概率论与数理统计试题试卷及答案3
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率论与数理统计(经管类)(有答案)
实用文档04183概率论与数理统计（经管类）一、单项选择题1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)C ．X 与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞FB ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。
A ．nk k m q p CB ．kn k k n q p C -C ．k n pq -D ．k n k q p -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．246．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭ B．1-Φ C ．a n n μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭ D．Φ7．设二维随机变量的联合分布函数为，其联合分布律为则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.88．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F 分布D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
A ．21)0(=≤+Y X PB ．21)1(=≤+Y X P实用文档C ．21)0(=≤-Y X PD ．21)1(=≤-Y X P10．设总体X~N (2,σμ)，2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量（ C ）。
某大学概率论与数理统计期末考试试题3详细解答
1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为解：3.0)(=+B A B A P 即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2、已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.（20分）解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===. 3、已知连续型随机变量X 的分布函数为),(,arctan )(∞-∞∈+=x x B A x F ，求（1）常数A 和B ，（2）)11(<<-X p ，（3）概率密度)(x f 。
（20分）4、已知随机变量),(Y X 的分布律为（20分）问：（1）当βα,为何值时，X 和Y 相互独立。
（2）求{}12>=Y X P 。
5、设随机变量X 服从)1,0(N 分布，求随机变量Xe Y =的概率密度函数。
（10分）6、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.（20分）解： （1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ----=--=-=-⎰；（2）22818x y EZ E e dxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰1、（10分）将3粒黄豆随机地放入4个杯子，求杯子中盛黄豆最多为一粒的概率八分之三（20分）设随机变量X 的概率密度为1,02,()0,.ax x f x +≤≤⎧=⎨⎩其它求（1）常数a ； （2）X 的分布函数()F x ； （3）(13).P X <<3、（10分）设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，求随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为)(y f Y2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案：161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解 在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=-解答：2(1)1(1)P X P X ee λ-->=-≤==，故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->> 41e -=-.5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案：1111ln ni i x n θ==-∑解答： 似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nn n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏1ln ln(1)ln nii L n xθθ==++∑1ln ln 01ni i d L nx d θθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数， 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00()222z zZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰；（2）22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x=，样本方差20.16s=. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2:0.1Hσ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t nαα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n tα=====所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）2:0.1Hσ≤的拒绝域为22(1)nαχχ≥-.221515 1.6240.1Sχ==⨯=，20.05(15)24.996χ=因为220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受H.。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论与数理统计 试卷及其答案一、填空题（每空4分，共20分）1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它，则常数a =3 。
2、设总体2(,)XN μσ，其中μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。
3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。
4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。
5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。
二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共56分）1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。
做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。
解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品， 则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，求λ的极大似然估计。
解：由题知似然函数为：11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为：1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑，得：*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解：()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、 设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。
《概率论与数理统计》第三次测试题答案
鲁东大学 2009-2010 学年第一学期2009 级 数学与应用数学，信计，统计 专业 本 科卷课程名称 概率论与数理统计课程号（2102841）考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）一、填空题，本题共7小题，满分20分，其中第1小题6分，第7小题4分，其余每题2分.1、 该商店每天销售电视机的台数；100天电视机销售台数；100，3.85，1.95， 1000,21,2351,342()3,4557,56201,6x x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩ ； 2、2n χ（）；3、11e --；4、21X +；5、2b a n abσ- 二、选择题，本题共9小题，满分18分.1、D;2、C ；3、A ；4、A ；5、C ；6、B ；三、计算题，本题共4小题，满分52分1、（13分）在总体~(12,4)X N 中随机抽取一容量为5的样本，求样本平均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
解： 设125,,...X X X 为来自总体的样本，X 为样本均值，则4~(12,)5X N ……4分则(|12|1)12(||2(12(1(1.12))0.2628....................................................P X X P ->-=>=-Φ=-Φ=分.............................4分2、（13分）在一袋内放有很多的白球和黑球，已知两种球数目为1:3，但不知道哪一种颜色的球多，现从中有放回地抽取3次，取出黑球2次，试求袋中黑球所占比例的极大似然估计值．解：设01X ⎧=⎨⎩，从袋中取出白球，从袋中取出黑球，………………………………………………………………2分 则13~(1,),44X b p p =或…………………………………………………………………………4分..123,,~i i dX X X X则样本的似然函数为 311(1)(1)i i x x nx n nx i L p p p p p --=-=-∏（）=……………………………………………………………..2分 一次观测后，23x =，则 21(1)L p p p =-（）又由21211111(1)444643339(1)44464L L =-==-=（）（）……………………………………………………………………………..2分 所以3ˆ4mle p =…………………………………………………………………………………………….2分 3、（13分）设从均值为μ，方差为2σ 的总体中，分别抽取容量为12,n n 的两个独立样本， 12,X X 分别是两样本的均值，1） 试证：对于任意常数,(1)a b a b +=, 12Y aX bX =+ 都是μ的无偏估计；2） 确定常数,a b ，使()D Y 达到最小．解：因为1212()()()()E Y E aX bX aE X bE X a b μμμ=+=+=+= 所以，12Y aX bX =+为μ的无偏估计．……………………………………………………………..5分 22121222221222121222()()()()21()D Y D aX bX a D X b D X ab n n n n a a n n n n σσσ=+=+=++=-+ 所以当121212,n n a b n n n n ==++时，可以使()D Y 达到最小．……………………………………….5分 4、（13分）初生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测得平均体重为3057， 标准差为375.314，试以95%的置信系数求新生男婴的平均体重μ和方差2σ的置信区间．解：单个正态总体方差未知时，均值μ的置信水平为0.95的置信区间为12((1))x n α-±-……………………………………………………………………………….3分 一次观测后，3057,375.314x s ==，另外0.97512,(11) 2.201n t == 得到置信区间为（2818.5351，3925.4649）．……………………………………………………………..2分 单个正态总体均值未知时，方差2σ的置信水平为0.95的置信区间为 22220.9750.025(1)(1)(,)(11)(11)n s n s χχ--……………………………………………………………………………….3分 一次观测后，3057,375.314x s ==，另外0.97512,(11) 2.201n t ==得到置信区间为（70687.3442，405619.5248）．……………………………………………………………..2分。
概率论与数理统计试卷3
《概率论与数理统计》试卷3一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 某门诊有三个诊室，先后有三个患者来看病，病人可随机选择诊室，则每个诊室恰好接待一个患者的概率为 ．2. 设随机变量1~(1,)4X b , 随机变量21Y X =+, 则{2}P Y ≤= . 3. 设随机变量221(,)~(2,0,2,3,)2X Y N , 42X YZ =-, 则()D Z = .4. 设X ～)(n t ，其中1n >, 则21X～ .5. 设总体~(1,)X b p ，10110,,,,是来自总体X 的样本观察值，则p 的矩估计值为 .二、选择题 (每小题3分，共15分)1. 假设事件A 和B 满足(|)1P B A =, 则 ( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D) A B ⊂2. 设随机变量X 与Y 独立同分布，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-313211~X ，则必有（ ）.（A ）Y X = （B ）5}{==Y X P (C) 5}{==Y X P (D) 1}{==Y X P 3. 设(1,2,,)i X i n = 是独立同分布的随机变量, ()1i E X =，()4i D X =且2()i E X 存在，1,2,,i n = , 对任意整数0ε>，则（ ）成立.(A) 11lim 41n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ (B) 211lim 41n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑(C) 211lim 51n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ (D) 211lim 31n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑4. 在假设检验中，原假设为H 0，检验显著性水平为α，则下列各式正确的是( ).(A) P {接受H 0|H 0正确}=α (B) P {拒绝H 0|H 0正确}=α (C) P {接受H 0|H 0正确}=1－α (D) P {拒绝H 0|H 0正确}=1－α5.设有一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2σμ，均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值),cm (9=x 样本标准差为μ，则)cm (1=s 的置信度为0.95的置信区间为（ ）.（A ）（)16(419025.0t ±） （B ）（)16(41905.0t ±） （C ）（)15(41905.0t ±） （D ）（)15(419025.0t ±）三、(10分) 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：求它是次品的概率.四、（14分）设⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10),1(),(~),(xy x x ky y x f Y X , （1）求常数k ； （2）求),(Y X 关于X 及Y 的边缘密度)(x f X 和)(y f Y ; （3）计算概率}1{≤+Y X P .五、（10分）设总体X 在区间),0(θ上服从均匀分布，1X ，2X ，3X ，4X 为其样本. 试求（1）14i i X ≤≤max ()的概率密度函数; (2) 1412(max ())ii E X θ≤≤-. 六、（12分）某箱装有100个产品，其中一、二、三等品分别为60、30、10件. 现在从中随机抽取一件, 记1,0,i X ⎧=⎨⎩抽到i 等品其它，1,2,3)i =（.试求: (1)1X 与2X 的联合分布律; (2)1X 与2X 的相关系数ρ.七、（12分）某家庭的日开支X （元）的任意三次抽样为40，20，30，设22(10)(10)e 10~()010a x a x x X f x x --⎧⎪-≥=⎨<⎪⎩，，，求参数a 的极大似然估计值（保留三位小数）.八、（12分）机器包装袋盐，假设袋盐重量服从正态分布，规定袋重标准差不能超过12g ，某天开工后要检查机器工作是否正常，从装好的袋盐中随机抽查9袋，测得样本标准差为16.03g ，问按显著性水平0.05α=, 能否认为包装机工作是正常的?参考答案： 一、填空题 1. 92 2. 43 3. 47 4. )1,(n F 5. 53 二、选择题1. D2. C3. C4. B5. D三、解：记A 表示“取到的是一只次品”，i B （3,2,1=i ）表示“取到的产品是由第i 家工厂提供的”则 1()0.10P B =，2()0.75P B =,3()0.15P B =,1(|)0.02P A B =, 2(|)0.01P A B =，3(|)0.03P A B =,由全概率公式得31()()(|)0.014iii P A P B P A B ===∑.四、解：(1) 由100(,)d d (1)d d 124xkf x y x y ky x x y +∞+∞-∞-∞=-==⎰⎰⎰⎰，得 24k =. (2)2024(1)d ,0112(1),01()(,)d =0,0,xX y x y x x x x f x f x y y +∞-∞⎧⎧-≤≤-≤≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它1224(1)d ,0112(21),01()(,)d =0,0,y Y y x x y y y y y f y f x y x +∞-∞⎧-≤≤⎧-+≤≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它 （3）111222011124112242y yx y P X Y f x y x y y x x y y y y -+≤+≤==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰{}(,)d d ()d d d .五、解：（1）令14max ()i i Y X ≤≤=，由X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=θθθx x x x x F ，，，1000)(得， Y 的分布函数为4()[()]Y F y F y =，所以Y 的概率密度为34400Y y y f y θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它()（2） 44445y EY y θθθ==⎰（）d ， 1411432255(max ())i i E X θθθθ≤≤-=⨯-=- . 六、解: (1) 160{1}0.6100P X ===,230{1}0.3100P X ===,310{1}0.1100P X ===,123{0,0}{1}0.1P X X P X =====.(2) 1()0.6E X =, 2()0.3E X =, 21()0.6E X =, 22()0.3E X =,21()0.60.60.24D X =-=, 22()0.30.30.21D X =-=, 12()0E X X = , 1214））X X ρ===-七、解：构造似然函数：211021110ni i annx n i i i i L a f x a x =--==∑==⋅-⋅∏∏()()()()e ，1012,,,,i x i n ≥= ， 其对数似然函数为：∑∑∏===---+==ni i ni i i ni x a x a n x f a L 1211)10(2)10ln(ln )(ln )(ln 1012,,,,i x i n ≥=令21d 1ln ()(10)0d 2ni i n L a x a a ==--=∑，得∑=-=ni i x na 12)10(2ˆ，代入相关数据得0004.ˆa ≈． 八、解: 检验假设①0H :2212σ≤ 1H : 2212σ>, ②取检验统计量222(1)n S χσ-=2(1)n χ-,③拒绝域形式为22(1)n αχχ≥-, ④20.05(8)15.507χ=,22220.05220(1)816.0314.27615.507(8)12n S χχσ-⨯==≈<=⑤2χ值不在拒绝域内, 接受0H :2212σ≤, 综上讨论,认为包装机工作正常.。
概率论与数理统计习题三参考答案
概率论与数理统计习题三参考答案1． 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。
以X 表示一天中调整设备的次数，求。
（设诸产品是否为次品是相互独立的。
） )(X E 解：解法一 用Y 表示10件中次品的个数，则)1.0,10(~B Y 而X 表示一天中调整设备的次数，，),4(~p B X {}2≥=Y p p {}{}{}1012=−=−=≥Y P Y P Y p Q()()9110100101.011.01.011−⋅−−−=C C 264.0= 056.14)(==∴p X E解法二 设为发现次品数i X 4,3,2,1 111,0=⎩⎨⎧=i X i ，，次品数大于发现次品数小于等于 则4321X X X X X +++=)()()()()(4321X E X E X E X E X E +++={}{}{}100次品数等于次品数等于P P X P i +==∴()()9110100101.011.01.01−⋅+−=C C 743.0= {}{}264.0011==−==∴i i X P X P 056.1264.04)(=×=∴X E2． 将3只球随机地逐个放入4只编号分别为1，2，3，4 的盒子中，以X 表示至少有一只球的盒子的最小号码，是求。
)(X E 解：解法一 X 可取1、2、3、4{}6437433133323213=++==∴C C C X P {}6419422233323213=++==C C C X P{}6474133332313=++⋅==C C C X P {}6414143===X P 162564146473649264371)(=×+×+×+×=∴X E 解法二 1625162316521691)(=×+×+×=∴X E 3． 若随机变量X 的分布律为()=⎭⎫⎩⎨⎧−=+i x P ii 21121i ，i =1,2 ,……., 是否存在。
第三章试题答案概率论与数理统计
第三章历年考题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为， 则P {X +Y =0}=（ ） A.0.2答案：CYX -1 0 1 0 1度为⎩⎨⎧<<-<<-=,,;y ,x ,c )y ,x (f 其他01111 则常数c=（ ）A.41B.21答案：A律为设p ij =P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．p 00<p 01 B ．p 10<p 11 C ．p 00<p 11D ．p 10<p 01答案：DY X 0 1 0 1，律为 YX0 1 20 01 2 0则P{X=Y}=（ ） A ． B ． C ． D ．答案：A5.设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=.;0y ,0x ,0,e Ae y 2x 其它>>⎪⎩⎪⎨⎧--则A=（ ）A.21B.1C.23答案：D6.设二维随机变量（X 、Y ）的联合分布为（ ）则P{XY=0}=（ ） A. 41B.125C.43答案：C7．已知X ，Y 的联合概率分布如题6表所示 X -10 2YX0 5 0 4161 231 41Y 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 1 1/3 0 0题6表F （x,y ）为其联合分布函数，则F （0，31）=（ ）A ．0B ．121C ．61D ．41答案：D8．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它00,0)(y x e y x则P （X ≥Y ）=（ ） A ．41 B ．21C ．32D ．43 答案：B9．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则{}=-=1XY P （ ）A ．161B ．163C ．41D ．83答案：D10．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0B ．)(x F XC ．)(y F YD ．1答案：B11.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为（）Y0 1 2X-10 0 02 0则F（0,1）=A.0.2 答案：B12.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤+.,0;1y 0,2x 0),y x (k 其它则k=（ ）A.41B.31C.21D.32答案：B13．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X1 231 2101103102101102101则P{XY=2}=（ ）A ．51B ．103C ．21D ．53答案：C14．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0;10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y （ y ）= （ ）A ．x 21B ．2xC ．y 21D ．2y答案：D15．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为则有（ ）A ．92,91==βαB ．91,92==βαC ．32,31==βαD ．31,32==βα答案：B 因为91,92==βα31)91(91}1{}2{}1,2{3131********αβα+=======----=+Y P X P Y X P 解方程组即得15. ．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-;,0,0,0,2),()2(其它y x e y x f y x 则P{X<Y}=（ ）A ．41B ．31C ．32 D ．43答案：B15. ．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧>>+-其它0y ,0x e )y x (则P （X ≥Y ）=（ ）A ．41B ．21C ．32 D ．43 答案：B二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整word版)概率论与数理统计考试题及答案(word文档良心出品)
一、填空题(每小题3分,共30分)1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 .2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________.3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 .4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8aP X k k ===则a =_________.5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= .6、设随机变量X 的分布律为21011811515515kX p -- 则2Y X =的分布律是 .7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ .8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是. 9、设总体()~10,X b p ,12,,,n X X X 是来自总体X 的样本,则参数p 的矩估计量为 .10、设123,,X X X 是来自总体X 的样本,12311ˆ23X X X μλ=++是()E X μ=的无偏估计,则λ= .二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为,03()2,3420,kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ;(3)求712P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X .六、(本题12分)设离散型随机变量X 的分布律为(),0,1,2,!x e P X x x x θθ-=== , 0θ<<+∞其中θ为未知参数,n x x x ,,,21 为一组样本观察值,求θ的极大似然估计值.七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为2 1.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05α=)? (附:()()()0.0250.0250.0250.050.0255 2.5706,6 2.4469,7 2.3646, 1.65, 1.96,6 2.45t t t z z ======一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或A BC2、0.63、2156311C C C 或411或0.3636 4、15、136、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N - 9、10X 10、16二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ========...............2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=......................................7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== ......................................................................12分三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为,03()2,3420,kx x x f x x ≤<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩其它(1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求712P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.解 (1)由概率密度的性质知340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰故16k =. .................................................................................................................................3分(2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰;当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩..............................................................................9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭.............................................................12分四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y X a 试求:(1) a 的值; (2)X 和Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.a +++++=故0.3a = ..................................................................................................................................4分 (2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p ........................................................................................................6分120.40.6Y p .................................................................................................................8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. .........................................................................................................12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X . 解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰............................6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ ..........................................................9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ...........................................................................................12分六、(本题12分)设离散型随机变量X 的分布律为(),0,1,2,!x e P X x x x θθ-===,0θ<<+∞其中θ为未知参数,n x x x ,,,21 为一组样本观察值,求θ的极大似然估计值.解 似然函数()1111!!niii x nnx n i i i i eL e x x θθθθθ=--==∑==∏∏ ............................................................................4分 对数似然函数()111ln ln ln !nni i i i L n x x θθθ===-+⋅+∑∏........................................................................6分 1ln L nii xd n d θθ==-+∑ .....................................................................................................8分 解似然方程ln L 0d d θ=得11ˆn i i x x n θ===∑. ................................................................................10分 所以θ的极大似然估计值为ˆ.x θ= ........................................................................................12分 七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为2 1.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05α=)?(附:()()()0.0250.0250.0250.050.0255 2.5706,6 2.4469,7 2.3646, 1.65, 1.96t t t z z =====) 解 总体()2~,X N μσ,总体方差已知,检验总体期望值μ是否等于32.50.(1) 提出待检假设0010:32.50;:32.50.H H μμμμ==≠= ...........................................1分(2) 选取统计量0/X Z nμσ-=,在0H 成立的条件下(0,1)Z ~N ......................................2分(3) 对于给定的检验水平0.05α=,查表确定临界值/20.025 1.96z z α==于是拒绝域为(, 1.96)(1.96,).W =-∞-+∞ ...........................................................................5分 (4) 根据样本观察值计算统计量Z 的观察值:()132.5629.6631.6430.0021.8731.0329.445, 1.16x σ=+++++==0029.44532.50 2.45 6.8041.1/x z nμσ--==⨯=- ........................................................8分(5)判断: 由于0z W ∈,故拒绝H 0,即不能认为这批零件的平均尺寸是32.50毫米...............................................................................................................................................10分。
《概率论与数理统计》练习题试卷及答案解析
《概率论与数理统计》练习题试卷及答案解析一．单项选择题（每小题2 分，共 20 分）1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ）B A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A A D ．21A A 2．则（ ）DA ．121=a B ．61=a C ．121=a D ．41=a 3．设事件A 与B 相互独立，则有（ ）CA ．0)(=AB P B ．)()()(B P A P B A P +=C ．)()()(B P A P AB P =D ．)()(A P A B P =4．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则其概率密度函数的最大值为（ ）D A ．0 B ．1 C ．π21 D ．212)2(-πσ5． 设随机变量X 与Y 互相独立, 且X ～),,(211σa N Y ～),,(222σa N 则Y X Z +=仍服从正态分布,且( ) DA . Z ～),(22211σσ+a N B . Z ～),(2121σσa a N +C . Z ～),(222121σσa a N + D . Z ～),(222121σσ++a a N6．设随机变量X 服从[-1，2]上的均匀分布，则X 的概率密度)(x f 为（ ）AA ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0;21,31)(其他x x f B ．⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,3)(其他x x fC ．⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,1)(其他x x fD ． ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=.,0;21,31)(其他x x f7．设,21X X ，3X 是总体~X ()2,σμN 的样本，则μ的无偏估计量是（ ）AA ．3212110351X X X ++ B ．321316131X X X ++ C ．3211274131X X X ++ D ．3211513151X X X ++8．某店有7台电视机，其中2台为次品，今从中随机地抽取3台，设X 为其中次品数，则数学期望EX =（ ）D A ．73 B ．74 C ．75 D ．76 9．设总体X ～N (2,σμ)，X 1，X 2，…，X 10为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则X ～（ ）CA ．)10(2σμ，N B ．)(2σμ，N C ．)10(2σμ，N D ．)10(2σμ，N 10．在假设检验中，H 0为原假设，H 1为备择假设，则第一类错误是（ ）BA. H 1成立，拒绝H 0B. H 0成立，拒绝H 0C. H 1成立，拒绝H 1D. H 0成立，拒绝H 1 二．填空题（每空 2 分，共 20 分）1．连续抛一枚均匀硬币4次，则正面至少出现一次的概率为___________.1615 2．设A ，B 为互不相容的两个随机事件，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则)(B A P ⋃）=________.0.73．设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.34．设随机变量X 是服从区间（μ，2）上的均匀分布，且1=EX ，则μ= . 1 5．设X 为连续随机变量，c 为一个常数，则P ｛X ＝c ｝＝____________.06．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，且,44.1,4.2==DX EX 则二项分布的参数p = . 0.47．10X =E ，4=DX ，若{}04.010≤≥-c X P ，则常数c = . 108．已知E （X ）=1，E （Y ）=2，E （XY ）=3，则X ，Y 的协方差Cov （X ，Y ）=_____________．2 9．设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{XY=0}=___________。
概率概率论与数理统计试卷附答案
一、填空题（每题3分，共15分）1、设X ～()p b ,2，Y ～()p b ,4，若()951=≥X P ，则()=≥1Y P 。
. 2、已知随机变量X 的概率分布为⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.40.30.20.14321~ X ，则其分布函数为 。
3、设1X ～()2,1N ，2X ～()3,0N ，3X ～()1,2N ，且321,,X X X 相互独立，设12321+-+=X X X Z ，则~Z .4、若随机变量X 与Y 不相关，其方差分别为3和6，则)2(Y X D -＝ 。
5、从总体中任取一个容量为5的样本，测得样本值为8，9，10，11，12，则总体期望的无偏估计为________________。
二、选择题（每题2分，共20分）1、设事件A 与B 互不相容，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是( )。
A 、(|)()P AB P A = B 、(|)0P A B =C 、()()()P AB P A P B =D 、(|)0P B A >2、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!kp k e k k -== ，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13E X D X ==C 、13,3E X D X ==D 、1,93E X D X ==3、设()0P A >，()0P B >, 且 A B 与互逆，则下列命题不成立的是（ ）A ． AB 与不相容 B ． A B 与相互独立C ． A B 与互不独立D ．A B 与互不相容 4、两个随机变量的协方差=),cov(Y X （ ）A 、EY EX XY E ⋅-)(B 、DY DX XY D ⋅-)(C 、22)()(EY EX XY E ⋅- D 、)()(EY Y E EX X E -⋅-5、设正态总体期望μ的置信区间长度(1)L n α=-，则其置信度为（ ）A 、1α-；B 、α ；C 、12α-； D 、12α-.6、 设(),X Y 的联合密度为40()xy x p x y ≤≤⎧=⎨⎩，，y 1，0，其它，若()F x y ，为分布函数，则(0.52)F =，()A 、0B 、14C 、161 D 、17．如果Y X 与满足D =+)2(Y X D )2(Y X -,则必有A. Y X 与独立B. Y X 与不相关C. DXDY XY D =)( D 、0=DXDY 8．设随机变量X 的分布列为： 则常数c=()A 、0B 、1C 、125 D 、125-9．设随机变量X 的密度函数为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 为X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ ） A 、0()1()a F a f x dx -=-⎰B 、 01()()2a F a f x dx -=-⎰C 、 ()()F a F a -=D 、 ()2()1F a F a -=-10．匣中4只球,其中红,黑,白球各一只,另有一只红黑白三色球,现从中任取两只,其中恰有一球上有红色的概率为( )A 、16B 、13C 、12D 、23三、计算题（每题8分，共40分）1．若事件 A 与B 相互独立，()0.8P A = ()0.6P B =。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。
答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。
答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。
答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。
答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。
答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。
答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。
真题考试：2020 概率论与数理统计(经管类)真题及答案(3)
真题考试：2020 概率论与数理统计（经管类）真题及答案(3)共56道题1、设随机变量X的分布律为F(x)为X的分布函数，则F(O.5)=（单选题）A. 0B. 0.2C. 0.25D. 0.3试题答案：D2、已知X与Y的协方差Cov(X，Y)=-1/2，则Cov(一2X，Y)= 【】（单选题）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 1试题答案：D3、设随机变量x的分布律为（单选题）A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 1试题答案：C4、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{X=1}=（单选题）A. 0.1B. 0.3C. 0.2D. 0.4试题答案：D5、设总体X~ N(μ,σ2)，x1,x2...x n为来自该总体的样本，X为样本均值，S2为样本方差，则μ的极大似然估计为（单选题）A.B.C.D.试题答案：A6、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论正确的是（单选题）A. F(+∞)=-1B. F(+∞)=0C. F(-∞)=0D. F(-∞)=1试题答案：C7、设随机变量X在[-2,2]上服从均匀分布，则P{X≥1}= （单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B8、设随机变量X的概率密度为（单选题）A. 0B. 1/3C. 1/2D. 3试题答案：D9、（单选题）A.B.C.D.试题答案：A10、（单选题）A. t(5)B. t(4)C. F(1，5)D. F(5，1)试题答案：A11、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{X=1}=（单选题）A. 0.1B. 0.3C. 0.2D. 0.4试题答案：D12、设随机变量X～B(3，0.2)，则P{X>2}= 【】（单选题）A. 0.008B. 0.488C. 0.512D. 0.992试题答案：A13、（单选题）A.B.C.D.试题答案：C14、设事件A与B互不相容，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，则P(A U B)= 【】（单选题）B. 0.2C. 0.4D. 0.6试题答案：D15、设X1,X2...X10是来自总体X的样本，且X ~ N(0,1)，（单选题）A.B.C.D.试题答案：B16、设随机变量X与Y的相关系数为0.5，D(X)=9，D(Y)=4，则D(3X-Y)= 【】（单选题）A. 5B. 23C. 67D. 85试题答案：C17、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，Y)关于X的边缘分布函数Fx(x)=（单选题）A.B.C.试题答案：A18、（单选题）A. 1/6B. 1/4C. 1/3D. 1/2试题答案：B19、设随机变量X服从参数为1/2的指数分布，则E(2X-1)= 【】（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 4试题答案：C20、（单选题）A. N（-1，3）B. N（-1，9）C. N（1，3）D. N（1，9）试题答案：B21、（单选题）B.C.D.试题答案：A22、在假设检验过程中，增大样本容量，则犯两类错误的概率【】（单选题）A. 都增大B. 都减小C. 都不变D. 一个增大，一个减小试题答案：B23、设随机变量X～B(3，0.3)，则P{X=2}= 【】（单选题）A. 0.189B. 0.21C. 0.441D. 0.7试题答案：A24、设α是假没检验中犯第一类错误的概率，H。
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概率论与数理统计一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题2分，共10分。
）1. 设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧>=-其它,00,2)(2x e x p x ，则X Y 2=的分布密度为 .【 】(a) ⎩⎨⎧>-其它,00,y e y ； (b)⎩⎨⎧>-其它,00,22y e y ； (c) ⎩⎨⎧>-其它,00,44y e y ； (d) ⎩⎨⎧>-其它,00,4y e y ． 2. 设随机变量序列x 1, x 2,…, x n …相互独立,并且都服从参数为1的指数分布,则当n 充分大时,随机变量Y n =∑=ni i x n 11的概率分布近似服从 . 【 】(a) N(1,n) (b) N(1,1/n) (c) N(n,1/n) (d) N( n, n)3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ，其中μ未知，2σ已知，321X ,X ,X 是总体X 的 一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 ． 【 】 （a ）321X X X ++； （b ）)X ,X ,X min(321； （c ）∑=σ31i 22i X ； （d ）μ+2X ．4．在假设检验问题中，检验水平α意义是． 【 】 （a ）原假设H 0成立，经检验被拒绝的概率； （b ）原假设H 0成立，经检验不能拒绝的概率； （c ）原假设H 0不成立，经检验被拒绝的概率； （d ）原假设H 0不成立，经检验不能拒绝的概率．5．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 . 【 】（a ）SSR 越大，SSE 越小； （b ）SSE 越小，回归效果越好； （c ）r 越大，回归效果越好； （d ）r 越小，SSR 越大．二、填空题（将答案写在该题横线上。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题2分，共10分。
）1. 设A,B 为两个事件, P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B/A)=0.8, 则P(A ∩B )= .2. 数理统计的目的是通过样本推断 .3.设X~F(n,n),则P{X ≥1} P{X ≤1}. （选 < ,>, 或＝中的一个）4．在单因素方差分析中，试验因素A 的r 个水平的样本总容量为n ，则当原假设0H 成立时，2S S A σ服从 分布，MS E MS A 服从 分布.5. 在线性回归模型εββ++=x y 10中，如果0b 为0β的最小二乘估计，则0Eb ＝ .三、(10分，要求写清步骤及结果) 在某城市中，下雨的天数占一半，天气预报有2/3准确.如果预报下雨，王明同学就一定带雨伞. 设 A={天下雨}，B={预报有雨}，C={王明带雨伞}.(1)问：事件A B C ⋂⋂，A B C ⋂⋂的含义时什么，哪个为不可能事件？ (2)求他带雨伞而没有下雨的概率.四、(10分，要求写清步骤及结果) 一个复杂的系统，由n 个相互独立的部件所组成，每个部件的可靠性为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问：n 至少为多少才能使系统以0.95的概率工作？ ( 附：Φ(1.64)=0.95，Φ(1.96)=0.975，其中Φ(x)是标准正态分布函数。
) 五、(12分，要求写清步骤及结果)设总体X 服从(0,θ)上的均匀分布，取容量为6的样本观测值为：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，求：总体参数θ的矩估计以及极大似然估计值.六、(15分，要求写清步骤及结果) 两个小麦品种从播种到抽穗所需天数的观测值如下表，试：（1）用两个正态总体方差作假设检验的方法检验两品种的观测值的方差有没有显著的差异？（2）用两个正态总体均值作假设检验的方法检验两品种的观测值的均值有没有显著的差异？(05.0=α).（ 附：F 0.975（9，9）=4.03，t 0.975(18)=2.101）七、(15分，要求写清步骤及结果) 测定4种种植密度下金皇后玉米的千粒重(单位：g)如下：种植密度千粒重 T 1 23 4247, 258, 256, 251 238, 244, 246, 236 214, 227, 221, 218 210, 204, 200, 2101012 964 880 824256110 232392 193690 1698161. 试问不同的处理方法是否有显著差异?2. 请列出方差分析表.3. 哪种处理方法最好？（附:α =0.01, ()95.512,399.0=F ）八、(18分，要求写清步骤及结果) 小麦基本苗数x 及有效穗数Y （单位：万）的5组观察数据如下：………………………………… 装 ……………………………… 订 ……………………………… 线 …………………………………………… ……………………… 线 …………………………………（1）试求线性回归方程；（2）对线性回归方程显著性检验；（3）若0x =26，求:0Y 的0.95预测区间.（附：t 0.975(5－2)=3.182，r 0.05(5－2)=0.8783 ，F 0.95(１,5－2)＝ 10.1 ) （ 提示：预测公式t =)2(~])(11[2)(2000--++•--∧n t l x x n n SSE y y xx)答案一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题2分，共10分。
）1. 设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧>=-其它,00,2)(2x e x p x ，则X Y 2=的分布密度为 【(a)】 .(a) ⎩⎨⎧>-其它,00,y e y ； (b)⎩⎨⎧>-其它,00,22y e y ； (c) ⎩⎨⎧>-其它,00,44y e y ； (d) ⎩⎨⎧>-其它,00,4y e y ． 2. 设随机变量序列x 1, x 2,…, x n …相互独立,并且都服从参数为1的指数分布,则当n 充分大时,随机变量Y n =∑=ni i x n 11的概率分布近似服从 【(b) 】 .(a) N(1,n) (b) N(1,1/n) (c) N(n,1/n) (d) N( n, n)3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ，其中μ未知，2σ已知，321X ,X ,X 是总体X 的 一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 【（d ）】 ． （a ）321X X X ++； （b ）)X ,X ,X min(321； （c ）∑=σ31i 22i X ； （d ）μ+2X ．4．在假设检验问题中，检验水平α意义是 【（a ）】 ． （a ）原假设H 0成立，经检验被拒绝的概率； （b ）原假设H 0成立，经检验不能拒绝的概率； （c ）原假设H 0不成立，经检验被拒绝的概率； （d ）原假设H 0不成立，经检验不能拒绝的概率．…………………………… 订 ……………………………… 线 …………………………………5．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 【（d ）】 .（a ）SSR 越大，SSE 越小； （b ）SSE 越小，回归效果越好； （c ）r 越大，回归效果越好； （d ）r 越小，SSR 越大．二、填空题（将答案写在该题横线上。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题2分，共10分。
） 1. 设A,B 为两个事件, P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B/A)=0.8, 则P(A ∩B )= 0.2 . 2. 数理统计的目的是通过样本推断 总体 .3.设X~F(n,n),则P{X ≥1} ＝ P{X ≤1}. （选 < ,>, 或＝中的一个）4．在单因素方差分析中，试验因素A 的r 个水平的样本总容量为n ，则当原假设0H 成立时，2S S A σ服从 )1(2-r x 分布，MS E MS A 服从 F(r -1, n -r) 分布.5. 在线性回归模型εββ++=x y 10中，如果0b 为0β的最小二乘估计，则0Eb ＝0β.三、(10分，要求写清步骤及结果) 在某城市中，下雨的天数占一半，天气预报有2/3准确.如果预报下雨，王明同学就一定带雨伞. 设 A={天下雨}，B={预报有雨}，C={王明带雨伞}. (1)问：事件A B C ⋂⋂，A B C ⋂⋂的含义时什么，哪个是不可能事件？ (2)求他带雨伞而没有下雨的概率.解.5.0)(=A P ，3/2)/(=A B P ，3/1)/(=A B P , 1)/(=B C P ， 0P(C /B)=；………………… ……(3分)(1) A B C ⋂⋂指天没有下雨，但预报有雨，王明带伞；A B C ⋂⋂指天没有下雨，但预报无雨，王明带伞；这是不可能事件.……………………(4分)(2)P{他带雨伞而没有下雨}=P(A C)P(A B C)P(A B C)0.51/3101/6⋂=⋂⋂+⋂⋂=⨯⨯+=.…………………(3分)四、(10分，要求写清步骤及结果) 一个复杂的系统，由n 个相互独立的部件所组成，每个部件的可靠性为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作， 问：n 至少为多少才能使系统以0.95的概率工作？( 附：Φ(1.64)=0.95，Φ(1.96)=0.975，其中Φ(x)是标准正态分布函数。
)解。
设 X 表示n 个相互独立的部件正常工作的个数，则X ～B(n,0.9)，EX=0.9n, DX=0.09n. …………………(3分)由中心极限定理知：)1,0(~01.09.0N nn X -. …………………(3分)则：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≥-=≥≥n n n n n X nn n P n X n P 01.09.08.001.09.001.09.0}8.0{95.0301.09.03=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≥=n n n X n P ………………(2分)得到： 95.0132=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn ，n=35. …………………(2分)五、(12分，要求写清步骤及结果)设总体X 服从(0,θ)上的均匀分布，取容量为6的样本观测值为：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，求：总体参数θ的矩估计以及极大似然 估计值.解. 由 EX=θ/2, 得矩估计：422.==∧x θ …………………(6分)极大似然估计为：2261.},...,,max{===∧i x i θ …………………(6分)六、(15分，要求写清步骤及结果) 两个小麦品种从播种到抽穗所需天数的观测值如下表，试：（1）用两个正态总体方差作假设检验的方法检验两品种的观测值的方差有没 有显著的差异？（2）用两个正态总体均值作假设检验的方法检验两品种的观测值的均值有没 有显著的差异？(05.0=α).（ 附：F 0.975（9，9）=4.03，t 0.975(18)=2.101）解：两个小麦品种从播种到抽穗所需天数分别是Y X 与，),(~),,(~212211σμσμN Y N X ,且两者独立.(1) 先作方差的检验： 2221122210:,:σσσσ≠=H H . 检验统计量2*2*Y X S S F =，当0H 为真时，因为 )1,1(~--m n F F ，所以拒绝域是：)1,1(5.0--≤m n F f α或)1,1(5.01--≥-m n F f α， ……………(5分) 计算：100.1767.0844.0==f , 03.4)9,9(975.0=F , 248.003.41)9,9(025.0==F , 没有落入拒绝域，认为2221σσ= . ………(3分)(2) 再检验均值：因为（1）中已经检验了2221σσ=，但未知方差值。