音波长的定义是振动在介质中传播一个周期所经过的距离。
通常用符号λ表示，单位是米(m)。
波长与声音的传播速度有关，传播速度越快，波长越长。
2.频率：声音频率的定义是单位时间内声音波的振动次数。
通常用符号f表示，单位是赫兹(Hz)。
频率与声音的音高有关，频率越高，音高越高。
3.波长与频率的关系：根据波动方程v=λf（其中v表示波速，λ表示波长，f表示频率），波长和频率是成反比的关系。
当波速一定时，波长越长，频率越低；波长越短，频率越高。
4.声音的调节原理：声音的波长和频率可以通过调节声源的振动频率和介质的速度来实现。
例如，在空气中传播的声音，通过改变声源的振动频率可以产生不同音高的声音，而通过改变空气的速度（如吹气的力度）可以改变声音的波长和频率，从而产生不同音色的声音。
5.应用：声音的波长和频率在许多领域有重要的应用。
例如，在音乐领域，乐器的音高和音色与声音的波长和频率有关；在通信领域，无线电波的波长和频率用于调制和解调信号；在声学研究中，通过分析声音的波长和频率可以了解声波的传播特性和介质特性。
总结：声音的波长和频率是描述声音波特性的两个重要参数，它们之间有密切的关系。
通过调节声源的振动频率和介质的速度，可以改变声音的波长和频率，产生不同音高和音色的声音。
声音的波长和频率在各个领域有广泛的应用。
习题及方法：1.习题：一个频率为440Hz的声音在空气中传播，求该声音的波长。
解题思路：已知声音的频率为440Hz，空气中的声速大约为340m/s。
根据波动方程v=λf，可以求得该声音的波长。
解题方法：λ = v / f = 340m/s / 440Hz = 0.7727m答案：该声音的波长约为0.7727米。
2.习题：一个波长为1.5米的声音在空气中传播，求该声音的频率。
解题思路：已知声音的波长为1.5米，空气中的声速大约为340m/s。
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声学波长波极限分析过程
声学波长波极限分析过程的总结
声学波是指在流体或固体中传播的机械波，其频率和波长与声音的特性有关。
声学波的频率范围从次声波（低于人耳听觉范围）到超声波（高于人耳听觉范围），其波长范围从几米到几微米。
声学波的传播速度称为声速，其值取决于介质的密度和弹性模量。
声学波的分析过程通常涉及以下几个步骤：
- 建立声学控制方程。
根据声学现象的类型和复杂度，选择合适的物理模型和数学方程来描述声学波的产生、传输和检测。
常用的声学控制方程有标量波动方程、亥姆霍兹方程、线性化纳维-斯托克斯方程、线性化欧拉方程、线性化势流方程、Biot方程等。
- 求解声学控制方程。
根据声学控制方程的形式和求解域的特征，选择合适的数值方法和算法来求解声学控制方程。
常用的数值方法有有限元法、边界元法、间断伽辽金有限元法、射线追踪法等。
- 分析声学结果。
根据求解目标和应用需求，对求解得到的声学结果进行分析和评估。
常用的声学结果有压力、速度、密度、温度、能量、强度、相位、幅值、频率、波长、色散关系等。
声学波长是指两个相邻的相同相位点之间的距离，其值与频率和声速成反比。
声学波极限是指在某些条件下，声学波的行为发生变化或失效的极端情况。
常见的声学波极限有以下几种：- 长波极限。
当声学波的波长远大于介质中任何不均匀性或障
碍物的尺寸时，可以忽略散射、衍射等效应，简化为均匀介质中的平面波或球面波。
在长波极限下，压力声学可以近似为弹性波，而光学格子振动可以近似为等温流动。
- 短波极限。
当声学波的波长远小于介质中任何不均匀性或障碍物的尺寸时，可以忽略折射、反射等效应，简化为几何光学中的射线或光束。
在短波极限下，压力声学可以近似为几何声学或射线声学，而光学格子振动可以近似为色散无关的单色平面波。
- 非线性极限。
当声音源产生的压力变化非常大时，可以忽略线性化假设，考虑介质中压力和密度的非线性关系。
在非线性极限下，声学波的波形会发生畸变，产生高次谐波和激波等现象。