考研数学一(填空题)模拟试卷37(题后含答案及解析)

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考研数学(数学一)模拟试卷437(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷437(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设g(x)在x=0的某邻域内连续且又设f(x)在该邻域内存在二阶导数且满足x2f”(x)一[f’(x)]2=xg(x)．则( )A．f(0)是f(x)的极大值．B．f(0)是f(x)的极小值．C．f(0)不是f(x)的极值．D．f(0)是否为f(x)的极值要由具体的g(x)决定．正确答案：B解析：故f(0)为f(x)的一个极小值．2．设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增加，又设则φ(x)在区间(一∞，+∞)上( )A．严格单调减少．B．严格单调增加．C．存在极大值点．D．存在极小值点．正确答案：B解析：令上式分子为Ф(x)=(x—a)f(x)一∫axf(t)dt=(x一a)f(x)一(x一a)f(ξ)=(x —a)[f(x)一f(ξ)]，其中，当a＜x时，a＜ξ＜x，从而f(ξ)＜f(x)；当a＞x时，a＞ξ＞x，从而f(ξ)＞f(x)．所以不论a＜x还是a＞x，总有Ф(x)＞0．所以当x ≠a时φ’(x)＞0．从而知在区间(一∞，a)与(a，+∞)上φ(x)均为严格单调增加．以下证明在区间(一∞，+∞)上φ(x)也是严格单调增加．事实上，设x2∈(a，+∞)，则其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在开区间(a，x2)内．同理，设x1∈(一∞，a)，则有φ(x)一φ(x1)=f(a)一f(ξ1)＞0，其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上两个不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．3．设则f(x，y)在点O(0，0)处( )A．极限不存在．B．极限存在但不连续．C．连续但不可微．D．可微．正确答案：C解析：所以f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．若在点0(0，0)处可微，则应有但是上式并不成立，事实上，所以f(x，y)在点O(0，0)处不可微．故应选(C)．4．下述命题①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续；②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界；③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数；④设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的有界函数．其中正确的个数为( )A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：B解析：①与③是正确的，②与④是不正确的，理由如下：①是正确的．设x0∈(一∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中，由于题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x0处连续，所以在(一∞，+∞)上连续．论证的关键之处是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续．③是正确的．设x0∈(一∞，+∞)，则f(x0)＞0，且在x0处连续．由连续函数的四则运算法则知，在x0处也连续，所以且在(一∞，+∞)上连续．②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间这个界与[a，b]有关，容易看出，在区间(一∞，+∞)上f(x)=x就无界了．④是不正确的．反例：f(x)=ex2，在区间(一∞，+∞)上0＜f(x)≤1，所以f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，而在(一∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时，故应选(B)．5．设A，B是n阶实对称可逆矩阵．则下列关系错误的是( )A．A，B等价．B．AB，BA相似．C．A，B合同．D．A2，B2合同．正确答案：C解析：(A)成立，A，B均是可逆矩阵，均可以通过初等行变换化成单位矩阵，即有可逆矩阵P，Q，使得PA=QB=E，即有Q－1PA=B，故AB．(B)成立，取可逆矩阵P=A，则有P－1(AB)P=A－1(AB)A=BA．故AB～BA．(D)成立，A，B是实对称可逆矩阵，特征值分别为λi，μi(i=1，2，…，n)均不为零，Ai2，Bi2的特征值分别为λi2＞0，μi2＞0，(i=1，2，…，n)A2，B2均是正定矩阵．它们的正惯性指数均为n(负惯性指数为零)．故由排除法，应选(C)．对于(C)，取均是可逆的实对称矩阵，但A的正惯性指数为2，B的正惯性指数为1，故A，B不合同．6．设A是3阶矩阵ξ1=(1，2，一2)T，ξ2=(2，1，一1)T，ξ3=(1，1，t)T是线性非齐次方程组Ax一b的解向量，其中b=(1，3，一2)T，则( ) A．t=一1时，必有r(A)=1．B．t=一1时，必有r(A)=2．C．t≠一1寸，必有r(A)=1．D．t≠一1时，必有r(A)=2．正确答案：C解析：由ξ1，ξ2，ξ3是Ax=b的解向量，t≠一1时，r(B)=3，知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，ξ1－ξ2，ξ2－ξ3是对应齐次方程组Ax=0的两个线性无关解，故r(A)≤1，但A≠O(若A=0，则Ax=b无解，这和题设条件矛盾)，故必有，r(A)=1，故应选(C)．7．将一枚均匀硬币连续抛n次，以A表示“正面最多出现一次”，以B表示“正面和反面各至少出现一次”，则( )A．n=2时，A与B相互独立．B．n=2时，AB．C．n=2时，A与B互不相容．D．n=3时，A与B相互独立．正确答案：D解析：当n=2时，由P(AB)≠P(A)P(B)知A与B不相互独立，排除(A)．又P(A)＞P(B)知AB，排除(B)．A∩B=B，故A与B互不相容不成立，排除(C)．当n=3时，由上知P(AB)=P(A)P(B)，因此A与B相互独立．故应选(D)．8．设随机变量X1，…，Xn(n＞1)独立同分布，其方差σ2＞0，记(1≤k≤n)，则(1≤s，t≤n)的值等于( )A．B．C．σ2·max{s，t}．D．σ2·min{s，t)．正确答案：A解析：填空题9．已知f’(x)=arctan(x－1)2，f(0)=0，则∫01f(x)dx=________．正确答案：解析：f(x)=f(0)+∫0xf’(t)dt=∫0xarctan(t－1)2dt，10．设f(u)有连续的一阶导数，S是曲面z=6+x2+y2(6≤z≤7)，方向取上侧．则曲面积分正确答案：0解析：添平面S1：z=7(x2+y2≤1)，向下，11．椭圆绕x轴旋转一周生成的旋转曲面S的面积=________．正确答案：解析：12．正确答案：解析：13．设A是n阶矩阵，α，β是n维列向量，a，b，c是实数，已知正确答案：(c－b)a解析：14．设X1，X2，…，Xn为来自标准正态总体X的简单随机样本，记则E(T2)=________．正确答案：解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷120(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．=A．0．B．－∞．C．+∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A．高阶无穷小．B．低价无穷小．C．同阶非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)．知识模块：高等数学填空题3．设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)= (D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．正确答案：(I)B(Ⅱ)D解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(填空题)模拟试卷120(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1.1．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分2．=_______。

正确答案：24解析：根据行列式的性质作恒等变形，可得知识模块：行列式3．已知f’(x0)=一1，则=_________．正确答案：1解析：根据导数的定义式，有f’(x0)=．由于知识模块：一元函数微分学4．已知，若X满足AX＋2B＝BA＋2X，那么X2＝_______．正确答案：解析：根据已知AX＋2B＝BA＋2X，得AX－2X＝BA－2B，即(A－2E)X ＝B(A－2E)，由于A－2E＝是可逆的，因此X＝(A－2E)-1B(A－2E)，那么X2＝(A－2E)-1B2(A－2E) 知识模块：矩阵5．设f(x)具有连续导数，且F(x)＝(x2－t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)＝______．正确答案：解析：由于F(x)＝(x2—t2)f’(t)dt＝x2f’(t)dt—t2f’(t)dt，所以F’(x)＝2xf’(t)dt ＋x2f’(x)—x2f’(x)＝2xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而＝2f’(0)＝1，故f’(0)＝知识模块：高等数学6．＝______．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．设y=y(x)是由方程2y3—2y2+2xy—x2=1确定的，则y=y(x)的极值点是______。

正确答案：x=1解析：方程两边对x求导，可得y′(3y2—2y+x)=x—y，(1)令y′=0，有x=y，代入2y3—2y2+2xy—x2=1中，可得(x—1)(2x2+x+1)=0，则x=1是唯一的驻点。

对(1)式求导得y″(3y2—2y+x)+y′(3y2—2y+x)′=1—y′，把x=y=1，y′(1)=0代入上式，得y″(1)=＞0。

故x=1是y(x)的极小值点。

知识模块：一元函数微分学8．函数f(x)=xe－2x的最大值为_________．正确答案：解析：由f’(x)=(1—2x)e－2x=0得x=，当x＜时，f’(x)＞0；当x＞时，f’(x)＜0，则x=为f(x)的最大值点，最大值为．知识模块：高等数学9．= _______。

考研数学一(填空题)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1.1．当x→0时，x—sinxcos2x～cx2，则c=___________，k=___________．正确答案：c=，k=3．解析：知识模块：高等数学2．方程｜A｜＝＝0的根是_______．正确答案：a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)解析：由观察可知，χ1＝a1时，1、2行对应元素相等，｜A｜＝0；χ2＝a2时，2、3行对应元素相等，｜A｜＝0，χ3＝a3，时，3、4行对应元素相等，｜A｜＝0．又由行列式的每行元素和为χ＋a1＋a2＋a3，将2、3、4列各元素加到第1列相应元素上去，且提取公因式得｜A｜＝(χ＋a1＋a2＋a3)＝0，故有χ＝－(a1＋a2＋a3) 所以方程是一元四次方程，四个根依次是a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)．知识模块：行列式3．设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT＝，则αβT＝_______．正确答案：5解析：设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，则而αTβ＝(a1，a2，a3)＝a1b1＋a2b2＋a3b3 可以看出αTβ也就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以αTβ＝1＋6＋(－2)＝5．知识模块：矩阵4．设函数f(x)有任意阶导数且f’(x)=f2(x)，则f(n)(x)=______(n＞2)·正确答案：n!fn+1(x)解析：将f’(x)=f2(x)两边求导得f”(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求导得f”‘(x)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可归纳证明f(n)(x)=n!fn+1(x)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．设y=sinx2，则=____________．正确答案：解析：设u=x3，则x=，于是由复合函数求导法则即得知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．设随机变量X概率分布为P{X=k}=(k=0，1，2，…)则E(X2)=________。

考研数学一(线性代数)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是( )．A．若方程组AX=0只有零解，则方程组AX=b有唯一解B．若方程组AX=0有非零解，则方程组AX=b有无穷多个解C．若方程组AX=b无解，则方程组AX=0一定有非零解D．若方程组AX=b有无穷多个解，则方程组AX=0一定有非零解正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分2．设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．A．若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解B．若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解C．若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解D．若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解正确答案：D解析：因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则，即方程组AX=b一定有解，选(D)．知识模块：线性代数部分3．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1．因为A*A=｜A｜E=0，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数部分4．设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是( )．A．α1+α2，α2+α3，α3一α1B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D．α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2—5α3正确答案：C解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)．知识模块：线性代数部分5．设α1，α2为齐次线性方程组AX=0的基础解系，β1，β2为非齐次线性方程组AX=b的两个不同解，则方程组AX=b的通解为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：选(D)，因为α1，α1+α2为方程组AX=0的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组AX=b的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)．知识模块：线性代数部分6．设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆B．r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要条件是r(AB)＜nC．AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)D．A～B的充分必要条件是λE一A～λE一B正确答案：D解析：若A～B，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，于是P-1(λE一A)P=λE一P-1AP一λE一B，即λE一A～λE～B；反之，若λE一A～λE一B，即存在可逆矩阵P，使得P-1(λE一A)P=λE一B，整理得λE一P-1AP=λE 一B，即P-1AP=B，即A～B，应选(D)．知识模块：线性代数部分7．设A为n阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A*的一个特征值为( )．正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有选(B)．知识模块：线性代数部分8．设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．A．矩阵A不可逆B．矩阵A的迹为零C．特征值一1，1对应的特征向量正交D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．知识模块：线性代数部分9．设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=一2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．A．α1+α3B．3α3一α1C．α1+2α2+3α3D．2α1-3α2正确答案：D解析：因为AX=0有非零解，所以，r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α1，α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α1+α3为属于特征值λ0的特征向量，则有A(α1+α3)=λ0(α1+α3)，注意到A(α1+α3)=Oα1一2α3=一2α3，故一2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0，因为α1，α3线性无关，所以有λ0=0，λ0+2=0，矛盾，故α1+α3不是特征向量，同理可证3α3一α1及α1+2α2+3α3也不是特征向量，显然2α1一3α2为特征值0对应的特征向量，选(D)．知识模块：线性代数部分10．设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．矩阵A与单位矩阵E合同B．矩阵A的特征值都是实数C．存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D．存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵正确答案：A解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A)．知识模块：线性代数部分11．设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则( )．A．A的n个特征值都是单值B．A是可逆矩阵C．A存在n个线性无关的特征向量D．A一定为n阶实对称矩阵正确答案：C解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)．知识模块：线性代数部分12．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠0，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1，令AX=λX，由A2X=αβT×αβTX=0=λ2X得λ=0，因为r(0E—A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．知识模块：线性代数部分13．设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．A．CTACB．A-1+B-1C．A*+B*D．A—B正确答案：D解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A-1，B-1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因为C 可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)．知识模块：线性代数部分填空题14．设，且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分15．设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n一1，则方程组Ax=0的通解为__________.正确答案：解析：知识模块：线性代数部分16．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，Aki≠0，则AX=0的通解为__________．正确答案：C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，又因为Aki≠0，所以r(A*)≥1，从而r(A)=n一1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=｜A｜E=0，所以A*的列向量为方程组AX=0的解向量，故AX=0的通解为C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．知识模块：线性代数部分17．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ks ηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是__________．正确答案：k1+k2+…+ks=1．解析：k1+k2+…+ks=1．显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．知识模块：线性代数部分18．设B≠0为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k=_________，｜B｜=__________．正确答案：k=1，｜B｜=0．解析：令，因为B的列向量为方程组的解且B≠0，所以AB=0且方程组有非零解，故｜A｜=0，解得k=1．因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2＜3，故｜B｜=0．知识模块：线性代数部分19．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分20．正确答案：-1解析：知识模块：线性代数部分21．正确答案：a1+a2+a3+a4=0解析：知识模块：线性代数部分22．设A是三阶矩阵，其三个特征值为，则｜4A*+3E｜=__________．正确答案：10解析：知识模块：线性代数部分23．正确答案：a=2，b=3解析：解得λ=5，a=2，b=3．知识模块：线性代数部分24．设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_________，对应的特征向量为________.正确答案：4；解析：知识模块：线性代数部分25．正确答案：3解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+3—6a=0，a=3．知识模块：线性代数部分26．正确答案：x=3，y=1解析：知识模块：线性代数部分27．设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为，则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分28．设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为__________．正确答案：0或者3解析：因为A2=3A，令AX=λX，因为A2X=λ2X，所以有(λ2一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ3=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(填空题)高频考点模拟试卷37(题后含答案及解析)

考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷37(题后含答案及解析) 题型有：1.1．＝_______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续2．=__________。

正确答案：secx一tanx+x+C解析：知识模块：一元函数积分学3．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是________。

正确答案：λ≠1且λ≠解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜==(5λ+4)(λ一1)≠0，所以λ≠1且λ≠一。

知识模块：线性方程组4．设(1，1，1)T，(2，2，3)T均为线性方程组的解向量，则该线性方程组的通解为________。

正确答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R解析：该线性方程组的系数矩阵为A=。

已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵A不满秩，也即r(A)＜3，又因为A的一个二阶子式=一2≠0，所以r(A)≥2。

故r(A)=2。

因此导出组Ax=0的基础解系中含有1个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3)T一(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基础解系。

故原方程组的通解为k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。

知识模块：线性方程组5．＝_______。

正确答案：ln3；涉及知识点：一元函数积分学6．设z＝f(2χ－y)＋g(χ，χy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求_______．正确答案：－2f〞(2χ－y)＋χg〞12＋g′2＋yχg〞22 涉及知识点：多元函数微积分7．＝_______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续8．设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x),f(2)=1，则f’’(2)=____________．正确答案：2e3解析：由题设知f’(x)=ef(x)，在此方程两边同时对x求导得f’’(x)=ef(x)f’(x)=e2f(x)，f’’(x)=2e2f(x)f’(x)=2e3f(x)，又f(2)=1，故f’’’(2)=2e3f(2)=2e3．知识模块：一元函数微分学9．设函数y＝f(χ)由方程χy＋2lnχ＝y4所确定，则曲线y＝f(χ)在(1，1)处的法线方程为_______．正确答案：y＝－χ＋2解析：χy＋2lnχ＝y4两边对χ求导得，将χ＝1，y＝1代入得＝1，故曲线y＝f(χ)在点(1，1)处的法线为y－1＝－(χ－1)，即y＝－χ＋2．知识模块：一元函数微分学10．=_______(其中a为常数)正确答案：解析：令I= 知识模块：一元函数积分学11．设f(x)为连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)=___________．正确答案：解析：由变限积分求导公式f(t)dt=f[φ(x)]φ’(x)一f[ψ(x)ψ’(x)即知．知识模块：一元函数积分学12．设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2一y)dxdy=______。

考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷100(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）高频考点模拟试卷100(题后含答案及解析) 题型有：1.1．=________．正确答案：x4．解析：将第2、3、4列都加至第1列，并提出第1列的公因子z，再将第1列的1倍、(一1)倍、1倍分别加至第2、3、4列，然后按第4行展开．知识模块：线性代数2．微分方程xy”+3y’=0的通解为__________.正确答案：y=C1+C2/x2 涉及知识点：常微分方程3．设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=_________．正确答案：一2sinx解析：由题设及原函数存在定理可知，F(x)=∫f(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]’=(cos2x+C)’=一2sinxcosx，从而f(x)=一2cosx，于是F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x一2cost=一2sinx．知识模块：高等数学4．设曲线y=ax3+bx2+cx+d经过(-2，44)，x=-2为驻点，(1，-10)为拐点，则a，b，c，d分别为_____正确答案：1，-3，-24，16解析：由条件解方程可得a=1，b=-3，c=-24，d=16．知识模块：一元函数微分学5．平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为_______．正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学6．设y=ln(1+3-x)，则dy=__________．正确答案：解析：复合函数求导知识模块：一元函数微分学7．=__________．正确答案：sinx2解析：知识模块：一元函数微分学8．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学9．函数z＝1—(x2＋2y2)在点处沿曲线C：x2＋2y2＝1在该点的内法钱方向n的方向导数为______．正确答案：解析：C在M0的内法线方向n正是gradz｜M0，按梯度向量的性质，Z沿梯度方向时方向导数取最大值，就是｜gradzM0｜．因此，知识模块：高等数学10．正确答案：1一x2一y2一z2．涉及知识点：线性代数11．设其中a1，a2，…，an是两两不同的一组常数，则线性方程组ATx=B 的解是________．正确答案：(1，0，…，0)T 涉及知识点：线性代数12．＝_________，其中L：(x2＋y2)2＝a2(x2一y2)(a＞0)．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分13．设Ω是由锥面z=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则xdydz+ydzdx+zdxdy=________。

考研数学一(高等数学)模拟试卷330(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷330(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=则在x=1处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但不是连续可导D．连续可导正确答案：D解析：因为=3=f(1)，所以f(x)在x=1处连续．因为=3，所以f(x)在x=1处可导．当x≠1时，f′(x)=2x+1，因为=3=f′(1)，所以f(x)在x=1处连续可导，选D．知识模块：高等数学2．当x∈[0，1]时，f″(x)＞0，则f′(0)，f′(1)，f(1)－f(0)的大小次序为( )．A．f′(0)＞f(1)－f(0)＞f′(1)B．f′(0)＜f′(1)＜f(1)－f(0)C．f′(0)＞f′(1)＞f(1)－f(0)D．f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)正确答案：D解析：由拉格朗日中值定理得f(1)－f(0)=f′(c)(0＜c＜1)，因为f″(x)＞0，所以f′(x)单调增加，故f′(0)＜f′(c)＜f′(1)，即f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)，应选D．知识模块：高等数学3．设f(x)二阶连续可导，且=－1，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C解析：因为f(x)二阶连续可导，且=0，即f″(0)=0．又=－1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，有＜0，即当x∈(－δ，0)时，f″(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f″(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：高等数学填空题4．=_______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学5．=_______。

正确答案：解析：由ln(1+x)=x－+ο(x2)得，x→0时，x2－xln(1+x)=，知识模块：高等数学6．设f(x)连续，且=_______。

考研数学一(填空题)模拟试卷99(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷99(题后含答案及解析) 题型有：1.1．极限正确答案：2解析：知识模块：函数、极限、连续2．若f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：2解析：，f(0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2．知识模块：高等数学3．若函数f(x)在x＝1处的导数存在，则极限＝______．正确答案：9f’(1)解析：按导数定义，将原式改写成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)．知识模块：高等数学4．设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______．正确答案：0解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0．知识模块：高等数学5．由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=__________．正确答案：3πa2解析：当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0，2π)，曲线在x轴上方，见图3．25．于是图形的面积知识模块：一元函数积分概念、计算及应用6．函数y=x+2cosx在区间上的最大值为__________。

正确答案：解析：令y’=1－2sinx=0，解得把x=0，分别代入函数解析式中得，因此函数在区间上的最大值为知识模块：一元函数微分学7．设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，1／2)的随机变量，则E(|ξ-η|)=_______。

正确答案：解析：若记X=ξ-η，则EX=Eξ-Eη=0，DX=Dξ+Dη=1可得X～N(0，1)．知识模块：概率论与数理统计8．方程组有非零解，则k＝_______．正确答案：－1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即＝12(k＋1)＝0，因此得k＝－1．知识模块：线性方程组9．设∫a2ln2=π／6，则a=_______．正确答案：ln2解析：则arcsine－a／2=π／4，故a=ln2．知识模块：高等数学10．设两两相互独立的事件A，B和C满足条件：ABC=φ，P(A)=P(B)=P （C）＜1/2，且已知p(A∪B∪C)=9/16，则P(A)=__________.正确答案：1/4解析：由于A、B、C两两独立，且P(A)=P(B)=P(C)，所以P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)]2 ，P(AC)=[P(A)]2 ，P(BC)=[P(A)]2 ，P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =3P(A)-3[P(A)]2 ．依题意，有3P(A)-3[P(A)]2 =9/16，[P(A)]2 -P(A)+3/16=0．解方程，得P(A)=1/4或/3/4. 知识模块：综合11．=___________。

考研数学一(填空题)模拟试卷123(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷123(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)有任意阶导数且f’(x)＝f3(x)，则f(n)(x)＝______．正确答案：(2n-1)!!f2n＋1(x)解析：f(2)(x)＝3f2(x)f’(x)＝3f5(x)，f(3)(x)＝3·5f4(x)f’(x)＝3·5f7，可归纳证明f(n)(x)＝(2n—1)!!f2n＋1(x)．知识模块：高等数学2．反常积分＝_______．正确答案：解析：先求不定积分知识模块：高等数学3．若f(x)＝2nx(1一x)n，记Mn＝，则＝____________。

正确答案：解析：知识模块：高等数学部分4．曲面3x2+y2一z2=27在点(3，1，1)处的切平面方程为_______．正确答案：9x+y—z一27=0 涉及知识点：高等数学5．设f(x)的一个原函数为=___________．正确答案：—1解析：知识模块：高等数学6．已知随机变量X服从参数为A的指数分布，则概率P{max(X，)≤2}＝_______．正确答案：－e－2λ解析：由题设知P{X＞0}＝1，P{X≤0}＝0，应用全概率公式得P{max(X，)≤2}＝P{X≤2，≤2} P{≤X≤2，X＞0}＋P{≤X≤2，X≤0} ＝．知识模块：概率论与数理统计7．已知事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b．如果事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为______．正确答案：应填(1－a)(1－b)．解析：由于CAB，P(AB)=P(A)P(B)，故A，B，C都不发生的概率为=1－P(A ∪ B ∪C) =1－P(A)－P(B)－P(C)+P(AB)+P(BC)+P(AC)－P(ABC) =1－a－b－P(C)+ab+P(C)+P(C)－P(C) =1－a－b+ab =(1－a)(1－b)．知识模块：概率论与数理统计8．如果，则a=_______．正确答案：解析：当a=0时，，故a≠0．由知识模块：高等数学9．当x→时，与xln(1+x)是等价无穷小，则a=______．正确答案：-4解析：因为当x→0时，与xln(1+x)是等价无穷小，所以故a=-4．知识模块：高等数学10．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为___________．正确答案：y”‘一3y”+4y’一2y=0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ一1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y”‘一3y”+4y’一2y=0．知识模块：高等数学11．=_______.正确答案：解析：知识模块：高等数学12．函数z=x2+y3-3xy的极小值为_______．正确答案：-1解析：本题考查二元函数z=f(x，y)的极值问题．首先求出二元函数的驻点，在每一个驻点处，用极值的充分条件判断驻点是否是极(大、小)值点．令解得驻点为(0，0)，(1，1)．在驻点(0，0)处，，B2-AC-9＞0，故驻点(0，0)不是极值点．在驻点(1，1)处，，B2-AC=-27＜0，而A=6＞0，故驻点(1，1)是极小值点，极小值为z(1，1)=-1．知识模块：高等数学13．设D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)为顶点的三角形区域，则I=sin(xy)+4]dxdy=__________．正确答案：8解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)两个部分(见图9．28)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于sin(xy)对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=.2.2=2，所以4dxdy=4.2=8．于是I=0+8=8．知识模块：多元函数积分的概念、计算及其应用14．设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式|A|=一2，则行列式｜—A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1｜=___________．正确答案：12解析：知识模块：线性代数15．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且|A|=3，|B|—4，则|5A一2B|=___________．正确答案：63解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得|5A—2B|=|5α一2β，3γ1，3γ2|=9|5α一2β，γ1，γ2| =9(5|α，γ1，γ2|一2|β，γ1，γ2|)=63 知识模块：线性代数16．设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组AX=0的通解为________．正确答案：X=k(1，1，…，1)T，k为任意实数解析：因A的秩为n-1，故方程组AX=0的基础解系只含n-(n-1)=1个解向量，又A的各行元素之和为零，知(1，1，…，1)T为AX=0的非零解，则AX=0的通解为X=k(1，1，…，1)T，k为任意实数．知识模块：线性代数17．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则=________．正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：线性代数18．设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P—1AP=________。

考研数学一(填空题)模拟试卷30(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷30(题后含答案及解析) 题型有：1.1．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=__________.正确答案：1/x. 涉及知识点：常微分方程2．设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵．已知AB=2A+B，B=，则(A—E)—1=________．正确答案：解析：由题设方程得(A—E)B一2A=O，→(A—E)B一2(A—E)=2E，→(A —E)(B一2E)一2E，→(A—E)—1=．知识模块：线性代数3．已知= ______。

正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学4．设y=y(x)由方程x=确定，则y″(0)= ______。

正确答案：—2π解析：将x=0代入方程x=可得y=1，即y(0)=1。

在方程两边对x求导，得1=，于是y′(0)=3。

再在两边对x求导，得所以y″= —2π。

知识模块：一元函数微分学5．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Aχ＝0的两个线性无关的解，则r(A)*＝_______．正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Aχ＝0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n－r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜的4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij，恒为零，即A*＝O，所以r(A*)＝0．知识模块：线性方程组6．设A＝(aij)是3阶正交矩阵，其中a33＝－1，b＝(0，0，5)T，则线性方程组Aχ＝b必有一个解是_______．正确答案：(0，0，－5)T解析：由正交矩阵定义，首先AAT＝ATA＝E，由此可知A的列向量和行向量都是单位向量，因此可设A＝，于是，则线性方程组Aχ＝b必有一个解是(0，0，－5)T．知识模块：线性方程组7．=___________．正确答案：解析：知识模块：高等数学8．设f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则a=______，b=_____．正确答案：-1，1解析：因为f(x)在(-∞，+∞)内连续，所以x=0与x=1是f(x)的连续点，故所以b=1，a+b=0，即a=-1，b=1．知识模块：高等数学9．设f’(ex)=则f(x)=________．正确答案：解析：这是一个函数记号的灵活表示与分段函数不定积分的综合问题，先写出f’(x)的表达式，再求f(x)．令ex=t，则x=ln t，于是因为∫lnxdx=xlnx-x+C’，所以由原函数的连续性，得(xlnx+C1)，即1+C2=C1，令C2=C，则C1=1+C，从而知识模块：高等数学10．曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)处的法线方程为__________．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分11．设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值______，且其重数至少是______·正确答案：λ＝0，n—r(A)解析：r(A)｜A｜＝0 λ＝0必是A的特征值．由r(A)Ax＝0有非0解．设η1，η2，…，ηn－r(A)是Ax＝0的基础解系，则Aηj＝0＝0ηj，即ηj(j＝1，2，…，n—r(A))是λ＝0的特征向量．因此λ＝0有n—r(A)个线性无关的特征向量．从而λ＝0至少是矩阵A的n一r(A)重特征值．注意：k重特征值至多有k 个线性无关的特征向量．知识模块：线性代数12．f(x1，x2，x3，x4)＝XTAX的正惯性指数是2，且A2一2A＝0，该二次型的规范形为___________.正确答案：y12＋y22解析：A2一2A＝0→r(A)＋r(2E－A)＝4→A可以对角化，λ1＝2，λ2＝0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1＝2，λ2＝0分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12＋y22．知识模块：线性代数部分13．若anxn在x=－3处为条件收敛，则其收敛半径R=______．正确答案：3解析：因anxn在x=－3收敛，故由阿贝尔定理知，｜x｜＜3时，anxn绝对收敛．又因anxn在x=－3条件收敛，故｜x｜＞3时，anxn发散．如若不然，必存在x1，使｜x｜＞3且在x=x1处anxn收敛．由阿贝尔定理便可推出｜x｜＜｜x1｜时，特别是x=－3时anxn绝对收敛．这与题设在x=－3处条件收敛相矛盾．综上，由收敛半径的定义便有R=3．知识模块：无穷级数14．设函数φ(μ)可导且φ(0)=1，二元函数z=φ(x＋y)exy满足=0，则φ(μ)=________．正确答案：解析：令x+y=μ，则=φ’(μ)exy+yφ(μ)exy，=φ’(μ)exy+xφ(μ)exy，=2φ’(μ)exy+μφ(μ)exy，知识模块：高等数学15．设f(x)连续，且，则f(x)=_________．正确答案：f(x)=e-x解析：知识模块：高等数学部分16．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_______。

考研数学一(填空题)模拟试卷50(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设=8，则a=_________．正确答案：ln2解析：因为=e3a，因此e3a=8，所以a=ln2．知识模块：函数、极限、连续2．已知n阶矩阵A＝，则r(A2－A)＝_______．正确答案：1解析：根据A2－A＝A(A－E)，已知矩阵A＝，A是可逆矩阵，因此r(A2－A)＝r(A－E)，而r(A－E)＝1，所以r(A2－A)＝1．知识模块：矩阵3．若向量x与向量a=2i—j+2k共线，且满足方程 a.x=一8，则向量x=_______．正确答案：一4i+21—4k 涉及知识点：高等数学4．设y=ln(1+3-x)，则dy=_______正确答案：解析：复合函数求导y’=[-ln(1+3-x)]’= 知识模块：一元函数微分学5．设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)=_______．正确答案：1╱2解析：由于F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt=x2∫f’(t)dt－∫0xt2f’(t)dt，所以F’(x)=2x ∫0xf’(t)dt+x2f’(x)－x2f’(x)=2x∫0xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而=2f’(0)=1，故f’(0)=1／2．知识模块：高等数学6．已知F(x)是f(x)的一个原函数，则正确答案：解析：因为F(x)是f(x)的一个原函数，所以，F’(x)=f(x)。

令u=e-x，则知识模块：一元函数积分学7．=______。

正确答案：解析：知识模块：高等数学8．正确答案：a＝ln2解析：知识模块：高等数学部分9．袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球．现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则P{X=k}=_____(k=1，2，…)．正确答案：解析：若记Ai=“第i次取出4个球为2个白球，2个黑球”，由于是有放回取球，因而Ai相互独立，根据超几何分布知再由几何分布即得知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=X-0．4，则Y与Z的相关系数为____________.正确答案：0.9 涉及知识点：综合11．已知则r(A—E)+r(2E+A)=_________．正确答案：3解析：存在可逆阵P，使得知识模块：线性代数12．设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，若是θ2的无偏估计，则c=_______。

考研数学一(填空题)模拟试卷40(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷40(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)=在x=0处连续，则a=__________。

正确答案：解析：知识模块：高等数学2．设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=________．正确答案：解析：E+B=E+(E+A)—1(E一A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E —A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1= 知识模块：线性代数3．设数列{an}单调递减，an=0，Sn=ak(n=1,2,...)无界，则幂级数an（x-1）n的收敛域是___________.正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数4．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分5．经过点A(一1，2，3)，垂直于直线L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程是______．正确答案：解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏2上．∏1：4(x+1)+5(y一2)+6(z一3)=0，∏2：7(x+1)+8(y一2)+9(z 一3)=0，故所求直线方程为知识模块：向量代数和空间解析几何6．已知A是4阶矩阵，α1与α2是线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，则r((A*)*)＝_______．正确答案：0解析：因为α1－α2是齐次方程组Aχ＝0的非零解，故｜A｜＝0．由于r((A*)*)＝可见r((A*)*)＝0．知识模块：线性代数7．若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行四边形的面积S=________。

正确答案：解析：令＜α，β＞=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为S=｜α×β｜=｜α｜｜β｜sinθ由α+β+γ=0可得如下方程组解得α.β=。

因此，所求平行四边形的面积知识模块：高等数学8．两个平行平面∏1：2x—y一3z+2=0与∏2：2x—y一3z一5=0之间的距离是_________。

考研数学(数学一)模拟试卷273(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷273(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)为R上不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=f(x)/x( )。

A．在x=0处左极限不存在B．有跳跃间断点x=0C．在x=0处右极限不存在D．有可去间断点x=0正确答案：D解析：由题设，f(-x)=-f(x)，则有f(0)=0，从而f’(0)=即g(x)在x=0处极限存在，但x=0时g(x)无定义，因此可补充定义g(0)=f’(0)，则g(x)在x=0处连续．综上，g(x)有可去间断点x=0，所以选(D)．2．设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且(φy’，(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：依题意知(x0，y0)是拉格朗日函数，F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)的驻点，因为φy’(x0，y0)≠0，所以从(2)式可得代入(1)式得fx’(‰，％)-即fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)=φz’(x0，y0)fy’(x0，y0)．当fy’(x0，y0)≠0且φy’(x0，y0)≠0时，fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)≠0，从而厂fy’(x0，y0)≠0，故选(D)．3．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )．A．C[y1(x)-y2(x)]B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]C．C[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的一个非零解，又y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]是原非齐次线性微分方程的通解，其中C为任意常数，故选(B)．4．下列各选项正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：(un+un)n=un2+2unvn+vn≤2(un2+vn2)，所以(A)是答案．5．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记则( )．A．C=P-1APB．C=PAP-1C．C=PTPD．C=PAPT正确答案：B解析：根据已知条件，用初等矩阵描述有故选(B)．6．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．A．α1+α2，α3+α3，α3-α1B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D．α1+α2+α3，2α1-3α2+2α3，3α1+5α2+3α3正确答案：C解析：由题设，观察四个选项：关于(A)，由于(α1+α2)-(α1+α2)+(α3+α1)=0，则α1+α2，α2+α3，α3+α1线性相关．关于(B)，由于(α1+α2)+(α1+α2)-(α1+2α2+α3)=0，则α1+α2，α2+α3，α1+α2+α3也线性相关，关于(C)，由定义，设有一组数k1，k2，k3，使得k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0即(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0，由已知α1，α2，α3线性无关，则该方程组的系数矩阵的行列式为从而k1=k2=k3=0，由此知(C)中向量组线性无关．而由同样的方法，建立关于(D)中向量组相应的方程组，可计算出系数矩阵的行列式为0，则(D)中向量组线性相关．综上选(C)．7．设F1(x)与F2(x)分别为随机变量，X1与X2的分布函数，为使F(x)=aF1(x)一bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查分布函数的性质，即则由题意得所以a-b=1，四个选项中只有(A)的a，b满足上式的条件，所以选(A)．8．设两个随机变量X与Y独立同分布，P{X=-1}=P{Y=-1}=1/2，P{X=1}=P{Y=1}=1/2，则下列各式中成立的是( )．A．P{X=Y}=1/2B．P{X=Y}=1C．P{X+Y=0}=1/4D．P{XY=1}=1/4正确答案：A解析：由于{X=Y}={X=1，Y=1}∪{X=-1，Y=-1}，且由题设知X与Y独立同分布，则P{X=Y}=P{X=1，Y=1}+P{X=-1，Y=-1} =P{X=1}．P{Y=1}+P{X=-1}．P{Y=-1} =(1／2)2+(1／2)2=1／2，P{X+Y=0}=P{X=1，Y=-1}+P{X=-1，Y=1} =2P{X=1}P{Y=-1}=2．(1／2)2=1／2，P{XY=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=-1，Y=-1}=1／2．综上，选(A)．填空题9．设常数a≠1/2,则=________．正确答案：10．方程所确定的函数z=z(x，Y)在点(1，0，-1)处的全微分dz=________．正确答案：解析：这是求隐函数在某点的全微分，这里点(1，0，-1)的含意是z=z(1，0)=-1，将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得再由全微分四则运算法则得令x=1，y=0，x=-1得11．微分方程y’’+y=-2x的通解为________．正确答案：y=c1cosx+c2sinx-2x．解析：特征方程λ2+1=0．λ=±i于是齐次方程通解为设特解为y*=Ax，代入方程得y*=-2x，所以y=c1cosx+c2sinx-2x．12．=________．正确答案：2/3解析：13．设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，其中E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=________．正确答案：解析：由公式AA*=A*A=｜A｜E化简矩阵方程A*BA=2BA-8E．即分别以A左乘该方程，以A-1右乘该方程得-2B=2AB-8E．从而2(A+E)B=8E，即(A+E)B=4E，因此B=4(A+E)-1，14．设总体X的概率密度为f(x)=(1/2)e-｜x｜(-∞＜x＜)，X1，X2 (X)为总体X的简单随机样本，其样本方差S2，则E(S2)=________．正确答案：2解析：因为样本方差s2是总体方差的无偏估计，所以E(S2)=D(x)=2．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(填空题)模拟试卷80(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷80(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设4×4矩阵A=(αγ2 γ3 γ4)，B=(βγ2 γ3 γ4)，其中α，β，γ2 γ3 γ4均为4维列向量，且已知行列式｜A｜=4，｜B｜=1，则行列式｜A+B｜=________．正确答案：40．解析：因为A+B=(α+β2γ2 2γ3 2γ4)，由行列式的性质即得｜A+B｜=｜α+β2γ2 2γ3 2γ4｜=8｜α+βγ2 γ3 γ4｜=8(｜αγ2 γ3 γ4｜+｜βγ2 γ3 γ4｜)=8(4+1)=40 知识模块：线性代数2．曲面z=x2+y2与平面2z+4y-z=0平行的切平面方程是___________.正确答案：2x+4y-z=5．解析：曲面在任意点P(x，y，z)处的法向量n={2x，2y，-1}，n与平面2x+4y-z=0的法向量n0={2，4，-1}平行n=λn0，λ为某常数，即2x=2λ，2y=4λ，-1=-λ．从而x=1，y=2，又点P在曲面上z=(x2+y2)丨（1,2）=5 P点处的n={2，4，-1}．因此所求切平面方程是2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0，即2x+4y-z=5．知识模块：多元函数积分学3．设f(x)满足f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(－1，1)内f’(x)=|x|，则f(7／2)=_______．正确答案：－1／8解析：因为在(－1，1)内f’(x)=|x|，所以在(－1，1)内f(x)由f(0)=0得f(x) 知识模块：高等数学4．袋中有8个球，其中3个白球、5个黑球，现随意从中取出4个球，如果4个球中有2个白球、2个黑球，试验停止．否则将4个球放回袋中，重新抽取4个球，直到出现2个白球、2个黑球为止，用X表示抽取次数，则P(X=k)=________(后=1，2，…)．正确答案：解析：若设事件Ai=“第i次取出4个球为2个白球、2个黑球”，由于是有放回取球，因此Ai相互独立，根据超几何分布知知识模块：概率与数理统计5．设x=e—t，y=∫01ln(1+u2)du，则=__________。

考研数学一(填空题)模拟试卷137(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷137(题后含答案及解析)题型有：1.1．方程｜A｜＝＝0的根是_______．正确答案：a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)解析：由观察可知，χ1＝a1时，1、2行对应元素相等，｜A｜＝0；χ2＝a2时，2、3行对应元素相等，｜A｜＝0，χ3＝a3，时，3、4行对应元素相等，｜A｜＝0．又由行列式的每行元素和为χ＋a1＋a2＋a3，将2、3、4列各元素加到第1列相应元素上去，且提取公因式得｜A｜＝(χ＋a1＋a2＋a3)＝0，故有χ＝－(a1＋a2＋a3) 所以方程是一元四次方程，四个根依次是a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)．知识模块：行列式2．设随机变量X的分布函数为F(x)=P{X≤x}=则X的分布律为__________。

正确答案：P{X=一1}=0．4；P{X=1}=0．4；P{X=3}=0．2解析：F(x)为分段函数，故X的可能取值为F(x)的跳跃点，即一1，1，3，因此P{X=一1}=F(一1)一F(一1一0)=0．4，P{X=1}=F(1)一F(1—0)=0．8—0．4=0．4．P{X=3}=F(3)一F(3一0)=1—0．8=0．2。

知识模块：随机变量及其分布3．正确答案：2(e2+1) 涉及知识点：高等数学4．已知，若X满足AX＋2B＝BA＋2X，那么X2＝_______．正确答案：解析：根据已知AX＋2B＝BA＋2X，得AX－2X＝BA－2B，即(A－2E)X ＝B(A－2E)，由于A－2E＝是可逆的，因此X＝(A－2E)-1B(A－2E)，那么X2＝(A－2E)-1B2(A－2E) 知识模块：矩阵5．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1％和2％，现从由A和B 的产品分别占60％和40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是__________．正确答案：3/7 涉及知识点：综合6．设f(x)=可导，则a=_________，b=_________．正确答案：a=3，b=一2解析：f(1—0)=f(1)=a＋b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1；因为f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=一2．知识模块：高等数学7．设f(x)=，且f’(0)存在，则a=_________，b=_________，c=_________．正确答案：a=2，b=-2，c=2解析：f(0+0)=f(x)=a，f(0)=2，f(0一0)=c，因为f(x)在x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0—0)，因为f(x)在x=0处可导，即f＋’(0)=－’(0)，故b=一2．知识模块：高等数学8．设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则X2的数学期望E(X2)=_________.正确答案：18.4 涉及知识点：综合9．正确答案：17／6解析：所以∫02()dx=∫01xdx+∫12x2dx==17／6 知识模块：高等数学10．=______．正确答案：ln2(tanx)+C，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学11．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+41x2+41x3+42x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=________．正确答案：2．解析：由题设条件知，f的矩阵为由于在正交变换下化f所成的标准形中，变量平方项的系数为A的全部特征值，故由f的标准形知A的特征值为6，0，0．再由特征值的性质：A全部特征值之和等于A的主对角线元素之和，即6+0+0=a+a+a便得a=2．知识模块：线性代数12．设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数则R的取值范围是______．正确答案：应填解析：知识模块：概率论与数理统计13．设且f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则正确答案：解析：由复合函数求导法则有再将等式两边对y求偏导得知识模块：多元函数微分学14．=__________(其中口为常数)．正确答案：解析：知识模块：高等数学15．微分方程yy”一2(y’)2＝0的通解为__________．正确答案：y＝C或者＝C1x＋C2解析：知识模块：高等数学部分16．设A=，B为三阶娃阵，r(B*)=1，且AB=O，则t=___________．正确答案：6解析：因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．知识模块：线性代数17．曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)处的法线方程为________．正确答案：解析：n=｛2x，4y，6z｝(1，－2，2)=｛2，一8，12｝，法线方程为．知识模块：高等数学18．正确答案：1-sin1解析：知识模块：高等数学部分19．若二次型2x12＋x22＋x32＋212＋2t23的秩为2，则t＝______·正确答案：解析：r(f)＝2，即r(A)＝2．因｜A｜中有2阶子式≠0，故r(A)＝2｜A｜＝0．由知识模块：线性代数20．设一个矢量场A(x，y，z)，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比(比例常数为k)，方向指向原点，则div A=______．正确答案：解析：由题意有知识模块：多元函数积分学21．设A==___________．正确答案：解析：令A=(α1，α2，α3)，因为|A|=2，所以A*A=|A|E=2E，知识模块：线性代数22．微分方程的通解是__________正确答案：y=C1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5，其中C1，C2，C3，C4，C5为任意常数解析：令u=则方程降阶为u的一阶方程，积分四次即得上述通解．知识模块：常微分方程23．设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由z+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=__________正确答案：1涉及知识点：高等数学24．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X—1，则Y与Z的相关系数为___________．正确答案：0．9解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X一1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X一1)=4DX．Y 与Z的相关系数ρYZ为知识模块：随机变量的数字特征25．设总体X，Y相互独立且服从N(0，9)分布，(X1，…，X9)与(Y1，…，Y9)分别为来自总体X，Y的简单随机样本，则U=～__________．正确答案：解析：由X1+X2+…+X9～N(0，81)，得(X1+X2+…+X9)～N(0，1)，因为Y1，…，Y9相互独立且服从N(0，9)分布，所以(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)，即(Y12+…+Y92)～χ2(9)，因此U=～t(9)．知识模块：概率统计。

考研数学一(高等数学)模拟试卷273(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷273(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0处可导，则必有( )A．f(0)=0B．f’(0)=0C．f(0)+f’(0)=0D．f(0)－f’(0)=0正确答案：A解析：由于=f+’ (0)+f(0)．同理，=f－’(0)－f(0)．要求F+’(0)=F－’(0)，可得A．知识模块：一元函数微分学2．设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)＜0．下述命题：①至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(a)；②至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(x)；③至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=0；④至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=[f(a)+f(b)]．正确的个数为(A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：只有③是正确的．其证明如下：设f’(a)＜0，f’(b)＞0．由以及保号性，则存在点x1∈(a，b)使f(x1)－f(a)＜0及x2∈(a，b)使f(x2)－f(b)＜0．因此f(a)与f(b)都不是f(x)在[a，b]上的最小值，从而f(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内部，故知存在x0∈(a，b)使f’(x0)=0．若f’(a)＞0，f’(b)＜0，其证明类似．①，②与④的反例：f(x)=x2－x，当x∈[0，1]时，有f’(0)=－1，f’(1)=1，f’(0)f’(1)＜0．但当x∈(0，1)时，f(x)＜f(0)=f(1)=0．知识模块：一元函数微分学3．积分( )A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：一元函数积分学4．设Ω为x2+y2+z2≤1，则三重积分等于( )A．0B．πC．D．2π正确答案：A解析：积分区域Ω关于xOy面对称，被积函数关于变量z为奇函数，故I=0．知识模块：多元函数积分学填空题5．给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，x1010，，则对充分大的一切x，其中最大的是______．正确答案：解析：100x=exln100，log10x100=100logl10x．当x充分大时，有重要关系：eαx》eβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填．知识模块：函数、极限、连续6．若是(－∞，+∞)上的连续函数，则a=______．正确答案：1解析：f(x)在x=0处连续，可得知识模块：函数、极限、连续7．设曲线y=(ax3+bx2+cx+d经过(－2，44)，x=－2为驻点，(1，一10)为拐点，则a，b，c，d分别为______．正确答案：1；－3；－24；1 6解析：由条件解方程可得a=1，b=－3，c=－24，d=16．知识模块：一元函数微分学8．∫(arcsinx)2dx=______．正确答案：其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学9．∫x3ex2dx=_____．正确答案：e∫x∫1ee(x∫1e－1)+C，其中C为任意常数解析：原式=∫x2ex2d(x2)=∫x2dex2=[x2ex2－∫ex2d(x2)]=(x2ex2－ex2)+C=ex2(x2－1)+C．知识模块：一元函数积分学10．点(1，2，3)到直线的距离为______．正确答案：解析：记点M0(1，2，3)，M(0，4，3)，方向向量S=(1，－3，－2)，知识模块：向量代数与空间解析几何11．函数的定义域为______．正确答案：解析：由z≠0及可得．知识模块：多元函数微分学12．若f(x，y)为关于x的奇函数，且积分区域D关于Y轴对称，则当f(x，y)在D上连续时，必有f(x，y)dxdy=______．正确答案：0解析：若连续函数z=f(x，y)关于x为奇函数，即f(－x，y)=－f(x，y)；若关于x为偶函数，即f(－x，y)=f(x，y)．设积分区域D关于y轴对称，D1表示D 的位于y轴右方的部分．则有同理当z=f(x，y)关于y为奇函数或偶函数，积分区域D关于x轴对称时也有类似的结论．知识模块：多元函数积分学13．曲面积分x3dxdy=______，其中S为球面x2+y2+z2=1的外侧．正确答案：解析：原式==3∫02πdθ∫0πdφ∫01ρ2cos2φρ2sinφdρ=3∫02πdθ∫0πcos2φsinφdφ∫01ρ4d 知识模块：多元函数积分学14．设的敛散性为______．正确答案：发散解析：由发散．知识模块：无穷级数15．ex展开成的x－3的幂级数为______．正确答案：解析：ex=e3+(x－3)=e3.ex－3，因从而ex=e3.ex－3=e3(x－3)n(－∞＜x －3＜+∞即一∞＜x＜+∞)．知识模块：无穷级数16．设x1=r＞0，xn+1=xn+xn3，n=1，2，3，…．则数项级数=______．正确答案：解析：由xn+1=xn+xn3，xn=r＞0，所以{xn}严格单调增加．若显然有A＞r＞0．令n→∞，xn+1=xn+xn3，两边取极限，得A=A+A3，即A=0，矛盾，所以由xn+1=xn+xn3，有知识模块：无穷级数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学一)模拟试卷308(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷308(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数p(x)，g(x)，f(x)均连续，y1(x)，y2(x)，y3(x)是微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，C1与C2是两个任意常数，则这个方程对应的齐次方程的通解是( )A．(C1+C2)y1+(C1—C2)y2一(C1+C2)y3．B．(C1—C2)y1+(C2—C1)y2+(C1一C2)y3．C．(C1+C2)y1+(1一C1)y2一(1+C2)y3．D．(C1一C2)y1+(1一C1)y2+C2y3．正确答案：C解析：一般有下述结论：①如果y1，y2，y3是二阶线性非齐次方程的3个解，则当且仅当a+b+c=1时，它们的线性组合ay1+by2+cy3也是该方程的解．②如果进一步设y1，y2y3是该方程的3个线性无关的解，并且a，b，c中含有2个任意常数，则当且仅当a+b+c=1时，它们的线性组合ay1+by2+cy3是该方程的通解．③设同①，则当且仅当a+b+c=0时，它们的线性组合ay1+by2+cy3是该方程对应的齐次方程的解．④设同②，则当且仅当a+b+c=0，它们的线性组合ay1+by2+cy3是该方程对应的齐次方程的通解．本题选项C满足上述条件④，所以应选C．2．设，则( )A．2B．4C．6D．8正确答案：C解析：所以3．二重极限( )A．不存在，但不是∞B．为∞C．等于0D．等于1正确答案：C解析：令(x，y)→(0，0)，由夹逼定理，有4．空间n个点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n；n≥4．矩阵的秩记为r，则n个点共面的充分必要条件是( )A．r=1B．r=2C．r=3D．1≤r≤3正确答案：D解析：先举例说明为什么不选A、B、C．例子如下：取点P1(1，1，1)，P2(2，2，2)，P3(3，3，3)，P4(4，4，4)．此4点在一条直线上，显然共面．矩阵的秩为2，所以不选A、C．又如P1(1，0，0)，P2(0，1，0)，P3(0，0，1)，共面(共面方程x+y+z=1)，矩阵的秩为3，不选A、B．以下证明D是正确的．证明如下：设这n个点共面，则其中任取4个点，例如P1，P2，P3与P4也必共面．于是其中最后一个行列式为零来自于三点式平面方程．所以1≤r≤3．反之，设1≤r≤3，则A中任取一个4阶矩阵，其对应的行列必为零，因此任意4点必共面，所以这n个点必共面．证毕．5．设α，β为n维单位列向量，P是n阶可逆矩阵，则下列方程组中，只有零解的是( )A．(E一ααT)x=0．B．(αTPαP-1一ααT)x=0．C．(αTP-1βP一βαT)x=0．D．(E+ββT)x=0．正确答案：D解析：法一因Ax=(E一ααT)x=0，当x=α≠0时，有(E一ααT)α=α一α(αTα)=0(其中αTα=1)，故排除A．因Bx=(αTPαP-1一ααT)x=0，当x=Pα≠0时，有(αTPα-1一ααT)Pα=(αTPα)α=α(αTα)=0．故排除B．因Cx=(αTP-1βP一βαT)x=0，取x=P-1β≠0，有(αTP-1β)β一β(αTP-1β)=0，故排除C．由排除法，故应选D．法二由题设条件，对任意的n维单位列向量α，β，任意的n阶可逆阵P，方程组均只有零解，若取特殊的α，β，P，使方程组有非零解，则该选项即可排除．如对A取α=[1，0，0]T，则有非零解．对B取α=[1，0，0]T，P=E；对C取α=β=[1，0，0]T，P=E．即可排除B，C，故应选D．法二对矩阵D=E+ββT，有D2=(E+ββT)2=E+2ββT+ββTββT(其中βTβ=1)=E+3ββT=3(E+ββT)2E=3D－2E，D2－3D=D(D－3E)=-2E．故D可逆，且故方程组Dx=(E+ββT)x=0只有零解，故应选D．法四或设β=[b1，b2，…，bn]T，故(E+ββT)x=0只有零解，故应选D．6．设D=则( )A．A～B，C～DB．A～D，B～CC．A～C，B～DD．A，B，C，D中没有相似矩阵正确答案：B解析：观察矩阵A，B，C，D知，有r(A)=r(B)=r?=R(D)=1，故A，B，C，D均有特征值λ=0，且因r(OE—A)=r(OE一B)=r(OE—C)=r(OE—D)=1，均对应有两个线性无关特征向量(λ=0至少是二重特征值)，另一个特征值为由于A，B，C，D均可相似对角化，且A的特征值与D的特征值相同，B与C特征值相同，故，故应选B．7．某人抛掷硬币3次，已知其中有一次正面出现，则第二次出现正面的概率为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：设事件A为其中有一次正面出现，B为第二次出现正面，用H，T分别表示抛硬币出现正面和反面，于是A={HTT，THT，TTH，HHT，HTH，THH，HHH}．在事件A发生的情况下B发生的可能为{HTH，HHT，THH，HHH}，所以已知其中有一次正面出现，则第二次出现正面的概率为8．设两个总体分别为X～N(μ1，σ12)和y～N(μ2，σ22)，先假设检验总体X的均值不小于总体y的均值，则检验假设为( )A．H0:μ1≥μ2；H1：μ1＜μ2．B．H0:μ1＞μ2；H1：μ1≤μ2．C．H0：μ≤μ2；H1：μ1＞μ2．D．H0：μ1＜μ2；H1：μ1≥μ2．正确答案：A解析：检验总体X的均值不小于总体Y的均值的事件为{μ1≥μ2}．原假设中必须有等号，所以检验假设为H0：μ1≥μ2；H1：μ1＜μ2．填空题9．设z=z(x，y)是由方程z+e2x=x2y所确定，则=__________.正确答案：解析：由x+e2x=x2y两边对x求偏导数，得将z+e2z=x2y两边对y求偏导数，得又10．设y(x)是微分方程y’’+(x+1)y’+x2y=ex的满足y(0)=0，3,y’(0)=1的解，并设存在且不为零，则正整数k=________，该极限值=________．正确答案：解析：由y(0)=0知，所求极限为型．由初始条件y’(0)=1，若k=1，则上述极限为0，不符，故k≥2．但y’’(0)=[ex一(x+1)y’－x2y]x=0=0，若k=2，则上式极限为0．不符．故k≥3．但y’’’(0)=[(ex一(x+1)y’一x2y)’]x=0=[ex一y’－(x+1)y’’一2xy一x2y’]x=0=0.若k=3,则上式极限为0，不符，故k≥4．但y(4)(0)=[ex一y’’一y’’一(x+1)y’’’一2y一4xy’一x2y’’]x=0=1。

考研数学一(填空题)模拟试卷75(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷75(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设二次型f=12+x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3，经正交变换x=Cy化成标准形为f=y22+2y32，则二次型f=______．正确答案：应填x12+x22+x32+2x1x3．解析：令由于C是正交矩阵，A与N既合同又相似，A的特征值为0，1，2．因此｜0．E—A｜=(a－b)2=0，｜E—A｜=－2ab=0，故a=b=0，二次型f=x12+x22+x32+2x1x3．知识模块：线性代数2．已知随机变量X只能取一1，0，1，2四个值，取这四个值的概率依次为,则P{X＜1∣X≠0}=__________。

正确答案：解析：依条件概率公式，有知识模块：随机变量及其分布3．如果f(x)在[a，b]上连续，无零点，但有使f(x)取正值的点，则f(x)在[a，b]上的符号为____________．正确答案：正解析：利用反证法，假设存在点x1∈[a，b]，使得f(x1)＜0．又由题意知存在点x2∈[a，b]，x2≠x1，使得f(x2)＞0．由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点ξ介于x1和x2之间，使得f(ξ)=0，显然ξ∈[a，b]，这与已知条件矛盾．知识模块：一元函数微分学4．∫0+∞dx=_______．正确答案：解析：知识模块：高等数学5．曲线y2=2x在任意点处的曲率为_______.正确答案：解析：用曲率计算公式由y2=2x2yy’=2，y’=1／y，y”=－1／y2y’=－1／y3. 知识模块：高等数学6．函数在点(0，1)处的梯度等于______．正确答案：应填{1，0}或i．解析：本题考查梯度的定义和偏导数的求法．因为所以，所求的梯度为{1，0}或i．7．∫0＋∞x7e－x2dx=________．正确答案：3解析：知识模块：高等数学8．直线L：绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为_______．正确答案：∑：x2+y2－z2=1解析：设M(x，y，z)为旋转曲面∑上的任意一点，该点所在的圆对应与直线L上的点为M0(x0，y0，z)，圆心为T(0，0，z)，由||，得x2+y2=x02+y02．因为M0(x0，y0，z)∈L，所以即x0=1，y0=z，于是曲面方为∑：x2+y2－z2=1．知识模块：高等数学9．幂级数的收敛区间是______．正确答案：(一2，2)解析：先求收敛半径R：有相同的收敛半径R，R＝2，收敛区间为(一2，2)．知识模块：高等数学10．设A为n阶矩阵，且｜A”=a≠0，则｜(kA)*｜=___________．正确答案：kn(n—1)an—1解析：因为(kA)*=kn—1A*，且｜A*｜=｜A｜n—1，所以｜(ka)*｜=｜kn—1A*｜=kn(n—1)｜A｜=kn(n—1)an—1 知识模块：线性代数11．微分方程ydx+(x2—4x)dy=0的通解为___________。