您的位置：360文档中心› 【中考专题】反比例函数与几何图形综合题

【中考专题】反比例函数与几何图形综合题

合集下载

中考反比例函数与几何综合

中考反比例函数与几何综合

Oy xBAABxy O反比例函数与几何综合基本图形及常见结论 （1） 反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围k S =矩形（2）反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2k S =三角形（3）反比例函数与正比例函数图像交于A ，B 两点，AM 与x 轴垂直； 则：①A ，B 两点关于原点对称；②k S ABM =△（4）过反比例函数xk y 11=图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(2122k k xk y ＞=交于两点； 则：①BNBP AM AP =,即AB ∥MN②21k k S APNH -=矩形③）（△2121k k S OAP -=一次函数)0(≠+=kb b kx y 和反比例函数)0(≠=m xmy 图像交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，BF ⊥y 轴，则：①OAE OBF S S △△= ② OAB ABFE S S △梯形=③AC BD =④BFAEOE OF AE OE BF OF =⇒⋅=⋅ ⑤OACOBD S S △△=（一）巧用k 的几何意义解题y x ABO CDy xDC F EO B A例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是________。

迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x (k>=xy 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与AB 交于点C ．若△OBC 面积为3，则k ＝_______迁移练习1（2）..双曲线)0x (k>=xy 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ； 若梯形OEBA 的面积为9，则k=________。

中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)

中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)

中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。

(江西人教)数学中考专题突破【专题4】反比例函数与几何图形综合题(20页)

(江西人教)数学中考专题突破【专题4】反比例函数与几何图形综合题(20页)

本的途径，预计2015年仍会延续此命题方式．
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
考向互动探究
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？
2．∠BCO与∠BPD有怎样的数量关系？
3．tan∠BCO的值是多少？怎样求线段OC的长？
4．要求点D的坐标，需要求出哪两条线段的长？怎样求？
5．怎样确定反比例函数的解析式？
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
【解题思路】
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
例 1 [2014·南昌] 如图 T4－1，在平面直角坐标系中，Rt△ 1 PBD 的斜边 PB 落在 y 轴上，tan∠BPD＝ .延长 BD 交 x 轴于点 C， 2 过点 D 作 DA⊥x 轴，垂足为 A，OA＝4，OB＝3. (1)求点 C 的坐标； k (2)若点 D 在反比例函数 y＝ (k＞0)的图象上，求反比例函数 x 的解析式．考点探究专题四来自反比例函数与几何图形综合题
图T4－3
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
解：(1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. ∵四边形 ABCD 是梯形，AD＝BC ∴DO＝CE， ∴△AOD≌△BEC，∴AO＝BE＝2. ∵BO＝6，∴DC＝OE＝4， ∴C(4，3)． k 设反比例函数的解析式为 y＝ (k≠0)， x k 根据题意，得 3＝ ， 4
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？
2．B，C，D三点的坐标可以看作由点A(2，6)通过怎样的平
移得到？
3．在将矩形向下平移的过程中，哪两点能同时落在函数图 象上？ 4．将矩形向下平移 a个单位后点A，C对应的点A′，C′的 坐标怎样表示？

反比例函数与几何的综合应用及答案

反比例函数与几何的综合应用及答案

专训1 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程组,解方程组即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6x>0的图象交于Am,6,B3,n 两点． 1求一次函数的解析式；2根据图象直接写出使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围； 3求△AOB 的面积．第1题2．如图,点A,B 分别在x 轴、y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,AO ＝CD ＝2,AB ＝DA＝,反比例函数y ＝x kk ＞0的图象过CD 的中点E.1求证：△AOB ≌△DCA ； 2求k 的值；3△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,其中点F 在y 轴上,试判断点G 是否在反比例函数的图象上,并说明理由．第2题反比例函数与四边形的综合反比例函数与平行四边形的综合3．如图,过反比例函数y ＝x 6x ＞0的图象上一点A 作x 轴的平行线,交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点B,过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点D,交x 轴于点C,连接AD 交y 轴于点E,若OC ＝3,求OE 的长．第3题反比例函数与矩形的综合4．如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别是4,0和0,2,反比例函数y ＝x kx>0的图象过对角线的交点P 并且与AB,第4题BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________．5．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB. 1求证：四边形AEBD 是菱形；2如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式．第5题反比例函数与菱形的综合6．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象第6题经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为A ．2B ．4C ．2D ．47．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正半轴上,点A 在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上,点D 的坐标为4,3．1求k 的值；2若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上时,求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．第7题反比例函数与正方形的综合8．如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,反比例函数y ＝x kx ＞0,k ≠0的图象经过线段BC 的中点D1求k 的值；2若点Px,y 在该反比例函数的图象上运动不与点D 重合,过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q,记四边形CQPR 的面积为S,求S 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围．第8题反比例函数与圆的综合第9题9．如图,双曲线y ＝x kk>0与⊙O 在第一象限内交于P,Q 两点,分别过P,Q 两点向x 轴和y 轴作垂线,已知点P 的坐标为1,3,则图中阴影部分的面积为________．10．如图,反比例函数y ＝x kk ＜0的图象与⊙O 相交．某同学在⊙O 内做随机扎针试验,求针头落在阴影区域内的概率．第10题专训2 全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图象、性质是历年来中考的热点,既有与本学科知识的综合,也有与其他学科知识的综合,题型既有选择、填空,也有解答类型．其热门考点可概括为：1个概念,2个方法,2个应用及1个技巧．1个概念：反比例函数的概念1．若y ＝m －1x |m|－2是反比例函数,则m 的取值为A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．某学校到县城的路程为 5 km ,一同学骑车从学校到县城的平均速度v km /h 与所用时间t h 之间的函数解析式是A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝t 5D ．v ＝5t3．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数：①xy ＝－31；②y ＝5－x ；③y ＝5x －2；④y ＝x 2aa 为常数且a ≠0． 其中________是反比例函数．填序号 2个方法：画反比例函数图象的方法 4．已知y 与x 的部分取值如下表：1试猜想y 与x 的函数关系可能是你学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式； 2画出这个函数的图象． 求反比例函数解析式的方法5．已知反比例函数y ＝x k的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限内相交于点A1,－k ＋4．试确定这两个函数的解析式．6．如图,已知A －4,n,B2,－4是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝x m的图象的两个交点．求：1反比例函数和一次函数的解析式；2直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； 3方程kx ＋b －x m＝0的解请直接写出答案；4不等式kx ＋b －x m <0的解集请直接写出答案．第6题2个应用反比例函数图象和性质的应用7．画出反比例函数y ＝x 6的图象,并根据图象回答问题： 1根据图象指出当y ＝－2时x 的值；2根据图象指出当－2<x<1且x ≠0时y 的取值范围； 3根据图象指出当－3<y<2且y ≠0时x 的取值范围． 反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料,按原计划每小时消耗2吨,可用60小时．由于技术革新,实际生产能力有所提高,即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x 单位：吨,库存的原料可使用的时间为y 单位：小时．1写出y 关于x 的函数解析式,并求出自变量的取值范围．2若恰好经过24小时才有新的原料进厂,为了使机器不停止运转,则x 应控制在什么范围内1个技巧：用k 的几何性质巧求图形的面积9．如图,A,B 是双曲线y ＝x k k ≠0上的两点,过A 点作AC ⊥x 轴,交OB 于D 点,垂足为C.若△ADO 的面积为1,D 为OB 的中点,则k 的值为A .34B .38C ．3D ．4第9题第10题10．如图,过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝x 2和y ＝－x 4的图象于A,B 两点,C 是y 轴上任意一点,则△ABC 的面积为________．11．如图是函数y ＝x 3与函数y ＝x 6在第一象限内的图象,点P 是y ＝x 6的图象上一动点,PA ⊥x 轴于点A,交y ＝x 3的图象于点C,PB ⊥y 轴于点B,交y ＝x 3的图象于点D.1求证：D 是BP 的中点； 2求四边形ODPC 的面积．第11题答案1．解：1∵Am,6,B3,n 两点在反比例函数y ＝x 6x>0的图象上, ∴m ＝1,n ＝2,即 A1,6,B3,2．又∵A1,6,B3,2在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上,∴2＝3k ＋b ，6＝k ＋b ，解得b ＝8，k ＝－2，即一次函数解析式为y ＝－2x ＋8.第1题2根据图象可知使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.3如图,分别过点A,B 作AE ⊥x 轴,BC ⊥x 轴,垂足分别为E,C,设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0,得x ＝4,即D4,0．∵A1,6,B3,2,∴AE ＝6,BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝21×4×6－21×4×2＝8.2．1证明：∵点A,B 分别在x 轴,y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中,∵AB ＝DA ，AO ＝DC ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. 2解：在Rt △ACD 中,∵CD ＝2,DA ＝,∴AC ＝＝1.∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3.∴D 点坐标为3,2．∵点E 为CD 的中点,∴点E 的坐标为3,1．∴k ＝3×1＝3.3解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1,BF ＝DC ＝2,∠BFG ＝∠DCA ＝90°.∵OB ＝AC ＝1,∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为1,3．∵1×3＝3,∴点G1,3在反比例函数的图象上．3．解：∵BC ∥OA,AB ∥x 轴,∴四边形ABCO 为平行四边形．∴AB ＝OC ＝3.设A a 6,则B a 6,∴a －3·a 6＝－3.∴a ＝2. ∴A2,3,B －1,3．∵OC ＝3,C 在x 轴负半轴上,∴C －3,0,设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b, 则－k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝0，解得.9∴直线BC 对应的函数解析式为y ＝23x ＋29.解方程组，3得y1＝3，x1＝－1，.3∴D 23.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n, 则，3解得.9∴直线AD 对应的函数解析式为y ＝83x ＋49. ∴E 49.∴OE ＝49.4.415点拨：因为C0,2,A4,0,由矩形的性质可得P2,1,把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2,所以反比例函数解析式为y ＝x 2.因为D 点的横坐标为4,所以AD ＝42＝21.因为点E 的纵坐标为2,所以2＝CE 2,所以CE ＝1,则BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC －S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－49－1＝415.5．1证明：∵BE ∥AC,AE ∥OB, ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵四边形OABC 是矩形,∴DA ＝21AC,DB ＝21OB,AC ＝OB. ∴DA ＝DB.∴四边形AEBD 是菱形．2解：如图,连接DE,交AB 于F,∵四边形AEBD 是菱形,∴DF ＝EF ＝21OA ＝23,AF ＝21AB ＝1.∴E ，19.设所求反比例函数解析式为y ＝x k ,把点E ，19的坐标代入得1＝29,解得k ＝29.∴所求反比例函数解析式为y ＝2x 9.第5题第7题6．D 7．解：1如图,过点D 作x 轴的垂线,垂足为F.∵点D 的坐标为4,3,∴OF ＝4,DF ＝3.∴OD ＝5.∴AD ＝5.∴点A 的坐标为4,8．∴k ＝xy ＝4×8＝32.2将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,使得点D 落在函数y ＝x 32x>0的图象上点D ′处,过点D ′作x 轴的垂线,垂足为F ′.∵DF ＝3,∴D ′F ′＝3.∴点D ′的纵坐标为3.∵点D ′在y ＝x 32的图象上,∴3＝x 32,解得x ＝332,即OF ′＝332.∴FF ′＝332－4＝320.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为320.8．解：1∵正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,∴C0,2．∵D 是BC 的中点,∴D1,2．∵反比例函数y ＝x k x ＞0,k ≠0的图象经过点D,∴k ＝2.2当P 在直线BC 的上方,即0＜x ＜1时,∵点Px,y 在该反比例函数的图象上运动,∴y ＝x 2.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·－22＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方,即x ＞1时,同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·x 2＝2x －2,综上,S ＝2－2x （0＜x ＜1）.2x －2（x ＞1），9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称,圆也关于原点对称,故阴影部分的面积占⊙O 面积的41,则针头落在阴影区域内的概率为41.1．B 3．①③④4．解：1反比例函数：y ＝－x 6.2如图所示．第4题 5．解：∵反比例函数y ＝x k 的图象经过点A1,－k ＋4,∴－k ＋4＝1k ,即－k ＋4＝k,∴k ＝2,∴A1,2．∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A1,2,∴2＝1＋b,∴b ＝1.∴反比例函数的解析式为y ＝x 2,一次函数的解析式为y ＝x ＋1.6．解：1将B2,－4的坐标代入y ＝x m ,得－4＝2m ,解得m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝x －8.∵点A －4,n 在双曲线y ＝x －8上,∴n ＝2.∴A －4,2．把A －4,2,B2,－4的坐标分别代入y ＝kx ＋b,得2k ＋b ＝－4，－4k ＋b ＝2，解得b ＝－2.k ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.2令y ＝0,则－x －2＝0,x ＝－2.∴C －2,0．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21×2×2＋21×2×4＝6.3x 1＝－4,x 2＝2.4－4<x<0或x>2.7．解：如图,由观察可知：1当y ＝－2时,x ＝－3；2当－2<x<1且x ≠0时,y<－3或y>6；3当－3<y<2且y ≠0时,x<－2或x>3.第7题点拨：解决问题时,画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题,一定要注意数形结合,学会看图．8．解：1库存原料为2×60＝120吨,根据题意可知y 关于x 的函数解析式为y ＝x 120.由于生产能力提高,每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量,所以自变量的取值范围是x>2.2根据题意,得y ≥24,所以x 120≥24.解不等式,得x ≤5,即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：1由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数解析式．2要使机器不停止运转,需y ≥24,解不等式即可．第9题9．B 点拨：如图,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,∵D 为OB 的中点,∴CD 是△OBE 的中位线,则CD ＝21BE.设A x k ,则B 2x k ,CD ＝4x k ,AD ＝x k －4x k .∵△ADO 的面积为1,∴21AD ·OC ＝1,即214x k ·x ＝1.解得k ＝38.10．311．1证明：∵点P 在双曲线y ＝x 6上,∴设P 点坐标为，m 6.∵点D 在双曲线y ＝x 3上,BP ∥x 轴,D 在BP 上,∴D 点坐标为，m 3.∴BD ＝m 3,BP ＝m 6,故D 是BP 的中点．2解：由题意可知S △BOD ＝23,S △AOC ＝23,S 四边形OBPA ＝6.∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－23－23＝3.。

中考数学几何图形复习专题10 反比例函数的综合探究(数形结合)(学生版)

中考数学几何图形复习专题10 反比例函数的综合探究(数形结合)(学生版)

专题10 反比例函数的综合训练(数形结合)1．如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数()0k y k x=≠在第一象限内的图象交于()1,A n 和()3,B m 两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)在第一象限内，当一次函数4y x =-+的值大于反比例函数()0k y k x=≠的值时，写出自变量x 的取值范围(3)求△AOB 面积．2．如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y x b =+的图象交于(1, )A m ，(2, )B n -两点，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．（1）求一次函数的表达式；（2）观察图象，写出2kx b x>+时自变量x 的取值范围； （3）连接OA ，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P ，使得2OCP OCA S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝k x的图象交于A （a ，﹣2），B 两点．（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；（2）P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．4．如图，等腰Rt ABO 的直角顶点O 与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数()0m y x x=<的图象经过点A ，反比例函数()0n y x x =>的图象经过点B ．(1)试猜想m 与n 的数量关系，并说明理由；(2)若2n =，求当点B 的纵坐标分别为1和2时，等腰Rt ABO 的面积；(3)请直接写出当2n =时，等腰Rt ABO 的面积的最小值_________．5．如图，一次函数()=+0y mx n m ≠的图象与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于第二、四。

2023中考数学专项： 反比例函数与几何图形综合问题(重点突围)(学生版)

2023中考数学专项： 反比例函数与几何图形综合问题(重点突围)(学生版)

专题16反比例函数与几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一反比例函数中K值的几何意义】 (1)【考向二反比例函数与三角形的综合问题】 (4)【考向三反比例函数与矩形的综合问题】 (6)【考向四反比例函数与菱形的综合问题】 (9)【考向五反比例函数与正方形的综合问题】 (11)【考向六反比例函数与圆的综合问题】 (15)【直击中考】【考向一反比例函数中K值的几何意义】【变式训练】1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，若反比例函数______在反比例函数3．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，在过点A、C两点，点B在4．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）AC交y轴于点B，若点B是=【考向二反比例函数与三角形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点①求直线AC的解析式；②求点P的坐标．【变式训练】(1)求反比例函数的解析式；(2)坐标平面内有一点D，若以A(1)求反比例函数的表达式；(2)求等边△ACD的边长．【考向三反比例函数与矩形的综合问题】(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点值．【变式训练】上两点，的顶点【考向四反比例函数与菱形的综合问题】（1）求k的值及AB所在直线的函数表达式；（2）将这个菱形沿x轴正方向平移，当顶点【变式训练】是菱形，点(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)设点P是直线AB上一动点，且ABCD(1)求双曲线y2的函数关系式及(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；(3)若BA的延长线与双曲线【考向五反比例函数与正方形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．【变式训练】在平面直角坐标系中，点(1)求反比例函数的解析式；(2)求四边形OAFM 的面积．2．（2022·山东济南·校考一模）如图，四边形35AE OE =．中点，以备用图4．（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，已知点()6,0A -、()7,3D -，点B 、C 在第二象限内．(1)点B 的坐标_________；(2)将正方形ABCD 以每秒2个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒，若存在某一时刻t ，使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B '、D ¢正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问是否存在y 轴上的点P 和反比例函数图像上的点Q ，使得以P 、Q 、B '、D ¢四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考向六反比例函数与圆的综合问题】【变式训练】在反比例函数。

反比例函数的图象与性质综合问题(真题6道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】

反比例函数的图象与性质综合问题(真题6道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】

专题12反比例函数的图象与性质综合问题（北京真题6道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率反比例函数（大题）2011.2012.2014.2017.2018 12年5考1.反比例函数的图象及性质（1）双曲线kyx=与坐标轴没有交点，当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（2）对称性图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上．（3）k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线kyx=上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是12|k|）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．图1 图22.反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．（4）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分(x>0)的图象与直线y=x−2【例1】（2017·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，(x>0)的图象于点N.交函数y=kx①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.【例2】（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k（x>0）的图象G经过点A（4，1），xx+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．直线l∶y=14（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；①若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2011·北京·中考真题）如图，已知反比例函数y1=k1x（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1(k2≠0)相交于A、B两点，AC①x轴于点C. 若①OAC的面积为1，且tan①AOC＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值.2．（2012·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y=4x(x>0)的图象与一次函数y=kx－k 的图象的交点为A（m，2）.（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足①PAB的面积是4，直接写出点P的坐标．3．（2011·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=k的解析式；x（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．4．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（1）分别判断函数y=1x（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么≤t≤1范围时，满足34【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+4(k>0)的图象与反比(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1．例函数y=mx(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当x<−4时，对于x的每一个值，反比例函数y=m的值大于一次函数y=k(x−1)+4(k>0)的值，直接x写出k的取值范围．2．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数y=m的图象在第四象限的交点为(n,−1)．x(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结合函数图象，直(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足m xp接写出OP长的取值范围．(k≠0)与一次函数y2=ax+4(a≠0) 3．（2022·北京·二模）图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=kx的图像只有一个公共点A（2，2），直线y3=mx(m≠0)也过点A．(1)求k、a及m的值；(2)结合图像，写出y1>y2>y3时x的取值范围．(k≠0)经过点A(2,−1)，直线l：4．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxy=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(k≠0)交于点C，与直线l交于点D．(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=kx①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；①当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．(x>0)的图象交5．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−k+4与函数y=mx于点A(1,4)．(1)求m的值；(x>0)的图象所围成的区域（不含边界）为W．点(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l与函数y=mxB(n,1)（n≥4，n为整数）在直线l上．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；①当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值．6．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−x+b与双曲线G：y=−12的x一个交点为A(−3,n)．(1)求n和b的值；(2)若直线l2：y=kx(k≠0)与双曲线G：y=−12有两个公共点，它们的横坐标分别为x1,x2(x1<x2)．直线xl1与直线l2的交点横坐标记为x3，若x1<x3<x2，请结合函数图象，求k的取值范围．7．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．8．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x−2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=kx (k≠0)的图象交于点B(3,m)，点P为反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点．(1)求m，k的值；(2)连接OP，AP．当S△OAP=2时，求点P的坐标．9．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函数y=mx．(1)当函数y=mx的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．10．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，一次函数y＝－2x－2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第二象限交于点M，①OBM的面积是1．(1)求反比例函数的解析式；(2)若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．11．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=k的图象上，求m的值；x(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；①当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．(k≠0)的两个交点分别为12．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kxA(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(k≠0)于点Q.当点Q位于点P的左侧时，(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=kx求点P的纵坐标n的取值范围.13．（2022·北京市第一六一中学分校一模）如图，在平面直角坐标系中，A(a,2)是直线l：y=x−1与函数(x>0)的图像G的交点．y=kx(1)①求a的值；(x>0)的解析式．①求函数y=kx(2)过点P(n,0)（n>0）且垂直于x轴的直线与直线l和图像G的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，直接写出n的取值范围．(k>0)的图象交于A，B 14．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=kx两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；①当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值15．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线y＝mx交于点Ax（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=k（xx＞0）的图象于点N．①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．16．（2022·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝k（xx＞0）的图象交于点A（3，m）．(1)求m、k的值；(2)点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝k（x＞0）的x（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝kxMN围成的区域（不含边界）为W．①当xp＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为_____；①若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围．−3的图象与性质．小17．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）有这样一个问题：探究函数y=2x−1−3的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完亮根据学习函数的经验，对函数y=2x−1整：(1)函数y=2x−1−3中自变量x的取值范围是；(2)表格是y与x的几组对应值．x…−3−2−1012322345…y…−72−113−4−5−7m−1−2−73−52…直接写出m的值；(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．①请再写出此函数的一条性质：．(5)已知不等式kx+b<2x−1−3的解集为1<x<2或x>4，则k+b的值为．18．（2020·北京·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，4)，双曲线y=kx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是边OC上一点，当△FBC~△DEB时，求直线FB的解析式．19．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+b与双曲线G：y=2x的一个交点为A(2,n)．(1)求n和b的值；(2)若直线l2：y=kx（k≠0）与双曲线G：y=2x有两个公共点，它们的横坐标分别为x1，x2（x1<x2），直线l1与直线l2的交点横坐标为x3，若x1<x3<x2，请结合函数图象，求k的取值范围．20．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝−2k（k≠0）．x(1)当k＝1时，①求出两个函数图象的交点坐标；①根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；(2)请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；(3)若两个函数图象有两个不同的交点A、B，且AB＝5√2，求k值．21．（2022·北京·北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中已知双曲线y=k过点A（1，1），与直线yx＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．(1)求k的值；(2)求点B，C的坐标；(3)若直线x＝t与双曲线y=k，交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2）．当y1<y2时，直接写出tx的取值范围．22．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=m的图象于A(2,−4)，xB(a,−1)两点.(1)求反比例函数与一次函数解析式.(2)连接OA,OB，求ΔOAB的面积.(3)根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？23．（2022·北京·二模）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数y=m的图象相交于A(2，3)，B(6，n)x两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQ的值MN24．（2022·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(0，－1)和点B(3，2)．（1）求直线y=kx+b(k≠0)的表达式；(m≠0)．（2）已知双曲线y=mx(m≠0)经过点B时，求m的值；①当双曲线y=mx①若当x>3时，总有kx+b>m直接写出m的取值范围．x(x>0)的图象上．25．（2021·北京·二模）如图，A、B两点在函数y=mx（1）求m的值及直线AB的解析式；(x>0)的图象（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数y=mx与直线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．26．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y=k(k<4)的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．x（1）当k=−4时，求线段AC，BD的长；（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．27．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=m与一次函数y=kx+b相交于A（3，x2）、B（－2，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；交于点C，与一次函数y=kx+b交于（2）过P（p，0）（P≠0）作垂直于x轴的直线，与反比例函数y=mx点D，若SΔCOP=3SΔDOP，直接写出p的值．28．（2021·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象过点P(2 , 2 )．x（1）求k的值；（x ＞ 0）的图象交于点N，过点M作x轴（2）一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=kx≤S△MNQ≤2时，通过画图，直接写出a的取的平行线，过点N作y轴的平行线，两平行线相交于点Q，当12值范围．(m≠0)的29．（2021·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx图象交于点A(−1,n)，B(2,−1)两点．（1）求m,n的值；(m≠0)（2）已知点P(a,0)(a>0)，过点P作x轴的垂线，分别交直线y=kx+b(k≠0)和反比例函数y=mx的图象于点M,N，若线段MN的长随a的增大而增大，直接写出a的取值范围．(x>0)的30．（2021·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx−k+2(k>0)，函数y=2kx图象为F．(x>0)的图象F上，求直线l对应的函数解析式：（1）若A(2,1)在函数y=2kx（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l:y=kx−k+2(k>0)，图象F和直线y=1围成的区域2（不含边界）为图形G．①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；①若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围．。

反比例函数与几何图形的综合

反比例函数与几何图形的综合

反比例函数与几何图形的小综合题型一反比例函数与三角形结合1．（2020•沙坪坝区校级月考）如图，一次函数y＝x+32分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P为反比例函数y=kx（k≠0，x＜0）图象上一点，过点P作y轴的垂线交直线AB交于C，作PD⊥PC交直线AB于D，若AC•BD＝7，则k的值为（）A．﹣2B．﹣3C．−72D．−92【点睛】设P（m，n）．则AC=√2n，BD=−√2m，构建方程求出mn的值即可．【解析】解：设P（m，n）．则AC=√2n，BD=−√2m，∵AC•BD＝7，∴﹣2mn＝7，∴mn=−72，∴k=−72．故选：C．2．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为12．【解析】解：∵OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，∴点C的坐标为（6，2），∴2=k6，解得，k＝12，3．（2020•薛城区期中）在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点A 的坐标为（0，2），顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C ′的坐标为 （52，0） ．【解析】解：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵∠ACO +∠BCD ＝90°，∠OAC +∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCD ，在△ACO 与△BCD 中，{∠OAC =∠BCD∠AOC =∠BDC AC =BC ，∴△ACO ≌△BCD （AAS ）∴OC ＝BD ，OA ＝CD ，∵A （0，2），C （1，0）∴OD ＝3，BD ＝1，∴B （3，1），∴设反比例函数的解析式为y =kx，将B （3，1）代入y =k x，∴k ＝3，∴y =3x，∴把y ＝2代入y =3x ，∴x =32，当顶点A 恰好落在该双曲线上时，此时点A 移动了32个单位长度，∴C 也移动了32个单位长度，此时点C 的对应点C ′的坐标为（ 52，0）故答案为（52，0）．4．（2020•盐湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB 的OA 边在x 轴的正半轴上，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过AB 边的中点C ，且与OB 边交于点D ，则点D 的坐标为 （√3，3） ．【解析】解：∵△AOB 是等边三角形，边长为4，∴B （2，2√3），∵BC ＝CA ，∴C （3，√3），把点C 坐标代入y =k x上，得到k ＝3√3，∵直线OB 的解析式为y =√3x ， 由{y =√3xy =3√3x，解得{x =√3y =3或{x =−√3y =−3（舍弃）∴D （√3，3），故答案为（√3，3）． 题型二 反比例函数与四边形结合5．（2020•北海期末）如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y =12x ﹣1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y =kx经过点D ，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：根据矩形的性质知点C 的纵坐标是y ＝1，∵直线y =12x ﹣1经过点C ，∴1=12x ﹣1， 解得，x ＝4，即点C 的坐标是（4，1）．∵矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，∴D （1，1），∵双曲线y =kx 经过点D ，∴k ＝xy ＝1×1＝1，即k 的值为1．故选：A ．6．（2020•秀洲区二模）平面直角坐标系中，菱形AOBC 的位置如图所示，点A 在x 轴负半轴上，B （1，√3），反比例函数y =kx 在第二象限的图象经过点C ，则k ＝ −√3 ．【点睛】根据菱形的性质可以求得点C 的坐标，再根据点C 在反比例函数图象上，从而可以求得k 的值．【解析】解：∵点A在x轴负半轴上，B（1，√3），∴OB＝2，点C的纵坐标是√3，∴OA＝2，∵四边形AOBC是菱形，点A在x轴的负半轴，∴点C的坐标为（﹣1，√3），∵反比例函数y=kx在第二象限的图象经过点C，∴√3=k−1，得k=−√3，故答案为：−√3．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，BE∥AC，AE∥OB，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，若点A、C的坐标分别为（3，0），（0，2），则k的值为92．【解析】解：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，C的坐标为（0，2），∴DA=12AC，DB=12OB，AC＝OB，AB＝OC＝2，∴DA＝DB，∴四边形AEBD是菱形；连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA＝3，OC＝2，∴EF＝DF=12OA=32，AF=12AB＝1，3+32=92，∴点E坐标为：（92，1）．∵函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k=92×1=92，故答案为：92．8．（2020•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是2√26．【解析】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M （6，k 6），N （k6，6），∴BN ＝6−k 6，BM ＝6−k 6，∵△OMN 的面积为10，∴6×6−12×6×k 6−12×6×k 6−12×（6−k6）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′=√BM′2+BN 2=√102+22=2√26，故答案为2√26．巩固练习1．（2020•铜山区二模）如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，顶点D （a ，b ）在反比例函数y =kx的图象上，直线AC 交y 轴点E ，且S △BCE ＝4，则k 的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．﹣4D ．﹣2【解析】解：D （a ，b ），则CO ＝﹣a ，CD ＝AB ＝b ，∵矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝ab ，∵△BCE 的面积是4，∴12×BC ×OE ＝4，即BC ×OE ＝8，∵AB ∥OE ，∴BC OC=AB EO，即BC •EO ＝AB •CO ，∴8＝b ×（﹣a ），即ab ＝﹣8，∴k ＝﹣8故选：B ．2．（2020•九龙坡区校级期末）如图，已知反比例函数y =ax和一次函数y ＝kx +b 的图象相交于点A （﹣1，y 1）、B （4，y 2）两点，则不等式ax ≤kx +b 的解集为（ ）A ．x ≤﹣1或x ≥4B ．﹣1≤x ≤4C ．x ≤4D ．x ≤﹣1或.0＜x ≤4【解析】解：不等式a x≤kx +b 的解集就是反比例函数值小于或等于一次函数值的自变量的取值范围，观察图象可得：第二象限x ≤﹣1，第四象限0＜x ≤4，故选：D ．3．（2020•深圳模拟）如图，点A 是双曲线y =3x上的动点，连结AO 并延长交双曲线于点B ，将线段AB 绕B 顺时针旋转60°得到线段BC ，点C 在双曲线y =kx上的运动，则k ＝ ﹣9 ．【解析】解：∵双曲线y =3x 关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接OC ，AC ，如图所示．∵将线段AB 绕B 顺时针旋转60°得到线段BC ，∴△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°，∴tan ∠OAC =OCOA =√3，∴OC =√3OA ．过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°﹣∠FOC ＝∠OCF ，∴△AEO ∽△OFC ．∴AE OF=EO FC=AO OC．∵OC =√3OA ，∴OF =√3AE ，FC =√3EO ．设点A 坐标为（a ，b ），∵点A 在第一象限，∴AE ＝a ，OE ＝b ．∴OF =√3AE =√3a ，FC =√3EO =√3b ．∵点A 在双曲线y =3x上，∴ab ＝3．∴FC •OF =√3b •√3a ＝3ab ＝9，设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝﹣y ．∴FC •OF ＝x •（﹣y ）＝﹣xy ＝9．∴xy ＝﹣9．∵点C 在双曲线y =kx 上，∴k ＝xy ＝﹣9．故答案为：﹣9．4．（2020•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标是（2，2）．将△ABC 沿x 轴向左平移得到△A 1B 1C 1，点B 1落在函数y =−6x 的图象上．如果此时四边形AA 1C 1C 的面积等于552，那么点C 1的坐标是 （﹣5，112） ．【解析】解：如图，∵点B 的坐标是（2，2），BB 1∥AA 1，∴点B 1的纵坐标为2， 又∵点B 1落在函数y =−6x 的图象上，∴当y ＝2时，x ＝﹣3，∴BB 1＝AA 1＝5＝CC 1，又∵四边形AA 1C 1C 的面积等于552，∴AA 1×OC =552，∴OC =112，∴点C 1的坐标是（﹣5，112）．故答案为：（﹣5，112）．5．（2020•九龙坡区校级期末）如图，菱形OABC 在直角坐标系中，点A 的坐标为（52，0），对角线OB =2√5，反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）经过点C ．则k 的值为 3 ．【解析】解：∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ，设点C 的坐标为（a ，b ），∵点A 的坐标为（52，0），对角线OB =2√5，∴点B 的坐标为（a +52，b ），OC =52，∴{a 2+b 2=(52)2(a +52)2+b 2=(2√5)2，解得a =32，b ＝2，∴ab =32×2=3，∵反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）经过点C ，点C 的坐标为（a ，b ），∴b =ka ，∴k ＝ab ＝3． 故答案为：3．6．以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE ⊥AC ，垂足为E ．若双曲线y =32x（x ＞0）经过点D ，则OB •BE 的值为 3 ．【解析】解：如图，∵双曲线y =32x （x ＞0）经过点D ，∴S △ODF =12k =34， 则S △AOB ＝2S △ODF =32，即12OA •BE =32，∴OA •BE ＝3，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ，∴OB •BE ＝3，故答案为：3．7．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM +PN 的最小值是 5√2 ．【解析】解：如图设点M （a ，b ），N （c ，d ），∴ab ＝k ，cd ＝k ，∵点M，N在⊙O上，∴a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），∴S△OMN=12k+12（b+d）（a﹣c）−12k＝3.5，∴bc﹣ad＝7，∴kca−kac=7，∴ac=k(c2−a2)7，同理：bd=k(b2−d2)7，∴ac﹣bc=k(c2−a2)7−k(b2−d2)7=k7[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，∵M（a，b），N'（c，﹣d），∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，∴MN'＝5√2，故答案为：5√2。

专题08反比例函数综合题-2022年中考数学母题题源解密

专题08反比例函数综合题-2022年中考数学母题题源解密

专题08 反比例函数综合题考向1 反比例函数与一次函数的综合【母题来源】2021年中考攀枝花卷【母题题文】（2021•攀枝花）在直角坐标系中，直线y x与反比例函数y的图象在第一、三象限分别交于A、B两点，已知B点的纵坐标是﹣2．（1）写出点A的坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将直线y x沿y轴向上平移5个单位后得到直线l，l与反比例函数图象在第一象限内交于点C，与y轴交于点D．（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；（请用“＜”或“＝”或“＞”填空）（ⅱ）求△ABC的面积．【试题解析】（1）∵点B的纵坐标是﹣2，∴﹣2x，即x＝﹣6，B（﹣6，﹣2），把B的坐标代入y，即k＝12，∴反比例函数的表达式为y，当x时，x＝6或﹣6（舍），∴A（6，2）；（2）（ⅰ）S△ABC＝S△ABD；∵直线l是直线y x向上平移得到的，∴两条直线互相平行，∵平行线间的距离处处相等，∴S△ABC＝S△ABD；故答案为：＝；（ⅱ）由题意得，OD＝5，∴S△ABD＝S△BOD+S△AOD5×（6+6）＝30，∴S△ABC＝S△ABD＝30．【命题意图】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；模型思想。

【命题方向】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，根据题意求出函数解析式是解题关键。

【得分要点】反比例函数与一次函数结合的考查方式与解题方法:(1)求反比例函数与一次函数的解析式:通常先将已知交点的坐标代入反比例函数的解析式,求得反比例函数的解析式,再求另一交点的坐标,最后利用待定系数法求一次函数的解析式.(2)确定反比例函数和一次函数的交点情况或求交点坐标:通常联立反比例函数与一次函数的解析式,得关于自变量的一元二次方程,根据判别式确定交点情况;联立得到的方程组的解即为交点的横、纵坐标.(3)求图形面积:把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的图形面积,将其分割为几个较好求的图形面积.考向2 反比例函数与几何图形的综合【母题来源】2021年中考湖北卷【母题题文】如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2交于C，P（﹣4，﹣1）两点．（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．【试题解析】（1）连接AC，BD相交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，∵A（2，0），C（2，m），∴E（2，m），AC∥y轴，∴BD⊥y轴，∴点D（0，m），B（4，m），∵点C（2，m），D（0，m），P（﹣4，﹣1）在直线CD上，∴，∴，∴点C（2，2），∵点C在双曲线y2上，∴k＝2×2＝4，∴双曲线的函数关系式为y2；（2）因为四边形ABCD是菱形，A（2，0），C（2，2）∴m＝2，B（4，m），∴B（4，1），由（1）知双曲线的解析式为y2；∵4×1＝4，∴点B在双曲线上；（3）由（1）知C（2，2），由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．【命题意图】综合题；推理能力【命题方向】反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用m表示出点D的坐标是解本题的关键．【得分要点】反比例函数与几何图形结合的考查方式与解题方法:(1)求反比例函数的解析式:通常用待定系数法求解;(2)求点的坐标:观察图形,结合已知条件进行求解;(3)求图形面积:把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的图形面积,将其分割为几个较好求图形面积的和或差.1．（2021•凉州区校级二模）如图，一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数的图象在第一象限交于点A （4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数的表达式；（2）请直接写出不等式的解集．解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数的图象上，∴k＝4×3＝12，∴反比例函数解析式为；∵，OA＝OB，点B在y轴负半轴上，∴点B（0，﹣5）．把点A（4，3）、B（0，﹣5）代入y＝kx+b中，得，解得：，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；（2）令y＝2x﹣5中y＝0，则x，∴D（，0），由图象可知，不等式的解集为x＜4．2．（2021•柳江区模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b图象与反比例函数（x＜0）图象相交于A（﹣4，），B（﹣1，m）两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．（1）求一次函数的解析式和m的值；（2）点P是线段AB上的一个动点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，请求出此时点P坐标．解：（1）∵反比例函数（x＜0）图象过点B（﹣1，m），∴m2，∴B（﹣1，2），把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为y x；（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x），∵△PCA和△PDB面积相等，∴（x+4）|﹣1|×（2），解得x，当x时，y x，∴P点坐标是（，）．3．（2021•游仙区模拟）菱形ABCD的边AD在x轴上，C点在y轴上，B点在第一象限．对角线BD、AC 相交于H，AC＝2，BD＝4，双曲线y过点H，交AB边于点E，直线AB的解析式为y＝mx+n．（1）求双曲线的解析式及直线AB的解析式；（2）求双曲线y与直线AB：y＝mx+n的交点横坐标．并根据图象直接写出不等式mx+n的解集．解：过点H作HG⊥OA于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AH＝CH，BH＝DH＝2，在Rt△ADH中，由勾股定理得，AD5＝CD＝CB＝AB，由三角形的面积公式得，DH•AH＝AD•HG，即25×HG，∴HG＝2，∴OC＝2HG＝4，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD3，∴OA＝5﹣3＝2，∵HG∥OC，FH＝HC，∴OG＝AG OA＝1，∴H（1，2），∴k＝1×2＝2，∴反比例函数的关系式为y，∴A（2，0），B（5，4），则有，∴，∴直线AB的解析式为y x，答：双曲线的解析式为y，直线AB的解析式为y x；（2）双曲线y与直线y x交点的横坐标是方程x的解，解方程x得，x1，x2，由图象可得不等式mx+n的解集为x或0＜x．4．（2021•西昌市模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（，0），与反比例函数y（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边）．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标以及反比例函数的解析式．解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（，0），∴，解得，∴一次函数的解析式为y x+2；（2）作DF⊥x轴于F，∵B（0，2），E点坐标（，0），∴OB＝2，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴BE＝ED，∵DF⊥x轴，BO⊥x轴，∴∠DFE＝∠BOE＝90°，∵∠DEF＝∠BEO，∴△DEF≌△BEO（AAS），∴OB＝DF＝2，EF＝OE，∴OF＝OE+EF＝3，∴D（﹣3，﹣2），∵点D在反比例函数y的图象上，∴k＝6，∴反比例函数的解析式y，设OC＝AF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，又∵DF⊥AC，∴△DCF∽△ADF，∴，即DF2＝CF•AF，∴22＝（x﹣3）•x，解得x＝4或﹣1（舍去），∴OC＝4，∴C（﹣4，0）．5．（2021•香洲区二模）在平面直角坐标系中，将Rt△AOB如图放置，O为原点，OA在x轴负半轴上，OB ＝2，OA＝2，把△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD，使点B在线段CD上，反比例函数y（x＜0）的图象经过点C．（1）求k的值；（2）过点C平行于AB的直线与反比例函数y（x＜0）的图象相交于点M，求点M坐标．解：（1）过点C作CE垂直x轴，垂足为点E，∵∠AOB＝90°，AO＝2，BO＝2，∴tan∠BAO，∴∠BAO＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，由旋转可知，OB＝OD，∠D＝∠ABO＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝∠AOC＝60°，在Rt△COE中，∵OC＝OA＝2，∴CE＝CO•sin∠AOC＝23，OE＝CO•cos∠AOC＝2，∴点C坐标（，3），∴k3＝﹣3；（2）设直线AB解析式为y＝mx+n（m≠0），把点（0，2），（﹣2，0）代入得：，解得：，∴直线AB解析式为y x+2，设过点C且平行于AB的直线CM的解析式为y x+m，将点C（，）代入得：m＝4，∴直线CM解析式为y x+4，联立方程组，解得：x1＝﹣3，x2（舍去），当x＝﹣3时，y1，∴M点坐标为（﹣3，1）．6．（2021•中山市二模）如图，经过点A（1，0）的直线l与双曲线y（x＞0）交于点B（2，1），直线y＝2分别交曲线y（x＞0）和y（x＜0）于点M，N，点P（p，p﹣1）（p＞1）在直线y＝2上．连接BM，AN．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）求证：BM∥AN．（1）解：把B点的坐标（2，1）代入y，得m＝2×1＝2，设直线l的解析式是y＝kx+b（k≠0），把A、B的坐标代入y＝kx+b，得，解得：k＝1，b＝﹣1，即直线l的解析式是y＝x﹣1；（2）证明：∵P（p，p﹣1）在直线y＝2上，∴p﹣1＝2，解得：p＝3，即P点的坐标是（3，2），把y＝2代入y，得x＝1，即M点的坐标是（1，2），把y＝2代入y，得x＝﹣1，即N的坐标是（﹣1，2），∴PM＝3﹣1＝2，PN＝3﹣（﹣1）＝4，∵P（3，2），A（1，0），B（2，1），∴PB，PA2，∴，∵∠MPB＝∠NPA，∴△MPB∽△NPA，∴∠PMB＝∠PNA，∴BM∥AN．7．（2021•平泉市一模）如图，直线OC：y＝k1x与双曲线y（x＞0）交于点C（6，），且横坐标为1的点P也在双曲线y（x＞0）上，直线l经过点P，C．（1）k1＝，k2＝3；（2）求直线l的解析式；（3）设直线l与y轴交于点A，将直线OC沿射线CP方向平移至点A为止，直接写出直线OC在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围；（4）直接写出直线l与双曲线y（x＞0）围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点（横坐标和纵坐标都是整数）的坐标．解：（1）将C（6，）代入y＝k1x与y得：6k1，，解得：k1，k2＝3，故答案为：，3；（2）由（1）可得双曲线y，将x＝1代入y得y＝3，∴P（1，3），设直线l解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线l解析式为y x；（3）在y x中，令x＝0得y，∴A（0，），∴直线OC沿射线CP方向平移，平移后的直线过点A时，直线解析式为：y x，在y x中，令y＝0得x＝﹣42，∴直线OC在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围是﹣42≤x≤0；（4）如图：由图可得：直线l与双曲线y（x＞0）围成的区域内（不含边界）整点的坐标是（2，2）、（4，1）．8．（2021•赣州模拟）如图，将一张Rt△ABC纸板的直角顶点放在C（2，1）处，两直角边BC，AC分别与x，y轴平行（BC＞AC），纸板的另两个定点A，B恰好是直线y1＝kx+5与双曲线y2（m＞0）的交点．（1）求m和k的值；（2）将此Rt△ABC纸板向下平移，当双曲线y2（m＞0）与Rt△ABC纸板的斜边所在直线只有一个公共点时，求Rt△ABC纸板向下平移的距离．解：（1）由C（2，1），两直角边BC，AC分别与x，y轴平行，可知：A（2，m），B（m，1），∴，解得：k，k＝﹣2（因为BC＞AC，舍去），∴m＝8；（2）设平移后斜边所在直线为：，∴，整理得x2﹣2bx+16＝0，∵平移后斜边所在直线与双曲线只有一个公共点，∴△＝4b2﹣64＝0，∴b＝4，b＝﹣4（不合题意，舍去），∴；∴当x＝0时，y1＝5，y2＝4，∴直角三角形纸板向下平移的距离：5﹣4＝1．9．（2021•深圳模拟）如图1，一次函数y＝kx+b与反比例函数相交于A（1，6），B（3，a）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）如图2，将线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN．连接AM、BN．在线段AB 运动过程中，若B点在MN的中垂线上，求t的值．解：（1）∵A（1，6）在反比例函数的图象上，∴6，即m＝6，∴反比例函数为y，∵B（3，a）在反比例函数y的图象上，∴a2，∴B（3，2），将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8；（2）线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN，则M（1+t，6），N（3+t，2），∵B点在MN的中垂线上，∴BM＝BN，∴（1+t﹣3）2+（6﹣2）2＝（3+t﹣3）2+（2﹣2）2，∴t＝5．10．（2021•河源模拟）如图，将边长为5的菱形ABCD放置于直角坐标系内，顶点B，C在x轴上，反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣1，a），并与线段AB交于点E（b，），反比例函数（x＞0）的图象经过点D，AD交y轴于点G．点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，分别交反比例函数图象于点M，N，（1）b＝，a＝，k＝．（2）当CM＝CN时，求P点坐标；（3）在点P运动过程中，直线AD上是否存在点Q，使以A，E，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣1，a），点E（b，），∴a4，，∴a＝4，b＝﹣3，∴A（﹣1，4），∵菱形ABCD的边长为5，∴AD＝5，AD∥BC，∴D（x D，4），∴x D＝4，∴D（4，4），∴k＝4×4＝16，故答案为：﹣3；4；16．（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，由（1）得点D的坐标为（4，4），且CD＝5，∴DF＝4，由勾股定理得CF＝3，∴C（1，0），设点P的坐标为（0，m），∵MN∥x轴，∴M（），N（），∴1，解得：m＝6，∴点P的坐标为（0，6），（3）存在，理由如下：∵使以A，E，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，∴AE∥NQ，AE＝NQ，过N作NS⊥AD于S，过A作AR⊥ER，则△AER≌△NQS（AAS），∴AR＝NS，∵N（），∴|m﹣4|＝4，∴m或m，∴N（）或（12，）．综上N点的坐标为：（）或（12，）．11．（2021•临沂一模）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1），点A关于x轴的对称点为点C．（1）求这两个函数的表达式．（2）直接写出关于x的不等式ax+b的解．（3）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E，且30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．解：（1）∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y的图象上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数的表达式为y；当x＝1时，m2，∴点A的坐标为（1，2）．将A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x+1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式的解为x≤﹣2或0＜x≤1．（3）∵点A的坐标为（1，2），点A，C关于x轴对称，∴点C的坐标为（1，﹣2）．∵点B的坐标为（﹣2，﹣1），BD⊥AC，∴点D的坐标为（1，﹣1），∴CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1．在Rt△CDE中，CD＝1，∠CDE＝90°，30°≤∠CED≤60°，∴cos∠CED，∴DE，∴1t≤1或1t≤1．12．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；②在平面直角坐标系里，绘制函数y的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB∠AOB．根据以上材料解答下列问题：（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为（b，）；（2）求证：点Q在直线OM上；（3）求证：∠MOB∠AOB；（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．（1）解：如图，∵点P的坐标为（a，），PM∥x轴，∴点M的纵坐标为，∵点R的坐标为（b，），RM∥y轴，∴点M的横坐标为b，∴点M（b，），故答案为：（b，）．（2）证明：设直线OM解析式为：y＝kx，∵点M（b，），∴bk，∴k，∴直线OM解析式为：y x，∵分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，∴点Q（a，），∵当x＝a时，y a，∴点Q在直线OM上；（3）证明：连接PR，交OM于点S，由题意得四边形PQRM是矩形，∴PR＝QM，SP PR，SM QM，∴SP＝SM，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2，∵PR＝2PO，∴PS＝PO，∴∠4＝∠3＝2∠2，∵PM∥x轴，∴∠2＝∠5，∴∠AOB＝∠4+∠5＝3∠5，即∠MOB∠AOB；（4）解：如图，设边OA与函数y（x＜0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP的长为半径作弧，在第四象限交函数y（x＞0）的图象于点R，过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则∠MOB∠AOB．。

2024年中考复习-08 反比例函数和几何图形综合问题(压轴通关5题型)(解析版)

2024年中考复习-08 反比例函数和几何图形综合问题(压轴通关5题型)(解析版)

抢分秘籍08反比例函数和几何图形综合问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）反比例函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。

2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！题型一反比例函数与三角形的综合问题【例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，OAB 是边长为4的等边三角形，反比例函数(0)k y k x=>的图象经过边OA 的中点C ．（1）k =．（2）若反比例函数k y x=的图象与边AB 交于点D ，则tan DOB ∠=．∵OAB 是边长为4的等边三角形，∴4AO BO AB ===，A ∠=∠∵C 为AO 中点，CE x ⊥轴，∴在Rt COE △中，30OCE ∠=∴1OE =，∴22CE OC OE =-=同理可求点()2,23A ，而(4,0B 设():0AB l y kx b k =+≠，代入22340k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，3k ⎧=-⎪本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解题的关键．【例2】（2024·河南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()6,0A ，()2,2B ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点B ．(1)求反比例函数的表达式．(2)将OAB 绕点B 逆时针旋转得到O A B ''△，点O '恰好落在OA 上，请求出图中阴影部分的面积．∵()2,2B ∴2CO BC ==∵将OAB 绕点B 逆时针旋转得到∴90OBO ABA ''∠=∠=︒222222OB O B '==+=1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x=>的图象和ABC 都在第一象限内，5,AB AC BC x ==∥轴，且8BC =，点A 的坐标为()6,10．(1)若反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点B ，求此反比例函数的解析式；(2)若将ABC 向下平移(0)m m >个单位长度，,A C 两点的对应点恰好同时落在反比例函数(0)k y x x =>图象上，求m 的值．【答案】(1)14y x =(2)52【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质；（1）根据已知求出B 与C 点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）表示出相应的平移后A 与C 坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．过A 作AD BC ⊥于D ，5AB AC == ，8BC =，点()6,10A ．142BD CD BC ∴===，90ADB ∠=︒，3AD ∴=，∵BC x ∥，∴AD x⊥∴()()()6,7,2,7,10,7D B C ，若反比例函数(0)ky x x =>的图象经过点B ，则72k =，解得，14k =，于点D ，反比例函数()0k y x x =>，的图象经过点A ．(1)若14BD AB =，求直线AB 和反比例函数的表达式；(2)若8k =，将AB 边沿AC 边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E ，交x 轴于点F ，求点E 的坐标．【详解】（1）Rt ABC 中，AC AC OD ∴ ，14BD BO AB BC ==，144BO ∴=，1BO ∴=，题型二反比例函数与平行四边形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在y 轴上，AC x ∥轴，点C 的坐标为()4,6,3AB =，将ABC 向下方平移，得到DEF ，且点A 的对应点D 落在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点B 的对应点E 落在x 轴上，连接,OD ∥OD BC ．(1)求证：四边形ODFE 为平行四边形；(2)求反比例函数(0)k y x x=>的表达式；(3)求ABC 平移的距离及线段BC 扫过的面积．（2）连接CD ，易证四边形BCDO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出CD AB ∥，结合DE AB ∥，可得出C D E ，，三点共线，易证四边形ACEO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出OE 的长，结合3DE AB ==，可得出点D 的坐标，再利用反比例函数系数k 的几何意义，可求出k 的值，进而可得出反比例函数的表达式；（3）连接BE CF ，，在Rt BOE 中，利用勾股定理，可求出BE 的长，由此可得出ABC 平移的距离为5，由,BC EF BC EF =∥，可得出四边形BCFE 是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段BC 扫过的面积．【详解】（1）证明：由平移的性质，得：,,BC EF AC DF AB DE ∥∥∥，AC x ∥轴，且OE 在x 轴上，AC OE ∴∥，DF OE ∴∥．,OD BC BC EF ∥∥ ，OD EF ∴∥，∴四边形ODFE 为平行四边形；（2）解：连接CD ，如图1所示．四边形ODFE 为平行四边形，OD EF BC ∴==，又OD BC ∥，∴四边形BCDO 是平行四边形，,CD OB CD AB ∴=∥，DE AB ∥，C D E ∴，，三点共线．AC x ∥轴，OE 在x 轴上，CE AO ，∴四边形ACEO 是平行四边形，OE AC ∴=．点C 的坐标为()4,6,3AB =，在Rt BOE △中，OB OA AB =-=2222345BE OB OE ∴=+=+=ABC ∴ 平移的距离为5．,BC EF BC EF =∥ ，∴四边形BCFE 是平行四边形，1222BCFE BCE S S CE OE ∴==⨯⋅= 本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数k 的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：1（）由平移的性质及平行线的性质，找出DF OE ∥及OD EF ∥；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点D 的坐标；（3）利用勾股定理及平行四边形的性质，求出BE 的长及平行四边形BCFE 的面积．【例2】（2024·山东济南·一模）如图，一次函数112y x =-+的图象与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点(),2P a ，与y 轴交于点Q ．(1)求a 、k 的值；(2)直线AB 过点P ，与反比例函数图象交于点A ，与x 轴交于点B ，AP PB =，连接AQ ．①求APQ △的面积；②点M 在反比例函数的图象上，点N 在x 轴上，若以点M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M 坐标．【答案】(1)2a =-，4k =-(2)①52；②4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,1-【分析】（1）将P 点坐标代入一次函数解析式可求出a 的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出k 的值；（2）过点A 作AH y ∥轴，交PQ 于点H ，设B 的坐标(),0b ，点A 的坐标为(),t h ，根据P 的纵坐标，可以求出h 的值，进而求出A 点坐标，求出Q 点坐标，根据可求出H 点坐标，进而求出AH 的长，APQ APH AHQ S S S =+△△△，在APH V 和AHQ 中，AH 为底边，高分别是P 点、y 轴到AH 的距离，根据点P 、点A 的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可；（3）分两种情况，当MN 和PQ 为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定M 点纵坐标，进而求出M 的坐标；当MQ 和NP 为对角线时，以及平移来确定M 点纵坐标，进而求出对应M 点坐标，从而求解．【详解】（1）解：（1）把点(),2P a 代入112y x =-+解得，2a =-，把()2,2P -代入k y x=解得，4k =-；（2）∵4k =-，∴反比例函数解析式为4y x=-．①设B 的坐标()0b ，，点A 的坐标为()t h ，，∵AP PB =，()22P -，，∴4h =，把()4A t ，代入y =∴点()14A -，，∵一次函数112y x =-+的图象与∴Q 的坐标为()0,1，过点A 作AH y ∥轴，交PQ ∴52AH =，∴12APQ APH AHQ S S S =+=△△△②设点4,M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,0N n ∵()2,2P -，()0,1Q ，点M 当MN 和PQ 为对角线时，如下图：Q点可看做是将N点先向右平移故M点也是相应关系，即P故M点的纵坐标为P点纵坐标加即43m-=，43m=-M的坐标为4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；当MQ和NP为对角线时，N点可看做是将Q点先再向下平移故M点也是相应关系，即M故M 点的纵坐标为211-=，4m =-，故此时M 点坐标为：(4,1)-综上，M 点的坐标为：⎛- ⎝【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A 和BC 的中点D ，6AB =，四边形OABC 的面积是48．(1)求点A ，D 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点M 是四边形OABC 内部反比例函数()0k y x x =>图象上一动点(不含边界)，当直线y x m =+经过点M 时，请直接写出m 的取值范围．【分析】本题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题：（1）根据6AB =得到点(6,0)C ，平行四边形面积48得到高，表示出A 点，从而得到B 点，得到中点D 代入解析式即可得到答案；（2）求出点M 在A ，D 两点得到m 的值即可得到答案；【详解】（1）解：∵6AB =，∴(6,0)C ，设点(,k A a a ，则(6,)k B a a+，2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线y x =与直线2y x =交于点A 、点B ，点C 为双曲线上点A 右侧的一点，过点B 作BD AC ∥，交y 轴于点D ，连接BC CD 、．(1)如图1，求点A 、B 的坐标；(2)如图2，若四边形ABDC 是平行四边形，求BD 长；(3)如图1，当四边形ABDC 的面积为4时，求直线AC 的解析式．【答案】(1)()()1212A B --，，，(2)2BD =(3)2833y x =-+【分析】（1）由题意，联立方程组22y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1211x x ==-，，结合图象，即可作答．（2）根据平行四边形的对角线互相平分，则2222C B A D E C B A D E x x x x x y y y y y ++⎧==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩，把()()1212A B --，，，，0D x =代入2222C B A D E C B A D E x x x x x y y y y y ++⎧==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩，计算得2C x =，3D y =-，再根据两点间距离公式列式代入数值进行计算，即可作答．（3）先延长CA ，交y 轴于点F ，证明()ASA AOF BOD ≌，112422FCD C F C ABCD S S FD x y x ==⨯⨯=⨯⨯= 四边形，根据平行线的性质，得BD AC k k =，代入数值，得2430c c x x -+=，再运用因式分解法解方程，结合“点C 为双曲线上点A 右侧的一点”作出判断，即可作答．【详解】（1）解：∵双曲线2y x=与直线2y x =交于点A 、点B ，∴22y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得222x =解得1211x x ==-，则运用中点法列式，则x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∵点C为双曲线上点A右侧的一点，∴2 CC yx=∵BD AC∥1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数2kyx=交于两点(6)E m，和F．且点()3C n，在反比例函数图象上．(1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标；(2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接CE，CF和CP，若415ECP ECFS S=V V，求点P的横坐标；(3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数2kyx=的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．则四边形HIFG 为矩形，∴EFC EIF HIFG S S S =-- 矩形∴272545422EFC S =---=∵(16)E ，，)(23F --，，EFM 又∵点M 在x 轴上，∴点F 向上平移3个单位，∴点E 向上平移3个单位，∴点N 纵坐标为9，把y =∴12,93N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点E 向上平移3个单位，向左平移把3y =代入6y x =，得2x =，∴()32,3N ∵33122M N x x +=-，∴32122M x +=-∴33M x =-∴()33,0M -综上，点E ，F ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为0 73M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或703 M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(30)M -，．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型．题型三反比例函数与矩形的综合问题【例1】（2024·贵州·一模）如图，在矩形ABOC 中，46AB AC ==，，D 是边AB 的中点，反比例函数()10k y x x=<的图象经过点D ，交边AC 于点E ，直线DE 的表达式为：()20y mx n m =+≠(1)求反比例函数的表达式和直线DE 的表达式；(2)根据图象直接写出当12y y >时，x 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为112y x =-，2263y x =+(2)6x <-或30x -<<【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：（1）先由矩形的性质得到6OB AC AB OB ==，⊥，进而求出()62D -，，利用待定系数法求出反比例函数解本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：先由矩形的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．【例2】（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0k y x x=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为4y x =，()22E ，(2)30m -≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OA AB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E 的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可；（2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OA AB OA ∥，⊥，∵()4,1D 是AB 的中点，∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0k y x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x==时，2x =，∴()22E ，；（2）解：当直线y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =；当直线y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =-；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），∴30m -≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数()0y kx k =>与反比例函数3y x=的图象分别交于A 、C 两点，已知点B 与点D 关于坐标原点O 成中心对称，且点B 的坐标为()0m ，．其中0m >．(1)四边形ABCD 是____．(填写四边形ABCD 的形状)(2)当点A 的坐标为()3n ，时，四边形ABCD 是矩形，求mn 的值．(3)试探究：随着k 与m 的变化，四边形ABCD 能不能成为菱形？若能，请直接写出k 的值；若不能，请说明理由．2．如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，反比例函数y x=（0,0k x ≠>）在第一象限内的图象经过点D 、E ，(1)点F 为对角线OB 上一点，满足2OF BF =，点()6,E m 在边BC 上，且1tan 2BOC ∠=，求反比例函数解析式；(2)在（1）的条件下，反比例函数上是否存在点Q ，满足:2:1OBC OBQ S S = ，若存在，求点Q 的横坐标；(3)我们把有一个内角为45︒的三角形称为“美好三角形”，这个45︒的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图2，若点B 的坐标为()2,1，则当ODE 为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中k 的值．∵四边形OABC 是矩形，∴90BCO FHO ∠=∠=︒，∴FH BC ∥，∴OHF OCB ∽，∴OF OH OB OC=，由（1）得：()4,2F ，∴直线OB 解析式为：12y x =，∵()6,B m ，∴()6,0C ，则点()3,0P ，同（1）理：直线OB 解析式为：y =∵()6,B m ，∴3m =，∴点()0,3A ，∴OEM △是等腰直角三角形，∴=OE EM ，∵90OEC EOC ∠+∠=︒，OEC ∠+∠∴EOC MEN ∠=∠，同理①可证：GHO OCE ≌，∴OH EC =，GH OC =，∴,22k G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线DE 的解析式为y sx t =+，k ⎧题型四反比例函数与菱形的综合问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，且()2,0A ，(B ，点C 在反比例函数k y x =的图象上．(1)求反比例函数k y x =的表达式；(2)当菱形OABC 绕点O 逆时针旋转150︒时，判断点C 的对应点C '是否在k y x =的图象上；并直接写出CC '所在的直线解析式．在Rt OCM ∆中，1,OM CM ==∴2OC =，∴tan 3COM ∠=，∴60COM ∠=︒，∵菱形OABC 绕点O 逆时针旋转∴2OC OC '==，150AOA '∠=︒题目主要考查反比例函数与特殊四边形的性质，解三角形的应用，旋转的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.【例2】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(6,，点C在反比例函数的图象上，以点O为圆心，OC长为半径画 AC．(1)求反比例函数的表达式；(2)阴影部分的面积为______．（用含π的式子表示）∵菱形OABC 的边OA 在∴23CD =，OC BC =在Rt CDO △中，由勾股定理，得：∴()(22236DO OD +=-1．（2024·河南开封·一模）如图，ABC 的顶点坐标分别为(A ，()1,0B ，(C ，反比例函数()0k y x x =>的图象经过点C ．(1)求k 的值．(2)点D 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，且BD AC ⊥于点E ，DE BE =，请说明四边形ABCD 是菱形．(3)是否存在除点D 外可与A ，B ，C 三点共同组成菱形的点P ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点P 与A ，B ，C 三点共同组成菱形，点A 和点C 纵坐标相等，∴可设点(),0P x ，当菱形ABPC 以AB 为对角线，则12x =+，解得=1x -，当菱形ABCP 以CB 为对角线，则012x +=+，解得3x =，则()11,0P -，()23,0P ．2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数k y x =的图象上，点()3,1B -在第四象限，菱形OCDE 的顶点D 在x 轴的负半轴上，顶点E 在反比例函数k y x =的图象上．(1)k 的值为；(2)求AOB ∠的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．AOF OBG ∠=∠，根据90BOG OBG ∠+∠=︒即可求解；（3）根据扇形面积的计算，几何图形面积与反比例函数系数的关系即可求解．【详解】（1）解：已知扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数k y x=的图象上，∴13k =，则3k =，故答案为：3；（2）解：如图,分别过点,A B 作AF x ⊥轴于点F ，BG x ⊥轴于点G ，∵()(1,3)3,1A B -，，∴13OF BG AF OG ====，，∵OA OB =,∴()SSS OAF BOG ≌，∴AOF OBG ∠=∠，∵90BOG OBG ∠+∠=︒，∴90BOG AOF ∠+∠=︒，∴90AOB ∠=︒；（3）解：由（2）可知，13OF AF ==，，∴OA OB ===90AOB ∠=︒，∴22115442OAB S OA πππ=⨯=⨯=扇形，11522AOB S OA OB === △，由（1）可知反比例函数解析式为3y x=，∵点E 在反比例函数图象上，且OCDE 是菱形，如图所示，连接CE 交x 轴于点H ，∴1322OEH S k == ，∴23ODE OEH S S ==△△，∴阴影部分的面积为：5553222OAB ODE OAB S S S S ππ=-+=-+=- 阴影扇形，∴阴影部分的面积和为：522π-．3．（2023·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为反比例函数k y x =图象上一点，AB y ⊥轴于点B ，且8AOB S =△，点M 为反比例函数k y x=图象上第四象限内一动点，过点M 作MC x ⊥轴于点C ，取x 轴上一点D ，使得OD OC =，连接DM 交y 轴于点E ，点F 是点E 关于直线MC 的对称点．(1)求反比例函数的表达式；(2)试判断点F 是否在反比例函数k y x =的图象上，并说明四边形EMFC 的形状．【答案】(1)16y x=-(2)点F 在反比例函数16y x =-的图象上，四边形EMFC 是菱形，理由见解析【分析】（1）根据反比例函数k 的几何意义，182AOB S k == 即可求解；（2）先证明DCM DOE ∽ ，得到12OE CM =，设16,M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8,E m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称的性质得到82,F m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，题型五反比例函数与正方形形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点B 与原点重合，点A ，C 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，将正方形ABCD 沿x 轴正方向平移4个单位长度后得到正方形A B C D ''''，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为A B ''的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象恰好经过点E ．(1)求反比例函数的表达式．(2)若反比例函数()0k y x x =>的图象与正方形A B C D ''''的边C D ''交于点F ，连接D E '，EF ，求D EF ' 的面积．(3)连接C D '，判断点E 是否在线段C D '上，并说明理由．本题考查了正方形的性质，平移的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数表达式及一次函数表达式．【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个22⨯的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x 轴、y 轴平行，每个小正方形的边长为1．点N 的坐标为(3,3)．（1）点M 的坐标为．（2）若双曲线:(0)k L y x x =>与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k 的值有个．∴符合题意的正数k 有6，2，∵经过点E 、F 时，6k =；经过点N 时，9k =，∴在这两个临界状态之间，还有两个符合题意的正数7,8k k ==，∴共有4个，故答案为：4．1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A -，(0,2)B -，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．解：(1,0)A - ，(0,2)B -，E 为AD 中点，1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴-，24t t ∴=-，4t ∴=，4k ∴=；（2）则102x -+=，解得1x =，则122x -=，解得=1x -，此时2(1,4)P --，2(0,Q ②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥∴122x -=，解得=1x -，3(1,4)P ∴--，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(P （3）解：结论：MN HT的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=，三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.。

专题26 反比例函数与几何综合题型归纳-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)

专题26 反比例函数与几何综合题型归纳-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)

专题26 反比例函数与几何综合题型归纳（原卷版）类型一 反比例函数与三角形综合1．（2022秋•岚山区校级期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB ＝30°，点A 在反比例函数y =6x（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A ．y =―1x B ．y =―2x C ．y =―4xD ．y =―6x2．（2022秋•金水区校级期末）如图，已知直角三角形ABO 中，AO =3，将△ABO 绕点O 点旋转至△A 'B 'O 的位置，且A '在OB 的中点，B '在反比例函数y =kx上，则k 的值为 ．3．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC ∥x 轴，双曲线y =kx过A ，B 两点，过点C 作CD ∥y 轴交双曲线于点D ，若S △BCD ＝16，则k 的值是 ．4．（2023•南海区模拟）如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，过点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5分别作x 轴的垂线与反比例函数y =2x(x ≠0)的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，得直角三角形OP 1A 1，A 1P 2A 2，A 2P 3A 3，A 3P 4A 4，A 4P 5A 5，并设其面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，则S 2022＝ ．5．（2022秋•桥西区校级期末）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像与反比例函数y 2=k 2x(x ＞0)的图像相交于A （m ，6），B （6，1）两点，且与x 轴，y 轴交于点M ，N ．（1）填空：k 2＝ ；m ＝ ；在第一象限内，当y 1＞y 2时，x 的取值范围为 ；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）点E 在线段AB 上，过点E 作x 轴的垂线，交反比例函数图像于点F ，若EF ＝2，求点F 的坐标．6．（2022秋•龙泉驿区期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC 沿x 轴平移（边AB 在x 轴上，点C 在x 轴上方），其中A （a ，0），三角形ABC 与反比例函数y =23x（x ＞0）交于点D ，E 两点（点D 在点E 左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：（1）第一小组提出“当a ＝2时，求点D 的坐标”；（2）第二小组提出“若AD ＝CE ，求a 的值”；（3）第三小组提出“若将点E 绕点A 逆时针旋转60°至点E ′，点E ′恰好也在y =23x（x ＞0）上，求a 的值”．7．（2022秋•南山区期末）如图：△AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，S △OAB ＝4，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A 交y 轴于点C ，反比例函数y 2=kx（x ＞0）的图象也经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若CD ＝2AD ，求△COD 的面积；（3）当y 1＜y 2时对应的自变量的取值范围是 ．（请直接写出答案）8．（2022秋•老城区校级期中）如图，已知：直线y =12x 与双曲线y =k x （k ＞0）交于A ，B 两点，且点A的横坐标为4，若双曲线y =kx（k ＞0）上一点C 的纵坐标为8，连接AC ．（1）填空：k 的值为 8　；点B 的坐标为 ；点C 的坐标为 ．（2）直接写出关于的不等式12x ―k x≥0的解集；（3）求三角形AOC 的面积．9．（2022秋•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y =1x 和y =9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y =1x的图象于点C ，联结AC ，若△ABC 是等腰三角形，求k 的值．类型二 反比例函数与平行四边形综合10．（2022秋•襄都区校级期末）如图，反比例函数y =kx的图象经过平行四边形ABCD 对角线的交点P ．知A ，C ，D ，三点在坐标轴上，BD ⊥DC ，平行四边形ABCD 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣4D ．﹣311．（2022秋•滨城区校级期末）如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在y =―2x 上，顶点C 在y =9x上，则平行四边形OABC 的面积是 ．12．（2022秋•平城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC 的面积为6，边OB 在x 轴上，顶点 A 、C 分别在反比例函数y =k x（x ＜0）和y =2x （x ＞0）的图象上，则k ﹣2的值为（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．613．（2022秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD 顶点A 的坐标为（1，0），点D 在反比例函数y =―6x 的图象上，点B ，C 在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上，CD 与y 轴交于点E ，若DE ＝CE ，∠DAO ＝45°，则k 的值为 ．14．（2022•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy 中，函数y =kx （其中x ＜0）的图象经过平行四边形ABOC 的顶点A ，函数y =8x（其中x ＞0）的图象经过顶点C ，点B 在x 轴上，若点C 的横坐标为2，△AOC 的面积为6．（1）求k 的值；（2）求直线AB 的解析式．类型三 反比例函数与矩形综合15．（2022秋•永城市期末）如图，直线y ＝﹣x +3与坐标轴分别相交于A ，B 两点，过A ，B 两点作矩形ABCD ，AB ＝2AD ，双曲线y =kx在第一象限经过C ，D 两点，则k 的值是（ ）A ．6B ．274C ．272D ．2716．（2022秋•岚山区校级期末）如右图，已知矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线y =kx相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k ＝（ ）A ．10B ．20C ．6D ．1217．（2022秋•达川区期末）如图，矩形AOBC 的边OA ＝3，OB ＝4，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数y =kx的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ．给出下列命题：①若k ＝6，则△OEF 的面积为92；②若k =218，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是0＜k ≤12；④若DE ⋅EG =256，则k ＝2；其中正确的命题个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2023•黔江区一模）如图，矩形ABCD 中，点A 在双曲线y =―8x上，点B ，C 在x 轴上，延长CD 至点E ，使CD ＝2DE ，连接BE 交y 轴于点F ，连接CF ，则△BFC 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2022秋•荔城区校级期末）如图，点A 为双曲线y =―2x在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足AB ：BC ＝4：3，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为 ．20．（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1=k 1x（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，反比例函数y 2=k 2x（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则2k 2﹣2k 1＝ ．21．（2022秋•长安区校级期末）如图，矩形ABCD 顶点坐标分别为A （1，1），B （2，1），CB ＝2．（1）若反比例函数y =kx与的图象过点D ，则k ＝ ．（2）若反比例函数与矩形ABCD 的边CD 、CB 分别交于点E 、点F ，且△CEF 的面积是，则反比例函数的表达式为 ．（3）若反比例函数y =k x(x ＞0)的图象将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k 的取值范围是 ．22．（2022秋•松原期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点．一次函数y ＝﹣3x +6的图象经过点C 、D ，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点B ，求k 的值．23．（2022•礼县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且OA ＝2，OC ＝4，连接OB ．反比例函数y =k1x（x ＞0）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数y ＝k 2x +b 的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．（2）点P 是x 轴上一动点，当PE +PF 的值最小时，求点P 的坐标．25．（2022春•姑苏区校级月考）如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，点 A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B （a ，b ）在第一象限，四边形OABC 是矩形，反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，且BE ＝2CE ．（1）求证：BD ＝2AD ；（2）若四边形ODBE 的面积是6，求k 的值．类型四 反比例函数与菱形综合26．（2022秋•江北区校级期末）如图，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数y =kx（k ≠0，x ＞0）的图象同时经过顶点C 、D ．若点C 的横坐标为10，BE ＝3DE ，则k 的值为（ ）A ．15B ．6C ．154D ．1027．（2022•珠海校级三模）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x的图象上，且∠ADC＝120°，则k2k1的值是（ ）A．﹣3B．―13C．3D．―3328．（2022秋•岚山区校级期末）如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为242，则点A的坐标为 ．29．（2022秋•福州期末）如图，四边形ABOC为菱形，∠BOC＝60°，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点B，交AC边于点P，若△BOP的面积为43，则点A的坐标为 ．30．（2022秋•通川区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y=kx（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为 ．31．（2023•西山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A 在反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）．（1）求反比例函数的关系式；（2）设点M 在反比例函数图象上，连接MA 、MD ，若△MAD 的面积是菱形ABCD 面积的14，求点M 的坐标．类型五 反比例函数与正方形综合32．（2022秋•东港市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =43x +4的图象与x 轴，y 轴分别交于点B ，A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数y =k x（x ＜0）的图象上，则k 的值为（ ）A ．﹣21B ．21C ．﹣24D ．2433．（2022秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数y =kx(x ＞0)图象经过正方形OABC 的顶点A ，BC 边与y轴交于点D ，若正方形OABC 的面积为12，BD ＝2CD ，则k 的值为（ ）A ．3B ．185C ．165D ．10334．（2022秋•济南期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （4a ，a ）是反比例函数y =k x（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（ ）A ．16B ．1C ．4D ．﹣1635．（2022•南关区校级模拟）如图，正方形ABCO 和正方形CDEF 的顶点B 、E 在双曲线y =6x（x ＞0）上，连接OB 、OE 、BE ，则S △OBE 的值为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.536．（2022•绿园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A 的函数y =k x（x ＞0）的图象与大正方形的一边交于点B （1，3），则阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．3C ．32D ．3―337．（2022秋•徐汇区期末）点A 、M 在函数y =1x （x ＞0）图象上，点B 、N 在函数y =―3x（x ＜0）图象上，分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、C ，再分别过M 、N 作线段AB 的垂线，垂足为Q 、P ，若四边形ABCD 与四边形MNPQ 均为正方形，则正方形MNPQ 的面积是 ．38．（2022秋•薛城区期末）如图，点B 是反比例函数y =k x图象上的一点，矩形OABC 的周长是20，正方形OCDF 与正方形BCGH 的面积之和为68，则k 的值为 ．39．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x(x ＞0)的图象与边长等于6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△MON 的面积是16，动点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴向右运动，记运动时间为t ，当t ＝ s 时，PM +PN 最小．40．（2022•香洲区校级三模）如图，反比例函数y =k x（k ≠0，x ＞0）的图象过点B ，E ，四边形ODEF 和ABCD 是正方形，顶点F 在x 轴的正半轴上，A ，D 在y 轴正半轴上，点C 在边DE 上，延长BC 交x 轴于点G ．若AB ＝2，则四边形CEFG 的面积为 ．41．（2022秋•蚌山区月考）如图，两个边长分别为a ，b （a ＞b ）的正方形连在一起，三点C ，B ，F 在同一直线上，反比例函数y =k x在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E ．若OB 2﹣BE 2＝8，则（1）S 正方形OABC ﹣S 正方形DEFB ＝ ；（2）k 的值是 ．42．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（2，0），连结AB ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线BD ：y ＝ax +b 交双曲线y =k x（k ≠0）于D 、E 两点，连结CE ．（1）求双曲线y =k x（k ≠0）和直线BD 的解析式；（2）求△BEC 的面积；（3）请直接写出不等式ax +b ＞k x 的解集．43．（2022•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，反比例函数y ＝k 的图象过AB 边上一点E ，与BC 边交于点D ，BE ＝2，OE ＝10．（1）求k 的值；（2）直线y ＝ax +b 过点D 及线段AB 的中点F ，点P 是直线OF 上一动点，当PD +PC 的值最小时，直接写出这个最小值．44．（2021秋•榆林）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，2），以线段AB 为一边在第一象限内作平行四边形ABCD ，其顶点D （3，1）在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）设将正方形ABCD 沿x 轴向左平移m （m ＞0）个单位后，得到正方形A ′B ′C ′D ′，点C 的对应点C ′恰好落在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上，求m 的值．45．（2022秋•宝山区校级期中）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y =k x （k ＞0，x ＞0）图象上，点P 是函数y =k x（k ＞0，x ＞0）图象上异于点B 的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．（1）点B 的坐标是 ，k ＝ ；（2）当S =92，求点P 的坐标；（3）求出S 关于m 的函数关系式．46．（2022秋•武功县期末）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣1，2），B （﹣1，﹣2），以AB 为边向右作正方形ABCD ，边AD 、BC 分别与y 轴交于点E 、F ，反比例函数y =k x(k ≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的表达式；（2）在反比例函数的图象上是否存在点P ，使得△PEF 的面积等于正方形ABCD 面积的一半？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．47．（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt △ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB ＝90°，AC＝1，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象经过BC 边的中点D （3，1）．（1）直接写出这个反比例函数的表达式 ；（2）若△ABC 与△EFG 关于点M 成中心对称，且△EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上．①直接写出OF 的长 、对称中心点M 的坐标 ；②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．。

专题2.10反比例函数与几何综合大题(学生版)

专题2.10反比例函数与几何综合大题(学生版)

专题2.11反比例函数与几何综合大题一、解答题1．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A、B(−1，0)，反比例函数y=6x的图像也经过点A，且点A横坐标是2．(1)求一次函数的解析式．(2)点C是x轴正半轴上的一点，连接AC，tan∠ACB=34，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y=6x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图像于点D、E，求点D、E的坐标．(3)在（2）的条件下，连接AD，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．(1)在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB=32，求MO．≠0的图(2)若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD．反比例函数y=象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）3．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期中）如图点P(m,n)是双曲线y=k x(x<0)上一动点，且m，n为关于a的一元二次方程4a2+ba+320的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，过B点且与AB垂直的直线交FO的延长线于Q点．(1)求双曲线的解析式；(2)当OP取最小值求b的值．(3)若点O到AB的距离等于OP的最小值，求1EF+1BQ的值．>04．（2022·安徽·淮南市龙湖中学九年级期中）如图，直线y=ax+6经过点A−3,0，交反比例函数y=的图象于点B1,m．(1)求k的值；(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作DC⊥y轴交线段AB于点C，连接AD，求△ACD的面积的最大值．5．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学九年级期中）直线y=2x与反比例函数y=2x图象交于A，B两点，CA点右侧任意一点；(1)如图1，求A，B两点坐标；(2)如图2，连接BC，若∠ABC=45°，求点C的坐标；(3)如图3，设直线AC，BC分别与x轴相交于D，E两点，且AC=mCD，BC=nCE，求n−m的值．6．（2022·江苏·景山中学九年级阶段练习）在平面坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q 在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M、N的“最近距离”，记为d M，N．特别地，若图形M、N有公共点，规定值为0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A0,1，则d A，⊙O=_________．>0的图像为G1，则d G1，⊙O=_________．②记反比例函数y=(2)如图2，点B2，0，⊙B的半径为1，直线l1：y=kx+3，若d l1，⊙B=135，求k的值．(3)如图3，直线l2：y=−x+4与x轴交于点C，与y轴交于点D，边长为2的正方形EFHK的中心为O，将正方形EFHK沿着x m个单位，记正方形EFHK为图形G2，若线段CD与正方形EFHK的“最近距离”满足0≤d CD，G2≤12，请直接写出m的取值范围．7．（2022·重庆第二外国语学校九年级期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，S△ABC＝3，且CA⊥x轴．(1)若点C在反比例函数y=k x（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，取OB的中点M，将线段OM沿着y轴上下移动，线段OM的对应线段是O1M1，直接写出四边形CM1O1N周长的最小值．8．（2022·陕西·西北大学附中九年级期中）如图，一次函数y=−x+4的图象与反比例函数y=k x（k为常数，且k≠0）的图象交与A1,a、B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值．9．（2021·广东·佛山市南海外国语学校九年级阶段练习）如图1，平面直角坐标系xOy中，A−4,3，反比例<0的图象分别交矩形ABOC的两边AC、BC于E、F（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC函数y=折叠使A、D重合(1)如图2，连接BC，求证：EF∥BC；(2)当点D落在矩形ABOC内部时，求k的取值范围；(3)如图3，连接CD，求CD的最小值，并直接写出此时点D的坐标．>0图象上10．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）如图，已知点A为函数y=任意一点，连接OA并延长至点B，使AB=OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OC．求四边形OCDA的面积．11．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，已知顶点B(2,4)，反比例函数y=k x(x>0)的图像与BC,AB分别交于D，E，BD=12．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；(3)若点F在直线AC上，点G在反比例函数y=k x(x>0)的图像上，是否存在合适的F、G点，使四边形BCFG平行四边形，若存在，请求出点G的坐标．若不存在，请说明理由．12．（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）知识拓展如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；解决问题如图3，直线AB与坐标轴分别交于点A m，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函数y=m x x>0的图象与AB交于C，D两点．(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求点B的坐标．13．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B 分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=4x（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．(1)求直线EF的解析式；(2)求△EOF的面积；(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．14．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）如图，函数y＝k x（x＞0）的图像过点A（n，2）和B（85，2n−3）两点．(1)求n和k的值；(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝k x（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，直线AC：y＝ax+2分别交y轴和反比例函数y=k x（x＞0）的图象于点C和点A（2，m），点B也在反比例函数的图象上，且BC∥x轴，tan∠ACB＝2．(1)求点A、B的坐标；(2)设点D在x轴的正半轴上，点E在该反比例函数的图象上．①若四边形BDCE是菱形，求出该菱形周长；②若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．16．（2022·浙江·九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝1x（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝k x（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．(1)如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．(2)如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝k x（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．17．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）已知反比例函数y=1-m x（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．18．OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，OA=2，AB=4，双曲线k>0与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．(1)若点E是AB的中点，求点F的坐标；(2)将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作EG⊥OC于点G．问：△EGD与△DCF是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．19．（2021·辽宁·沈阳市清乐围棋学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD：y1＝kx+b与反比例函数y2＝m x的图象交于点B，点E．(1)求反比例函数及直线BD的关系式；(2)直接写出不等式m x﹣kx﹣b＜0的解集．20．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反比例函数y=k x(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．(1)求k的值；(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．21．（2022·浙江省武义县实验中学八年级阶段练习）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=k x 的图象过点A．(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1x的图像于点D；（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；(2)证明：O、M、E三点共线；(3)证明：∠EOB=13∠AOB．23．（2022·江苏省盐城中学新洋分校八年级阶段练习）【感知】如图1，已知反比例函数y=k x上有两点A(−2,1)，B(1,−2)，AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥y轴交y轴于点F，则S△AEF=______；S△BEF=_______；EF与AB的位置关系：_______．【探究】数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线y=k x(x>0)同一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接AF、BE．①试探究△AEF与△BEF面积的关系并说明理由．②试探究EF与AB之间的位置关系并说明理由．【运用】如图3，已知点A、B在反比例函数y=12x的图像上，且A(3,m)，B是反比例函数y=12x第三象限内图像上的一动点，过点A作AE⊥x轴，过点B作BF⊥y轴，垂足分别分为E，F，若四边形AEFB的面积为20，求点B的坐标．（提示，可直接运用上述所发现的结论，答案见公众号：绿爱生活）【拓展】如图4，函数y=k x(x>0)的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线AB分别交于y轴、x轴于点C、E，连接AD分别交y轴、x轴于点M、N．若AC=23AB，则AM AD=______．24．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=−12x（x>0）经过点A(a,−3)，反比例函数y=k x(k>0,x＜0)经过点B，且交BC边于点D，连接AD．(1)求直线BC的表达式．(2)求tan∠DAB的值．(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=−12x（x>0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2021·江苏·开明中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒（0< t<5）(1)当t=时，DC∥BO；(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；(3)在（2）的条件下；①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②过点C作直线l1⊥x轴，过点B作直线l2⊥y轴，直线l1与直线l2交于点P，反比例函数y=k x（k>0，x>0）的图像与直线l1、l2分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．26．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）阅读理解对于任意正实数a，b，∵(a−b)2≥0，∴a+b−2ab≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2ab(a,b均为正实数)中，若ab为定值p，则a+b≥2p只有当a=b时，a+b有最小值2p．根据上述内容，回答下列问题：(1)若m>0，只有当m=______时，m+1m有最小值______．(2)探索应用如图，已知A−2,0，B0,−3，P为双曲线y=6x(x>0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．(3)实践应用建筑一个容积为800m3，深为8m的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为80元，池底每平方米造价为120元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？27．（2022·山东·新泰市楼德镇初级中学九年级阶段练习）反比例函数y＝k x（k＞0）的图像与直线y＝mx+n的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝k x的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作PA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为94．(1)求反比例函数及直线OP的解析式；(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．28．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12x+2及双曲线y ＝k x（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m ＞0）．(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．(2)如图②过C、D两点分别作CC'∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+d a，求d的最大值．29．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y=k x（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．解决问题：(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号）(2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；(3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．30．（2022·上海市梅陇中学九年级期中）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数y=−1x,y=4x的图像交于A、B两点，(1)当OB与x轴的正半轴的夹角为45°时，求点A、B的坐标．(2)在直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转过程中，∠OAB大小会变化吗？如果不变，请求出tan∠OAB的值如果有变化，请说明理由．(3)如果AB交y轴于点C，若AC=2BC时，求点A，B的坐标．。

专题一 反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题一 反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 反比例函数与一次函数图象交点问题1.已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为( )A. B. C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，点，点B与点A关于直线对称，过点B 作反比例函数的图像.(1)____________；(2)若对于直线，总有y随x的增大而增大，设直线与双曲线交点的横坐标为t，则t的取值范围是___________.3.如图, 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点, 其中点A的坐标为, 点B 的坐标为.(1)根据图象, 直接写出满足的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上, 连接OA,OB,OP, 恰有, 求点P 的坐标.题型2 反比例函数与一次函数图形面积问题4.如图,P是反比例函数的图象上一点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交反比例函数的图象于点M,N,则的面积为( )A.1B.1.2C.2D.2.45.如图, 一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A 和点B, 与反比例函数的图象在第一象限内交于点C,轴, 轴, 垂足分别为点D,E. 当矩形ODCE与的面积相等时, k的值为___________.6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象相交于A,B两点,过点A作AD⊥x轴于点D, y=mxAO=5,,B点的坐标为(―6,n)（1）求一次函数和反比例函数的表达式;（2）求△AOB的面积;（3）P是y轴上一点,且△AOP是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.题型3 反比例函数与几何图形结合7.如图, 点A在双曲线上, 连接 AO并延长, 交双曲线于点C. 以AC为对角线作菱形ABCD, 点B,D在反比例函数的图象上, 且, 则k的值是( )A. B. C. D. -18.如图，已知，在矩形AOBC中，，，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，将沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为___________.9.如图, 在平面直角坐标系中, 直线与反比例函数的图象交于点,, 过点 A作交反比例函数图象于另一点D, 过点B作交反比例函数图象于另一点C, 连接CD.(1)求直线AB的解析式;(2)判断四边形 ABCD的形状, 并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：把点代入，得，又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，则.2.答案：(1)12(2)解析：(1)点，点B与点A关于点线对称，，将代入，解得，.(2)对于直线，总有y随x的增大而增大，，，当时，，直线过定点，把代入，得，解得，故.3.答案： (1) 或.(2)(3)解析： (1) 由题图可知, 当或时, 一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，当或时, 满足.(2) 点在反比例函数的图象上, , 解得,故反比例函数的表达式为.点在反比例函数的图象上, ,点B的坐标为.将点 A,B的坐标分别代入, 得解得故一次函数的表达式为.(3)设直线与x 轴交于点C, 当时, ，,点C的坐标为.,.,.点P在线段AB上,设点P 的坐标为.,,解得，,故点P的坐标为.4.答案：A解析:设,则,,,,的面积为:.故选:A.5.答案：2解析：对于一次函数, 当时, , 当时, ,即, 故.结合反比例函数中的几何意义, 可知.，, 解得，(舍去).6.答案：（1）（2）9（3）P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,―5)或(0,258)..解析:（1）(1)AO=5,AD=3,设:OD=3a,AD=4a,则AD=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),则m=3×4=12,故反比例函数的表达式为:y=12x,故B(―6,―2),将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:,解得:k=23b=2,故一次函数的表达式为:y=23x+2;（2）设一次函数交y轴于点M(0,2),△AOB的面积;（3）设点，而点A ,O 的坐标分别为:,,AP 2=9+(m ―4)2,,PO 2=m 2,当时,解得:或0(舍去0);当时,同理可得:;当时,同理可得:m =258;综上,P 点坐标为:或或或(0,258)..7.答案：C解析：如图, 过点A 作 轴于点F ,过点B 作 轴于点E , 则，四边形 ABCD 是菱 形, ,. 又，，，，. 反比例函数的图象位于第二、四象限,，.8.答案：解析：解：如图，过点E 作轴于点M ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，，，，，而，，，；又，，，，；，而，，在中，，即，解得，故答案为.9.答案： (1)(2)四边形ABCD是矩形，理由见解析解析：(1)点在反比例函数的图象上,,反比例函数的解析式为.点在反比例函数的图象上,,点.将,分别代入, 得解得直线AB的解析式为.(2) 四边形ABCD是矩形.理由如下:, 直线AB的解析式为, 易知可设直线AD的解析式为.将代入, 得,，直线AD的解析式为.令, 解得，,点，.由, 点, 易得直线BC的解析式为,令, 解得，,点，,.又,四边形ABCD 是平行四边形.又,四边形ABCD 是矩形.。

初中数学中考考点综合专题(二)：反比例函数与几何图形的综合

初中数学中考考点综合专题(二)：反比例函数与几何图形的综合

∠A＝60°，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y＝ k (k≠0)的 x
图象上，则反比例函数的解析式为( B )
A．y＝－ 3 3 x
B．y＝－ 3 x
C．y＝－ 3 x
D．y＝ 3 x
8．如图，四边形 AOBC 和四边形 CDEF 都是正 方形，边 OA 在 x 轴上，边 OB 在 y 轴上，点 D 在边
由题意得 A′B′＝4，∠A′B′E＝60°. ∴∠B′DE＝30°. 在 Rt△DEB′中，B′D＝2， ∴B′E＝1.
∴DE＝ B' D2 B' E 2 22 12 3.
∴O′E＝3.
把 y＝ 3代入 y＝4x3，得 x＝4. ∴OE＝4. ∴a＝OO′＝1；
如图③，当反比例函数图象经过 A′O′的中点 F 时，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H.
∴AE＝6. 又∵▱ABCD 的面积是 24， ∴AD＝BC＝4.
∴D(4，2)． ∴k＝4×2＝8.
∴反比例函数的解析式为 y＝ 8 . x
(2)AB 所在直线的解析式． (2)由题意知 B 的纵坐标为－4， ∴其横坐标为－2. ∴B(－2，－4)． 设 AB 所在直线的解析式为 y＝ax＋b，
(4，12)
.
10．如图，在▱ ABCD 中，顶点 A 的坐标是(0， 2)，AD∥x 轴，BC 交 y 轴于点 E，顶点 C 的纵坐 标是－4，▱ ABCD 的面积是 24.反比例函数 y＝ k 的
x 图象经过点 B 和点 D，求：
(1)反比例函数的解析式；
解：(1)∵顶点 A 的坐标是(0，2)，顶点 C 的纵坐 标是－4，
x 得 k＝2，∴y＝ 2 .
x
(2)连接 BD，若点 P 是反比例函数图象上的一 点，且直线 OP 将△OBD 的周长分成相等的两部分， 求点 P 的坐标．

2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合

2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合

2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合一、综合题1．如图，正比例函数 y x = 的图象与反比例函数 ky x=（ 0x > ）的图象交于点 ()1A a ， ，在 ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， CA CB = ，点C 坐标为 ()20-，．（1）求 k 的值；（2）求 AB 所在直线的解析式．2．如图所示，直线 1y k x b =+ 与双曲线 2k y x=交于A 、B 两点，已知点B 的纵坐标为 3- ，直线AB 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点 ()02D -，， 5OA =， 1tan 2AOC ∠= ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点， OCP 的面积是 ODB 的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式 21k k x b x+≤的解集． 3．反比例函数 2m y x-=的图象的一支位于第一象限.（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；（2）如图，若直线 AB 与该函数图象交于 ()61A ， 、 B 两点，求此反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下， AOB 的面积为8，动点 P 在 y 轴上运动，当线段 PA 与 PB 之差最大时，求点 P 坐标.4．如图， Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， AC BC = ，点 ()20C ，，点 ()04B ， ，反比例函数 ()0kyxx=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线 OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点 ()1n ， ，求m ，n 的值． 5．如图，直线y=2x 与反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象交于点A(m ，8)，AB⊥x 轴，垂足为B 。

（1）求k 的值；（2）点C 在AB 上，若OC=AC ，求AC 的长；（3）点D 为x 轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S ⊥OCD =S ⊥ACD ，求点D 的坐标。

2024中考压轴题02 反比例函数的综合问题(3题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)

2024中考压轴题02 反比例函数的综合问题(3题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)

压轴题解题模板02反比例函数的综合问题目录题型一反比例函数与一次函数交点问题题型二反比例函数与一次函数图像面积问题题型三反比例函数与几何图形结合题型1题型2题型3题型一反比例函数与一次函数交点问题解题模板：技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点(),6A n 和()3,2B 是一次函数1y kx b =+的图象与反比例x(1)求m 的值和反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题解题模板：x求AOB的面积；请根据图象直接写出不等式【变式2-1】（2023·A B象交于(4,1),若OBD的)0m>的个单位长度后与反比例函数图象，求ACD的面积．题型三反比例函数与几何图形结合解题模板：x轴上，ABP是以x使ABP是以点统考中考真题）如图，在平面直角坐标系的图象的一个交点为x上，且ABC的面积为上一点，连接P A，以，使它与PAB位似，相似比为好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．一、解答题x轴上一点，若PAB的面积为统考中考真题）恰好落在反比例函数x，使ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．如图，正比例函数ABC 的面积．6．（2023·tan 2AOB ∠的对称点，OAC 的面积是x(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与AOC相似，求点P的坐标．。

中考数学狙击重难点系列专题26----双反比例函数图像与几何图形综合(含答案)

中考数学狙击重难点系列专题26----双反比例函数图像与几何图形综合(含答案)

双反比例函数图像与几何图形综合1. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A. y=﹣B. y=﹣C. y=﹣D. y=2. 如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= （k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）A. 12B. 10C. 8D. 63. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）A. m=﹣3nB.C.D.4. 如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y= 的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（）A. B. C. D.5. 如图，∠AOB=90°，且OA，OB分别与反比例函数y= （x＞0）、y=﹣（x＜0）的图象交于A，B 两点，则tan∠OAB的值是（）A. B. C. 1 D.6. 如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C、D两点在反比例函数y= 的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF= ，则k2﹣k1=（）A. 4B.C.D. 67. 如图，点是反比例函数（是常数，）上的一个动点，过点作轴、轴的平行线交反比例函数（为常数，）于点、．当点的横坐标逐渐增大时，三角形的面积( )A. 先变大再变小B. 先变小再变大C. 不变D. 无法判断8. 如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝−和y＝的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 69. 如图，点A在反比例函数(x>0)的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x 轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（）A. 3B. ﹣6C. 2D. 610. 如图，已知点A 、B分别在反比例函数（），-（）的图象上，且OA⊥OB ，则的值为（）A. B. 2 C. D. 411. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1= （x＞0）及y2= （x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. ﹣412. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线（）分别交反比例函数和在第一象限的图象于点，，过点作轴于点，交的图象于点，连结．若BDO是等腰直角三角形，则的值是________．13. 如图，在平面直角坐标系中，有一宽度为1的长方形纸带，平行于y轴，在x轴的正半轴上移动，交x轴的正半轴于点A、D，两边分别交函数y1＝（x＞0）与y2＝（x＞0）的图像于B、F和E、C，若四边形ABCD是矩形，则A点的坐标为________．14. 如图，是反比例函数和（＜）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为________。

2023年九年级数学中考专题训练反比例函数与几何综合含答案解析

2023年九年级数学中考专题训练反比例函数与几何综合含答案解析

中考专题训练——反比例函数与几何综合1．如图，一次函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，与反比例函数图象交于点C 和点D ，其中点D 的横标为1，1OA OB ==．（1）如图1，求一次函数和反比例函数的表达式；（2）如图2，点E 是x 轴正半轴上一点，2OE OB =，求BDE △的面积；（3）在（2）的条件下，直线BE 向上平移，平移后的直线过点D 且交y 轴于点F ，点M 为平面直角坐标系内一点，是否存在以B 、D 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，点A 是反比例函数y ＝m x（m ＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ；M 为是线段AC 的中点，过点M 作AC 的垂线，与反比例函数的图象及y 轴分别交于B 、D 两点．顺次连接A 、B 、C 、D ．设点A 的横坐标为n ．（1）求点B 的坐标（用含有m 、n 的代数式表示）；（2）求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若⊥ABM 的面积为4，当四边形ABCD 是正方形时，求直线AB 的函数表达式．3．如图，A 为反比例函数k y x=（其中0x >）图像上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，10OB =．连接OA 、AB ，且13OA AB ==．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x=（其中0x >）的图像于点C ，连接OC 交AB 于点D ． ⊥求OC 的长；⊥求DO DC 的值． 4．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA ＝2，OC ＝3，E 是AB 中点，反比例函数图象过点E 且和BC 相交点F ．（1）直接写出点B 和点E 的坐标；（2）求直线OB 与反比例函数的解析式；（3）连接OE 、OF ，求四边形OEBF 的面积．5．如图，在直角坐标中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()2,3，反比例函数k y x=是的图像经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE ．（1）求k 的值及点E 的坐标；（2）若点F 是OC 边上一点，且FBC DEB ∽，求直线FB 的解析式．（3）若点P 在y 轴上，且OPD △的面积与四边形BDOE 的面积相等，求点P 的坐标．6．已知在平面直角坐标中，点A (m ，n )在第一象限内，AB ⊥OA 且AB =OA ，反比例函数y =k x的图象经过点A（1）当点B 的坐标为(4，0)时（如图1），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B 在反比例函数y =k x的图象上，且在点A 的右侧时（如图2），用含字母m ，n 的代数式表示点B 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求n m的值．7．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，函数m y x=（m 为常数，1m >，0x >）的图象经过点(),1P m 和()1,Q m ，直线PQ 与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．（1）求OCD ∠的度数；（2）如图2，连接OQ 、OP ，当POC OCD DOQ ∠=∠-∠时，求此时m 的值；（3）如图3，点A 、点B 分别是在x 轴和y 轴正半轴上的动点．再以OA 、OB 为邻边作矩形OAMB ．若点M 恰好在函数m y x=（m 为常数，1m >，0x >）的图象上，且四边形BAPQ 为平行四边形，求此时OA 、OB 的长度．8．如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，对角线OB 长为8，且30COB ∠=︒，D 是AB 边上的点，将ADO △沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处．（1）求OE 的长；（2）点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式；（3）反比例函数与BC 交于M 点，连接OM ，求OBM 的面积．9．如图，已知点()3,1A -，()2,2B -，反比例函数()0k y x x=<的图象记为L ． （1）若L 经过点A ．⊥求L 的解析式；⊥L 是否经过点B ？若经过，说明理由；若不经过，请判断点B 在L 的上方，还是下方．（2）若L 与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围．10．如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x（x ＜0）的图象相交于点A （﹣1，2）、点B （﹣4，n ）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）若点H （﹣12，h ）也在双曲线上，那么在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH |的差最大，求出点P 的坐标．11．如图，直线y ＝﹣12x +7与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的横坐标为2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求出点B 坐标，并结合图象直接写出不等式m x ＜﹣12x +7的解集； （3）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．12．如图，一次函数2y x b =-的图象与反比例函数k y x=的图象交于点A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，且点A 的坐标为()3,2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求AOB 的面积．（3）点P 为反比例函数图像上的一个动点，PM x ⊥轴于M ，是否存在以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似，若存在，直接写出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．13．已知反比例函数12m y x-=（m 为常数）的图象在第一、三象限．（1）求m 的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过ABCO 的顶点B ，点,A C 的坐标分别为()2,0，1,2，求出m 的值；（3）将ABCO 沿x 轴翻折，点C 落在C '处，判断点C '是否落在该反比例函数的图象上？14．如图，一次函数y ＝mx+1的图象与反比例函数y ＝k x 的图象相交于A 、B 两点，点C 在x 轴正半轴上，点D(1，﹣2)，连结OA 、OD 、DC 、AC ，四边形OACD 为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x 的取值范围；（3）设点P 是直线AB 上一动点，且OAP S △＝12S 菱形OACD ，求点P 的坐标．15．如图，在第一象限内有一点A （4，1），过点A 作AB⊥x 轴于B 点，作AC⊥y 轴于C 点，点N 为线段AB 上的一动点，过点N 的反比例函数y ＝n x交线段AC 于M 点，连接OM ，ON ，MN ． （1）若点N 为AB 的中点，则n 的值为 ；（2）求线段AN 的长（用含n 的代数式表示）；（3）求⊥AMN 的面积等于14时n 的值．16．如图，直线11y k x b =+与反比例函数22k y x=的图象交于A 、B 两点，已知点(),4A m ，(),2B n ，AD x ⊥轴于点D ，BC x ⊥轴于点C ，3DC =．（1）求m ，n 的值及反比例函数的解析式；（2）结合图象，当21k k x b x+≤时，直接写出自变量x 的取值范围； （3）若P 是x 轴上的一个动点，当ABP 的周长最小时，求点P 的坐标．17．如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数26y x=的图象交于(2,)A m ，(,1)B n 两点，连接OA ，OB ．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求OAB 的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P ，使以O ，A ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，反比例函数m y x=与一次函数y kx b =+的图象交于A （1，3）和B （－3，n ）两点．（1）求m 、n 的值；（2）当x 取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）求出⊥OAB 的面积．19．如图1，一次函数y ＝kx －4（k≠0）的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝－12x（x ＜0）的图象交于点B （－6，b ）．（1）b ＝__________．k ＝__________．（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 且平行于y 轴的直线l 交该反比例函数的图象于点D ，连接OC ，OD ，若⊥OCD 的面积＝8，求点C 的坐标．（3）将第（2）小题中的⊥OCD 沿射线AB 方向平移一定的距离后，得到⊥O′C′D′，若点O 的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D 的对应点D′的坐标．20．如图，直线AD ：33y x =+与坐标轴交于A D 、两点，以AD 为边在AD 右侧作正方形ABCD ，过C 作CG y ⊥轴于G 点．过点C 的反比例函数(0)k y k x=≠与直线AD 交于,E F 两点． （1）求证：⊥AOD⊥⊥DGC ；（2）求E 、F 两点坐标；（3）填空：不等式33k x x+>的取值范围是_________．参考答案1．（1）1y x =+，2y x =；（2）32（3）17(1,)2M ，21(1,)2M ，33(1,)2M -- 【分析】（1）根据题意，分别求得,A B 点的坐标，用待定系数法求得一次函数的解析式，再求得D 点的坐标，用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）过点D 作DG x ⊥轴于点G ,根据BDE S S =△梯形BOGD DGE BOE S S +-△△求解即可；（3）根据平行线的性质，分情况讨论，⊥当BF 为边时，32BF DM ==，上、下平移点D 即可求得M 点的坐标⊥当FB 为对角线时，根据FH BH =，DH MH =，利用中点坐标求解M 的坐标【详解】（1）点A 和点B 分别是x 轴、y 轴的点，且1OA OB ==,根据图像可知： (1,0),(0,1)A B -设直线AB 的解析式为：y kx b =+ 将点(1,0),(0,1)A B -代入，得：01k b b -+=⎧⎨=⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩ 1y x ∴=+点D 在直线AB 上，且横标为1， 112D y ∴=+=(1,2)D ∴ 又D 在反比例函数图像上设反比例函数解析式为：m y x =， 将(1,2)D 代入，得2m ∴=2y x∴= （2）如图，过点D 作DG x ⊥轴于点G ,则2DG =,1OG =2OE OB =2OE ∴=，1EG OE OG ∴=-=BDE S S =△梯形BOGD DGE BOE S S +-△△111=()222OB DG OG EG DG OE OB +⋅+⋅-⋅111(12)11221222=+⨯+⨯⨯-⨯⨯ 32= （3）存在，理由如下： 设直线BE 的解析式为y ax b =+ (2,0),(01)E B ，201a b b +=⎧∴⎨=⎩解得：121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 112y x ∴=-+ 平移后经过点D (1,2)设平移后的直线DF 的解析式为12y x c =-+ 将D (1,2)代入，求得52c = 5(0,)2F ∴ 53122BF ∴=-= 如图：以B 、D 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形 ⊥当BF 为边时，//BF DM 时，32BF DM == ,B F 都在y 轴上//DM y ∴轴(1,2)D17(1,)2M ∴或者21(1,)2M⊥当FB为对角线时，设对角线,FB DM交点为H ∴FH BH=，DH MH=,设(,)M x y5(0,),(0,1)2F B7(0,)4H∴(1,2)D117(1)0,(2)224x y∴+=+=解得132xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩33(1,)2M∴--综上所述，17(1,)2M，21(1,)2M，33(1,)2M--【点睛】本题考查平移的性质，一次函数与反比例函数图像的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的判定与性质，熟练一次函数与反比例函数图像的性质是解题的关键．2．（1）B（2n，2mn）；（2）见解析；（3）y＝x＋【分析】（1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出B的坐标，即可得出结论；（2）由（1）得到的点B，D，M的坐标判断出MB MD AM MC==，，得出四边形ABCD是平行四边形，再用BD AC⊥即可；（3）由（2）结合AC BD=建立方程求出n，m，从而得到点B，A的坐标即可．【详解】（1）当x n=时，myn=，()m A n n∴，， 由题意知，BD 是AC 的中垂线，∴点B 的纵坐标是2m n ， ∴把2m y n=代入m y x =得2x n =， ∴B （2n ，2m n ）； （2）证明：⊥BD ⊥AC ，AC ⊥x 轴，⊥BD ⊥y 轴，由（1）知，B （2n ，2m n ），A （n ，m n）， ⊥D （0，2m n ），M （n ，2m n ）， ⊥BM ＝MD ＝﹣n ，⊥AC ⊥x 轴，⊥C （n ，0），⊥AM ＝CM ，⊥四边形ABCD 是平行四边形．又⊥BD ⊥AC ，⊥平行四边形ABCD 是菱形；（3）当四边形ABCD 是正方形时， ABM 为等腰直角三角形，AM BM ∴=， ABM 的面积是4，2142ABM S AM ∴==, 22AM BM ∴==，M 为线段AC 的中点，22AC AM BD BM ∴====2n ∴=-，m n=((A B ∴--，， 设直线AB 的解析式为y kx b =+，b b ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩， 解得1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用m ，n 表示出点A ，B ，D ，M 的坐标．3．（1）60y x =；（2）⊥；⊥4【分析】（1）要求k 的值，只需要求出A 的坐标即可，所以过A 作AE x ⊥轴于E ，由于OA AB =，所以5OE EB ==，利用勾股定理求出AE 的长，得到A 的坐标(5,12)，代入到反比例函数解析式中即可解决； （2）⊥因为BC x ⊥轴，所以C 的横坐标为10，由于C 在反比例函数图象上，所以可以求出C 的纵坐标，在直角三角形OBC 中，利用勾股定理可以求出OC 的长度；⊥要求DO DC的值，由OC 的长度已知，所以只需要求出DO 或者DC 的长度即可，因为D 是直线OC 和直线AB 的交点，所以求出直线OC 和直线AB 的解析式，联立两个函数解析式，求得D 的坐标，进而求出线段OD 的长度，即可解决，此题也可以平行线构造相似来解决．【详解】解：（1）过A 作AE OB ⊥于E ，如图1，OA AB =，152OE BE OB ∴===， ∴12AE =，A ∴的坐标为(5,12)， A 为反比例函数k y x=（其中0)x >图象上的一点， 60∴=k ，∴反比例函数的解析式为：60y x=； （2）⊥10OB =，B ∴的坐标为(10,0)，BC x ⊥轴交反比例函数图象于C 点，C ∴的横坐标为10，令10x =，则606y x==， (10,6)C ∴， 6BC ∴=，∴OC ；⊥设直线OC 为y mx =，代入点C 的坐标得35m =， ∴直线OC 的解析式为35y x =， 设直线AB 的解析式为(10)y n x =-，代入点A 的坐标得125n =-， ∴直线AB 的解析式为12245y x =-+， 联立1224535y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得8245x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， D ∴的坐标为24(8,)5，∴OD =，∴CD OC OD =-， ∴4DO DC=．【点睛】本题是一道反比例函数综合题，注意等腰三角形的性质和勾股定理在求线段时的作用，求线段比可以用直接解析法和相似来转化．4．（1）B （2，3），E （2，32）；（2）33,2y x y x==；（3）3 【分析】（1）根据OA ＝2，OC ＝3，得到点B 的坐标；根据E 是AB 的中点，求得点E 的坐标，（2）运用待定系数法求直线OB 的解析式，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解析式；（3）根据反比例函数的解析式求得点F 的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．【详解】解：（1）⊥OA ＝2，OC ＝3，E 是AB 中点，⊥B （2，3），E （2，32）； （2）设直线OB 的解析式是y ＝k 1x ，把B 点坐标代入，得k 1＝32， 则直线OB 的解析式是y ＝32x ． 设反比例函数解析式是y ＝2k x， 把E 点坐标代入，得k 2＝3，则反比例函数的解析式是y ＝3x； （3）由题意得Fy ＝3，代入y ＝3x， 得Fx ＝1，即F （1，3）．则四边形OEBF 的面积＝矩形OABC 的面积﹣⊥OAE 的面积﹣⊥OCF 的面积＝2×3﹣12⨯1×3﹣12⨯2×32＝3． 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，灵活应用是关键，本题是中考的常考题型5．（1）3k =；32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2533y x =+；（3）()0,6或()0,6- 【分析】（1）由B 点的坐标，可得出D 点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出k 值，由E 点在AB 上可得出点B 的横坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出E 点的纵坐标，进而可得出E 点的坐标；（2）由（1）可得出BD ＝1，BE ＝，CB ＝2，由⊥FBC ⊥⊥DEB ，利用相似三角形的性质可求出CF 的长，结合OF ＝OC -CF 可得出OF 的长，进而可得出点F 的坐标，由点F ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB 的解析式；（3）由AOE COD OABC BDOE S S S S =--△△矩形四边形，可求出四边形BDOE 的面积，由点P 在y 轴上及⊥OPD 的面积与四边形BDOE 的面积相等，可求出OP 的长，进而可得出P 点的坐标．【详解】解：（1）在矩形OABC 中，⊥B 点坐标为(2,3)，⊥BC 边中点D 的坐标为(1,3)，又⊥反比例函数k y x=图像经过点(1,3)D ， ⊥31k =， ⊥3k =，⊥E 点在AB 上，⊥E 点的横坐标为2，又⊥3y x=经过点E ，⊥E 点纵坐标为32， ⊥E 点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， （2）由（1）得1BD =，32BE =，2CB =，⊥FBC DEB ∽， ⊥BD BE CF CB =，即3122CF =， ⊥43CF =， ⊥53OF =，即点F 的坐标为50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线FB 的解析式为()110y k x b k =+≠，而直线FB 经过()2,3B ，50,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ⊥13253k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩， ⊥125,33k b ==， ⊥直线FB 的解析式为2533y x =+； （3）⊥131232313222AOE COD BDOE OABC S S S S =--=⨯-⨯⨯-⨯⨯=四边形矩形，由题意，得13,12OP DC DC ⋅==， ⊥6OP =，⊥点P 的坐标为()0,6或()0,6-．【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征求出k 值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用三角形面积的计算公式，求出OP 的长．6．（1）y =4x ；（2）(m +n ，n -m )；（3【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到点A坐标，代入解析式即可得到y =4x． （2）过点A 作AE⊥x 轴于点E ，过点B 作BD⊥AE 于点D ，构造一对全等三角形，得到AE=BD=n ，OE=AD=m ，所以B （m+n ，n -m ）.（3）把点A 和点B 的坐标代入反比例函数的解析式得到关于m 、n 的等22m n mn -=，两边除以2n ，换元法解得n m =． 【详解】解：（1）过A 作AC ⊥OB ，交x 轴于点C ，⊥OA =AB ，⊥OAB =90°，⊥⊥AOB 为等腰直角三角形，⊥AC =OC =BC =12OB =2，⊥A （2，2），将x =2，y =2代入反比例解析式得：2=2k ，即k =4， 则反比例解析式为y =4x； （2）过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AE ，⊥⊥OAB =90°，⊥⊥OAE +⊥BAD =90°，⊥⊥AOE +⊥OAE =90°，⊥⊥BAD =⊥AOE ，在⊥AOE 和⊥BAD 中，°90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，⊥⊥AOE ⊥⊥BAD （AAS ），⊥AE =BD =n ，OE =AD =m ，⊥DE =AE -AD =n -m ，OE +BD =m +n ，则B （m +n ，n -m ）；（3）由A 与B 都在反比例图象上，得到mn =（m +n ）（n -m ），整理得：n 2-m 2=mn ，即2()()10m m n n这里a =1，b =1，c =-1，⊥⊥=1+4=5，⊥m n = ⊥A （m ，n ）在第一象限，⊥m ＞0，n ＞0， 则1+52mn ． 【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形的性质,以及一元二次方程的解法,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．7．（1）⊥OCD =45°．（2）m；（3）OA OB == 【分析】（1）求出点C ，点D 的坐标，证明OC =OD 即可解决问题；（2）作辅助线，证明⊥OMQ ⊥⊥ONP （SAS ），得OQ =OP ，⊥DOQ =⊥POC ，根据已知可得⊥DOQ =⊥POC =⊥QOH =⊥POH ，根据角平分线的性质得：MQ =QH =PH =PN =1，根据CD =DQ +PQ +PC ，列方程可得结论；（3）先根据四边形BAPQ为平行四边形，可知⊥OAB=45°，可得⊥AOB是等腰直角三角形，所以OA=OB，从而得M，即OA=OB AB=PQ列方程解出即可．【详解】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有1 km bk b m+⎧⎨+⎩＝＝，解得11 kb m-⎧⎨+⎩＝＝，⊥y=-x+m+1，令x=0，得到y=m+1，⊥D（0，m+1），令y=0，得到x=m+1，⊥C（m+1，0），⊥OC=OD，⊥⊥COD=90°，⊥⊥OCD=45°．（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，⊥P（m，1）和Q（1，m），⊥MQ=PN=1，OM=ON=m，⊥⊥OMQ=⊥ONP=90°，⊥⊥OMQ⊥⊥ONP（SAS），⊥OQ=OP，⊥DOQ=⊥POC，⊥⊥DOQ=⊥OCD-⊥POC，⊥OCD=45°，⊥⊥DOQ=⊥POC=⊥QOH=⊥POH=22.5°，⊥MQ=QH=PH=PN=1，⊥⊥OCD=⊥ODC=45°，⊥⊥DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，⊥DQ=PC⊥OC=OD=m+1，⊥CD m+1），⊥CD=DQ+PQ+PC，（m+1）+2，⊥m；（3）如图3，⊥四边形BAPQ为平行四边形，⊥AB⊥PQ，AB=PQ，⊥⊥OAB=45°，⊥⊥AOB=90°，⊥OA=OB，⊥矩形OAMB是正方形，⊥点M恰好在函数y=mx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，⊥M，即OA=OB⊥AB=PQ，解得：m=m=（舍），⊥OA OB===【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．8．（1）4；（2）y =（3）【分析】（1）根据OB 的长度，⊥OCB 的度数可得BC 和OA ，再根据折叠的性质可得OE ；（2）过E 点作EF ⊥OC 于F ，求出点E 的坐标，从而可得反比例函数解析式；（3）根据OC 的长得到点M 的横坐标，代入反比例函数解析式得到点M 的坐标，从而得到BM ，再利用三角形面积公式计算结果．【详解】解：（1）⊥四边形ABCD 是矩形，⊥⊥OCB =90°⊥OB =8，⊥COB =30°，⊥BC =OA =4，由折叠可知：OE =OA =4；（2）过E 点作EF ⊥OC 于F ，⊥OE =4，⊥BOC =30°，⊥EF =2，⊥OF⊥E （2），设经过点E 的反比例函数表达式为：k y x=，则k =⊥反比例函数的解析式为：y =（3）⊥点M 在反比例函数图像上，OC⊥将x =y =1，即M （1），CM =1，又⊥BC =4，⊥BM =4-1=3，⊥S △OBM =132⨯⨯ 【点睛】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．9．（1）⊥3y x=-(0x <)；⊥点B 在图象L 上方，理由见解析；（2）43k -≤≤-． 【分析】（1）⊥将点A 坐标代入图象L 解析式中，解得，即可得出结论；⊥将x=-2代入图象L 解析式中，求出y ，再与2比较大小，即可得出结论；（2）求出图象L 过点A ，B 时的k 的值，再求出图象L 与线段AB 相切时的k 的值，即可得出结论．【详解】解：（1）⊥⊥L 过点A （-3，1），⊥313k =-⨯=-，⊥图象L 的解析式为3y x=-(0x <)； ⊥点B 在图象L 上方，理由：由（1）知，图象L 的解析式为3y x=-， 当2x =-时，33222y =-=<-， ⊥点B 在图象L 上方；（2）当图象L 过点A 时，由（1）知，3k =-，当图象L 过点B 时，将点B （-2，2）代入图象L 解析式k y x=中，得224k =-⨯=-， 当线段AB 与图象L 只有一个交点时，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将点A （-3，1），B （-2，2）代入y mx n =+中，3122m n m n -+=⎧⎨-+=⎩， ⊥14m n =⎧⎨=⎩， ⊥直线AB 的解析式为4y x =+，联立图象L 的解析式和直线AB 的解析式得，4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， 化为关于x 的一元二次方程为240x x k +-=，⊥1640k =+=，⊥4k =-，即满足条件的k 的范围为：43k -≤≤-．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，找出图象L 与线段AB 有公共点的分界点是解本题的关键．10．（1）y ＝12x +52， y ＝﹣2x ；（2）S △AOB ＝154；（3）P （0，92）． 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，然后再把点B 的坐标代入反比例函数求出n 的值，从而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）求得直线AB 与x 轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求解；（3）根据题意，P 点是直线BH 与y 轴的交点；【详解】（1）⊥点A(﹣1，2)在反比例函数图象上， ⊥21k -＝2， 解得k 2＝﹣2，⊥反比例函数的解析式是y ＝﹣2x， ⊥点B(﹣4，n)在反比例函数图象上，⊥n ＝21=42-- ， ⊥点B 的坐标是(﹣4，12)，⊥一次函数1y k x b =+的图象经过点A(﹣1，2)、点B(﹣4，12)． ⊥112142k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得11252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ． ⊥一次函数解析式是1522y x =+ ； （2）设直线AB 与x 轴的交点为C ，1522y x =+中，令y ＝0，则x ＝﹣5， ⊥直线与x 轴的交点C 为(﹣5，0)，⊥S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC 11115=525=2224⨯⨯-⨯⨯ ； （3）⊥点H(﹣12，h)也在双曲线上，⊥2=412h=--，⊥H(﹣12，4)，⊥在y轴上存在一点P，使得|PB﹣PH|最大，⊥P点是直线BH与y轴的交点，设直线BH的解析式为y＝kx+m，⊥142142k mk m⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得192km=⎧⎪⎨=⎪⎩，⊥直线BH的解析式为y＝x+92，令x＝0，则y＝92，⊥P(0，92 )．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积，会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解题的关键；11．（1）12yx=；（2）x＜0或2＜x＜12；（3）E（0，6）或（0，8）【分析】（1）由直线y＝﹣12x+7求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标，然后根据图象即可求得不等式mx＜﹣12x+7的解集；（3）设E（0，n），求得点C的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△AEB＝S△BCE﹣S△ACE＝12|7﹣n|×（12﹣2）＝5，解得即可．【详解】解：（1）把x＝2代入y＝﹣12x+7得，y＝6，⊥A（2，6），⊥反比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过A点，⊥m ＝2×6＝12，⊥反比例函数的表达式为12y x=； （2）由12172y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得26x y =⎧⎨=⎩或121x y =⎧⎨=⎩， ⊥B （12，1）， 由图象可知，不等式m x ＜﹣12x +7的解集是：x ＜0或2＜x ＜12； （3）设E （0，n ），⊥直线y ＝﹣12x +7与y 轴交于点C ，⊥C （0，7），⊥CE ＝|7﹣n |，⊥S △AEB ＝S △BCE ﹣S △ACE ＝12|7﹣n |×（12﹣2）＝5，解得，n ＝6或n ＝8，⊥E （0，6）或（0，8）．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数图像上的点的坐标特征以及待定系数法，是解题的关键．12．（1）24y x =-，6y x =；（2）8AOB S =△；（3）存在，P点的坐标为或(-或(或(-．【分析】（1）把()3,2A 分别代入直线2y x b =-和反比例函数k y x =进行求解即可； （2）连接OA 、OB ，由246y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1132x y =⎧⎨=⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩，进而可得()1,6B --，然后由一次函数可得2OC =，最后根据割补法可求解⊥AOB 的面积；（3）当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，始终有90PMO COD ∠=∠=︒，由（2）可得OC=2，OD=4，设点6,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则6,PM OM a a ==，12OC OD =，则可分⊥当OPM OCD ∠=∠时，⊥当OPM ODC ∠=∠时，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）把()3,2A 代入2y x b =-得：62b -=，解得：4b =，⊥一次函数的表达式为24y x =-，把()3,2A 代入k y x =得：23k =， 解得：6k =， ⊥反比例函数的表达式为6y x=； （2）连接OA 、OB ，如图所示：由246y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1132x y =⎧⎨=⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩， ⊥()3,2A ，()1,6B --，在24y x =-上，当0y =时，240x -=，解得：2x =⊥()2,0C⊥2OC = ⊥1222OAC S OC =⨯=△，1662OBC S OC =⨯=△， ⊥8AOB OAC OBC S S S =+=△△△；（3）由题意可得如图所示：当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，始终有90PMO COD ∠=∠=︒，由（2）可得OC=2，OD=4，设点6,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则6,PM OM a a ==，12OC OD =， ⊥当OPM OCD ∠=∠时， ⊥12OC PM OD OM ==，即612a a =，解得：a =±⊥点(P 或(P -；⊥当OPM ODC ∠=∠时， ⊥12OC OM OD PM ==，即62a a =，解得：a =⊥点P 或(P -；综上所述：当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，P 点的坐标为或(-或(或(-． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数与几何综合及相似三角形的性质是解题的关键．13．（1）12m <；（2）12m =-；（3）点()1,2C '--在反比例2y x =图象上 【分析】（1）根据反比例函数图象在第一、三象限，列不等式即可；（2）根据平行四边形的性质求出BC 长，再求出点B 坐标代入解析式即可；（3）根据翻折求出C '坐标，代入解析式即可．【详解】解：（1）反比例函数12m y x-=（m 为常数）的图象在第一、三象限， ⊥120m ->， 解得12m <； （2）⊥ABCO 是平行四边形，⊥2CB OA ==，⊥点B 坐标为()1,2．把点()1,2代入12m y x-=得， 1221m -=， 解得12m =-．（3）点C 关于x 轴的对称点为()1,2C '--．由（2）知反比例函数的解析式2y x =， 把=1x -代入2221y x ===--， 故点()1,2C '--也在反比例2y x =图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合问题，和平行四边形 性质，解题关键是熟知反比例函数的性质和平行四边形的性质，树立数形结合思想，利用点的坐标解决问题．14．（1）一次函数的解析式为：y=x+1，反比例函数的解析式为：y ＝2x ；（2）x ＜0或x ＞1；（3）P 点坐标为（-3，-2）或（5，6）【分析】（1）由菱形的性质可知A 、D 关于x 轴对称，可求得A 点坐标，把A 点坐标分别代入两函数解析式可求得k 和m 值；（2）由（1）可知A 点坐标为（1，2），结合图象可知在A 点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x 的取值范围；（3）根据菱形的性质求得菱形面积，分点P 在x 轴下方和点P 在x 轴上方两种情况加以分析即可．【详解】解：（1）如图，连接AD ，交x 轴于点E ，⊥D （1，2），⊥OE=1，ED=2，⊥四边形AODC 是菱形，⊥AE=DE=2，EC=OE=1，⊥A （1，2），将A （1，2）代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，⊥一次函数的解析式为：y=x+1，将A （1，2）代入反比例函数y ＝k x ，可求得k=2； ⊥反比例函数的解析式为：y ＝2x； （2）⊥当x=1时，反比例函数的值为2，⊥当反比例函数图象在A 点下方时，对应的函数值小于2，此时x 的取值范围为：x ＜0或x ＞1；（3）⊥OC=2OE=2，AD=2DE=4，⊥S 菱形OACD 142=⋅=OC AD ，S △OAP =12S 菱形OACD ， ⊥S △OAP =2，直线y=x+1与x 轴交点M （-1，0）设P 点坐标为（x ，x+1），当点P 在x 轴下方时，⊥S △OAP =S △OAM +S △OMP =2， ⊥()111211222x ⨯⨯+⨯--⨯=， 解得x=-3，⊥P 点坐标为（-3，-2）．当点P 在x 轴上方时，⊥S △OAP = S △OMP -S △OAM =2， ⊥()111112222x ⨯+⨯-⨯⨯=， 解得x=5，⊥P 点坐标为（5，6）．．【点睛】本题考查了反比例函数和几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想等，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．（1）2；（2）14n -；（3）4【分析】（1）根据点A 的坐标和点N 为AB 的中点得到点N 的坐标，可得n 值；（2）将点N 的横坐标代入反比例函数表达式，得到纵坐标，即BN 的长，再根据AB 得到AN ；（3）分别表示出AN 和AM 的长，表示出⊥AMN 的面积，令其为14，解方程即可得到结果． 【详解】解：（1）⊥A （4，1），AB⊥x 轴于点B ，交n y x=于点N ， ⊥x A =x B =x N =4，AB=1，又⊥点N 为AB 中点，⊥BN=12AB=12，即y N =12， ⊥n=x N ×y N =4×12=2， 故n=2；（2）由（1）可知：x A =x B =x N =4， ⊥点N 在n y x =上， ⊥y N =4N n n x =， ⊥AN=AB -BN=14n -， 故线段AN 的长为14n -； （3）由（2）可知：AN=14n -， ⊥点A （4，1），AC⊥y 轴，交n y x=于点M ， ⊥y A =y M =1，AC=x N =4， 则x M =M n y =n ，即CM=x M =n ， ⊥AM=AC -CM=4-n ， ⊥AC⊥y 轴，AB⊥x 轴， ⊥四边形OBAC 为矩形， ⊥⊥A=90°，⊥S △AMN =12AN AM ⨯⨯ =()11424n n ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=2128n n -+， 又⊥AMN 的面积等于14， ⊥211284n n -+=，解得：4n =又AN=14n -＞0， ⊥n ＜4，⊥4n =故n 的值为4【点睛】本题考查了反比例函数综合，矩形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用反比例函数图像上的点坐标表示出相应线段的长度．16．（1）3m =，6n =，212y x=；（2）03x <≤或6x ≥；（3）点P 的坐标为()5,0． 【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入反比例函数中，得到2n m =，由CD=3可知 ，3n m -=即可求出m 、n 的值；（2）根据图象可直接写出x 的取值范围；（3）作点B 关于x 轴的对称点()62F -，，连接AF 交x 轴于点P ，此时ABP 的周长最小，求出坐标即可； 【详解】（1）⊥点()4A m ，，()2B n ，在反比例函数22k y x=的图象上， ⊥242k m n ==，即2n m =；⊥3DC =，⊥3n m -=，⊥3m =，6n =， ⊥点()34A ，，点()62B ，， ⊥23412k =⨯=，⊥反比例函数的解析式为212y x=； （2）⊥点()34A ，，点()62B ，， ⊥当21k k x b x+≤ 时：03x <≤或6x ≥； （3）如图，作点B 关于x 轴的对称点()62F -，，连接AF 交x 轴于点P ，此时ABP 的周长最小； 设直线AF 的解析式为y kx a =+，3462k a k a +=⎧⎨+=-⎩ 解得210k a =-⎧⎨=⎩ ⊥直线AF 的解析式为210y x =-+，当0y =时，5x =，⊥点P 的坐标为()50，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的解析式以及求x 的取值范围，还有在反比例函数中出现的动点问题，属于中等难度．17．（1）1142y x =-+；（2）8；（3）存在，点P 的坐标为()42-，，()42-，，()84， 【分析】（1）由点A ，B 在反比例函数图象上，求出m ，n ，进而求出A ，B 坐标，再代入一次函数解析式中，即可得出结论；（2）利用三角形的面积的差即可得出结论；（3）分三种情况：利用平移的特点，即可得出结论．【详解】解：（1）将()2A m ，，()1B n ，两点代入反比例函数26y x = 得62m =，61n =，得3m =，6n =，所以()23A ，，()61B ， 将()23A ，，()61B ，代入一次函数1y kx b =+ 得32k b =+，16k b =+，解得12k =-，4b = 即1142y x =-+ （2）设一次函数1142y x =-+与x 轴、y 轴分别交于D ，C 两点，再过A ，B 两点分别向y 轴、x 轴作垂线，垂足分别为E ，F 两点，如图1，当0x =时，111404422y x ；当0y =时，1042x =-+，8x = ⊥4OC =，8OD =⊥()23A ，，()61B ，⊥2AE =，1BF = ⊥11481622OCD S OC OD ∆=⨯⨯=⨯⨯= 1142422OAC S OC AE ∆=⨯⨯=⨯⨯= 1181422OBD S OD BF ∆=⨯⨯=⨯⨯= 16448OAB OCD OAC OBD S S S S ∆∆∆∆=--=--=⊥OAB ∆的面积为8（3）存在，如图2，当AB 和OB 为邻边时，点B （6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点O （0，0），则点A 也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P （2-6，3-1），即P （-4，2）；当OA 和OB 为邻边时，点O （0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点A （2，3）， 则点B 也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P '（6+2，1+3），即P '（8，4）；当AB 和OA 为邻边时，点A （2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B （6，1）， 则点O 也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P''（0+4，0-2），即P ''（4，-2）；⊥点P 的坐标为（-4，2）或（4，-2）或（8，4）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行四边形的性质，平移的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．18．（1）m=3，n=-1；（2）x>1或－3<x<0；（3）4【分析】（1）把A ，B 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）由⊥AOB 的面积S ＝S △AOC ＋S △BOC ，即可求解．【详解】解：（1）由题意，得m 31m n 3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得：3m =，1n =- （2）由（1）可求得反比例函数解析式为：3y x=，一次函数解析式为：2y x =+，观察函数图象知，当1x ＞或30x -＜＜时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）设直线AB 交y 轴于C ，把0x =代入2y x =+，得：2y =，⊥OC=2，⊥⊥OAB 的面积AOC BOC 11S S 2132422∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题，关键是掌握数形结合思想．19．（1）2，﹣1；（2）C （﹣2，﹣2）；（3）D′(2--+【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点C （m ，﹣m ﹣4），则点D （m ，﹣12m），再根据△OCD 的面积＝8，得出m 的值，即可求解； （3）直线AB 与x 轴负半轴的夹角为45°，设△OCD 沿射线AB 方向向左平移m 个单位，则向上平移m 个单位，则点O′（-m ，m ），将O′坐标代入y ＝﹣12x 得到m 的值，进而求解． 【详解】解：（1）将点B 的坐标代入y ＝﹣12x 得，b ＝﹣126-＝2， 故点B 的坐标为（﹣6，2）．将点B 的坐标代入一次函数表达式得，2＝﹣6k ﹣4，解得k ＝﹣1，故答案为2，﹣1．（2）⊥点C 在直线AB 上，一次函数表达式为y ＝﹣x ﹣4，故设点C （m ，﹣m ﹣4），则点D （m ，﹣12m ）， 则△CDO 的面积＝12CD×（－m ）＝12×（﹣12m ＋m ＋4）（－m ）＝8， 解得12m m ＝＝﹣2，故点C （﹣2，﹣2）．（3）由AB 的函数表达式知，直线AB 与x 轴负半轴的夹角为45°，。

反比例函数及其应用(共35道)—2023年中考数学真题(全国通用)(解析版)

反比例函数及其应用(共35道)—2023年中考数学真题(全国通用)(解析版)

反比例函数及其应用（35道）一、单选题A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长BA 交y 轴于点D ，根据反比例函数k 值的几何意义得到1212ADO S =⨯=△，3OCBD S =矩形，根据四边形ABCO 的面积等于ADOOCBD S S−矩形，即可得解．【详解】解：延长BA 交y 轴于点D ，∵AB x ∥轴， ∴DA y ⊥轴，∵点A 在函数2(0)y x x =>的图象上，∴1212ADO S =⨯=△，∵BC x ⊥轴于点C ，DB y ⊥轴，点B 在函数3(0)y x x =>的图象上，∴3OCBD S =矩形，∴四边形ABCO 的面积等于312ADOOCBD S S−=−=矩形；故选B ．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k 的几何意义，是解题的关键．A ．321y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<【答案】C【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：在反比例函数(0)ky k x =<中，0k <，∴此函数图象在二、四象限，420−<−<，∴点()14,A y −，2(2,)B y −在第二象限，10y ∴>，20y >，函数图象在第二象限内为增函数，420−<−<， 120y y ∴<<．30>，3(3,)C y ∴点在第四象限，30y \<，1y ∴，2y ，3y 的大小关系为312y y y <<．故选：C ．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．A ．当3x >时，12y y <B ．当1x <−时，12y y <C ．当03x <<时，12y y >D ．当10x −<<时，12y y <【答案】B【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A 、当3x >时，12y y >，则此项错误，不符合题意； B 、当1x <−时，12y y <，则此项正确，符合题意； C 、当03x <<时，12y y <，则此项错误，不符合题意； D 、当10x −<<时，12y y >，则此项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．A ．123y y y <<B ．312 y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<【答案】C【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵30k =>，∴图象在一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∵2101−<−<<， ∴2130y y y <<<．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数ky x =(k 是常数，0k ≠)的图象是双曲线，当0k >，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当 0k <，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大．【答案】A【分析】连接四边形ABCD 的对角线AC BD 、，过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF x ⊥轴，直线1y x =−与x 轴交于点M ，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定()11142四边形△ABC COD D S S OM DE CF ===⋅+，再求出直线1y x =−与x 轴交于点()1,0M ，通过联立1y x k y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩求出C D 、纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形ABCD 的对角线AC BD 、，过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF x ⊥轴，直线1y x =−与x 轴交于点M ，如图所示：根据直线1y x =+、1y x =−与双曲线()0ky k x =>交点的对称性可得四边形ABCD 是平行四边形，()11142四边形△ABC O D C D S S OM DE CF ∴===⋅+， 直线1y x =−与x 轴交于点M ， ∴当0y =时，1x =，即()1,0M ，1y x =−与双曲线()0ky k x =>分别相交于点C D 、，∴联立1y x k y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，即1k y y =−，则20y y k +−=，由0k >，解得y =，∴1112⎤⨯⨯−=⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦2=，解得34k =，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．A ．2:3:6B ．6:3:2C ．1:2:3D ．3:2:1【答案】A【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1， ∴长方体物体的A 、B 、C 三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1， ∵FP S =，0F >，且F 一定，∴P 随S 的增大而减小， ∴111::::2:3:6321A B C P P P ==．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据一次函数图象确定a 、b 的符号，进而求出ab 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A 、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴00a b >>，， ∴0ab >，∴反比例函数aby x =的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A 不符合题意；B 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴00a b <>，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B 不符合题意；C 、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴00a b ><，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C 不符合题意；D 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴00a b <>，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意11FL F L =代入数据求得245F L =，即可求解．【详解】解：∵11FL F L =，125cm L =，19.8NF =，∴259.8245FL =⨯=， ∴245F L =，函数为反比例函数，当35cm L =时，245735F ==，即245F L =函数图象经过点()35,7． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】由正方形的性质得2BC AB ==，可设2,2k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭可求出k 的值． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∵2,AB BC CD AD ==== ∵点E 为AD 的中点， ∴11,2AE AD ==设点C 的坐标为2,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,222k kBO AO AB BO ==+=+, ∴1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵点C ，E 在反比例函数ky x =的图象上，∴21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭，解得，4k =， 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数ky x =（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点()x y ，的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结【答案】C【分析】过点,A B 分别作,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，,AE BD 交于点C ，得出B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ，则1,1AC k BC k =−=−，根据AB =【详解】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =−=−，又∵90ACB ∠=︒，AB =∴()()(22211k k −+−=∴13k −=（负值已舍去） 解得：4k =， 故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为与OAB 关于直线 A ．23 【答案】A【分析】过点B 作BD x ⊥轴，根据题意得出1,BD OD ==和性质得出2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，利用各角之间的关系180OBA OBD '∠+∠=︒，确定A '，B ，D 三点共线，结合图形确定)2C，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),O A B ，∴1,BD OD ==∴AD OD =tan BD BOA OD ∠==，∴2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒， ∵OA B '与OAB 关于直线OB 对称， ∴120OBA '∠=︒， ∴180OBA OBD '∠+∠=︒， ∴A '，B ，D 三点共线， ∴2A B AB '==， ∵A C BC '=， ∴1BC =， ∴2CD =，∴)2C，将其代入(0,0)ky k x x =>>得：k =故选：A ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．A ．2B ．2−C ．1D ．1−【答案】A【分析】证明四边形ANOM 是矩形，根据反比例函数的k 值的几何意义，即可解答． 【详解】解：AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2， 2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x 轴，y 轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k是解题的关键．二、填空题【答案】63y x =−【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案． 【详解】解：将反比例函数6y x =的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x =−，故答案为：63y x =−．【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．14．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形OABC 和正方形CDEF 中，点A 在y 轴正半轴上，点C ，F 均在x 轴正半轴上，点D 在边BC 上，2BC CD =，3AB =．若点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．【答案】18y x =【分析】设正方形CDEF 的边长为m ，根据2BC CD =，3AB =，得到()3,2B m ，根据矩形对边相等得到3OC =，推出()3,E m m +，根据点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，得到()323m m m⨯=+，得到3m =，推出18y x =．【详解】解：∵四边形OABC 是矩形， ∴3OC AB ==，设正方形CDEF 的边长为m ， ∴CD CF EF m ===， ∵2BC CD =， ∴2BC m =， ∴()3,2B m ，()3,E m m +， 设反比例函数的表达式为ky x =，∴()323m m m⨯=+，解得3m =或0m =（不合题意，舍去）， ∴()3,6B ，∴3618=⨯=k ，∴这个反比例函数的表达式是18y x =，故答案为：18y x =．【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k 的几何意义．统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOC 的边两点．若AOC 的面积是 【答案】4【分析】过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，由点B 为AC 的中点，推出C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得直线BC 的解析式，得到A 点坐标，根据AOC 的面积是6，列式计算即可求解．【详解】解：过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，∴BD CE ∥， ∴ABD ACE ∽，∴BD ABCE AC =，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =， ∵点B 为AC 的中点， ∴12BD AB CE AC ==， ∴22CE BD m ==，∴C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设直线BC 的解析式为y ax b =+， ∴22k ma b mk ma b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2232k a m k b m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为2322k k y x m m =−+， 当0x =时，32ky m =，∴A 点坐标为302k m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 根据题意得132622k m m ⋅⋅=，解得4k =， 故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．【答案】33【分析】过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得，AO AB =，120OAB ∠=︒，在Rt ABC 中求出BC 、AC 的长，即可得出点B 的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k 的值．【详解】解∶过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得，AO AB =，120OAB ∠=︒， ∵点A 的坐标为(0，2)， ∴2AO AB ==， ∵120OAB ∠=︒，∴180********BAC OAB ∠∠=︒−=︒−︒=︒， ∴9030ABC BAC ∠∠=︒−=︒， ∴AC =12AB =1221⨯=，由勾股定理得BC ==∴213OC AO AC =+=+=，∴点B 的坐标为(3)， ∵点B 恰好落在反比例函数ky x =的图象上，∴3k =故答案为∶3【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出点B 的坐标．【答案】>【分析】把2x =−和=1x −分别代入反比例函数2y x =中计算y 的值，即可做出判断．【详解】解：∵点()12,A y −和点()21,B y −都在反比例函数2y x =的图象上，∴令2x =−，则1212y ==−−；令=1x −，则2221y ==−−，12−>−，12y y ∴>，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y 的值是解题的关键． 若OAB 的面积为【答案】196/136【分析】由k 的几何意义可得19212k =，从而可求出k 的值． 【详解】解：AOB 的面积为||192212k k ==， 所以k =196． 故答案为：196．【点睛】本题主要考查了k 的几何意义．用k 表示三角形AOB 的面积是本题的解题关键．【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值． 【详解】解：∵函数()0ky k x =≠的图象经过点()3,2A −和(),2B m −∴把点()3,2A −代入得326k =−⨯=−，∴反比例函数解析式为6y x −=， 把点(),2B m −代入得：62m −−=，解得：3m =， 故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．【答案】1.5（满足12k <<都可以）【分析】先判断出一次函数7y x b =−+的图象必定经过第二、四象限，再根据120x x ⋅>判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即630k −<，最终选取一个满足条件的值即可． 【详解】解：70−<，∴一次函数7y x b =−+的图象必定经过第二、四象限，120x x ⋅>，∴反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， ∴反比例函数63ky x −=（1k >且2k ≠）的函数图象经过第一、三象限，∴630k −>，∴2k <， ∵1k >， ∴12k <<，∴满足条件的k 值可以为1.5， 故答案为：1.5（满足12k <<都可以）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据120x x ⋅>判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限．的正ABC 的顶点，现将ABC 绕原点【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画AOB 即可），当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，根据ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，可得OB OA=A 、B 分别作x 轴垂线构造相似，则BFO OEA ∽，根据相似三角形的性质得出3AOE S =△，进而根据反比例函数k 的几何意义，即可求解．【详解】当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，连接AO ，ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，则30BAO ∠=︒，∴tan tan30BAO ∠=︒=OB OA=， 如图所示，过点,A B 分别作x 轴的垂线，交x 轴分别于点,E F ，AO BO ⊥，90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒，∴90BOF AOE EAO ∠=︒−∠=∠， ∴BFO OEA ∽，∴213BFO AOES OB S OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴212BFOS−==，∴3AOE S =△， ∴6k =．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．【答案】2/2−+【分析】过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，证明DAO CBA ≌，进而根据全等三角形的性质得出,DA CB AC OD ==，根据点(),2A m ，进而得出()2,2B m m +−，根据点,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上．列出方程，求得m 的值，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，∴90C CDO ∠=∠=︒， ∵,90OA AB OAB =∠=︒， ∴90DAO CAB CBA ∠=︒−∠=∠ ∴DAO CBA ≌ ∴,DA CB AC OD == ∵点A 的坐标为()m,2．∴2AC OD ==，AD BC m == ∴()2,2B m m +−∵,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，∴()()222m m m =+−解得：1m =或1m =（舍去）∴22k m ==故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点B 的坐标是解题的关键．【答案】4【分析】根据题意可设点P 的坐标为()22m m ，，则()2D m m ，，把()2D m m ，代入一次函数解析式中求出m 的值进而求出点P 的坐标，再求出k 的值即可．【详解】解：∵PA x ⊥轴于点,A PB y ⊥轴于点,B PA PB =， ∴点P 的横纵坐标相同， ∴可设点P 的坐标为()22m m ，，∵D 为PB 的中点， ∴()2D m m ，，∵()2D m m ，在直线1y x =+上，∴12m m +=， ∴1m =， ∴()22P ，，∵点P 在反比例函数()0ky k x =>的图象上，∴224k =⨯=， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P 的坐标是解题的关键．【答案】6【分析】延长CD 交x 轴于点F ，设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k 的值．【详解】解：延长CD 交x 轴于点F ，如图，由点D 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，AB CD ∥，AD CD ⊥， ∴CD y ⊥轴，AD OF ∥， 则kDF a OF a ==，，∵AD OF ∥， ∴CDA CFO △∽△， ∴CD AD ACCF OF OC ==， ∵2AC AO =，∴23AC OC =， ∴2223CD CF DF a ===，2233k AD OF a ==， ∵8AD CD ⋅=，即2283k a a ⨯=，∴6k =， 故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．则ABP 的面积是 【答案】152【分析】把()2,3A −代入到22k y x =可求得2k 的值，再把(),2Bm −代入双曲线函数的表达式中，可求得m 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】∵直线11y k x b =+与双曲线22k y x =（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A−，(),2B m −两点，∴2232k m =−⨯=−∴263k m =−=，，∴双曲线的表达式为：26y x =−，()3,2B −，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ， ∴3BP =， ∴1153(32)22ABPS=⨯⨯+=，故答案为152．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 三、解答题26．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，设反比例函数的解析式为（k ＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值；（2）若该反比例函数与过点M （﹣2，0）的直线l ：y=kx+b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为时，求直线l 的解析式．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•23k+•2k=，解方程即可解决问题；试题解析：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入，得到3k=2，∴．（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，∴y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），∵△ABO的面积为，∴×2×3k+•2k=，解得k=，∴直线l 的解析式为．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．(1)2m =，4a =，求函数3y 的表达式及(2)当a 、m 在满足0a m >>的条件下任意变化时，(3)试判断直线PH 与BC 边的交点是否在函数【答案】(1)函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12(2)不变，理由见解析 (3)在，理由见解析【分析】（1）由2m =，4a =，可得(20)A ，，()20B −，，12y x=，22y x −=，则4AB =，当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H ⎛⎫− ⎪⎝⎭，；待定系数法求一次函数3y 的解析式为325y x =−+，当0x =，35y =，则()05P ，，根据()11154222PGH S ⎡⎤⎛⎫=⨯−−⨯− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△，计算求解即可；（2）求解过程同（1）；（3）设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −⎛⎫⎪⎝⎭，，代入22y k x b =+得，2221b am a k b a a =+⎧⎪−⎨+=⎪⎩，解得221b aa k a m =+⎧⎪⎨=⎪−⎩，即1a x a a m y +−=+，当x m a =−，()11y a m a a a m ⨯+=−+=−，则直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m ay m a −=−=，进而可得结论．【详解】（1）解：∵2m =，4a =，∴(20)A ，，()20B −，，12y x=，22y x −=，∴4AB =， 当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H ⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 设一次函数3y 的解析式为3y kx b =+，将()21E ，，142G ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入3y kx b =+得，21142k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得25k b =−⎧⎨=⎩，∴325y x =−+， 当0x =，35y =，则()05P ，，∴()1111542222PGH S ⎡⎤⎛⎫=⨯−−⨯−=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△； ∴函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12；（2）解：PGH △的面积不变，理由如下：∵(0)A m ，，(0)B m a −，，1m y x =，2m ay x −=，∴AB a =，当x m =，11m y m ==，则()1E m ，；当1y a =，m a x =，解得m x a =，则m G a a ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当2y a =，m a a x −=，解得m a x a −=，则m a H a a−⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设一次函数3y 的解析式为113k x b y =+，将()1E m ，，m G a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入113k x b y =+得，11111mk b m k b a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111a k m b a ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，∴31ax a m y =−++，当0x =，31y a =+，则()01P a +，，∴()11122PGH m m a S a a a a ⎡−⎤⎛⎫=⨯−⨯+−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△； ∴PGH △的面积不变；（3）解：直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上，理由如下：设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −⎛⎫⎪⎝⎭，，代入22y k x b =+得，2221b a m a k b a a =+⎧⎪−⎨+=⎪⎩，解得221b aa k a m =+⎧⎪⎨=⎪−⎩， ∴1ax a a m y +−=+，当x m a =−，()11y am a a a m ⨯+=−+=−，∴直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m ay m a −=−=，∴直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上．【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求OAB 的面积；(3)过动点()0T t ，作x 轴的垂线l ，l 与一次函数y x m =−+和反比例函数ky x=的图象分别交于当M 在N 的上方时，请直接写出t 的取值范围．【答案】(1)一次函数的解析式为3y x =−+，反比例函数的解析式为2y x =(2)32(3)0t <或12t << 【分析】（1）把()1，2A 分别代入一次函数和反比例函数求出m k 、的值即可得到答案；（2）联立32y x y x =−+⎧⎪⎨=⎪⎩求出点B 的坐标，令直线AB 与x 交于点C ，由直线AB 求出点C 的坐标，最后由1122AOBAOCBOCA B SSSOC y OC y =−=⋅⋅−⋅⋅，进行计算即可得到答案；（3）直接由函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把()1，2A 代入一次函数y x m =−+，得12m −+=， 解得：3m =，∴一次函数的解析式为：3y x =−+，把()1，2A 代入反比例函数ky x =，得21k =，解得：2k =，∴反比例函数的解析式为：2y x =；（2）解：联立32y x y x =−+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，()21B ∴，，令直线AB 与x 交于点C ，如图，，当0y =时，30x −+=， 解得：3x =， ()30C ∴，，11113323122222AOBAOCBOCA B SS SOC y OC y ∴=−=⋅⋅−⋅⋅=⨯⨯−⨯⨯=（3）解：由图象可得：，当M 在N 的上方时，t 的取值范围为：0t <或12x <<．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键．(1)当气球内的气压超过150KPa 少时气球不会爆炸（球体的体积公式(2)请你利用p 与V 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．【答案】(1)气球的半径至少为0.2m 时，气球不会爆炸； (2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎 【分析】（1）设函数关系式为k p =，用待定系数法可得 4.8p V =，即可得当150p =时， 4.80.032150V ==，从而求出0.2r =；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【详解】（1）设函数关系式为kp V =， 根据图象可得：1200.04 4.8k pV ==⨯=， ∴4.8p V =，∴当150p =时，4.80.032150V ==，∴3430.0323r ⨯=，解得：0.2r =，4.80k =>，p ∴随V 的增大而减小，∴要使气球不会爆炸，0.032V ≥，此时0.2r ≥， ∴气球的半径至少为0.2m 时，气球不会爆炸；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．轴的对称点，OAC 的面积是【答案】(1)y x =(2)(2P −++或(2P −−−【分析】（1）设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得,k C m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，结合OAC 的面积是8．可得()182k m m m +=，从而可得答案；（2）先求解()2,4A ，()2,4C −，可得直线为28y x =+，联立828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，再解方程组即可．【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数(0)ky k x =≠的图象上，∴设,k A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴,k C m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵OAC 的面积是8．∴()182k m m m +=，解得：8k =；∴反比例函数解析式为：8y x =；（2）∵点A 的横坐标为2时， ∴842A y ==，即()2,4A ，则()2,4C −，∵直线2y x b =+过点C ， ∴44b −+=， ∴8b =，∴直线为28y x =+， ∴828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：24x y ⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩或24x y ⎧=−−⎪⎨=−⎪⎩，经检验，符合题意；∴(2P −++或(2P −−−．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D 在反比例函数图象上，且横坐标大于3OBDS=【答案】(1)4y x =(2)132y x =−+【分析】（1）根据四边形OABC 是边长为2的正方形求出点B 的坐标，代入ky x =求出k ；（2）设4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DH x ⊥轴，根据OBD OBH BHD ODH S S S S =+−V V V V 面积列方程，求出点D 坐标，再由待定系数法求出直线BD 的函数表达式．【详解】（1）解：四边形OABC 是边长为2的正方形， ∴4OABC S xy ==正方形， ∴4k =；即反比例函数的表达式为4y x =．（2）解：设4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DH x ⊥轴，点()2,2B ，4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0H a ，∴12OBH S OH AB a=⋅=V 1144(2)(2)222BHD a S DH AH a a a −=⋅=⋅⋅−=V ，122ODH S OH DH =⋅=V3OBD OBH BHD ODH S S S S =+−=V V V V∴4(2)232a a a −+−=，解得：14a =，21a =−，经检验4a =，是符合题意的根，即点()4,1D ，设直线BD 的函数解析式为y kx b =+，得∶ 2241k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：123k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，即：直线BD 的函数解析式为132y x =−+．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数ky x =图象上任意一点做x 轴、y 轴的垂线，组成的长方形的面积等于k，灵活运用几何意义是解题关键．2(1)求反比例函数的解析式；(2)点C 在这个反比例函数图象上，连接【答案】(1)8y x =(2)()4,2C【分析】（1）利用正切值，求出4OB =，进而得到()2,4A ，即可求出反比例函数的解析式；（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，易证四边形ABOE 是矩形，得到2OE =，4AE =，再证明AED △是等腰直角三角形，得到4DE =，进而得到()6,0D ，然后利用待定系数法求出直线AD 的解析式为6y x =−+，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C 的坐标． 【详解】（1）解：AB y ⊥轴，90ABO ∴∠=︒，1tan 2AOB =∠，12AB OB ∴=，2AB =，4OB ∴=，()2,4A ∴，点A 在反比例函数()0ky x x =>的图象上，248k ∴=⨯=，∴反比例函数的解析式为8y x =；（2）解：如图，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，90ABO BOE AEO ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABOE 是矩形，2OE AB ∴==，4OB AE ==，45ADO ∠=︒，AED ∴是等腰直角三角形， 4DE AE ∴==，246OD OE DE ∴=+=+=，()6,0D ∴，设直线AD 的解析式为y kx b =+，2460k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得：16k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为6y x =−+，点A 、C 是反比例函数8y x =和一次函数6y x =−+的交点，联立86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得：24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩，()2,4A ， ()4,2C ∴．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线AD 的解析式是解题关键．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数的部分时（点M 可与点,D E 重合）【答案】(1)反比例函数解析式为y x =，()22E ，(2)30m −≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OAAB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可； （2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OAAB OA ∥，⊥， ∵()4,1D 是AB 的中点， ∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0ky x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x ==时，2x =， ∴()22E ，；（2）解：当直线 y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =； 当直线 y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =−；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x =>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合）， ∴30m −≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【答案】(1)反比例函数的表达式为y x =−；一次函数的表达式为22y x =−+(2)142BC =【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数()0ky x x =<的图象经过点()1,4A −，∴144k =−⨯=−， ∴反比例函数的表达式为4y x =−；∵一次函数2y x m =−+的图象经过点()1,4A −，∴()421m=−⨯−+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =−+； （2）解：∵1OD =， ∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =， ∵1y =时，14x =−，解得4x =−，则()41B −，，∵1y =时，122x =−+，解得12x =，则112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()114422BC =−−=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求AOB 的面积； (3)请根据图象直接写出不等式【答案】(1)12y x =−，32y x =−+(2)9(3)<2x −或04x <<【分析】（1）把点B 代入反比例函数()0ky k x =≠，即可得到反比例函数的解析式；把点A 代入反比例函数，即可求得点A 的坐标；把点A 、B 的坐标代入一次函数一次函数()0y ax b a =+<即可求得a 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；（2）AOB 的面积是AOC 和BOC 的面积之和，利用面积公式求解即可；（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x 的范围，直接得出结论． 【详解】（1）∵点()4,3B −在反比例函数ky x =的图象上，∴34k −=， 解得：12k =− ∴反比例函数的表达式为12y x =−．∵(),3A m m −在反比例函数12y x =−的图象上，∴123m m =−−，解得12m =，22m =−（舍去）．∴点A 的坐标为()2,6−．∵点A ，B 在一次函数y ax b =+的图象上，把点()2,6A −，()4,3B −分别代入，得2643a b a b −+=⎧⎨+=−⎩，解得323a b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的表达式为332y x =−+； （2）∵点C 为直线AB 与y 轴的交点，∴把0x =代入函数332y x =−+，得3y = ∴点C 的坐标为()0,3 ∴3OC =，∴AOB AOC BOC SS S =+ 1122A B OC x OC x =⋅⋅+⋅⋅11323422=⨯⨯+⨯⨯9=．（3）由图象可得，不等式k ax b x <+的解集是<2x −或04x <<．【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．。

反比例函数与几何综合专题(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

反比例函数与几何综合专题(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题26.14反比例函数与几何综合专题（基础篇）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（）A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=2．如图，点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，过点A 作AC ⊥x 轴垂足为C ，OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，当AC ＝1时，△ABC 的周长为（）A ．1B 1+C D2+3．如图，点A 是双曲线y =6x是在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不）A ．13y x=-B ．3y x =-C ．16y x=-D ．6y x=-4．如图，反比例函数ky x=（0x >）的图象经过点()1,2A 和点(),B m n ，过点B 作BC y⊥轴与C ，若ABC 的面积为2，则点B 的坐标为（）A ．23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,1D ．()1,25．如图，菱形AOBC 的边BO 在x 轴正半轴上，点A (2，，反比例函数kyx=图象经过点C ，则k 的值为()A ．12B ．C ．D ．6．在ABC 中90ACB ∠=︒，将Rt ABC 放在如图所示的平面直角坐标系中，ABC 的边AC x ∥轴．1AC =，点B 在x 轴上，点C 在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，将ABC 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到111A B C △，此时点1A 在反比例函数()0ky x x=<的图像上．11B C 与此图像交于点P ，则点P 的纵坐标是（）A ．92-B ．72-C ．94-D ．74-7．如图，点A 在双曲线y ＝6x上，过A 作AC ⊥x ，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，且AC ＝1.5，则△ABC 的周长为（）A ．6.5B ．5.5C ．5D ．48．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，在OAB ∆中，AO AB =，AC OB ⊥于点C ，点A 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上，若4OB =，3AC =，则k 的值为（）．A ．12B ．8C ．6D ．39．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，60BOC ∠=︒，顶点C 的坐标为(m ，反比例函数()0ky k x=<的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连结BD ，当DB x ⊥轴时，k 的值是（）A ．B ．C ．D ．-10．如图，平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，点P 是y 轴上一动点，若△PMN 的面积为2，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图反比例函数图像过A(2，2)，AB ⊥x 轴于B ，则△OAB 的面积为_______12．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝kx（x ＞0）图象上的两点，且A 、B 两点的纵坐标分别为2和1，C 在x 轴上，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，则k ＝_____．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)k y x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且△OAB 的面积为9，则k =________14．我市某校想种植一块面积为400平方米的长方形草坪，要求两邻边均不小于10米，草坪的一边长y （米）与另一边长x （米）之间的关系如图中曲线AB 所示，其中AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ，连接AB ，则四边形ACDB 的面积为______平方米．15．在平面直角坐标系中，OA ＝AB ，∠OAB ＝90°，反比例函数ky x=（x ＞0）的图像经过A 和B 两点其中A （2，m ），且点B 的纵坐标为n ，则n ＝______．16．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣（k＜0）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则k 的值为____．17．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在反比例函数y=kx(x>0)图象上，C在x轴上，AB//x轴，BC与双曲线交于点D，且BD=3CD=6，则k=_______．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数8yx=的图象经过A（2，4），B两点，∠AOB＝45°，则点B的坐标为________．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，某反比例函数的图象经过点()1,3A--．()1求该反比例函数的解析式；()2点(),3B m 和()3,C n 均在该反比例函数的图象上，点P 在x 轴上，请画出使PB PC+的值最小的P 点位置，并求出此时点P 的坐标．20．（8分）如图，点P 的坐标是(32)-，，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线(0)ky x x =>于点N ，作PM AN ⊥交双曲线(0)k y x x=>于点M ，连接AM ．已知PN =4．(1)求k 的值；(2)求APM △的面积．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数()0ky x x=>的图象上（点A 的纵坐标大于点B 的纵坐标），点A 的坐标为（2，4），过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结OA ，AB ．(1)求k 的值．(2)若CD ＝2OD ，求四边形OABC 的面积．22．（10分）如图，矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8.边BC 落在x 轴上，E 是DC 的中点，连接AE ，反比例函数my x=的图象经过点E ，与AB 交于点F ．(1)直接写出AE 的长；(2)若2AF AE -=，求反比例函数的解析式．23．（10分）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数()0ky k x=≠在第一象限内的图象交于()1,A n 和()3,B m 两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)在第一象限内，当一次函数4y x =-+的值大于反比例函数()0ky k x=≠的值时，写出自变量x 的取值范围(3)求△AOB 面积．24．（12分）如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A 、C 在反比例函数ky x=的图象上，顶点B 、D 在x 轴上．已知点()32A -，、(50)B -，．(1)直接写出点C 、D 的坐标；(2)求反比例函数的解析式；(3)求平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的长；(4)求平行四边形ABCD 的面积S ．参考答案1．C试题分析：利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，∴xy=10，∴y 与x 的函数关系式为：y=．故选C ．考点：根据实际问题列反比例函数关系式．2．B【分析】依据点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴，AC ＝1，可得OC ，再根据CD 垂直平分AO ，可得OB ＝AB ，再根据△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝OC+AC 进行计算即可．解：∵点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴，∴AC×OC ∵AC ＝1，∴OC ∵OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，∴OB ＝AB ，∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝OB+BC+AC ＝OC+AC +1，故选：B ．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，比较容易掌握．3．D【分析】连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD ≌△OAE ，设A 点坐标为（a ，6a ），得出OD =AE =6a，CD =OE =a ，最后根据反比例函数图象上点C 的坐标特征确定函数解析式．解：如图，连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=6x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，6a），得出OD=AE=6a，CD=OE=a，∴C点坐标为（-6a，a），∵-6a•a=-6，∴点C在反比例函数y=-6x图象上．故选：D．【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．4．A【分析】根据三角形面积公式得到12•m•（2−n）＝2，即2m−mn＝4，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到mn＝2，则可计算出m＝3，n＝23，从而可确定B点坐标．解：∵△ABC的面积为2，∴12•m •（2−n ）＝2，即2m −mn ＝4，∵反比例函数k y x=（x ＞0）的图象经过点A （1，2）和点B （m ，n ），∴1×2＝mn ，∴2m −2＝4，解得m ＝3，∴n ＝23，∴B （3，23）．故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x =图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．5．C【分析】根据题意可求出菱形的边长．再根据边BO 在x 轴正半轴上，即可判断AC x ∥轴，从而可求出C 点坐标，代入反比例函数解析式求解即可．解：∵点A (2，，∴4OA =，∴菱形的边长为4，即4AC =．∵边BO 在x 轴正半轴上，∴AC x ∥轴，∴246C A x x AC =+=+=，C A y y ==∴C (6，．将C (6，代入k y x =，得：6k =解得：k =故选C ．【点拨】本题考查两点的距离公式，菱形的性质，坐标与图形以及求反比例函数解析式．利用数形结合的思想是解题关键．6．A【分析】首先由边AC ∥x 轴，AC ＝1，点C 在函数2(0)y x x=>的图像上，求得点C 的坐标，继而求得点A 与点B 的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得△A 1B 1C 1各顶点的坐标，再由点A 1在函数()0k y x x=<的图像上，B 1C 1与此图像交于点P ，求得答案．解：∵边AC ∥x 轴，AC ＝1，∴点C 的横坐标为1，∵点C 在函数2(0)y x x =>的图像上，∴y ＝2，∴点C 的坐标为：（1，2），∴点A 的坐标为：（0，2），点B 的坐标为：（1，0），∵将ABC 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到111A B C △，，∴A 1的坐标为：（-3，﹣3），B 1的坐标为：（-2，-5），C 1的坐标为：（-2，﹣3），∵点A 1在函数()0k y x x=<的图像上，∴k ＝xy ＝-3×（﹣3）＝9，∴此反比例函数的解析式为：9y x =，∵线段B 1C 1的解析式为：x ＝-2∴点P 的横坐标为：-2，∴点P 的纵坐标为：92y =-．故选：A ．【点拨】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求反比例函数解析式、旋转的性质、平移的性质以及点与函数的关系．注意求得△A 1B 1C 1各顶点的坐标是关键．7．B【分析】由于BD 是OA 的垂直平分线，那么OB AB =，据图可知A 点的纵坐标是1.5，把 1.5y =代入反比例函数解析式，易求OC ，进而可求ABC ∆的周长．解：如图所示，BD Q 是OA 的垂直平分线，OB AB ∴=，1.5AC = ，∴点A 的纵坐标是1.5，把 1.5y =代入6y x=，得61.5x =，解得4x =，4OC ∴=，ABC ∴∆的周长 1.54 5.5AC AB BC AC OB BC AC OC =++=++=+=+=，故选：B ．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，解题的关键是求出A 点的坐标．8．CC 点坐标，结合AC 长即可得到A 点坐标，根点A 在反比例函数的图像上，将点A 的坐标代入反比例函数解析式中可得k 值．解：∵AO AB =，∴OAB ∆为等腰三角形，又∵AC OB ⊥，∴C 为OB 中点，∵4OB =，∴2OC =，∵3AC =，∴A 点坐标为（2，3），将A 点坐标代入反比例函数(0)k y k x=≠得，32k =，∴6k =．故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数图像上的点的性质，等腰三角形的判定和性质．利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键．9．C【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得AC//OB，则AE⊥y轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE OE＝2，OC＝2CE＝4，接着根据菱形的性质得OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝3，所以D点坐标为（−4，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．解：延长AC交y轴于E，如图，∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∴AC//OB，∴AE⊥y轴，∵∠BOC＝60°，∴∠COE＝30°，∴CO=2CE而顶点C的坐标为(m，∴OE＝CE=-m，CO=-2m，∵CO2=CE2+OE2，即（-2m）2=（-m）2+（2，解得m=-2∴OC＝2CE＝4，∴C(2,-∵四边形ABOC为菱形，∴OB ＝OC ＝4，∠BOA ＝30°，∴OD =2BD在Rt △BDO 中，DO 2=BD 2+OB 2，即（2BD ）2=BD 2+42，∴BD ＝3，∴D 点坐标为（−4，3），∵反比例函数()0k y k x =<的图象经过点D ，∴k ＝故选：C ．【点拨】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．10．B【分析】由题意易得点M 到y 轴的距离即为△PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有11k k MN a a a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，进而根据三角形面积公式可求解．解：由平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，可得：点M 到y 轴的距离即为△PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11k k MN a a a+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∵△PMN 的面积为2，∴111222PMN k S MN a a a+=⋅=⨯⨯= ，解得：3k =；故选B ．【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．11．2【分析】根据题意可得OB=2，AB=2，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．解：∵反比例函数图像过A(2，2)，AB ⊥x 轴于B ，∴OB=2，AB=2∴S △ABC =12OB·AB=2故答案为：2．【点拨】此题考查的是坐标与图形的面积，掌握三角形的面积公式是解决此题的关键．12．6【分析】过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，易证△AGC ≌CHB ，根据全等三角形的性质，可得GC 和CH 的值，根据A 、B 的纵坐标，表示出横坐标，列方程求解即可．解：过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，如图所示，则有∠AGC =∠CHB =90°，∴∠GAC +∠GCA =90°，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠ACG +∠HCB =90°，∴∠GAC =∠HCB ，∴△AGC ≌CHB （AAS ），∴AG =CH =2，GC =BH =1，∴=3∵A 、B 在反比例函数的图象上，∴,22k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B （k ,1），∴32k k -=,∴k =6，故答案为：6．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设计等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键．13．6【分析】延长AB 交x 轴于D ，根据反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过点B ，设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，根据△OAB 的面积为9，列等式可表示AB 的长，表示点A 的坐标，根据线段中点坐标公式可得C 的坐标，从而得出结论．解：延长AB 交x 轴于D ，如图所示：∵AB y ∥轴，∴AD ⊥x 轴，∵反比例函数k y x=（x ＞0）的图像经过OA 中点C 和点B ，∴设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，∵△OAB 的面积为9，∴192AB OD ⋅=，即12AB •m ＝9，∴AB ＝18m ，∴A （m ，18k m +），∵C 是OA 的中点，∴C 11822k m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴11822k k m m+=⋅，∴k ＝6，故答案为：6．【点拨】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．14．750【分析】由题意得y 与x 的函数关系式为400y x =，则当10x =时，4004010y ==，当40x =时，4001040y ==，即可得40AC =，10BD =，401030CD =-=，即可得．解：∵长方形草坪的面积为400平方米，∴y 与x 的函数关系式为400y x =，∴当10x =时，4004010y ==，当40x =时，4001040y ==，∵AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，∴40AC =，10BD =，401030CD =-=，∴四边形ABCD 的面积为：()()2401030750m 2+⨯=，故答案为：750．【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．15【分析】过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，作BD ⊥AC ，垂足为D ，通过证△AOC ≌△ABD 可得：OC ＝AD ＝m ，AC ＝BD ＝2，即可求得B 点的纵坐标．解：如图：过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，作BD ⊥AC ，垂足为D ，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAC +∠BAD ＝90°，∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAO ，∵∠D ＝∠ACO ＝90°，AO ＝AB ，∴△ACO ≌△DAB （AAS ），∴AD ＝CO ，BD ＝AC ，∵A （2，m ），∴OC ＝AD ＝m ，AC ＝BD ＝2．∴点B 坐标为()2,2m m +-∴()()222m m m =+-∴解得11m =+21m =（舍去）∴n ＝m ﹣2，．【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键是求得BD 的长．16．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则OC =CD ，利用面积法结合AB =2OC ，可得出AB =2OA ，利用勾股定理可得出OA =，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA ，OB的长，结合OA =可求出k 值．解：如图，过点C 作CD ⊥D ，∵BC 平分∠ABO ，∴OC =CD ，∵12BOC S OC OB ∆=⋅，1122ABC S AC OB AB CD ∆=⋅=⋅，∴2ABC BOC S AC AB S OC OB∆∆===，∴AB =2OB ，∴OA ==，当x =0时，y，当y =0时，x =∴OB =-，=OA∴()-，解得：3k =-，故答案为：-．3【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理以及一次函数图象上点的坐标特征，利用面积法找出OA=是解题的关键．173【分析】过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，求得CD=2，AB=BC=AC=8，利用直角三角形的性质求得CE=4，CF=1，设A，，D，利用OF-OE=CE+CF=5，列方程求解即可．解：过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，∵△ABC是等边三角形，BD=3CD=6，∴CD=2，AB=BC=AC=8，∵AB//x轴，∴∠ACE=∠BCF=30°，∴CE=4，CF=1，由勾股定理得AEDF设AOF，解得：k【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过含30°角的直角三角形的三边关系表示点A 和点B 的坐标．18．3⎛ ⎝⎭【分析】将OA 绕O 点顺时针旋转90°到OC ，连接AB 、CB ，作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，通过证得△AOB ≌△COB （SAS ），得到AB =CB ，证得△AOM ≌△CON （AAS ），求得C （4，-2），设B 点的坐标为（m ，8m），根据AB =BC ，得到关于m 的方程，解方程求得m 的值，即可求得B 的坐标．解：将OA 绕O 点顺时针旋转90°到OC ，连接AB 、CB ，作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，∵点A 的坐标为（2，4），∴AM =2，OM =4，∵∠AOB =45°，∴∠BOC =45°，在△AOB 和△COB 中，OA OC AOB COB OB OB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB ≌△COB （SAS ），∴AB =CB ，∵∠AOM +∠AON =90°=∠CON +∠AON ，∴∠AOM =∠CON ，在△AOM 和△CON 中，AOM CON AMO ONC OA OC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴CN =AM =2，ON =OM =4，∴C （4，-2），设B 点的坐标为（m ，8m ），∵AB =CB ，∴2222882442m m m m-+-=-++（）（）（）（），解得m =-（负值不合题意，舍去）故答案为：⎛ ⎝．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．19．（1）3y x =；（2）P 点坐标为5()20【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）先求出B,C 的坐标，再根据对称性作A 点关于x 轴的对称点’A ，连接'BA 交x 轴于P 点，求出直线'BA 的解析式即可得到P 点坐标．解：解:()1设反比例函数解析式为k y x=把()1,3A 代入，得133k =⨯=，∴反比例函数解析式为3y x=()2把(3,)B m 代入得33m =，解得1m =，B ∴点坐标为(3)1，；作A 点关于x 轴的对称点’A ，连接'BA 交x 轴于P 点，则’3(1)A -，，''PA PB PA PB BA +=+= ，设直线'BA 的解析式为y mx n =+，则331m n m n +=-⎧⎨+=⎩，解得25m n =⎧⎨=-⎩∴直线'BA 的解析式为25y x =-，当0y =时，250x -=，解得52x =P ∴点坐标为5()20．【点拨】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法的应用．20．(1)-14(2)4【分析】（1）由题意可得出3AP =，2N y =-．再根据PN =4，可求出AN =7，即得出N 的坐标，最后将N 的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k 的值；（2）由题意可得出3M x =，代入所求出的反比例函数解析式，即得出M 的纵坐标，从而可求出PM 的长，最后由三角形面积公式计算即可．解：（1）由题意可知3AP =，2N =-．∵PN =4，∴AN =AP +PN =3+4=7，∴7N x =，∴N (7，-2)．将N (7，-2)代入k y x =，得：27k -=解得：14=-k ．（2）由题意可知3M x =．由（1）可知反比例函数解析式为：14y x =-，将3M x =代入14y x =-得：143M y =-∴1482(33P M PM y y =-=---=，∴11834223APM S AP PM =⋅=⨯⨯=△．【点拨】本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．21．(1)8(2)443【分析】（1）将点A 的坐标（2，4）代入()0k y x x=>，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B 的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．（1）解：将点A 的坐标（2，4）代入()0k y x x =>，可得k ＝xy ＝2×4＝8，∴k 的值为8；（2）∵k 的值为8，∴函数k y x =的解析式为8y x =，∵CD ＝2OD ，OD ＝2，∴CD ＝4，∴OC ＝6，∴点B 的横坐标为6，将x ＝6代入8y x =，得43y =，∴点B 的坐标为（6，43），∴S 四边形OABC ＝S △AOD ＋S 梯形ABCD ＝12×2×4＋12×(43＋4)×4＝443．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．22．(1)5(2)4y x=-【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）设E 点的坐标为（x ，4），F 点的坐标是（x −3，1），代入m y x =求出x ，再求出m ，即可得出答案．解：(1)∵矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8，∵点E 为DC 的中点，∴CE =DE =4，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 5=；(2)∵AF −AE ＝2，∴AF ＝5＋2＝7，∴BF ＝8−7＝1，设E 点的坐标为（x ，4），F 点的坐标是（x −3，1），代入m y x=得：m ＝4x ＝（x −3）•1，解得：x ＝−1，即m ＝−4，所以当AF −AE ＝2时反比例函数表达式是4y x=-．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质等知识点，能求出E 点的坐标是解此题的关键．23．(1)3y x=．(2)1﹤x ﹤3．(3)4．【分析】（1）把A n 的值，再代入反比例函数解析式可求得k ，即可得出反比例函数的表达式；（2）根据A ，B 点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x 的取值范围；（3）设一次函数与x 轴交于点C ，可求得C 点坐标，利用AOB AOC BOC S S S =-△△△可求得ABO 的面积．（1）解：（1）∵点A 在一次函数图象上，∴n =-1+4=3，∴A （1，3），∵点A 在反比例函数图象上，∴k =3×1=3，∴反比例函数的表达式为3.y x=（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为1＜x ＜3．（3）如图，设一次函数与x 轴交于点C ，在y =-x +4中，令y =0可求得x =4，∴C （4，0），即OC =4，将B （3，m ）代入y =-x +4，得m =1，∴点B 的坐标为（3，1）．114341 4.22AOB AOC BOC S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 故△AOB 的面积为4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．24．(1)C (3，-2)；D （5，0）(2)6y x =-(3)10BD =；AC =20S =【分析】（1）由题意，点A 、C ，点B 、D 关于原点对称，即可得出答案；（2）直接将点()32A -，代入反比例函数k y x =，即可求出解析式；（3）直接根据B 、D BD 的长，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，有勾股定理可求出OA 的长，即可得出AC 的长；（4）由2ABD S S = ，即可求解．（1）解：由题意点A 、C ，点B 、D 关于原点对称，且()32A -，、(50)B -，，∴C (3，-2)；D （5，0）．（2）∵反比例函数图象经过点（-3，2），∴()326k xy ==-⨯=-反比例函数的解析式为6y x=-．（3）()5510BD =--=；过点A 作AE ⊥x 轴于E ，在Rt △AEO 中，AO ===∴2AC AO ==（4）Δ122210202ABD S S ==⨯⨯⨯=．【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

中点，∴EM＝ 1 BD＝1，即点E的纵坐标为1，又∵点E在反比例
函数y＝
3
4
图象上，∴y＝1时，x＝
x
3 ，∴E(
3 ，1)，∴OE＝
( 3)2 12 ＝2，∴CD＝2OE＝4，∴CD＝BD，又∵四边形ABCD
是菱形，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，且边长为4，
∴∠BAD＝60°,∴∠FAG＝ 1 ∠BAD＝30°,∵DF⊥AB，
2
∴AF＝BF＝ 1 AB＝2，∴AG＝ AF = 2 = 4 3 .
【思维教练】要求AG长，可抓住反比倒函数y＝ 3 的图象经 x
过线段DC的中点E和BD＝4的条件，利用三角形中位线的性质 确定点E的坐标，从而根据直角三角形斜边上的中线的性质得 出CD长，根据菱形的性质和等边三角形的性质可知菱形ABCD 的内角，再结合锐角三角函数知识可求AG长．
【解析】如解图，过点E作EM⊥x轴于点M，连接OE，∵E是CD
题型四 反比例函数综合 题
类型二 与几何图形结合
典例精讲
例 2 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角
线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函
数y＝ 3 (x＞0)的图象经过线段DC的中点E，若BD＝4，
x
则AG的长为( )
A. 4 3 3
C. 2 3 ＋1
B. 3 ＋2
D. 3 3 ＋1 2
相关文档
最新文档