10 第10讲 数列与数表
数列与数表的规律知识点总结
数列与数表的规律知识点总结数列和数表作为数学中常见的概念，是研究数的排列规律的一种方法。
在数学中，数列是按照一定的规律排列的一组数，而数表则是数列的集合，它们在数学运算、数学模型以及解决实际问题中都有广泛的应用。
本文将总结数列与数表的规律知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列与等差数表等差数列是指数列中相邻项之间的差值固定的数列，其中公差是指相邻项之间的差值。
等差数表也是类似的概念，只不过它是由多个等差数列组成的表格。
1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n 项的和。
3. 等差数表的构成等差数表可以通过将等差数列依次排列得到，每一行都是一个等差数列，相邻行之间的公差相等。
二、等比数列与等比数表等比数列是指数列中相邻项之间的比值固定的数列，其中公比是指相邻项之间的比值。
等比数表也是类似的概念，只不过它是由多个等比数列组成的表格。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个项，a1表示首项，r表示公比。
2. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)，其中Sn表示前n项的和。
3. 等比数表的构成等比数表可以通过将等比数列依次排列得到，每一行都是一个等比数列，相邻行之间的公比相等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
1. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中Fn表示第n个斐波那契数。
2. 斐波那契数列的性质斐波那契数列具有许多有趣的性质，如黄金分割性质、逼近性质等，在数学和自然科学中有广泛的应用。
数列与数表的规律与应用知识点总结
数列与数表的规律与应用知识点总结数列与数表是数学中常见的重要概念，它们有着广泛的应用。
在本文中，我将总结数列与数表的规律以及它们在实际问题中的应用知识点。
一、数列的规律与性质数列是按照一定的顺序排列的一系列数，其中每个数都称为项。
数列可以用函数的形式表达，例如：an = f(n)。
在数列中，常见的规律与性质包括等差数列、等比数列以及递归关系等。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
它的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的性质包括：（1）第n项的求法：an = a1 + (n - 1)d（2）前n项和的求法：Sn = n/2 [2a1 + (n - 1)d]（3）任意两项之和等于相应等距离两侧项之和：ak + am = ak+1 + am-1 (k < m)2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n表示项数。
等比数列的性质包括：（1）第n项的求法：an = a1 * r^(n-1)（2）前n项和的求法：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当0 < r < 1 或者r > 1（3）相邻两项之比相等：an/an-1 = r3. 递归关系递归关系是指数列中的每一项都依赖于前一项或多个前一项的关系，而不是通过通项公式直接计算。
递归关系的性质包括：（1）递归关系的转化：将递归关系转化为显式公式，以便求解数列中任意一项的值。
二、数表的规律与性质数表是一个由数字或数据排列形成的表格，在实际问题中经常出现。
它们可以是一维数表、二维数表或更高维度的数表。
1. 一维数表一维数表是指只有一行或一列的数表。
在一维数表中，常规的规律与性质包括：（1）累加：将数表中的数字进行累加，得到一个数值。
（2）平均值：计算数表中的数字的平均值。
数列与数表的规律总结知识点总结
数列与数表的规律总结知识点总结数列和数表是数学中常见的概念，在数学的学习中经常会涉及到它们的应用。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合，可以是有限的也可以是无限的；而数表是由数列组成的表格形式。
在这篇文章中，我们将总结数列与数表的规律以及相关的知识点。
一、等差数列与等差数表等差数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的差值都是相等的。
等差数表是由等差数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ + (n - 1) × d2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)3. 等差数表的规律等差数表的每一行都是一个等差数列，而每一列的数之间也存在等差关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等差数列的通项公式和前n项和公式。
二、等比数列与等比数表等比数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的比值都是相等的。
等比数表则是由等比数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ × q^(n - 1)2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ × (q^n - 1) / (q - 1)，(q ≠ 1)3. 等比数表的规律等比数表的每一行都是一个等比数列，而每一列的数之间也存在等比关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等比数列的通项公式和前n项和公式。
三、特殊数列与数表除了等差数列和等比数列，数列和数表还存在一些特殊的形式。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂，(n ≥ 3)2. 杨辉三角杨辉三角是一种特殊的数表，其中的每个数都是由上面的两个数相加而来。
数学课教学中的数列与数表分析
数学课教学中的数列与数表分析数学作为一门理科学科，其教学内容丰富多样。
数列和数表是数学中重要的概念和工具，广泛应用于不同领域的问题求解中。
本文将探讨数学课教学中数列和数表的分析方法和应用。
一、数列的概念与特征数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列通常用字母表示，如a₁, a₂, a₃...。
数列的一般形式可以表示为：{aₙ}，其中aₙ表示数列的第n个元素。
在数学课教学中，我们常常会遇到等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等；而等比数列则是指数列中的每个元素与它的前一个元素之比都相等。
在分析数列时，我们需要掌握数列的通项公式、前n项和以及求和公式等。
通过数列的特征，我们可以帮助学生更好地理解和掌握数列的变化规律，进而应用到实际问题中。
二、数列的应用数列在实际生活和学科中具有广泛的应用。
以下是数列在教学中的一些常见应用：1. 算法与数列分析：数列的特点常常与算法和计算问题相关。
通过分析数列的规律，可以帮助学生掌握算法的设计思路，进而解决各类计算问题。
2. 几何问题的解决：数列在几何学中起到重要的作用。
通过将几何问题转化成数列问题，可以更好地理解和解决几何图形的性质和计算相关的问题。
3. 统计数据分析：数列可以用来表示一组数据的变化规律，通过统计实际数据并分析其对应的数列，可以揭示数据的变化趋势和特点。
三、数表的概念与分析数表是将一系列的数据按照某种规律排列形成的表格。
数表常用于数据的整理、对比和分析等。
在数学课教学中，数表是进行数据分析和问题求解的基本工具之一。
数表的形式多样，可以是二维表格，也可以是多维数组。
数表中的数据可以是数值，也可以是文字描述或图形。
数表的分析可以包括以下几个方面：1. 数据比较与排序：通过数表将数据进行整理和对比，可以直观地找出最大值、最小值、中位数等。
2. 数据统计和图表：通过数表中的数据，可以进行各种统计分析，如均值、方差、频数分布等。
数列与数表的概念与应用
数列与数表的概念与应用数学中，数列与数表是非常重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍数列和数表的定义、特点以及其在数学和实际问题中的应用。
一、数列的概念与特点数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的数集。
数列的规律可以是线性的，也可以是非线性的。
一般来说，我们可以用通项公式或递推公式来表达数列中的每一项。
数列的特点可以总结为以下几点：1. 数列的有序性：数列中的数按照一定的顺序排列，每个数与其前后的数都有确定的位置。
2. 数列的规律性：数列中每一个数都有其特定的规律，并且这个规律可以通过数列的定义或递推公式来表示。
3. 数列的无穷性：数列中的项数可以是有限的，也可以是无穷的。
对于无穷数列，我们常常关注其极限是否存在。
二、数列的应用1. 数学领域的应用数列在数学领域中有着广泛的应用，特别是在数学分析和离散数学中。
在数学分析中，数列的极限与数学函数的连续性和收敛性密切相关。
通过研究数列的极限，我们可以推导出数学函数的性质，解决各种数学问题。
在离散数学中，数列的应用更为广泛。
例如，二项式系数就可以表示为一个数列。
二项式系数在组合数学中有重要的作用，它被广泛应用于统计学、概率论和图论等领域。
2. 物理学中的应用数列在物理学中也有着重要的应用。
例如，运动学中的等差数列和等比数列可以用来描述物体的运动规律。
等差数列可以用来描述匀速直线运动，而等比数列可以用来描述等比增长或等比衰减的现象。
另外，傅里叶级数是一个特殊的数列，它在物理学中有着举足轻重的地位。
傅里叶级数可以将一个周期函数分解成无穷多个正弦函数或余弦函数的和，从而方便了对周期信号的分析与处理。
3. 经济学与金融学中的应用在经济学和金融学中，数列被广泛用于描述经济和金融领域的发展和变化趋势。
例如，经济增长率、股票价格和汇率等都可以用数列来描述。
通过分析数列的规律，可以预测未来趋势，为经济和金融决策提供依据。
三、数表的概念与特点数表是由一系列有序的数以表格的形式排列而成的数集。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 第10讲-数列与数表
【9】
下图是1911年到1926年的公元纪年不干支纪年的对照表．请问： (1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年， 请问公元2049年是干支纪年的什么年? (2)21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年? (3)“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?
下节课见！
【6】
如图，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问： (1)123应该排在第几列? (2)第2行第20列的数是多少?
第1列 第2列 第3列 …
5
10
15
…
6
11
16
…
7
12
17
…
8
13
18
…
9
14
19
…
【7】
如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： (1)500在第几行，第几列? (2)第100行第2列是多少?
123456
7
8
9
10 11 12 13 14 15
16
17
18
…
…
997
998
999
【Hale Waihona Puke 】如图所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个 数字是多少?
12345678 91011121 31415161 71819202 ………………………………………….
【9】
中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的 基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸； 地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、 酉、戌、亥． 以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一 年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次． 公元纪年则是国际通行的纪年方式．
数列与数表
所以，取出的50个数的和为
(8450-50)÷2=4200.
如图，该数表中第11层算式的结果是多少？
1 2+3 4+5+6 7 + 8 + 9 + 10 …………………… 分析： 第一层是1个数，第二层是2个数， 所以，第11层的前面一共有55个数
56），共11个数， 1+2+3+…10 第11层的第一个是（ 66） 最后一个数是（
4．由三个数组成的数组按某种规律排成一列：(1， 2，3)，(2，3，5)，(3，4，7)，…第几个数组中的 各数之和是1234？
5．现有排成一列的七个数，从第三个数起，每个数 都是它前面两个数的乘积，如果最后三个数是16， 64，1024，那么，第一个数是多少？
6．下面的算式是按一定规律排列的 4+3,5+,6+9,7+12,…,那么第100个算 式的得数是多少?
+1 ×2 +1 ×2 +1 +1 +1 ×2 +1 ×2
等比数列 (2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,(128 ) …
×2 ×2
(3)1,
1 ×1
4，
2 ×2
9，
3 ×3
平方数列 16,（ 25 ），36， …
4 ×4
斐波拉 (4) 1,2，3 ,5，8, 13，21 ，（ 34 ）… 象这样按照一定的规律排列的一组数,我们称为数列, 其中每个数都叫做数列的项,排在第一列的叫第一项,(也叫首 项)一般用a 1 表示,第二列的叫第二项,用a 2表示,……排在第 N列的数叫第N项,用a n表示.
盒子里放着3只乒乓球，一位魔术师第一次从 中拿出一只球，把它变成3只球放进盒子里， 第二次拿出两只球，将每只球变成3只放进盒 子里，……第10次从盒子里拿出10只球，将每 只球变成3只放回盒子里，此时盒子里有多少 球？
10 第10讲 数列与数表
第十讲数列与数表兴趣篇1.观察数组（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），…的规律。
求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和。
2.请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3, (100)问：（1）这个数列一共有多少项？（2）这个数列所有数的总和是多少？3.一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。
请问：（1）第100项是多少？（2）前100项的和是多少？出“？”处的数。
5.如图，数阵中的数是按一定规律排列的。
请问：（1）100在第几行、第几列？（2）第20行第3列的数是多少？第1列第2列第3列第4列第5列第6列第1行 1 2 3 4第2行 5 6 7 8第3行9 10 11 12第4行13 14 15 16第5行17 ……………………6. 如图，从4开始的自然数是按某种规律排列的。
请问：（1）100在第几行第几列？（2）第5行第20列的数是多少？7. 如图，把偶数2,4,6,8…排成5列，各列从左到右一次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列。
请问：（1）100在第几行第几列？ （2）第20行第2列的数是多少？8.如图，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来。
请问：（1）第10行左起第3个数是多 少？（2）99在第几行左起第几个数？9.如图。
从1开始的自然数按某种方式排列起来。
请问：（1）100在第几行？100是这一行左起第几个数？（2）第25行左起第5个数是多少？1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 11 … … … … … … … … …4 11 12 19 20 ... 5 13 ... 6 10 14 18 ... 7 15 ... 8 9 16 17 ... 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 ... ... (1)3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …10.如图。
数列与数表知识点总结
数列与数表知识点总结一、数列的概念和性质数列是指一系列有顺序排列的数所构成的集合。
数列中的每个数称为数列的项。
数列可以有限个项，也可以有无穷个项。
数列一般用a1, a2, a3, …表示，其中ai表示数列的第i项。
数列的性质包括：公差、前n项和、通项公式等。
（一）公差对于数列{an}，如果相邻两项之间的差d是一个常数，即an+1 - an = d，则称数列{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差。
如果数列{an}是一个等差数列，那么第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。
对于等差数列，前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
（二）通项公式对于数列{an}，如果能找到一个与n有关的表达式f(n)，使得an = f(n)，那么f(n)称为数列{an}的通项公式。
通项公式可以帮助我们求出任意项的值，也能够帮助我们计算数列的前n项和、求出第n项等。
（三）基本性质1. 数列的第n项可以用通项公式表示；2. 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d；3. 前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2；4. 等差数列的通项公式可以通过求出前n项和公式和第n项公式进行推导。
二、数列的类型数列根据项之间的关系和性质的不同，可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列和等等。
（一）等差数列等差数列是指数列中相邻的两项之间的差是一个常数。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中d为等差公差。
等差数列有以下特点：1. 相邻两项之间的差是一个常数；2. 前n项和的公式为Sn = (a1 + an) * n / 2；3. 通项公式可由前n项和的公式和第n项公式进行推导；4. 等差数列的和可以表示为最大项和最小项之和乘以项数除以2，即Sn = (a1 + an) * n / 2。
（二）等比数列等比数列是指数列中相邻的两项之间的比是一个常数。
数学练习解读数列与数表
数学练习解读数列与数表数学中的数列与数表是我们学习和研究数学问题时经常遇到的重要概念。
它们在代数、几何、概率等数学分支中都有广泛的应用，对于我们理解数学规律、解决问题具有重要的作用。
本文将围绕数列与数表展开详细解读和说明。
一、数列数列是指按照一定规律排列的一组数字。
它可以是有限个数或无限个数，数与数之间有明确的关系。
常见的数列有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指数与数之间的差值保持一致的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
我们可以用一般项公式来表示等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列等比数列是指数与数之间的比值保持一致的数列。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
对于等比数列，我们可以用一般项公式来表示，即：an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数表数表是将一组数按照一定排列方式呈现出来的一种形式。
数表常见的形式有乘法表、加法表等。
1. 乘法表乘法表是将两个数的乘积按照一定规律排列成表格形式。
这种表格以数字为元素，每一行表示乘数a，每一列表示乘数b，表格中的数字表示a和b的乘积。
乘法表在学习乘法运算时非常有用，可以帮助我们快速计算乘法结果。
2. 加法表加法表是将两个数的和按照一定规律排列成表格形式。
这种表格以数字为元素，每一行表示加数a，每一列表示加数b，表格中的数字表示a和b的和。
加法表在学习加法运算时也非常有用，可以帮助我们快速计算加法结果。
三、数列与数表的应用数列与数表在数学中有广泛的应用，我们可以通过它们研究数学问题、解决实际问题。
1. 应用于代数数列的概念在代数中有重要的应用。
通过研究数列的性质和规律，我们可以推导出数列的通项公式，进而求解数列的各项数值。
这在解决各类代数问题中非常有帮助。
2. 应用于几何数表在几何中也有重要的应用。
数列与数表的认识与应用
数列与数表的认识与应用数列是数学中的一个重要概念，指的是按照一定规律排列的一组数。
数列的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
本文将介绍数列的基本概念、常见类型，以及数表在实际生活中的应用。
一、数列的基本概念与常见类型数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
数列的第一个数称为首项，第二个数称为第二项，以此类推。
数列可以用文字来表示，也可以用公式来表示。
例如，数列 {1, 4, 7, 10, 13, ...}可以用公式 an = 3n - 2 表示，其中 n 表示项数。
根据数列的规律和性质，可以将数列分为不同的类型。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，等差数列的通项公式为 an =a + (n-1)d。
例如，数列 {1, 3, 5, 7, 9, ...} 就是一个公差为 2 的等差数列。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，r 表示公比，等比数列的通项公式为 an = ar^(n-1)。
例如，数列 {1, 2, 4, 8, 16, ...} 就是一个公比为 2 的等比数列。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和。
通常用 F(n) 表示第 n 项，斐波那契数列的递推公式为 F(n) = F(n-1) +F(n-2)，其中 F(1)=1，F(2)=1。
例如，数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} 就是一个斐波那契数列。
二、数列在实际生活中的应用数列作为一种有序排列的数学工具，在实际生活中有广泛的应用。
1. 数列在金融领域的应用：金融市场中的股票价格、货币汇率等都可以被看作数列。
通过分析数列的规律和趋势，可以预测未来的变化趋势，从而做出相应的投资决策。
2. 数列在工程领域的应用：工程中的进度安排、资源分配等问题往往可以抽象为数列。
四年级奥数：数列与数表
四年级奥数：数列与数表经过观察与归纳找出数与图的规律。
观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。
在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。
只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。
同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。
名师点题例1知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。
⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。
具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。
在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
找规律数列与数表
找规律数列与数表数学中的规律数列与数表起着非常重要的作用，能够帮助我们发现数学问题中的隐含规律。
本文将围绕着找规律数列与数表展开讨论，探究其应用及解决问题的方法。
一、规律数列的概念与分类规律数列是指数学中一组有规律的数字按照一定的顺序排列而成的序列。
根据数列的规律不同，可以将数列分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等多种类型。
1. 等差数列等差数列是指数列中每个数与它的前一个数之差都相等的数列。
如果一个数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么这个数列就是等差数列。
2. 等比数列等比数列是指数列中每个数与它的前一个数之比都相等的数列。
如果一个数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，那么这个数列就是等比数列。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种非常特殊的数列，它的前两项都为1，从第三项开始，每一项都为其前两项之和。
二、如何找规律数列找规律数列是数学中的一项基础技能，它能够帮助我们解决一些数字之间的关系问题。
以下是几种常见的找规律数列的方法：1. 观察法观察法是最常用的找规律数列的方法，通过观察一组数字之间的关系，找到其中的规律。
可以通过计算它们之间的差值或比值来找到规律，从而得出数列的通项公式。
2. 推理法推理法是通过已知的数列前几项和数列之间的关系来推导出数列的通项公式。
通过观察数列前几项的特点，尝试找到一个合适的公式，然后用这个公式推算出余下的项。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的方法，也可以用来找规律数列。
首先证明数列的第一项符合要求，然后假设前n项都符合要求，再证明第n+1项也符合要求。
通过数学归纳法可以得到数列的通项公式。
三、规律数列的应用规律数列在数学及其它学科中有着广泛的应用，能够帮助我们解决各种实际问题。
以下是几个常见的应用场景：1. 数学题解答在一些数学题目中，给出一组已知的数字，要求推导出它们之间的关系，然后计算或预测后续的数值。
第10讲 数列与数表-完整版
第10讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题。
注意数表形式的多样性，许算时常常考虑周期性，或进行合理估算．典型例题兴趣篇1．观察数组(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…的规律，求：(l)第10组中三个数的和；(2)前10组中所有数的和．答案：(1) 33 (2) 195解析：发现每组都有三个数，而且这三个数是连续的．第1组三个数中，中间的那个数是2，第2组中间的数是3，第3组中间的数是4……第几组中间那个数就是几加1．又每组三个数是连续的，所以这三个数的平均数就是中间那个数，这三个数的和就是中间那个数的3倍．(1)第10组的三个数中，中间那个数是10+1= 11．所以第10组就是(1O，11，12)，那么这三个数的和为11×3=33．(2)可以分析出每组三个数的和是这组中间数的3倍，那么前：O组的所有数的和是2×3+3×3+4×3+…+1l×3=3×(2+3+…+11)=195．2．请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3, 10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100.问：(1)这个数列一共有多少项？(2)这个数列所有数的总和是多少？答案:(1)67项(2) 1783解析:观察发现数列中两种规律交替出现，也就是说，题中数列的第2项、第4项、第6项……即偶数项是：1，2，3，1，2，3，…，以“1，2，3”为一个周期，循环出现，周期的长度为3．再来看奇数项，把第1、3、5、7……项列出来是：1，4，7，10，13，16，…，显然，这是一个首项为1、公差为3的等差数列．(1)数列最后一项是100，这肯定不是“1，2，3”周期数列中的一项，而是等差数列中的一项．等差数列的项数是（100-1）÷3+1= 34，由于是等差开头，等差结尾，所以周期数列的项数比等差数列的步1，原数列的项数是34×2-1= 67.因此这个数列一共有67项．(2)在这个数列的67项中，周期数列有33项，每个周期内3个数的和是1+2+3=6，共有33÷3=11个周期，所以周期数列的总和就是11×6=66.等差数列有34项，首项为1，末项为100，项数是34，各项的和为(1+ 100)×34÷2=1717．综上，题中数列各项的总和是66+1717=1783.3．一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(l)第100项是多少？(2)前100项的和是多少？答案:(1)8 (2) 975解析:(1)根据题意写出数列：1，2，4，8，16，12，4,8, 16, 12,4,8,16, 12,4,…可以看出，此数列是从第3项起，以“4，8，16，12”这4个数为一个周期的周期数列．前100项中，除去前2项还有98项，98÷4=24……2，这意味着98项里有24个周期，最后还多出来2项，如图所示：所以数列的第100项是8．(2)前100项的和是1+2+(4+8T16+12)×24+4+8=975.4．如图10-1，方格表中的数是按照一定规律填入的．请观察方格表，并填出“？”处的数．答案:105解析:观察表中的数，发现最小的数是1，其次是3，6，10，15，…，把这些数从小到大连接起来，可以看出，这些数从小到大按照螺旋的形状排列．“？”处的数就是91之后，120之前的数，这些数从小到大依次是1，3，6，10，15，21，28，36，…，可以看出：每两个数的差依次加1．从图上的“66”开始看，从小到大，按照“螺旋”的排列规律，由于所以“？”就是105.5．如图10 -2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第3列的数是多少？答案:(1)第25行，第6列(2) 79解析:每一个奇数行都有4个数，在右面的第3、4、5、6列；每一个偶数行也有4个数，在左面的第1、2、3、4列．所有的数从1开始，由小到大按自然数的顺序从左向右排列．可以看到，如果把每一个奇数行和它下面的偶数行看作一个“奇偶组”，那么一个“奇偶组”有8个数，每个“奇偶组”中8个数对应的排列方式是相同的．(1)首先，100就是从小到大的第100个数，每个“奇偶组”有8个数，100÷8=12……4，于是100之前有12个“奇倡组”，100是这12个“奇偶组”后的第4个数．12个“奇偶组”就占24行，第24行为偶数行，100就在从第25行开始数第4个数的位置，如图1所示：所以100在第25行，第6列．(2) 20行有2C÷2—10个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数就是80，它是隽20行最后一个数．第20行为偶数行，偶数行都有4个数，在左面的第1、2、3、4列．如图2所示：所以第20行第3列的数就是79.6．如图10 -3，从4开始的自然数是按某种规律排列的．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第5行第20列的数是多少？答案:(1)第1行，第25列(2) 81解析:数阵中的数是从4开始，由小到大排列的．从左边第一列开始，奇数列都有5个数，是从上到下排列的；偶数列都有3个数，是从下到上排列的，每个奇数列和它后面相邻的偶数列组成一个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数．(1)方法一：100是数列中第100-3=97个数，每个“奇偶组”有8个数，97÷8=12……1．所以前100个数中有12个“奇偶组”，还多出1个数．每个“奇偶组”包含一奇一偶两列，12个“奇偶组”有12×2=24列．于是第97个数就是第25列的第1个数，也就是说100在第1行，第25列．方法二：第1列第1行的数是4，第3列第1行的数是12，第5列第1行是20……可以发现，第奇数列第1行的数是这个奇数的4倍．因为100÷4=25，所以100就是第25列第1行上的数．(2)方法一：前20列有20÷2=10个“奇偶组”．每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数是前20列最后一个数．20是偶数，第20列最后一个数在第1衍．因此第20列第5行上的数是第80-2=78个数．第78个数就是78+3=81.方法二：找规律，第2列第5行是9，2×4+1=9．第4列第5行是17，4×4+1=17.第6列第5行是25，6×4+1=25．于是第20列第5行是20×4+1=81．7．如图10 -4所示，把偶数2，4，6，8，…排成5列，各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第2列的数是多少？答案:(1)第15行，第2列(2) 138解析:先观察数阵中数的排列规律，发现数阵中的数是从2开始的连续的偶数，奇数行有4个数，在右面的第2、3、4、5列，从左向右排列；偶数行有3个数，在左面的第1、2、3列，从右向左排列，把一个奇数行和它相邻的偶数行看作一个周期，那么一个周期包含7个数．(1) 100是从2开始的第100÷2=50个数．每7个数为一个周期，50÷7=7……1. 50个数包含7个周期，并多出来一个数．7个周期就占据7×2—14行．所以数100是第15行的第！个数．第：5行是奇数行，奇数行第1个数是在第2列．因此100在第15行，第2列．(2)两行为一个周期，前20行有20÷2=10个周期，每个周期7个数，前20行共有10×7=70个数．所以第20行最后一个数就是第70个数，即第20行第1列是第70个数，那么第20行第2列的数是第69个数，第69个数是69×2=138.8．如图10 -5，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来，请问：(l)第10行左起3个数是多少？(2) 99在第几行左起第几个数？答案:(1)167(2)第8行左起第1个数解析:(1)前9行有1+3+5+…+17=81个数，因此第10行第3个数是表中的第81+3=84个数，表中的数都是奇数，第84个奇数是84×2-1=167.(2) 99是第50个奇数，前7行有1+3+5+-+13=49个数，因此表中第50个数是第8行左起第1个数.9．如图10 -6，从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：(1) 100在第几行？100是这一行左起第几个数？(2)第25行左起第5个数是多少？答案:(1)第14行，左起第9个数(2) 321解析:从图中可看出，自然数排成了“S”形，且第1行有1个数，第2行有2个数……第几行就有几个数；奇数行是从右向左排列，偶数行则是从左向右排列．(1)数100是第100个数，因为1+2+3+…+13=91，前13行有91个数；1+2+3+…+14=105，前14行有105个数，所以100在第14行，第14行是偶数行，是从左向右排列的，100是第14行的第100-91=9个数．于是，100在第14行，是这一行左起第9个数．(2)前25行有1-l-2+3+-+25=(1+20)×25÷2=325个数，奇数行是从右向左排列的，所以第25行最后一个数即是左起第1个数，为325．那么第25行左起第5个数就是325-4=321.10．如图10-7，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放入一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997; (2)2016; (3)2349.如果可以，请写出方框中最大的数．答案:只有2349是可以的，最大的数为269解析:可以看到，数阵中的行和列为等差数列，数列排列非常规律．然后可以观察到方框中9个数的平均数就是正中间的数，因此方框中的9个数之和必为正中间数字的9倍．1997÷9=221……8（不符合题意）；2016÷9=224（暂时符合题意）；2349÷9=261（暂时符合题意）．又由于每行都是7个数，而224÷7=32, 261÷7=37……2.于是224是第32行最后一个数，224不可能是方框正中间的数．而261是第38行的第2个数，261可以作为方框正中间的数．因此只有2349是可能的，其中方框中的最大数比中间数大8，是261+8=269．拓展篇1．请观察下列数列的规律：1, 100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84, 0请问：(l)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是多少？答案:(l) 26项(2) 2652解析:题中的数列是由两个数列合成的，它的奇数项是以“1，2，3，2”为周期的周期数列，偶数项是首项为100、公差为2的递减的等差数列！数列最后一项为O，因周期数列中没有O，所以它是等差数列中的一项．(1)只要分别找出奇数项和偶数项中的2，把它们的项数相加就是数列中2的项数．在从100递减到O的等差数列中，项数为(100 -O)÷2+1= 51.由于是周期开始，等差结束，所以周期数列的项数也是51.由51÷4=12…3可知，51项里共有12个完整的周期，除此以外还剩3项：1，2，3．每个周期有两项是2，所以周期数列里有2×12+1= 25项是2，等差数列中只有一项是2，所以数列里一共有25+1=26项是2．(2)可以分别算出奇数项之和与偶数项之和，把它们相加就是数列所有项的总和．周期数列51项之和为(1+2+3+2)×12+1+2+3 =102，等差数列51项之和为(O +100)×51÷2=2550.所以数列的所有项之和为2550+102=2652.2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(j，6，7)，(7，8，9)，…的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．答案:(1) 120 (2) 1260解析:(1)笫20组的三个数中，中间那个数是20×2=40.所以第20组就是(39，40，41)，三个数的和为40×3=120．(2)可以分析出每组三个数的和是组数的6倍，那么前20组的所有数的和是6×1+6×2+6×3+…+6×20=6×(1+2+3+…+20)=6×(1+20)×20÷2 = 1260．3．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,5),…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少？(2)前55组中“5”这个数出现了多少次？答案:(l) 23 (2) 11次解析:观察数组可以发现，如果有某些组括号里的第2个数相同，那这些组都紧挨着．如果按从左到右的顺序，把各组括号里的第2个数写成一行：1，2，2，3，3，3，…，可发现各组的第2个数排列得很有规律，从1开始逐渐变大，所以可以把数组按括号中的第2个数分成若干大组：观察这些大组可发现，第1大组有1个括号，第2大组有2个括号……第几大组就有几个括号，在每一组里，括号中的第1个数排成了从1开始递增的连续自然数数列．(1)1+2+3+…+13=91<100,1+2+…+14=105>100，所以第100个括号在第14大组．前13大组有91个括号，由100-91=9知，第100个括号是第14大组中的第9个．根据组的特点可知，第100个括号内的数为(9，14)，它们的和是14+9=23．(2)方法一：因为1+2+-+10=55，所以前55个括号恰好被分为l0大组．前4大组没有出现5，从第5大组起，括号中的第1个数出现5的次数是每大组1次，所以第1个数中出现5的次数为104=6次．因为只有在第5组里，括号里的第2个数才能是5，所以括号中的第2个数出现5的次数是5次．综上，前55个括号中出现5的次数为6+5=11（次）．方法二：观察前3个括号（也就是前2个大组）可发现，括号里正好一共有3个1，3个2．再看前6个括号（也就是前3个大组），类似地列出1、2、3，可发现正好一共有4个1，4个2，4个3．如图所示：也就是说，在前咒个完整的大组中，每个数都出现了n+l次，那么按照这种写法依次写下去可发现，前10个完整的大组中1，2，…，10出现的次数相同，都是10+1=11次，所以5出现的次数也是11次．4．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的500个数，这500个数的和最大又是多少？答案:257；2510解析:根据题意，把数列的前面若干项写出来就是：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,…容易发现这是一个周期数列，每连续12个数为一个周期，每个周期的和是60．50÷12=4……2，即取4个周期和连续的2个数．连续4个周期的数，无论从数列中哪个数开始，它们的和是一定的：60×4=240．让多出来的2个连续的数的和尽量大就可以了．数列中，连续2个数的和最大是8+9=17，取法如图1：和最大就是60×4+17=257.500÷12=41……8，取41个周期和连续的8个数．要选8个连续的数，让它们的和最大．因为每连续12个数的和是一定的，所以选4个连续的数,使他们的和最小，剩下的8个数的和一定最大．如果取连续的4个数，使其和最小，很明显是“2，1，3，4”这4个，余下的8个数的和一定最大，是60-3-4-2-1=50.取法如图2：这样连续的500个数，其和就是最大的，是60×41+50=2510.5．如图10-8，把从l开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG 上，8在射线OH上，9又回到射线OA上……如此循环下去．问：78在哪条射线上？射线OE上的第30个数是多少？答案:射线OF上；237解析:如图所示标出了自然数从1开始在射线上排列的规律：可以发现，排成的是从里到外逆时针的螺旋形．从射线OA开始，排8个数之后，第9个数又排到OA上，所以我们可以把8个数看做一个周期，而且在同一条射线上，相邻的两数相差8，也就是说落在同一条射线上昀数形成一个以8为公差的等差数列．(l)由78÷8=9……6可知，78落在从OA开始4逆时针数的第6条射线OF 上．(2)射线OE上的数形成了以8为公差的等差数列，第1个数是5，第30个数和第1个数相差29个公差，所以0E上第30个数是5+8×29=237.6．如图10 -9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1) 123应该排在第几列？(2)第2行第20列的数是多少？答案:(1)第24列(2) 101解析:数列5，6，7，8，9，10，…是从5开始的自然数数列，按从小到大的顺序观察这个数阵中的自然数，可以发现它们是竖着排的，每一列的顺序都是从上至下，如果把每一列看作1个周期，一个周期里有5个数．(1)方法一：数阵中的数构成一个以5为首项的果把数阵中的一列看作一周期，那窟泣该是以5个数为一个周期．由119÷5=23……4可知，119个数包含23个周期，还多出4个数来. 23个周期就占据23列，所以数列的第119个数在第24列，也即123在第24列．方法二：注意到每一列第1行的数都是5的倍数，在第几列就是5的几倍．和123最接近的5的倍数是5×25=125，它在第25列第1行，123比它少2．所以在它的前一列，也就是第24列．(2)方法一：一个周期包含5个数，所以前19个周期共有19×5=95个数，第20列第2行的数也就是数列的第95+2=97个数．所以这个数是97+4=101．方法二：第20列第1行的数是5的20倍，也就是5×20=100．所以第2行的数是100+1=101.7．如图10 - 10所示，将自然数有规律地填入方格表中．请问：(1) 500在第几行第几列？(2)第100行第2列是多少？答案: (l)第111行，第5列(2) 448解析:(1)数表中的数构成一个从1～999的自然数数列，500是这个数列的第500个数，每一个奇数行和它下面的偶数行可看成一个周期．由500÷9=55……5可知，前500个数里包含了55个周期，还余下5个数．因为每个周期有2行，所以55个周期共占据55×2=110行，所以第500个数在数表的第11O+1=111衍，500在第111行的第5列．(2)方法一：前100行共有100÷2=50个周期，所以排到第100行第2列时，已经排了49个周期，还多出了7个数，所以，第100行第2列的数是数列的第49×9+7=448个数，也就是448.方法二：经仔细观察，每个周期的最后一个数都是9的倍数，在第几个周期就是9的几倍，前100行一共有100÷2=50个周期，那么第100行的最后一个数为9×50=450.450是第100行第6列的数，所以第100行第2列的数是450-2=448.8．如图10-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？答案:9解析:横着看数阵，数阵的第1行是从1开始排到8，的连续自然数，第2行排了9后，接下来的数字是“1”，“0”，“1”，“1”，“1”，“2”，…．观察发现，是把从1开始连续的自然数的各位数字依次排到了数阵中．在数阵中，自然数的每位数字都占一个位置．一位数每个占1个位置，两位数每个占2个位置，三位数每个占3个位置，所以我们先要确定排到第60行数列的第48餐59+4=476个数字，因为在自然数中，一位数有9个，两位数有90个，所以一位数和两位数共有9+90×2=189个数字．那么肯定是排到三位数了．由(476-189)÷3=95…2可知，数阵排到60行第4个数字时，已经排了95个三位数，并且还多排了2个数字．于是第63行第4个数字属于隽96个三位数，也就是195，并且是195的第2位数字，所以它是9．9．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．公元纪年则是国际通行的纪年方式．图10 - 12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表，请问： (l)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是于支纪年的辛亥年，公元2049年是干支纪年的什么年？(2) 21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？(3)“戍戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？答案:(l)己已年(2) 2044年(3) 1898年解析:(1)注意到2049–1919=10×13，所以2049年和1919年的天干相同，都为“己”，又因为2049-1917=12×11，所以2049年和1917年的地支相同，都为“巳”．综上所述，得2049年为“己已”年．(2) 60年为一个大周期，因为它是10和12的公倍数，所以相隔60年的整数倍数的年份，天干和地支的名称都不变，只要知道20世纪的甲子年，就很容易求出21世纪的甲子年了．因为1924年是甲子年，所以21世纪的甲子年的公元纪年年份和1924之差是60的倍数．由1924+60=1984<2000, 1924+60×2=2044可知，21世纪的甲子年是204/年．又因为2044+60=2104，已经到了22世纪，所以21世纪只有一个甲子年．(3)由1918年是戊年可知，1898、1888、1878、1868、1858年都是戊年．由1922年是戌年可知，1898、1886年都是戌年．所以“戊戌变法”发生在1898年，10．如图10 - 13，将1～400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，请问：(1) 246在第几行第几列？(2)第14行第13列的数是多少？(3)所有阴影方格中数的总和是多少？答案:(1)第13行，第6列(2) 273 (3) 8020解析:数表是从1开始，依次写下去．每行20个数，一共400个数．(1)因为第1个数是1，所以246就是第246个数．246÷20=12…6，于是246前面有12行，它是第13行的第6个数，也就是在第13行，第6列．(2)前13行有13×20=260个数，于是第14行的第13个数就是第260+13=273个数．因为第1个数是1，所以第273个数就是273.(3)把数表旋转180。
数列与数表的认识与应用
数列与数表的认识与应用数列和数表是数学中常见的概念，它们在各个领域中都有着重要的应用。
本文将从数列和数表的定义、性质以及实际应用等方面进行介绍和讨论。
一、数列的定义与性质1. 数列的定义：数列是指按照一定规律排列起来的一串数。
数列中的每个数称为该数列的项，用第n项表示。
2. 数列的常见表示形式：（1）通项公式：若数列的每一项都可以由n表示，且可以找到一个公式把每一项与n联系起来，则这个公式称为数列的通项公式。
（2）递推公式：若数列的每一项都可以由前一项表示，则这个关系式称为数列的递推公式。
3. 数列的分类：（1）等差数列：数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
（2）等比数列：数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
（3）斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和的数列。
4. 数列的性质：数列有许多重要性质，包括有界性、单调性、极限等。
二、数列的应用数列在不同领域中都有广泛的应用，下面将介绍一些典型的应用场景。
1. 经济学中的数列应用：（1）GDP增长率：GDP（国内生产总值）的年增长率可以看作是一个数列，在宏观经济研究中具有重要意义。
（2）股票价格变化：股票的价格变化可以看作是一个数列，通过分析数列的特点，可以预测股票未来走势。
2. 自然科学中的数列应用：（1）物理学中的运动学问题：在物理学中，运动的速度、加速度等量可以构成数列，通过分析数列的规律，可以解决各种运动学问题。
（2）生态学中的种群模型：种群的数量随时间变化可以构成数列，通过研究数列的特点，可以预测种群数量的变化趋势。
3. 信息科学中的数列应用：（1）密码学中的序列生成：生成一串随机数列是密码学中重要的问题，随机数列的生成受到密码学安全性的限制。
（2）信号处理中的滤波器设计：滤波器的频率响应可以看作是一个数列，通过控制数列的性质来实现信号的处理与滤波。
三、数表的定义与应用1. 数表的定义：数表是指按照一定规律排列起来的数字表格，通常以行和列的形式展现。
数列与数表
等比数列的概念与求和公式．求具有规律性的数列中的项被小整数除的余数．涉及分数与小数的，或综合性较强的数列与数表问题．1．有7根竹竿排成一行．第一根竹竿长1米，其余每根长都是前一根的一半．问：这7根竹竿的总长是几米?【分析与解】我们先将7根竹竿的长度一一求出：111111 1,,,,,, 248163264．它们的和为111111631124816326464++++++=(米)．这7根竹竿的总长是63164米．2．甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍．已知一月份甲、乙两厂生产玩具的总数是98件，二月份甲、乙两厂生产玩具的总数是106件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份?【分析与解】由二月份生产的玩具总数比一月份生产的玩具总数多出的件数是一月份乙厂生产的玩具数．即一月份乙厂生产了106—98=8件，甲厂生产了98-8=90件．乙厂生产的玩具数量每月增加一倍，有48290⨯>，38290⨯<，所以在4月后。
即乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在5月份．3．在两位数10，11，…，98，99中，把每个被7除余2的数，如16，23，…等，改成1．6，2．3，…等，而其余的数不变．问：经过这样的改变之后，所有数的和是多少? 【分析与解】 在10 99之间，被7除2的数有16，23，…，93，共12个数．这些均缩小到原来的110，即缩小了910． 所以经过这样的改变之后，所有数的和是(10+11+12+…+99)-910×(16+23+．．．+93) =()()10999016931294905588.64316.42102+⨯+⨯-⨯=-= 即经过这样的改变之后．所有数的和是4316.44．在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?【分析与解】 77=7 ×11，则100以内不与7互质的奇数有7，7×3，7×5，7×7，7×9，7×11，7×13；11，11×3，11×5，11×7(注意与7×11重复)，11×9，共11个数． 这11个数的和为7×(1+3+5+…+13)+11×(1+3+5+7+9)-77=()()11371957117754122+⨯+⨯⨯+⨯-=．而100以内的奇数和为1+3+5+7+ (99)()199502+⨯=2500．所以，在100以内与77互质的所有奇数之和为2500-541=1959．5．华罗庚金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届在1991年举行，以后每两年举行一届．第一届华杯赛所在年份的各位数字和是1A =1+9+8+6=24．前二届所在年份的各位数字和是2A =1+9+8+6+1+9+8+8=50．问：前50届华杯赛所在年份的各位数字和50A 等于多少?【分析与解】 由题中所给规律知，前50届在20世纪内有7次赛事，在2l 世纪内有43次赛事． 在20世纪内，已知2A =50，其余5届年份各位数字的和是5×(1+9+9)+(1+3+5+7+9)=95+25=120． 从而7A =2A +120=170．在21世纪内的前45届年份的数字之和是： 2×45+(1+2+…+8)×5+(1+3+5+7+9)×9=495，前43届年份的数宰和是495-2-8-7-2-8-9=459． 于是50A =170+459=629．6．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13，...．擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998．那么，擦去的奇数是多少? 【分析与解】 1+3+5+ (89)()18945202519982+⨯=>，1+3+5+ (87)()18744193819982+⨯=<．所以擦去的奇数是2025-1998=27．7．某车间原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品．共生产1994件．试问：1月几日开始调进工人?共调进了多少工人?【分析与解】 1月份共有3l天，所以这个车间的原有工人至少生产出了63×31=1953件，或增加3l的倍数，但因不超过1994件，所以工厂的原有工人生产了1953或1984件．所以，后来调进的工人生产了1994—1953=41件，或1994—1984：10件产品．易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天数n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数．有41=1×41，所以奇约数只有1和4l，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式，41=20+21．所以调入的次数n=2，第一次调入的人数x=20，共调进人数x+n-1=20+2-1=21人：10=2×5，所以奇约数只有1和5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式，10=1+2+3+4．所以调入的次数n=4，第一次调入的人数x=1，共调进人数x+n-1=1+4-1=4人．所以为：调人2天，1月30日开始调入，共调进21人；调人4天，1月28日开始调入，共调进4人．评注：一个合数，它奇约数的个数减去1是多少，那么它表达为若干个连续自然数和的种教也就是多少．8．100这个数最多能写成多少个不同的自然数之和?(严格的应为非零自然数)【分析与解】要求尽可能多的不同自然数之和为100，则应使每个自然数都尽可能的小．于是从1开始相加，有1+2+3+…+n=()12n n⨯+．当n=13时，1+2+3+…+13=91；当n=14时，1+2+3+…+14=105．所以有1+2+3+…+11+12+(13+9)=1+2+3+…+11+12+22，这13个数的和恰好为100．即100这个数最多能写成13个不同的自然数之和．9．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和．这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…．问最右边一个数被6除余几?【分析与解】观察这些数为0，1，3，8，2l，55，144，377,…这些数除以6的余数依次为0，1，3，2，3，1，O，5，3，4，3，5，0，1, 3, …即每12个数一循环，70÷12=5……lO，即为4．所以最右边一个数被6除余4．10．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…．问：这串数的前100个数中有多少个偶数?【分析与解】注意观察不难发现每3个数中有1个偶数，这个规律不难解释，因为第一、二个数均是奇数，而每个数都是前两个数的和，所以第三个数为偶数，则第四个数为奇数，…．100÷3=33……1，所以这串数的前100个数中有33个偶数．11．有一串数如下：1，2，4，7，11，16，…．它的规律是：由1开始，加1，加2加3，……，依次逐个产生这串数，直到第50个数为止．那么在这50个数中，被3除余l的数有多少个?【分析与解】这串数除以3的余数列，与由1开始依次加1，2，0，1，2，0，1．…所得数串除以3的余数列相同，为1，2，1，1，2，l，1，2，1，…是以1，2，1三个数为周期的数串．也就是说从第1个数开始，每3个数中有2个数被3除余1．有50÷3=16……2，所以有16×2+1=33个数被3除余1．12．已知一串有规律的数:2513341,,,,382155那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是多少?【分析与解】每个分数的分子等于前一个分数的分母加分子，每一个分数的分母等于分子加前一个分数的分母，所以第6、7、8、9、10个分数依次为：8923361015974181,,,,14437798725846765所以第10个分数是4181 6765．评注：我们把从第三项开始，每一项等于前两项之和的数列称为斐波那契数列，本题中如果将分子、分母依次排列为1，2，3，5，8，13，21，…得到的数列正是斐波那契数列．13．观察下面的数表：11；21,12；321,,123；4321,,,1234；54221,,,,12345；根据前五行数所表达的规律，说明：19911949这个数位于由上而下的第几行?在这一行中，它位于由左向右的第几个?【分析与解】注意到，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6．由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1．其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，……，即自左起第几个数，其分母就是几．因此，19911949所在的行数等于199l+1949-1=3939．而在第3939行中，19911949位于从左至右第1949个数．14．今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上12和13，如图18-1所示．第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和511623=+，如图18-2所示．第三次把4段圆弧二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和1151326=+，1151636=+，如图18-3所示．如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标数的总和是多少？【分析与解】 因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和，所以每次增加数的总和恰好是原来所有数总和的2倍，也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的总和的3倍，于是，第八次标完数后圆周上所有数的总和是：1123⎛⎫+ ⎪⎝⎭×3×3×3×3×3×3×3=118222．15. 设1，3，9，27，81，243是6个给定的数，从这6个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和(每个数只能取一次)，可以得到一个新数，这样共得到63个新数.如果把它们从小到大依次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，那么，其中的第60个数是多少？ 【分析与解】 最大的数(第63个数)是1+3+9+27+81+243=364，第60个数（倒数第4个数）是364-1-3=360.。
小学五年级逻辑思维学习—数列数表
小学五年级逻辑思维学习—数列数表知识定位日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： 自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1） 年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2） 某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列） 45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中 的每一个数都叫做这个数列的项，其中第 1 个数称为这个数列的第 1 项，第 2 个数称为第 2 项，…，第 n 个数就称为第 n 项.如数列（3）中，第 1 项是 45，第 2 项也是 45，第 3 项是 44， 第 4 项是 46，第 5 项 45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个 项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上 面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
知识梳理一、数列规律 等差数列，简单的等比数列，周期规律，递推规律是数列中常见的形式，在小学阶段的奥数 题中，比较多的项数进行计算基本都是可以找到相应规律的。
二、数表规律 通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差 异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识 相综合的数列问题．三、递推思想 奥数学习需要的是思维的积累，其中递推归纳的思想应用十分广泛。
而在数列数表中，递推 的规律体现的淋漓尽致，需要学生用心体会。
注意： 1.等差数列及相对应的数学解题思想，倒序相加，递推，对应等。
2.数列求和技巧，简单等比数列求和中措项相消得思想。
3.数表中如何发现规律并转化成已知知识。
4.措项相消思想的运用 5.数表与计数数论相联系 6.分数数列的计算 7.数表的求和例题精讲【题目】0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________。
数列与数表的特征与计算
数列与数表的特征与计算在数学的广袤天地中，数列与数表是两个非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活的各个领域有着广泛的应用。
数列，简单来说，就是按照一定规律排列的一组数。
比如我们熟悉的等差数列，它的每一项与前一项的差值是一个固定的常数；再比如等比数列，每一项与前一项的比值是一个固定的值。
数列的规律可以多种多样，有的可能是周期性的，有的可能是由某个特定的公式所决定。
等差数列的特征非常明显。
假设一个等差数列的首项为\（a_1\），公差为\（d\），那么它的第\（n\）项就可以表示为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）。
通过这个公式，只要我们知道了首项、公差和项数，就能轻松求出任意一项的值。
例如，一个等差数列的首项是\（2\），公差是\（3\），要计算第\（10\）项的值，就可以这样计算：＼（a_{10} ＝ 2 ＋（10 1)×3 ＝ 2 ＋ 27 ＝ 29\）。
等比数列也有其独特的性质和计算方法。
如果一个等比数列的首项是\（b_1\），公比是\（q\），那么第\（n\）项就是\（b_n ＝ b_1×q^｛n 1}＼）。
比如一个等比数列的首项是\（3\），公比是\（2\），要算第\（5\）项，即\（b_5 ＝ 3×2^｛5 1} ＝ 3×16 ＝ 48\）。
除了等差数列和等比数列，还有很多其他类型的数列。
比如斐波那契数列，它的特点是从第三项开始，每一项都是前两项的和。
这个数列在自然界中有着神奇的出现，比如植物的生长规律、兔子的繁殖数量等。
数表则是将数列以表格的形式呈现出来，使得数据更加直观和清晰。
数表中的每一行或每一列可能构成一个特定的数列，或者数表中的数字之间存在着某种隐藏的规律等待我们去发现。
在解决数列和数表的问题时，关键是要找出它们的规律。
这需要我们仔细观察数字之间的关系，进行大胆的猜测和验证。
有时候，可以通过计算相邻两项的差值或比值来寻找规律；有时候，可能需要对数字进行一些变形或转换，才能发现其中的奥秘。
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第十讲数列与数表兴趣篇1.观察数组（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），…的规律。
求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和。
2.请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3, (100)问：（1）这个数列一共有多少项？（2）这个数列所有数的总和是多少？3.一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。
请问：（1）第100项是多少？（2）前100项的和是多少？出“？”处的数。
5.如图，数阵中的数是按一定规律排列的。
请问：（1）100在第几行、第几列？（2）第20行第3列的数是多少？第1列第2列第3列第4列第5列第6列第1行 1 2 3 4第2行 5 6 7 8第3行9 10 11 12第4行13 14 15 16第5行17 ……………………6. 如图，从4开始的自然数是按某种规律排列的。
请问：（1）100在第几行第几列？（2）第5行第20列的数是多少？7. 如图，把偶数2,4,6,8…排成5列，各列从左到右一次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列。
请问：（1）100在第几行第几列？ （2）第20行第2列的数是多少？8.如图，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来。
请问：（1）第10行左起第3个数是多 少？（2）99在第几行左起第几个数？9.如图。
从1开始的自然数按某种方式排列起来。
请问：（1）100在第几行？100是这一行左起第几个数？（2）第25行左起第5个数是多少？1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 11 … … … … … … … … …4 11 12 19 20 ... 5 13 ... 6 10 14 18 ... 7 15 ... 8 9 16 17 ... 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 ... ... (1)3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …10.如图。
把从1开始的自然数排成数阵。
试问：能否在数阵中放入一个3×3的方框，使得它围住的九个数字和等于：（1）1997；（2）2016；（3）2349. 如果可以，请写出方框中最大的数。
拓展篇1. 请观察下列数列的规律：1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，…，0。
请问：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？2. 观察数组（1,2,3），（3,4,5），（5,6,7），（7,8,9）的规律。
求： （1） 第20组中三个数的和； （2） 前20组中所有数的和。
3.一列由两个数组成的数组：（1,1），（1,2），（2,2），（1,3），（2,3），（3,3），（1,4），（2,4），（3,4），（4,4），（1,5），…。
请问：（1）第100组内的两个数之和是多少？ （2）前55组中“5”这个数出现了多少次？4.有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。
从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的500个数，这500个数的和最大又是多少？1 26 78 9 13 1415 16 20 2122 23 27 2829 30 34 35… … … … … … …5.如图，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA 上，2在射线OB 上，3在射线OC 上，4在射线OD 上，5在射线OE 上，6在射线OF 上，7在射线OG 上，8在射线OH 上，9又在哪条射线上？射线OE 上的第30个数是多少？6.如图。
将从5开始的连续自然数按规律填入数阵中。
请问：（1）123应该排在第几列？（2）第2行第20列的数是多少？7.如图，将自然数有规律地填入方格表中。
请问： （1）500在第几行，第几列？ （2）第100行第2列是多少？第一列 第二列 第三列 …… 5 10 15 …… 6 11 16 …… 7 12 17 …… 8 13 18 …… 9 14 19 ……8. 如图，数阵中的数字是按一定规律排列的。
这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？9.中国古代的几年方法角“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的。
天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年。
在干支纪年中，每六十年纪念方式循环一次。
公元纪年则是国际通行的纪念方式。
图是1911年到1926年得公园纪年与干支纪年的对照表。
请问：（1） 中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，公元2049年是干支纪年的什么年？（2） 21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？10. 如图，将1~400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中。
请问： （1）246在第几行第几列？（2）第14行第13列的数是什么？（3）所有阴影方格中的数的总和是多少？1 2 3 4 5 6 7 89 1 0 1 1 1 2 13 14 15 16 17 1 8 1 9 2 0 2……………………………………………..11. 如图，将1~400这400个自然数填入图中的小三角形中，每个小三角形内均填有一个数。
“1”所处的位置为第一行；“2,3,4“所处的位置为第二行……请问： （1） 第15行正中间的数是多少？（2） 第12行中所有空白三角形内的数之和是多少？（3） 前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少？12. 如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来。
请问：（1）150在第几行第几列？（2）第5行第10列的数是多少？13. 如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来。
请问：（1）200排在第几行第几列？（2）第18行第22列的数是多少？14. 如图，把自然数按规律排列起来，如果用“土”字型阴影覆盖出8个数并求和，则和为798.那么这8个数中最大的数是多少？（“土”字不能旋转或翻转）1 2 5 10 …4 3 6 11 …9 8 7 12 …16 15 14 13 …25 … … … …… … … … …1 2 4 7 11 16… 3 5 8 12 176 9 13 …10 14 …15 ……超越篇1.下面的数组是按一定顺序排列的：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),…。
请问：（1）其中第70个括号内的数分别是多少？（2）前50个括号内各数之和是多少？2.桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分成10堆并拿走其中9堆。
这个过程称为一次“操作”。
若球仅为一个，则不做“操作。
如果最初有194919481947…54321个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球？3.在图所示的淑珍中，将满足下列条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为391.问：在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小？第一行 1 2 3 …14 15第二行30 29 28 …17 16第三行31 32 33 …44 45。
4.图中的数是按一定规律排列的，那么第6行第23列的数字是多少？第一列第二列第三列第四列第五列第六列…第一行 1 2 4 7 0 1 …第二行 3 5 8 1 3 …第三行 6 9 1 1 …… 1 1 4 …2 1 …5 ……5.将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图所示的方式排列。
请问：（1）第一行从左往右数的第15个字是什么？（2）第一列从上往下数的第25个字是什么？（3）第25行的第15个字是什么？6.将自然数从1开始，顺次排列如图所示的螺旋形，其中2,3,5,7,…处为拐点。
请问：（1）第30个拐点处的数是多少？（2）前30个拐点处的各数之和是多少？7.如图，把从1开始连续的自然数按照一定的顺序排成数表。
如果这儿数表有40行，请通过计算回答下列问题：（1）第1行的数是多少？（2）第20行中的最大数与最小数之和是多少？（3）第35行中的最大数与最小数之和是多少？8.如图，25个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三角形。
在每个小三角形的顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等。
已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100、200、300，求所有顶点上数的总和。