图形的相似技巧及练习题

图形的相似技巧及练习题一、选择题

1．在平面直角坐标系中，把△ABC的各顶点的横坐标都除以1

4

，纵坐标都乘

1

3

，得到

△DEF，把△DEF与△ABC相比，下列说法中正确的是()

A．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的1 3

B．横向缩小为原来的1

4

，纵向扩大为原来的3倍

C．△DEF的面积为△ABC面积的12倍

D．△DEF的面积为△ABC面积的

1 12

【答案】A 【解析】【分析】【详解】

解：△DEF与△ABC相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的1

3

；△DEF的面积为

△ABC面积的16

9

，

故选A.

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，D是AB边上一个动点（不与点A、B重合），E是BC边上一点，且∠CDE＝30°．设AD＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．

C．

D ．

【答案】C

【解析】

【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．

【详解】

解：∵∠A ＝60°，AC ＝2，

∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-

在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，

故可得242CD x x =-+,

又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），

∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB

= 即2

22342,2342y

x x x x --+=-+ 故可得： 23343.633

y x x =-

++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．

【点睛】

考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

3．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【答案】B

【解析】

【分析】 证明△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可推导得出AC 2=AD•AB ，由此即可解决问题.

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，

∴AC AD AB AC

，

∴AC2=AD•AB=2×8=16，

∵AC>0，

∴AC=4，

故选B.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

4．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝21：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（）

A．①②④B．①③④C．②③④D．①③

【答案】B

【解析】

【分析】

①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．

②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．

③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．

④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，

∴∠DCB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DCB=120°，

∵EC平分∠DCB，

∴∠ECB=1

2

∠DCB=60°，

∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，∴△ECB是等边三角形，

∴EB=BC，

∴EA=EB=EC ，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OC ，EA=EB ，

∴OE ∥BC ，

∴∠AOE=∠ACB=90°，

∴EO ⊥AC ，故①正确，

∵OE ∥BC ，

∴△OEF ∽△BCF ， ∴12

OE OF BC FB == ， ∴OF=13

OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误，

设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(72)a a +， ∴7a ，

∴AC ：3a 7217，故③正确，

∵OF=13OB=76

a ， ∴BF=

73a ， ∴BF 2=79a 2，7a•7779⎫=⎪⎪⎝⎭ a 2， ∴BF 2=OF•DF ，故④正确，

故选：B ．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．

5．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm =，20EF cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB 是（ ）