函数单调性极值最值与凹凸性拐点_1

解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x 3 , y x 0 0, 但在( ,)上单调增加. 例如,
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
极小值 f ( 3) 22.
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件)设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; (1)当 '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
若在(a , b)内， ( x ) 0, f
则 f ( ) 0,
(1) f ( x0 ) lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 证
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
函数极值及其求法
一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、小结 思考题
一、函数极值的定义
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是
(a , b )内的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式.
思考题
若 f (0) 0 ，是否能断定 f ( x ) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 例 f ( x) x 0, x0
1 f (0) lim (1 2 x sin ) 1 0 x 0 x 1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x x0
点 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 , 但函数的驻点却不一定 是极值点.
y x 3 , y x 0 0, 例如,
但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , x 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在x0 处取得极小值. 有 ' (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x ) 符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
例2 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间.
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
当 x
1
1 ( 2 k ) 2 4 f ( x ) 1 0 1 ( 2 k ) 2
时，
0.075 0.05 0.025
-0.1
-0.05 -0.025 -0.05 -0.075
0.05
0
1 当 x 2k 时，
f ( x ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [ 2, ).
例3
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 D : ( , ).
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号.
Leabharlann Baidu
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
二、 确定下列函数的单调区间：
10 1、 y ； 3 2 4x 9x 6x 2 2、 y 3 ( 2 x a )(a x ) 3、 y x sin 2 x .
a ( 0 )；
三、证明下列不等式： 1、当 x 0 时，1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 ； 2、当 x 4 时，2 x x 2 ； 1 3 3、若 x 0 ，则sin x x x . 6 四、方程 ln x ax (a 0) 有几个实根.
练习题答案
[ 一、1、( ,1], [ 3, ) 单调增加, 1,3] 单调减少； 2、增加,( ,1], [1, ) 3、( ,1] ,[1, ) ；[ 1,0 ), ( 0,1]; ( , 1], ( 0,1]. 1 二、1、在( ,0), ( 0, ], [1,) 内单调减少, 2 1 在[ ,1]上单调增加； 2 2 2、在( , a ], [a ,) 内单调增加, 3 2 在[ 3 a , a ] 上单调减少；
练习题
一、填空题： 1、函数 y 2 x 3 6 x 2 18 x 7 单调区间为________ _____________. 2x 2、函数 y 在区间[-1,1]上单调________， 2 1 x 在_________上单调减. 2 2 3、函数 y x ln x 的单调区间为____________， 单减区间为_____________.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数,且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点即方程 f ( x ) 0 的实根)叫 (
做函数 f ( x ) 的驻点.
函数单调性的判定法
一、单调性的判别法 二、单调区间求法
三、小结 思考题
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
o
a
f ( x ) 0
b
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在( a, b )内可 导（1） . 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
( x ) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3) f
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
(1,3)

3
0
极 小 值
( 3, )


0
极 大 值



极大值 f (1) 10,
a, 五、设 f ( x ) 在[a, b ]上连续，在( b )内 f ( x ) ,试证 x x 明：对于[a, b ]上任意两 1 ， 2 有 x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) f( ) [提示：方法（1） 2 2 f ( x ) 0 ， f ( x ) 单增；方法（2） f ( x ) 0 ， 利用泰勒公式]
0
y
y
o
x0

x

x0
o
x
(是极值点情形)
y

y


o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; 导数不存在的点
(3)这些点将定义域分成若 干区间并判断 ' ( x)符号 f
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
k k 3、在[ , ]上单调增加, 2 2 3 k k 在[ , ] 上单调减少,( k 0,1, 2, ) . 2 3 2 2 1 四、(1)a 时没有实根； e 1 (2) 0 a 时有两个实根； e xe 1 (3)a 时只有 一个实根. e
所以，函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值. 解
f ( x ) 3 x 2 6 x 24 3( x 4)( x 2)
x2 2.
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 4,
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).