响应面方法
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响应面设计与实验数据处理
响应面优化法
❖ 响应面优化法（相应曲面法； Response Surface Methodology，RSM ），是20世纪90年代初西方所兴起的 一种实验统计方法。响应曲面等值线的分析寻求最优工艺参 数，将复杂的未知的函数关系，在小区域内用简单的一次或 二次多项式模型来拟合因素与响应值之间函数关系的一种统 计方法。适宜于解决非线性数据处理的相关问题。
BOX设计（Box-Behnken设计） 二次饱和和D-最优设计（D-optimal设计） 均匀设计 田口设计
...... ❖ 可以进行响应面分析的实验设计有多种，比如Plackett-Burman（
PB）、Central Composite Design（CCD）、Box-Behnken Design（BBD）。最常见的是CCD与BBD。 ❖ 主要以BBD为例说明Design-Expert的使用 ❖ 注：选用的模型不同，设计方案也不同，所需做实验的次数也就 不同的
18
0
86.9 162.5 216.4 274.7 274.3 301.4 270.3
❖ 囊括了试验设计、建模、检验模型适合性、寻求最佳组合条 件等众多实验和统计技术；通过对过程的回归拟合和响应曲 面与等高线的绘制、可方便地求出响应于各因素水平的响应 值。在各因素水平的响应值的基础上，找出预测的响应最优 值以及相应的实验条件。
❖ 前提：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的 选取不当，使用响应面优化法是不能得到很好的优化结果的 。因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的
❖ 模型中如果只有一个因素（自变量），响应（曲）面是二维空间中 的一条曲线；当有两个因素时，响应面是三维空间中的曲面。
❖
响应面分析实例
❖ 在多因素数量处理试验的分析中，可以分 析试验指标(依变量)与多个试验因素(自变 量)间的回归关系，这种回归可能是曲线或 曲面的关系，因而称为响应面分析。
❖ 例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关， 可以通过回归分析建立产量与施肥要素间 的回归关系，从而求得最佳施肥配方。
❖ 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线 性体系可作适当处理化为线性形式。
❖ 设有ｍ个因素影响指标取值，通过试验测量，得到ｎ组试验数据。 假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则可将各系数写成 矩阵式。
❖ 应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵，将矩阵代入原假设的回归 方程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方 式绘出响应与因素的关系图。
❖ 响应面即回归的正交试验设计，考虑了实验随机误差；可以在因素的 试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高，统计 性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。
❖ 所获得的预测模型是连续的，与正交实验相比，其优势是：在实验条 件寻优过程中，可以连续的对实验的各个水平进行分析，而正交实验 只能对一个个孤立的试验点进行分析。
9.2
7.27
X1 = A: 发酵时间 /h
8.8
X2 = B: 发酵温度 /℃
Actual Factor
8.4
C: 接种量 /% = 3.0
8
7.6
42.0
30.0
41.5
27.0
41.0
24.0
发酵温度 /℃
40.5
21.0
40.0 18.0
发酵时间 /h
响应面分析过程
❖ 要构造响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必 须通过试验获取大量的测量数据，并建立一个合适的数学模型（建 模），然后再用此数学模型作图。
❖ 正交试验设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案；回归分析可以对结果进行预测和优化，但只 能被动的处理和分析。两者的优势结合起来，有合理的试验设计和较 少的试验次数，建立有效的数学模型。
❖ 许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出 直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值 ，但难以直观地判别优化区域。
❖ 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符 ，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系 数的最小二乘估计后，应进行检验。
❖ 一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是 否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。
❖ 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符 ，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系 数的最小二乘估计后，应进行检验。
❖ 一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是 否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。
Design-Expert?Software
持水力（g/g） Design points above predicted value Design points below predicted value 9.2
❖ 例1、有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量
为每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个
水平，施磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，
21，28，35，42kg 7个水平，共49个处理组
合，试验结果见表1，试作产量对于氮、磷施
磷肥肥量的响应面表 1分大析麦。氮磷肥配氮比试肥验结果
0
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
6
9
12
15
二因素响应面分析
❖ 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用。 因此假设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型。
❖ 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它 的３倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；
❖ 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的响应为Ｚ坐 标作出三维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）。
❖ 响应面分析是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多 个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数 关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化 条件。
响应面设计模型种类
中心组合设计（Central Composite，包括通用旋转组合设计、二 次组合设计等）
响应面优化法
❖ 响应面优化法（相应曲面法； Response Surface Methodology，RSM ），是20世纪90年代初西方所兴起的 一种实验统计方法。响应曲面等值线的分析寻求最优工艺参 数，将复杂的未知的函数关系，在小区域内用简单的一次或 二次多项式模型来拟合因素与响应值之间函数关系的一种统 计方法。适宜于解决非线性数据处理的相关问题。
BOX设计（Box-Behnken设计） 二次饱和和D-最优设计（D-optimal设计） 均匀设计 田口设计
...... ❖ 可以进行响应面分析的实验设计有多种，比如Plackett-Burman（
PB）、Central Composite Design（CCD）、Box-Behnken Design（BBD）。最常见的是CCD与BBD。 ❖ 主要以BBD为例说明Design-Expert的使用 ❖ 注：选用的模型不同，设计方案也不同，所需做实验的次数也就 不同的
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86.9 162.5 216.4 274.7 274.3 301.4 270.3
❖ 囊括了试验设计、建模、检验模型适合性、寻求最佳组合条 件等众多实验和统计技术；通过对过程的回归拟合和响应曲 面与等高线的绘制、可方便地求出响应于各因素水平的响应 值。在各因素水平的响应值的基础上，找出预测的响应最优 值以及相应的实验条件。
❖ 前提：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的 选取不当，使用响应面优化法是不能得到很好的优化结果的 。因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的
❖ 模型中如果只有一个因素（自变量），响应（曲）面是二维空间中 的一条曲线；当有两个因素时，响应面是三维空间中的曲面。
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响应面分析实例
❖ 在多因素数量处理试验的分析中，可以分 析试验指标(依变量)与多个试验因素(自变 量)间的回归关系，这种回归可能是曲线或 曲面的关系，因而称为响应面分析。
❖ 例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关， 可以通过回归分析建立产量与施肥要素间 的回归关系，从而求得最佳施肥配方。
❖ 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线 性体系可作适当处理化为线性形式。
❖ 设有ｍ个因素影响指标取值，通过试验测量，得到ｎ组试验数据。 假设指标与因素之间的关系可用线性模型表示，则可将各系数写成 矩阵式。
❖ 应用最小二乘法即可求出模型参数矩阵，将矩阵代入原假设的回归 方程，就可得到响应关于各因素水平的数学模型，进而可以图形方 式绘出响应与因素的关系图。
❖ 响应面即回归的正交试验设计，考虑了实验随机误差；可以在因素的 试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高，统计 性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。
❖ 所获得的预测模型是连续的，与正交实验相比，其优势是：在实验条 件寻优过程中，可以连续的对实验的各个水平进行分析，而正交实验 只能对一个个孤立的试验点进行分析。
9.2
7.27
X1 = A: 发酵时间 /h
8.8
X2 = B: 发酵温度 /℃
Actual Factor
8.4
C: 接种量 /% = 3.0
8
7.6
42.0
30.0
41.5
27.0
41.0
24.0
发酵温度 /℃
40.5
21.0
40.0 18.0
发酵时间 /h
响应面分析过程
❖ 要构造响应面并进行分析以确定最优条件或寻找最优区域，首先必 须通过试验获取大量的测量数据，并建立一个合适的数学模型（建 模），然后再用此数学模型作图。
❖ 正交试验设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案；回归分析可以对结果进行预测和优化，但只 能被动的处理和分析。两者的优势结合起来，有合理的试验设计和较 少的试验次数，建立有效的数学模型。
❖ 许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出 直观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值 ，但难以直观地判别优化区域。
❖ 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符 ，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系 数的最小二乘估计后，应进行检验。
❖ 一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是 否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。
❖ 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符 ，也即，计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系 数的最小二乘估计后，应进行检验。
❖ 一个简单实用的方法就是以响应的计算值与试验值之间的相关系数是 否接近于１或观察其相关图是否所有的点都基本接近直线进行判别。
Design-Expert?Software
持水力（g/g） Design points above predicted value Design points below predicted value 9.2
❖ 例1、有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量
为每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个
水平，施磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，
21，28，35，42kg 7个水平，共49个处理组
合，试验结果见表1，试作产量对于氮、磷施
磷肥肥量的响应面表 1分大析麦。氮磷肥配氮比试肥验结果
0
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
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二因素响应面分析
❖ 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以上间的交互作用。 因此假设二因素响应（曲）面的数学模型为二次多项式模型。
❖ 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它 的３倍），以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；
❖ 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的响应为Ｚ坐 标作出三维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）。
❖ 响应面分析是将体系的响应（如萃取化学中的萃取率）作为一个或多 个因素（如萃取剂浓度、酸度等）的函数，运用图形技术将这种函数 关系显示出来，以供我们凭借直觉的观察来选择试验设计中的最优化 条件。
响应面设计模型种类
中心组合设计（Central Composite，包括通用旋转组合设计、二 次组合设计等）