NOIP2007提高组复赛试题解题报告三

4、【问题描述】

帅帅经常更同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij据为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有的元素；

2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；

3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和；每行取数的得分 = 被取走的元素值*2i，其中i表示第i次取数（从1开始编号）；

4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。【输入】

输入文件game.in包括n+1行；

第一行为两个用空格隔开的整数n和m。

第2~n+1行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开

【输出】

输出文件game.out仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大的分。【输入输出样例1】

game.in game.out

2 3 82

1 2 4

3 4 2

【输入输出样例1解释】

第1次：第一行取行首元素，第二行取行尾元素，本次的氛围1*21+2*21=6

第2次：两行均取行首元素，本次得分为2*22+3*22=20

第3次：得分为3*23+4*23=56。总得分为6+20+56=82

【输入输出样例2】

game.in game.out

1 4 122

4 5 0 5

【输入输出样例3】

game.i

n game.out

2 1

0 316994

96 56 54 46 86 12 23 88 80 43

16 95 18 29 30 53 88 83 64 67

【限制】

60%的数据满足：1<=n, m<=30，答案不超过1016

100%的数据满足：1<=n, m<=80，0<=aij<=1000

对题目的分析：初看题目名为“矩阵取数”，其实仔细分析发现问题的关键不在矩阵上。举例说明，有矩阵：

a1,a2,a3……an

b1,b2,b3……bn 有N列，但只有2行（这里考虑到书写，所以只列举了2行，大于2行也可以证明）

假设上面矩阵的最大得分取法是：a1*2+b1*2 + a2*22+b2*22……+an*2n+bn* 2n，把这个算式变换一下，将an和bn的分开提取，结果变换为a1*2+a2*22……+an*2n + b1*2+b2*22……+bn*2n。我们可以考察一下这个算式会发现：a1*2+a2*2 2……+an*2n 其实就是第一行a1,a2,a3……an的最大得分， b1*2+b2*22……+bn*2n 也是第二行b1,b2,b3……bn 的最大得分。也就是说矩阵的最大得分其实是每一行的最大得分之和，每一行的取数不会和其他行发生联系或冲突的。于是矩阵取数最大得分问题就分解为行取数最大得分问题，只要求出每一行的最大得分，然后求和，便可得出矩阵的最大得分。

再来考察一下单行取数问题的求解。首先，设函数Maxgame（i,j）(i

归纳本题：其实矩阵取数算法并不复杂，只要认真分析题目和给出的样例还有提示，抓住要点，便可以轻松解题。