图形的相似技巧及练习题
2020-2021初中数学图形的相似技巧及练习题附答案
2020-2021初中数学图形的相似技巧及练习题附答案一、选择题1．如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2∶3，若三角尺的一边长为8 cm，则这条边在投影中的对应边长为()A．8 cmB．12 cmC．16 cmD．24 cm【答案】B【解析】试题分析：利用相似比为2：3，可得出其对应边的比值为2：3，进而求出即可．解：∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，三角尺的一边长为8cm，∴设这条边在投影中的对应边长为：x，则=，解得：x=12．故选B．考点：位似变换．2．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A 235B233C334D435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=22433555 BD=⨯=故选D．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．3．如图，点A在双曲线y═kx（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．3225C．43D．252+【答案】B【解析】分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；详解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，22=5OF OC+∴255，∴OA=455，由△FOC∽△OBA，可得OF OC CFOB AB OA==，∴21545 OB AB==，∴OB=85，AB=45，∴A（85，45），∴k=3225． 故选B ． 点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC 的值为（ ）A ．1：3B ．1：8C ．1：9D ．1：4【答案】C【解析】【分析】 根据题意，易证△DEF ∽△CBF ，同理可证△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S △EFC ＝3S △DEF ，∴DF ：FC ＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DE ：BC ＝DF ：FC ＝1：3同理△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC ＝1：9，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．5．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．2B ．3C ．15±D ．152+ 【答案】D【解析】【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】解：∵1AB =，设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF AD DF AB=，即111x x =-， 解得：1152x +=，2152x -=（不合题意，舍去） 经检验152x +=，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．6．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13 B ．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的112 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF 的面积为△ABC 面积的169， 故选A.8．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=12 AC故四边形OECF的面积是▱ABCD面积1 4即图中阴影部分的面积为4cm2．故选：C【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是应用相似多边形的性质解答问题.9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．32B．92C．332D．3【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∵AC=3，AB=6，∴AD=32．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．10．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换11．把Rt ABC∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DGCF=（）A ．23B ．22C ．33D ．32【答案】B【解析】【分析】连接AC 和AF ，证明△DAG ∽△CAF 可得DG CF的值． 【详解】连接AC 和AF ，则22AD AG AC AF ==， ∵∠DAG=45°-∠GAC ，∠CAF=45°-GAC ，∴∠DAG=∠CAF ．∴△DAG ∽△CAF ．∴22DG AD CF AC ==． 故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．13．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ． 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．14．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D ．33【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出22OB OA = 【详解】 ∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ， ∴22OB OA =， 故选A ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解15．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠OMN=33；③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN=3，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON 是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3， 则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217， ∵点O 是线段BK 的中点，∴PB=3PO ，∴OG=13BM=22121， MG=23MP=27， tan ∠OMN=3=OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，∴PB 2=PM•PA ，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC ，∵PD=PC ，∴PB 2=3PD ，∴PM •PA=3PD 2，故④正确．故选B ．【点睛】本题考查相似形综合题．16．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOFS S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S ==V ∴4COE S =V∴42k ，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．17．下列图形中，一定相似的是（ ）A ．两个正方形B ．两个菱形C ．两个直角三角形D ．两个等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A 、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B 、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C 、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．18．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于( )A ．103B ．203C ．52D ．152【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到3AD BC DF CE ==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ，∴3AD BC DF CE==， ∴BC=3CE ，∵BC+CE=BE ，∴3CE+CE=10，∴CE=52． 故选C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.19．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC= 【答案】C【解析】【分析】由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A 是公共角，∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求，故选C ．20．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．。
图形的相似专题练习含答案解析
图形的相似1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN 等于（）A．B．C．D．2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．544．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．6．计算：|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°．7．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．8．计算：|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°．9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．）12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．13．我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）求AD的长．15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E（，2），连接AE，ED．（1）求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；（3）经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．16．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q 也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D，F两点间的距离是；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．图形的相似参考答案与试题解析1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN 等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．【解答】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，=MN•AC=AM•MC，又S△AMC∴MN==．故选：C．【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N【考点】位似变换．【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．【点评】位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．考查位似图形的概念．3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【考点】相似三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1∵△ABC的周长为18∴△DEF的周长为6．故选C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：∠B=∠1或，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；开放型．【分析】此题属于开放题，答案不唯一．注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可．【解答】解：此题答案不唯一，如∠C=∠2或∠B=∠1或．【点评】此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似．要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题．5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP ∽△BER；（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP=PR，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR=RE．，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6．计算：|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的有关运算法则计算．【解答】解：原式==﹣．【点评】本题考查实数的基本运算，难度适中．7．（2012•遂宁）计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式==．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．8．计算：|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=﹣3+1﹣=﹣2．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形Rt△BCD、Rt△ACD，应利用其公共边DC构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【解答】解：在Rt△BCD中，tan45°==1，∴CD=BC．在Rt△ACD中，tan30°=，∴．∴．∴3CD=CD+10．∴CD=+5≈13.66（米）∴条幅顶端D点距离地面的高度为13.66+1.44=15.1（米）．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：皮尺，标杆；（2）请在图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．【考点】相似三角形的应用．【专题】方案型；开放型．【分析】树比较高不易直接到达，因而可以利用三角形相似解决，利用树在阳光下出现的影子来解决．【解答】解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．【点评】本题运用相似三角形的知识测量高度及考查学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力．本题答案有多种，测量方案也有多种，如（1）皮尺、标杆、平面镜；（2）皮尺、三角尺、标杆．13．我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：作BD⊥AC于D．在Rt△ADB中，sin∠ABD=．∴AD=AB•sin∠ABD=15×sin21°≈5.38米．（3分）∵cos∠ABD=．∴BD=AB•cos∠ABD=15×cos21°≈14.00米．（5分）在Rt△BDC中，tan∠CBD=．∴CD=BD•tan∠CBD≈14.00×tan38°≈10.94米．（8分）∵cos∠CBD=．∴BC=≈≈17.77米（10分）∴AD+CD+BC≈5.38+10.94+17.77=34.09≈34.1米（11分）答：折断前发射塔的高约为34.1米．（12分）注意：按以下方法进行近似计算视为正确，请相应评分．①若到最后再进行近似计算结果为：AD+CD+BC=34.1；②若解题过程中所有三角函数值均先精确到0.01，则近似计算的结果为：AD+CD+BC≈5.40+10.88+17.66=33.94≈33.9．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）求AD的长．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED 全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由三角形ABC为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论AE=AC，用AB﹣AE可求出EB的长，再由（1）∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB﹣CD表示出BD=12﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；（2）∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==．【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，本题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的．灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E（，2），连接AE，ED．（1）求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；（3）经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．【考点】作图﹣位似变换；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质．【专题】压轴题；网格型．【分析】（1）A，E，D三点坐标已知，可用一般式来求解；（2）延长OA到A′，使OA′=3OA，同理可得到其余各点；（3）根据二次项系数是否相同即可判断两个函数是否由平移得到．【解答】解：（1）设经过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c∵A（1，），E（，2），D（2，）（1分）∴，解之，得∴过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=﹣2x2+6x﹣．（4分）（2）如图．（7分）（3）不能，理由如下：（8分）设经过A′，E′，D′三点的抛物线的表达式为y=a′x2+b′x+c′∵A′（3，），E′（，6），D′（6，）∴，解之，得a=﹣2，，∴a≠a′∴经过A′，E′，D′三点的抛物线不能由（1）中的抛物线平移得到．（8分）【点评】一般用待定系数法来求函数解析式；位似变化的方法应熟练掌握；抛物线平移不改变a的值．16．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）由题意可得，供水站建在点M处，根据垂线段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值为MB+MD，求值即可；（2）作点M关于射线OE的对称点M'，则MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，且证明P点与D点重合，即AM'过D点．求出AM'的值即是铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的值；（3）作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM'，可证得N，D两点重合，即M'N过D点．求GM+GD=M'D 的值就是最小值．【解答】解：方案一：由题意可得：∵A在M的正西方向，∴AM∥OE，∠BAM=∠BOE=30°，又∵∠BMA=60°∴MB⊥OB，∴点M到甲村的最短距离为MB，（1分）∵点M到乙村的最短距离为MD，∴将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB线路铺设的长度之和最小，即最小值为MB+MD=3+（km）；（3分）方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M'，则MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，PE∥AM，PE=AM，∵AM=2BM=6，∴PE=3，（4分）在Rt△DME中，∵DE=DM•sin60°=×=3，ME=DM=×，∴PE=DE，∴P点与D点重合，即AM'过D点，（6分）在线段CD上任取一点P'，连接P'A，P′M，P'M'，则P'M=P′M'，∵AP'+P'M'＞AM'，∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小，即最小值为AD+DM=AM'=；（7分）方案三：作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM 于点H，连接GM，则GM=GM'，∴M'N为点M'到OE的最短距离，即M'N=GM+GN在Rt△M'HM中，∠MM'N=30°，MM'=6，∴MH=3，∴NE=MH=3，∵DE=3，∴N，D两点重合，即M'N过D点，在Rt△M'DM中，DM=，∴M'D=（10分）在线段AB上任取一点G'，过G'作G'N'⊥OE于N'点，连接G'M'，G'M，显然G'M+G'N'=G'M'+G'N'＞M'D，∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD线路铺设的长度之和最小，即最小值为GM+GD=M'D=，（11分）综上，∵3+＜，∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．（12分）【点评】此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q 也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D，F两点间的距离是25；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）由中位线定理即可求出DF的长；（2）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；（3）①当点P在EF上（2≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；②当点P在FC上（5≤t≤7）时，PB=PF+BF就可以得到；（4）当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，∵D，F是AC，BC的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴DF=AB=25故答案为：25．（2）能．如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，∵D，F是AC，BC的中点，∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，∴QK过DF的中点O时，即过矩形CDEF的中点，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．故t==．（3）①当点P在EF上（2≤t≤5）时，如图2，QB=4t，DE+EP=7t，由△PQE∽△BCA，得．∴t=4；②当点P在FC上（5≤t≤7）时，如图3，已知QB=4t，从而PB===5t，由PF=7t﹣35，BF=20，得5t=7t﹣35+20．解得t=7；（4）如图4，t=1；如图5，t=7．（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG ∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）【点评】本题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．【解答】解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）【点评】考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理．。
图形的相似练习题
图形的相似练习题相似性是几何学中一个非常重要的概念，它描述了当两个图形形状相似时的关系。
在本文中，我们将探讨几个图形的相似练习题，并解答这些问题。
练习题1：已知三角形ABC和三角形DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E，以及∠C=∠F。
又已知线段AB与线段DE的比例为2:3，线段BC与线段EF的比例为5:7。
证明这两个三角形相似。
解答1：根据已知条件，我们可以得出以下关系：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FAB/DE = 2/3BC/EF = 5/7我们需要证明这两个三角形相似，根据相似性的定义，我们需要证明三个条件：1. 对应角相等（已知条件）2. 对应边的比例相等3. 三角形的形状相似首先，我们可以根据已知条件得出：AB/DE = BC/EF根据等比例的性质，我们知道这意味着三角形ABC和三角形DEF的对应边的比例相等。
其次，我们可以比较相似三角形的其他两对边：AC/DF = AB/DE * BC/EF根据已知条件和等比例的性质，我们可以将上面的等式进一步简化为：AC/DF = (2/3) * (5/7) = 10/21综上所述，我们证明了这两个三角形满足相似性的条件，因此可以得出结论：三角形ABC与三角形DEF相似。
练习题2：已知矩形ABCD的长为8cm，宽为4cm。
在该矩形上作一个相似于矩形ABCD的矩形EFGH，且其长是矩形ABCD的3倍。
求EFGH的宽和周长。
解答2：已知矩形ABCD的长为8cm，宽为4cm。
矩形EFGH是相似于矩形ABCD的，且其长是矩形ABCD的3倍。
我们需要求出矩形EFGH的宽和周长。
根据相似性的定义，我们知道相似的两个矩形的对应边的比例相等。
因此，我们可以得到以下关系：AB/EF = CD/FH = 1/3已知矩形ABCD的长为8cm，宽为4cm，因此我们可以得到：EF = AB * (1/3) = 8 * (1/3) = 8/3 cm所以，矩形EFGH的宽为8/3 cm。
图形的相似练习题
图形的相似练习题1、什么是图形的相似？答：图形的相似是指两个图形形状相同，大小可以不同。
2、什么是相似三角形？答：相似三角形是形状相同，大小不等的两个三角形。
二、基础应用1、下面的两个三角形是相似三角形吗？如果是，请说明理由。
答：是，因为它们的对应角相等，对应边成比例。
2、已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，请找出与它相似的三角形的三边长。
答：与它相似的三角形的三边长可以为6、8、10或者9、12、15等等。
三、提升练习1、在一张纸上画一个正方形，然后在纸上画一个与它相似的正方形。
验证这两个正方形是相似的。
答：在纸上画出两个正方形，通过测量它们的边长和角度来验证它们是相似的。
2、如果一个三角形与一个正方形是相似的，那么这个三角形的三边长有什么特点？答：如果一个三角形与一个正方形是相似的，那么这个三角形的三边长必须满足勾股定理。
四、拓展探究1、如果两个多边形分别是n边形和m边形，且它们是相似的，那么它们的边数有什么关系？答：如果两个多边形分别是n边形和m边形，且它们是相似的，那么它们的边数必须满足n:m=m:n。
2、如果两个图形是相似的，那么它们的其他属性（如面积、周长等）有什么关系？答：如果两个图形是相似的，那么它们的面积的比等于边长的比的平方，周长的比等于边长的比。
一、引言图形的相似是几何学中的一个重要概念，对于理解几何形状的性质和解决几何问题有着至关重要的作用。
为了确保学生对这个概念有深入的理解，我们进行了一次图形的相似单元测试。
以下是对本次测试的详细介绍。
二、测试内容本次测试旨在评估学生对图形相似的定义、性质和判定方法的理解和应用能力。
测试问题涵盖了基本概念、性质理解、判定方法以及应用题等多个方面。
1、基本概念：测试首先要求学生识别和理解图形相似的定义，包括相似图形的定义和性质。
2、性质理解：测试问题涉及图形相似的性质，如相似三角形的对应角相等、对应边成比例等。
3、判定方法：测试包括一些判定图形相似的方法，如利用角度、利用比例等。
图形的相似章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
【考点1 比例线段】【方法点拨】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【例1】（秋•朝阳区校级月考）下面四组线段中，成比例的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10D．a=√2，b=√3，c＝3，d=√2【变式1-1】（•成都模拟）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm【变式1-2】（•龙岗区校级模拟）若a是2，4，6的第四比例项，则a＝；若x是4和16的比例中项，则x＝．【变式1-3】（秋•皇姑区期末）已知四条线段a ，3，a +1，4是成比例线段，则a 的值为 ． 【考点2 黄金分割】【方法点拨】黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．【例2】（•福建模拟）在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB=BC AC，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点，当MN ＝1时，PM 的长是 ． 【变式2-1】（秋•静安区期中）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−12的为（ ） A ．AC BCB ．BC ACC ．BCABD ．AB BC【变式2-2】（春•相城区期末）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ）A ．√5−12B ．√5+12C ．3−√52D ．3+√52【变式2-3】（•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN=GN MG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5【考点3 比例的基本性质】【方法点拨】解决此类问题通常利用设k 法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用. 【例3】（•徐汇区一模）已知：a ：b ：c ＝2：3：5 （1）求代数式3a−b+c 2a+3b−c的值； （2）如果3a ﹣b +c ＝24，求a ，b ，c 的值．【变式3-1】（秋•永登县期末）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a +b +c ＝12，请你探索△ABC 的形状．【变式3-2】（秋•碑林区校级月考）已知2a b+c+d=2b a+c+d=2c a+b+d=2d a+b+c=k ，求k 值．【变式3-3】（秋•雁江区校级月考）已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a+b−c c=a−b+c b=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【考点4 平行线分线段成比例】【方法点拨】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【例4】（•下城区二模）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ；AC 与DF 交于点O ．已知DE ＝3，EF ＝6，AB ＝4． （1）求AC 的长；（2）若BE ：CF ＝1：3，求OB ：AB ．【变式4-1】（•亳州模拟）如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于（ ）A ．103B ．203C ．52D ．152【变式4-2】（•哈尔滨模拟）如图，在△ABC 中，AD ∥BC ，点E 在AB 边上，EF ∥BC ，交AC 边于点F ，DE 交AC 边于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AE BE=AF CFB ．AG GF=DG EGC ．AG GF=AE EBD ．AEAB=AF AC【变式4-3】（秋•平房区期末）已知，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作DE ∥BC ，DH ∥AC 分别交AC 、BC 于点E 、H ，点F 是BC 延长线上一点，连接FD 交AC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AD DB=AE DHB ．CFDE=DH CGC ．FD FG=EC CGD ．CH BC=AE AC【考点5 相似三角形的判定】【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似【例5】（秋•瑞安市期末）如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）A．B．C．D．【变式5-1】（•农安县一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【变式5-2】（秋•顺义区期末）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）A．②④B．②⑤C．③④D．④⑤【变式5-3】（秋•灌云县期末）如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ）A ．（4，2）B ．（6，0）C ．（6，3）D ．（6，5）【考点6 相似三角形的性质（周长）】【方法点拨】掌握相似三角形周长比等于对应边的比是解题关键.【例6】（•利辛县模拟）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 在AD 上，如果∠ABE ＝∠C ，AE ＝2ED ，那么△ABE 与△ADC 的周长比为（ ）A ．1：2B ．2：3C ．1：4D ．4：9【变式6-1】（•海南）如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．24D ．25【变式6-2】（•潍坊）如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE=12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．42【变式6-3】（•平顶山一模）如图，已知平行四边形ABCD ，点E 在DC 上，DE ：EC ＝2：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的周长之比为（ ）A ．4：9B ．1：3C ．1：2D ．2：3【考点7 相似三角形的性质（面积）】【方法点拨】掌握相似三角形面积比是对应边比的平方的性质是解题关键.【例7】（秋•商河县期末）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S△ADE：S △ABC 的值为（ ）A ．1：3B ．1：8C ．1：9D ．1：4【变式7-1】（•海珠区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，且AE =13AD ，连接CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ，则S △BGC ：S 四边形ADCG 的值是（ ）A ．35B ．53C ．57D ．34【变式7-2】（•松桃县模拟）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA ＝1：25，则S △DOE 与S △COE 的比是（ ）A ．1：25B ．1：5C ．1：4D ．1：3【变式7-3】（秋•汝阳县期末）已知如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB于点Q，那么S△CPE：S△ABC＝．【考点8 相似基本模型（A字型）】【方法点拨】基础模型：A字型（平行）反A字型（不平行）【例8】（•松江区一模）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．【变式8-1】（秋•青羊区校级月考）如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长； （2）求FG 的长．【变式8-2】（•东明县模拟）如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3． （1）求CE 的长．（2）在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别是AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．小明认为DP BQ=PE QC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【变式8-3】（•东莞市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC=DF CG．（1）求证：△ADF ∽△ACG ； （2）若AD AC=37，求AF FG的值．【考点9 相似基本模型（X字型）】【方法点拨】基础模型：X字型（平行）反X字型（不平行）【例9】（秋•滨江区期末）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．【变式9-1】（秋•花都区期末）如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；（2）证明：AF2＝FG×FE．【变式9-2】（秋•朔城区期末）如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值【变式9-3】（秋•黄浦区期中）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．【考点10 相似基本模型（AX型）】【方法点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【例10】（•丛台区校级三模）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．【变式10-1】（•江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE=23，求FEEG的值．【变式10-2】（秋•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ． （1）求证：△AFG ∽△CMG ； （2）求证：GF GM=EF EM．【变式10-3】（•黄浦区一模）如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，AB CD=12，BF CF=12．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．【考点11 相似基本模型（作平行线）】【方法点拨】解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题. 基础模型：【例11】（•长丰县一模）如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AF FC为（ ）A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：2【变式11-1】（•金华模拟）如图，D 、E 分别是△ABC 的边BC 、AB 上的点，AD 、CE 相交于点F ，AE =15EB ，BD =13BC ，则CF ：EF ＝ ．【变式11-2】（秋•福田区校级期末）如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是线段AD 上的一点，且AE =13AD ，CE 交AB 于点F ．若AF ＝2cm ，则AB ＝ cm ．【变式11-3】（•青白江区模拟）如图，等边三角形ABC 中，AB ＝3，点D 是CB 延长线上一点，且BD ＝1，点E 在直线AC 上，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为 ．【考点12 相似基本模型（双垂直型）】【方法点拨】直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD ∽△ABC ∽△CBD.【例12】（•越城区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：√13D ．2：√13．【变式12-1】（•张家口模拟）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB=12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【变式12-2】（秋•玉田县期末）边长为1的正方形ABCD ，在BC 边上取一动点E ，连接AE ，作EF ⊥AE ，交CD 边于点F ，若CF 的长为316，则CE 的长为 ．【变式12-3】（•南岗区二模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为．【考点13 相似基本模型（手拉手型）】【方法点拨】基础模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.【例13】（秋•福田区校级期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：3C．√5：2D．2：√3【变式13-1】（秋•昭平县期末）如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（）A．10°B．20°C．40°D．无法确定【变式13-2】（秋•漳浦县期末）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB ＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④【变式13-3】（•亳州模拟）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ． （1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【考点14 相似基本模型（一线三等角型）】【方法点拨】基础模型：如图1，∠B=∠C=∠EDF 推出△BDE ∽△CFD （一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE 推出△ABD ∽△DCE （一线三等角）如图3，特别地，当D 时BC 中点时：△BDE ∽△DFE ∽△CFD 推出ED 平分∠BEF ，FD 平分∠EFC. 【例14】（•肥东县二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED ＝∠B ，则CE 的长为（ ）A ．152B ．223C ．365D ．649【变式14-1】（秋•资阳区期末）如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD ＝60°，BP ＝2，CD ＝1，则△ABC 的边长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式14-2】（秋•杨浦区校级月考）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝5，D 是AB 上一点，BD ＝2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作∠DEF ＝∠B ，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．【变式14-3】（•嘉定区二模）已知：△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上（点E 不与点A 、B 重合），点F 在边AC 上，联结DE 、DF ． （1）如图1，当∠EDF ＝90°时，求证：BE ＝AF ； （2）如图2，当∠EDF ＝45°时，求证：DE 2DF 2=BE CF．【考点15 相似三角形中的动点问题】【例15】（春•文登区期末）如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝8cm ．点P 从点C 出发，以2cm /s 的速度沿CA 向点A 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BC 向点C 匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．（1）求经过几秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的25？（2）经过几秒，△PCQ 与△ABC 相似？【变式15-1】（秋•渭滨区期末）如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝16cm ．点D 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ．连接DE ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜10），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△BDE 的面积为7.5cm 2；（2）在点D ，E 的运动中，是否存在时间t ，使得△BDE 与△ABC 相似？若存在，请求出对应的时间t ；若不存在，请说明理由．【变式15-2】（•晋安区一模）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠B ＝∠ADE ＝∠C ．（1）证明：△BDA ∽△CED ；（2）若∠B ＝45°，BC ＝2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【考点16 相似三角形中的折叠问题】【例16】（•渝中区校级三模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE ＝∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，若BC ＝12，AB ＝20，则CD 的长为（ ）A ．193B ．254C ．258D ．6【变式16-1】（•台安县一模）在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC ．下列结论：①AB ′＝AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D ＝135°；④BB ′＝BC ；⑤AB 2＝AE •AF ．其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式16-2】（•拱墅区二模）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．其中正确的是．（填写正确结论的序号）【变式16-3】（春•文登区期末）已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN•DE＝DM•BM．【考点17 相似三角形的实际应用】【方法点拨】解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利用相似及方程思想有效解决.【例17】（•莲湖区二模）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；③计算树的高度AB；【变式17-1】（•山西一模）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D 处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【变式17-2】（•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【考点18 作图—位似变换】【方法点拨】掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．【例18】（•长丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）．请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；（3）如果点D（a，b）在线段BC上，请直接写出经过（2）的变化后对应点D2的坐标．【变式18-1】（春•文登区期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为．【变式18-2】（春•南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2的坐标为（8，﹣6）．（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是．【变式18-3】（•合肥二模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．。
最新初中数学图形的相似技巧及练习题附答案解析
最新初中数学图形的相似技巧及练习题附答案解析一、选择题1．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（）.A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．2．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OEOF AF=；设B为（a，1a-），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，进而得到222a b=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BE OE OF AF=，设点B 为（a ，1a -），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即222a b =， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b++==++=222214()24b b b b ++=22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（ ）A ．（8，6）B ．（9，6）C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．（10，6）【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．4．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ=，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽， ∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽， ∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．5．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+， 解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==．6．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数ykx=(x＞0)上，OA＝2，AB＝4，则k的值为（）A．4 B．6 C．325D．425【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB22OA AB=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD85=，OD45=求得8545，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，2542CD OD==，∴CD855=，OD45=，∴C(455，855)，∴k325 =，【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．8．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ）A ．20米B ．18米C ．16米D ．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30， ∴旗杆的高=130=152⨯米． 故选：D ．【点睛】 本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴-=，538DE =+=，ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．10．如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2∶3，若三角尺的一边长为8 cm ，则这条边在投影中的对应边长为( )A ．8 cmB ．12 cmC ．16 cmD ．24 cm【答案】B【解析】试题分析：利用相似比为2：3，可得出其对应边的比值为2：3，进而求出即可．解：∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，三角尺的一边长为8cm ，∴设这条边在投影中的对应边长为：x ，则=，解得：x=12．故选B ．考点：位似变换．11．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30 【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V ∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15 ∴44152033S CBA S ACD ==⨯=V V故答案为：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．12．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．13．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，当点C 1、B 1、C 三点共线时，旋转角为α，连接BB 1，交AC 于点D ．下列结论：①△AC 1C 为等腰三角形；②△AB 1D ∽△BCD ；③α＝75°；④CA ＝CB 1，其中正确的是（ ）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2yx =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】 【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD 又∵3AO BO =，2OC CA =∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOFS S =V V∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S ==V ∴4COE S =V∴42k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．15．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A ．2018kB ．2019kC ．20182k k + D ．2019(2)k k +【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．【详解】解：∵AB=AC=1，∴△ABC 的周长为2+k ；△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．故选：D ．【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．16．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．17．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（）A．1 B．1.2 C．2 D．2.5【答案】B【解析】【分析】由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：GH CHAB BC=、GH BHCD BC=，然后两式相加即可．【详解】解：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB，∴GH CHAB BC=，即2GH CHBC=①，∵CD∥GH，∴△BGH∽△BDC，∴GH BHCD BC=，即3GH BHBC=②，①+②，得：123GH GH CH BHBC BC+=+=，解得：61.25GH==．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CB BDCD=D．AD ABAB AC=【答案】C【解析】【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．19．如图，在ABC∆中，,D E分别是边,AB AC的中点，ADE∆和四边形BCED的面积分别记为12,S S，那么12SS的值为（）A．12B．14C．13D．23【答案】C【解析】【分析】根据已知可得到△ADE∽△ABC，从而可求得其面积比，则不难求得12SS的值．【详解】∵,D E分别是边,AB AC的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：2，所以它们的面积比是1：4，所以1211 =413S S= -，故选C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．20．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．考点：相似多边形的性质．。
第四章图形的相似——证明比例式或等积式的技巧 同步练习 北师大版数学九年级上册
“十层相似”———相似十大技巧证明比例式或等积式的技巧“三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出等积式或比例式（或变化后的式子）中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个三角形相似。
通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形 ，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中。
技巧一：三点定型1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ADE ＝∠C ，求证：AD •AB ＝AE •AC ．技巧二：等线段代换2．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥BF ，EF ∥BD ，求证：＝FC DE ．技巧三：等比例代换3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：．技巧四：等积代换4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE•DE．5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：＝．备注：上述技巧不仅用于证明等积式和比例式的题型，还可以灵活使用在其他题型中。
课堂练习1．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE＝120°，求证：BC2＝CE•DB．2．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．求证：（1）△ADE∽△FDB；（2）CD2＝DE•DF．3．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．4．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD •AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若＝，求证：EF•AB＝AC•FB．5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD ＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．6．已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．7．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．（1）求证：AM2＝MF•MH．（2）若BC2＝BD•DM，求证：∠AMB＝∠ADC．8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．（1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE；（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．9．如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO＝CD．（1）求证：AE∥DO；（2）联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：．10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．11．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．（1）求证：AC⊥BE；（2）求证：＝．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．13．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．14．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．15．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．16．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD．18．如图，将矩形ABCD绕点B旋转，点A落到对角线AC上的点E处，点C、D分别落在点F、G处．（1）联结BG、CG，求证：四边形ABGC是平行四边形；（2）联结GE并延长交边AD于点H，求证：AB2＝AD•AH．19．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH．（1）求证：BH＝AB；（2）求证：AH•BG＝AG•BD．。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
图形的相似技巧及练习题含答案
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【详解】
解：连接 ，如图，
为直径，
，
，
，
而 ，
，
，
，
而 ，
，
，
，
在 中， ，
，
， ，
， ，
，
，即 ，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
【详解】
∵AD：AF=3：5，
∴AD：DF=3：2，
∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
解得，CE=4，
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
【解析】
试题分析：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，所以△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF∥BC，EF= BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以 = + =8.
人教版初中数学图形的相似技巧及练习题附答案解析
人教版初中数学图形的相像技巧及练习题附答案分析一、选择题DG1．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG均为正方形，连结CF， DG，则（）CFA．2B．2C．3D．3 3232【答案】 B 【分析】【剖析】连结 AC 和 AF，证明△DAG∽△ CAF可得DG的值．CF【详解】连结 AC 和 AF，则 AD AG 2 ，AC AF2∵∠ DAG=45°-∠ GAC，∠ CAF=45°-GAC，∴∠ DAG=∠ CAF．∴△ DAG∽△ CAF．∴ DG AD 2 ．CF AC2故答案为： B.【点睛】本题主要考察了正方形的性质、相像三角形的判断和性质，解题的重点是结构相像三角形．2．如图，正方形（）．1A．3【答案】 D【分析】【剖析】AO ABCD中， E、F 分别为 AB、BC 的中点， AF 与 DE 订交于点O，则DO B．2 5C．2D．1532由已知条件易证△ADE≌△ BAF，从而进一步得△AOD∽△ EAD．运用相像三角形的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴A E=BF， AD=AB，∠ EAD=∠B=90∴△ ADE≌△ BAF∴∠ ADE=∠ BAF，∠ AED=∠ BFA∵∠ DAO+∠ FAB=90，∠ FAB+∠ BFA=90，∴∠ DAO=∠ BFA，∴∠ DAO=∠ AED∴△ AOD∽△ EAD∴AO AE1DO AD2应选： D【点睛】本题考察了正方形的性质，全等三角形的判断与性质，相像三角形的判断与性质．3．如图，在Rt△ABC中，∠ C＝ 90°， AC＝ 3，BC＝ 4，点 D 是 AB 的中点，点P 是直线 BC 上一点，将△BDP沿 DP 所在的直线翻折后，点 B 落在 B1处，若 B1D⊥ BC，则点 P 与点 B之间的距离为（）A ．1B ．5C ．1或3D ．5或54 4【答案】 D 【分析】 【剖析】分点 B 1 在 BC 左边，点 B 1 在 BC 右边两种状况议论，由勾股定理可 AB=5，由平行线分线段成比率可得 BDBE DE 1 ，可求 BE ， DE 的长，由勾股定理可求 PB 的长． ABBCAC 2【详解】解：如图，若点B 1 在 BC 左边，∵∠ C=90°，AC=3，BC=4，∴AB= AC 2 BC 2 5 ∵点 D 是 AB 的中点，∴ B D= 1BA= 522∵B 1D ⊥ BC ，∠ C=90°∴B 1D ∥ AC∴BDBEDE1AB BCAC 2∴ B E=EC=1BC=2， DE=1 AC=322 2∵折叠∴B 1D=BD= 5， B 1P=BP2∴B 1E=B 1D-DE=1∴在 Rt △B 1PE 中， B 1 P 2=B 1E 2+PE 2， ∴BP 2=1+（ 2-BP ） 2，∴ B P= 54如图，若点 B 1 在 BC 右边，∵B1E=DE+B1D= 3+5，22∴B1E=4在 Rt△EB1P 中， B1P2=B1E2+EP2，∴BP2=16+（ BP-2）2，∴BP=5应选： D．【点睛】本题考察了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．本题难度适中，注意数形联合思想的应用，注意折叠中的对应关系．4．在 Rt△ABC中，∠ BAC＝ 90°， AD 是△ABC的中线，∠ ADC＝45°，把△ADC沿 AD 对折，使点 C 落在 C′的地点， C′D 交 AB 于点 Q，则BQ）的值为（AQA．2B．32D．3 C．2 2【答案】 A【分析】【剖析】依据折叠获得对应线段相等，对应角相等，依据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出 AD＝ DC＝BD， AC＝ AC′，∠ ADC＝∠ ADC′＝ 45°， CD＝ C′D，从而求出∠ C、∠ B 的度数，求出其余角的度数，可得AQ＝ AC，将BQ转变为BQ，再由相像三角形和等腰直角AQ AC三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，∵∠ ADC＝ 45°，∴△ ADE 是等腰直角三角形，即AE＝ DE＝2AD，2在 Rt△ABC中，∵∠ BAC＝ 90°， AD 是△ABC的中线，∴AD＝ CD＝ BD，由折叠得： AC＝ AC′，∠ ADC＝∠ ADC′＝ 45°， CD＝ C′D，∴∠ CDC′＝45°+45°＝ 90°，∴∠ DAC＝∠ DCA＝（ 180°﹣ 45°）÷2＝67.5 °＝∠ C′AD，∴∠ B＝90°﹣∠ C＝∠ CAE＝ 22.5 °，∠ BQD＝ 90°﹣∠ B＝∠ C′QA＝ 67.5 °，∴AC′＝ AQ＝ AC，由△AEC∽△ BDQ 得：BQ＝BD，AC AEBQ＝BQ＝AD＝2AE＝2．∴AQ AC AE AE应选： A．【点睛】考察直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相像三角形的性质和判断等知识，合理的转变是解决问题的重点．5．如图，已知点A（ 4，0）， O 为坐标原点，P 是线段 OA 上随意一点（不含端点O，A），过 P、 O 两点的二次函数极点分别为 B、 C，射线 OB 与之和等于（）y1和过 P、 A 两点的二次函数 y2的图象张口均向下，它们的AC 订交于点 D．当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值A．5B．45C． 3D． 4 3【答案】 A【分析】【剖析】【详解】过 B 作 BF⊥OA 于 F，过 D 作 DE⊥OA于 E，过 C作 CM⊥OA 于 M，∵ B F ⊥ OA ， DE ⊥ OA ，CM ⊥ OA ，∴BF ∥ DE ∥ CM ．∵ O D=AD=3， DE ⊥ OA ，∴ O E=EA=1OA=2．2由勾股定理得： DE=5 ．设 P （ 2x ， 0），依据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥ DE ∥ CM ，∴△ OBF ∽△ ODE ，△ACM ∽△ ADE ．BF OF CMAM BF x CM2 x ∴OE ，，即5 2，，解得：DEDE AE52BF5?x ， CM5 2 x ．22∴BF+CM= 5 ．应选 A ．6．矩形 ABCO 如图摆放，点B 在 y 轴上，点C 在反比率函数 yk (x ＞ 0)上， OA ＝ 2，ABx＝4，则 k 的值为（）32 42 A ．4B ． 6C ．D ．55【答案】 C【分析】【剖析】依据矩形的性质获得∠A=∠ AOC=90°，OC=AB ，依据勾股定理获得OBOA 2 AB 2 2 5 ，过 C 作 CD ⊥ x 轴于 D ，依据相像三角形的性质获得8 5 4 58 5 4 5CD， OD5，求得C(， )于是获得结论．555【详解】解：∵四边形 ABCO 是矩形，∴∠ A ＝∠ AOC ＝ 90°， OC ＝AB ，∵OA ＝2， AB ＝ 4，∴过 C 作 CD ⊥ x 轴于 D ，∴∠ CDO ＝∠ A ＝ 90°，∠ COD+∠ COB ＝∠ COB+∠AOB ＝ 90°，∴∠ COD ＝∠ AOB ，∴△ AOB ∽△ DOC ，∴OB AB OA ， OCCD OD∴ 2 542 ， 4CD OD∴CD8 5，OD4 5 ，55∴ C (4 5，8 5)，5 532 ∴k，5应选： C ．【点睛】本题考察了反比率函数图象上点的坐标特色，反比率函数的性质，矩形的性质，相像三角形的判断和性质，正确的作出协助线是解题的重点．7．如图，在正方形ABCD 中，AB3 ，点M在 CD的边上，且DM1， AEM与ADM对于AMADMA90°获得ABF接 EF，则cosEFC的值是 （）A．1713B．613C．715D．6 65652517【答案】 A【分析】【剖析】过点 E 作HG//AD，交 AB 于 H，交 CD 于 G，作 EN BC 于 N，第一证明VAEH : VEMGEH AE1x ，则 EH 3x ，，则有EM，设 MGMG3DG AH1x ，在 RtVAEH 中利用勾股定理求出x 的值，从而可求EH , BN , CG , EN 的长度，从而可求FN，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos EFC FN即可求解．EF【详解】过点 E 作HG//AD，交 AB 于 H，交 CD 于 G，作 EN BC 于 N，则AHG MGE 90 ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD AB3, ABC C D90 ，∴四边形 AHGD,BHEN,ENCG都是矩形．由折叠可得，AEM D90 ,AE AD3,DMEM 1，AEH MEG EMG MEG90，AEH EMG ，VAEH : VEMG ，EH AE1．MG EM3设 MG x ，则 EH 3x ， DG AH 1 x在 RtVAEH 中，Q AH2EH 2AE 2，(1 x)2 (3x)232，解得 x 41 （舍去），或 x5EH BN 12，CG CD DG EN65．5Q BF DM1FN BF BN 175．在 Rt△ EFN 中，由勾股定理得，EF EN2FN 213 ，FN17．cos EFC13EF65应选： A．【点睛】本题主要考察正方形，矩形的性质，相像三角形的判断及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出协助线是解题的重点．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （ ―3， 6）、B （ ―9，一 3），以原点 O 为位似中心，相像比为，把 △ABO 减小，则点 A 的对应点 A ′的坐标是（ ）A ．（ ―1，2）B ．（ ―9， 18）C ．（ ―9，18）或（ 9，― 18）D ．（ ―1， 2）或（ 1， ―2） 【答案】 D【分析】【剖析】【详解】试题剖析：方法一：∵△ABO 和 △A ′B ′O 对于原点位似，∴△ ABO ∽△ A ′B ′O 且OA'＝1.OA3∴ AE ＝0E＝ 1.∴ A ′E ＝ 1 AD ＝ 2， OE ＝ 1 OD ＝ 1.∴ A ′（－ 1,2） .同理可得 A ′′（1, ―2） .AD 0D333方法二：∵点 A （ ―3， 6）且相像比为 1，∴点 A 的对应点 A ′的坐标是（ ―3×1，331 6× ），∴ A ′（－ 1,2） .3∵点 A ′′和点 A ′（－ 1,2）对于原点 O 对称，∴ A ′′（1, ―2） .故答案选 D.考点：位似变换.9．如图，□ ABCD的对角线 AC， BD 交于点 O， CE均分∠ BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且∠ ABC＝ 60°， AB＝2BC，连结 OE．以下结论：① EO⊥ AC；②S△AOD＝4S△OCF；③ AC：BD ＝21： 7；④ FB2＝ OF?DF．此中正确的选项是（）A．①②④【答案】 B【分析】【剖析】① 正确．只需证明② 错误．想方法证明B．①③④C．②③④D．①③EC=EA=BC，推出∠ ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．BF=2OF，推出 S△BOC=3S△OCF即可判断．③正确．设BC=BE=EC=a，求出 AC， BD 即可判断．④正确．求出BF， OF， DF（用 a 表示），经过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB， OD=OB， OA=OC，∴∠ DCB+∠ABC=180°，∵∠ ABC=60°，∴∠ DCB=120°，∵EC均分∠ DCB，1∴∠ ECB=∠ DCB=60°，2∴∠ EBC=∠BCE=∠ CEB=60°，∴△ ECB是等边三角形，∴E B=BC，∵ AB=2BC ，∴EA=EB=EC ，∴∠ ACB=90°，∵ O A=OC ， EA=EB ，∴OE ∥BC ，∴∠ AOE=∠ ACB=90°，∴EO ⊥ AC ，故 ① 正确，∵OE ∥BC ，∴△ OEF ∽△ BCF ，∴OE OF 1，BCFB2∴ O F= 1OB ，3∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故 ② 错误，设 BC=BE=EC=a ，则 AB=2a ， AC= 3 a ，OD=OB= a2( 3 a)27a ，22∴BD= 7 a ，∴AC ：BD= 3 a ： 7 a= 21 ： 7，故 ③ 正确，∵OF= 1 O B=7a ，36∴ B F= 7a ，327 2 ， OF?DF= 77 7 72∴BF = 9aa?aaa ，6269∴ B F 2=OF?DF ，故 ④ 正确，应选： B ． 【点睛】本题考察相像三角形的判断和性质，平行四边形的性质，角均分线的定义，解直角三角形，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．10． 如图，将图形用放大镜放大，应当属于 ( )．A ．平移变换B ．相像变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】 B【分析】【剖析】依据放大镜成像的特色，联合各变换的特色即可得出答案．【详解】解：依据相像图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状同样，大小不同样，因此属于相像变换．应选： B ．【点睛】本题考察的是相像形的辨别，重点要联系图形，依据相像图形的定义得出．11． 如图，在 ABC 中， D , E 分别是边 AB, AC 的中点，ADE 和四边形 BCED 的面积分别记为S 1, S 2 S 1的值为（ ），那么 S 2A ．1 1 1 2B ．4C ．D ．233【答案】 C【分析】【剖析】依据已知可获得 △ADE ∽△ ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得S 1的值．S 2【详解】∵ D , E 分别是边 AB, AC 的中点，∴DE ∥BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴DE ：BC=1： 2，因此它们的面积比是 1： 4，因此S1=11，S2 4 13应选 C．【点睛】本题考察了三角形的中位线定理和相像三角形的性质：（1）相像三角形周长的比等于相像比；（ 2）相像三角形面积的比等于相像比的平方；（3）相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于相像比．12．（ 2016 山西省）宽与长的比是5 1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴2藏着丰富的美学价值，给我们以协调解均匀的美感．我们能够用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD、 BC 的中点 E、 F，连结 EF：以点 F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交 BC 的延伸线于点 G；作 GH⊥ AD，交 AD 的延伸线于点 H，则图中以下矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D【分析】【剖析】先依据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再依据DF=GF求得 CG 的长，最后依据CG与 CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．【详解】解：设正方形的边长为2，则 CD=2， CF=1在直角三角形 DCF 中，DF12225FG5CG51CG51CD2∴矩形 DCGH为黄金矩形应选： D．【点睛】本题主要考察了黄金切割，解决问题的重点是掌握黄金矩形的观点．解题时注意，宽与长的比是51的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形 ABGH 也为黄金矩形．213． 如图， △AOB 是直角三角形，∠ AOB ＝ 90°， △AOB 的两边分别与函数y 1, y 2 的xx图象交于 B 、 A 两点，则等于（ ）2 1 13 A ．B ．C ．D ．2243【答案】 A【分析】【剖析】过点 A,B 作 AC ⊥ x 轴 ,BD ⊥x 轴 ,垂足分别为 C,D.依据条件获得 △ACO ∽△ ODB.依据反比率函S OBD( OB1 1利用相像三角形面积比等于相像比 数比率系数 k 的几何意义得出 )2＝ 2 ＝S AOC OA12的平方得出OB2OA2【详解】∵∠ AOB ＝90°，∴∠ AOC+∠ BOD ＝∠ AOC+∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠ BOD ，∴△ ACO ∽△ BDO ，∴S OBD (OB ) 2 , S AOC OA∵S △1 △1 1 ，AOC ＝2×2＝1， S BOD ＝2×1＝2∴ (OB )2＝ 1 2＝OA1∴ OB 2 ，OA 2应选 A ．1 ，2【点睛】本题考察了反比率函数图象上点的坐标特色和相像三角形的判断与性质，解题重点在于做协助线，而后获得相像三角形再进行求解14．已知线段 MN ＝ 4cm，P 是线段 MN 的黄金切割点，MP＞NP，那么线段MP 的长度等于（）A．（ 2 5 +2）cm B．（ 2 5 ﹣2）cm C．（ 5 +1）cm D．（ 5 ﹣1）cm 【答案】 B【分析】【剖析】依据黄金切割的定义进行作答.【详解】由黄金切割的定义知，MP 5 1，又 MN=4 ，因此， MP=2 5 2. 因此答案选 B.MN2【点睛】本题考察了黄金切割的定义，娴熟掌握黄金切割的定义是本题解题重点.15．如图，Rt ABO中，AOB290 ， AO 3BO ，点B在反比率函数y的图象x上， OA 交反比率函数y k0的图象于点 C ，且 OC2CA ，则 k 的值为（k）xA．2B．4C．6D．8【答案】 D【分析】【剖析】过点 A 作 AD ⊥x 轴，过点 C 作 CE ⊥x 轴，过点B 作 BF ⊥ x 轴，利用 AA 定理和平行证得△COE ∽△ OBF ∽△ AOD ，而后依据相像三角形的性质求得SVBOF (OB )2 1 ，S VOAD OA9 SVCOE(OC 24SVBOF2 1 ，从而求得SV AOD)，依据反比率函数比率系数的几何意义求得2OA9S VCOE 4 ，从而求得 k 的值．【详解】解：过点 A 作 AD ⊥ x 轴，过点 C 作 CE ⊥ x 轴，过点 B 作 BF ⊥ x 轴 ∴CE ∥ AD ，∠ CEO=∠BFO=90° ∵AOB 90∴∠ COE+∠ FOB=90°，∠ ECO+∠ COE=90°∴∠ ECO=∠ FOB∴△ COE ∽△ OBF ∽△ AOD又∵ AO 3BO ， OC2CA∴ OB1 ， OC 2OA3 OA3∴ SV BOF (OB )21 ， SVCOE (OC )2 4SVOADOA9SVAODOA 9S VCOE4∴SV BOF∵点 B 在反比率函数y2的图象上x∴SV BOF 212∴ S V COE 4∴ k4 ，解得 k= ±82又∵反比率函数位于第二象限， ∴ k =-8应选： D ．【点睛】本题考察反比率函数的性质和相像三角形的判断和性质，正确增添协助线证明三角形相像，利用数形联合思想解题是重点．16．如图，已知△ABC， D、 E 分别在边AB、 AC 上，以下条件中，不可以确立△ADE∽△ ACB 的是（）A．∠ AED＝∠ B B．∠ BDE+∠ C＝ 180 °C． AD?BC＝ AC?DE D． AD?AB＝ AE?AC【答案】C【分析】【剖析】A、依占有两组角对应相等的两个三角形相像，进行判断即可；B：依据题意可获得∠ ADE=∠ C，依占有两组角对应相等的两个三角形相像，进行判断即可；C、依据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像，进行判断即可；D、依据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像，进行判断即可．【详解】解： A、由∠ AED=∠ B，∠ A=∠A，则可判断△ADE∽△ ACB；B、由∠ BDE+∠ C=180°，∠ ADE+∠ BDE=180°，得∠ ADE=∠ C，∠ A=∠ A，则可判断△ADE∽△ ACB；C、由AD?BC=AC?DE，得不可以判断△ADE∽△ ACB,一定两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像.D、由AD?AB=AE?AC得，∠ A=∠ A，故能确立△ADE∽△ ACB，应选：C．本题考察了相像三角形的判断：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像（注意，必定是夹角）；有两组角对应相等的两个三角形相像．17． 如图，在 □A BCD 中， E 、F 分别是边 BC 、CD 的中点， AE 、 AF 分别交 BD 于点 G 、 H ，则图中暗影部分图形的面积与 □ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】 B 【分析】 【剖析】依据已知条件想方法证明【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， AB=CD ， AD=BC ， ∵ D F=CF ， BE=CE ，∴ DHDF1 ， BG BE 1 ， HBAB2 DG AD2∴ DHBG 1 ， BDBD3∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ， ∴S 平行四边形 ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ： S 平行四边形 ABCD =1： 6， ∵E 、 F 分别是边 BC 、 CD 的中点 ,∴EF 1, BD 2S VEFC1∴S V BCDD 4,SVEFC1∴8 ,S 四边形 ABCDSV AGHSVEFC1 1 7∴6 824 =7∶24,S四边形ABCDBG=GH=DH ，即可解决问题；【点睛】本题考察了平行四边形的性质、平行线分线段成比率定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．18．如图， AB∥ GH∥CD，点 H 在 BC 上， AC 与 BD 交于点 G， AB=2， CD=3，则 GH 长为（）A．1B． 1.2C． 2D． 2.5【答案】 B【分析】【剖析】由 AB∥ GH∥ CD可得：△CGH∽△ CAB、△BGH∽△ BDC，从而得：GHCH 、AB BCGH BH CD ，而后两式相加即可．BC 【详解】解：∵ AB∥GH，∴△ CGH∽△ CAB，∴GHCH ，即 GH CH① ，AB BC2BC∵CD∥ GH，∴△ BGH∽△ BDC，∴GHBH，即GHBH② ，CD BC3BCGH GH CH BH1，解得： GH 61.2 ．① +②，得：3BC BC52应选： B．【点睛】本题考察了相像三角形的判断和性质，属于基本题型，娴熟掌握相像三角形的判断和性质是解题的重点．19．两个相像三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm ，85cm【答案】 CB． 60cm， 100cm C． 75cm， 115cm D． 85cm， 125cm 【分析】【剖析】依据相像三角形的周长的比等于相像比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为（x+40） cm，人教版初中数学图形的相似技巧及练习题附答案解析由题意得，x15，40 x 23解得， x=75，则 x+40=115，应选 C．20．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣ 4， 2）， F（﹣ 2，﹣ 2），以原点 O 为位似中心，相像比为，把△EFO减小，则点 E 的对应点 E′的坐标是A．（﹣ 2， 1）B．（﹣ 8， 4）C．（﹣ 8，4）或（ 8，﹣ 4）D．（﹣ 2，1）或（ 2，﹣ 1）【答案】 D【分析】试题剖析：依据位似的性质，减小后的点在原点的同侧，为（-2,1），而后求在另一侧为（2， -1）．应选 D考点：位似变换。
判断图形相似练习题
判断图形相似练习题在几何学中，判断图形相似是一个非常重要的概念。
相似的图形具有相同的形状但尺寸不同，通过比较它们的边长比例可以得出它们是否相似。
下面，我们将提供一些图形相似的练习题，帮助你巩固对这一概念的理解。
练习题1：给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，边长比例为AB：DE=1：2。
判断这两个三角形是否相似。
解答1：根据题目已知条件可得∠A=∠D，∠B=∠E，以及边长比例AB：DE=1：2。
根据相似三角形的性质，如果两个三角形的对应角相等且相应边的比例相等，那么它们是相似的。
练习题2：给定两个矩形ABCD和EFGH，已知AB=3cm，DC=6cm，EF=4cm，判断这两个矩形是否相似。
解答2：根据矩形的性质，对角线相等的四边形是矩形。
所以我们可以先计算两个矩形的对角线长度：AC和EG。
根据勾股定理，AC的长度为√(AB^2+DC^2)=√(3^2+6^2)=√45≈6.71cm；EG的长度为√(EF^2+FG^2)=√(4^2+6^2)=√52≈7.21cm。
由于AC和EG的长度不相等，因此两个矩形并不相似。
练习题3：给定两个圆O和P，已知O的半径为4cm，P的半径为8cm，判断这两个圆是否相似。
解答3：由于圆没有边长之类的概念，我们不能直接用边长比例判断两个圆是否相似。
相似的圆是指半径相等或者半径的比例相等的圆。
在这个例子中，圆O的半径为4cm，圆P的半径为8cm。
它们的半径之比为4：8=1：2。
根据相似圆的定义，我们可以得出结论：圆O和圆P是相似的。
通过以上练习题的解答，我们对判断图形相似练习题有了更深入的理解。
相似的图形有着相同的形状，但尺寸可能不同。
通过比较对应角的相等性以及边长比例的关系，我们能够准确判断图形是否相似。
熟练掌握这些概念对于几何学的学习和实际应用非常重要。
图形的相似知识点总结及练习
图形的相似知识点总结及练习1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m：n例：已知线段AB=2、5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。
2、比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。
（2）比例性质1、基本性质: （两外项的积等于两内项积）2、反比性质：(把比的前项、后项交换)3、更比性质(交换比例的内项或外项)：4、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变、）如果，那么、注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零、 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立、例：已知5、合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）、知识点二：平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
用符号语言表示：∵AD//BE//CF,∴ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF2、推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
（1）是“A”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找几何语言：由DE∥BC可得：、此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行、例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,AGGC=23，则DFDC=_______。
知识点三：相似形多边形1、定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。
2、相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。
小学四年级形的相似练习题
小学四年级形的相似练习题题目一：图形的相似1. 下面两个图形中，哪一个是另一个的放大缩小？(图片A) (图片B)2. 根据图片A中的图形，画出一个与其相似但更大的图形。
3. 根据图片B中的图形，画出一个与其相似但更小的图形。
4. 根据图片A中的图形，找出相似图形的特征，写下相似的规律。
5. 根据图片B中的图形，找出相似图形的特征，写下相似的规律。
题目二：相似图形的判断1. 以下哪个图形与给定图形相似？将选项填入括号内。
(图片C) (图片D)a) (图片C) b) (图片D) c) 既不是(图片C)也不是(图片D)2. 将给定图形向右平移2个单位，得到了新的图形E，判断图形E 与给定图形是否相似。
a) 相似 b) 不相似3. 将给定图形顺时针旋转90度，得到了新的图形F，判断图形F与给定图形是否相似。
a) 相似 b) 不相似4. 将给定图形按照比例放大1.5倍，得到了新的图形G，判断图形G与给定图形是否相似。
a) 相似 b) 不相似5. 将给定图形按照比例缩小0.5倍，得到了新的图形H，判断图形H与给定图形是否相似。
a) 相似 b) 不相似题目三：相似图形的比例关系1. 已知图形I是图形J的相似图形，图形I的面积是图形J的4倍，那么图形I的边长与图形J的边长的比值是多少？2. 已知图形K是图形L的相似图形，图形L的周长是图形K的3倍，那么图形K的边长与图形L的边长的比值是多少？3. 已知图形M是图形N的相似图形，图形N的周长是图形M的6倍，那么图形M的面积与图形N的面积的比值是多少？4. 已知图形O是图形P的相似图形，它们的边长比是2:5，那么图形O的周长与图形P的周长的比值是多少？5. 已知图形Q是图形R的相似图形，它们的面积比是3:4，那么图形Q的边长与图形R的边长的比值是多少？题目四：相似图形的判断与应用1. 判断下面两个图形是否相似，并给出理由。
(图片S) (图片T)2. 将图形U按照比例缩小0.8倍得到图形V，图形U的边长为16cm，求图形V的边长。
(完整版)图形的相似题型总结,推荐文档
（2）如图，已知在△ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，
【回顾知识点】
DE∥BC，EF∥AB，且 AD：DB=3：5，那么 CF：CB 等于（ ）
A．5：8 B．3：8
C．3：5 D．2：5
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 1、 比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质
△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有__________条。
（3）如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 重合），分别以 AC、BC 为
一腰在 AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD 与
∠BCE 都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于点
3
2、如果 a 3 ，那么
a
等于 ( )A．3：2 B．2：3
C． 3： 5
b2
ab
D． 5： 3
（3）若 a b b c c a k ，则 k 的值为（ ）
c
a
b
A．2 B．-1 C．2 或-1 D．不存在
题型二：黄金分割的考查
例 2、已知点 C 为线段 AB 的黄金分割点，且 AC=1cm，则线段 AB 的长为
A、 4 :10 : 25
B、 4 : 9 : 25
C、 2 : 3 : 5
D、 2 : 5 : 25
5、东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是 176cm，东东的身高是 156cm，在同一
时刻爸爸的影长是 88cm，那么东东的影长是
cm．
6、△ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点 O
《图形的相似》典型例题、习题精选
《图形的相似》典型例题、习题精选典型例题1.给出下列大小不同的4对几何图形:?两个圆;?两个长方形;?两个菱形;?两个正六边形;请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单说明理由(分析:两个菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，两个长方形对应角相等，但对应边不一定成比例(解:??是相似图形，??不是相似图形点拨:相似图形应同时满足:(1)对应角相等;(2)对应边的比相等，缺一不可(2.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF//BC，EF将梯形ABCD分成两个相似的梯形，为梯形AEFD和梯形EBCF，若AD = 3，BC = 4，则EF的长是多少,分析:因为梯形AEFD与梯形EBCF相似，所以它们的对应边的比相等，即=，所以2EF = AD•BC;因为AD = 3，BC = 4，所以EF = 2解:EF = 2点拨:灵活运用相似多边形对应边的比相等的性质(3.如图所示，判断哪些是形状相同的图形(分析:判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有任何差异时，我们才说这两个图形形状相同(和(5)，(2)和(6)，(3)和(4)是形状相同的图形( 解:(1)点拨:两个边数不一样的图形，绝对不会是形状相同的图形(4.已知四边形ABCD相似于四边形A’B’C’D’，如图，求出?A与x的值(分析:因为这两个四边形相似，所以可知对应角相等，对应边成比例，从而可得?A与x的值(解:?四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似A =?A’，=又??A’= 107º，AB = 5，AD = 4，A’B’= 2A = 107º，=，?x =(点拨:一定要注意相似图形中的对应关系(习题精选选择题:1(RtΔABC的两条直角边分别为3cm、4cm，与它相似的RtΔA’B’C’(相似比为整数)的周长为( )A( 48cm B( 28cm C( 12cm D( 10cm答案:A说明:不难得出RtΔABC的斜边长为5cm，因为RtΔA’B’C’与RtΔABC相似，所以对应边应成比例，因此，可设RtΔA’B’C’的两直角边分别为3k、4k，斜边为5k，则它的周长为3k+4k+5k = 12k，且k为整数，因此，不难从四个选项中看出符合条件的选项应该是A，答案为A(2(下列说法中正确的是( )A(两个平行四边形一定相似B(两个菱形一定相似C(两个等腰直角三角形一定相似D(两个矩形一定相似答案:C说明:两个平行四边形对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以不一定相似，A错;两个菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，B 错;两个等腰直角三角形，直角边与斜边的比都是1:，两直角边的比都是1:1，三个角的度数为45º，45º，90º，所以，它们的对应边成比例，对应角相等，即两个等腰直角三角形一定相似这个说法正确;两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，所以D错;答案为C(3(如果一个矩形与它的一半矩形是相似形，那么大矩形与小矩形的相似比是( )(A(:1 B(:2 C(2:1 D(1:2答案:A说明:小矩形是大矩形的一半，可设原矩形的长为a，宽为b，则一半矩形的长为b，宽为a，因为原矩形和一半矩形相似，所以=，可化简为=，所以答案为A(4(如图中每个正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列选项中的三角形(阴影部分)与?ABC相似的是( )(答案:A说明:A选项中的三角形与ΔABC的对应边的比都等于，其它选项中的三角形与ΔABC的对应边的比不相等，故选A(5(如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使ΔDEM与ΔABC相似，则点M应是F、G、H、K四点中的( )A(F B(G C(H D(K答案:C说明:由题图易知AB = 4，AC = 6，DE = 2，因为ΔDEM与ΔABC相似，所以=，所以DM = 3，M点应该是H点(6(如图，是李连做的一个风筝的支架，AB = 40cm，BP = 60cm，ΔABC与ΔAPQ的相似比是( )A(3:2 B(2:3 C(2:5 D(3:5答案:C说明:相似多边形的对应边的比等于它的相似比，即AB:AP = 40:(40+60) = 2:5，所以选C(解答题:1(小颖的妈妈为小颖缝制了一个长50cm，宽30cm的矩形坐垫，又在坐垫的周围缝上了一圈宽3cm的花边，妈妈说:“里外两个矩形是相似形(”小颖说:“这两个不是相似形(”你认为谁说得对,说明你的理由(解:小颖说得对，这两个矩形不相似(理由:里边矩形长为50cm，宽为30cm;外边矩形长为56cm，宽为36cm，而对应边50:56?30:36，即对应边的比不相等，两个矩形不是相似形，所以小颖说得对(2(在一块长和宽分别为3m和2m的矩形塑料板四周镶上一根木条，若在长边上镶的木条的宽为0.5m，则要使木条内缘围成的矩形与木条外缘围成的矩形相似，在宽边上镶的木条的宽应是多少,解答:设宽边上镶的木条宽xm，则有=，解之得x = 0.75故宽边上镶的木条宽0.75m(3(如图，在矩形ABCD中，AB = 2AD，线段EF = 10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH，矩形MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似，且AB 边对应MF边，令MN = x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值,最大值是多少,解:因为矩形MFGN与矩形ABCD相似，所以=MN = x，所以MF = 2x，EM = EF?MF = 10?2x 又因为AB = 2AD，22 S = x(10?2x) = ?2x+10x = ?2(x?)+ 矩形EMNH所以当x =时，S有最大值为(。
《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学
专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（ ）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（ ）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（ ）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（ ）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（ ）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（ ）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与 相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。
图形的相似 例题详解+模拟练习
图形的相似例题详解+模拟练习【典型例题】例1. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC.分析：熟练掌握相似三角形的判定方法，进行尝试选择. 解：结合判定方法补充条件为：∠1＝∠B或∠2＝∠C，或AD AE AB AC=.例2. 如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC＝6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为14，试求AD、AE的长.分析：不要忘了分类!注意本题中AD可以和AB对应，也可以和AC对应.解：（1）当△ADE∽△ABC时，14 AD AEAB AC==.∵AB＝8，AC＝6，∴AD＝2，AE＝32.（2）当△ADE∽△ACB时，14 AD AEAC AB==.∵AB＝8，AC＝6，∴AD＝32，AE＝2.例3. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB、BC的中点.EF与BD相交于点M.（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM.分析：由条件易证得四边形CBED是平行四边形，利用对应边互相平行可证得三角形相似，再根据对应边的比相等进行计算.证明：（1）∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又∵AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形，∴CB∥ED，∴∠EDB＝∠DBF，∠DEM＝∠BFM，∴△DEM∽△BFM.（2）∵△DEM∽△BFM，∴DM DE BM BF.∵F是BC的中点，∴DE＝2BF，∴DM＝2BM，∴BM＝13DB＝13×9＝3.例4. 某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在BMC AMD ∆∆和地带种植单价为10元/米2的太阳花，当AMD ∆地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在BMC ∆地带种植同样的太阳花，资金是否够用?并说明理由.分析：可以通过面积大小的对比计算一下，若继续在BMC ∆地带种同种太阳花所需资金是否超过2000元即可.解：梯形ABCD 中，AD ∥BC AMD ∆⇒∽BMD ∆，AD ＝10，BC ＝2041)2010(2==∆∆BMC AMD S S ∵22200)(5010500m S m S BMC AMD =∴=÷=∆∆，还需要资金200×10＝2000（元），而剩余资金为2000－500＝1500＜2000，所以资金不够用.例5. 两个全等的含30 ，60 角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC，试判断EMC△的形状，并说明理由．分析：当梯形中有腰的中点时，常常考虑再取另一腰的中点构造梯形中位线去解决问题.解：EMC△的形状是等腰直角三角形．理由：取CE的中点N，连结MN.∵M是BD的中点，∴MN∥DE，MN＝12（DE＋BC）.∵∠DEA＝90O，∴MN⊥EC，∴ME＝MC.∵DE＝AC，AE＝BC，∴MN＝12（AC＋AE）＝12EC，∴EMC△是直角三角形.即EMC△的形状是等腰直角三角形.例 6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答.位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质.设荧屏距镜头为xcm，由题意可得20 3.5200x=，解得80007x=（cm）即807x=（m）.答：荧屏应拉在离镜头807m的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏.例7. 下列说法中不正确的是（）A. 位似图形一定是相似图形；B. 相似图形不一定是位似图形；C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行分析：本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C•正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误.例8. 在AB ＝30m ，AD ＝20m 的矩形ABCD 的花坛四周修筑小路.（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A ′B•′C ′D ′和矩形ABCD 相似吗？请说明理由.（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似？请说明理由.分析：因为矩形每个角都为90°，所以判断矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等. 解：①当x ≠0时，30302'''',20202x A B A D x AB AD+≠∴≠+， 故矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD•不相似②当''''A B A D AB AD=时，是矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似， 所以3030220202y x+=+，解得x y ＝23例9. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD ＝x ，CE ＝y. （1）如果∠BAC ＝30°，∠DAE ＝105°，试确定y 与x 之间的函数关系式；（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y 与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由.分析：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系. 解：在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝•∠ACB ＝75°，∠ABD ＝∠ACE ＝105°.又∠DAE ＝105°，∴∠DAB ＋∠CAE ＝75°.• 又∠DAB ＋•∠ADB ＝∠ABC ＝75°， ∴∠CAE ＝∠ADB ，∴△ADB ∽△EAC ， ∴1,1AB BD x EC AC y ==即，∴y ＝1x. 当α，β满足β－2α ＝90°，y ＝1x 仍成立.此时∠DAB ＋∠CAE ＝β－α，∴∠DAB ＋∠ADB ＝β－α， ∴∠CAE ＝∠ADB.又∵∠ABD ＝∠ACE ，∴△ADB ∽△EAC ，∴y ＝1x.例10. 阅读下面的短文并回答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a ：b ）.设S 甲、S 乙 分别表示这两个立方体的表面积，则222)(66b aba S S ==乙甲，又设V 甲、V 乙 分别表示这两个立方体的体积，则333)(bab a V V ==乙甲.（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）A. 两个球体B. 两个圆锥体C. 两个圆柱体D. 两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于__________ ；②相似体表面积的比等于________________ ；③相似体体积的比等于________________________ .（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米.问他的体重是多少（不考虑不同时期人体平均密度的变化）?分析：（1）球面上任一点到球心的距离都等于半径，球的表面积与半径的平方成正比，球的体积与半径的立方成正比，且球的三视图是全等的圆，故球体一定是相似体；（2）从题目的内容看，两个相似体的相似比为a ：b ，则表面积的比是相似比的平方，体积比是相似比的立方；（3）人体的体重与体积和密度有关，不考虑密度的情况下，体重与体积成正比，体积的比等于相似比（人体身高的比）的立方.解：（1）A.（2）①相似比.②相似比的平方.③相似比的立方.（3）设他的体重是xkg ，则根据题意得31.65()18 1.1x = ，得x ＝60.75（kg ）. 赏析：将“相似”的概念从平面扩展到空间后，情况会发生什么变化呢?实际上这也不是个很复杂的问题，因为阅读材料中明确地告诉我们：相似体的“一切对应线段之比都等于相似比”.重要的信息它就明摆在那儿，就看你能否收集到它，并加以分析处理，从而用以解决问题.【模拟试题】1. 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 交对角线AC ，BD 于M ，N 两点，若EF ＝18cm ，MN ＝8cm ，则AB 的长是（ ） A. 10cm B. 13cm C. 20cm D. 26cm2.如图所示，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则图中共有相似三角形（ ）.A. 4对B. 5对C. 6对D.7对3. 如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影长为CD ，AB•∥CD ，•AB ＝2m ，CD ＝5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则点P 到AB 的距离是（ ）.A.56610 (6)753mB mC mD m 4. 如图，把△PQR 沿着PQ 的方向平移到△P ′Q ′R ′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR 面积的一半，若PQ ＝2，则此三角形移动的距离PP ′是（ ）.A. 12B.22C. 1D. 2－15. 如图，小明想用皮尺测量池塘A ，B 之间的距离，但现在利用皮尺无法直接测量到这一距离.学习了数学的有关知识后，他想出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 两点的点O ，连接OA ，OB ，分别在OA ，OB 上取中点C ，D ，连接CD ，并测得CD ＝a ，由此他就知道了AB 间的距离是（ ）.A.12a B. 2a C. a D. 3a6. 如图，已知△ABC ∽△DBE ，AB ＝6，DB ＝8，则S △ABC ：S △DBE ＝________.7. 由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的______.8. 如图，△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BC ＝4，请你建立适当的直角坐标系，并写出A 、B 、C 各点的坐标.9. 某市有A 、B 、C 、D 四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，请建立适当的直 角坐标系并写出四个超市相应的坐标.10.方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，•我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”.图中的△ABC 是格点三角形，•在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为（－1，－1）.（1）把△ABC 向左平移8格后得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1的图形并写出点B 1的坐标. （2）把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A 2B 2C ，画出△A 2B 2C 的图形并写出点B 2的坐标. （3）把△ABC 以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，•画出△AB 3C 3的图形.11. 如图，李华晚上在路灯下散步，已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝•O’P′＝L，两灯柱之间的距离OO′＝m.（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他的影子AC的长.（2）若李华在两路灯之间行走．．．．．．．，则他前后的两个影子的长度之和（DA＋AC）是否是定值？请说明理由.【试题答案】1. D 点拨: AB ＝2MF ，MF ＝MN ＋NF ，则NF ＝（EF －MN ）÷2＝5cm ，MF ＝13cm ，AB ＝26cm.2. C 点拨: 本题考查对相似三角形的判定和识图能力，由已知△BFH ∽△BAG ，△BFH ∽△CDH ，△BFH ∽△CEG ，△BAG ∽△CEG ，△BAG ∽△CDH ，△GCE ∽△HCD.共6对.3. C4. D 点拨: 本题涉及平移与相似三角形的性质，平移后重叠三角形与△PQR 相似，且面积比为1:2，则边长比为1:2， P ′Q ＝1，则PP ′＝2－1.5. B 点拨: ∵CD 是OA ，OB 的中点，∴△OCD 与△OAB 相似比为1:2.6. 9:16 点拨: 利用相似三角形的性质，29()16ABC DBE S AB S BD ∆∆==. 7. 14 点拨: 中位线围成的三角形的各边长是原三角形边长的12. 8. 答案不唯一， 可以是以BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴.∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，故y 轴必经过A 点，∠BCA ＝∠ABC ＝30°，BO ＝OC ＝12BC ＝2，•在Rt △AOC 中，利用勾股定理得A （0，332），B （－2，0），C （2，0）. 9. 答案不唯一，例如，以D 为坐标原点，建立直角坐标系，各点相应的坐标为A （10，7），B （6，－1），C （－2，5），D （0，0）.10. （1）画出△A 1B 1C 1的图形，如图所示，点B 1的坐标为（－9，－1）.（2）画出△A 2B 2C 的图形如图所示，点B 2的坐标为（5，5）.（3）画出△AB 3C 3的图形如图所示，答案不唯一.11. （1）由已知:AB ∥OP ， ∴△ABC ∽△OPC ， ,,,,,.AC AB OC OPOP l AB h OA a AC h ah AC a AC l l h ====∴=∴=+- （2）∵AB ∥OP ， ∴△ABC ∽△OPC ，∴,,AB AC h AC h AC OP OC l OC AC l h OA ===--即即＝h l h-， ∴AC ＝h l h -·OA ， 同理可得DA ＝h l h -·O ′A. ∴DA ＋AC ＝h l h -（OA ＋O ′A ）＝hm l h-是定值.。
图形的相似初三练习题较难
图形的相似初三练习题较难相似是数学中一个重要的概念，也是几何学中常见的一个概念。
在初三学习中，相似图形的题目往往难度较高，需要我们掌握一些基本的相似性质和定理，并运用它们解决一些复杂的问题。
下面，我将通过一些练习题来帮助大家深入理解相似图形。
练习题1：已知△ABC与△DEF相似，且AB/DE = 2/3，BC/EF = 4/9，求AC/DF的值。
解析：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。
所以可以得到以下等式：AB/DE = BC/EF = AC/DF已知AB/DE = 2/3，BC/EF = 4/9，代入以上等式，可以得到：2/3 = 4/9 = AC/DF通过简单的计算，可以得到AC/DF的值为2/3。
练习题2：已知图中的四边形ABCD和矩形EFGH相似，且AB/EF = 3/2，BC/FG = 3/4，求CD和GH的比值。
解析：根据相似图形的性质，我们知道相似四边形的对应边的比例相等。
所以可以得到以下等式：AB/EF = BC/FG = CD/GH已知AB/EF = 3/2，BC/FG = 3/4，代入以上等式，可以得到：3/2 = 3/4 = CD/GH通过简单的计算，可以得到CD和GH的比值为3/2。
练习题3：已知△ABC与△DEF相似，且AB/DE = 5/7，AC/DF = 3/4，求BC/EF的值。
解析：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。
所以可以得到以下等式：AB/DE = AC/DF = BC/EF已知AB/DE = 5/7，AC/DF = 3/4，代入以上等式，可以得到：5/7 = 3/4 = BC/EF通过简单的计算，可以得到BC/EF的值为15/7。
练习题4：已知图中的四边形ABCD和矩形EFGH相似，且AB/EF = 4/3，BC/FG = 5/9，求CD和GH的比值。
解析：根据相似图形的性质，我们知道相似四边形的对应边的比例相等。
初中数学图形的相似技巧及练习题附答案(1)
初中数学图形的相似技巧及练习题附答案(1)一、选择题1．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ）A ．20米B ．18米C ．16米D ．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30， ∴旗杆的高=130=152⨯米． 故选：D ．【点睛】 本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．2．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）A ．2244x y+= B ．2244x y -= C ．2288x y -= D ．2288x y+= 【答案】A【解析】【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，∵EF 垂直平分CD ， ∴CE ＝12CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝GE CE＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，∴∠ACD ＝∠FCE ，∴△CEG ∽△FEC ，∴GE CE ＝CE FE， ∴y ＝2FE， ∴y 2＝24FE ， ∴24y＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，∴24y＝x 2﹣4， ∴24y+4＝x 2， 故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,3,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ， 故可得242CD x x =-+又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 2223422342x x x x -+=-+ 故可得： 23343y x x =+ 即呈二次函数关系，且开口朝下．故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.4．如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上一点，2DE AE =，连接BE ，交AC 边于点F ，下列结论中错误的是（ ）A ．3BC AE =B ．4AC AF = C ．3BF EF =D ．2BC DE =【答案】D【解析】【分析】 由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．【详解】解：∵在ABCD Y 中，//AD BC ，AD BC =，∴AEF CBF V :V , ∴AE AF EF CB CF BF==, ∵2DE AE = ∴332BC DE AE ==，选项A 正确，选项D 错误， ∴133AF AE AE CF CB AE ===，即：3CF AF =， ∴4AC AF =，∴选项B 正确， ∴133EF AE AE BF CB AE ===，即：3BF EF =， ∴选项C 正确，故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．5．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x上一点，k 的值是（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】C【解析】【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽， ∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽， ∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q点Q在反比例函数的图象上，4416k∴=⨯=，故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q的坐标是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.7．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C==，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）A ．AD DE DB BC = B ．BF EF BC AB = C ．AE EC FC DE =D ．EF BF AB BC = 【答案】C【解析】【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.【详解】解：如图所示：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD AD BC AB DB=≠， ∴答案A 错舍去；∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C=≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ，∴AE DE EC FC=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．9．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD ：AF=3：5，∴AD ：DF=3：2，∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AD BC DF CE =，即362CE=， 解得，CE=4，故选B ．【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．2B 3C 15±D 15+ 【答案】D【解析】【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】解：∵1AB =，设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF AD DF AB =，即111x x =-，解得：112x +=，212x -=（不合题意，舍去）经检验x =，是原方程的解．∴AD =． 故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．11．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．不变 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A 的大小不变，∴锐角A 的余弦值不变，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．，2，A B C '''∆的两边长分别是1，如果ABC ∆与A B C '''∆相似，那么A B C '''∆的第三边长应该是（ ）A B ．2 C D【答案】A【解析】【分析】根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．【详解】解：根据题意，易证ABC ∆∽△A B C '''，且相似比为：2:1，∴△A B C '''的第三边长应该是22=． 故选：A ．【点睛】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，关键就是要清楚对应边是谁．13．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则FE EC＝（ ）A ．12B ．13C ．14D ．38【答案】C【解析】【分析】连接OE 、OF 、OC ，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF ＝∠FOE ，证明△EOF ∽△ECO ，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：连接OE 、OF 、OC ．∵AD 、CF 、CB 都与⊙O 相切，∴CE ＝CB ；OE ⊥CF ； FO 平分∠AFC ，CO 平分∠BCF ．∵AF ∥BC ，∴∠AFC+∠BCF ＝180°，∴∠OFC+∠OCF ＝90°，∵∠OFC+∠FOE ＝90°，∴∠OCF ＝∠FOE ，∴△EOF ∽△ECO ，∴=OE EF EC OE ，即OE 2＝EF•EC ． 设正方形边长为a ，则OE ＝12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝14a ． ∴EF EC ＝14． 故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.14．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，当点C 1、B 1、C 三点共线时，旋转角为α，连接BB 1，交AC 于点D ．下列结论：①△AC 1C 为等腰三角形；②△AB 1D ∽△BCD ；③α＝75°；④CA ＝CB 1，其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，得到△ABC ≌△AB 1C 1，根据全等三角形的性质得到AC 1=AC ，于是得到△AC 1C 为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C 1=∠ACC 1=30°，由三角形的内角和得到∠C 1AC=120°，得到∠B 1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB 1B=30°=∠ACB ，于是得到△AB 1D ∽△BCD ；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C 1AB 1=∠BAC=45°，推出∠B 1AC=∠AB 1C ，于是得到CA=CB 1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，∴△ABC ≌△AB 1C 1，∴AC 1＝AC ，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【解析】【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D．故选D ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．16．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A ．2018kB ．2019kC ．20182k k + D ．2019(2)k k +【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．【详解】解：∵AB=AC=1，∴△ABC 的周长为2+k ；△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．故选：D ．【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．17．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 长为（ ）A ．1B ．1.2C ．2D ．2.5 【答案】B【解析】【分析】由AB ∥GH ∥CD 可得：△CGH ∽△CAB 、△BGH ∽△BDC ，进而得：GH CH AB BC =、GH BH CD BC =，然后两式相加即可． 【详解】解：∵AB ∥GH ，∴△CGH ∽△CAB ，∴GH CH AB BC =，即2GH CH BC =①， ∵CD ∥GH ，∴△BGH ∽△BDC ，∴GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得：123GH GH CH BH BC BC +=+=，解得：6 1.25GH ==． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V ∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15 ∴44152033S CBA S ACD ==⨯=VV 故答案为：A ．【点睛】 本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．19．平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）．已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ′，B ′，C ′．若△ABC 的面积为S 1，△A ′B ′C ′的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为（ ）A ．S 112=S 2B ．S 114=S 2C ．S 1＝2S 2D ．S 1＝4S 2【答案】D【解析】【分析】先根据点P 及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P （a ，b ）经过变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）知， 此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC 的面积与△A ′B ′C ′的面积比为4：1，∴S 1＝4S 2，故选：D ．【点睛】 本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．20．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，AF 与DE 相交于点O ，则AO DO=（ ）．A．13B25C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=90︒∴△ADE≌△BAF∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA∵∠DAO+∠FAB=90︒，∠FAB+∠BFA=90︒，∴∠DAO=∠BFA，∴∠DAO=∠AED∴△AOD∽△EAD∴12 AO AE DO AD==故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．。
专题05 图形的相似重难点题型专训(6大题型)(解析版)
专题05图形的相似重难点题型专训（6大题型）【题型目录】题型一比例的性质题型二线段的比题型三成比例线段题型四由平行判断成比例的线段题型五由平行截线求相关线段的长或比值题型六黄金分割【知识梳理】知识点一、线段的比与成比例线段线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．成比例线段四条线段a、b、c、d中，如果dcba，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段．知识点二、比例的性质知识点三、黄金分割黄金分割若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果ACBCABAC，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为618.0215．知识点四、相似图形相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理【经典例题一比例的性质】约分即可求解．【经典例题二线段的比】第二次裁剪所得矩形的长为第三次裁剪所得矩形的长为第四次裁剪所得矩形的长为第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，AC【答案】34/0.75为线段我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图且12EF OE ，连接OF ；以F 为圆心，EF 交OE 于点P ．根据材料回答下列问题：(1)根据作图，写出图中相等的线段：________(2)求OP 的长；(3)求证：点P 是线段OE 的黄金分割点．【答案】(1)EF FH ，OH OP (2)51OP (3)见解析【分析】（1）由题意知，EF FH ，OH （2）由勾股定理得225OF OE EF （3）由51OP ，可得2251OP235625OE PE ，则2OP OE 【详解】（1）解：由题意知，EF FH ，OH 故答案为：EF FH ，OH OP ；（2）解：∵EF OE ，∴90OEF ∵2OE ，【经典例题三成比例线段】是线段【经典例题四由平行判断成比例的线段】九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）如图，直线A．103B．152【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出【详解】解：∵a b c∥∥，∴AB DEAC DF，A．BH AGBC ADB．EG AGCD AD【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．【答案】54【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：∵直线123l l l ∥∥45AD BC DF CE ，5CE【答案】6【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得后根据平行线分线段成比例定理，可得【详解】解：∵AD平分，∴EAD CAD(1)求证：AG CG ；(2)求证：2CGE BDN (3)若4BD DG ，GP 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3AG a【分析】（1）证明ABG （2）先证明DAF GPD NDC DCP BDN BDC NDC （3）证明PM PC ，得出【经典例题五由平行截线求相关线段的长或比值】A．14B【答案】A【分析】根据a b∥可得BGA．3 20【答案】A【分析】过点F作FG∥由FG BN∥,得BF NG【答案】5:3:2【分析】首先过点M作MK点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得【详解】解：过点M作MK∵M是AC的中点，∴MN NK AN AMEC EF AE AC∵E、F为BC的三等分点，，∴BE EF FC【答案】16【分析】过点D 作DG ::BD CD EG CG 的值．∵:1:3AF FD ，BD ∴::AF FD AE EG ∴3EG AE ，EG ∴3EC EG CG(1)如果4AB ，8BC ，(2)如果:2:3DE EF ，AB 【答案】(1)6(2)15【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到（2）由平行线分线段成比例定理得到392BC AB ，即可得到【详解】（1）解：如图，∵123l l l ∥∥，∴AB DE BC EF，∵4AB ，8BC ，EF【经典例题六黄金分割】【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．上找一点51 51【答案】8516【分析】设AC m ，BD n ，根据【答案】1555【分析】根据黄金分割的定义，得2PA BP AB ，构建方程计算求解．【详解】解：根据题意，2PA BP AB ；∴2(10)10BP BP【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以(1)【操作判断】根据以上操作，直接写出图3中AGGB的值：______；(2)【问题解决】请判断图3中四边形BG MG的形状，并说明理由．(3)【拓展应用】我们知道：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP 割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片ABCD的宽AB为【重难点训练】A ．5B 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵a b ∥∥A． 454【答案】A【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键．【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得AB∵，8cm5AP AB故选：A．3．（2022上·山西运城形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形接EF，以FD为半径画弧，A．1个B．2个BG A ．259B ．27【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作FH BC ∥交CD 于H ，则DH HC 根据勾股定理得25AE ，所以【详解】解：如图，作FH ∥则45DH DF HC FG ，E ∵为CD 边中点，19HE ED ，FH AD ∵∥，19FE HE AE DE ，224225AE ∵，259FE ．故选：A ．5．（2023上·浙江·九年级周测）如图，点D ，与BC 的垂线CE 相交于点A ．3:2B ．5:3【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，4FC BC BF ，再根据DF ∥【详解】∵BE 平分ABC ，∴ABD FBD ，∵DF BC ，90A ，∴90DFB A ，【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念8．（2023上·浙江金华，，上，连结AB BC CACF三角形的中位线的判定及性质的综合应用，∵点B 和点F 关于直线DE ∴BD DF BF DE ，，∵AD DF ，∴AD BD DF ，∴,DBF DFB DAF 又DBF DFB DAF ∴ 2180DFB DFA ∴90,DFB DFA 即∴DE AC ∥，∴BD BE AD CE，∵AD BD ，∴BE CE ，∴132BE BC ，在Rt ABF 与Rt CBF △，由勾股定理可得：2222BF AB AF FB CB ，∴2222AB AF CB CF ∵56AB AC BC ，，【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设行四边形的性质可得AD ∥【详解】解：设FD x ，由2AF FD ，则2AF x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∥，AB CD ∥，2233AE AF x EC BC x ，23BE AE EG EC ，∵2BE ，223EG ，3EG ，故答案为：3．10．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，矩形形ABNM 和矩形CDMN ．（1）若矩形CDMN 与矩形的长是，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个设正方形ABCD 的边长为在Rt BCF 中，BF 则2QF BF BQ 设AP PQ x ，则PD 在Rt QPF 和Rt DGF 有222FQ PQ DF 解得512x ，即点P 是AD 的黄金分割点（2）方法如图所示:第一步：对折矩形纸片第二步：再一次折叠纸片，使点14．（2023上·四川内江·九年级统考期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是黄金矩形ABCD 的宽1AB (1)黄金矩形ABCD 的长BC ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．【答案】(1)512(2)矩形DCEF 为黄金矩形，理由见解析(3)点D 到线段AE 的距离为1024【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．（1）根据512AB BC ，AB ，即可求解；（2）先求出512FD EC AD ，再求出DF EF 的值，即可得出结论；（3）连接AE ，DE ，过D DG AE 于点G ，根据1AB EF ，512AD，得出再根据12AED G S AD EF AE D ，即可求解．∵1AB EF ，AD∴22112AE ，在AED △中，12AED S 即AD EF AE DG ，则51122DG ，解得1024DG ，∴点D 到线段AE 的距离为15．（2022上·山西运城·九年级统考期中）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．下面是小宇同学运用面积的思想对进行了证明．证明：如图，分别连接EB DC ，．设点E 到AB 的距离为1h ，点D 到AC 的距离为2h ，ADE BDE S S 111212AD h BD h AD BD ，ADE DEC S S …任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在ABC 中，DG EC ∥，【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理的证明与应用：（1）根据两条平行线之间的距离处处相等，可得（2）直接利用平行线分线段成比例定理即可证明．【详解】（1）证明：如图，分别连接设点E 到AB 的距离为1h 则111212ADE BDE AD h S AD S DB BD h 221212ADE DEC AE h S AE S EC EC h ，设点B 到直线DE 的距离为∵DE BC ∥，点C 到直线DE 的距离与点∴12BDE DEC S S DE m ∴ADE BDE S S ADE DECS S ，∴ADDB AE EC．（2）证明：∵DG EC ∥∴AD AG DE GC，。
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图形的相似技巧及练习题一、选择题1．在平面直角坐标系中，把△ABC的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF，把△DEF与△ABC相比，下列说法中正确的是()A．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的1 3B．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍C．△DEF的面积为△ABC面积的12倍D．△DEF的面积为△ABC面积的1 12【答案】A 【解析】【分析】【详解】解：△DEF与△ABC相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF的面积为△ABC面积的169，故选A.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，D是AB边上一个动点（不与点A、B重合），E是BC边上一点，且∠CDE＝30°．设AD＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2，∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，故可得242CD x x =-+,又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 即222342,2342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343.633y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.3．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】 证明△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可推导得出AC 2=AD•AB ，由此即可解决问题.∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.4．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝21：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③【答案】B【解析】【分析】①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，∴∠DCB+∠ABC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∵EC平分∠DCB，∴∠ECB=12∠DCB=60°，∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴EB=BC，∴EA=EB=EC ，∴∠ACB=90°，∵OA=OC ，EA=EB ，∴OE ∥BC ，∴∠AOE=∠ACB=90°，∴EO ⊥AC ，故①正确，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ， ∴12OE OF BC FB == ， ∴OF=13OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误，设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(72)a a +， ∴7a ，∴AC ：3a 7217，故③正确，∵OF=13OB=76a ， ∴BF=73a ， ∴BF 2=79a 2，7a•7779⎫=⎪⎪⎝⎭ a 2， ∴BF 2=OF•DF ，故④正确，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．5．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm =，20EF cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB 是（ ）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D∴△ADEF∽△DCB∴BC DC EF DE=∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m∴80.20.4BC=解得：BC=4∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为（）A．1 B．54C．1或 3 D．54或5【答案】D【解析】【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得12BD BE DEAB BC AC===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【详解】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=225AC BC+=∵点D是AB的中点，∴BD=12BA=52∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC∴12 BD BE DEAB BC AC===∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32∵折叠∴B1D=BD=52，B1P=BP∴B1E=B1D-DE=1∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，∴BP=5 4如图，若点B1在BC右侧，∵B1E=DE+B1D=32+52，∴B1E=4在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP 2=16+（BP-2）2，∴BP=5故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．7．如图Rt ABC V 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，D 为BC 上一动点，DE BC ⊥，当BD CE =时，BE 的长为（ ）．A ．52B ．125C ．5158D ．3418【答案】D【解析】【分析】利用90ABC ∠=︒，DE BC ⊥得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解,,BD DE 再利用勾股定理计算即可．【详解】解：90,ABC ∠=︒Q DE BC ⊥，//,DE BA ∴,CED CAB ∴∆∆:,CE CD ED CA CB AB∴== 90,4,3,ABC AB BC ∠=︒==Q 5,AC ∴=设,BD x = Q BD CE =，,3,BD CE x CD x ∴===-3,534x x ED -∴== 3155,x x ∴=-15,8x ∴=158,54ED ∴= 3,2ED ∴= Q DE BC ⊥， 2222153341()().828BE DB DE ∴=+=+=故选D ．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键．8．如图，边长为4的等边ABC V 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE V 的面积是( )A 3B 3C 33D ．23【答案】A【解析】【分析】 由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．【详解】Q 等边ABC V 的边长为4，2ABC 3S 443∴==V Q 点D ，E 分别是ABC V 的边AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC V 的中位线，DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2=， 即AD AE DE 1AB AC BC 2===， ADE ∴V ∽ABC V ，相似比为12， 故ADE S V ：ABC S 1=V ：4， 即ADE ABC 11S S 43344==⨯=V V ， 故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．9．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变【答案】D【解析】【分析】 如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=22为定值，即可解决问题． 【详解】解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，则△BEO ∽△OFA ，∴BE OE OF AF=，设点B 为（a ，1a -），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即222a b =， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b++==++=222214()24b b b b ++=22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．10．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．11．平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（）A．S112=S2B．S114=S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2【答案】D【解析】【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）知，此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，∴S1＝4S2，故选：D．【点睛】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.13．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．14．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B 【解析】【分析】如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出2()COF AOES OC S OA∆∆=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ， ∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ，∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12，∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0，∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】D【解析】【分析】 利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D ．故选D ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．16．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOFS S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S ==V ∴4COE S =V∴42k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．17．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ，∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =V V , ∴18EFCABCD S S =V 四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=V V 四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．18．若△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A 'B 'C '，若△ABC 的面积为4，则△A 'B 'C '的面积是（ ）A ．9B ．6C ．5D ．2【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A ′B ′C ′，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴214()150%9ABC A B C S S '''==+V V ， ∵△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．19．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,AB AC 的中点，ADE ∆和四边形BCED 的面积分别记为12,S S，那么12SS的值为（）A．12B．14C．13D．23【答案】C【解析】【分析】根据已知可得到△ADE∽△ABC，从而可求得其面积比，则不难求得12SS的值．【详解】∵,D E分别是边,AB AC的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：2，所以它们的面积比是1：4，所以1211=413SS=-，故选C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．20．如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，AOBV是直角三角形，90AOB∠=︒，2OB OA=，点B在反比例函数2yx=上，若点A在反比例函数kyx=上，则k的值为()A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x =上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA =∴12OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅=∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．。