小学奥数第1讲最值问题(含解题思路)
小学五年级奥数关于最值问题的讲解
【导语】“最⼩、最多最少、最长最短等问题”称之为“最值问题”，最值问题是普遍的应⽤类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，涉及类⽬⼴泛，是数学、物理中常见的类型题⽬。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助！【篇⼀】 最值问题 【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，⼜要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最⼩的代价取得的效益。
这类应⽤题叫做最值问题。
【数量关系】⼀般是求值或最⼩值。
【解题思路和⽅法】按照题⽬的要求，求出值或最⼩值。
例1在⽕炉上烤饼，饼的两⾯都要烤，每烤⼀⾯需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟? 解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了⼀⾯，这时将第⼀块饼取出，放⼊第三块饼，翻过第⼆块饼。
再过3分钟取出熟了的第⼆块饼，翻过第三块饼，⼜放⼊第⼀块饼烤另⼀⾯，再烤3分钟即可。
这样做，⽤的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2在⼀条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千⽶，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到⼀个煤场⾥，每吨煤运1千⽶花费1元，集中到⼏号煤场花费最少? 解我们采⽤尝试⽐较的⽅法来解答。
集中到1号场总费⽤为1×200×10+1×400×40=18000(元) 集中到2号场总费⽤为1×100×10+1×400×30=13000(元) 集中到3号场总费⽤为1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元) 集中到4号场总费⽤为1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元) 集中到5号场总费⽤为1×100×40+1×200×30=10000(元) 经过⽐较，显然，集中到5号煤场费⽤最少。
四年级奥数之最值问题
【课前小练习】
本讲主线 1. 最值中的三个常用方法 2. 两数和一定，差小积大
数字和是6的无重复数字 的多位数中，最大的是 多少？
1. 整体思想：比如，比较大小先看位数，再由高到底比较位置. 2. 局部调整思想 3. 平均分配思想 【例1】(★★) 电视台要播放一部30集的电视连续剧，如果要求每天播放的集数互不 相等 该电视剧最多可以播放几天？ 相等，该电视剧最多可以播放几天？
1
4. 两数和一定，差越小乘积越大. 例如，a＋b＝10，那么，a×b最大等于____. 例如，一根绳子长度是20米，那么这根绳子围城的 ， ，那 长方形，长和宽分别是多少的时候，长方形的面积 最大？
知识要点屋
a b
【例5】(★★★★) 如图，一个长方形被分成 4 个小长方形，其中长方形A、B、大 是___平方厘米．
【例4】(★★★) 牧羊人用15段，每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形羊圈，则 羊圈 最 羊圈的最大面积是多少平方米？ 多少平 米
最值问题 1. 整体方法，局部调整方法，平均数方法. 2. 两数和一定，差越小乘积越大. (1) 固定长度的绳子，围成正方形面积最大； (2) ( ) 当和不确定时，凑算式，使和变为一个定值. 和 确 时， 算式，使和变 个 值 【今日讲题】 例2 例3 例4 例2，例3，例4 【讲题心得】
知识大总结
a b
答案
墙
【课前小练习】①531, 47 ② 222 【例1】 7 【例2】 19， 517 【例3】 55， 15， 1， 5 【例4】 112 【例5】16
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五年级奥数最值问题
五年级奥数最值问题一、最值问题题目及解析。
（一）题目1。
1. 题目。
用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大，这两个三位数分别是多少？2. 解析。
要想让乘积最大，较大的数应在高位。
所以百位分别为6和5；十位分别为4和3；个位分别为2和1。
根据“和一定，差小积大”的原则，两个数为631和542时乘积最大。
（二）题目2。
1. 题目。
将1 - 9这九个数字填入下面的九个方格中，使得三个三位数的乘积最大，该怎么填？□□□×□□□×□□□.2. 解析。
要使得乘积最大，就要让每个因数都尽可能大。
首先百位分别为9、8、7；十位分别为6、5、4；个位分别为3、2、1。
按照“和一定，差小积大”的原则，最大的组合是941×852×763。
（三）题目3。
1. 题目。
一个长方形的周长是20厘米，它的长和宽都是整数厘米，那么这个长方形面积的最大值是多少平方厘米？2. 解析。
长方形周长 = 2×（长 + 宽），已知周长为20厘米，则长+宽=10厘米。
长和宽是整数，当长 = 5厘米，宽 = 5厘米（此时为正方形，正方形是特殊的长方形）时面积最大，面积为5×5 = 25平方厘米。
（四）题目4。
1. 题目。
有10个互不相同的自然数，它们的和是55，其中最大的数最大可能是多少？2. 解析。
要使最大的数最大，那么其他的数就要尽可能的小。
最小的9个自然数为0、1、2、3、4、5、6、7、8，它们的和为0 +1+2+3+4+5+6+7+8 = 36。
那么最大的数为55 - 36=19。
（五）题目5。
1. 题目。
若干个连续自然数的和是1994，这些自然数中最小的一个数是多少？2. 解析。
设这些连续自然数中最小的数为n，共有m个连续自然数。
根据等差数列求和公式S=((n + n + m - 1)m)/(2)=1994，即(2n+m - 1)m = 3988。
小学奥数——最值问题
最值问题一、例题讲解例题1．把1、2、3……16分别填进图中16个三角形里，使每边上的7个小三角形里的数之和相等，问：这个和的最大值是多少？例题2．一把钥匙只能开一把锁，现在有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，那么最多要试开多少次才能配对好全部的钥匙和锁？例题3．一种购物券的面值只有1元、3元、5元、7元和9元五种，为了直接付清1元、2元、3元……98元、99元、100元各种整数元的物品，至少要准备多少张什么样的购物券？例题4．猴妈妈摘来一筐桃，将它们三等分之后还剩2个桃；取出2份，将它们三等分之后还剩2个桃；再取出2份，将它们三等分之后还剩2个桃 ．猴妈妈至少摘了几个桃？例题5．a 和b 是小于100的两个不同的自然数（非0），那么， 的最大值是多少？例题6．把14拆成几个自然数相加的形式，再把拆成的这些自然数乘起来，如果想让所乘的积最大，应该怎么拆？例题7．10、9、8、7、6、5、4、3、2、1这十个数，在每相邻的两个数之间添上一个加号或一个减号，组成一个算式，使它符合下面两个要求：① 算式的结果等于37，② 这个算式中所有的减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能的大，那么这些减数的最大乘积是多少？例题8．三个连续的自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114，这三个数中，最小的数是多少？例题9．有三个数字，能组成6个不同的三位数，这6个数的和是2886，那么所组成的6个三位数中，最小的三位数是几？a -b a + b二、举一反三① 如果四个人的平均年龄是30岁，并且在这四个人中没有小于21岁的，那么年龄最大的人是几岁？② 将5、6、7、8、9、10六个数分别填入下面的圆圈内，使三角形每边上三个数的和相等，这个和最大是多少？③ 现在有1元、2元、5元和10元的人民币若干张，如果要付清1元、2元、3元……98元、99元、100元各种整数元，至少需要准备多少张什么样的人民币？④ x 和y 是小于50的两个不同的自然数（非0），并且x ＞y ，那么， 的最小值是多少？⑤ 把50拆成几个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大，应该怎么拆？⑥ a 、b 、c 是从大到小排列的三个数，且a – b = b – c ，前两个数的积与后两个数的积之差是280，如果b = 35，那么c 是多少？⑦ 把135个苹果分成若干份，使任意两份的苹果数都不相同，最多可以分成多少份？⑧ 育才小学六（1）班51名学生一共植树251棵，已知植树最少的同学植树3棵，又知最多有11名同学植树的棵树相同，植树最多的同学可能植树多少棵？⑨ 有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个，现在要把300克的盐分成3等份，那么最少需要称几次？⑩ 一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些小球，其中红的10个、白的9个、黄的8个、蓝的2个，一次最少取多少个球，才能保证有4个球颜色相同？x - yx + y三、拓展提高① 把2～9分别填入下面的圆圈内，使每个大圆的五个数之和相等，并且使和最大，应该怎么填？② 把2001拆成几个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大，应该怎么拆？如果是2000呢？③ a 和b 是选自前200个自然数的两个不同的数（非0），并且a ＞b, 求 的最大值和最小值 ．④ 一个分数，被 ， ， 除得的结果都是整数，这个分数最小是多少？⑤ 某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得数198，最低得分169，没有得193分、185分和177分的，并且至少有6人得同一分数，参加测试的至少有多少人？⑥ 一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的一半，且至少是红球的 ，黄球与白球合起来是55个 ．盒中至多有红球多少个？⑦ 两辆样的汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，出发前每辆车各加了一桶的油，每辆车除油箱内的油外最多能带20桶汽油，每桶汽油可以使一辆汽车前进60千米，两车都必须返回出发地点，两辆车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，那么这辆车最远可达离出发点多少千米远的地方？⑧ 小王用10元钱正好可买6角、8角、2元的邮票各若干张，那么他最多可以买多少张2元的邮票？⑨ 已知三个不同的数字（其中没有零），把由它们组合而成的所有三位数都相加，得到的结果为2664.这些三位数中最大的与最小的两个数之差为495，则这三个数字分别是多少？a -b a + b 10 21 6 7 514 1 3。
小学奥数趣味学习《最值问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《最值问题》典型例题及解答在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”“费用最省”“面积最大”“损耗最小”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都归结为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为最值问题。
数量关系：一般是求最大值或最小值。
解题思路和方法：枚举法，综合法，分析法，公式法，图表法例题1：七个小朋友共折纸花100朵，每个小朋友折的朵数都不相同，其中折的最多的小朋友折了18朵，则折的最少的小朋友至少折了多少朵？解：1、要想最少的尽可能少，那么其他人就要尽可能多。
2、因为求折的最少的小朋友至少折了多少朵，那么其他六位小朋友应折的尽可能多，折的朵数应分别为18、17、16、15、14、13，则折的最少的小朋友至少折了100-18-17-16-15-14-13=7（朵）。
例题2：有22根长都是1厘米的小棒，乐乐用这些小棒围成长方形，围成的长方形面积最大是多少平方厘米，最小是多少方厘米？解：1、题目已知的是周长求面积，可以利用列表的方法解决。
2、周长是22厘米，则长与宽的和是22÷2=11（厘米），我们将可能的情况列表呈现出来。
3、所以围成的长方形面积最大是30平方厘米，最小是10平方厘米。
例题3：有一个73人的旅游团，其中男47人，女26人，住到一个旅馆里。
旅馆里有可住11人，7人，4人的三种房间，经过服务员的安排，这个旅游团的男、女分别住在不同的房间里，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。
服务员最少用了多少个房间？解：1、要使房间用的少，则尽量先用11人间，但是也要考虑每个房间都要住满和性别差异，所以男女分开计算。
2、因为3×11+7×2=47（人），所以男的住了3个11人的房间，2个7人的房间。
又因为11×2+4=26（人），所以女的住了2个11人的房间，1个4人的房间，则服务员最少用了3+2+2+1=8（个）房间。
最值问题解题思路奥数
1 / 17马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造。
离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。
一、从极端情形入手从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。
题目1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。
用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。
为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，2 / 17现在7÷2=3??1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。
所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。
题目2.有13个不同正整数，它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。
②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数，100-64=3636=2+4+6+8+16最少有5个偶数。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案11最值问题(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题最值问题（一）在日常生活中，我们常常考虑“最”字，如走路尽可能使所行的路程最短，用时最少或车费最省；做一件工作，尽可能使效率最高，工时最短；学习则尽可能使所用的时间最短而收获最大……，一句话，都是考虑一个“最”字的问题，即最值问题。
最值问题涉及的知识面较为广泛，但在国内外的历届数学竞赛中，一般都带有某种限制条件，因而解决问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情况入手我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。
因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
（2）枚举比较根据题目的要求，把可能得出的答案一一枚举出来，使题目的条件范围逐步缩小，进而筛选比较出答案。
（3）分析推理根据两个事物在某些属性上相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法。
（4）构造在寻求解题途径时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果。
（5）应用求最大值和最小值的结论和一定的两个数，差越小，积越大。
积一定的两个数，差越小，和越小。
两点之间线段最短。
例1一把钥匙只能打开一个房间的门，现有20把钥匙和20个房间，但不知哪把钥匙能开哪个房间的门，如要打开所有房间的门，最多要开几次？分析与解：考虑极端情况，开第一个房间的门最多需20次。
开第二个房间的门最多需19次，……，开最后一个房间的门需1次，共需20＋19＋18＋…＋1＝210（次）。
例2小明去听报告，发现报告厅只有最后一排没坐满，但他无论坐在哪个位子，都会和另一听众相邻，已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了多少个人？分析与解：将最后一排座位编号，由题意可知，没有连续3个的空位，而最后一排最少坐了的人数也就是已经坐下的每一个人两旁尽可能都是空位，即极端情形：2，5，8，11，14，17，19这几个编号的座位上坐着人，其余座位空着，故最少坐7人。
(小学奥数)容斥原理之最值问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-5.容斥原理之最值問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 “走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題。
2020年部编版小学奥数容斥原理之最值问题
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．知识要点教学目标7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
创新思维·小学奥数寒假专项突破之最值问题(第一讲和第二讲)
第一讲：最值问题（最大值和最小值专项）一、最小值问题专项突破：例题1：贵宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）答案解析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
（知识点：公约数）例题2:在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）答案解析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB；故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
（知识点：立体思维，画线）二、最大值问题专项突破：例1：有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。
判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）答案解析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。
最值问题(小学奥数)
最值问题(小学奥数)在小学奥数中，最值问题是一个常见的题型。
最值问题主要考察学生对数值的理解和比较能力。
本文将从解题思路、答题技巧以及相关例题来进行详细讨论。
解题思路：在解决最值问题时，首先需要明确题目要求求解的最大值或最小值是什么，然后根据题目给出的条件和限制条件进行分析。
常见的解题思路有以下几种：1. 穷举法：逐个尝试所有可能的情况，将每种情况计算出来的结果进行比较，找出最大值或最小值。
2. 推理法：通过观察已知条件和限制条件，进行逻辑推理，找到最值的可能位置，并进行比较。
3. 抽象问题：将问题进行数学建模，通过建立数学模型，利用数学方法求解最值问题。
答题技巧：在解决最值问题时，以下几点技巧可以帮助学生提高解题效率和准确性：1. 变量转化：对于涉及多个变量的最值问题，可以通过变量的转化，将问题简化为只涉及一个变量的问题。
2. 条件整理：对于给定的条件和限制条件，可以进行整理和分类，找到与最值问题相关的条件，有针对性地分析和求解。
3. 符号表示：在解题过程中，合理地使用符号表示，可以简化计算过程，提高解题效率。
例如，用代数式表示最值问题，通过求导等数学方法求解。
例题一：某次数学竞赛的“200米冲刺”项目中，小明和小红两位选手进行了比赛。
根据记录，小明在前半程跑得较快，但在后半程稍有掉队。
已知小明最终耗时为30秒，小红的总用时比小明多1秒。
求小明和小红的前后半程用时各为多少？解析：设小明的前半程用时为x秒，则后半程用时为30 - x 秒。
根据题目所给条件，可以列出方程：x + (30 - x) + 1 = 30。
解方程可得小明前半程用时29秒，后半程用时1秒。
小红的前半程用时为30 - 1 = 29秒，后半程用时为1秒。
因此，小明的前半程用时为29秒，后半程用时为1秒；小红的前半程用时为29秒，后半程用时为1秒。
例题二：甲乙两个国家的人口分别是1000万和2000万。
假设甲国每年的人口增长率是2%，乙国每年的人口增长率是3%。
小学奥数容斥原理之最值问题
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
小学奥数容斥原理之最值问题(完整版)
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
四年级奥数之最值问题
四年级奥数之最值问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
小学奥数模块教程最值问题初步(四年级提尖秋季)
1、 枚举法解最值问题2、 最值原理3、 拆数问题体育比赛中的数学课前加油站5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位数是多少？最小的三位数是多少？5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位偶数是多少？最小的三位偶数是多少？最值问题初步本章知识前铺知识5数字0，1，2，3，4，5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是多少？模块1 枚举法解最值问题例题1：在五位数12345的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122345），这样得到的六位数最大可能是多少？练一练：在4位数3782的某一位数码后再插入一个该数码，能得到的五位数最大是多少？最小是多少？例题2：电视台要播放一部30集的电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，不能不播，该电视连续剧最多可以播几天？例题3：一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?练一练：19个苹果要分给一群小朋友，每个小朋友所分得的苹果都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果，问：这群小朋友最多有几位？24个苹果分给4个小朋友，每个小朋友分得的苹果数量不同，求分得苹果最多的小朋友最多能分多少个？模块2 最值原理例题4:周长100米的长方形中，面积最大是多少平方米?面积为100平方米的长方形中，周长最小是多少米？练一练：用24根长1cm的小棍围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少？如果用22根呢？例题5: 用1，2，3，4，5，6这6个数字各一次，分别组成两个三位数，求积最大时，算式是什么？最小时算式是什么？例题6：用1-9九个数组成三个三位数，要使这三个三位数的乘积最大，下面的空怎么填？□□□×□□□×□□□练一练：请将2，3，4，5，6，8填入算式“□□□×□□□”的方格中，要使得算式结果最大，要怎么填？例题7：3个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？3个自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？若干个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？例题8：若a+b=24，则（1）求a×b的最大值（2）求（a+4）×2b的最大值（3）求（a+7）×（2b+1）的最大值练一练：已知a+b=15，求（2a+1）×b的最大值。
小学奥数模块教程最大最小值
最大最小值知识框架一、知识点概述：这类问题涉及的知识面广，没有固定的模式，方法多样，解答时要认真审题，根据题目的特点，灵活地选择解法．在日常生活和工作中，经常会遇到这样一类问题：怎样安排时间最省、怎样行走路线最短、怎样管理费用最低、怎样设计面积最大、怎样合作效率最高、怎样加工利用率最大等等，它们都可以归结为在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题．例题精讲模块一、数论中的极端思想【例 1】如果10个互不相同的两位单数之和等于898，那么这10个单数中最小的一个是多少？【例 2】有两个整数A和B，它们的和是8，当A和B各是多少时，A×B的积最大?【例 3】103除以一个一位数，余数最大是多少？【例 4】商店进玩具熊若干，每三个一数则余下一只，若每五个一数则还差4个。
问商店至少进了多少只玩具熊？【例 5】1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少？【巩固】两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？【巩固】两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？【例 6】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？【例 7】有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？【例 8】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (9899100)从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？【例 9】把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？【巩固】把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？【例 10】某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元 (100)元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？【例 11】在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？【例 12】在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。
(完整)四年级奥数之最值问题
四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
四年级奥数之最值问题
四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
小学数学六年级奥数《最值问题（1）》练习题（含答案）
⼩学数学六年级奥数《最值问题（1）》练习题（含答案）⼩学数学六年级奥数《最值问题(1)》练习题（含答案）⼀、填空题1.⼀把钥匙只能开⼀把锁.现在有4把钥匙4把锁,但不知哪把钥匙开哪把锁,最多要试次才能配好全部的钥匙和锁.2.⽤长和宽分别是4厘⽶和3厘⽶的长⽅形⼩⽊块,拼成⼀个正⽅形,最少要⽤这样的⽊块块.3.⼀个⼀位⼩数⽤四舍五⼊法取近似值精确到万位,记作50000.在取近似值以前,这个数的最⼤值是 .4.100个⾃然数,它们的总和是10000,在这些数⾥,奇数的个数⽐偶数的个数多,那么这些数⾥⾄多有个偶数.5.975?935?972?( ),要使这个连乘积的最后四个数字都是零.在括号内最⼩应填 .6.有三个连续⾃然数,它们依次是12、13、14的倍数,这三个连续⾃然数中(除13外)是13倍数的那个数最⼩是 .7.下图九个数中取出三个数来,这三个数都不在同⼀横⾏,也不在同⼀纵⾏.问:怎样取才能使这三个数之和最⼤,最⼤数是 .8.农民叔叔阿根想⽤20块长2⽶,宽1.2⽶的⾦属⽹建⼀个靠墙的长⽅形鸡窝.为了防⽌鸡飞出,所建鸡窝的⾼度不得低于2⽶,要使鸡窝⾯积最⼤,长⽅形的长和宽分别应是 .9.⼀个三⾓形的三条边长是三个两位的连续偶数,它们的末位数字和能被7整除,这个三⾓形的最⼤周长等于 .10.农场计划挖⼀个⾯积为432m 2的长⽅形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m 和4m 的堤堰如图所⽰,要想占地总⾯积最⼩,⽔池的长和宽应为 .⼆、解答题11.下图中,已知a 、b 、c 、d 、e、f 是不同的⾃然数,且前⾯标有两个箭头的每⼀个数恰等于箭头起点的两数的和(如b =a +d ),那么图中c 最⼩应为多少?a b cd ef12.唐⽼鸭与⽶⽼⿏进⾏⼀万⽶赛跑,⽶⽼⿏的速度是每分钟125⽶,唐⽼鸭的速度是每分钟100⽶.唐⽼鸭⼿中掌握着⼀种迫使⽶⽼⿏倒退的电⼦遥控器,通过这种遥控器发出第n 次指令,⽶⽼⿏就以原速度的n ?10%倒退⼀分钟,然后再按原来的速度继续前进,如果唐⽼鸭想在⽐赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数⾄少应是多少次?13.某游泳馆出售冬季学⽣游泳卡,每张240元,使⽤规定:不记名,每卡每次只限⼀⼈,每⼈只限⼀次.某班有48名学⽣,⽼师打算组织学⽣集体去游泳,除需购买若⼲张游泳卡,每次游泳还需包⼀辆汽车,⽆论乘坐多少名学⽣,每次的包车费均为40元.若要使每个同学游8次,每⼈最少交多少钱?14.某商店需要制作如图所⽰的⼯字形架100个,每个由铝合⾦型材长为2.3⽶,1.7⽶,1.3⽶各⼀根组装⽽成.市场上可购得该铝合⾦型材的原料长为 6.3⽶.问:⾄少要买回多少根原材料,才能满⾜要求(不计损耗)?———————————————答案——————————————————————1. 6第⼀把钥匙最坏的情况要试3次,第⼆把要试2次,第三把要试1次,共计6次.2. 12因4和3的最⼩公倍数为12,故最少需这样的⽊块12块.3. 50000.44. 48⼀共有100个⾃然数,其中奇数应多于50个,因为这100个⾃然数的总和是偶数,所以奇数的个数是偶数,⾄少有52个,因⽽⾄多有48个.5. 20因975=39?52,935=187?5,972=243?22,要使其积为1000的倍数,⾄少应乘以5?22=20.6. 1105因为12、13、14的公倍数分别加上12、13、14后才依次是12、13、14倍数的连续⾃然数,故要求是13的倍数的最⼩⾃然数,只须先求12、13、14的最⼩公倍数为1092,再加上13得1105.7. 20第⼀横⾏取6,第⼆横⾏取7,第三横⾏取7.8. 12⽶,6⽶.⾦属⽹应竖着放,才能使鸡窝⾼度不低于2⽶.如图,设长⽅形的长和宽分别是x ⽶和y ⽶,则有x +2y =1.2?20=24.长⽅形的⾯积为S =xy =()y x 221?.因为x 与2y 的和等于24是⼀个定值,故它们的乘积当它们相等时最⼤,此时长⽅形的⾯积S 也最⼤,于是有:x =12,y =6.9. 264依题意,末位数字和能被7整除的只有7、14、21等三种.但三个两位的连续偶数相加其和也⼀定是偶数,故符合题意的只有14.这样三个最⼤的两位连续偶数.它们的末位数字⼜能被7整除的,便是90、88、86，它们的和即三⾓形最⼤周长为90+88+86=264.10. 24m ,18m如图,设⽔池边长为xm ,宽为ym ,则有xy =432,占地总⾯积S =(x +8)(y +6)m 2 于是S =xy +6x +8y +48=6x +8y +480.因6x +8y=48?432为定值,故当6x =8y 时,S 最⼩,此时x =24,y =18.11. 依题意,d 应当取最⼩值1,那么a 和f 只能⼀个为2,另⼀个为4.这样,根据b =a +d ,e =d +f ,b 和e 便只能⼀个为3,另⼀个为5,⽽c =b +e .所以c 最⼩应为3+5=8.12. ⽶⽼⿏跑完全程⽤的时间为10000÷125=80(分),唐⽼鸭跑完全程的时间为10000÷100=100(分).唐⽼鸭第n 次发出指令浪费⽶⽼⿏的时间为n n 1.01125%101251+=??+. 当n 次取数为1、2、3、4…13时,⽶⽼⿏浪费时间为1.1+1.2+1.3+1.4+…+2.3=22.1(分)⼤于20分.因为⽶⽼⿏早到100-80=20分,唐⽼鸭要想获胜,必须使⽶⽼⿏浪费的时间超过20分钟,因此唐⽼鸭通过遥控器⾄少要发13次指令才能在⽐赛中获胜.13.设⼀共买了x 张卡,⼀共游泳y 次,则共有xy =48?8=384(⼈次),总运费为:(240x +40y )元.因240x ?40y =240?40?384是⼀定值,故当240x =40y ,即y =6x 时和最⼩,此时可求得x =8,y =48.总⽤费为240?8+40?48=3840(元),平均每⼈最少要交3840÷48=80(元).显然④⑤⑥三种⽅案损耗较⼩. ④⑤⑥⑦⽅案依次切割原材料42根、14根、29根和1根共⽤原材料42+14+29+1=86(根).。
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1、最值问题
【最小值问题】
例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、
乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿
途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都
相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少
要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）
讲析：如图，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位
民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2
个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民
警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面
最省时？
（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）
讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须
三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。
故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
【最大值问题】
例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。
判断：图的三个梯形中，第几个图形面积最大？
（全国第二届“华杯赛”初赛试题）
讲析：三个图的面积分别是：
三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。
其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。
由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。
故图（3）的面积最大。
例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。
已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。
为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。
（台北市数学竞赛试题）
讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。
现把600个商品按每份10个，可分成60份。
因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。
所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。
因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。