初中数学章节考点梳理数的开方章节涉及的12个必考点全梳理

考点1 平方根与立方根的定义

解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方 根有2个；任意一个数的立方根只有1个．

例题1 下列说法中，正确的是（ ）

A ．﹣5是（﹣5）2的算术平方根

B ．16的平方根是±4

C ．2是﹣4的算术平方根

D ．27的立方根是±3

【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可． 【解析】A 、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意； B 、16的平方根是±4，符合题意； C 、2是4的算术平方根，不符合题意； D 、27的立方根是3，不符合题意． 故选：B ．

【小结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键．

变式1 下列结论中，其中正确的是（ ）

A ．√81的平方根是±9

B ．√100=±10

C ．立方根等于本身的数只有0.1

D ．√−63

=−√63

【分析】根据平方根，立方根的定义逐项计算可判断求解．

【解析】A ．∵√81=9，9的平方根为±3，∴√81的平方根为±3，故原说法错误； B .√100=10，故原说法错误；

C ．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；

D .√−63

=−√63

，故原说法正确． 故选：D ．

【小结】本题主要考查平方根，立方根，根据平方根及立方根的定义逐项计算可判断求解．

变式2 下列说法：①±3都是27的立方根；②

1

16的算术平方根是±14

；③−√−83

=2；④√16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可． 【解析】①3是27的立方根，原来的说法错误；

②1

16的算术平方根是1

4

，原来的说法错误； ③−√−83

=2是正确的；

④√16=4，4的平方根是±2，原来的说法错误； ⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误． 故其中正确的有1个． 故选：A ．

【小结】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．

变式3 下列说法正确的是（ ）

A ．若√a 2=−a ，则a ＜0

B ．若√a 2=a ，则a ＞0

C ．√a 4b 8=a 2b 4

D ．3的平方根是√3

【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解析】A 、若2=−a ，则a ≤0，故本选项错误； B 、若√a 2=a ，则a ≥0，故本选项错误； C 、√a 4b 8=a 2b 4，故本选项正确； D 、3的平方根是±√3，故本选项错误； 故选：C ．

【小结】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键．

考点2 算术平方根的小数点移动规律

解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；

例题2由√3≈1.732，得√300≈17.32，则√0.03≈，√30000≈．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．

【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．

【解析】∵√300≈17.32，

∴√0.03≈0.1732，√30000≈173.2，

从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；

故答案为：0.1732，173.2，两．

【小结】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．

变式4如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根√a的小数点位置移动规律符合一定的规律，若√a=180，且−√3.24=−1.8，则被开方数a的值为．

a…0.0000010.011100100001000000…

√a…0.0010.11101001000…

【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值．

【解析】∵√a=180，且−√3.24=−1.8，

∴√3.24=1.8，

∴√32400=180，

∴a＝32400，

故答案为：32400．

【小结】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的定义，求出相应的a的值．

变式5若√25.36=5.036，√253.6=15.906，则√253600=（）

A．50.36B．503.6C．159.06D．1.5906

【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．

【解析】∵√=5.036，∴√=√×√10000=5.036×100＝503.6，故选：B．

【小结】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．

变式6设√5=m，√7=n，则√0.056可以表示为（）

A．mn

25B．

mn

20C．

mn

15D．

mn

10

【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．

【解析】√0.056=√

56

1000=

√560

10000=

√560

100=

√16×5×7

100=

4×√5×√7

100=

mn

25；

故选：A．

【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算．

考点3 算术平方根的非负性

解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.

例题3若实数x，y满足|x﹣3|+√y−1=0，则（x+y）3的平方根为（）

A．4B．8C．±4D．±8

【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．【解析】∵|x﹣3|+√y−1=0，∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，∴x＝3，y＝1，

则（x+y）3＝（3+1）3＝64，

64的平方根是：±8．

故选：D．

【小结】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题的关键．