“认识负数”教学思考与实践

“认识负数”的教学思考与实践杭州市萧山区益农镇小李国良俞东良【摘要】“负数”知识在新课程改革以后进入了小学阶段，但经过几次的教学研究后我们发现教师采用的教材、教法并不完全相同，甚至差距较大。

为了使负数知识更完整地呈现于学生面前，笔者试着通过对五个版本教材（负数）的研究、对负数历史的追寻、对学生了解负数知识前认知的调查分析等方法，逐步建立自己的教学材料与手段，掌握研究课堂教学的方法，使我们的教学更加的有效、更加的实在。

【关键词】负数教材梳理学情分析教学实践近年来，笔者听了不少关于“认识负数”的课，发现有两种明显不同的情况：一是课堂引入上存在明显区别，有老师以事件相反意义的量来引出负数，如公交车到杭州延安路站上来13名乘客，到动物园站下去8名乘客等，也有老师以温度引入负数；二是安排年级上存在一定差异，虽然都安排在第二学段，但有的放在四年级开展教学，有的则安排在六年级中进行。

可笔者觉得，负数的认识作为一节概念性的课，它必须从负数产生的历史、负数的现实意义着手，切实尊重学生对负数认知基础来进行教学，实现负数的历史、负数的意义和学生的认知等方面的有效对接。

基于对教材以及教法的困惑，我们试着从以下四方面对“认识负数”做一个系统的梳理与思考。

一、从“负数”的教材比较中，梳理负数教学的脉络由于负数的学习内容在各个版本上都有明显的不同，我们在钻研教材时不仅要在微观的角度着力读懂教材的每一幅图、每一句话，甚至每一道习题，把握文本背后所蕴藏的知识；也需要从宏观上、整体上去把握一册教材。

只有这样才能理清整个负数教学的脉络。

笔者把各版本教材在年级安排上进行了梳理（见下表）从表中发现，人教版与西南师大版安排在六年级，北师大版和浙教版则安排在四年级，只有苏教版安排在五年级。

1．引出负数的生活情境分析五套教材都以“温度”为载体引入负数（温度低于0时），其中人教版、苏教版、西南师大版、浙教版都以主题图的形式出现，北师大版则把“温度”作为认识负数前的单独一课进行教学。

笔者觉得虽然温度是学生熟悉的生活情境，零上、零下温度也能很形象地把正、负数表示出来。

但是，学生对温度更显性的感觉是冷和热，他们听到或看到的天气预报往往是：例如杭州5℃—16℃，知道5℃比较冷，16℃比较热；还有如，昨天最高气温17℃，今天最高气温21℃，知道昨天比今天冷。

一冷一热虽然也能表示相反意义的量，可是他们生活中的冷热不是真正意义上相反的量，而是对温度变化的一种感觉，这样明显地误导了学生对负数意义的理解。

因此，笔者认为应该遵循负数意义的本质属性，从商品买卖的货币交易等形式为学习材料，如收入为正，支出为负；赢为正，亏为负；增加为正，支出为负……这样比温度更能直接让学生感受到这里的数据是相反变化的情况，而不仅仅只是一种感觉。

2．了解负数的生活情境分析从温度的引入到负数定义的揭示，每个教材都安排了一定量的内容来进一步了解负数、掌握负数。

笔者把它剪切并呈现如下：人教版 北师大版浙教版 苏教版 西南师大版从上面五个图中我们清晰的发现，除浙教版安排了一个较为抽象的数轴以外，其他四个版本均以生活中的例子来进一步了解负数：人教版安排了存折中钱的变化情况，明确存入的钱用正数表示，取出的钱可以用负数表示；北师大教材则安排的最充分，有“海拔问题”、“抢答问题”、“盈亏问题”、还有“存折变化问题”；苏教版与西南师大版只安排了一个“海拔问题”。

笔者认为，除北师大教材外其它几个教材只通过一个事例让学生直接去感知负数能表示相反意义量是单薄的，也是欠缺的。

苏教版与西南师大版及北师大版中安排的“海拔问题”笔者觉得学生理解起来比较困难，它与学生的生活有较大距离，不符合新课程标准“在熟悉的生活情境中学习负数”的理念，应将这一内容安排在日常生活中应用负数较为合理。

而浙教版更是脱离学生实际，仅通过对温度的理解和在数轴上表示的数来理解，显得过于抽象，应增加与学生密切接触相反意义量的事情更为合理。

3．应用负数的生活情境分析各教材都充分地挖掘了生活中能表示相反意义量的典型情境，笔者进行了统计与梳理。

具体见下表：从表中我们清晰地看到，五套教材所反映的生活情境问题很丰富，除“时区问题”、“海拔问题”两个问题外，其他的情境都是学生熟悉的，而这些情境问题都能揭示负数的本质意义。

北师大版由于在了解负数时已大量采用了生活中相反意义的量，在具体应用的题目上就相对少些。

而浙教版、苏教版、西南师大版在了解负数中安排得较少，所以应用的题目就多些。

当然，各教材应用负数的情境也有明显区别，大部分情境题目仅仅是通过一件事情直接用正负数来表示，如苏教版的9个情境题和北师大版的3个情境题；也有部分情境题的安排适当地进行了知识的拓展和学习能力的提升，共有4处，分别是人教版的“时区问题”，浙教版的“盈亏问题”，人教版和西南师大版的“身高体重问题”。

人教版的“时区问题”以北京12时为准，比北京早的时间用正数表示，比北京迟的时间用负数表示，由于要先看某城市的时间，所以一定程度上渗透着正负数的减法问题；其他的“盈亏问题”、“身高体重问题”都以平均数为标准，呈现上下浮动的情境来表示正负数，这是求总数的另一种方法。

笔者觉得，在认识负数后适当安排一些能力提升情境题是需要的，有利于学生对负数意义本质更深刻的理解与运用。

二、从“负数”的产生历史中，把握负数教学的本质“负数”属于概念性知识，它的产生、发展、运用必有一个漫长的过程，五套教材仅把它作为背景知识进行介绍，笔者觉得是不够的。

为使负数教学更加符合负数发展规律，在查阅大量的历史资料后我们发现中国对于负数的产生、认识与西方国家有着明显的区别。

1．负数在中国的发展史在我国古代，人们早有买卖等商品交易，期间慢慢地产生了负数。

在2000多年前的《九章算术》明确记载着：古代秦、汉时期，人们把“卖（收入钱）”作为正，则“买（付出钱）”作为负，把“余钱”作为正，则“不足钱”作为负；在关于粮谷计算的问题中，是以益实（增加粮谷）为正，损实（减少粮谷）为负等。

书中，除了引进正负数的概念之处，还完整地叙述了正负数的加减运算法则——“正负术”。

后来数学家刘徽在注解《九章算术》时，更明确地提出了正负数的概念。

尽管如此，但负数在中国的发展并没有像“自然数”、“分数”那么顺利，这来自于负数本身的“不可视性”，也就是负数“看不见”。

归根结底，负数在中国的产生更多的是因为人们在生产生活中需要一种表示“亏损”、“下降”、“支出”的数。

古代中国人对负数的认识和使用，鲜明地烙上了生活经验的痕迹。

2．负数在外国的发展史在中国之外，印度是认识和使用负数比较早的国家，其最早记载见于1000年前婆罗摩笈多（公元7世纪）的著作《婆罗摩历算书》中，他把正数称为“财产”，负数称为“债务”，并据此来解释正负数的加减运算。

而在西方，负数被认同还只有400年的历史，在此之前，大多数学家并不接纳负数，例如法国数学家韦达，他在代数方面作出了巨大贡献，但却努力避免引进负数，在解方程求得负根时统统舍去（如：X+1=0）。

1544年，德国人斯梯弗尔还把负数称为“荒谬”、“无稽”，他们认为负数荒谬的原因是“1表示一件物体，0表示什么都没有，而负数比零还要小”，比“什么都没有”还要少，不可能”，直到1637年，法国大数学家笛卡儿发明了解析几何学，创立了坐标系和点的坐标概念，负数才获得了几何意义和实际意义。

逐步确立了它在数学中的地位，慢慢地为人们所公认。

3.分析与思考笔者觉得，负数在中西方的发展史，恰恰反映了中西方哲学的差别，西方的哲学是静态的，他们认为数是表示物体的，1表示1个物体，0表示没有物体，怎么会有比0更小的数呢？但中国的哲学是动态的，负数虽然不能表示物体，但却能记录一件事。

所以，从数学史的视角来看，“负数”的教学无疑要关注：一是要引发学生学习新数的情感需求；二是要寻找承载负数本质意义而又直观的教学模型，以顺应抽象认识源于直观模型的心理顺序；三是要注重沟通负数和0之间的关系，以避免以后学习的认知障碍。

从教学经验的角度，我们也可以通过缜密的思考提出这三个建议，但那种从“经验本身”的教法设计，并不能解释“认识负数”教学中的独到价值。

这种状况恰恰印证了数学教育的一个原理：即一个数学知识为什么要这么教，不是由“教学经验”所决定，而是由儿童的数学现实和数学的学科本质决定的，数学史为新教法的设计提供了新的灵感和视野。

三、从“负数”的认知调查中，找准负数教学的起点鉴于对教材和负数发展历史分析，笔者认为有必要对学生的认知水平作一个原始的调查，便于把握学生对负数知识的学习起点。

1．调查一：对温度及相反意义量的认识情况（1）调查的意图（调查题见附件）第一题是与教材配套的题目：负数在温度中的应用，天气预报中北京最低温度是零下4℃，在电视里是怎样显示的？这里主要是了解学生对温度的理解程度。

第二题是乘坐电梯的题目（配图）：去5楼按数字键5，去地下2层按数字键几？这是一道与学生生活密切相关的题目，主要是让学生去感知一下负数，地下二层应该在地的下面。

第三、第四题是与负数产生密切相关的题目：答对一题得10分用＋10分表示，打错一题扣10分用（）表示和得到5元用＋5表示，用掉2元用（）表示。

让学生明白生活中存在这样意义相反的事情，需要用不同的符号去表示它。

第五题是四道减法题，前面2题是为下面两题2－3，1－3不够减作些铺垫，也迎合西方国家对负数认识的困惑。

第六题是对负数定义的认识，主要是针对高年级的。

（2）调查的方法我们分别选择了一所农村学校和一所城区学校，在一至六年级中随机抽一个班进行调查，要求一年级进行读题，其他年级均不得读题或暗示，由学生独立完成。

（3）调查的结果（见统计表一、二）。

统计表一（农村）（4）调查结果分析①从整体答题情况看城区学生对于负数的认识比农村学生好，特别是低年级学生，在答题反馈及与学生交谈中，了解到城区学生接触的生活面比较广，看课外书、电脑上网也比农村学生来得多、早，晚上在家长的陪同下能适当的看些新闻类节目（含天气预报），家庭教育也比农村重视。

②从每题回答情况看第一题农村学生中四年级开始有一半以上的学生能正确的回答零下4℃就是－4℃，因为同期的科学书上已有温度的介绍。

城区从三年级开始有一半以上的学生知道－4℃是表示零下4℃。

第二题农村四年级大部分学生能知道到地下二层按数字键－2，而城区学生一年级已经有近一半人知道按－2。

一、二年级学生回答原因主要集中在以下两个方面，一是生活经验，坐过电梯知道按－2（如右图）；二是推算，因为到上面是按5，到下面就按－2（如下图）。

这也是正负数能表示意义相反的量的一个体现。

而高年级回答问题就基本上集中在推理上，知道－1就是地下1层，－2就是地下二层。

第三题回答的正确率均比较高，在回答“你怎么想到的”问题中，一、二年级学生基本上能从字面意思去理解，也有学生回答是从老师批改时候看到的和在口算比赛中遇到的（基本都用拼音描述）。