中北大学概率统计习题册第八章完整答案
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第八章 假设检验
【主要内容】
一、显著性检验的基本思想
为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断,首先对它们提出一个假设0H ,然后在0H 为真的条件下,通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件,若在一次试验中,小概率事件居然发生了,就完全有理由拒绝0H 的正确性,否则没有充分理由拒绝0H 的正确性,从而接受0H ,这就是显著性检验的基本思想。
二、假设检验的基本步骤
1.由实际问题提出原假设0H (备选假设1H );
2.选取适当的统计量,并在0H 为真的条件下确定该统计量的分布;
3.根据问题的要求确定显著性水平α(一般题目中会给定),从而得到拒绝域;
4.由样本观测值计算统计量的观测值,看是否属于拒绝域,从而对0H 作出判断。 三、两类错误
当0H 本来是正确的,但检验后作出了拒绝
0H 的判断,这种错误称为第一类错误,也称
拒真错误;
当0H 本来是不正确的,但检验后作出了接受0H 的判断,这种错误称为第二类错误,也称纳伪错误。
注:只对第一类错误加以控制,而不考虑第二
类错误的假设检验,称为显著性检验。 四、单个正态总体的假设检验 1.μ的假设检验:
设总体),(~2
σμN X ,)
,,,(21n X X X Λ为来自X 的一个样本,显著性水平为α。 ① 2
σ已知时,对μ的假设检验:
)1,0(~0
N n X U σμ-=
,
(a )0100:,:μμμμ≠=H H ,(双边检验)
0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>;
(b )0010:,:H H μμμμ≤>,(单边检验)
0H 的拒绝域为1{}W U u α-=>;
(c )0010:,:H H μμμμ≥<,(单边检验)
0H 的拒绝域为1{}W U u α-=<-。
②2
σ未知时,对μ的假设检验:
)1(~0
--=
n t n S
X T μ,
(a )0100:,:μμμμ≠=H H ,(双边检验)
0H 的拒绝域为1/2{(1)}W T t n α-=>-;
(b )0010:,:H H μμμμ≤>,(单边检验)
0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=>-;
(c )0010:,:H H μμμμ≥<,(单边检验)
0H 的拒绝域为1{(1)}W T t n α-=<--。
2.2
σ的假设检验:
①μ已知时,对2
σ的假设检验:
∑=-=n
i i n X 1
220
2
)(~)(
χσμχ,
2
0212020:;:σσσσ≠=H H ,
0H 的拒绝域为
22
/21/2{()()}W n n ααχχχχ-=<>或。
②μ未知时,对2
σ的假设检验:
2
221
(
)~(1)n
i i X X
n χχσ=-=-∑,
2
0212020:;:σσσσ≠=H H ,
0H 的拒绝域为
22
/21/2{(1)(1)}W n n ααχχχχ-=<->-或;
五、两个正态总体的假设检验
设总体22
1122~(,),~(,)X N Y N μσμσ,
112(,,)n X X X L ,212(,,)n Y Y Y L 分别为从总
体Y X ,中抽取的简单样本,且Y X ,相互独立,,显著性水平为α。 1.12μμ-的假设检验:
①当2
22
1,σσ已知时,对12μμ-的检验假设:
)1,0(~2
2
2121N n n Y
X U σσ+-=
211210:,:μμμμ≠=H H ,
0H 的拒绝域为1/2{}W U u α-=>。
②当2
22
1,σσ未知,但2
22
1σ=σ时,对
12μμ-的检验假设:
T =
12~(2)t n n +-
其中1
2
21
1
11()1n i i S X X n ==--∑, 2
2
221
21()1n i i S Y Y n ==--∑。 211210:;:μμμμ≠=H H ,
0H 的拒绝域为
1/212{(2)}W T t n n α-=>+-。
2.2
122
σσ的假设检验 ①当21,μμ均已知时,对2
122
σσ的假设检验:
2
101222
~(,)S F F n n S =,
其中1
221
11
11()n i i S X n μ==-∑,
2
2
2221
21()n i i S Y n μ==-∑。
2
221122210:;:σσσσ≠=H H ,
0H 的拒绝域为
0/21201/212{(,)(,)}W f F n n f F n n αα-=<>或;
②当21,μμ均未知时,对2
122
σσ的假设检验:
)1,1(~2122
2
10--=n n F S S
F ,
其中1
2
21
1
11()1n i i S X X n ==--∑, 2
2
221
21()1n i i S Y Y n ==--∑。 0H 的拒绝域为/212{(1,1)W f F n n α=<--
1/212(1,1)}f F n n α->--或。
【典型例题】
1.只对 加以控制,而不考虑 的检验,称为显著性检验。
2. 在假设检验中,当 时,会犯第一类错误; 当 时,会犯第二类错误。
3.要使得犯两类错误的概率同时减小,只有 。
4.从总体()2
σμ,N ~X 取一容量为100的样本,
测得72.x =,()225100
1
2=-∑=i i x x ,因为μ,2σ均
未知,在050.=α下,检验下列假设: (1)30=μ:H ;
(2)5.2:20=σH 。
5. 某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%), , , ,
设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在01.0=α下能否接受假设:这批矿砂的镍含量的均值为。
6. 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布)052.0,40.4(N ,现在测定了5炉铁水,其含
碳量为
如果估计期望没有变化,可否认为现在生产之铁水含碳量方差为(050.=α)