森林救火模型

森林救火模型

问题提出：森林失火了，消防队接到报警后应派多少消防队员去救火

呢？

一、问题分析:

派出的队员越多，森林损失越小，但是救援开支会越多，所以需要综合考虑森林的损失费和救援费与队员人数之间的关系，以总费用最少来决定派出队员的数目。

损失费通常正比于森林烧毁面积，而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火时间越短。而救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。记失火时刻为

0=t ，开始救火时刻为1t t =，设在时刻t 森林烧毁面积为)(t B ，则

造成损失的森林烧毁面积为)(2t B ，建模要对函数)(t B 的形式作出合理的简单假设。

研究dt dB 比)(t B 更为直接和方便，dt

dB 是单位时间烧毁面积，表

示火势蔓延的程度。在消防队员到达之前，即21

t t t ≤≤时，火势越

来越大，即

dt dB

随t 的增加而增加；开始救火后，即21

t t t ≤≤，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即dt

dB

应该减小，并且

当2t t =时，有0dt

dB

=。 救援费可以分为两个部分：一部分是灭火材料的损耗和消防队员的薪金等，与队员数量及灭火时间有关；另外一部分是运送队员一次

性支出，只与消防队员人数有关。

二、模型假设：

1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风条件下发生的。

2、损失费与森林烧毁面积)(2t B 成正比，比例系数1c 为单位烧毁面积

的损失费。

3、从失火到开始救火这段时间（10t t ≤≤）内，火势蔓延程度

dt

dB

与时间t 成正比，比例系数β为火势蔓延速度，即：

;0,1t t t dt

dB

≤≤=β 4、派出消防队员x 名，开始救火后（1t t ≥），火势蔓延速度降为 x λβ-，其中λ为每个队员的平均灭火速度，显然有x λβ<。

因 为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延速度，否则火

势 将难以控制。

5、每个消防队员单位时间费用为2c （包括灭火材料的消耗及消防队 员的薪金等），救火时间为12t t -；每个队员的一次性支出为3c （运

送队员、器材一次性支出）。

对于假设3作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可以看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r 与时间t 成正比，又因为烧毁面

积B 与2

t 成正比，从而dt

dB 与t 成正比。

三、模型的构成：

根据假设条件3，4，火势蔓延程度dt

dB

在10t t ≤≤ 线性地增加，

在21t t t ≤≤线性地减少，图形如下：

记 1t t =时b =dt dB ，烧毁面积dt dt

dB

B t t ⎰=2

2

0)(恰好是图形中三角形的面积，显然有2)(2

1

2bt B t =

由b 的定义有))((121t t x t b --==βλβ，于是

βλββλ-=-=-x t x b t t 112 βλβ-+=x b

b t 2

所以)(21)

(2β

λβ-+=x b

b b B t 根据假设条件2，5，森林损失费为

)(12t B c ，救援费为

x c t t x c 3122)(+-

所以总费用为：

x c t t x c B c C t X 3122)(1)()(2+-+=

即：x c x bx

c x b b bc C x 321)

()(21+-+-+=β

λβλβ 四、模型求解：

为了求x 使得)(x C 达到最小，令0=dx

dC

，可以得到应该派出的队员人数为：2

322122λβλβλβc b c b c x ++= 五、模型分析与改进：

1、应该派出（最优）队员人数有两个部分组成，其中一部分λ

β

是为

了把火扑灭所必须派出的最少队员数。因为β是火势蔓延速度， 而λ是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解满足约

束条件，结果是合理的。

2、派出队员的另外一部分与问题的各个参数有关。当队员的灭火速 度λ和救援费用系数3c 增大时，队员人数减少;当火势蔓延速度

β

，开始救火时的火势b 及损失费用系数1c 增大时，消防队员人

数增加；救援费用系数2c 增大时，队员人数也增加。

3、改进方向:

（1）取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况； （2）灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； （3）对不同种类的森林发生火灾，派出的队员数应不同，虽然β能从

某种程度上反映森林类型不同，但对β相同的两种森林，

派出的队员也未必相同；

（4）决定派出队员人数时，人们必然在森林损失费和救援费用之间作权衡，可通过对两部分费用的权重来体现这一点。