北师大版高中数学必修五课时作业20 基本不等式

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红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业基本不等式含解析

课时作业20 基本不等式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b 2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab 1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确；选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确；选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0，则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确；很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________．【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________．【答案】 [2，＋∞) 【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。

北师大版数学高二必修5练习基本不等式

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，则四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( ) A ．b B ．a 2＋b 2 C ．2abD.12【解析】 ∵b ＞a ＞0，∴a 2＋b 2＞2ab . 又a ＋b ＝1，∴b ＞12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab ＞b 2＋a 2，∴b 最大．【答案】 A2．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，可取a ＝1，b ＝3验证． ∵11×3＜12，11＋13＞1，1×3＜2， 12＋32≥8，只有D 正确．【答案】 D3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，∴A ≤G ≤H .【答案】 A4．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )【导学号：47172107】A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C. 【答案】 C5．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2【解析】由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋ab ＋2≥4(a ＝b 时等号成立)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.【答案】 C 二、填空题6．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．【解析】 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0 ∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号．【答案】(a －b )(b －c )≤a －c27．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b2的大小关系为________．【解析】用两种方法求出第三年的产量分别为 A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )， ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时等号成立．【答案】 x ≤a ＋b28．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b ≥2.【解析】 ab ≤(a ＋b )24＝1，当且仅当a ＝b 时等号成立，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥(a ＋b )24＝1，故a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故④正确．【答案】 ①③④ 三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋abc ＞a ＋b ＋c .【证明】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴bc a ＋ac b ≥2bc a ·ac b ＝2c .同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca ≥2b . ∵a ，b ，c 不全相等，∴上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得 2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＞2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc ＞a ＋b ＋c .10．已知a 、b 、c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc ≥3.【导学号：47172108】【证明】左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3.∵a 、b 、c 为正数，∴b a ＋ab ≥2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，c a ＋ac ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)， c b ＋bc ≥2(当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6(a ＝b ＝c 时等号成立)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3≥3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c ≥3.[能力提升]1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥22 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥2abD.2aba ＋b＞ab 【解析】 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，A 成立；(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4，B 成立；a 2＋b 2≥2ab ＞0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，C 成立；a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b≤1，2ab a ＋b≤ab ，故D 错．选D.【答案】 D2．给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2；②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4； ④∵x 、y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 ①∵a 、b 为正实数，∴b a 、ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②虽然x 、y 为正实数，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故②的推导过程是错误的．③∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．【答案】 D3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝3，则1a ＋1b 的取值范围是________．【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝3， ∴1a ＋1b ＝a ＋b 3a ＋a ＋b 3b ＝b 3a ＋a 3b ＋23≥2b 3a ·a 3b ＋23＝43，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立．【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞4．已知x 、y 、z 均为正实数，且x －2y ＋3z ＝0，求证：y 2xz ≥3. 【证明】由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z2，∴y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝x 2＋6xz ＋9z 24xz.又x 2＋9z 2≥2×3xz ＝6xz ，当且仅当x ＝3z 时等号成立，∴y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3，故y2xz≥3.。

北师大版高中数学必修五练习基本不等式

3.1 基本不等式课时过关·能力提升1.若a>b>0,则下列不等式成立的是( )A.a>b >a+b 2>√abB.a >a+b 2>√ab >bC.a >a+b 2>b >√abD.a >√ab >a+b 2>ba>b>0,∴a =a+a2>a+b2. ∵a+b2>√ab,且√ab >√bb =b, ∴a >a+b2>√ab >b.2.下列不等式中,对任意实数x 都成立的是( )A.lg(x 2+1)≥lg 2xB.x 2+1>2xC .1x +1≤1 D.x +1x ≥2中,当x<0时都不成立,B 中,当x=1时不成立,故选C .3.若x>0,y>0,则A=(√π)x +y 与B =π√xy 的大小关系是( )A.A>BB.A ≥BC.A<BD.A ≤Bx>0,y>0,∴x+y2≥√xy.又A=(√π)x +y =πx+y2,且指数函数y=πx 是增函数,∴A ≥B.4.若0<a<1,0<b<1,则a+b ,2√ab,a2+b2,2ab 中,最大的一个是()A.a+bB.2√abC.a2+b2D.2ab,得a2+b2≥2ab,a+b≥2√ab.∵0<a<1,0<b<1,∴(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)<0.∴a2+b2<a+b.∴最大的一个是a+b.5.若x>0,y>0,且x+y=4,则下列不等式恒成立的是()A.1x+y >4 B.1x+1y≥1C.√xy≥2D.1xy≥1x>0,y>0,且x+y=4,∴1x+y =14,故A错误.√xy≤x+y2=2,故C错误.∵xy≤(x+y2)2=4,∴1xy≥14,故D错误.1 x +1y=x+y4x+x+y4y=14+y4x+x4y+14≥12+2√y4x·x4y=12+12=1,当且仅当x=y=2时,等号成立,故选B.6.已知a>b>c,则√(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是_____________.a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴√(a-b)(b-c)≤a-b+b-c2=a-c2.√(a-b)(b-c)≤a-c27.已知log2x+log2y=1,则x+2y的最小值为.log2x+log2y=1,∴log2xy=1,∴xy=2,x·2y=4.又x>0,y>0,∴x+2y≥2√=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立.8.设a>0,b>0,给出下列不等式:①(a+1a )(b+1b)≥4;②(a+b)(1a +1b)≥4;③a2+9>6a;④a2+1+1a+1>2.其中恒成立的有.(填序号)a+1a ≥2√a·1a=2,b+1b≥2√b·1b=2,∴(a+1a )(b+1b)≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,故①正确;(a+b)(1a +1b)=1+1+ba+ab≥2+2·√ba·ab=4,当且仅当a=b时,等号成立,故②正确;a2+9≥2√a2·9=6a,当且仅当a=3时,等号成立,即当a=3时,a2+9=6a,故③不正确;a2+1+1a2+1≥2√(a2+1)·1a2+1=2,当且仅当a2+1=1a+1,即a=0时,等号成立.∵a>0,∴等号不成立,故④正确.★9.已知a>b>1,P=√Q=lga+lgb2,R=lg(a+b2),试比较P,Q,R的大小.a>b>1,根据对数函数的单调性有lg a>lg b>0,可以用基本不等式比较三个式子的大小.a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴√lga·lgb<lga+lgb2,即P<Q.对√ab<a+b2两边取常用对数,得l g√ab<lg(a+b2),∴lga+lgb2<lg(a+b2),即Q<R.∴P<Q<R.★10.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:√a+12+√b+12≤2.+12=√1·(a+12)≤1+a+122=34+a2,当且仅当a=12时,等号成立.同理√b+12≤34+b2,当且仅当b=12时,等号成立.∴√a+12+√b+12≤34+a2+34+b2=32+12(a+b)=32+12=2,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴√a+12+√b+12≤2.。

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课时作业20 基本不等式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab 1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确；选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确；选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0，则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确；很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________．【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。

高中数学必修五北师大版基本不等式作业(含答案)2

第3章 3.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最小的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 解析：由基本不等式得a ＋b 2＞ab ， ∴a ＋b ＞2ab .又∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴ab ＜1，∴ab ＜1，∴2ab ·ab ＜2ab ，即2ab ＜2ab .又2ab ＜a 2＋b 2，∴2ab 最小．答案： C2．设M ＝3x ＋3y 2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (其中0＜x ＜y )，则M 、N 、P 的大小顺序是( ) A ．P ＜N ＜MB ．N ＜P ＜MC ．P ＜M ＜ND ．M ＜N ＜P解析：由基本不等式知3x ＋3y 2＞3x ·3y ＝3x ＋y ＝(3)x ＋y ，即M ＞N .又∵x ＋y 2＞xy ，而(3)x ＋y ＝3x ＋y 2＞3xy ，即N ＞P ，∴M ＞N ＞P .答案： A3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 解析： ∵a ＋b ＝2，∴(a ＋b )2＝4，即a 2＋b 2＋2ab ＝4，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥4，∴a 2＋b 2≥2.答案： C4．已知a 、b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则下列各式恒成立的是( )A.1ab≥8 B.1a ＋1b ≥4 C.ab ≥12D.1a 2＋b 2≤12解析： ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝1＋b a ＋a b＋1≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系为______．解析：由题意可得(1＋p %)(1＋q %)＝(1＋s %)2，由基本不等式得(1＋p %)(1＋q %)≤⎣⎡⎦⎤(1＋p %)＋(1＋q %)22，∴1＋s %≤(1＋p %)＋(1＋q %)2，从而可得s ≤p ＋q 2. 答案： s ≤p ＋q 26．若对x ＞0，y ＞0有(x ＋2y )⎝⎛⎫2x ＋1y ≥m 恒成立，m 的取值范围是________．解析： (x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋x y ＋4y x＋2 ＝4＋⎝⎛⎭⎫x y ＋4y x ≥4＋2x y ·4y x＝8， ∴m ≤8.答案： m ≤8三、解答题(每小题10分，共20分)7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 证明： ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .8．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c. 证明： ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc ＝2a ，1c ＋1a≥21ac ＝2b ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 不全相等，∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设x 是实数，且满足等式x 2＋12x＝cos θ，你能利用基本不等式和余弦函数的性质求出θ吗？解析： (1)当x ＞0时，x 2＋12x≥2x 2·12x ＝1，当且仅当x ＝1时取等号，又－1≤cos θ≤1，∴cos θ＝1.(2)当x ＜0时，x 2＋12x ＝－[⎝⎛⎭⎫－x 2＋⎝⎛⎭⎫－12x ]≤－2⎝⎛⎭⎫－x 2·⎝⎛⎭⎫－12x ＝－1，当且仅当x ＝－1时取等号，又－1≤cos θ≤1，∴cos θ＝－1.综上知cos θ＝±1，∴θ＝k π，k ∈Z.。

北师大版高中数学必修五基本不等式同步练习(4)

1．已知 f (x )＝x ＋－2(x ＜0)，则 f (x )有()－x －x－x32 4 3∴x (4－3x )＝ ·3x (4－3x )当且仅当 3x ＝4－3x ，即 x ＝时取得等号．3．(2009·重庆高考)已知 a ＞0，b ＞0，则＋＋2 ab 的最小值是( )解析：∵a ＋b ＋2 ab ≥ ＋2 ab ≥2 2×2＝4.当且仅当 ⎨时，等号成ab⎩第六章第四节基本不等式课下练兵场命题报告难度及题号知识点利用基本不等式证明不等式利用基本不等式求最值基本不等式的实际应用容易题(题号)1、2、76 中等题(题号)113、4、85、9 稍难题(题号)1012一、选择题1xA ．最大值为 0B ．最小值为 0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x ＜0，∴－x ＞0，1 1∴x ＋x －2＝－(－x ＋ )－2≤－21 1－x · －2＝－4，等号成立的条件是－x ＝，即 x ＝－1.答案：C2．若 0＜x ＜1，则 f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( )11 32 A. B.C. D. 解析：∵0＜x ＜1，∴4－3x ＞0，13≤1·(3x ＋4－3x )2＝4，3 2 323答案：D1 1a bA ．2B ．2 2C ．4D ．51 12 ⎧⎪a = b , ⎪ ab = 1立，即 a ＝b ＝1 时，不等式取最小值 4.解析：由圆的对称性可得，直线 2ax －by ＋2＝0 必过圆心(－1,2)，所以 a ＋b ＝1.所以a ＋b ＝ a＋16，则该商场前 t 天平均售出(如前 10 天的平均售出为f (10))的月饼最少为t ＝t＝t ＋＋10≥18.1答案：C4 14．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线 2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则 a ＋b 的最小值是()A ．4B ．6C ．8D ．94 1 4(a ＋b ) ＋a ＋b 4b ab ＝ a ＋b ＋5≥24b a 4b aa ·b ＋5＝9，当且仅当 a ＝b ，即 a ＝2b 时取等号．答案：D5．设 M 是△ABC 内一点，且△ABC 的面积为 1，定义 f (M )＝(m ，n ，p )，其中 m 、n 、p 分别是△MBC ，1 1 4△MCA ，△MAB 的面积，若 f (M )＝(2，x ，y )，则x ＋y 的最小值是()A ．8B ．9C ．16D ．181 1 1解析：△由 ABC 的面积为△MBC △，MCA △，MAB 的面积之和，所以2＋x ＋y ＝1，即 x ＋y ＝2，x ＋4 1 4 8x 2yy ＝(x ＋y )(2x ＋2y )＝10＋ y ＋ x ≥18.8x 2y 1 1当且仅当 y ＝ x ，即 y ＝2x 时，即 x ＝6，y ＝3时取等号．答案：D6．(2010·惠州模拟)某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f (t )与时间 t (0<t ≤30)的关系大致满足 f (t )＝t 2＋10t10()A ．18B ．27C ．20D ．16f (t ) t 2＋10t ＋16解析：平均销售量 y ＝16t16当且仅当 t ＝ t ，即 t ＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为 18.答案：A二、填空题7．(2010·南京模拟)若 log m n ＝－1，则 3n ＋m 的最小值是________．解析：∵log m n ＝－1，∴m －＝n ， ∴mn ＝1，∵n ＞0，m ＞0 且 m ≠1，＋9x4＋99296答案：±3当且仅当4m＝2n，即2m＝n，即n＝，m＝时取等号．nx＋1∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×[]28当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.≥24z＝z∴3n＋m≥23mn＝2 3.答案：23x28．函数y＝x4(x≠0)的最大值为________，此时x的值为________．解析：y＝x2111＝≤＝，x2＋x29当且仅当x2＝x2，即x＝±3时取等号．169．当a＞0，a≠1时，函数f(x)＝log a(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值是________．解析：A(2,1)，故2m＋n＝1.∴4m＋2n≥24m·2n＝222m＋＝2 2.1124∴4m＋2n的最小值为2 2.答案：22三、解答题10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)设x＞－1，求函数y＝(x＋5)(x＋2)的最值．解：(1)∵x＞0，a＞2x，1212x＋(a－2x)22a2＝，a a248 (2)∵x＞－1，∴x＋1＞0，设x＋1＝z＞0，则x＝z－1，(z＋4)(z＋1)z2＋5z＋44∴y＝＝z＋z＋5z·z＋5＝9，当且仅当z＝2即x＝1时上式取等号，11．已知：a ，b 是正常数，x ，y ∈R *，且 a ＋b ＝10，＋＝1，x ＋y 的最小值为 18，求 a 、b 的值．解：∵x ＋y ＝(x ＋y )( ＋ )x 米．则总造价 f (x )＝400×(2x ＋2×162 )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋＋1 2960＝1 296(x ＋ )＋12 960≥1 296×2x · ＋12 960＝38 880(元)，0 < ≤ 16 ,∴10 ≤ x ≤ 6. 由函数性质易知 g (x )在[10 ，16]⎩∴x ＝1 时，函数 y 有最小值 9，无最大值．a bx ya b x y＝a ＋b ＋ bx ayy ＋ x ≥a ＋b ＋2 ab当且仅当 bx 2＝ay 2 时等号成立．∴x ＋y 的最小值为 a ＋b ＋2 ab ＝18又 a ＋b ＝10.①∴2 ab ＝8，∴ab ＝16.②由①②可得 a ＝2，b ＝8 或 a ＝8，b ＝2.12. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积x 为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/米 2，水池所有墙的厚度忽略不计． (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．162解：(1)设污水处理池的宽为 x 米，则长为1 296×100xx100x100x100当且仅当 x ＝ x (x ＞0)，即 x ＝10 时取等号．∴当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38 880 元．⎧0 < x = 16⎪(2)由限制条件知 ⎨ 162⎪ x100 1设 g (x )＝x ＋ x (108≤x ≤16)，18上是增函数，1 8∴当 x ＝10 时(此时＝16)，1296×(10 ＋ )＋12960＝38 882(元)．∴当长为 16 米，宽为 10 米时，总造价最低，为 38 882 元．1 1628 xg (x )有最小值，即 f (x )有最小值1 8008 8118。

北师大版高中数学必修五基本不等式同步练习(1)

基本不等式一、三种常见不等式解集1、绝对值不等式（核心：去掉绝对值） 1、不等式11x -<的解集是{|02}x x <<.2、不等式123x -<的解集为（）（A ）}{|1{|02}x x x x <-⋃<< （B ）{}02x x <<（C ）{}12x x -<< （D ）{}2x x <3、解不等式21x x ->+. 1(,)2-∞4、解不等式243x x -+->. 39(,)(,)22-∞⋃+∞2、一元二次不等式（核心：转化为一元一次因子相乘）1、若集合{|(21)(3)0}A x x x =+-<，{*,5,B x N x =∈≤则A ∩B 是（）（A ）{}1,2,3 （B ） {}1,2 （C ）{}4,5 （D ） {}1,2,3,4,52、（广东5月模拟）不等式(1)(2)0x x +->的解集为（）（A ）(,1)(2,)-∞-⋃+∞ （B ） (,2)(1,)-∞-⋃+∞ （C ）(1,2)- （D ） (2,1)-3、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1{|2}3x x -<<，则不等式20cx bx a ++<的解为（）（A ）1{|3}2x x -<< （B ）1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（C ）1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ （D ）1|23x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或 4、已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1}x x x b <>或. （1）求,a b ； 1,2a b ==（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<.2c <时，解集2c x <<；2c =时，解集为空集；2c >时，解集2x c <<3、分式不等式（核心：转化为几个一元一次因子相乘、除） 1、设集合1{|3},{|0}4x A x x B x x -=>=<-，则A B ⋂= （）（A ）∅ （B ）(3,4) （C ）(2,1)- （D ）(4,)+∞ 2、（福建质检）不等式203x x ->+的解集是（）（A ）(2,)+∞ （B ） [2,)+∞ （C ）(,3)-∞- （D ）(,3)(2,)-∞-⋃+∞ 3、（2010上海文数）不等式204xx ->+的解集是{|42}x x -<<. 4、不等式21111x x ≥--的解集为（）（A ）(1,)+∞ （B ） [0,)+∞（C ）[0,1)(1,)⋃+∞ （D ）(1,0](1,)-⋃+∞5、若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为(,1)(4,)-∞-⋃+∞，则实数4a =. 6、已知关于x 的不等式0ax b +>的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx ->-的解集是（）（A ）(,1)(2,)-∞-⋃+∞ （B ） (1,2)- （C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ 7、已知函数()1x bf x x -=-，它的图象过点(2,1)-. （1）求函数()f x 的解析式； 3()1x f x x -=- （2）设1k >，解关于x 的不等式()01x kf x x -⋅<-13k <<时，3k x <<；3k =时，空集；3k >时，3x k<<4、综合1、若集合{}21|21|3,0,3x A x x B xx ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A B ⋂是（）（A ）11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或（B ） {}23x x << （C ）122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ （D ）112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭2、不等式231x -<的解集为（）（A ）}}1{1{13xx x x <<⋃> （B ）}113x x ⎧<<⎨⎩（C ）{}10x x -<< （D ）{13x x ⎫<⎬⎭3、（2010全国卷2理数）不等式2601x x x ---＞的解集为（）（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 4、设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则ST = （）（A ）{}|75x x -<<- （B ）{}|35x x << （C ）{}|53x x -<< （D ）{}|75x x -<< 5、设21:20,:02xp x x q x +--<<-，则p 是q 的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件二、线性规划1、直线簇：1、（2010上海文数）满足线性约束条件23,23,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3.2、（2010全国卷2文数）若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

2019_2020学年高中数学课时作业19_20基本不等式(第一课时)北师大版必修5

课时作业(十九)(第一次作业)1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案 B2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b<0 B ．0<a b <1C.ab<a ＋b2D ．ab>a ＋b答案 C3．已知a≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤2答案 C4．如果log 3m ＋log 3n ＝4，那么m ＋n 的最小值是( ) A ．4 B ．18 C ．4 3 D ．9答案 B解析 ∵log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ＝log 334，∴mn ＝34. 又∵(m ＋n 2)2≥mn ，∴m ＋n≥18.5．已知x>1，y>1且lgx ＋lgy ＝4，则lgxlgy 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.14答案 A解析 ∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0.∴lgxlgy ≤(lgx ＋lgy 2)2＝4，当且仅当lgx ＝lgy ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．6．若a ，b ∈R 且a ＋b ＝0，则2a＋2b的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A7．设0<x<32，则函数y ＝x(3－2x)的最大值是( )A.916B.94 C ．2 D.98答案 D8．已知x ＋3y －2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是( ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．6 D ．7答案 D9．若a ＞0，b ＞0，且a≠b，则下列不等式中总能成立的是( ) A.2ab a ＋b ＞a ＋b 2＞ab B.a ＋b 2＞2aba ＋b ＞ab C.a ＋b 2＞ab ＞2ab a ＋bD.2ab a ＋b ＞ab ＞a ＋b 2 答案 C10．设x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝202，则lgx ＋lgy 的最大值为________．答案 2解析 202＝x ＋2y≥22xy ⇒xy ≤100，∴lgx ＋lgy ＝lg (xy)≤lg100＝2. 11．周长为l 的矩形对角线长的最小值为________．答案24l 12．若x>0，y>0，且x ＋4y ＝1，则x·y 的最大值为________．答案11613．若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________．答案 2 314．函数f(x)＝3＋lgx ＋4lgx (0<x<1)的最大值为________．答案－115．设0<x<2，求函数y ＝3x （8－3x ）的最大值．答案 416．(1)若x>0，求f(x)＝12x ＋3x 的最小值；(2)若x<0，求f(x)＝12x ＋3x 的最大值．答案 (1)12 (2)－1217．已知a>3，求a ＋4a －3的最小值．解析利用a>3的条件及结构式中一为分式，一为整式的特点配凑： a ＋4a －3＝(a －3)＋4a －3＋3≥2（a －3）·4a －3＋3＝7，等号在a －3＝4a －3即a ＝5时成立．讲评本题容易出现的错误解法为： ∵a>3，∴4a －3>0.∴a ＋4a －3≥2a ·4a －3.当a ＝4a －3，即a ＝4时，a ＋4a －3取最小值24aa －3＝8. 错解中没有找出定值条件，只是形式的套用公式．课时作业(二十) (第二次作业)1．下列各式中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba≥2a b ·b a＝2 B ．当a>1，b>1时，lga ＋lgb ≥2lgalgb C ．当a>4时，a ＋9a≥2a ·9a＝6 D ．当ab<0时，－ab －1ab ≤－2答案 B2．设0<a0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中可使b a ＋ab ≥2成立的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C4．若x ，y ∈R ，且x ＋2y ＝5，则3x＋9y的最小值( ) A ．10 B ．6 3 C ．4 6 D ．18 3答案 D解析 3x＋9y≥23x·9y＝2·3x ＋2y＝2·35＝18 3.5．设x>0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1答案 C解析 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．6．已知a>0，b>0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5答案 C解析 ∵a>0，b>0，∴1a ＋1b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab·2ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1且2ab＝2ab 时，取等号．故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4. 7．已知m ＝a ＋1a －2(a>2)，n ＝22－b 2(b≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m ＝n D ．不确定答案 A解析 ∵a>2，∴a －2>0. 又∵m＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2（a －2）×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞)，由b≠0，得b 2≠0，∴2－b 2<2. ∴22－b 2<4，即n<4.∴n∈(0，4)，综上易知m>n.8．已知正项等差数列{a n }的前20项和为100，则a 5·a 16的最大值为( )A ．100B ．75C ．50D ．25答案 D9．不等式a b ＋ba ＞2成立的条件是____________．答案 a·b＞0且a≠b10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．答案 2011．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x 2＋1y 2)·(1x 2＋4y 2)的最小值为________．答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy|＝22时等号成立． 12．我市某公司，第一年产值增长率为p ，第二年产值增长率为q ，这两年的平均增长率为x ，那么x 与p ＋q 2的大小关系是________．答案 x≤p ＋q213．已知x<54，求函数f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值．解析 ∵x<54，∴5－4x>0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－[(5－4x)＋15－4x ]＋3≤－2（5－4x ）×15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．故当x ＝1时，f(x)max ＝1.14．若x>1，求函数y ＝x2x －1的最小值．解析 y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等号成立．∵x>1，∴当x ＝2时，y min ＝4.15．已知3a 2＋2b 2＝5，求y ＝(2a 2＋1)(b 2＋2)的最大值．答案14716解析y＝(2a2＋1)·(b2＋2) ＝112·(6a2＋3)·(4b2＋8)≤112·(6a2＋3＋4b2＋82)2＝112·(212)2＝14716.。

高中数学课时作业20基本不等式新人教A版必修5

所以loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)，
所以m>p>n.
答案：m>p>n
7．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，
又a>0，所以a>1，
因为t>0，所以≥ ，
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
答案：②
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设a，b，c为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥4.
证明：因为a，b，c为正实数，
所以(a＋b＋c)·
＝[(a＋b)＋c]
＝1＋＋＋1≥2＋2＝2＋2＝4.
当且仅当＝，即a＋b＝c时，取等号．
所以(a＋b＋c)·≥4.
10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若f(x)＝x，a，b均为正数，P＝f，G＝f()，H＝f，则( )
A．P≤G≤H B．P≤H≤G
C．G≤H≤P D．H≤G≤P
解析：因为a，b均为正数，
所以≥＝≥＝，又因为f(x)＝x为减函数，所以f≤f()≤f，所以P≤G≤H.
14．设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由．
解析：因为a>0，b>0，
所以＋≥；
即≥(当且仅当a＝b时取等号)，
又2＝
≤＝.
所以≤ (当且仅当a＝b时等号成立)，

北师版数学高二北师大版必修5学案基本不等式

3．1 基本不等式明目标、知重点 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．1．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)． 2．基本不等式(1)如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)我们称a ＋b 2≥ab 为基本不等式，其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．探究点一基本不等式的证明思考1 如何证明x 2＋y 22≥xy ，“＝”成立的条件是什么？答对于任意实数x ，y ，(x －y )2≥0总是成立的，即x 2－2xy ＋y 2≥0，所以x 2＋y 22≥xy ，当且仅当x ＝y 时，“＝”成立．思考2 在思考1中，如果x ＝a ，y ＝b ，则由这个不等式可得出怎样的结论？如何用语言表述？分别代替a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b 会得到怎样的不等式？答得到a ＋b 2≥ab ，语言表述为：如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．思考3 不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？答不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．小结如果a ，b 都是非负数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．我们称这些不等式为基本不等式．探究点二基本不等式a ＋b2≥ab 的几何解释问题如下图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直AB 于Q ，连接AP ，PB .你能利用这个图形得出基本不等式a ＋b2≥ab 的几何解释吗？思考1 如何用a ，b 表示PQ 、OP 的长度？答由射影定理可知PQ ＝ab .而OP ＝12AB ＝a ＋b 2.思考2 通过线段OP 与PQ 的大小关系，你能得出怎样的不等式？答半径OP ＝a ＋b 2，显然，它大于或等于PQ ，即a ＋b2≥ab ，其中当且仅当点Q 与圆心O重合，即a ＝b 时，等号成立．小结基本不等式a ＋b 2≥ab 的几何意义是“半径不小于半弦”．在数学中，我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．探究点三基本不等式的应用例1 设a ，b 均为正数，证明不等式：ab ≥21a ＋1b . 证明因a ，b 均为正数，由基本不等式，可知1a ＋1b 2≥1ab，也即ab ≥21a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．反思与感悟在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 例2 已知x 、y 都是正数．求证：(1)x y ＋yx≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.证明 (1)∵x ，y 都是正数，∴x y >0，yx >0，∴x y ＋yx≥2 x y ·y x ＝2，即x y ＋y x≥2. 当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0， x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3. 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思与感悟在(1)的证明中把y x ，xy 分别看作基本不等式中的a ，b 从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2 已知a 、b 、c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc .例3 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．反思与感悟使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．跟踪训练3 设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2ab D.12答案 A解析由a ＋b ＝1，b >a >0，得1>b >12，0<a <12，∵b －(a 2＋b 2)＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0， ∴b >a 2＋b 2≥2ab ，即b 最大．1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 答案 C2．若0<a a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 答案 B解析 ∵a ＋b ＝3， ∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.4．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是________．(填序号) 答案 ①②③解析由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab，故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立． [呈重点、现规律] 1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)； (3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 均为正实数)； (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .一、基础过关1．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2答案 D解析由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c ) ＝24－23＝2(3－1)．∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 3．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.x ＋y ≥2 2 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 答案 B解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14答案 B解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2 b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为_______________________________．答案大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．答案 a ≤2解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立 ⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立． ⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1]恒成立∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，∴a ≤2.7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b>ab 答案 D 解析 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，B 成立；a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，C 成立；a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b ≤ab .9．设0<a <12答案 C解析 ∵0<a <10，－log b a ＞0， ∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.证明 ∵xy ＝1，x >y >0，∴x －y >0， ∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋ab ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. 三、探究与拓展13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，打印版高中数学 ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．。

高中数学 3.3.1 基本不等式课时训练北师大版必修5

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3.1 基本不等式课时训练北师大版必修5一、选择题 1．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5【解析】由基本不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．【答案】 C2．已知a >0，b >0，则下列不等式中错误的是( ) A ．ab ≤(a ＋b2)2B ．ab ≤a 2＋b 22C.1ab ≥2a 2＋b 2D.1ab≤(2a ＋b)2【解析】由基本不等式知A 、C 正确，由重要不等式知B 正确，由a 2＋b 22≥ab 得，ab≤(a ＋b2)2，∴1ab ≥(2a ＋b)2，故选D. 【答案】 D3．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤tD ．s <t【解析】 ∵b 2＋1≥2b ， ∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1. 【答案】 A4．已知f (x )＝(12)x ，a 、b 为正实数，A ＝f (a ＋b 2)，G ＝f (ab )，H ＝f (2ab a ＋b)，则A 、G 、H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A【解析】 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b＝2aba ＋b .当且仅当a ＝b 时等号成立．又∵函数f (x )＝(12)x是减函数，∴A ≤G ≤H . 【答案】 A5．(2013·衡水高二检测)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18【解析】由a ＋b ＝4，得ab ≤a ＋b 2＝42＝2，故C 错；由ab ≤2得ab ≤4， ∴1ab ≥14，故A 错； B 中，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错；由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22得a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8， ∴1a 2＋b 2≤18，D 正确．【答案】 D 二、填空题6．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c2的大小关系是________．【解析】 ∵a ＞b ＞c ， ∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴（a －b ）（b －c ）≤（a －b ）＋（b －c ）2＝a －c2.【答案】（a －b ）（b －c ）≤a －c27．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b2的大小关系为________．【解析】用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋x ＝（1＋a ）（1＋b ）≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2.当且仅当a ＝b 时等号成立．【答案】 x ≤a ＋b28．(2013·阜阳高二检测)设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋ba ≥2. 其中恒成立的不等式的个数是________．【解析】由重要不等式a 2＋b 2≥2ab 可知①正确； ②a 2＋b 22＝2（a 2＋b 2）4＝（a 2＋b 2）＋（a 2＋b 2）4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝（a ＋b ）24＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，故②正确；对于③，当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；令a ＝1，b ＝－1可知④不正确．【答案】 ①② 三、解答题9．已知x <0，求证：x ＋4x≤－4.【证明】由x <0，得－x >0， ∴(－x )＋4（－x ）≥2（－x ）×4（－x ）＝4，∴x ＋4x＝－[(－x )＋4（－x ）]≤－4.10．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b≥4.【证明】 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb＝1＋b a ＋ab ＋1 ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b 时“＝”成立． 11．设a 、b 、c 为正数，求证bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 【证明】 ∵a 、b 、c 均是正数， ∴bc a ，ca b ，abc均是正数，∴bc a ＋ca b≥2c ，ca b ＋abc ≥2a ， ab c ＋bca≥2b ，三式相加得2(bc a ＋ca b ＋abc)≥2(a ＋b ＋c )，∴bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .。

高中数学北师大版必修5 40分钟课时作业第三章不等式：3-3-26 基本不等式(三) 基本不等式的实际应用

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3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：10 万元)与营运年数 x(x∈ N＋)为二次函数的关系(如图)，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车营运的年数为( )
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第三章 §3 课时作业（26）
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8．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x＝__________吨．
答案：20
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9．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽 2 dm，左右空白各宽 1 dm，则四周空白部分面积的最小值是__________dm2.
x×14x 4
当且仅当 x＝14x4，即 x＝12 dm 时等号成立．答案：56
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三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10．(2012·西安高二检测)某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为 200 m2，高度一定的三段污水处理池(如图)．由于受地形限制，其长、宽都不能超过 16 m，如果池的外壁的建造费单价为 400 元/m，池中两道隔墙的建造费单价为 248 元/m，池底的建造费单价为 80 元/m2，试设计水池的长 x 和宽 y(x＞y)，使总造价最低，并求出这个最低造价．

高二数学北师大必修课时作业：基本不等式含解析

§3基本不等式3.1基本不等式一、非标准1.已知x,y∈R,下列不等关系中正确的是()A.x2+y2≥2|xy|B.x2+y2≤2|xy|C.x2+y2>2|xy|D.x2+y2<2|xy|解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立.答案:A2.下列结论中正确的是()A.若a,b∈R,则≥2=2B.若x>0,y>0,则lg x+lg y≥2C.若x<0,则x+≥2=4D.若a,b∈R,且ab<0,则=-≤-2=-2解析:选项A,B,C忽略了利用基本不等式求值的前提条件,只有选项D是正确的.答案:D3.若x>0,y>0,且,则必有()A.2x=yB.x=2yC.x=yD.x=4y解析:因为x>0,y>0,所以,即.又,所以必有,所以x=2y.答案:B4.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2,所以≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时等号成立.又cd≤,所以≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.答案:A5.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中,正确的是()A.log2a>0B.2a-b<C. D.log2a+log2b<-2解析:由于0<a<b,且a+b=1,所以ab<,所以log2a+log2b=log2(ab)<log2=-2.答案:D6.实数4和9的算术平均数为,几何平均数为.解析:算术平均数为=6.5,几何平均数为=6.答案:6.5 67.若a,b>0,则的大小关系是.解析:因为,所以.答案:8.设a>0,b>0,给出下列不等式:(1)≥4;(2)(a+b)≥4;(3)a2+9>6a;(4)a2+1+>2.其中恒成立的是.解析:∵a+≥2=2,b+≥2=2,∴≥4,当且仅当a=1,b=1时等号成立,故(1)正确;∵(a+b)=1+1+≥2+2·=4,当且仅当a=b>0时等号成立,故(2)正确;∵a2+9≥2=6a,当且仅当a=3时等号成立,故当a=3时,a2+9=6a,故(3)不正确;∵a2+1+≥2=2,当且仅当a2+1=即a=0时等号成立,又a>0,∴等号不成立,故(4)正确.答案:(1)(2)(4)9.求证:当x<0时,x+≤-2.解:因为x<0,所以-x>0,->0.所以(-x)+≥2=2,即-≥2.所以x+≤-2. 10.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≤2.解:∵,当且仅当a=时取等号, 同理:,当且仅当b=时取等号.∴(a+b)==2,当且仅当a=b=时取等号.∴≤2.。

高中数学北师大必修五活规范训练基本不等式含解析

§3 基本不等式3.1 基本不等式双基达标 (限时20分钟)1．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是 ( )．A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3 解析 3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当3x ＝3y 即x ＝y ＝52时取等号．答案 D2．设a ＞0，b ＞0，下列不等式中，不正确的是 ( )．A ．a 2＋b 2≥2|ab | B. b a ＋a b≥2 C. b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D .1a ＋1b ≤1a ＋b解析 A 、B 显然正确；C 中b 2a ＋a 2b－(a ＋b ) ＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a 2－2ab ＋b 2)ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ；D 中1a ＋1b －1a ＋b ＝(a ＋b )2－ab ab (a ＋b )＝a 2＋b 2＋ab ab (a ＋b )＞0，∴1a ＋1b ＞1a ＋b ，∴D 不正确．答案 D3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( )．A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析 ∵a ＋b ＝2，∴(a ＋b )2＝4，∴2(a 2＋b 2)＝a 2＋a 2＋b 2＋b 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥2.答案 C4．若a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________．解析 ∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解之a ＋b ≥6，当且仅当 a ＝b ＝3时取等号．答案 [6，＋∞)5．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≤2；④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是________．解析由基本不等式可知①④正确．答案 26．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明 ∵ a ＋12＝ 1·⎝⎛⎭⎫a ＋12≤1＋a ＋122＝34＋a 2， b ＋12＝ 1·⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1＋b ＋122＝34＋b 2， ∴ a ＋12＋ b ＋12≤34＋34＋12(a ＋b )＝2 (当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”)．综合提高（限时25分钟）7．下列结论正确的是 ( )．A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x最小值为2 D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值答案 B8．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个数大于1”的条件是 ( )．A ．②③B ．①②③C ．③④⑤D ．③解析 ③显然合适．①中令a ＝23，b ＝23，②中a ＝b ＝1，④中a ＝－3，b ＝0，⑤中a ＝－1，b ＝－4.答案 D9．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，∵a ＞2，∴a －2＞0，∴m ≥2 (a －2)·1a －2＋2 ＝4，即m ∈[4，＋∞)．∵b ≠0，∴b 2≠0，∴2－b 2＜2，∴2a －b 2＜4，即n ＜4，∴m ＞n .答案 m ＞n10．下列不等式的证明过程：(1)若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2 b a ·a b＝2； (2)若x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y ；(3)若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2 |x |·4|y |； (4)若a ，b ∈R ，ab ＜0，则b a ＋a b＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－b a ＋⎝⎛⎭⎫－a b ≤－2 ⎝⎛⎭⎫－b a ·⎝⎛⎭⎫－a b ＝－2. 其中正确的序号是________．解析 ①②③都错在符号上．答案 ④ 11．设a ，h 分别为△ABC 的底边和高，且满足ah ＋4a ＋h ＝12，求△ABC 的面积S 的最大值．解因为a ，h ＞0，所以4a ＋h ≥24ah ＝4ah .所以由原式可得ah ＋4 ah ≤12，即(ah )2＋4ah －12≤0.所以－6≤ah ≤2，又ah ＞0，所以0＜ah ≤2，当4a ＝h 时，有a ＝1或a ＝－3(舍去)，即当a ＝1时，取等号，此时ah 有最大值2.所以当a ＝1，h ＝4时，S △ABC 的面积最大值为2.12．(创新拓展)求证：log 0.5⎝⎛⎭⎫14a ＋14b ≤a ＋b －1.证明因为14a ＋14b ≥2 14a ·14b＝2·2－a ·2－b ＝2－(a ＋b －1)＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b －1，又因为y ＝log 0.5x 为减函数，所以log 0.5⎝⎛⎭⎫14a ＋14b ≤log 0.5⎝⎛⎭⎫12a ＋b －1＝a ＋b －1，14a＝14b，得a＝b时，等号成立．当且仅当。

高中数学 3.3.1 基本不等式课时作业北师大版必修5

3.1 基本不等式课时目标1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )； (2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b2B.abC.a 2＋b 22D.2aba ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n 3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <14．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 26．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3二、填空题7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.§3 基本不等式 3．1 基本不等式答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝基本 a ＋b2ab 3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥作业设计1．D [方法一特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b 2＝3，ab ＝8， a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2aba ＋b最小．方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，可知2aba ＋b最小．] 2．A [∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .] 3．B [∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，又∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 22.]4．D [因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0a ＋b 2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2，∴b 最大．]6．B [x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max .∵x ＋1x≥2，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2.]7．大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0， ∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)． 9．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a，∴1a ≤x ＋1x＋3.∵x >0，x ＋1x＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc≥2b ，三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c.∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －c a －b ＋a －b b －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －b b －c ≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c ) ＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.13．C [只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx 即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.]14．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ，1b ＋1c ≥2 1bc＝2a ， 1c ＋1a≥21ac＝2b ，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。

2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业：第三章

课时作业 20 二元一次不等式(组)与平面区域
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上
D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系
解析：因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M 与原点在直线l 的异侧，故选B.
答案：B
2．如图，阴影部分是下列哪个二元一次不等式表示的平面区域( )
A ．x －y ＋1<0
B ．x －y ＋1>0
C ．x －y ＋1≤0 D．x －y ＋1≥0
解析：由题图可知原点在二元一次不等式所示的区域内，把原点代入检验知A ，C 错误．又图中所示区域不包括边界，故选B.
答案：B
3．(黑龙江鸡西19中月考)不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋5 x ＋y ≥00≤x ≤3
表示的平面区域是
( )
A ．矩形
B ．三角形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
解析：作出平面区域如图，所以平面区域为等腰梯形．
平面区域为一个三角形及其内部，三个顶点的坐标分别为×1＝4
3
.
(5,0)，且其斜率为－2，小于直线
直线y＝a(x＋1)表示过点
即B(3,3)，由斜率公式可得
3
与区域D有公共点需a≤
，区域在直线BC的右下方，故，区域在直线AC的左下方，故。

2020学年高中数学课时分层作业20二元一次不等式(组)与平面区域(含解析)北师大版必修5(最新整

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课时分层作业（二十)(建议用时：60分钟)［基础达标练]一、选择题1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( ）A．左上方B．右上方C．左下方D．右下方D[将(0，0)代入2x－y－6，得－6〈0,(0，0）点在不等式2x－y－6〉0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．］2．已知点（a，2a－1）既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧,则a的取值范围是( ) A．（2，＋∞）B．(5,＋∞）C．（0,2) D．（0,5)D[因为(a，2a－1)在直线y＝3x－6的上方，所以3a－6－(2a－1）<0。

即a〈5。

又（a,2a－1）在y轴右侧，所以a>0.所以0<a<5。

]3．不等式组错误!表示的平面区域内整点的个数是（）A．2个B．4个C．6个D．8个C［画出可行域后,可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有（0，0）,（1,0），(1,1)，(2，0)，（2，1），（3，0)共6个．］4．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是( ）C［原不等式等价于(x＋y）(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域（包括边界)，故选C。

2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业：第3章不等式 20

§20 一元二次不等式时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．不等式x 2－2x －3>0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－1} B ．{x |x >1或x <－3} C ．{x |－1<x <3} D ．{x |－3<x <1}2．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．2x 2－3x ＋2＞0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2＜0 D ．－2＋3x －2x 2＞03．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，则M ∩N 为( ) A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7} B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7} C ．{x |x ≤－2或x ＞3} D ．{x |x ＜－2或x ≥3}4．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A. m <－2或m >2 B. －2<m <2 C. m ≠±2 D. 1<m <35．若t >2，则关于x 的不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A. {x |1t<x <t }B. {x |x >1t 或x <t }C. {x |x <1t或x >t } D. {x |t <x <1t}6．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2、3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．不等式x 2－x －2<0的解集是________．8．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1＜0}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则M ∩N ＝________. 9．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c ＝________. 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．设A ＝{x |2x 2－41x ＋20<0，x ∈Z }，B ＝{x |x ≥a }，且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．11.(1)求函数y＝－6x2－5x＋6的定义域．(2)若函数f(x)＝－4x2＋20x－23的定义域由不等式－x2－x＋12≥0的解集来确定，求函数f(x)的最大值和最小值．设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围．(2)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜－m＋5恒成立，求x的取值范围．一、选择题 1．A2．D A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x ＞－2＋22或x ＜－2－22}，用排除法得选D.3．A M ＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x ＜－2或x ＞3}，再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案．4．A ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2. 5．A ∵t >2，∴t >1t，∴(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0⇔1t<x <t .6．C 由已知得a (x ＋2)(x －3)>0，∵a <0，∴(x ＋2)(x －3)<0，∴－2<x <3. 二、填空题 7．{x |－1＜x ＜2}解析：原不等式可以变化为(x ＋1)(x －2)＜0，可知方程x 2－x －2＝0的解为－1和2，所以，原不等式解集为：{x |－1＜x ＜2}． 8．{x |－1＜x ＜4且x ≠13}解析：由－9x 2＋6x －1＜0，得9x 2－6x ＋1＞0.所以(3x －1)2＞0，解得x ≠13，即M ＝{x |x ∈R 且x ≠13}．由x 2－3x －4＜0，得(x －4)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜4，即N ＝{x |－1＜x ＜4}．所以M ∩N ＝{x |－1＜x ＜4且x ≠13}．9．－5解析：由题意知方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝3，∴由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－1＋3＝b5，x 1·x 2＝(－1)·3＝c5.∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.三、解答题10．∵A ＝{x |2x 2－41x ＋20<0，x ∈Z }＝{1,2,3，…，19}，A ∩B ＝∅，所以a >19，a 的取值范围是a >19.11．(1)[－32，23]；(2)由－x 2－x ＋12≥0⇒－4≤x ≤3，而函数f (x )＝－4(x 2－5x )－23＝－4[(x －52)2－254]－23＝－4(x －52)2＋2，∴当x ＝52时，f (x )max ＝2，当x ＝－4时，f (x )min ＝－167.12．(1)要求mx 2－mx －1＜0恒成立．当m ＝0时，显然恒成立；当m ≠0时，应有m ＜0，△＝m 2＋4m ＜0，解之得－4＜m ＜0.综合两种情况可得m 的取值范围为－4＜m ≤0.(2)将f (x )＜－m ＋5变换成关于m 的不等式：m (x 2－x ＋1)－6＜0.则命题等价于：m ∈[－2,2]时，g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6＜0恒成立．∵x 2－x ＋1＞0，∴g (m )在[－2,2]上单调递增．∴只要g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6＜0，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.这就是所求的x 的取值范围．。

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课时作业20 基本不等式
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b
【答案】 A
【解析】由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C
【解析】 xy ≤x 2＋y 2
2＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.
3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝1
2(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b
2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．
又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b
2， ∴lg a ＋b 2>1
2(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1
x ≥2 B.x 2＋2
x 2＋2≥ 2
C.x 2＋3x 2＋4≥2
D ．2－3x －4
x ≥2
【答案】 B
【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1
x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2
x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．
而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2
＋4－1x 2＋4
，
当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝3
2<2，显然选项C 不正确．
D 项中取x ＝1,2－3x －4
x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b
2
B ．a <ab <a ＋b
2<b
C ．a <ab <b <a ＋b
2 D.ab <a <a ＋b
21，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg b
C ．当a ∈R 时，a ＋9
a ≥2
a ×9a ＝6
D ．当ab <0时，－ab －1
ab ≤－2 【答案】 B
【解析】选项A 中，可能b
a <0，所以A 不正确；选项C 中，当a <0时，a ＋9
a <0，所以C 不正确；选项D 中，当a
b <0时，－ab >0，－1
ab >0，则－ab －1
ab ≥2，
当且仅当－ab ＝－1
ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确；很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，
则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．
7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1
y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，7]
B ．(－∞，7)
C ．(7，＋∞)
D ．[7，＋∞)
【答案】 B
【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x
y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝x
y ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b
2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．
【答案】 A ≥G
【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b
2≥ab >0，∴A ≥G .
9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________．【答案】 (0，1
4]
【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，
∴ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝1
4. 当且仅当a ＝b ＝1
2时，等号成立． ∴ab 的最大值为1
4.
10．已知0<α<π，则2sin α＋1
2sin α的取值范围是________．【答案】 [2，＋∞)
【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋1
2sin α≥2
2sin α×1
2sin α＝2，
当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝1
2时，等号成立． ∴2sin α＋1
2sin α的最小值为2.
11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2
n 的取值范围为________．
【答案】 [8，＋∞)
【解析】由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n >0，
所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2
n 的最小值为8.
三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(14分)设实数a 使a 2
＋a －2>0成立，t >0，比较1
2log a t 与log a t ＋12
的大小．
【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，
∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝1
2log a t ， ∴1
2log a t ≤log a t ＋12.
13．(15分)已知y ＝x ＋9
x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9
x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；
(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9
－x ]≤－6(当且仅当x
＝－3时取等号)，即y ≤－6，
∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.
14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1
a －1＝a ＋
b ＋
c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。