五年级奥数.几 何.圆与扇形综合(C级).学生版
五年级奥数.几何.五大模型(C级).学生版
一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)知识框架五大模型（二）(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DCBA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BCDO ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD AB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
5年级秋季第14讲-圆和扇形(学生版)
第十四讲圆和扇形例题1【提高】【精英】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．A例题2【提高】如下图所示，三个半径为7cm的圆，用带子绑在一起．重新排列这三个圆，使得绑这三个圆所用的带子最短．计算带子的最短长度为多少．（以π=22/7计算）【精英】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)例题3【提高】求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)【精英】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？(π取3)例题4【提高】图示为两个圆心为O的同心圆．弦AB长14cm，且与阴影圆相切．求非阴影部分的面积．（以π=22/7计算）【精英】(2007年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为4cm的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分cm．面积A与其它部分面积B之差(大减小)是2例题5【提高】【精英】下图由一个半径为3cm的圆，两个半径为2cm的半圆，两个半径为1cm的半圆所组成．求图中A、B、C三部分的面积比为多少？例题6【提高】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)【精英】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)例题7【提高】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？93【精英】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？3例题8【提高】【精英】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60︒，此时B点移动到'B点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)．BA练习1图中，OAB 是以O 为圆心的14圆，该圆的半径的12cm ，阴影部分是长方形．求CD 的长．练习2如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m ，阴影部分的面积是 ．练习3求图中阴影部分的面积．12CB练习4已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心，求阴影部分的面积．(π3 )O3练习5如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？练习6如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90 ，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)练习7如图，阴影部分的面积是多少？422练习8如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，60∠=︒，此时BC长5厘米．以点B为中心，ABC将ABC∆顺时针旋转120︒，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)E关于π的历史圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。
五年级奥数几何专项一 圆与扇形综合
圆与球：跨时代、跨文化的数学故事这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。
这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。
三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！圆和球还是最实用的图形。
宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。
简单中寓深奥。
在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。
圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。
中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。
刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。
古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。
不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。
阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式： (R是球课前预习专项一 圆与扇形综合半径)。
阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。
无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。
不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。
祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。
至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。
我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。
高斯小学奥数五年级下册含答案第02讲_圆与扇形进阶
第二讲圆与扇形进阶- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -自然界中，圆与方是最基本的两种图形．古人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大锅盖在一个方形的棋盘上．中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案．而在面积计算中，圆与正方形也有很大的关系．关于正方形和圆，有以下的面积关系：由此我们可以进一步推断：圆外切正方形面积是内接正方形面积的______倍；正方形外接圆面积是内切圆面积的______倍．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1．（1）左图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取3.14） （2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取3.14） 分析：利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解．练习1．如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积．（π取3.14）圆的外切正方形 与内接正方形 正方形的外接圆 与内切圆方中圆 圆中方例题2．计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小．（π取3.14） 分析：利用方中圆的比例关系可以轻松求解．练习2．如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - -小故事圆与方有一天，圆形和方形碰到了一起，它们一见面就吵了个面红耳赤，不管谁劝都不听．圆形说：“我们圆形就是比你们方形用处大，人们日常生活中用的锅呀、碗呀，体育中的蓝球、排球，水果里的苹果、桔子，大到汽车轮胎、自行车轮胎，都是我的家族．瞧，我们是不是比你们用处大！”圆形得意洋洋地说完．方形“哼”了一声说：“我们方形家族才是无处不在呢，人们用的电器、冰箱、彩电、电脑，就连学生用的课本都是我们方形的哟！”方形也自豪地说．它们谁也无法说服谁，都来到大街上．望着街上的车，方形对着圆形的车轮喊了声：“变！”转眼间车轮变成了方形．正当方形喜笑颜开时，人群出现了混乱，汽车开不了，自行车也只能扛着了，大家都在说：“这是谁干的呀！真是害人呀！”而圆形来到一座刚建好的大楼前，望着由一块块方形红砖盖成的大楼，圆形生气地大声 喊了声“变！”呀，方形红砖变成圆形了．圆形还没来及高兴呢，就听“轰”一声大楼倒了下来．看到这个情景，圆形呆住了：“这是怎么回事？” 只见混乱的人群里走出了一位老人，他来到方形和圆形面前对它们说：“其实你们都很棒，只是你们分工不同而已，只要你们齐心协力，一定会为人类作更大的贡献．在上一讲中，我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积．而对于一些比较特殊8的形状，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，求下面各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是哪些图形的重叠部分？练习3．已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等．这些物体在运动的过程中，扫过的图形都是曲线形．这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢？例题4．图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）分析：要求扫过的面积，关键在于弄清扫过的区域；而要弄清扫过的区域，关键在于弄清区域的边界．你能通过合理动态想象，画出边界来吗？练习4．如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）例题5．如图，求阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应该怎么计算扇形的面积呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6．（1）如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地．绳长8米．小狗的活动范围是多少平方米？（2）如果小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）分析：如果没有建筑物的阻挡，小狗的活动范围应该是一个圆．有建筑物的话，活动范围会受到什么样的影响呢？A含有“圆”字的成语圆首方足：出自《淮南子·精神训》：“头之圆也象天，足之方也象地．”用来代指人类．戴圆履方：出自《淮南子·本经训》：“戴圆履方，抱表怀绳．”履：踩着；圆、方：古人以为天圆地方．头顶着天，脚踩着地．指生活在人间．方枘圆凿：出自战国时楚国宋玉的《九辨》：“圆凿而方枘兮，吾固知其龃龉而难入．”凿：榫眼；枘：榫头．方枘装不进圆凿．比喻格格不入，不能相合．这三个成语之外，还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字，如圆孔方木、圆颅方趾、外圆内方等．这说明古人对于圆和方的认识非常深刻，已经将其应用到了生活中的很多方面．而我们在圆与扇形的学习中，也要注意圆形与正方形之间的联系．元方，你怎么看？破镜重圆：这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的．杨素，字处道，在辅佐隋文帝杨坚结束割据，统一天下，建立隋朝江山方面立下了汗马功劳．他不仅足智多谋，才华横溢，而且文武双全，风流倜傥．在朝野上下都声势显赫，颇著声名．隋开皇九年（公元589年）杨素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚，其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻，也就是陈国的乐昌公主．由于杨素破陈有功，加之乐昌公主才色绝代，隋文帝就乱点鸳鸯，将乐昌公主送进杨素中，赐为杨素小妾．杨素既仰慕乐昌公主的才华，又贪图乐昌公主的美色，因此就更加宠爱，还为乐昌公主专门营造了宅院．然而乐昌公主却终日郁郁寡欢，默无一语．原来，乐昌公主与丈夫徐德言两心相知，情义深厚．陈国将亡之际，徐德言曾流着泪对妻子说：“国已危如累卵，家安岂能保全，你我分离已成必然．以你这般容貌与才华，国亡后必然会被掠入豪宅之家，我们夫妻长久离散，名居一方，唯有日夜相思，梦中神会．倘若老天有眼，不割断我们今世的这段情缘，你我今后定会有相见之日．所以我们应当有个信物，以求日后相认重逢．”说完，徐德言把一枚铜镜一劈两半，夫妻二人各藏半边．徐德言又说：“如果你真的被掠进富豪人家，就在明年正月十五那天，将你的半片铜镜拿到街市去卖，假若我也幸存人世，那一天就一定会赶到都市，通过铜镜去打问你的消息．”一对恩爱夫妻，在国家山河破碎之时，虽然劫后余生，却受尽了离散之苦．好容易盼到第二年正月十五，徐德言经过千辛万苦，颠沛流离，终于赶到都市大街，果然看见一个老头在叫卖半片铜镜，而且价钱昂贵，令人不敢问津．徐德言一看半片铜镜，知妻子已有下落，禁不住涕泪俱下．他不敢怠慢，忙按老者要的价给了钱，又立即把老者领到自己的住处．吃喝已罢，徐德言向老者讲述一年前破镜的故事，并拿出自己珍藏的另一半铜镜．颤索索两半铜镜还未吻合，徐德言早已泣不成声……卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶．他答应徐德言，一定要在他们之间传递消息，让他们夫妻早日团圆．徐德言就着月光题诗一首，托老人带给乐昌公主．诗这样写道：镜与人俱去，镜归人不归．无复嫦娥影，空留明月辉．乐昌公主看到丈夫题诗，想到与丈夫咫尺天涯，难以相见，更是大放悲声，终日容颜凄苦，水米不进．杨素再三盘问，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打动．他立即派人将徐德言召入府中，让他夫妻二人团聚．府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已．在欢庆的感激之情．宴罢，夫妻二人携手同归江南故里．这段佳话被四处传扬，所以就有了破镜重圆的典故，一直流传至今．作业1. 如图，图中较小圆的面积是3.14，较大圆的面积是多少？ 作业2. 如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业3. 如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都很空旷．绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，山羊的活动范围有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3） 作业4. 如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业5. 如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）第1题图 第2题图 第3题图 第4题图ABCD E HF第二讲 圆与扇形进阶例题1.答案：（1）6.28；（2）25.12详解：（1）方中圆，方与圆的比为4:π，可求出圆的面积是6.28；（2）圆中方，圆与方的面积之比是π:2，可求出圆的面积是25.12． 例题2.答案：面积都是12.56详解：左图中阴影部分的面积为24π112.56⨯⨯=，右图中阴影部分的面积为2π212.56⨯=．例题3.答案：（1）2.28；（2）2.28详解：（1）可利用重叠求出阴影部分面积，阴影面积等于两个圆心角为90°、半径为2的扇形面积减去边长为2的正方形面积．即212222 2.284S π=⨯⨯⨯-⨯=；（2）将四个半径为1厘米的半圆叠加起来，恰好将每块阴影各算了两遍，每块空白各算了一遍．所以阴影部分面积等于4个半径为1厘米的半圆面积之和减去边长为2厘米的正方形面积，即21412224 2.282ππ⨯⨯⨯-⨯=-=平方厘米．例题4.答案：44.56详解：扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4个长为4厘米、宽为2厘米的长方形，4块半径为2厘米、圆心角为90度的扇形（恰好拼成一个圆）．所以扫过的面积是2424π244.56⨯⨯+⨯=平方厘米． 例题5.答案：2.28详解：阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个整圆．圆的直径等于正方形的对角线．设正方形对角线为l ，圆的直径为d ，则242l =，28l =，28d =，圆的面积为22 6.284d S ππ===．=6.284=2.28S -．例题6.答案：（1）175.84平方米；（2）163.28平方米详解：（1）如下左图，小狗的活动范围为圆心角为270°、半径为8米的扇形，和两个圆心角为90°、半径为4米的扇形．总大小为223184256175.8444πππ⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．（2）如下右图，小狗的活动范围为半径是8米的半圆，和两个圆心角为90°、半径为6米的扇形，以及两个圆心角为90°、半径为2米的扇形．总大小为2221118622252163.28244ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．练习1.答案：6.28，3.14简答：方中圆，方和圆的面积比为4:π，可求出小圆的面积是3.14．大圆的面积是小圆面积的2倍，是6.28． 练习2.答案：2.58简答：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为4:π，可求出小圆的面积是1.5π．那么阴影部分的面积是12 1.5π2 2.58-⨯=． 练习3.答案：9.12简答：21π42169.124⨯⨯⨯-=．练习4.答案：28.56简答：扫过的区域如图所示．正方形的边长是2厘米，四个正方形的面积之和是16平方厘米．四个扇形正好可以拼成一个半径为2厘米的圆，圆的面积是12.56平方厘米．最后的结果是28.56平方厘米． 作业1.答案：6.28简答：较大圆、正方形和较小圆之间的比是2π：4：π，即较大圆的面积是较小圆的2倍．作业2. 答案：4.56简答：四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积．四个半圆可以拼成两个相同的圆．而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是6.28．那么阴影部分的面积就是6.2828 4.56⨯-=．作业3.答案：98简答：山羊的活动范围如图所示，绳长为6米，面积为2230012098ππ62π2983603603⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．作业4. 答案：23.55 简答：阴影部分的面积是2221113.141 3.142 3.143444⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 213.14423.554+⨯⨯=平方厘米． 作业5. 答案：44.56简答：扫过的区域如图所示，面积为2226222π244.56⨯⨯+⨯⨯+⨯=平方厘米．。
小学奥数精讲第七讲 圆与扇形综合
第7讲 圆与扇形综合同步练习：1. 如图，已知正方形的面积为8平方厘米，求图中谷子形（阴影部分）的面积.（π取3.14）【答案】4.56【解析】设正方形的边长（或扇形的半径）为a ，则28=a ，再来求谷子形的面积，有多种求法：法1：谷子形的面积等于弓形面积的两倍，即：2211112=22 3.1488 4.564242π⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭谷子形弓形S S a a 平方厘米法2：谷子形等于正方形面积减去两个弯角，即：12828 3.148 4.564⎛⎫=-=-⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭谷子形正方形弯角S S S 平方厘米法3：谷子形等于两个直角扇形减去一个正方形，即：122 3.1488 4.564=-=⨯⨯⨯-=谷子形正方形扇形S S S 平方厘米.2. 如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是 平方厘米．（π取3.14）【答案】157平方厘米．【解析】将小正方形转45°，如下图，可以看出大正方形的面积是小正方形面积的两倍，所以大圆面积是小圆面积的两倍．因为大正方形面积是400平方厘米，所以大圆面积为314平方厘米，小圆面积为157平方厘米，圆环面积为157平方厘米．3. 如下图所示，半圆1S 的面积是14.13平方厘米.圆2S 的面积是5198平方厘米，求阴影部分的面积.（π取3.14）【答案】5平方厘米【解析】设半圆1S 和圆2S 的半径分别是12,r r ，则22121514.13,1928ππ==r r ，可分别解得13=r 厘米，2 2.5=r 厘米，所以阴影部分长方形的长为225=r 厘米，宽为1222651-=-=r r 厘米，面积为515⨯=平方厘米.4. 如图，正方形的边长为3厘米，求阴影部分的周长.（π取3.14）【答案】9.28【解析】如下图，将各点标上字母，连接AE 、BE ，因为AE 、BE 、AB 都等于正方形的边长，因此△ABE 是正三角形，因此弧BE 、AE 所对的圆心角都是60°，阴影部分的周长等于弧AE 、弧BE 和线段AB 的和，为：122 3.14339.286⨯⨯⨯⨯+=厘米.5. 如图，已知圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是______平方厘米．(π取3.14)【答案】45【解析】设大圆半径为R ，小圆半径为r ，则圆环面积为()22141.3π-=R r 平方厘米，所以阴影部分面积为22141.3 3.1445-=÷=R r （平方厘米）．6. 如图，ABCD 是边长为10厘米的正方形，且AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是 平方厘米.（π取3.14）【答案】17.875．【解析】如图，两个阴影部分的面积相当于正方形面积—三角形DOC 的面积—半圆面积， 所以该面积=()101010104 3.14552217.875⨯-⨯÷-⨯⨯÷÷=（平方厘米）.7. 如图所示，曲线ACDB 和COD 是两个半圆，CD 平行于AB ，大半圆的半径是1米，那么阴影部分的面积是______．A ．12π- B ．3142π- C ．1 D ．2π【答案】A ．【解析】因为大半圆半径为1，所以大半圆的面积为2π， 14=+-阴影小半圆大圆等腰直角三角形S S S S ，即为111+-=4422πππ⨯-．8. 如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是_____平方厘米，(π取3.14)【答案】7.125【解析】观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为45∠=︒ADB ， 所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360⨯⨯=⨯⨯=AD (平方厘米)， 那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．9. 如图，梯形ABCD 中的两个阴影部分的面积相等，DE =1cm ，∠A =∠B =45°，则CD = ______cm ．（其中π取3.14）【答案】0.57．【解析】由于两个阴影部分面积相等，可知扇形面积为梯形面积的一半，又知道扇形面积为221+=84ππ⨯⨯（11），所以梯形面积为2π，设CD 的长为x cm ，那么(11)122π+++⨯÷=x x ， 求得CD 的长为12π-=0.57cm ．C10. 三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是5厘米,大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大______平方厘米.（π取3.14）【答案】78.5【解析】大半圆外的阴影面积和大半圆内的阴影面积都不好直接求，题目只要求计算它们的差，同时加上图中的所有空白部分，它们的差不变.大半圆外的阴影部分加上所有空白以后是两个小圆和两个小半圆，实际等于三个小半圆的面积，为23 3.145235.5⨯⨯=平方厘米；大半圆内的阴影部分加上所有空白以后是一个大半圆的面积，为213.14101572⨯⨯=平方厘米，它们的差为78.5平方厘米. 深化练习11. 如图，已知圆心是O ，半径9=r 厘米，1215∠=∠=︒，那么阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【答案】42.39．【解析】因为圆的半径都相等，于是=OA OB ．在等腰三角形AOB 中两个底角都是15︒．又知道三角形内角之和是180︒，所以，三角形AOB 的顶角180(1515)150∠=︒-︒+︒=︒AOB ．同理150∠=︒AOC ，因此360(150150)60∠=︒-︒+︒=︒BOC ．这就是说，阴影部分扇形的面积是圆面积的16，即2211π 3.14942.3966⨯⨯≈⨯⨯=r （平方厘米）．12. 在下图中，AC 为圆O 的直径，三角形ABC 为等腰直角三角形，其中90∠=︒C ．以B 为圆心，BC 为半径作弧CD 交线段AB 于D 点．若AC =10cm ， 试求下图中阴影部分面积之和．(π取3)【答案】62.5cm 2．【解析】阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：222115101062.582ππ⨯+⨯⨯-⨯=（cm 2）．13. 如图，圆中有四条弦，每一条弦都把圆分割成面积比为13∶的两个部分，而这些弦在圆正中正好围出一个正方形．已知这个正方形的面积为2100cm ，请问图中阴影部分的面积为多少2cm ？【答案】25cm 2．【解析】因每一条弦都把圆分割成面积比为13∶的两个部分，其中较小的部分是圆的14，四块加起来应该等于整个圆的面积，因此得知正方形面积为阴影部分面积的4倍，即阴影部分的面积为2100425(cm )÷=．14. 图中3=AB ，阴影部分的面积是______.【答案】4.5．【解析】图中有两种半径的圆弧，其中半径大的所对应的圆的面积是小的2倍，小半圆面积等于大的90°扇形的面积，可以得出下图两块小阴影面积之和等于大阴影的面积，所以原题阴影面积等于中间正方形的面积3×3÷2=4.5．15. 直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于______平方厘米．【答案】105【解析】设小圆半径为r ，大圆半径为R ，则()()222-+=+R r R R r ， 4=R r ，所以大圆面积是小圆的16倍，所以小圆面积为105平方厘米．。
五年级奥数.计算综合.公式、重要结论的应用与换元法(C级).学生版
（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算； （2） 了解等比数列；（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。
【基本概念】等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。
注：q =1时，an 为常数列。
【常用公式】 （1） 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=；（2） ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； （3）()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；（4） 等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a qq --=++⋅⋅⋅+=-()1〉q ； （2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1〈q 。
（5） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；（6） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平考试要求知识结构公式、特殊结论应用与换元法方，2倍乘积在中央”．（1） 平方和、立方和公式的灵活运用； （2） 等比数列公式的灵活运用。
【例 1】 计算：222012201125531012323111+⨯-⨯【巩固】计算：1666513332111108888555544441333299998888666644443333⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯【例 2】 计算：(10876312)(876312918)(10876312918)(876312)++⨯++-+++⨯+例题精讲重难点【巩固】计算：()()-+++⨯+++100198531027629853102762201 ()()985310276210019853102762201++⨯++++【例 3】 计算：31431.462868.668.6686⨯+⨯+⨯＝ 。
小学奥数—圆与扇形(三)
A
BC
DE
【例 2】 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见如 图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取 3.14 )
4-3-3 圆与扇形 题库
学生版
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【巩固】一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是 4m ，求狗所能到的地方 的总面积．(圆周率按 3.14 计算)
A
B
D
C
【例 8】 (华杯赛初赛)半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小 铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【巩固】如果半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁 环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
360 扇形中的弧长部分 所在圆的周长 n
360 扇形的周长 所在圆的周长 n 2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)
360 ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积 扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图：
弯角的面积 正方形-扇形
④”谷子”：如图：
正方形的边长为 10，那么阴影部分的面积是多少?( 取 3.14)
A
10 D
P
B QC
4-3-3 圆与扇形 题库
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【巩固】如右图，以 OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以 O 点为中心旋 转 90 ，问：三角形扫过的面积是多少？( π 取 3)
4-3-3 圆与扇形 题库
五年级奥数思维训练圆与扇形的周长与面积计算
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2 3 4
直径（d） 2 4 6 8
周长（C） 2π 4π 6π 8π
面积（S） 1π 4π 9π
25π
通过观察此表，回答：圆的半径扩大n倍，周长和面积分别扩 大几倍？
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
直径（d） 2 4 6
周长（C） 2π 4π 6π 8π
面积（S） 1π 4π
25π
通过观察此表，回答：圆的半径扩大n倍，周长和面积分别扩 大几倍？
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2 3
直径（d） 2 4 6
周长（C） 2π 4π 6π 8π
面积（S） 1π 4π 9π
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2
直径（d） 2 4 6
周长（C） 2π
8π
面积（S） 1π
25π
通过观察此表，回答：圆的半径扩大n倍，周长和面积分别扩 大几倍？
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2
直径（d） 2 4 6
ห้องสมุดไป่ตู้
半径（r） 1 2
直径（d） 2
6
周长（C） 2π
8π
面积（S） 25π
通过观察此表，回答：圆的半径扩大n倍，周长和面积分别扩 大几倍？
练一练
根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π取3.14）
半径（r） 1 2
直径（d） 2
五年级奥数专题 圆与扇形(学生版)
学科培优 数学 圆与扇形 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲主要介绍与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题。
学校里已讲过基本的圆和扇形周长以及面积的计算公式,这里主要介绍对对象进行适当的移动、拼割、分部以简化运算为目的的方法.重点难点1.复杂图形的化简2.带入圆周率时的计算准确度考点1．熟练运用分割、拼补等手段简化运算2．结合情景的曲线面积计算知识梳理一、圆形的面积与周长(1) 圆的周长2C d r ππ==（d 为直径,r 为半径）(2) 圆的面积212S r Cr π== 【授课批注】公式很简单,主要是如何化为简单的公式运算。
注意到面积公式可表示为周长与半径之积的一半,说明圆的面积计算推导与三角形面积公式有关。
二、扇形的面积与弧长(1)扇形的弧长2360l r θπ= (2)扇形的面积213602S r lr θπ==扇 例题精讲【试题来源】【题目】如图,有8个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π取 3.1416,那么花瓣图形的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构,其中盘A 直径为10厘米,盘B 直径为40厘米,盘C 直径为20厘米．问：A 顺时针方向转动一周时,重物上升多少厘米?( π取3.14．)【试题来源】【题目】图为一卷紧绕成的牛皮纸,纸卷直径为20厘米,中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米,问：这卷纸展开后大约有多长?【试题来源】【题目】如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415,是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米?【试题来源】【题目】如图,用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中是一个直径是3厘米的半圆,AB是直径．让A点不动,把整个半圆逆时针转60,此时B点移动到C点,如图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,四分之一大圆的半径为7,求阴影部分的面积,其中圆周率取近似值【试题来源】【题目】如图17-13,三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米,AB 长40厘米．求BC 的长度．(π取3.14)【试题来源】【题目】图中阴影部分的面积是多少平方厘米?π227【试题来源】【题目】如下页图.等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心,EF 为圆弧,组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等.求扇形所在的圆面积.【试题来源】【题目】平面上有7个大小相同的圆,位置如图所示．如果每个圆的面积都是10,那么阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】如右图,正方形的边长为5厘米,则图中阴影部分的面积是平方厘米．(π取3．14)【试题来源】【题目】传说古老的天竺国有一座钟楼,钟楼上有一座大钟,这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下,钟面就会出现奇妙的阴影(如右下图)．那么,阴影部分的面积是多少平方米？【试题来源】【题目】在右图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.【试题来源】【题目】如下图,AB与CD是两条垂直的直径,圆O的半径为15厘米,是以C为圆心,AC为半径的圆弧,求阴影部分面积．【试题来源】【题目】如下图,两个半径相等的圆相交,两圆的圆心相距正好等于半径,AB弦约等于17厘米,半径为10厘米,求阴影部分的面积．【试题来源】【题目】求图中阴影部分的面积．( 取3.14)【试题来源】【题目】如下图所示,曲线PRSQ和ROS是两个半圆．RS平行于PQ．如果大半圆的半径是1米,那么阴影部分是多少平方米？(π取3.14)【试题来源】【题目】右图是由正方形和半圆形组成的图形,其中P点为半圆周的中点,Q点为正方形一边的中点,已知正方形的边长为10,那么阴影部分的面积是多少?(丌取3．14)习题演练【试题来源】【题目】.右图是一个圆心角为45°的扇形,其中直角三角形BOC的直角边为6厘米,求阴影部分面积。
高斯小学奥数五年级下册含答案第01讲_圆与扇形初步
第一讲圆与扇形初步- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -圆是宇宙中最简单的图形：天上的太阳、月亮、行星和恒星，它们在太空中呈现圆和球形；地上的滚滚车轮，家里的盘子、碗、钟表也都是圆的．在自然界中，没有像圆那样美的图形了．圆匀称、饱满、光滑、对称，常用来象征吉祥如意，表达人们的良好愿望：圆满、圆梦、团圆……古希腊毕达哥拉斯学派认为：“一切立体图形中最美的是球体，一切平面图形中最美的是圆形”．他们认为，圆是神创造出来的最完美的东西．在纸上画一点O ，并在纸上找到所有与O 距离为1的点，如A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ……等．这些点合到一起，就构成一个圆．．点O 就称为该圆的圆心．．；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA 、OB 、OC 、OD 等）叫半径．．；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫直．径．．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率．．．，用希腊字母π表示．很早的时候，人们就利用滚圆法知道了π大约是3．随着科学的进步，现在我们已经知道圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值3.14．直径长度通常用字母d 来表示，半径长度通常用r 来表示，圆周长通常用C 来表示．于是有圆周长公式：习惯上，圆面积用字母S 来表示．它的计算公式为：这一计算公式可以通过圆的周长公式推导出来．大家仔细观察下图，想想看应该如何推导？练一练下面的题目中，π都取为3.14．1.已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的周长为_______厘米；2.已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为_______厘米；3.已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的面积为_______平方厘米；4.已知一个圆的面积为78.5平方厘米，那么这个圆的半径为_______厘米．扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．需要注意的是，扇形的弧长不是它的周长．．．．．．．．．．．，扇形的周长还必须加上两条半径！练一练5. 已知一个扇形的半径是2厘米，圆心角是45°，那么这个扇形所在圆的面积是_______平方厘米；扇形的圆心角占圆周角的____分之____，它的面积占圆面积的____分之____，这个扇形的面积是______．6. 已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为________厘米，周长是_______厘米；面积为_______平方厘米．7. 已知一个扇形的半径为4厘米，面积为12.56平方厘米，它的弧长等于_______厘米，周长等于______厘米．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1．有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（π取3.14） 分析：小圆的直径是多少？练习1．半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（π取3.14）例题2．如图，在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（π取3.14） 分析：大圆的半径是多少？小圆的半径又是多少？练习2．如图，在一块面积为12.56平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -一个规则的圆或扇形直接利用公式就可以求解，但一个不规则图形就没那么容易．在求解之前，先得当一回“裁缝”，将图形拆分、重组，然后再利用规则图形的相加或相减来进行求解．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：经过适当的分割和移动，图中不规则的阴影部分可以拼成规则的几何图形．练习3．图中的4个圆的圆心恰好是正方形的4个顶点，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）444例题4．如图是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）分析：图（2）中整个图形的面积是多少，空白部分的面积又是多少？先列出算式，看看有没有可以抵消的部分．练习4．下图（1）是一个半径为3厘米的半圆，AB 是直径．如图（2）所示，让A 点不动，把整个半圆顺时针转30°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？小知识圆有很多有意思的性质：➢ 圆心到圆上的每个点的距离都相等，这是圆的定义．➢ 每条经过圆心的直线都把圆平分为两半，都是圆的对称轴，因而圆有无数条对称轴． ➢ 圆绕着圆心任意旋转，所得的图形与原来的圆重合．➢ 所有的圆之间都可以通过缩放相互转换，因而圆只有唯一一种形状，任意两个圆都是相似的．➢ 所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．因而圆也被称为平面上最完美的图形．A BB （1）（1） A A B B （2）例题5．图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？分析：图中的阴影部分虽然很对称，但并不规则，无法用公式直接计算．那能不能通过恰当的割补将其变为一个规则图形进行求解呢？同学们不妨动手试一试．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例6． 右图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4．图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）分析：阴影部分的两个小弓形可以拼到哪里？圆的历史圆形，是一个看来简单，实际上十分奇妙的图形．古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆．到了陶器时代，许多陶器都是圆的．圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的．当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤．古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲．后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多．约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘．大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子．会作圆，但不一定就懂得圆的性质．古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468~前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330~前275年）给圆下定义要早100年．任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示．它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14．如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr．《周髀算经》上说“周三径一”，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值．美索不达米亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3．魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径的比值．他创立了割圆术，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长．他算到圆内接正3072边形的圆周率，π=3927/1250．刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就．祖冲之（公元429~500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率．在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值．现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后12400亿位了．作业1. 面积为78.5平方厘米的圆，周长是多少厘米？（π取3.14）作业2. 一个半径为3分米的扇形，面积为6.28平方分米，那么它的圆心角是多少度？（π取3.14） 作业3. 如图，三角形ABC 为等边三角形，边长为2，D 为BC 边中点．分别以B 、C 为圆心、1为半径作两个扇形（即图中阴影部分）．那么阴影部分的面积是多少？（π取近似值3.14，结果保留2位小数） 作业4. 如图，ABCD 是正方形，且F A =AD =DE =1，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业5. 图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（图中长度单位为厘米，π取3.14）第4题图第3题图第一讲 圆与扇形初步例题1.答案：62.8米详解：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是2π5262.8⨯⨯=米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆． 例题2.答案：6.28平方厘米详解：228.26 3.143÷=，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为228.2671 3.14 6.28-⨯⨯=平方厘米．例题3.答案：4；4.56；8详解：（1）割补法，将右边的弓形补到左边，两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形面积的一半．即44224⨯÷÷=．（2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼成一个完整弓形，面积为1144 3.1444 4.5642⨯⨯⨯-⨯⨯=． （3）割补法．正好是把第二问的过程反过来，把两个小弓形补到空白部分，阴影部分面积之和正好是等腰直角三角形的面积，即4428⨯÷=．例题4.答案：4.71详解：图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一个圆心角为60°的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为60°的扇形面积，即21π3 4.716⨯⨯=．例题5.答案：8平方厘米详解：如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径的两倍，等于4厘米，所以面积为平方厘米．例题6.答案：4.56详解：如图，把两个阴影部分的小弓形补到空白部分之后，可以看出阴影部分的面积之和等于大扇形的面积减去圆中正方形的面积．21π4442 4.564⨯⨯-⨯÷=．4428⨯÷= 444练习1. 答案：62.8简答：()1234 3.14262.8+++⨯⨯=．练习2. 答案：6.28简答：大圆的面积是12.56，可求出大圆的半径是2，那么小圆的半径是1，面积是3.14．阴影部分的面积是12.56 3.14 3.14 6.28--=．练习3. 答案：10.28简答：图中的阴影部分恰好可以拼成一个边长为2的正方形和两个半径为1的圆，22 3.1411210.28⨯+⨯⨯⨯=．练习4. 答案：9.42简答：类似例题4的分析，可知阴影部分的面积与30°的扇形面积是相同的，都是21π69.4212⨯⨯=．作业1.答案：31.4 简答：278.5 3.1425r =÷=，5r =．2 3.14531.4C =⨯⨯=厘米． 作业2. 答案：80简答：扇形所在大圆的面积是23.14328.26⨯=，圆心角是6.283608028.26⨯=度． 作业3. 答案：1.05简答：阴影部分是两个60°的扇形，面积是213.1412 1.056⨯⨯⨯≈． 作业4. 答案：0.6075简答：连接BD ，将最左边的弓形补过来．阴影部分的面积就是平行四边形BDEC 的面积减去扇形的面积．24511 3.141=0.6075360S =⨯-⨯⨯n 影． 作业5. 答案：12平方厘米 简答：阴影部分可以合成三个斜边是4的等腰直角三角形，面积是344412⨯⨯÷=平方厘米；。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第15讲-+圆与扇形
圆：到定点距离等于定长的几何图形。
2C πr=2πS r =O r 圆的周长：圆的面积：扇形：圆的一段弧与两条半径围成的图形。
它是圆的一部分。
22360C πn r r =+⨯2360πn S r =⨯扇形的周长： 扇形的面积： O 2弧长半径÷×S =割补法求不规则图形的面积：通过割补，化不规则为规则。
（1）已知一个扇形的半径为2厘米，弧长为3.14，这个扇形的面积是多少？（2）已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长．（π取3.14）弧长=2π×半径×n 360（1） 3.14=3.14×4×n 360 n =90°面积=3.14×4×14=3.14122扇形弧长半径÷×S （2） 56.52×2÷3.14=36 半径=62×3.14×6÷2+6×2=30.84已知一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的半径和周长各是多少？（π取3.14）18.84×6=113.04平方厘米113.04÷3.14=36半径=6厘米3.14×6×2÷6=6.28厘米周长：6.28+12=18.28厘米求各图中阴影部分的面积。
(图中长度单位为厘米，π取近似值3.14) 10 10 ⑴2⑵ 10×10÷2÷2=25 3.14×1×1=3.142×2÷2=2 3.14-2=1.141.14×2=2.28如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B、C为圆心，3为半径画圆。
已知图中阴影部分的面积是35.58。
请问：角A是多少度？(π取近似值3.14)A B C45-35.58=9.423.14×3×3=28.269.42÷28.26=13∠B +∠ C=360÷3=120度∠ A=180-120=60度图⑴是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图⑵所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(π取近似值3.14)⑴ A B A BC60 ⑵ 3.14×3×3÷6=4.71平方厘米如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？36÷9=4平方厘米4×7=28平方厘米36-28=8平方厘米【例7】高思教育竞赛数学导引第15讲图中4个圆的圆心是恰好是正方形的4个顶点，而它们的公共点恰好是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？正方形对角线：2+2=4厘米4×4÷2=8厘米图中有一个等腰直角三角形ABC ，一个以AB 为直径的半圆，和一个以BC 为半径的扇形．已知厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）10AB BC ==25×π÷2=12.5π平方厘米10×10×π×45360=12.5π平方厘米10×10÷2=50平方厘米12.5π+12.5π-50≈28.5平方厘米下图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4．图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）π×4×4÷4 - 4×4÷2=4.564【例10】高思教育竞赛数学导引第15讲（1）如图，已知外面大圆的半径是4，求正方形以及里面小圆的面积．（答案用π表示）（2）已知图7-18中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积．（答案用π表示） 正方形面积：8×8÷2=32（2r ）2=32 r 2=8小圆的面积=8π（2r ）2÷2=4 r 2=2小圆的面积=2π阴影面积=2π-4图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形．请问：两个阴影部分的面积之差是多少？（π取3.14）大扇形的面积=5×5×π÷4=6.25π小扇形的面积=2×2×π÷4=π长方形的面积=5×3=156.25π-15-π=1.485（1）根据图中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（π取3.14） （2）如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取3.14） 6 直径=6÷3=2 圆的周长=2π周长2π+6×2=18.28 圆的面积=π4×2+2×1×2+4×1×2=20 图形的面积20+3.14=23.14 5π+5×6=45.7厘米如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）狗4+4+2=10米(5-2)×180÷5=108度360-108=252度222521070360=mππ⨯⨯2218010872636052=m ππ-⨯⨯⨯22728236052=mππ⨯⨯⨯70π+725π+85π≈270平方米（1）图7-23中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）2π⨯212.56=平方厘米2×4×4=32平方厘米12.56+32=44.56平方厘米（2）图中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）360-90-90-60=120度120+120+120=360度3×2×3=18平方厘米2π⨯=212.5612.56+18=30.56平方厘米本讲知识点汇总一、圆的周长和面积： 圆面积 二、扇形的弧长和面积： 扇形弧长= ；扇形面积= 。
高斯小学奥数五年级下册含答案第02讲_圆与扇形进阶
第二讲圆与扇形进阶- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -自然界中，圆与方是最基本的两种图形．古人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大锅盖在一个方形的棋盘上．中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案．而在面积计算中，圆与正方形也有很大的关系．关于正方形和圆，有以下的面积关系：由此我们可以进一步推断：圆外切正方形面积是内接正方形面积的______倍；正方形外接圆面积是内切圆面积的______倍．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1．（1）左图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取3.14） （2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取3.14） 分析：利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解．练习1．如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积．（π取3.14）圆的外切正方形 与内接正方形 正方形的外接圆 与内切圆方中圆 圆中方例题2．计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小．（π取3.14） 分析：利用方中圆的比例关系可以轻松求解．练习2．如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - -小故事圆与方有一天，圆形和方形碰到了一起，它们一见面就吵了个面红耳赤，不管谁劝都不听．圆形说：“我们圆形就是比你们方形用处大，人们日常生活中用的锅呀、碗呀，体育中的蓝球、排球，水果里的苹果、桔子，大到汽车轮胎、自行车轮胎，都是我的家族．瞧，我们是不是比你们用处大！”圆形得意洋洋地说完．方形“哼”了一声说：“我们方形家族才是无处不在呢，人们用的电器、冰箱、彩电、电脑，就连学生用的课本都是我们方形的哟！”方形也自豪地说．它们谁也无法说服谁，都来到大街上．望着街上的车，方形对着圆形的车轮喊了声：“变！”转眼间车轮变成了方形．正当方形喜笑颜开时，人群出现了混乱，汽车开不了，自行车也只能扛着了，大家都在说：“这是谁干的呀！真是害人呀！”而圆形来到一座刚建好的大楼前，望着由一块块方形红砖盖成的大楼，圆形生气地大声 喊了声“变！”呀，方形红砖变成圆形了．圆形还没来及高兴呢，就听“轰”一声大楼倒了下来．看到这个情景，圆形呆住了：“这是怎么回事？” 只见混乱的人群里走出了一位老人，他来到方形和圆形面前对它们说：“其实你们都很棒，只是你们分工不同而已，只要你们齐心协力，一定会为人类作更大的贡献．在上一讲中，我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积．而对于一些比较特殊8的形状，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，求下面各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是哪些图形的重叠部分？练习3．已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等．这些物体在运动的过程中，扫过的图形都是曲线形．这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢？例题4．图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）分析：要求扫过的面积，关键在于弄清扫过的区域；而要弄清扫过的区域，关键在于弄清区域的边界．你能通过合理动态想象，画出边界来吗？练习4．如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）例题5．如图，求阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应该怎么计算扇形的面积呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6．（1）如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地．绳长8米．小狗的活动范围是多少平方米？（2）如果小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）分析：如果没有建筑物的阻挡，小狗的活动范围应该是一个圆．有建筑物的话，活动范围会受到什么样的影响呢？A含有“圆”字的成语圆首方足：出自《淮南子·精神训》：“头之圆也象天，足之方也象地．”用来代指人类．戴圆履方：出自《淮南子·本经训》：“戴圆履方，抱表怀绳．”履：踩着；圆、方：古人以为天圆地方．头顶着天，脚踩着地．指生活在人间．方枘圆凿：出自战国时楚国宋玉的《九辨》：“圆凿而方枘兮，吾固知其龃龉而难入．”凿：榫眼；枘：榫头．方枘装不进圆凿．比喻格格不入，不能相合．这三个成语之外，还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字，如圆孔方木、圆颅方趾、外圆内方等．这说明古人对于圆和方的认识非常深刻，已经将其应用到了生活中的很多方面．而我们在圆与扇形的学习中，也要注意圆形与正方形之间的联系．元方，你怎么看？破镜重圆：这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的．杨素，字处道，在辅佐隋文帝杨坚结束割据，统一天下，建立隋朝江山方面立下了汗马功劳．他不仅足智多谋，才华横溢，而且文武双全，风流倜傥．在朝野上下都声势显赫，颇著声名．隋开皇九年（公元589年）杨素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚，其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻，也就是陈国的乐昌公主．由于杨素破陈有功，加之乐昌公主才色绝代，隋文帝就乱点鸳鸯，将乐昌公主送进杨素中，赐为杨素小妾．杨素既仰慕乐昌公主的才华，又贪图乐昌公主的美色，因此就更加宠爱，还为乐昌公主专门营造了宅院．然而乐昌公主却终日郁郁寡欢，默无一语．原来，乐昌公主与丈夫徐德言两心相知，情义深厚．陈国将亡之际，徐德言曾流着泪对妻子说：“国已危如累卵，家安岂能保全，你我分离已成必然．以你这般容貌与才华，国亡后必然会被掠入豪宅之家，我们夫妻长久离散，名居一方，唯有日夜相思，梦中神会．倘若老天有眼，不割断我们今世的这段情缘，你我今后定会有相见之日．所以我们应当有个信物，以求日后相认重逢．”说完，徐德言把一枚铜镜一劈两半，夫妻二人各藏半边．徐德言又说：“如果你真的被掠进富豪人家，就在明年正月十五那天，将你的半片铜镜拿到街市去卖，假若我也幸存人世，那一天就一定会赶到都市，通过铜镜去打问你的消息．”一对恩爱夫妻，在国家山河破碎之时，虽然劫后余生，却受尽了离散之苦．好容易盼到第二年正月十五，徐德言经过千辛万苦，颠沛流离，终于赶到都市大街，果然看见一个老头在叫卖半片铜镜，而且价钱昂贵，令人不敢问津．徐德言一看半片铜镜，知妻子已有下落，禁不住涕泪俱下．他不敢怠慢，忙按老者要的价给了钱，又立即把老者领到自己的住处．吃喝已罢，徐德言向老者讲述一年前破镜的故事，并拿出自己珍藏的另一半铜镜．颤索索两半铜镜还未吻合，徐德言早已泣不成声……卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶．他答应徐德言，一定要在他们之间传递消息，让他们夫妻早日团圆．徐德言就着月光题诗一首，托老人带给乐昌公主．诗这样写道：镜与人俱去，镜归人不归．无复嫦娥影，空留明月辉．乐昌公主看到丈夫题诗，想到与丈夫咫尺天涯，难以相见，更是大放悲声，终日容颜凄苦，水米不进．杨素再三盘问，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打动．他立即派人将徐德言召入府中，让他夫妻二人团聚．府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已．在欢庆的感激之情．宴罢，夫妻二人携手同归江南故里．这段佳话被四处传扬，所以就有了破镜重圆的典故，一直流传至今．作业1. 如图，图中较小圆的面积是3.14，较大圆的面积是多少？ 作业2. 如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业3. 如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都很空旷．绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，山羊的活动范围有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3） 作业4. 如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业5. 如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）第1题图 第2题图 第3题图 第4题图ABCD E HF第二讲 圆与扇形进阶例题1.答案：（1）6.28；（2）25.12详解：（1）方中圆，方与圆的比为4:π，可求出圆的面积是6.28；（2）圆中方，圆与方的面积之比是π:2，可求出圆的面积是25.12． 例题2.答案：面积都是12.56详解：左图中阴影部分的面积为24π112.56⨯⨯=，右图中阴影部分的面积为2π212.56⨯=．例题3.答案：（1）2.28；（2）2.28详解：（1）可利用重叠求出阴影部分面积，阴影面积等于两个圆心角为90°、半径为2的扇形面积减去边长为2的正方形面积．即212222 2.284S π=⨯⨯⨯-⨯=；（2）将四个半径为1厘米的半圆叠加起来，恰好将每块阴影各算了两遍，每块空白各算了一遍．所以阴影部分面积等于4个半径为1厘米的半圆面积之和减去边长为2厘米的正方形面积，即21412224 2.282ππ⨯⨯⨯-⨯=-=平方厘米．例题4.答案：44.56详解：扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4个长为4厘米、宽为2厘米的长方形，4块半径为2厘米、圆心角为90度的扇形（恰好拼成一个圆）．所以扫过的面积是2424π244.56⨯⨯+⨯=平方厘米． 例题5.答案：2.28详解：阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个整圆．圆的直径等于正方形的对角线．设正方形对角线为l ，圆的直径为d ，则242l =，28l =，28d =，圆的面积为22 6.284d S ππ===．=6.284=2.28S -．例题6.答案：（1）175.84平方米；（2）163.28平方米详解：（1）如下左图，小狗的活动范围为圆心角为270°、半径为8米的扇形，和两个圆心角为90°、半径为4米的扇形．总大小为223184256175.8444πππ⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．（2）如下右图，小狗的活动范围为半径是8米的半圆，和两个圆心角为90°、半径为6米的扇形，以及两个圆心角为90°、半径为2米的扇形．总大小为2221118622252163.28244ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．练习1.答案：6.28，3.14简答：方中圆，方和圆的面积比为4:π，可求出小圆的面积是3.14．大圆的面积是小圆面积的2倍，是6.28． 练习2.答案：2.58简答：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为4:π，可求出小圆的面积是1.5π．那么阴影部分的面积是12 1.5π2 2.58-⨯=． 练习3.答案：9.12简答：21π42169.124⨯⨯⨯-=．练习4.答案：28.56简答：扫过的区域如图所示．正方形的边长是2厘米，四个正方形的面积之和是16平方厘米．四个扇形正好可以拼成一个半径为2厘米的圆，圆的面积是12.56平方厘米．最后的结果是28.56平方厘米． 作业1.答案：6.28简答：较大圆、正方形和较小圆之间的比是2π：4：π，即较大圆的面积是较小圆的2倍．作业2. 答案：4.56简答：四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积．四个半圆可以拼成两个相同的圆．而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是6.28．那么阴影部分的面积就是6.2828 4.56⨯-=．作业3.答案：98简答：山羊的活动范围如图所示，绳长为6米，面积为2230012098ππ62π2983603603⨯⨯+⨯⨯⨯==平方米．作业4. 答案：23.55 简答：阴影部分的面积是2221113.141 3.142 3.143444⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 213.14423.554+⨯⨯=平方厘米． 作业5. 答案：44.56简答：扫过的区域如图所示，面积为2226222π244.56⨯⨯+⨯⨯+⨯=平方厘米．。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料圆与扇形 (2)
第二讲 圆与扇形内容概述这一讲我们一起研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
基本公式：圆的面积=πr 2，圆的周长=2πr ；例题精讲【例1】 数学小组的同学们正在热烈的研究圆和扇形之间到底有什么关系？亲爱的小朋友，你能够帮助他们吗？分析：由于扇形面积是圆面积的一部分，一个圆的周角是360°，只要知道扇形圆心角的度数，扇形的面积就可以由圆的面积公式按照比例通过计算而得到。
根据圆的面积=πr 2，扇形圆心角的度数用n °来表示，可以得出扇形面积公式为：【例2】 求下列各图阴影部分的面积。
（π取3）分析：（1）22111122 1.542422ππ=-=∙∙-∙∙=阴影部分面积的大圆的小圆（） （2）法1：如右图所示，过B 做BD 垂直于AC ，我们就容易得到BD=AD=DC ，所以BD=3，三角形ABC 的面积=3×6÷2=9， 阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC 的面积=4.5×3-9=4.5 ；法2 ：直角三角形的三边有一个特殊的关系，那就是著名的勾股定理：如右图所示，三角形ABC 是直角三角形，最长边是AC ，较短的两条边是AB 、BC ，那么有222AC AB BC =+。
反之，若三角形中有222AC AB BC =+，那么这个三角形就是直角三角形，且AC 边为最大边，所对的角是直角。
最经典的直角三角形三边为：3、4、5 （222534=+）。
在题目中，三角形ABC 是等腰直角三角形，所以有222AC AB BC =+，且AB=BC ， 可得， 2222112AB 6AB 18ABC =AB BC AB 922⨯==∙∙=∙=，，三角形的面积， 阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC 的面积=4.5×3-9=4.5 。
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圆与球：跨时代、跨文化的数学故事这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。
这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。
三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！圆和球还是最实用的图形。
宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。
简单中寓深奥。
在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。
圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。
中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。
刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。
古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。
不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。
阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式： (R 是球半径)。
阿基米德的方法可以看成是积课前预习圆与扇形综合分学的先声。
无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。
不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。
祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。
至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。
我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。
牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中，用插值法计算1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。
在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。
笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。
微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了π的无穷级数表达式饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理”。
他所谓的“圆理”，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。
古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。
阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！” 阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。
记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。
至于圆周率π的计算，这方面的成就往往被用作衡量某一时代、某一地区文化水平的标征。
前面已提到的祖冲之，亦以圆周率的计算而彪炳史册。
据《隋书》记载，祖冲之算出圆周率的精确值在 3.1415926与3.1415927之间，这在公元5世纪时创造了世界之最。
为了纪念这位文化名人，人们把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。
1955年，中国还发行了祖冲之纪念邮票。
祖冲之并不是仅有的出现在邮票上并与圆周率有关的数学家。
伊朗曾发行过纪念阿拉伯数学家阿尔·卡西的邮票，阿尔·卡西恰恰是祖冲之之后刷新圆周率计算记录的第一人，他在公元14世纪，给出了准确到13位小数的圆周率近似值。
今天，电子计算机已经将数值计算到小数点后数万亿位。
然而，电子计算机的发明、使用本身离不开圆的数学。
我们已经看到，圆与球，简单，美丽，奥妙，述说着一个跨时代、跨文化的数学故事。
最后，让我们回到本文开始之处—北京天坛，去侧耳倾听沿着那圆形的回音壁回荡的永恒的“圆舞曲”吧。
圆的知识：1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心.2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径.4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧.5. 圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2.扇形的知识：1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角.2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π=.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。
【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】常用方法： 1. 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2. 割补法：将不规则的组合图形经过分割（用连线分割）、切拼、拼合后，转化成一个规则的几何图形，从而交易求得面积的方法，就是割补法求面积。
3. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。
知识框架4.旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算的方法。
5.差不变原理：也称为放大法求面积，通常是求两个不规则图形的面积差，或是已知两个不规则图形的面积差，从而求面积大小或线段长短，一般我们把这两个图形经过放大（即加上同一图形），使它们变成两个规则图形，再计算解答。
重点：1、圆与扇形的面积和周长计算公式。
弓形的面积公式。
2、割补法求面积。
能运用割补法求组合图形的面积。
3、利用容斥原理就是重叠相减法求面积。
4、旋转图形问题的重点研究是当一个图形绕一点进行旋转轨迹扫过的面积。
难点：1、在解决复杂圆与扇形的周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。
2、在解决复杂圆与扇形的面积时，首先要根据图形组合的形式，用会求的图形的面积去求的题目所要求的图形面积。
3、多种方法在同一个题目中的分析及运用。
【例1】正方形的边长为10，求阴影部分得面积。
（用π的式子表示）重难点例题精讲【巩固】如图是一个边长为30的正方形，以各顶点为圆心，边长为半径，画圆弧，求阴影部分的面积。
【例2】如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)【巩固】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【例 3】如图所示，在半径为4厘米的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A 与其它部分面积B 之差(大减小)是 多少？21BBAA【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？5cm 7.5cm3cm 2cm ④③②①【例 4】如图，边长为3的两个正方形BDKE 、正方形DCFK 并排放置，以BC 为边向内侧作等边三角形，分别以B 、C 为圆心，BK 、CK 为半径画弧．求阴影部分面积．(π 3.14)KFEDCB A【巩固】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14)OD C BA【例 5】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)3)【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取)【例6】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取33【巩固】图中阴影部分的面积是．(π取3)【例 7】下图中，AB=3，阴影部分的面积是多少？FE DCBA【巩固】如图，AB 与CD 是两条垂直的直径，圆O 的半径为15，AEB 是以C 为圆心，AC 为半径的圆弧． 求阴影部分面积．EOAD CB【例 8】(祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD 是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C 点按顺时针方向旋转90度，分别求出四边扫过图形的面积．CBD A【巩固】如图，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．( 取3.14)DABC【例9】(2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n (1n )倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【例 10】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是_________平方米．111098765432112【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？O乙甲1211109876543211、有7根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的长度是多少？课堂检测2、如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)3、如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？4、(2008年“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC 中，B ∠为直角，且2BC =厘米，4AC =厘米，则在将ABC ∆绕C 点顺时针旋转120︒的过程中，AB 边扫过图形的面积为 ．(π 3.14=)CB AB'A'C B A解决圆与扇形较难的题目时，关键是能够对图形进行巧妙的分析，熟记每种方法的一些典型例题，或明显的图形，利用所学的各种方法，在解题的过程中灵活运用。