高考数学第一轮复习9对数与对数函数

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高考数学一轮复习学案第9讲对数函数（原卷版）

第9讲对数函数（原卷版）考点内容解读要求常考题型 1．对数函数的图像和性质理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式．两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为，值域为．（2）图象：由于对数函数是指数函数的，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。

2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)

(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三对数函数的性质及应用【例 3－1】已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、经典例题
考点一对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.

2025高考一轮复习专练9 对数与对数函数【含答案】

2025高考一轮复习专练9对数与对数函数（原卷版）[基础强化]一、选择题1．lg 52＋2lg 2－(12)－1＝()A ．1B ．－1C ．3D ．－32．函数y ＝log 12（3x －2）的定义域是()A ．[1，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．23，1D ．(23，1]3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是()A ．(－∞，0)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，1)4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图像过点()A ．(－2，0)B ．(2，0)C ．(－3，0)D ．(3，0)5．[2024·江西省高三联考]设a ＝log 0.222022，b ＝sin (sin 2022)，c ＝20220.22则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a x >zB ．x >y >zC ．z >x >yD ．x >z >y7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则()A ．f (x )在(0，2)上单调递增B ．f (x )在(0，2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图像关于点(1，0)对称8．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()9．[2024·重庆市高三质量检测]若函数f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)有最小值，则实数a 的取值范围是()A ．(32，1)B ．(1，3)C ．(0，32)D ．(3，＋∞)二、填空题10．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________.11．函数f (x )x－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．12．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.[能力提升]13．[2024·江西省九江市二模]牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为T 0，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足T －T c ＝(12)t h (T 0－T c )，其中T c 是环境温度，h 为常数．现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m 分钟后，该物体的温度降至30℃，则m 的值约为(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)()A ．2.9B ．3.4C ．3.9D ．4.414．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.615．[2024·江西省高三一模]纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算．0123451248163267891011641282565121024204812 (19202122)4096 (524288104857620971524194304)232425…83886081677721633554432…如512×1024，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算9＋10＝19.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了．若x＝log4(20211226×1314520)，则x落在区间()A．(15，16)B．(22，23)C．(42，44)D．(44，46)16．已知函数f(x)＝log a(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝a x＋m－3的图像不经过第一象限，则m的取值范围为________2025高考一轮复习专练9对数与对数函数（解析版）1．B原式＝lg 52＋lg 4－2＝lg －2＝1－2＝－1.2．D 由题意得log 12(3x －2)≥0，即0<3x －2≤1.∴23<x ≤1.3．A 函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调增区间为(－∞，0).4．A ∵f (x )＝(m －2)x a 为幂函数，∴m －2＝1，m ＝3，∴g (x )＝log a (x ＋3)，又g (－2)＝0，∴g (x )的图像过(－2，0).5．A 因为a ＝log 0.222022<log 0.2210.22＝－1，－120220＝1，所以a 1，z ＝log 34>1，∴y z ＝log 45log 34＝log 45·log 43≤(log 45＋log 432)2＝(log 4152)2＝(log 415)2<(log 44)2＝1，即z >y ，∵43＝log 3343，而(343)3＝34＝81>43＝64，∴43＝log 3343>log 34，又43＝(43)1<(43)54，∴x >z ，综上，x >z >y .7．C f (x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x ).设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0，2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．∴选项A 、B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图像关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图像不关于点(1，0)对称，∴选项D 错误．8．B 由y ＝log a x 的图像可知1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x x为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.9．A 依题意a ∈(0，1)∪(1，＋∞)且－3x 2＋4ax －1>0，所以Δ＝16a 2－12>0，解得a >32或a <－32，综上可得a ∈(32，1)∪(1，＋∞)，令－3x 2＋4ax －1＝0的根为x 1、x 2且x 1<x 2，u (x )＝－3x 2＋4ax －1，y ＝log a u ，若a ∈(1，＋∞)，则y ＝log a u 在定义域上单调递增，u (x )＝－3x 2＋4ax －1在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，根据复合函数的单调性可知，f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ∈(32，1)，则y ＝log a u 在定义域上单调递减，u (x )＝－3x 2＋4ax －1在(x 1，2a 3)上单调递增，在(2a 3，x 2)上单调递减，根据复合函数的单调性可知，f (x )＝log a (－3x 2＋4ax －1)在(x 1，2a 3)上单调递减，在(2a 3，x 2)上单调递增，所以函数在x ＝2a 3取得最小值，所以a ∈(32，1).10．－7解析：∵f (3)＝log 2(9＋a )＝1，∴9＋a ＝2，a ＝－7.11．8解析：因为函数y x，y ＝－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，f (x )x －log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f (x )的最大值为f (－2)－2－24)＝9－1＝8.－∞，32解析：∵0<－x 2＋22≤22，∴log 2(－x 2＋22)≤log 222＝32.13．B 由75－15＝(12)1h (105－15)，有(12)1h ＝23，又30－15＝(12)m h (75－15)，有(12)m h ＝14，即(23)m ＝14，则m lg 23＝lg 14，解得m ＝－lg 4lg 2－lg 3＝2lg 2lg 3－lg 2≈3.4.14．C 4.9＝5＋lg V ⇒lg V ＝－0.1⇒V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.15．B x ＝log 4(20211226×1314520)＝12log 2(20211226×1314520)，设20211226＝2m ，1314520＝2n ，由表格得知：220＝1048576，221＝2097152，224＝16777216，225＝33554432，所以24<m <25，则20<n <21，所以m ＋n ∈(44，46)，log 2(20211226×1314520)∈(44，46)，则x ＝12log 2(20211226×1314520)∈(22，23).16．[－1，＋∞)解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f (0)＝0，∴f(－2)＝log a3＝－1，∴a＝13，∴g(x)x＋m－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).。

高三数学第一轮复习对数与对数函数教案文

对数与对数函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。

（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN.（3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N（5）、对数的运算性质：如果，M>0,N>0 ，那么=+==n（n）换底公式：=对数恒等式：=N2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。

（2）、对数函数的图象及性质图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究探究一：对数的运算例1：（15年安徽文科）=-+-1)21(2lg 225lg 。

【答案】-1 【解析】试题分析：原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 考点：对数运算.例2：【2014辽宁高考】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>例3：【2015高考浙江】若4log 3a =，则22a a-+= ．【答案】334.【考点定位】对数的计算探究二：对数函数及其性质例4：【2014江西高考】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞例5：下列关系中，成立的是（A ）、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题例7：【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.例8：【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升：1、处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中【最后的导数题】，一定要首先考虑函数的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域出现错误；2、在2015年高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系，中档难度。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解9---对数与对数函数

高考数学一轮复习考点知识专题讲解对数与对数函数考点要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝nmlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点．答案(3,2) 解析∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一对数式的运算例1(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于()A.10B ．10C ．20D ．100 答案A解析2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝. 答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝.答案6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为() A ．e 2＋ln2B ．e ＋ln2 C ．2D ．4 答案C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为函数y ＝e x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3 答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较指数式、对数式大小例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c log 62>log 122，即1a >1b >1c，所以a 0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用例5已知函数f (x )＝ln 2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数； ②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增．答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0，解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，又f (－x )＝ln－2x ＋1－2x －1＝ln2x －12x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1－1＝－ln2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误；又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ，又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确；又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为() A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎨⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c 1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2；当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4，则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2，即1a 2≥2,0<a ≤22，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 答案D解析a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得log a(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg II0 (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5) 答案C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50，即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于()A.ab＋3a＋abB.3a＋ba＋abC.ab＋3a＋bD.b＋3a＋ab答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝log3(7×23)log3(3×7)＝log37＋log323log33＋log37＝b＋3×1a1＋b＝ab＋3a＋ab.7．(2022·海口模拟)log327＋lg25＋lg4＋7log27＋13(8)-的值等于．答案7 2解析原式＝log3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝7 2 .8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4， ∴y ＝log a 1－1＝－1，故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解(1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎨⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解(1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则() A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则() A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y 答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2x )的最小值为．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3ba＝f(a)，＝3a＋log3∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，(2x－4)>2，得log2得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log(1＋k)＝1，2解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，(2x＋1)＝x－2m有实根．即log2所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g (x )＝log 2(2x＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x .因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)．所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

高考数学一轮复习专题09 对数与对数函数教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题09 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．高频考点一对数式的运算例1、(1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．【答案】 (1)A (2)－20【方法规律】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．【解析】 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.(2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 【答案】 (1)A (2)－1高频考点二对数函数的图象及应用例2、(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．【答案】 (1)B (2)a >1【方法规律】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式探究】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 【答案】 (1)C (2)B高频考点三对数函数的性质及应用例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b【解析】由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．【答案】 B【方法规律】(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数【解析】式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 高频考点四和对数函数有关的复合函数例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t(x)＝3－ax ，∵a>0，∴函数t(x)为减函数． ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a ，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a>0，loga 3－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a<32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>aD ．c>a>b(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值X 围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－x ，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 【答案】 (1)D (2)A (3)C⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12－a >log2－a ，解得a>1或－1<a<0.高频考点五、比较指数式、对数式的大小例5、(1)设a ＝，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<a<cD ．a<c<b(2)设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>bD ．c>b>a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b由图象知：log23.4>log3103>log43.6.方法二 ∵log3103>log33＝1，且103<3.4，∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3103>1，∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a>c>b.【答案】 (1)C (2)C (3)C【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.【2016·某某卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．【答案】 4 2【2015高考某某，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考某某，理12】若4log 3a =，则22aa-+=．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa . （2014·某某卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2014·某某卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )图11A BC D 【答案】B【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．（2014·某某卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．【答案】50（2014·某某卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·某某卷）函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.（2014·某某卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．【答案】－14【解析】f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14. （2013·某某卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·某某卷）定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b2，又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b，即有ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】D【解析】a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0， b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0，所以a>b>c ，选D.（2013·某某卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy，故选择D.1．设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( ) A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >cC ．a b >c【解析】因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c＝log 32<log 33＝1. 【答案】 B3．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B. 【答案】 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72【解析】由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 【答案】 A5．知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0【答案】 D7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)为增函数，∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a . 【答案】 B8．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值X 围是________．【解析】由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，149．设f (x )＝log ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值X 围是________．【答案】 (－1，0)10．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________．【解析】由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·l og 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 【答案】 3211．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．13．设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。

2015届高三数学(文)第一轮总复习课件第9讲对数与对数函数

x
－x
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二
对数函数的图象与性质
2 【例2】函数f(x)＝log2 2 的值域为( C ) x ＋1 A．[1，＋∞) C．(－∞，1] B．(0,1] D．(－∞，1)
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(2)已知a>b，函数f(x)＝(x－a)(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝loga(x＋b)的图象可能为( B )
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(2)f(x)≥1 在区间[2,3]上恒成立等价于 ax2＋2x－3a－2≥0 在区间[2,3]上恒成立．
2 2
2－2x 由 ax ＋2x－3a－2≥0 且 x∈[2,3]时， x －3>0，得 a≥ 2 ， x －3 2－2x 2x2－4x＋6 令 h(x)＝ 2 ，则 h′(x)＝ 2 >0， x －3 x －32 所以 h(x)在区间[2,3]上是增函数， 2 所以[h(x)]max＝h(3)＝－ . 3 2 因此 a 的取值范围是[－，＋∞)． 3
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【拓展演练 3】 1＋2x＋4xa 设 f(x)＝lg ，如果当 x∈(－∞， 1]时， f(x)有意义， 3 求实数 a 的取值范围．
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解析：由题设可知，不等式 1＋2x＋4xa＞0 在 x∈(－∞， 1 2x 1 x 1]时恒成立，即( ) ＋( ) ＋a＞0 在 x∈(－∞，1]时恒成立． 2 2 1x 1 设 t＝( ) ，则 t≥ . 2 2 1 又设 g(t)＝t ＋t＋a，则其对称轴为 t＝－， 2
20
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三.
有关对数函数的综合问题
【例3】已知函数f(x)＝log2(ax2＋2x－3a)． (1)当a＝－1时，求该函数的定义域和值域； (2)如果f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立，求实数a的取值范围．

《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版课时作业9 Word版含解析

课时作业9 对数与对数函数一、选择题(每小题5分，共40分)1．若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 122x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.答案：C2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 答案：A3．(2022·宝鸡模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1B ．0<a <2，a ≠1C ．1<a <2D ．a ≥2解析：由于y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C.答案：C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图像如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图像是( )解析：由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图像可得0<a <1，00)的反函数f －1(x )＝( ) A.12x －1(x >0) B.12x －1(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R )D ．2x －1(x >0)解析：y ＝log 2(1＋1x )，∴x >0，∴1x >0，。

2014版高考数学一轮总复习第9讲对数与对数函数课件理新人教A版

一
有关对数及对数函数的运算问题
x≥4 x<4
1x 【例 1】 (1)设函数 f(x)＝ 2 fx＋1
a b
， f(log23)＝_______；则
2 1 (2)设 3 ＝4 ＝36，则a＋b＝__________； (3)计算： 1 lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2 ) ＋lg6＋lg0.06＋52log53.
素材1
2 (1)计算：lg5 ＋3lg8＋lg5· lg20＋(lg2)2＝ 3
2
； (用 a，b
3a (2)已知 log89＝a,2 ＝5，则 lg3＝ 2b＋1
b
表示)．
【解析】(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5· lg2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2 ＝2＋1＝3.
(2)若函数 f(x)＝loga(2－ax)在(0,1]上是减函数，则 a 的取值范围是 (1,2) .
1 1 1 1 【解析】(1)因为 log2a<log2b<log2c，又 y＝log2x 是减函数，所以 a>b>c>0，而 y＝2x 为增函数，所以 2a>2b>2c. (2)因为 a>0，且 a≠1，所以 t＝2－ax 在(0,1]上为减函数，且 t>0，所以 2－a>0，即 a<2，又 f(x)＝loga(2－ax)在(0,1]上是减函数，所以 y＝logat 是增函数，所以 a>1，故 1<a<2，即 a 的取值范围是(1,2)．
1＋x1 1＋x2 (ⅱ)当 0<a<1 时，loga >loga ， 1－x1 1－x2 即 f(x1)>f(x2)，故 f(x)在(－1,1)上是减函数．

【江苏南通名校】高三数学一轮复习：对数与对数函数

2
(1)若函数的定义域为R，求实数a 的取值范围；
(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围；
课堂互动讲练
(3)若函数在[－1，＋∞)上有意义，求实数a的取值范围；
(4)若函数的值域为(－∞，－1]，求实数a的所有取值；
(5)若函数在(－∞，1]上是增函数，求实数a的取值范围．
课堂互动讲练
基础知识梳理
1．对数一般地，如果a(a＞0且a≠1)的b次幂等于 N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做以a为底N的对数．常用对数：通常将log10N的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作 lgN .
课堂互动讲练
【点评】对数式的有关化简及运算，应熟练掌握对数的运算性质，对有些对数公式及结论的应用要灵活，能结合变形形式，对有关条件或运算形式进行准确地定位，从而得出结果．
课堂互动讲练
跟踪训练
1．计算： (1)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5； (2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．解：(1)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5 ＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋ (lg5)2]＋3lg2·lg5 ＝lg10[(lg2＋lg5)2－3lg2·lg5] ＋3lg2·lg5＝1.
课堂互动讲练
(5)函数在(－∞，1]上是增函数⇔g(x)在(－∞，1]上是减函数，且g(x)>0对x∈(－∞，1]恒成立，
⇔
a≥1
，故a的取值范围
g(1)>0
为[1,2).16分
课堂互动讲练
【点评】 ①此题用同一个函数考查了常见的既是重要的基本问题，又是容易混淆的难点问题．做完后，应注意比较与总结．如函数在某区间上有意义与其定义域是某区间两者之间是有本质的区别．函数在某区间上有意义说明此区间是它的定义域的一个子集，而不一定与定义域相同．②第(1)问与第(2)问也容易混淆．定义域为R是指函数式对任意x∈R都有意义；值域为R，定义域不一定为R.这要通过分析所给函数的性质来解决，如：y＝lgx，x的取值范围只要包含(0，＋∞)，y便可取到全体实数．

高考文科数学一轮复习：对数与对数函数

夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
夯实双击自主梳理
1．对数的概念如果 ax＝N(a＞0，且 a≠1)，那么 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 xx＝logaN ，其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数．
夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝ NN ； ②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．
值域： RR
当 x＝1 时，y＝0，即过定点 (1(1，，00))
当 x＞1 时， y＞0 ；当 x＞1 时， y＜0 性质当 0＜x＜1 时， yy＜＜00 当 0＜x＜1 时， yy＞＞00
在(0，＋∞)上是增增函函数数在(0，＋∞)上是减减函函数数
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题型考向·层级突破
夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
(3)对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)， 1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(√ )
(4)函数 y＝ln11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√ ) 解析函数 y＝ln11＋－xx的定义域为(－1，1)，而函数 y＝ln(1＋x)－ln(1 －x)的定义域也为(－1，1)． (5)若 logam＜logan，则 m＜n.(×)
夯实双基·自主梳理
题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
(①3)换对底数公的式重：要公lol式gobgNN＝lloo＝ggaaNb (a，b 均大于零且不等于 1)； ②logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝ lolgogad d ．

高考数学一轮复习《对数函数》教案

福建省长泰一中高考数学一轮复习《对数函数》教案1．对数：⑤ log m na a nb b m = .例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;基础过关典型例题（3）21lg4932-34lg 8+lg 245. 解：（1）方法一设)32(log32-+=x,(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小. （1）log 332与log 556;2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log 332＜log 31=0,log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是（）A.log a bb bba1log log 1<<B.bb b b aa1log 1loglog << C.b b b a ba1log 1loglog << D.b bb a a b log 1log 1log << 解： C例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x ),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+ ∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+ |f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+ 只要-log a 3≥1 ∴log a 3≤-1=log aa1,即a 1≤3,∴31≤a ＜ 1.综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a ,由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与函数y=l og 2x 的图象交于C 、D 两点. （1）证明:点C 、D 和原点O （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. （1）证明设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x = 点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.（2）解：由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2lo g 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83). 变式训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x xx由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p),①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2.②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x -),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1).综合①②可知：当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).小结归纳1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。

高考数学第一轮基础复习对数与对数函数课件

对数的运算与性质
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝lg11－＋xx，若 f(a)＝b，则 f(－
a)＝( )
A．b
B．－b
1 C.b
D．－1b
(2)(2011·苏北四市二模 )(lg2)2 ＋ lg2lg5 ＋ lg5 ＝ ________.
分析：(1)由11－＋aa与11＋－aa的倒数关系及对数运算法则 logaNn＝nlogaN 求解．
A．n>m>p
B．m>p>n
C．m>n>p
D．p>m>n
解析：由 a>1 得 a2＋1>2a>a－1>0， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)．
答案：B
(理)已知 log2 x1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1，则 x1、
a
x2、x3 的大小关系是( )
答案：D
(理)设 a>0 且 a≠1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
A. 2
B．2 或12
C．2 2
D．4 或14
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
答案：C
点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解．
已知 0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则 m 与 n 的大小关系是________．
2
(－∞，1)；函数 y＝loga(ax－1)(a>0 且 a≠1)的定义域在 a>1 时为(0，＋∞)；在 0<a<1 时为(－∞，0)．

高三一轮复习对数与对数函数

[跟踪训练] 1 1 1．化简：(1)(2014· 唐山模拟)已知 2 ＝5 ＝ 10，则a＋b＝ (
a b
)
1 A.2 C. 2
B．1 D．2
lg 4－lg 60 －11 3 5 (2) － 4 × 2 ＝________． lg 3＋lg 5
解析
(1)2a＝5b＝ 10，

2．对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)： (1)loga1＝ 0 ．(2)logaa＝ 1 ． (3)对数恒等式：alogaN＝ N ． logcb (4)换底公式：logab＝log a ． c 1 推广 logab＝，logab·logbc·logcd＝ logad ． logba
a b
[听课记录]
1 32 4 (1)2lg 49－3lg 8＋lg 245
1 4 3 1 ＝2× (5lg 2－2lg 7)－3× 2lg 2＋2(lg 5＋2lg 7) 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2× 5)＝ . 2 2 2 2
第八节
对数与对数函数

[主干知识梳理] 一、对数的概念 1．对数的定义： ax＝N(a>0且a≠1) 如果，那么数x叫做以a 为底N 的对数，记作，其中N 叫做 x＝ logaN a 对数的底数，叫做真数．当 a＝10时叫常 lg N 用对数．记作x＝，当a＝e时叫自然对 ln N 数，记作x＝．
4．(2012· 江苏高考)函数 f(x)＝解析由 1－2log6x≥0， 1 解得 log6x≤2⇒0＜x≤ 6，故所求定义域为(0， 6 ]．答案 (0， 6 ]

对数与对数函数+课件——2025届高三数学一轮复习

B．c>a>b
C．c>b>a
D．b>c>a
解析因为 a＝log23＋log32>2 log23·log32＝2，所以 a>b.因为 f(x)＝log2x，g(x) ＝log3x 单调递增，所以 c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以 c>a.综上，c＞a＞b.故选 B.
【通性通法】对数值比较大小的四种常见类型
(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断． (2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． (3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (4)底数与真数都不同，常借助 1，0 等中间量进行比较．
考向 2 解简单的对数不等式
例 4 (1)已知函数 f(x)＝log2x－x＋1，则不等式 f(x)<0 的解集是( )
logcb
4．换底公式：logab＝ 17 __lo_g_c_a________ (a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1)．
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( × ) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．( × ) (3)log2x2＝2log2x.( × ) (4)函数 y＝log2x 与 y＝log121x的图象重合．( √ )
20 __(_0_，__＋__∞__) ___ 21 _____R________ 当 x＝1 时，y＝0，即图象过定点 22 ___(_1_，__0_)_____
性质当 x>1 时，y>0；当 0<x<1 时，y<0 当 x>1 时，y<0；当 0<x<1 时，y>0

高考数学一轮复习---对数函数知识点与题型

高考数学一轮复习---对数函数知识点与题型一、基础知识 1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). y ＝log a x 的3个特征 (1)底数a >0，且a ≠1； (2)自变量x >0； (3)函数值域为R.2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质定义域：(0，＋∞)3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．三、考点解析考点一对数函数的图象及应用例、(1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．变式练习1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛210，恒成立，求实数a 的取值范围．考点二对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小例、已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b考法(二) 解简单对数不等式例、已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．考法(三) 对数型函数性质的综合问题例、已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．跟踪训练 1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛210， B.]21,0( C.)21(∞+，D ．(0，＋∞) 3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________．课后作业1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.)32[∞+，D.)32(∞+， 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log2x B.12x C ．log 12x D ．2x －23．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 4．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )5．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.8．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________. 9．函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间]320[，上的最大值．。

第09讲-对数与对数函数-2021年新高考数学一轮专题训练含真题及解析

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、经典例题
考点一对数的运算
【例 1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.
3
log64
＝1－2log63＋(log63)2＋1－(log63)2 log64
＝2(1－log63)＝log66－log63＝log62＝1.
2log62
log62
log62
规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最
简，然后正用对数运算法则化简合并.
(2)当 x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax 恒成立，则 a 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(1，2]
0，1 D. 2
【解析】 (1)由 f(x)在 R 上是减函数，知 0<a<1.
又 y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当 x>1 时，y＝loga(x－1)的图象由 y＝logax 向右平移一个单位得到.因此选项 D 正确.
(2)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②logaMN ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga mMn＝mn logaM(m，n∈R，且 m≠0). (3)换底公式：logbN＝llooggaaNb(a，b 均大于零且不等于 1). 3.对数函数及其性质

高三一轮对数及对数函数

定义
形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数叫对数函数
图象
高三总复习
数学 (大纲版)
(0，＋∞) (1)定义域： (2)值域： (－∞，＋∞) 性 (3)过点 (1,0) ，即x＝1时，y＝0 质 (4)在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数 (5)x>1时，y > 0 0<x<1时，y < 0 x>1时，y < 0 0<x<1时，y > 0
1 ∴实数 a 的取值范围为[0， ]． 3
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数学 (大纲版)
[例4] 已知函数f(x)＝loga(a－ax)，a>1. (1)求f(x)的定义域、值域；
(2)判断f(x)的单调性，并证明；
(3)解不等式f－1(x2－2)>f(x)．
高三总复习
数学 (大纲版)
[解] (1)为使函数有意义，需满足 a－ax>0， ax<a.又 a>1，即所以 x<1，故定义域为(－∞，1)．又 loga(a－ax)<logaa＝1，所以 f(x)<1，即值域为(－∞，1)． (2)设 x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)＝ loga >loga1＝0，即 f(x1)>f(x2)，所以 f(x)为减函数，
(
)
解析： 0<x<a<1 ， ∴ logax>logaa ＝ 1. 又 ∵ 0<y<a<1 ，
∴logay>logaa＝1，∴logax＋logay>2.故选D
答案：D
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高考数学第一轮复习9对数与对数函数
9. 对数与对数函数
班级姓名
一、选择题 1．记6log ,7.0,67.067.0===c b a ，则c b a 、、的大小关系是
（）
（A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b a c <<
（D ）a b c <<
2．函数)1ln(1--=x y 的定义域为（）
（A ）)1,(e +-∞ （B ）(]e +1,1 （C ）)1,(-∞
（D ）（1，11）
3．当0<a <1时，函数①y=a |x|与②y=log a |x|在区
间)0,(-∞上的单调性为（）
（A ）都是增函数
（B ）都是减函数
（C ）①是增函数，②是减函数
（D ）①是减函数，②是增函数
4．若,011
log 2
2<++a a a
则a 的取值范围是（）
（A ）),21(+∞ （B ）),1(+∞ （C ）)1,2
1( （D ）)2
1,0( 5．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1(-内单调递增，则a 的取值范围
是
（）
（A ）)1,41[ （B ） )1,4
3[ （C ）),49(+∞ （D ）)49,1( 二、填空题
6．（1）计算3log 22450lg 2lg 5lg +⋅+= ．
（2）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则=m （)3010.02lg ≈
7．函数x
x f )21()(=，则函数y =f -1(2x -x 2)的单调递增区间为．
8．设方程3lg =+x x 的根为,α[]α表示不超过α的最大整数，则[]α的值为．
9．设函数)1lg()(2
--+=a ax x x f 给出下列命题：①)(x f 有最小值 ;②当0=a 时，)(x f 的值域为R; ③当0>a 时，
)(x f 在区间[)+∞,2上有反函数；
④若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围为4-≥a ．其中正确命题的序号是．
三、解答题 10．已知函数)32(log )(221++-=x x
x f ．
（1）求)(x f 的单调区间；（2）求)(x f 的值域．
11．已知函数)1,0(1
log )(≠>++=a a x m x x f a 为奇函数()1≠m ．（1）求)(x f 的反函数)(1x f -；（2）当),2(+∞∈x 时，
求函数f(x)的值域；
（3）判断函数f(x)在区间),2(+∞的单调性并加以证明．
12．是否存在实数a ，使函数)(log )(2x ax x f a -=在[]4,2上是增函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．。