相似三角形平行线分线段成比例定理
新人教版九年级下册数学课件：平行线分线段成比例
一、相似三角形
相似三角形 相似三角形的判定
平行线分线段成比例
∽ △A′B′C′. 1.记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC 2.判定:在△ABC 与△A′B′C′中,如果∠A= ∠A′ ,∠B= ∠B′ ,∠C= ∠C′ ,且
AB AB
=
BC BC
【导学探究】 1.由DE∥BC可得,△ADE∽
2.由△ADE∽△ABC 可得
△ABC
DE
,△ADG∽
△ABH .
AD = AB
AD = AB BCຫໍສະໝຸດ .由△ADG∽△ABH 可得
AG
AH
.
解:因为 DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC,△ADG∽△ABH, 所以 所以
AD DE AD AG = , = , AB BC AB AH DE AG = , BC AH
(A) (C)
AD 1 = AB 2 AD 1 = EC 2
)B
(B) (D)
AE 1 = EC 2 DE 1 = BC 2
2.(2017 临沂)已知 AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 O.若
BO 2 = ,AD=10,则 AO= OC 3
4
.
3.(2017长春)如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.若 6. AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为
OE 2.由 l1∥l2 得 = OD
解:(2)因为 l1∥l2,所以
OB OA
OE OB = , OD OA
.
因为 OD=30,OE=12,OB=10, 所以 OA=
OB OD 10 30 = =25, OE 12
初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
27.2相似三角形之预备定理：平行线分线段成比例
(D) E F
A B F
平移
D A B NE C F
平移
!
注意:应用平行线分线段成比例定理得到的 比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!
2、推论：平行于三角形一边的直线截其他两 边（或两边延长线），截得的对应线段成比例
A
E
A
F
E B
F C
B
C
AE AF 等 EB FC
AB AC 等 AF AE
AD BF (1) = BD CF BC AB (3) = DE AD AE DE (2) = EC FC BC AC (4) = DE EC
B A
C
）个.
D
E
A. 1个.
B. 2个.
C. 3个.
D. 4个.
F
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
• 例4. 已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，DE、BC的延长线 相交于F. AD=CF. • • 求证：
D
B
E C
一、比例线段的主要知识点
• 2 四条线段成比例： • (1) 定义： • 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两 条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段. • 如 a=9cm, b=6cm, c=6cm, d=4cm.
Q a 3 c 3 = , = , b 2 d 2 \ a c = . b d
L5
L4 D
L1
L2 L3 B
E A
L1
L2 C L3
∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD AE = AC AB ∵
数学符号语言 ∵ DE AD∥BC AE = AC AB
1、平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两 条 直线, 所得的对应线段成比例. A C
相似中考复习平行线分线段成比例定理
F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（ ）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分 别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（ ）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直 线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平 行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分线段成比例定理教材梳理素材1
三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1。
定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a ∥b ∥c ，则EF DE BC AB =.图1—2-13。
定理的证明：若BCAB 是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段,把问题转化为平行线等分线段,达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。
4。
定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行,构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多。
知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化（如图121）：如果已知是a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等,便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
2。
符号语言表示:如图1-2-2所示,a ∥b ∥c,则BC DE AC AE AB AD ==(1) （2）图1—2—23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好.误区警示实际应用时,通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形,如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点.探究：我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1—2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF)。
27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF.
对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F. ∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.
总 结
(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性， 即要把对应顶点写在对应位置上． (2)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序 性．若当△ABC∽△A′B′C′时，
AE AD CE BD
D.
AC AD CE BD
易错点：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论时找 不准对应关系.
并延长BF交AD的延长线于点E.求证：
E D F A B C
DE DF = . AE DC
解析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥ CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得
出对应边成比例即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC. DE EF \ = （平行于三角形一边的直线截其他两 AE EB 边，所得的对应线段成比例）. EF DF = . 同理可得 EB DC DE DF \ = . AE DC
为什么？ 导引：(1)直接利用线段的长度求它们的比值； (2)抓住两个条件判断：①三条边成比例； ②三个角分别相等．
解：(1)由图形可知AB＝9，AC＝6.
AD 3 1 AE 2 1 DE 3.5 1 , , . AB 9 3 AC 6 3 BC 10.5 3
(2)△ADE与△ABC相似．理由如下：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
AD AE DE , 由(1)知 AB AC BC
又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC.
总 结
1.2.1怎样判定三角形相似(平行线分线段成比例定理)
D
2 E 4
L1
L2
F L3
（平行线分线段成比例定理）
3 2 即 BC 4
∴2BC=3×4 BC=6
（三）巩固练习：
如图（6）AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式 一定成立的是（ D ） A AC DF A、 B、 AC DF C
CE BD
BD CE
B D
E
F
Ａ A
Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
Ｂ B
Ｃ C
推论：
经过梯形一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
平行线分线段成比例
观察图（1）已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 ， AB=BC=CD A (1)你能推出怎样的结论？ B ∵ L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4 C
（6）
AC DF C、 AE BF
D、
AC CE BD DF
特别地，在△ABC 中，DE∥BC . 线段 AD，AB， AE，AC 成比例吗？
?
AD CF AB CB
=
DE BC
ED CB
• 推论 平行于三角形的一边，并且与其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例. • (并且与原三角形相似） ？
AC CD
EG GH
AB BC
EF FG
AC CD
BC BD
1 2 =___,
FG FH
1 BC FG BD FH 2 可得__=__ =___
问题1：若将图（1）中的直线L3擦掉得到图（2），仍
使L1∥L2 ∥ L4 不变，你能否发现在两直线a，b上截得 的线段有什么关系？ 通过计算可以得到：
平行线分线段成比例定理证明方法
平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理，也被称为延长线分线段成比例定理，是初中数学中的一个重要定理。
它是指当一条直线与两条平行线相交时，所相交的线段在平行线上的投影之间成等比例。
本文将介绍该定理的证明方法。
我们来看一下平行线分线段成比例定理的表述：设有两条平行线l 和m，直线AB与这两条平行线相交于点C和D，点E是直线AB上的一个任意点。
那么，有线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。
接下来，我们开始证明平行线分线段成比例定理。
我们假设线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。
我们要证明的是，当直线AB与平行线l和m相交时，线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。
根据平行线分线段成比例定理，我们可以得到以下等式：CE/DE=AC/BD接下来，我们需要利用一些几何性质来证明这个等式。
我们可以利用相似三角形的性质。
根据平行线的性质，我们可以得到∠ACB=∠CDE和∠BDC=∠CED。
因此，三角形ACB与三角形CDE相似，三角形BDC与三角形CED相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下等式：AC/CE=AB/DE （1）BD/DE=AB/CE （2）接下来，我们将等式（1）和等式（2）相除，得到：(AC/CE)/(BD/DE)=(AB/DE)/(AB/CE)AC/BD=CE/DE因此，我们得到了CE/DE=AC/BD的等式，即平行线分线段成比例定理成立。
通过上述推导，我们可以看出，平行线分线段成比例定理的证明方法主要依赖于相似三角形的性质。
通过利用相似三角形的性质，我们可以得到线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。
平行线分线段成比例定理在数学中有着广泛的应用。
例如，在解决平面几何问题时，我们经常会利用该定理来求解未知线段的长度。
同时，在解决实际问题时，该定理也能为我们提供有效的解题思路。
平行线分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理。
相似三角形-平行线分线段成比例(可直接使用)
戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【态 度 决 定 高 度】 平行线分线段成比例1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
例1、如图，已知EF CD AB ////，则下列结论正确的是 （ ）A.CE BC DF AD = B .AD DFCE BC=C .BE BC EF CD =D .AFAD EF CD =变式训练：如图，∆ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，下列条件中，能判定BC DE //的是（ ）A. AD AC AE AB ⋅=⋅B.AD AE EC DB ⋅=⋅ C. AD AB AE AC ⋅=⋅D. BD AC AE AB ⋅=⋅例2、如图，28,40,15,====AC AB AD ECAEDB AD ，求AE 的长．变式训练：如图，已知在ABC ∆中，9,6,2,//,//===BC AB CE AE AB EF BC DE ．求四边形BDEF 的周长．例3、已知菱形BEDF 内接于∆ABC ，点G D E ,,分别在BC AC AB ,,，若AB BC ==1512，，求菱形边长．典型例题B F CAB CD E变式训练：如图，在矩形ABCD 中，3,2==BC AB ，点H G F E ,,,分别在矩形ABCD 的各边上，//,////EH HG AC EF FG BD //，则四边形EFGH 的周长是 （ ）A.10 B .13 C .102 D .132例4、如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，E 是ABC ∆内一点，BC DE //，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于,F CF 与AB 交于P ，求证：PBPAPF PE =．变式训练：如图，在ABC ∆中，CD EF BC DE //,//，求证：AD 是AB 和AF 的比例中项．例5、如图，∆ABC 中，AD 是角平分线，DE AC //交AB 于E ，已知AB =12，AC =8，求DE ．变式练习：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则=AE EF :（ ）A.4:1 B .3:1 C .3:2 D .2:1A利用平行线分线段成比例基本事实的推论求线段长或线段比的方法：当三角形被一条与一边平行的直线所截形成“A ”字形或“X ”字形的图形，并且所求的线段不在平行的边上，通常考虑运用平行线分线段成比例基本事实的推论构建包含待求线段与已知线段的比例关系，然后把已知线段代入即可求出待求线段． 例6、下列说法正确的是 （ ）A.两个等腰三角形相似 B .所有的等腰梯形相似 C .两个等腰直角三角形相似 D .所有的正多变形相似变式练习：如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为1:2，则下列结论正确的是 （ ） A.K E ∠=∠2 B .HI BC 2=C .六边形ABCDEF =六边形GHIJKL 的周长D .G HIJKL ABCDEF S S 四边形四边形=例7、已知矩形ABCD 中，1=AB ，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE∆向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则=AD （ ） A.215- B .215+ C .3 D .2变式练习：如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，则ADAB等于 （ ） A.618.0 B .22 C .2 D .2例8、如图，在菱形ABCD 中，点F E ,分别在边CD BC ,上，DAE BAF ∠=∠，AE 与BD 交于点G ． （1）求证：DF BE =；（2）当DFADFC DF =时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA2、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
平行线分段成比例的定理
平行线分段成比例的定理平行线分段成比例的定理概述平行线分段成比例的定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。
该定理在解决平面几何问题时经常被使用，特别是在求解三角形相似性问题时。
定义在平面几何中，如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。
符号表示设有两条平行线l和m，它们分别与另一条直线n相交于A、B、C、D四点。
则有：AB/BC = AD/DC证明我们可以使用相似三角形来证明这个定理。
具体步骤如下：步骤1：连接AC和BD两条对角线，并延长BD至E点。
步骤2：由于l和m是平行的，所以∠ABC = ∠ACD（同旁内角）。
步骤3：同样地，由于n与l和m相交，所以∠ABC = ∠ADE（同旁内角）。
步骤4：因此，∆ABC与∆ADE是相似三角形。
步骤5：根据相似三角形的定义，我们可以得到：AB/AD = BC/DE步骤6：又因为BD = AD + DE，所以有：AD/BD = AD/(AD + DE) = AB/(AB + BC)步骤7：移项可得：AB/BC = AD/DC结论根据上述证明过程，我们可以得出结论：如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。
应用平行线分段成比例的定理在解决平面几何问题时经常被使用。
以下是一些常见的应用场景：1. 求解三角形相似性问题：当两个三角形中有两个角分别相等时，我们可以使用该定理来判断它们是否相似。
2. 求解平面图形内部点的位置关系：当一个点在一个多边形内部时，我们可以使用该定理来判断它到多边形各边的距离关系。
3. 求解直线交点坐标问题：当两条直线之间存在比例关系时，我们可以使用该定理来求出它们的交点坐标。
总结平行线分段成比例的定理是几何学中一个重要且实用的定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。
第1部分 第4章 第4节 相似三角形
《海岛算经》 《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元 263 年)所撰，本为《九 章算术注》之第十卷，题为《重差》．《海岛算经》都是用表尺重复从 不同位置测望，取测量所得的差数进行计算，从而求得山高或谷深， 这就是刘徽的重差理论．《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都 是用筹算进行的．“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分 数的分母．所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸：1 里＝150 丈；1 丈＝10 尺；1 步＝6 尺；1 尺＝10 寸．
(2)直角三角形 a．一组⑫_锐__角__对应相等，两三角形相似． b．两直角边对应成比例，两三角形相似． c．斜边和一条直角边对应成比例，两三角形相似．
(3)判定三角形相似的思路及几种常见类型
三角
有平行截线——用平行线的性质，找等角
形相
似的
判定
思路
三角 形相 似的 判定 思路
几种 常见 类型
【解析】由题意，得 AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF＝90°，∠ CBF＝90°，∴∠AHF＝∠CBF，∵∠AFB＝∠CFB，∴△CBF∽△ AHF，∴ABHC ＝HBFF，同理可得，HDEA＝HDGG，∵BF＝123，BD＝1000， DG＝127，∴HF＝HB＋123，HG＝HB＋1000＋127＝HB＋1127，∴H3A ＝HB1＋23123，H3A＝HB＋1217127，解得 HB＝30750，HA＝753.
2．(2019·顺庆区校级自主招生)在平面直角坐标系中，第一个正 方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0， 2)，延长 CB 交 x 轴于 A1，作第一个正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作第二个正方形 A2B2C2C1；…按这样的规律进行下去，第 2019 个正方形的面积为( B )
八年级第九讲平行线分线段成比例定理
若，则，(或；或) 图1-1 定理的证明定理的证明过A 点作AN ∥DF ，交l 2于M ，交l 3于N 点，连接点，连接 BN 、CM(如图(1-2) 图1-2 ∵∴AM=DE MN=EF 在△ACN 中，有. ∵BM ∥CN ∴S △BCM =S △BMN∴ 亦即亦即如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？呢？ “对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：名师堂八年级数学第九讲 平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是研究平行线分线段成比例定理是研究相似三角形相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例. 1.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条三条平行线截两条直线直线所得的对应线段成比例. 如图1-1(1) 简称“上比下”等于“上比下”(2) 简称“上比全”等于“上比全”. (3) 简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论. 2.平行于三角形一边的平行于三角形一边的直线直线的判定和性质(“A”、“X”型) 主要的基本图形：主要的基本图形：(图1) 平行线分线段成比例分线段成比例 (图2) 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其及其逆定理逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定). 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2). 对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的点是两相交直线的交点交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD ：AB=AE ：AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得. 注意点：(1)平行线分线段成比例没有逆定理(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的被判断的 平行线本身不能参与作比例) (3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ：FE=BG ：GC (4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关 平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 典型例题典型例题例1．如图2-1 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值例2．(如图2-2)图2-3 已知已知直线直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE. 求证：EF ：FD=CA ：CB. 图2-2 证法(二) 过E 作EP ∥BA 交CA 的延长线于P 是解决此问题的第二种辅助线作法. 证法(三) 过D 作DN ∥BC 交AB 于N 也可解决此问题. 例3．AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点. 求证：DE ∥BC. 分析：如图2-3 练习1．选择题：．选择题：(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( ) A．B．C．DA．2 B．3C．DA．B．C．D．(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC ，，则等于( ) A．B．C．D．．(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( ) ．(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列，则下列比例比例式成立的是( ) (5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( ) A．B．C．DA．B．C．D的面积的，求EC的长. ．(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列，则下列比例比例式中不正确的是( ) ．2．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE的长. 3．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC4．如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？能力提升例1 已知：如图5-195-19，，AD 为△ABC 的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．例2 求证：求证：等腰三角形等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．即图5-20中，中，AB=AC AB=AC AB=AC，，P 为底边BC 上任意一点，PR⊥AB 于点R ，PQ⊥AC 于点Q ，BH 为腰上的高．求证：证：PQ+PR=BH PQ+PR=BH PQ+PR=BH．．分析一 参阅例3的分析一．的分析一．分析二 如图5-225-22，△ACP ，△ACP 和△DCQ 应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，个三角形中，AC=DC AC=DC AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A ，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A CD CD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而例3 已知：如图5-215-21，△ABC ，△ABC 中，∠A 为直角．以AB AB，，AC 分别为边向外侧作分别为边向外侧作正方形正方形ABDE ABDE，，ACFG ACFG，线，线段CD CD，，BF 分别与AB AB，，AC 相交于点X ，Y ．求证：．求证：AX=AY AX=AY AX=AY．．分析一 如图5-215-21（（a ），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段比例线段，在这些成比例的线段中，除AX AX，，AY 外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY 应该能用应该能用平行线平行线分线段成比例定理得到证明．到证明．分析二 如图5-215-21（（b ），连结线段EX EX，，GY GY，得到△CEX ，得到△CEX 和△BGY．这两个三角形的边CE=BG CE=BG，又，又AX 实际等于AY AY，所以△CEX ，所以△CEX 和△BGY 应该有相等的应该有相等的面积面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD AD，，AF AF，，那么S △ACD =S △CEX ，S △BAF =S △BGY ，所以只需证明S △ACD =S △BAF ．但这．但这很简单很简单了．了．例4 已知：如图5-225-22，，C 为线段AB 上任意一点，以AC AC，，BC 分别为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE，线段AE AE，，CD 相交于点P ，线段BD BD，，CE 相交于点Q ．求证：．求证：CP=CQ CP=CQ CP=CQ．．。
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理证明过程平行线分线段成比例定理是一个经典的几何定理，它是几何学中的基础知识之一。
本文将对平行线分线段成比例定理的证明过程进行深入探讨，并以简单易懂的方式解释这一定理的含义和应用。
1. 引言初步了解平行线的性质对于理解平行线分线段成比例定理至关重要。
我们知道，平行线是在同一个平面上且不相交的两条直线。
根据平行线的性质，我们可以推导出许多有用的几何定理，其中之一就是平行线分线段成比例定理。
2. 平行线分线段成比例定理的描述平行线分线段成比例定理是指：若有一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线上的任意两个截线段的比值，等于它们与这条相交直线上对应截线段的比值。
3. 证明过程为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以使用一些基本的几何知识和定理。
我们假设有两条平行线l和m，它们与一条直线n相交于点A和点B。
我们再在l和m上分别取两个点C和D，通过这两个点作出CD的直线段。
接下来，我们需要证明线段AC/AB = BD/AD。
根据几何的平行线性质，我们知道∠ACB = ∠ADB，因为l和m是平行线，所以它们与直线n相交时形成的对应角是相等的。
我们可以利用角的性质来推导出各个线段的比例关系。
根据三角形的相似性质，我们可以得出下面的等式:△ACB ∼ △ADB根据相似三角形的性质，我们可以推导出线段的比例关系:AC/AB = CB/DB同样地，我们可以得出:BD/AD = CB/AC通过移项和替换，我们可以得到所需的结果:AC/AB = BD/AD这样，我们就证明了平行线分线段成比例定理。
4. 理解和应用平行线分线段成比例定理在几何学中有着广泛的应用。
在解决三角形的相似性问题时，我们可以利用这一定理来求解未知线段的比值。
它也可以应用于实际生活中的测量和建模问题，例如在建筑设计、地图制作和工程规划等领域。
个人观点和理解：平行线分线段成比例定理是几何学中一个基础而又重要的定理。
它不仅能够帮助我们理解平行线的性质，还能引导我们分析和解决更复杂的几何问题。
三角形平行线分线段成比例定理逆定理
三角形平行线分线段成比例定理的逆定理是：如果在一个三角形中，经过其中一边上的一点，有一条直线与另外两边都平行，则该直线将这两边上的点分成相等的比例。
具体表述如下：
设ABC为一个三角形，D为AB边上的一点，E和F分别是AC和BC两边上的点。
若DE与BF平行，则有AD/DB = AE/EC。
逆定理的证明可以使用相似三角形的性质进行推导。
根据对应角相等、平行线间的对应角相等，可以得出两个小三角形的相似关系。
然后利用相似三角形的边长比例性质，即可证明AD/DB = AE/EC。
该定理的逆定理在几何学中也被广泛应用，常用于解决平行线与三角形内部线段之间的比例问题。
(完整word)初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
相似三角形平行线分线段成比例定理教案资料
B
C
2、如图，AC⊥BC于点C,DE⊥AC于点E.
若AD=10，AE=BD=8，
求AC的长.
A
D
E
B
C
新知拓展
A
1、 如图：在△ABC中，点M是BC上
任一点， MD∥AC，ME∥AB，
D
E
若
BD AB
=
2 5
，求
EC 的值。 AC
B
2份 M
3份 C
解：∵MD∥AC，
5份
∴ BBAD=
BBMC=
2， 5
D
E
B
CF
6.已知：如图，E为正方形ABCD的BC 边延 长线上一点，AE交CD于F，FN∥AD交DE 于N，求证：CF=NF
A
D
FN
B
CE
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猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线段是否成 比例？
A
A
D
E
B
C
B
CD
E
A型
X型
结论3：平行线分线段成比例定理推论
平行于三角形一边的直线截其它两边（或
两边的延长线），所得的对应线段成比例。
A
几何语言： 在△ABC中，如果DE∥BC，那么：
D
E
AD AE , AB AC （上比全，全比上） B
2、填空
(1 ) D/E /AB
C D CE AD BE
A C BC CD CE
(2)若AD// EF// BC 则AG AE DF GC EB FC
(3)已知平行四 AB边C形 D
中考全等三角形的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形、平行线分线段成比例定理、相似三角形
预测03 全等三角形的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形的性质及判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定2015-2020上海中考“23题几何证明”考点及分值分布年份题型考点分值15证明2323-1平行四边形的性质及判定23-2等角的余角相等相似三角形的判定（AA）1216证明2323-1垂径定理+全等三角形的判定、性质23-2全等三角形的判定、性质+平行四边形判定1217证明2323-1全等三角形的性质及判定，平行四边形的性质及判定，菱形的判定定理23-2等腰三角形三角形的内角和定理正方形的判定定理1218证明23正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质1219证明2323-1全等三角形的判定、性质23-2相似三角形的判定(SAS)+菱形判定1220证明23相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识12借助转化思想解决相似三角形中的证明问题2018徐汇一模23题：如上题的视频所示，解决相似三角形的线段比问题的步骤如下：①将已知（求证）条件标记在图上，借助线段勾画出需要求证的相似三角形，如果不能勾出三角形，借助线段间的相等关系，观察是否可以转化，继而找到题目中隐含的相似三角形或找到中间比。
②一般证明2个三角形相似，往往需要2个条件，而题目中往往都会出现一组等角，那么就根据题意，到底是用S.A.S还是用A.A.判定相似。
若用A.A判定相似，那么利用直角或外角性质，找到另一组等角；若用S.A.S判定相似，那么去寻找夹角所在的夹边对应的相似三角形，利用2次相似，得到题目中所需要的的线段间的比例关系。
(再复杂的证明题所需要的的相似也不超过2次)③善于挖掘题目中隐含的基本图形，这些基本图形往往是解决问题的桥梁，不要疏漏了。
双垂直基本模型：2020崇明一模23题：解题思路：(1)根据题目中的比例线段以及求证的结论可以确定要求证的是：△AEF∽△CDF；(2)根据结论中的比例关系，可以确定要证明的相似三角形是：△BDF∽△AFO.这对相似三角形的等角是∠BFD=∠AFC=90°，另外可以从A.A或S.A.S两个角度进行证明.2019普陀一模23题：解题思路：(1)根据条件中的等积式可以得到：△AEF∽△ABE，得到∠B=∠DAE，再根据∠DAF=∠EAC，得到另一组等角：∠DAE=∠BAC，得到△ADE∽△ACB；(2)根据结论中的比例关系，由于DF、DE，CE、CB在一直线上，因此无法勾画出要求证的相似三角形，因此将求证变形，得到DF:CE对应的相似三角形是△ADF∽△ACE、DE:CB对应的相似三角形是△ADE∽△ACB，而这两种比例线段得以转化的中间比是AD:AC，继而得到了等量关系.相似三角形与比例线段相似三角形与比例线段相关的几何证明题往往是23题几何证明的必考知识点，同时在25题压轴题中也常常会有类似知识点的问题呈现。
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强化“对应”两字理解和记忆如图：
a
A
AB EF BD FH
左上 右上 (左下 右下)
AB BD EF FH
左上 左下
(右上 右下) B
BD FH AB EF
左下 右下 (左上 右上)
D
AB EF AD EH
左上 右上 (左全 右全)
b E l1 F l2
H l4
练习：
如图，l3∥l4 ∥l5 ，请指出成比例的线段.
27.2.1 平行线分线段成比例定理
一、新知铺垫
结论1：平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条 直线上截得的线段相等， 那么在其它直线上截得的 线段也相等。
几何语言： ∵AD//BE//CF,且AB=BC ∴DE=EF
二、新知探究
继续探究：在前面的问题中，若AB:BC=1:2,那么 DE:EF=?请尝试数学证明。
5份
∴ BBAD=
BBMC=
2， 5
MC BC
=
3 5
又∵ ME∥AB，
∴ CE= CA
CM = 3 CB 5
2、如图, △ABC中，DF//AC于F， DE//BC于E .
求证：AE .CB=AC . CF.
5.如图平行四边形ABCD中，F是BC延长线上 一点，连AF交DC于E点，若AB=a，AD=b， CE=m，求BF 的长
A
求:—AA—DB ＝ ——25—
B
C
2、如图，AC⊥BC于点C,DE⊥AC于点E.
若AD=10，AE=BD=8，
求AC的长.
A
D
E
B
C
新知拓展
A
1、 如图：在△ABC中，点M是BC上
任一点， MD∥AC，ME∥AB，
D
E
若
BD AB
=
2 5
，求
EC 的值。 AC
B
2份 M
3份 C
解：∵MD∥AC，
追问：上述问题中，若AB:BC=m:n,那么DE:EF=m:n吗？你 又能得到什么结论？
结论：如果 AD//BE//CF， 那么 AB:BC=DE:EF=m:n
两条直线被一组平行线所截，所
得的对应线段成比例.
结论2：平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
说明： ①定理的条件是“两条直线+一组平行线所截”. ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字.
A
几何语言： 在△ABC中，如果DE∥BC，那么：
D
E
AD AE , AB AC （上比全，全比上） B
C
AB AC AD AE
D B E C ，A B AB AC DB
AC , EC
（下比全，全比下）
AD AE , DB EC , DB EC AD AE
（上比下，下比上）
变式思考
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形与原三角形三边 对应成比例吗？
A
E
F
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（一）
应用新知
2、填空
(1 ) D/E A / B
C D CE AD BE
A C BC CD CE
(2)若AD// EF// BC 则AG AE DF GC EB FC
(3)已知平行四 AB边C形 D
则AB DF AE DE
CF DF FB FE
A D
B
E
C
B E AD BC AC
A
D
F
E
G
B
C
D
C
F
A
B
E
A
3、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A: —AA—DB ＝ —AAEC— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—CD ＝ —AA—BE ( ) D: —AA—ED ＝ —AA—CB ( )B
C
4、填空题:
ED
如图:DE∥BC,AE=2,AC=5,
A
D
E
B
CF
6.已知：如图，E为正方形ABCD的BC 边延 长线上一点，AE交CD于F，FN∥AD交DE 于N，求证：CF=NF
A
D
FN
B
CE
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B
C l5
l1 l2
DE
l3
A
l4
B
C
l5
从图中抽象出基本图形：
猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线段是否成 比例？
A
A
D
E
B
C
B
CD
E
A型
X型
结论3：平行线分线段成比例定理推论
平行于三角形一边的直线截其它两边（或
两边的延长线），所得的对应线段成比例。