第三章 信号检测与估计(3)
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第三章信号的检测 ,信号检测与估计
作业：
1 z2 exp( )dz 1 [ (1 ) E / N0 ] 2 2
x
[ x]
1 e 2
z2 2
dz
1 同理 ＝ p(G | H1 )dG＝ [ (1 ) E / N0 ]
l0*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
• 对于通信最佳检测系统，通常用最小总错误概 率准则。即贝叶斯准则C11=C00=0,C01=C10=1
(C10 C00 )q q l0 (C01 C 11 ) p p
• 通常先验概率p及q一般都设计得近似相等，这 样可得到更小的总错误概率。
• 假设p=q=1/2 ， 此时l0=q/p=1，则
H1
2 1 T T x ( s1 s0 ) ln l0 ( s1 s1 s0 s0 ) 2
H0
T
H1
代入得
T
0
x(t ) s1 (t )dt
0
* 1 1 x(t ) s0 (t )dt l0 N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
H0
H1
0
T
Var[G | H 0 ] E{[G E (G | H 0 )]2 } N0 = 2
T
0
[s1 (t ) s0 (t )]2 dt N 0 E (1 )
[G ( E E0 )]2 1 p(G | H 0 ) exp{ } 2 N0 E (1 ) 2 N0 E (1 )
xt s1 t nt
xt s0 t nt
0t T
3.3.2 二元信号检测系统
无线传输中信号检测与估计方法
无线传输中信号检测与估计方法无线传输中信号检测与估计方法无线传输中的信号检测与估计方法在无线通信系统中，信号检测与估计是非常重要的步骤，它们用于识别和估计接收信号中的信息。
本文将按照步骤思考无线传输中的信号检测与估计方法。
步骤1：信道建模首先，我们需要对无线信道进行建模。
信道建模可以通过测量和建立信道模型来实现。
信道模型描述了信号在传输过程中所经历的变化，包括路径损耗、多径效应、干扰等。
常用的信道模型包括瑞利衰落信道模型和高斯信道模型。
步骤2：信号检测信号检测用于确定接收信号中是否存在所需的信息。
在信号检测中，我们需要对接收到的信号进行比较和判断。
常见的信号检测方法包括最大似然检测、线性检测和子空间分解等。
最大似然检测是一种基于统计学原理的检测方法，通过比较接收到的信号与各个可能信号的概率分布来判断最可能的信号。
步骤3：信号估计信号估计用于估计接收信号中的相关参数，例如信号的幅度、相位等。
信号估计可以通过最小均方误差（MMSE）估计、最大后验概率（MAP）估计等方法来实现。
MMSE估计是一种基于统计学原理的估计方法，通过最小化接收信号与估计信号之间的均方误差来估计信号的参数。
步骤4：信号解调与解码信号解调与解码用于从接收信号中还原出原始的信息。
在信号解调与解码中，我们需要根据发送信号的调制方式和编码方式来进行解调和解码。
常见的调制方式包括调幅调制（AM）、调频调制（FM）和相移键控（PSK）等，常见的编码方式包括前向纠错编码（FEC）和卷积码等。
步骤5：性能评估与优化最后，我们需要对信号检测与估计方法进行性能评估和优化。
性能评估可以通过误码率（BER）和误比特率（BER）等指标来衡量。
优化可以通过改进信号检测与估计算法、优化信道参数或增加信号的冗余度等方式来实现。
总结起来，无线传输中的信号检测与估计方法包括信道建模、信号检测、信号估计、信号解调与解码以及性能评估与优化。
这些方法在无线通信系统中起着至关重要的作用，可以提高系统的可靠性和性能。
信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限
θ=A
I (θ ) =
σ2
g ( x[0]) = x[0]
ˆ＝ g ( x[0]) = x[0] 是MVU估 则式（3-2）满足式（3-7），因此，A ˆ ) = σ 2 = 1 I (θ ) 是CRLB。 计， var( A
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
例3.3高斯白噪声（WGN）中直流量的CRLB
=
1
σ2
3.1 估计的准确性
在学习CRLB理论之前，首先我们来讨论影响估计 参量准确性的因素。由于所有信息都包含在观测 数据和这些数据下的PDF中，因此估计的准确性直 接取决于这个PDF。 如果PDF与待估计参量的关系很弱，我们不可能期 望得到高精度的参量估计。 待估计参量对PDF影响越强，所得到的参数估计就 越准确。
3.1 估计的准确性
图3-1 PDF与未知参量的依赖关系
图3-1（a）中，如果x[0]=3，A>4几乎不可能，A的可能取值范围为3 ± 3σ 1 =[2，4]。 图3-1（b）中PDF与A的依赖关系较弱，A的可能取值范围为[0，6]，比图 3-1（a）范围宽。
3.1 估计的准确性
对于给定的x，PDF看作未知参量的函数时，PDF称为似然函 数。图3-1中可以看出似然函数的锐度（sharpness）决定着估 计的精度。 为了证明这一点，用峰值处的2阶导数的负数来有效地测量这 个锐度。这就是似然函数的曲率。我们考虑图3-1中的PDF的自 然对数 1 2 ln p ( x[0]; A) = − ln 2πσ − ( x[0] − A) 2 2σ
3.1 估计的准确性
例3-1 PDF与未知参量的依赖关系
如果单个观测值
x[0] = A + w[0]
信号检测与估计理论(3)
机变量；而对于任意的固定的Kos, x(t,kos)是概率空间上的随机函数, 则称
x( t ,ζ ),t T ,ζ Ω为一随机过程， 和 t 都是ζ变量。
由随机过程的定义可知：
x(tk ,ζ ) （tk T，）是一随机变量； x(t ,ζ i ) （ζ i Ω，）是一随机函数。 可以看出其定义域和值域。
2021/2/6
25
这样xs ( )的概率密度函数为
由前面已知,对N个相互统计独立的随机变量,其
和的概率密度函数的求解方法有两种方法
i)根据联合概率密度函的定义,首先求得雅克比变换,
再利用边缘概率密度函数的方法
ii)利用特征函数法;
2021/2/6
26
例子2.2.2(教材p23)
相互统计独立的随机变量x1( ), x2 ( )的概率密度函数分别为
哈佛校训是拉丁文“Amicus Plato，Amicus Aristotle， sed Magis VERITAS”。意 思是“与柏拉图为友，与亚 里士多德为友，更要与真理 为友”。哈佛校徽上的文字，就是真理一 词的拉丁文“Veritas”。
《真理》19世纪 法7国
朱里斯. 约瑟夫. 利弗贝尔
实事求是的科学精神
2021/2/6
19
3 复随机变量
如果与都是概率空间(,F,P)上的实值随机变量, 则 = i为复随机变量.
其本质是对二维随机变量的研究.
如果复随机变量为 i则其数学期望可以定义 为E E iE
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20
4 随机变量特征函数的定义 (a)一维随机变量特征函数的定义
设随机变量x( ),其概率密度函数为p(x),则复随机变量 exp( jx)的均值2.2.54称为x( )的特征函数.
x( t ,ζ ),t T ,ζ Ω为一随机过程， 和 t 都是ζ变量。
由随机过程的定义可知：
x(tk ,ζ ) （tk T，）是一随机变量； x(t ,ζ i ) （ζ i Ω，）是一随机函数。 可以看出其定义域和值域。
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这样xs ( )的概率密度函数为
由前面已知,对N个相互统计独立的随机变量,其
和的概率密度函数的求解方法有两种方法
i)根据联合概率密度函的定义,首先求得雅克比变换,
再利用边缘概率密度函数的方法
ii)利用特征函数法;
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例子2.2.2(教材p23)
相互统计独立的随机变量x1( ), x2 ( )的概率密度函数分别为
哈佛校训是拉丁文“Amicus Plato，Amicus Aristotle， sed Magis VERITAS”。意 思是“与柏拉图为友，与亚 里士多德为友，更要与真理 为友”。哈佛校徽上的文字，就是真理一 词的拉丁文“Veritas”。
《真理》19世纪 法7国
朱里斯. 约瑟夫. 利弗贝尔
实事求是的科学精神
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3 复随机变量
如果与都是概率空间(,F,P)上的实值随机变量, 则 = i为复随机变量.
其本质是对二维随机变量的研究.
如果复随机变量为 i则其数学期望可以定义 为E E iE
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4 随机变量特征函数的定义 (a)一维随机变量特征函数的定义
设随机变量x( ),其概率密度函数为p(x),则复随机变量 exp( jx)的均值2.2.54称为x( )的特征函数.
信号检测与估计教学资料 第三章 信号检测与估计1new
4 二元信号判决概率
P Hi | H j p x | H j d x ， i, j 0 , 1
Ri
P Hi | H j p x | H j d x ， i, j 0 , 1
Ri
5 M元信号检测模型
信源
概率转移机构
信源的输出称为假设 将信源的输出(假设)以一定的 概率关系映射到整个观察空间中 接收端所有可能观测量的集合 将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
问题： 代价因子如何定义？ 平均代价如何计算？
如何获得最小的平均代价？
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
1. 代价因子的定义 对于二元信号统计检测，共有四种事件发生，即
H
0
H0
H
1
H0
H
1
H1
H
0
H1
c00
c10
c11
c01
cij 表示假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价
将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
1 二元信号检测模型
概率转移机构的作用是在信源输出的一个假设为真的基础
之上，把噪声干扰背景中的假设为真的信号Hj(j=0,1),按照一 定的概率关系映射到观测空间中.
观测空间R是在信源输出不同信号状态下,在噪 声干扰背景中,由概率转移机构所生成的全部可能的 观测量的集合;如:观测信号(x|Hj)j=0,1.
观察空 间 判决规则
H 0 成立
R0
R1
H1 成立
H M 成立
RM
P H i | H j p x | H j d x ， i, j 0,1,
第三章信号的检测 ,信号检测与估计
1 2
N k 1
s12k s02k
2
H0
H1
则
xT
(s1
s0 )
2
ln l0
1 2
(s1T
s1
s0T s0 )
H0
代入得
H1
T
0 x(t)s1(t)dt
T 0
x(t)s0 (t)dt
l0*
1 2
N0
ln
l0
1 2
(E1
E0 )
H0
3.3.3 二元通信系统的检测性能
第三章 信号的检测
主要内容
引言
二元假设检验和判决准则 二元已知信号的检测 随机参量信号的检测 多元信号的检测 序贯检测 非白正态噪声中的信号检测
§3.3 二元已知信号的检测
• 已知信号：信号出现后，所有的参数（幅度、
频率、相位、到达时间等）都已知。
• 二元已知信号在高斯白噪声中的检测：
假设H1： xt s1t nt
1
S1k
xk
t
2 N0
T
0 s1
t
xt
dt
lim N S0k xk 2
N
t 0
k 1
2
N0
T
0 s0
t
xt
dt
同理
N
lim
S12k
1
2 N
t 0
k 1
2
N0
s T 2
01
t dt E1 N0
N
lim
p xN H0 p xN H1
第三章信号检测与估计理论3
判决的代价因子cij （i , j 0,1,,M 1）赋定的条件下，使平 均代价
最小的准则，就是M元信号检测的贝叶斯准则。 平均代价 C 的分析表示式
根据判决域Ri的划分3.6.1式，将3.6.2式写为3.6.3式
M 1
因为判决域Ri可表示为 Ri R Rj ,
jj0i
平均代价C的分析表示式为
其中, s0 1,
s1 2 ,
s2 3 ,
s3
4;
nk
~
N
0,
2 n
,相互统计独
立;先验概率 PH j 相等; cij 1 ij。设计最佳检测系统。
解 由题意得各假设下的似然函数为
p x | H j
1
2
2 n
N
2 exp
p l | H j
N
2
2 n
1
2
exp
N
l sj
2
2 n
2
，j 0,1,2,3
于是各判决概率为
P Hi | H j Li p l | H j dl
其中，Li 是各假设成立的判决域。最小平均错误概率为
Ii x 0
于是应当满足Ii x＝MinI0 x, I1 x..., IM 1 x
的x划归R i 域，判决假设Hi 成立，即当满足
Ii x I j x ，j 0,1, , M 1, j i
时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域 是通过求解M-1个不等式组成的联立不等式获得的。
Pe
13
3
最小的准则，就是M元信号检测的贝叶斯准则。 平均代价 C 的分析表示式
根据判决域Ri的划分3.6.1式，将3.6.2式写为3.6.3式
M 1
因为判决域Ri可表示为 Ri R Rj ,
jj0i
平均代价C的分析表示式为
其中, s0 1,
s1 2 ,
s2 3 ,
s3
4;
nk
~
N
0,
2 n
,相互统计独
立;先验概率 PH j 相等; cij 1 ij。设计最佳检测系统。
解 由题意得各假设下的似然函数为
p x | H j
1
2
2 n
N
2 exp
p l | H j
N
2
2 n
1
2
exp
N
l sj
2
2 n
2
，j 0,1,2,3
于是各判决概率为
P Hi | H j Li p l | H j dl
其中，Li 是各假设成立的判决域。最小平均错误概率为
Ii x 0
于是应当满足Ii x＝MinI0 x, I1 x..., IM 1 x
的x划归R i 域，判决假设Hi 成立，即当满足
Ii x I j x ，j 0,1, , M 1, j i
时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域 是通过求解M-1个不等式组成的联立不等式获得的。
Pe
13
3
《信号检测与估计》课件
,
汇报人：
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
信号检测：从含有噪声的信号中提 取有用信号的过程
信号检测与估计的目的：提高信号 传输的可靠性和准确性
添加标题
添加标题添加标题添来自标题信号估计：根据已知信号模型，估 计信号参数的过程
信号检测与估计的应用：通信、雷 达、声呐等领域
通信领域：检测和 估计信号，提高通 信质量
汇报人：
PART THREE
信号检测：通过测量信号的强度、 频率、相位等信息，判断信号是否 存在
信号检测方法：包括能量检测、匹 配滤波、相关检测等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
信号分类：根据信号的性质，可以 分为连续信号和离散信号
信号检测性能：包括检测概率、虚 警概率、检测延迟等指标
基于统计的方法：如最大 似然估计、贝叶斯估计等
雷达领域：检测和 估计目标信号，提 高雷达性能
医疗领域：检测和 估计生理信号，辅 助疾病诊断和治疗
工业领域：检测和 估计设备信号，提 高生产效率和安全 性
信号检测与估计是通信、雷达、导航等系统的核心 信号检测与估计可以提高系统的性能和可靠性 信号检测与估计可以降低系统的成本和功耗 信号检测与估计可以增强系统的安全性和保密性
信号检测与估计的鲁棒性研 究
信号检测与估计的实时性研 究
5G通信：提高通信速度和质量，实现高速数据传输 自动驾驶：提高车辆感知能力，实现智能驾驶 医疗健康：提高疾病诊断和治疗水平，实现精准医疗 工业自动化：提高生产效率和质量，实现智能制造 航空航天：提高飞行器导航和定位精度，实现安全飞行 军事应用：提高战场感知和决策能力，实现精确打击
参数估计：通过建立信号模型，估计模 型参数
汇报人：
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
信号检测：从含有噪声的信号中提 取有用信号的过程
信号检测与估计的目的：提高信号 传输的可靠性和准确性
添加标题
添加标题添加标题添来自标题信号估计：根据已知信号模型，估 计信号参数的过程
信号检测与估计的应用：通信、雷 达、声呐等领域
通信领域：检测和 估计信号，提高通 信质量
汇报人：
PART THREE
信号检测：通过测量信号的强度、 频率、相位等信息，判断信号是否 存在
信号检测方法：包括能量检测、匹 配滤波、相关检测等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
信号分类：根据信号的性质，可以 分为连续信号和离散信号
信号检测性能：包括检测概率、虚 警概率、检测延迟等指标
基于统计的方法：如最大 似然估计、贝叶斯估计等
雷达领域：检测和 估计目标信号，提 高雷达性能
医疗领域：检测和 估计生理信号，辅 助疾病诊断和治疗
工业领域：检测和 估计设备信号，提 高生产效率和安全 性
信号检测与估计是通信、雷达、导航等系统的核心 信号检测与估计可以提高系统的性能和可靠性 信号检测与估计可以降低系统的成本和功耗 信号检测与估计可以增强系统的安全性和保密性
信号检测与估计的鲁棒性研 究
信号检测与估计的实时性研 究
5G通信：提高通信速度和质量，实现高速数据传输 自动驾驶：提高车辆感知能力，实现智能驾驶 医疗健康：提高疾病诊断和治疗水平，实现精准医疗 工业自动化：提高生产效率和质量，实现智能制造 航空航天：提高飞行器导航和定位精度，实现安全飞行 军事应用：提高战场感知和决策能力，实现精确打击
参数估计：通过建立信号模型，估计模 型参数
信号检测与估计第三章
+∞
th1
⎛ N1μ − th1 ⎞ = Φ⎜ ⎟ ⎜ N 1σ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ N1μ − N1σΦ −1 (1 − α1 ) ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ −1 PD1 = Φ ⎜ = Φ⎜ − Φ (1 − α1 ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ N σ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• 若采用符号检测器，其检验统计量为：
0 2,1
ARE
N1 = N2
0 2,1
渐近相对效率定义如下:
N1 ARE2,1 = lim ARE = lim H1 → H 0 H1 → H 0 N 2 N →+∞ N →+∞
N 2 →+∞
1
N 2 →+∞
1
渐近相对效率是检测器在 H1 → H 0 条件下样本数趋于无穷时 的相对效率。它是比较两种检测器性能的一种指标。
⎧ H 0 : f ( xi ) = f ( − xi ) ⎨ ⎩ H1 : f ( Asi + xi ) = f ( Asi − xi )
2）若只知道噪声分布的中位数为零，可表示为： 1 ⎧ H0 : F ( 0) = ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ H : F ( As ) = 1 1 i ⎪ ⎩ 2
定义非随机检验函数（连续型）：
( ) ( ) ( )
k >0
• 混合型噪声的概率密度函数为：
⎧ ⎧ x2 ⎫ ε 1− ε ⎪ 2 x f ( x) = exp ⎨ − 2 ⎬ + exp ⎨ − 2πσ 1 2σ 2 ⎩ 2σ 1 ⎭ ⎪ σ2 ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
3.2.1 衡量检测器性能的指标
1. 检测器渐近相对效率 假设二元假设检验问题有两个检测器，若它们具有相同的 虚警概率和检测概率所需的观测样本数分别为 N1 , N 2 ， 则定义第2个检测器对于第1个的相对效率为:
《信号检测与估计》第三章习题解答
解：由题意可得
( ) f x H0 =
1
− x2
e2
2π
N
∑ 根据定理：当 xi ~ N (0,1) ，且 i = 1,2,L, N 之间相互独立时， x = xi2 服从 χ 2 分布，其概率密 i =1
度函数为
fi(x) =
1
2
i 2
Γ
⎜⎛
i
⎟⎞
i −1 − x
x2 e 2
。得到
⎝2⎠
( ) f
i =1
H1 > <
H0
1 M
ln l0
+1=
β
即判决门限为
β
=
1 M
ln l0
+1
（2）
3.7 在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为
H1：x(t ) = r12 + r22 H0：x(t) = r1
其中， r1 和 r2 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 1。求 Bayes 最佳判决公式。
信号检测与估计第三章习题解答经济法基础第三章习题热学第三章习题答案教育学第三章练习题信号与系统习题解析电磁学习题解答数值分析习题解答控制工程基础习题解答数学模型习题参考解答材料力学习题解答
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
( ) f x H0 =
1
− x2
e2
2π
N
∑ 根据定理：当 xi ~ N (0,1) ，且 i = 1,2,L, N 之间相互独立时， x = xi2 服从 χ 2 分布，其概率密 i =1
度函数为
fi(x) =
1
2
i 2
Γ
⎜⎛
i
⎟⎞
i −1 − x
x2 e 2
。得到
⎝2⎠
( ) f
i =1
H1 > <
H0
1 M
ln l0
+1=
β
即判决门限为
β
=
1 M
ln l0
+1
（2）
3.7 在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为
H1：x(t ) = r12 + r22 H0：x(t) = r1
其中， r1 和 r2 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 1。求 Bayes 最佳判决公式。
信号检测与估计第三章习题解答经济法基础第三章习题热学第三章习题答案教育学第三章练习题信号与系统习题解析电磁学习题解答数值分析习题解答控制工程基础习题解答数学模型习题参考解答材料力学习题解答
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
信号检测与估计 第三章 贝叶斯估计ppt课件
θ看作确定参数 θ看作随机参数
经典估计，不提供θ的全部先验信息 贝叶斯估计，要利用θ的先验pdf
最小均方估计
最小方差准则
均方误差准则（mean square error，MSE）——一个很自然的准则
mse(ˆ) E ˆ
2
E
ˆ
E(ˆ)
E(ˆ)
2
Hale Waihona Puke Var(ˆ)b2()条件中位数估计
最大后验概率估计
对应于均匀代价函数
关于估计的准则
经典估计理论——小结
主要估计方法
LSE：不需要统计信息 MLE：需要先验概率密度函数 矩估计：相应的矩信息 MVUE和BLUE：一阶、二阶矩信息（均值、方差）
例
• 作业4-2
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
§ 贝叶斯估计
误差平方代价函数
误差绝对值代价函数
均匀代价函数
C（，ˆ）
1， 0，
ˆ ˆ
2 2
几种贝叶斯估计
估计的数学问题
已知观测数据 X x [0 ]x [ 1 ]Lx [N 1 ]
未知参量
1 2 L p
如何得到估计问题的统计信息？
需要数据的N维pdf，与θ有关
求 ˆ g ( X ) g ( x [ 0 ] ,x [ 1 ] ,x [ 2 ] L x [ N 1 ] )
信号检测与估计--第三章-信号的检测
N(2xjsi si2)
j1
i 1,2,3,
上式最大等效为
N 1jN 1(2 xjsisi2)（ N 2jN 1xjsi)si2,i 1 ,2 ,3最大
计算
（
2 N
N
x j) 1,
j1
i1
（
4 N
N
x j) 4,
j1
i 2
哪个大就判决哪个假设成立
（ 2
N
N
x j) 1,
j1
i 3
除以p(x),得
m
C ijp (xH j)P (H j) m
R i(x)j 1 p (x)
j 1C ijP (H j x) i m 1 ,2 i,n m判 决 H i成 立
即在给定观测数据x的条件下,哪个假设带来的代价 小就判决哪个假设成立
贝叶斯准则的证明
把观测X分成互不重叠的m个子空间
X X 1 X 2 X m X 1 U X 2 U U X m
– C00 = C11=0,C10 = C01=1
• 最大似然准则
p(x p(x
| |
H H
1) 0)
H1
H0
1
– C00 = C11，C10 = C01，且P(H0) = P(H1)
• 最大后验概率准则
– (C10-C00)=( C01-C11)
p(H p(H
1 0
| |
x) x)
H1
H0
1
以取样平均值
sˆ
1 N
N
xj
j 1
作为检验统计量
判决规则为:
0
sˆ
3 2
,判
决
H
成
1
信号检测与估计 第三章 信号的检测1
➢ 把元信号与“假设”联系起来，根据观测数据和判决准则 对各假设进行统计检验，判决哪个假设成立。信号检测 就成为假设检验问题
§3.2 二元信号的假设检验和判决准则
➢ 二元信号基本概念 ➢ 贝叶斯准则 ➢ 最小总错误概率准则 ➢ 奈曼---皮尔逊准则 ➢ 极大极小准则
二元假设检验的模型
信源 P(H1)，P(H0)
X1 p(x | H0 )dx
X0 p(x | H1)dx
1
X1
[
p(x
|
H1)
(C10 (C01
C00 )q C11) p
p(x | H0 )]dx
贝叶斯准则
判决规则 ：
H1
l(x)
l0
(C10 (C01
C00 )q C11) p
H0
3.2.3 最小总错误概率准则
所谓最小总错误概率准则，就是已知信号的
（4） H1 为真，判决 H 0 成立；
虚警概率
第三种判决通常称为第一类错误，用雷 达术语来说是虚警错误，即在没有信号 的条件下判决为有信号。其错误概率为
X1 p(x | H0 )dx
漏报概率
第四种判决通常称为第二类错误，用雷 达术语来说是漏报错误。即在有信号的 条件下判决为无信号。其错误概率密度 为：
p[(C11 C00 ) (C01 C11) (C01 C00 ) ]
极大极小准则
由于 R ~ p的关系是一条直线 ，我们用 R( p) 来表示
R( p) C00(1 ) C10
p[(C11 C00 ) (C01 C11) ( p1) (C10 C00 ) ( p1)]
R
R(P) Rmin ( p)
0 P1
P
Rmin ( p) P
§3.2 二元信号的假设检验和判决准则
➢ 二元信号基本概念 ➢ 贝叶斯准则 ➢ 最小总错误概率准则 ➢ 奈曼---皮尔逊准则 ➢ 极大极小准则
二元假设检验的模型
信源 P(H1)，P(H0)
X1 p(x | H0 )dx
X0 p(x | H1)dx
1
X1
[
p(x
|
H1)
(C10 (C01
C00 )q C11) p
p(x | H0 )]dx
贝叶斯准则
判决规则 ：
H1
l(x)
l0
(C10 (C01
C00 )q C11) p
H0
3.2.3 最小总错误概率准则
所谓最小总错误概率准则，就是已知信号的
（4） H1 为真，判决 H 0 成立；
虚警概率
第三种判决通常称为第一类错误，用雷 达术语来说是虚警错误，即在没有信号 的条件下判决为有信号。其错误概率为
X1 p(x | H0 )dx
漏报概率
第四种判决通常称为第二类错误，用雷 达术语来说是漏报错误。即在有信号的 条件下判决为无信号。其错误概率密度 为：
p[(C11 C00 ) (C01 C11) (C01 C00 ) ]
极大极小准则
由于 R ~ p的关系是一条直线 ，我们用 R( p) 来表示
R( p) C00(1 ) C10
p[(C11 C00 ) (C01 C11) ( p1) (C10 C00 ) ( p1)]
R
R(P) Rmin ( p)
0 P1
P
Rmin ( p) P
信号检测与估计(3)
2 xk s1k 2 x(t ) f k (t )dt s1 (t ) f k (t )dt
T T 0 0
[2 x (t ) s1 (t )] f k (t )dt
T 0
2 xk s0 k [2 x(t ) s0 (t )] f k (t )dt
T 0
N T s1k f k (t ) 1 N s1k 1 (2 xk s1k ) 0 [ x(t ) 2 s1 (t )] dt 2 k 1 k k 1 k
G E{G} n(t )[h1 (t ) h0 (t )]dt
T 0
var{G} E{[G E{G}]2 }
T 0 T
T
0
Rn (t )[ h1 () h0 ()][h1 (t ) h0 (t )]ddt
[ s1 (t ) s0 (t )][ h1 (t ) h0 (t )]dt
注意
T
0 T
s0 (t )h1 (t )dt [ Rn (t )h0 ()d]h1 (t )dt
T T 0 0
0
s1 (t )h0 (t )dt [ Rn (t )h1 ()d]h0 (t )dt
T T 0 0
2
可得
G E{G | H1} E{G | H 0 } 2
N
k
f k (t ) x k f k (t )
k 1
条件是 x k f k (t ) 均方收敛于 x (t ) ，即
k 1
N
lim E{[ x ( t ) x k f k ( t )]2 } 0
k 1
N
信号检测与估计
实际情况：带限白噪声：Rn (τ )为辛格函数
Rn (τ )
π − ω0
π ω0
2π ω0
S n (ω )
检测的步骤： 检测 ⇔ 求似然比 Λ(x) → 进一步化简似然比， 确定门限。
τ
N0 2
ω
−ω0
ω0
以Δt=
π 为间隔采样，x1 , x2 , ω0
p ( xn |H i ) p (x|H1 ) p (x|H 0 )
∴⇒
2
{[ xi − E ( xi ) ] } = cov( xi , xi )
∫
T 0
由 公 式 ( 3 − 6) and (3 − 7) ⇒ Var [ x i ] = f i ( t1 ) λ i f i ( t1 ) dt1 = λ i = Var [ x i H 1 ] = Var [ x i H 0 ]
0 T
∫ cov { x , x } = E {[ x
0 i j
E [ xk ] =
T
仅 当 f j ( t1 ) * R n ( t1 ) = 则 c o v {x i , x j } = 0 即 不 相 关 xi , x j
s (t ) f k * (t ) dt
i
=E
{∫
T
0
∫
T
0
fi
*
} (t ) f (t ) n (t ) n * (t ) dt dt }
, xn 不相关 ⇒ 独立，
p (x|H i )＝p ( x1|H i ) ⇒ 似然比Λ(x)=
求 似 然 比 ⇔ p ( X | H i ); 即 ： 求 N 个 数 据 点 的 联 合 pdf ；
1
信号检测与估计 第三章 答案
0
e−t(a+2πf ) dt =
(3)
and Sy (f ) = Problem 3.2
a2 e−2aT Sx (f ) a2 + 4π 2 f 2
(4)
Using the definitions of bandpass noise processes, we can write E {z(ti )z(tj )} = E {[nI (ti ) + nQ (ti )] [nI (tj ) + nQ (tj )]} = E {nI (ti )nI (tj )} − E {nQ (ti )nQ (tj )} +E {nI (tj )nQ (ti )} + E {nI (ti )nQ (tj )} Since it is assumed that this bandpass process is stationary, we can rewrite this correlation as E {z(ti )z(tj )} = RI (τ ) − RQ (τ ) + [RQI (τ ) + RIQ (τ )] where τ = ti − tj . Using the properties of Eq. 3.61 in the text completes the proof. A similar proof can easily be written for E {z∗ (ti )z∗ (tj )}. Problem 3.3 Using 3.68 in the text, it follows that RI (τ ) = N0 δ (τ ), RQ (τ ) = N0 δ (τ ), and RIQ (τ ) = 0. In order to get to the desired answer, we make the following reasonable assumptions: 1. The integral of cos 2πfc t from 0 to T is approximately zero. 2. The integral of sin 2πfc t from 0 to T is also approximately zero. 3. The integrate parts of the correlators suppress any “double-frequency” terms. (6) (5)
e−t(a+2πf ) dt =
(3)
and Sy (f ) = Problem 3.2
a2 e−2aT Sx (f ) a2 + 4π 2 f 2
(4)
Using the definitions of bandpass noise processes, we can write E {z(ti )z(tj )} = E {[nI (ti ) + nQ (ti )] [nI (tj ) + nQ (tj )]} = E {nI (ti )nI (tj )} − E {nQ (ti )nQ (tj )} +E {nI (tj )nQ (ti )} + E {nI (ti )nQ (tj )} Since it is assumed that this bandpass process is stationary, we can rewrite this correlation as E {z(ti )z(tj )} = RI (τ ) − RQ (τ ) + [RQI (τ ) + RIQ (τ )] where τ = ti − tj . Using the properties of Eq. 3.61 in the text completes the proof. A similar proof can easily be written for E {z∗ (ti )z∗ (tj )}. Problem 3.3 Using 3.68 in the text, it follows that RI (τ ) = N0 δ (τ ), RQ (τ ) = N0 δ (τ ), and RIQ (τ ) = 0. In order to get to the desired answer, we make the following reasonable assumptions: 1. The integral of cos 2πfc t from 0 to T is approximately zero. 2. The integral of sin 2πfc t from 0 to T is also approximately zero. 3. The integrate parts of the correlators suppress any “double-frequency” terms. (6) (5)
信号检测与估计知识点总结(3)
第二章检测理论1 •二元检测:①感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有无。
②感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。
2•二元检测的数学模型：感兴趣的信号s,有两种可能状态：sO、si。
在接收信号的观测样本y中受到噪声n的污染，根据测量值y作出判决：是否存在信号s,或者处于哪个状态。
即：y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H o :对应s o状态或无信号，H i:对应s i状态或有信号。
检测：根据y及某些先验知识，判断哪个假设成立。
3.基本概念与术语先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件(假设)发生或成立的概率。
p(H o),p(H i)。
后验概率：在已掌握观测样本或测量值y的前提下，某事件(假设)发生或成立的概率。
p(H o/y),p(H i/y)。
似然函数：在某假设H o或H i成立的条件下，观测样本y出现的概率。
似然比：L(y)3Hi)p(y|H o)虚警概率P f:无判定为有;漏报概率P m:有判疋为无;(正确)检测概率P d :有判定为有。
平均风险：r =[R o C oo +P io C io] ・P(H°) +[P oi C oi + R i C ii] ・P(H i) 4.1最大后验概率准则(MAP )在二元检测的情况下，有两种可能状态：so、si，根据测量值y作出判决：是否存在信号s,或者处于哪个状态。
即:y(t)=si(t)+n(t) i=o,i假设：H o:对应s o状态或无信号，H i:对应s i状态或有信号。
如果P(H°|y) P(H i|y)成立，判定为H o成立；否则P(H i |y) . P(H o |y)成立，判定为H成立。
利用贝叶斯定理：P(H o|y)p(y)二p(y|H o)P(H o)可以得到：如果p(y|H o)P(H o) . p(y| H i)P(H i)成立，判定为H o成立；如果p(y|H i)P(H i) ■ p(y |H o)P(H o)成立，判定为H i 成立；定义似然比为：L(y)二p(y|H i)/p(y|H o)得到判决准则：［如果L(y) cth MAP =P(H°)/P(H i)成立，判定为H o成立；、如果L(y)3th MAP =P(H o)/P(HJ成立，判定为也成立；这就是最大后验准则。
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3.5 信号统计检测的性能
利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算 极小化极大准则
c11 c00 c01 c11 PM P1*g c10 c00 PF P1*g 0 c11 c00 c01 c11 1 PD P1*g c10 c00 PF P1*g 0 c01 c11 PD P1*g c10 c00 PF P1*g c01 c00 0
ij
c jj PH j p x H j
I i x
M 1
j 0, j i
PH px H
j j
为保证平均错误概率最小，应把所有使 I i x 最小的划分至
判决区域 Ri，即当满足
I i x I j x , j 0, 1, , M 1, j i
I 0 x I1 x I x I x 0 2 I 0 x I M 1 x
3.6 M元信号检测
2. 最小平均错误概率准则
正确判决代价为0，错误判决代价为1，则
I i x
M 1
j 0, j i
c
cii PH i
i 0 M 1 M 1
M 1
M 1 M 1
i 0 j 0, j i
c PH PH
ii i i j
j
Hi
M 1 M 1
M 1 M 1
i 0 j 0, j i
c PH PH
ij j i j
i
Hj
c PH PH
步骤3：
计算判决概率
PH 0 H1 PH1 H 0
3.6 M元信号的统计检测 (Detection of M-ary Signal)
基本要求：
① 掌握贝叶斯准则 ② 掌握最小平均错误概率准则
3.6 M元信号检测
1. Bayes 检测准则
R
M 1 i 0
R0
i
R
R1 RM 1
p xi H 0 p xi H1
xi 12 exp 2 2 2 2 1 xi 2 exp 2 2 2 2 1
2
px H 0
证明过程如下：
3.5 信号统计检测的性能
利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算 贝叶斯准则和最小错误概率准则下 根据先验概率和代价因子，求得判决门限 以 为斜率，可找到一条直线，与在给定信噪比d下的PD-PF曲线相切； 切点对应的PD和PF值，
就是在给定信噪比下的两 种判决概率。
i 0 j 0, j i ii M 1 M 1 i 0 j 0, j i jj i j
Hi
i 0 j 0, j i
c PH , H
ii jj j i
c PH , H c PH PH
M 1 M 1 i 0 j 0, j i
P( H 0 ) P( H 0 ) 先验概率决定 P ( H1 ) 1 P ( H 0 )
(PF (P( H 0 | H1 ) )
由虚警概率决定
3.5 信号统计检测的性能 (Performance of Statistical Detection)
根据 PD PH1 H1
接收机工作特性的共同特点(似然比函数是x的连续函数)
•上凸曲线 曲线位于PD=PF之上
•随着门限 的增加，两种判决概率PD和PF之都会减小
•PD和PF之同时增加，或同时减小
•工作特性某点上的斜率等于该点PD和PF所要求的检测门限值
•利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算
PD PH1 H1
最小平均 错误概率 判决准则
最大似然 判决准则
1 p x H 1 H P H 0 p x H 0 H 0 P H 1
c10 c00 c01 c11
P H 0 x P H1 x
H0
H1
最大后验 概率检测 准则
等概
p x H 0 p x H 1
时，判决Hi成立
3.6 M元信号检测
3. 最大似然检测
正确判决代价为0，错误判决代价为1，且信源的假设先验等概时，
I i x
1 I i x M
M 1
j 0, j i
c
ij
c jj PH j p x H j
1 p x H j M j 0, j i
解：
H 0 : xi 1 ni ,
H1 : xi 2 ni ,
H 2 : xi 3 ni , H 4 : xi 4 ni ,
根据题设条件，在信源先验等概且正确判决代价为零，错误
判决代价为1的条件下，贝叶斯检测等价于最大似然检测，即
使似然函数 p x H i 最大的观察值划分给判决区域Ri
PF PH1 H 0
3.5 信号统计检测的性能
•工作特性某点上的斜率等于该点PD和PF所要求的检测门限值
1 px H1 H x px H 0 H 0
def
PD PH1 H1 p H1 d p H 0 d
3.6 M元信号检测
M 1 M 1 M 1 cij P H j P H i H j C cii PH i 1 P H H j i i 0 j 0 , j i i 0 j 0, j i M 1
PF PH1 H 0
分析似然比检测的接收机工作特性
PF＝P( H1 | H 0 ) PD＝P( H1 | H1 )
arctg
0
信噪比
图3.12接收机工作特性（ROC）
图3.13检测概率PD与信噪比d的关系
3.5 信号统计检测的性能 (Performance of Statistical Detection)
M 1
Ri
j 0, j i
c
ij
c jj P H j p x H j d x
Ii x
M 1
j 0, j i
c
ij
c jj P H j p x H j
p xHj 0
cij c jj , P H j 0,
算最终判决门限。
贝叶斯及派生检测准则(3)
分析某种检测方法的性能时，需根据化简后的最简判决表示式进行。 计算步骤： 步骤1： 步骤2：
H1
推导某种检测方法下获得的最简判决表达式 l x
H0
根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数
pl H1 p l H 0
3.6 M元信号检测
步骤1，计算各假设下的似然函数
由于n是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，xi 服从高斯分布，
xi 服从均值为2，方差为 且均值为1，方差为 2 ;在H1假设下，
在H3假设下, xi 服从均值为4，方差为 2的高斯分布。
2
的高斯分布;在H2假设下, xi 服从均值为3，方差为 2的高斯分布;
按照上述公式，画出一条PD-PF直线， 该直线与给定信噪比下的PD-PF工作 特性曲线相交,交点即是在极小化极大 准则条件下的两种判决概率。
3.5 信号统计检测的性能
利用接收机工作特性，可进行各种判决准则的分析和计算 奈曼皮尔逊准则 由
PF 画一条直线
该直线与给定信噪 比下的PD-PF工作 特性曲线相交, 交点即是在奈曼皮 尔逊准则下的两种 判决概率。
贝叶斯及派生检测准则(1)
贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下， 使平均代价最小的检测准则。
1 p x H 1 H P H 0 c10 c00 p x H 0 H 0 P H 1 c01 c11
c 00 c11 0
c 01c10 1
Ri R j
平均代价为
C cij PH j P H i H j
i 0 j 0
M 1 M 1
寻找一种判决空间的划分方法,使平均代价最小.
3.6 M元信号检测
C c PH PH
M 1 M 1 i 0 j 0 ij j
i
Hj
i
cii PH i PH i H i
Hj
3.6 M元信号检测
C cii P H i
i 0 M 1 M 1 M 1
i 0 j 0, j i
c
ij
c jj P H j P H i H j
cii P H i
i 0 i 0
M 1
M 1
大家晚上好
几种准则的说明
准则 贝叶斯准则 最小平均错误 概率准则 最大后验概率 准则 N-P准则 门限 P( H 0 )(c10 c00 ) P( H1 )(c01 c11 )
P( H 0 ) P( H 0 ) P ( H1 ) 1 P ( H 0 )
说明 由代价因子和先验 概率决定 先验概率决定
I i x 0
3.6 M元信号检测
为保证平均风险最小，应把所有使 I i x 最小的划分至
判决区域 Ri，即当满足
I i x I j x , j 0, 1, , M 1, j i
时，判决Hi成立
3.6 M元信号检测
H0成立的判决区域，是满足下面联立方程组的解
H0 H1