森林着火模型

数学模型案例4——森林救火模型

??????森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？

（1

??????

. ??????

??????

毁面积为B（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为B（t2），而是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的

森林的面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t的单调非减的函数，即.从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即

.开始救火以后，即时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即，并且当t=t2时，.

??????在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度作出合理的假设.

（2

??????

??????

损失费为

??????③从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度

为β

??????名，开始救火以后（（线性化），其中可视为每个队员的平均灭火速度，且有，因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制；

??????⑤每个消防队员单位时间费用为c2（包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t2-t1，于是每个队员的救火费用为c2(t2-t1)；每个队员的一次性支出为c3(运送队员、器材等一次性支出).

??????对于假设3可作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半

径r与时间t成正比，又因为烧毁面积B与r2成正比，故B与t2成正比，从而与t 成正比.

（4）模型建立

??????B（t2）总费用为

.

??????，火势蔓延速度在内线性地增加，

在内，（如图2—6

图2—6?与时间t的关系

??????因而有.烧毁面积为恰为图2—6中三角形的面积.由b的定义有，于是

所以，其中只有派出的消防队员的人数是未知的. ??????问题归结为如下的最优化问题：

（5）模型求解

??????这是一个函数极值问题.令，容易解得