平行线知识点汇总(实用型)
平行线知识点总结
平行线知识点总结一、基本概念:1. 平行线:在同一平面内,且不相交的两条直线称为平行线。
符号表示为“//”。
2. 平行线的性质:平行线的性质主要有以下几点:a. 两条平行线上的任意一对对应角相等。
b. 与两个平行线被截下的同位角相等。
c. 与两个平行线被截下的内错角互为补角。
二、证明平行线的方法:1. 直线与直线的平行关系可以通过以下几种方式进行证明:a. 直线的夹角相等:两条直线的夹角相等时,可以证明这两条直线是平行的。
b. 直线的垂直关系:两条互相垂直的直线是平行的。
c. 三线共点:如果一条直线上的两个点分别与另外两条直线上的两对应点共线,那么这两条直线平行。
2. 线段上的平行关系可以通过以下几种方式进行证明:a. 两个线段相等或成比例:如果两个线段的长度相等或成比例,那么这两个线段平行。
b. 两个线段同时垂直于第三条直线:如果两个线段同时垂直于第三条直线,那么这两个线段是平行的。
c. 逆否命题证法:如果两个线段不平行,那么它们必然相交。
三、平行线的应用:1. 利用平行线证明几何定理:平行线可以用来证明很多几何定理,如等腰三角形的性质、角平分线定理等等。
2. 利用平行线解决实际问题:在实际的生活和工作中,我们常常会遇到利用平行线解决问题的情况,比如在道路建设、房屋建筑等方面的应用。
四、相关定理:1. 逆定理:如果两直线上的对应角相等,则这两直线平行。
2. 线面平行定理:如果两个直线与同一平面的一条直线平行,则这两个直线互相平行。
3. 平行线的性质:例如角的对应性质、同位角性质、内错角性质等。
4. 平行线的补角定理:两条直线被平行直线截下的两对内角互为补角。
上面所提到的知识点是关于平行线基本概念、证明方法、应用及相关定理的简要介绍。
在学习平行线的过程中,我们需要深入理解这些概念和相关定理,并掌握正确的证明方法,这样才能更好地应用平行线知识解决实际问题。
平行线是基础几何中非常重要的内容,因此我们需要认真学习并掌握这些知识点,为以后的学习和工作打下良好的基础。
高三数学平行线知识点
高三数学平行线知识点平行线是几何学中的重要概念,经常在高中数学的学习中出现。
平行线的性质和应用在解决直线和平面几何问题时起着关键作用。
本文将介绍高三数学平行线的知识点,包括平行线的定义、性质和相关定理。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义,如果两条直线不相交且在同一个平面内,我们可以推断这两条直线是平行线。
Symbol: ||二、平行线的性质1. 平行线具有相同的斜率。
斜率是指直线上任意两个点之间的垂直距离与水平距离的比值。
如果两条直线具有相同的斜率,那么它们是平行线。
2. 平行线的夹角是相等的。
两条平行线与同一条直线相交时,它们与该直线的夹角是相等的。
这是因为平行线的夹角可以看作是同位角或内错角,根据几何学常理,它们应该相等。
3. 平行线之间的距离是恒定的。
对于平行线上的任意一点,它到另一条平行线的垂足的距离是恒定的。
这个距离被称为线段的长度或者线段的垂足,可以通过平行线之间的距离公式来计算。
4. 平行线的对应角相等。
如果两条平行线被一条横截线所交,那么对应角是相等的。
这个性质被称为平行线内错角定理,对于解决关于平行线的角度问题非常有用。
三、平行线的相关定理1. 平行线定理:如果两条平行线被一条横截线所交,那么对应角、同位角和内错角都是相等的。
2. 平行线判定定理:如果两条直线与第三条直线中的任意一条平行,则这两条直线也是平行线。
3. 平行线的垂直性质:如果一条直线与平行线相交,那么与这条直线垂直的另一条直线也与平行线垂直。
四、平行线的应用平行线的概念和性质在解决直线和平面几何问题时有广泛的应用。
以下是一些平行线应用的例子:1. 证明两条直线平行。
可以利用平行线的性质来证明两条直线是否平行,从而解决几何证明问题。
2. 计算角度。
通过平行线夹角相等定理,可以根据已知角度求解未知角度。
3. 证明三角形相似。
当两个三角形中的对应角度相等且对应边平行时,可以利用平行线定理证明两个三角形相似。
平行线及特殊平行线知识点(经典完整版)
平行线及特殊平行线知识点(经典完整版)平行线及特殊平行线知识点(经典完整版)一、平行线的定义平行线是在同一个平面内,永不相交的两条直线。
它们的特点是无论延长多远,永远不会相交。
二、平行线的判定方法1. 直线与直线之间的判定:- 对于两条直线,如果它们的斜率相等且不相交,则它们是平行线。
- 如果两条直线之间的夹角为180度,则它们是平行线。
2. 直线与平面之间的判定:- 如果一条直线与平面上的两条平行线夹角相等,则该直线与该平面上的其他直线平行。
三、特殊平行线知识点1. 平行线与垂直线的关系:- 如果两条直线互相垂直,则它们不可能是平行线。
2. 平行线与转角线的关系:- 转角线是指连接平行线之间的相应角的一条直线。
在平行线之间,对应、内、外角分别是相等角、对顶角、内分相等角。
3. 平行线与平行四边形的关系:- 平行线确定的两组对应线段相等,可以得到平行四边形。
- 平行四边形的特点是对边平行且相等,对角线相交于一点,并且互为对角的内角相等。
四、应用举例1. 地图上的直线道路,如果两条道路是平行的,可以通过平行线的性质找到最短路径。
2. 建筑设计中的平行线可以用来确定平行墙壁、天花板等构造。
3. 平行线的概念在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
总结:平行线是不会相交的两条直线,可以通过斜率的相等性或夹角的关系判定平行线。
平行线的特殊知识点包括与垂直线、转角线和平行四边形的关系。
平行线的应用广泛,涉及到地图导航、建筑设计等领域。
通过掌握平行线的知识,可以更好地理解和应用几何学的概念。
初中数学知识点:平行线
初中数学知识点:平行线
初中数学知识点:平行线
导语:学习是一个边学新知识边巩固的过程,对学知识一定要多加计划,这样才能进步,下面是小编为大家整理的初中数学的常考知识点,欢迎阅读,仅供参考,更多相关的知识,请关注CNFLA学习网
1、定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
说明:也可以说两条射线或两条线段平行,这实际上是指它们所在的直线平行。
2、平行线的判定:
(1)同位角相等,两直线平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补两直线平行。
3、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
说明:要证明两条直线平行,用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时,则应用性质定理。
4、如果一个角的.两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角_________________.
5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角_____________。
初中数学平行线知识点归纳总结(二)2024
初中数学平行线知识点归纳总结(二)【引言】平行线是初中数学的重要知识点之一,它主要涉及到平行线的定义、性质以及与角、相交线等几何图形的关系。
本文将对初中数学平行线知识点进行归纳总结,帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
【正文】1. 平行线的定义- 两条直线在同一平面内,且不相交,那么它们就是平行线。
- 平行线符号:∥2. 平行线的性质- 平行线上的任意两条线段之间的距离是相等的。
- 平行线与一个非其上的点连线所得的所有角都相等。
- 平行线与另一直线的相交角之和等于180°。
- 平行线与平行线之间的夹角相等。
3. 平行线与角的关系- 对顶角与平行线:若平行线被一条横截线所截,那么所截得的对顶角是相等的。
- 同位角与平行线:若平行线被一条横截线所截,那么所截得的同位角是相等的。
- 内错角与平行线:若平行线被两条横截线所截,那么所截得的内错角互补(和为180°)。
- 相间角与平行线:若平行线被两条横截线所截,那么所截得的相间角互补(和为180°)。
4. 平行线与相交线的关系- 同位线与平行线:若两条平行线被一条横截线所截,那么所截得的同位线互相平行。
- 辅助线与平行线:在解决几何问题时,我们可以通过引入辅助线的方式来利用平行线的性质进行推导和求解。
5. 平行线的简单应用- 利用平行线的性质证明几何关系。
- 利用平行线的性质求解几何问题,如长度比较、面积计算等。
【总结】初中数学中的平行线知识点主要包括平行线的定义、性质以及与角、相交线的关系。
掌握这些知识点,能够帮助我们更好地解决几何问题,进行证明和计算。
通过本文的归纳总结,希望能对同学们的学习和理解有所帮助。
初三平行线知识点以及经典例题
初三平行线知识点以及经典例题平行线是初中数学中的重要概念之一。
本文将介绍初三学生需要掌握的平行线的知识点,并提供几个经典例题供大家练。
知识点1. 平行线定义:如果两条直线在同一个平面内,且没有交点,那么它们被称为平行线。
平行线可以用符号"// "表示。
平行线定义:如果两条直线在同一个平面内,且没有交点,那么它们被称为平行线。
平行线可以用符号"// "表示。
2. 平行线的判定方法:以下是几种判定平行线的方法:平行线的判定方法:以下是几种判定平行线的方法:- (a) 两条直线的斜率相等,且不重合。
- (b) 两条直线之间的对应角相等。
- (c) 一条直线与另一平行线的任意直线交角为180°。
3. 平行线的性质:平行线具有以下性质:平行线的性质:平行线具有以下性质:- (a) 平行线之间的距离在每个交点处相等。
- (b) 平行线之间的夹角为0°,即平行线之间没有夹角。
- (c) 平行线与同一直线相交的角被称为"同位角",同位角的对应角相等。
经典例题例题1已知AB//CD,AB=6cm,BC=4cm,EF=5cm,求EF的长度。
例题2已知直线l与平行线m及n相交,交角1为120°,求交角2的度数。
例题3已知直线k与平行线p及q相交,交角a为40°,求交角b的度数。
例题4已知平行四边形ABCD中,AB=10cm,BC=6cm,求AD的长度。
以上是初三平行线知识点以及经典例题的介绍。
希望能对初三学生理解和掌握平行线有所帮助。
七年级平行线知识点总结
七年级平行线知识点总结
平行线作为数学中的重要概念,常常出现在初中阶段的学习中。
在七年级数学中,平行线的概念被引入并且深入学习,本文将对
七年级平行线知识点进行总结。
一、平行线的定义
平行线是指在同一平面内,没有交点且始终保持相同距离的两
条直线。
记作AB//CD。
二、平行线的判定方法
1.同位角相等法:若一条直线与另一直线所构成的同位角相等,则这两条直线是平行线。
2.平行线的性质:两条直线分别与另一条直线交点连线,若这
两个交点的同位角相等,则这两条直线是平行线。
3.平行四边形性质:对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三、平行线的性质
1.平行线上的任意两点之间的距离相等。
2.平行线上的同位角相等。
3.平行线分别与另一条直线交点连线,这两个交点的同位角相等。
4.平行线构成的平行四边形,
(1)对边相等,
(2)对角线互相平分。
四、平行线的应用
在实际应用中,平行线的概念经常被使用。
1.利用平行线解决垂线问题。
2.平行线作为建筑、道路等设计中的基本元素。
3.运用平行线解决数学题目,如解决角度问题等。
总之,平行线是数学中的重要概念,也是后续学习的基础。
掌握平行线的定义、判定方法、性质和应用,有助于我们更好地理解相关知识,并且在实际生活中更好地应用数学。
初一数学平行线的知识点归纳
引言概述:初中数学是学习数学的重要阶段,其中平行线是一个重要的概念和知识点。
在初一阶段,学生首次接触到平行线的概念和性质,理解和掌握这些知识对于进一步学习几何和解题能力的培养至关重要。
本文将对初一数学中关于平行线的知识点进行归纳和总结,以便学生更好地理解和掌握这一概念。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义:两条直线在同一平面内,如果它们不相交,那么它们是平行线。
2. 平行线的性质:a. 平行线具有传递性:如果直线A与直线B平行,直线B 与直线C平行,那么直线A与直线C也平行。
b. 平行线具有对称性:如果直线A与直线B平行,那么直线B与直线A也平行。
c. 平行线具有共线性:如果两条平行线与第三条直线相交,那么交角1和交角2是相等的。
二、平行线的判定方法1. 用角的对应关系判定平行线:a. 同位角相等定理:如果两条直线被一条直线所截,同位角相等,则这两条直线是平行的。
b. 内错角相等定理:如果两条直线被第三条直线所错开,内错角相等,则这两条直线是平行的。
c. 外错角相等定理:如果两条直线被第三条直线所错开,外错角相等,则这两条直线是平行的。
2. 用平行线的性质判定平行线:a. 平行线的传递性:通过已知的平行线,结合传递性,可以判断其他直线与已知直线是否平行。
b. 平行线的对称性:通过已知的平行线,结合对称性,可以判断其他直线与已知直线是否平行。
三、平行线与角的关系1. 同位角和内错角与平行线的关系:a. 同位角:当两条直线被一条直线所截,同位角是对应的角,即对位于同一位置的两条直线交叠形成的角。
对于平行线,同位角是相等的。
b. 内错角:当两条直线被第三条直线所错开,内错角是错开的两条直线形成的内角。
对于平行线,内错角是相等的。
2. 外错角与平行线的关系:a. 外错角:当两条直线被第三条直线所错开,外错角是错开的两条直线形成的外角。
对于平行线,外错角是相等的。
四、平行线与平行四边形的性质1. 平行四边形的定义:有四条边的四边形,使得其中两对边平行。
平行线知识点
平行线知识点
平行线是两条重合的虚线,即这两条虚线以及它们的扩展线在相邻任何两点之间的距离都相等。
因此,平行线满足两个重要的特点:1)它们的斜率是相同的;2)它们的扩展线以及它们的对应虚线之间的间距一定是相同的。
关于平行线的定义,可以从四种角度来分析:
(1)赋值法:如果两条直线具有相同的斜率,那么它们就是平行线。
(2)隔离法:如果两条直线之间没有其他直线连接它们,那么它们就是平行线。
(3)矩阵法:如果两直线的系数都是相同的,那么它们就是平行线。
(4)坐标轴构造法:如果沿着平面直角坐标系重建两条直线,那么如果它们在垂直于坐标系的每一个轴方向上的投影都是一致的,那么这两条直线就是平行线。
七年级关于平行线的知识点
七年级关于平行线的知识点平行线是初中数学中重要的概念之一,也是一个较难理解的概念。
在初中阶段,学生需要通过系统学习来掌握平行线的知识。
本文将为您介绍平行线的知识点。
一、平行线的定义平行线是指在同一平面内没有交点的两条直线。
平行线的定义可以表述为:如果在同一平面内,两条直线没有交点,那么这两条直线是平行的。
二、平行线的判定方法1.欧几里得几何学公设法:如果在同一平面内,一条直线与另一条直线的某个内角的补角加起来等于直角,那么这两条直线是平行的。
2.平行线判定定理:如果在同一平面内,两条直线上的任意两个内角互补,那么这两条直线是平行的。
三、平行线的性质1. 平行线具有唯一性。
在同一平面内,通过一点可以有且只有一条直线与另一条直线平行。
2. 平行线所截直线的对应角相等。
即在同一平面内,被平行线所截的两条交线上,对应角相等。
3. 平行线所截平行线,对应角相等。
即在同一平面内,被两条平行线所截的两条交线上,对应角相等。
四、平行线与图形1. 平行四边形:在同一平面内,如果两对边平行,则为平行四边形。
2. 直角梯形:在同一平面内,如果一组对边都平行,且有一组对边垂直,则为直角梯形。
3. 等腰三角形:在同一平面内,如果两边分别相等的三角形中,底边的平行线相交,则为等腰三角形。
五、平行线问题解答步骤1. 读题分析,明确问题。
2. 画图,根据题意绘制图形。
3. 理解题意叙述,找出已知条件,根据已知条件寻找解题方法。
4. 解题,根据已知条件和解题方法求解未知数据。
5. 检查答案,用已知条件重新检验答案的正确性。
六、小结本文介绍了平行线的定义、判定方法、性质以及与图形相关的知识点,同时提供了平行线问题的解答步骤。
掌握平行线的基本知识,是数学学习的基础,也是后续几何学科的前提。
希望本文能为初中生的数学学习提供帮助。
跟平行线有关的知识点总结
跟平行线有关的知识点总结一、平行线的定义在欧几里得几何中,两条直线被定义成平行的条件是它们在同一平面上且永远不相交。
平行线之间的距离在任意两点上始终相等。
通常用符号“//”来表示两条线平行的关系。
两条平行线可以有两种不同的走向:同方向平行和反方向平行。
同方向平行指两条平行线的方向相同,反方向平行则相反。
在三维空间中,两条平行线可以不在同一个平面上。
这意味着,如果两条直线不在同一个平面上但它们在所有平面上都不相交,那么它们也被认为是平行线。
二、平行线的性质1. 平行线之间的垂线关系垂线是两条相交线的交叉点处垂直相交的线。
如果两条直线是平行线,那么它们与这两条平行线的直线一定是垂线。
这意味着,平行线之间的任意垂线的角度关系为直角。
这个性质在很多几何问题中都有重要的应用。
2. 平行线之间的角度关系平行线之间的角度关系是平行线的一个重要性质。
当一对平行线被一条横穿的线所交叉时,它们之间的对应角、内错角、同位角等角度关系有很多特殊的性质。
例如,对应角相等、内错角相等、同位角互补等等。
这些性质在解决角度计算、证明等问题时经常用到。
3. 平行线的延伸如果一条直线与两条平行线相交,那么这条直线与这两条平行线的关系也是平行的。
这意味着,即使直线和平行线的一部分在同一平面上,另一部分在不同平面上,但它们依然保持平行的关系。
4. 平行线的倾斜度在数学中,平行线的倾斜度也是一个重要的概念。
如果两条平行线的斜率相等,那么它们就是平行线。
这为计算平行线的问题提供了简单的方法。
5. 平行线的标志平行线通常使用符号“//”来表示。
在数学中也会使用一些其他的标记来表示平行线,比如在图形中加上相同数量的箭头,或者在两条平行线上标上相同的字母或符号等等。
三、平行线的应用1. 平行线在测量和建模中的应用在实际的测量和建模中,平行线的性质经常被用来计算长度、角度和形状等问题。
例如在建筑设计中,平行线的性质可以用来保证建筑的结构和外观。
在地理测量中,平行线的性质可以用来测量距离和方向等问题。
(完整版)平行线知识点+四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法l:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称:同位角相等,两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称:内错角相等,两直线平行,判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称:同旁内角互补,两直线平行,如上图:若已知∠1=∠2,则AB∥CD(同位角相等,两直线平行);若已知∠1=∠3,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行);若已知∠1+ ∠4= 180°,则AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).另有平行公理推论也能证明两直线平行:平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质.性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称:两直线平行,同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:两直线平行,内错角相等性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称:两直线平行,同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧,在AB、CD内部“铅笔”模型结论1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°;结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型(M模型)点P在EF左侧,在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP;结论2:若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧,在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明(1)已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. (2)已知∠P=∠AEP+∠CFP,求证AE∥CF.(3)已知AE∥CF,求证∠P=∠AEP-∠CFP.(4)已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1(1)如图,a∥b,M、N分别在a、b上,P为两平行线间一点,那么∠l+∠2+∠3= .(2)如图,AB∥CD,且∠A=25°,∠C=45°,则∠E的度数是.(3)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE =140°,则∠BCD= .(4) 如图,射线AC∥BD,∠A= 70°,∠B= 40°,则∠P= .练(1)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C= 20°,则∠EAB的度数为.(2) 如图,AB∥CD,∠B=30°,∠O=∠C.则∠C= .例2如图,已知AB ∥DE ,BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ,求∠C 、 ∠F 的关系.练如图,已知AB ∥DE ,∠FBC =n 1∠ABF ,∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ; (2)若n =3,试探宄∠C 、∠F 的关系;(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 (用含n 的等式表示).例3如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC.求证:∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图,己知AB∥DE,BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE,求∠C、∠F的关系.例4如图,∠3==∠1+∠2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D= 180°.练(武昌七校2015-2016 七下期中)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于E,AE⊥DE,∠l+∠2= 90°,M、N分别是BA、CD的延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为().A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图,直线AB∥CD,∠EF A= 30°,∠FGH= 90°,∠HMN=30°,∠CNP= 50°,则∠GHM= .练如图,直线AB∥CD,∠EFG=100°,∠FGH=140°,则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°,∠BCD=45°,∠CDE =30°,∠E=l0°,求证:AB∥EF.练已知AB∥EF,求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l),已知MA1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠A n,∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系.(2)如图(2),己知MA1∥NA4,探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4,∠B1、∠B2之间的关系.(3)如图(3),已知MA1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系.如图所示,两直线AB∥CD平行,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.。
九年级数学平行线知识点
九年级数学平行线知识点在九年级的数学学科中,平行线是一个非常重要的概念。
平行线的性质和应用不仅可以帮助我们解决现实生活中的许多问题,同时也为我们打下了进一步学习几何学的基础。
本文将详细介绍九年级数学中与平行线相关的知识点,包括平行线的定义、判定方法、性质、平行线与三角形以及平行线的应用。
1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面上任意两条永远不会相交的直线。
换句话说,这两条直线之间的距离在任意一点处都是相等的。
平行线的符号表示为“||”。
2. 平行线的判定方法有很多方法可以用来判定两条直线是否平行,下面是一些常用的方法:(1) 对应角相等:如果两条直线被一条横截线切分成了两组对应的内角,且这些对应角相等,则这两条直线是平行的。
(2) 同位角相等:如果两条直线被一条截线切分成了一组同位角,且这些同位角相等,则这两条直线是平行的。
(3) 内错角相等:如果两条直线被一条截线切分成了两组错位的内角,且这些内错角相等,则这两条直线是平行的。
3. 平行线的性质平行线有一些基本的性质,下面是其中的几个:(1) 平行线与平面内任意一条截线的内错角互补。
(2) 平行线之间不存在角。
(3) 平行线与平面内的直线相交时,所产生的对应角、同位角、内错角等性质依然有效。
4. 平行线与三角形平行线在三角形中起着重要的作用。
下面是一些与平行线相关的三角形性质:(1) 三角形内部平行线分割定理:如果在一个三角形中,有一条直线平行于另外两条边,那么这条直线将会分割出一个大小相似的三角形。
(2) 四边形的对角线平行定理:如果一个四边形的一对对角线互相平行,那么这个四边形的对边也是平行的。
(3) 三角形的平行边长定理:如果在两个三角形中,它们的底边分别平行,并且两个底边的长度比相等,那么这两个三角形是全等的。
5. 平行线的应用平行线在现实生活中有许多应用场景,下面是其中的几个例子:(1) 房屋建筑:建筑师在设计房屋时,需要考虑墙壁、地板、天花板等是否平行或垂直。
5.2.2平行线的判定知识总结(实用含解析)
5.2.2平行线的判定知识点总结1、平行线的概念在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“‖”表示,如“AB‖CD”,读作“AB平行于CD”。
同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。
注意:(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
简称:同位角相等,两直线平行。
平行线的两条判定定理:(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。
简称:内错角相等,两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。
简称:同旁内角互补,两直线平行。
补充平行线的判定方法:(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
公理:同位角相等,两直线平行。
定理1:内错角相等,两直线平行。
条件2:同旁内角互补,两直线平行。
注:这三个判定都是由角的数量关系(相等或互补)来确定直线的位置关系(平行)的,因此能否找到两直线平行的条件,关键是能否正确地找到或识别出同位角,内错角或同旁内角。
补充平行线的判定方法:(1)平行于同一条直线的两条直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
定理1:两直线平行,同位角相等。
定理2:两直线平行,内错角相等。
定理3:两直线平行,同旁内角互补。
定理:平行于同一条直线的两条直线平行复习提纲1、平行线判定定理1:同位角相等,两直线平行。
如下图所示,只要满足∠1=∠2(或者∠3=∠4;∠5=∠7;∠6=∠8),就可以得到AB//CD。
2、平行线判定定理2:内错角相等,两直线平行。
平行线及特殊平行线知识点(经典完整版)
平行线及特殊平行线知识点(经典完整版)
1. 平行线的定义
平行线是指在同一个平面上,永不相交的两条直线。
2. 平行线的判定条件
两条直线平行的判定条件有以下几种方法:
- 双曲线法:如果两条直线与第三条直线的交点分别为A、B 和C,且∠ABC = 180°,则AB与AC平行。
- 锐角法:如果两条直线分别与第三条直线的交点分别为A、B 和C,且∠CAB为锐角,则AB与AC平行。
- 平行线定理:如果两条直线被一条横向直线截断时,截断线上的对应角相等,则这两条直线平行。
3. 特殊平行线的性质
平行线有许多特殊性质,其中一些重要的性质为:
- 同位角性质:当一条截断线与两条平行线相交时,同位角相等。
- 内错角性质:当两条平行线被一条截断线截断时,内错角相等。
- 垂直平行线性质:两条平行线分别与一条横向直线相交,那
么它们分别与这条横向直线的垂直线也是平行的。
4. 平行线的应用
平行线在几何学和工程学中具有广泛的应用,包括但不限于以
下几个方面:
- 基础几何证明:平行线经常在几何证明中用于推导其他性质
和定理。
- 直角判定:通过观察两条直线是否平行来判断是否存在直角。
- 建筑与设计:在建筑和设计领域中,平行线被用于绘制平行
的墙壁、地板和天花板。
以上是关于平行线及特殊平行线的经典知识点,希望对您有所
帮助。
*注意:本文档中的内容仅供参考,详细信息请参考相关权威
教材或确认之后再引用。
*。
《平行线》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《平行线》全章复习与巩固(基础)知识讲解【学习目标】1. 熟练找出“同位角、内错角、同旁内角”;2. 区别平行线的判定与性质,能用性质和判定解决综合问题;3. 通过具体实例认识平移,理解平移的性质;4. 会运用平行线和平移的知识解决有关的简单问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行线的定义及三线八角1.平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.要点诠释:(1)平行线定义中包含三层含义:在同一平面内、不相交、两条直线.(2)基本事实:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.2.三线八角:要点二、平行线的判定和性质1.平行线的判定判定方法1:同位角相等,两直线平行.判定方法2:内错角相等,两直线平行.判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.要点诠释:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:(1)平行线的定义:在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.(2)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行(平行线的传递性).(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.(4)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.2.平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补.要点诠释:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有:(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.3.两条平行线间的距离如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释:(1)两条平行线间的距离处处相等.(2)初中阶级学习了三种距离:两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.(3)“垂线段”与“距离”的关系:垂线段是一个图形,距离是线段的长度,是一个量,它们之间不能等同. 要点三、图形的平移定义:一个图形沿某个方向移动,在移动的过程中,原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离,这样的图形运动叫做图形的平移.要点诠释:平移的性质:(1)平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.(2)一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.【典型例题】类型一、平行线的定义及三线八角1. (乌兰察布校级期中)a、b、c是平面上任意三条直线,交点可以有()A.1个或2个或3个B.0个或1个或2个或3个C.1个或2个D.都不对举一反三:【变式】如图,在正方体中:(1)找出与线段AB平行的线段:_________;(2)找出与线段AB相交的线段:______.2.如图,已知直线a、b被直线c所截. 图中八个角共有组同位角,组内错角,组同旁内角.举一反三:【变式】观察下图并填空:(1) ∠1 与是同位角;(2) ∠5 与是同旁内角;(3) ∠1 与是内错角.类型二、平行线的判定和性质3.如图,已知∠ADE = ∠B,∠1 =∠2,那么CD∥FG吗?并说明理由.举一反三:【变式】如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.4.如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( ).A.180°B.270°C.360°D.540°举一反三:【变式】如图所示,如果∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°,则AB与EF的位置关系.类型三、图形的平移5.如图(1),线段AB经过平移有一端点到达点C,画出线段AB平移后的线段CD.举一反三:【变式】(福州自主招生)如图,4根火柴棒形成象形“口”字,只通过平移火柴棒,原图形能变成的汉字是()A. B. C. D..类型四、综合应用6.如图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,它们的宽都是2,求草地部分的面积(阴影部分)有多大?【巩固练习】一、选择题1.下列图中,∠1和∠2是对顶角的有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示是同位角关系的是().A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在3.(春•鄂城区月考)下列语句正确的有()个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,且c∥b④若直线a∥b,b∥c,则c∥a.A.4 B.3 C.2 D.14.∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角,那么∠1和∠2的大小关系是().A.∠1=∠2 B.∠1>∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定5.如图所示中,不能通过基本图形平移得到的是().6.一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B点出发向南偏西15°方向走到C点,那么∠ABC等于().A.75°B.105°C.45°D.135°7.下列说法中,正确的是().A.过点P画线段AB的垂线.B.P是直线AB外一点,Q是直线AB上一点,连接PQ,使PQ⊥AB.C.过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.D.过一点有且只有一条直线平行于已知直线.8.如果在同一平面内有两个图形甲和乙,通过平移,总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何),则甲和乙是().A.两个点B.两个半径相等的圆C.两个点或两个半径相等的圆D.两个能够完合重合的多边形二、填空题9.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB、CD于G、H两点,若∠1=50°,则∠EGB=________.10.(盐津县校级月考)平行用符号 表示,直线AB 与CD 平行,可以记作为 .11.每天小明上学时,需要先由家向东走150米到公共汽车站点,然后再乘车向西900米到学校,每天小明由家到学校移动的方向是________,移动的距离是________.12. (大庆校级自主招生)如图,点E 在AC 的延长线上,对于给出的四个条件: (1)∠3=∠4;(2)∠1=∠2;(3)∠A=∠DCE ;(4)∠D+∠ABD=180°. 能判断AB ∥CD 的有 个.13.如图,已知AB ∥CD ,CE ,AE 分别平分∠ACD ,∠CAB ,则∠1+∠2=________.14.同一平面内的三条直线a ,b ,c ,若a ⊥b ,b ⊥c ,则a________c .若a ∥b ,b ∥c ,则a________c .若a ∥b ,b ⊥c ,则a________c .15. 如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西 .16.如图所示,AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,DE ⊥BC 于点E ,能表示点到直线(或线段)的距离的线段有 条.三、解答题17.(滨湖区校级期末)把图中的互相平行的线写出来,互相垂直的线写出来:18.如图所示,已知∠1=∠2,AC 平分∠DAB ,你能推断哪两条线段平行?说明理由.19.如图,在一块长为a 米,宽为b 米的长方形地上,有一条弯曲的柏油马路,马路的任何地方的水平宽度都是2米,其它部分都是草地.求草地的面积.北 北 甲 乙20.如图所示,点P是∠ABC内一点.(1)画图:①过点P画BC的垂线,垂足为D;②过点P画BC的平行线交AB于点E,过点P画AB的平行线交BC于点F.(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?。
初中数学:平行线知识点归纳总结
初中数学:平行线知识点归纳总结初中数学:平行线知识点归纳总结
一、平行线的定义:在同一平面内,永不相交的两条直线叫做平行线. 如:AB平行于CD,写作AB∥CD
二、平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
推论(平行线的'传递性):平行同一直线的两直线平行.
∵a∥c,c∥b
∴a∥b.
三、平行线的判定
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单说成:同位角相等,两直线平行.
2.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单说成:内错角相等,两直线平行.
3.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 简单说成:同旁内角互补,两直线平行.
4.在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.
5、平行线间的距离,处处相等.
6、如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
四、平行线的性质
1.两条平行被第三条直线所截,同位角相等.
简单说成:两直线平行,同位角相等.
2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
简单说成:两直线平行,内错角相等.
3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
今天的内容就介绍到这里了。
平行线及其判定知识点总结
平行线及其判定知识点1:平行线的定义及平面内两直线的位置关系定义:在同一平面内,的两条直线叫做平行线,直线a,b平行,记作。
在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系: 。
说明1(1)在同一平面内,两条直线的位置关系只有平行与相交两种,若没有特别说明,“重合”视为一条直线。
(2)平常所说的“两条射线平行,两条线段平行”都是指它们所在的直线平行(3)平行线的定义有三个特征:一是在同一平面内;二是两条直线;三是不相交。
三者缺一不可。
例题:下列说法中,正确的是()A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.若直线a∥b,b∥c,则a∥eD.若两条线段不相交,则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、平行公理的推论来判断【解析】A选项中缺少“在同一平面内”这个条件,故A选项错误。
若没有其条件限制,一条直线的平行线有无数条,故B选项错误。
平行于同一直线的两条直线平行,故C选项正确。
根据平行线的定义可知D选项错误.故选C知识点2:平行公理平行公理:经过一点.有且只有一条直线与这条直线平行。
(注意:①平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,它和垂线的性质不同②“有且只有"强调直线的存在性和唯一性)如图,经过直线a外一点P,能且只能画出一条直线与直线a平行·Pa例题:下列说法正确的是()A.在同一平面内,过直线外一点有一条直线与已知直线平行B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条线段与已知线段平行D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直【解析】A选项中“在同一平面内”这个条件,不影响后半向的对错。
“过直线外一点有一条直线与已知直线平行”说的是存在性,即过直线外一点肯定有一条直线与已知直线平行,故A选项正确。
B选项错误,因为若经过直线上一点,则没有直线与已知直线平行。
C选项错误,道理同B选项。
D选项错误,因为缺少“在同一平面内”这个大前提,D选项中结论不成立,如图,AB,BC,BD是正方体的三条棱,它们两两垂直,且都经过点B,若把AB看作已知直线,则经过点B有两条直线BC,BD与已知直线AB垂直知知识点3:平行公理的推论平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也。
平行线及其判定知识点总结、例题解析
平行线及其判定知识点总结、例题解析知识点1【平行线】在同一平面内,不重合的两条直线的只有两种位置关系:平行和相交。
1、平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.记作:a∥b;读作:直线a平行于直线b.2、平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤:①落:用三角板的一条斜边与已知直线重合②靠:用直尺紧靠三角板的一条直角边③推:沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点④画:沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行3、平行线公理及推论(1)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.注意区别垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法,在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用。
如果a∥b,b∥c,那么a∥c。
【例题1】下列叙述正确的是()A、两条直线不相交就平行B、在同一平面内,不相交的两条线叫做平行线C、在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线D、在同一平面内,不相交的两条线段叫做平行线【答案】C【例题2】在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系有()A、平行或垂直B、平行或相交C、垂直或相交D、平行、垂直或相交【答案】B【例题3】下列说法中正确的序号有_______①一条直线的平行线只有一条:②过一点与已知直线平行的直线只有一条:③因为a∥b,c∥d,所以a∥d:④经过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行【解析】①一条直线有无数条平行线;②必须过直线外一点,如果点在直线上,会出现重合。
【答案】④【例题4】下列说法:①过两点有且只有一条直线;②两条直线不平行必相交;③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;④过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
其中正确的有()。
A、1个;B、2个;C、3个;D、4个。
【解析】②③需在同一平面内,④过直线外一点【答案】A知识点2【平行线的判定】(1)判定方法1:两条直线被第三条所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称:同位角相等,两直线平行.∵∠3=∠2∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)(2)判定方法2:两条直线被第三条所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称:内错角相等,两直线平行.∵∠1=∠2∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)(3)判定方法3:两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称:同旁内角互补,两直线平行.∵∠4+∠2=180°∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行判定方法补充:①两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.②在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.【例题5】如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:①∠1=∠5:②∠1=∠7:③∠2+∠3=180°:④∠4=∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是()A、①②B、①③C、①④D、③④【答案】A【例题6】如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是()A、∠1=∠3B、∠2=∠3C、∠4=∠5D、∠2+∠4=180°【答案】B【例题7】如图,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1=∠2,求证:AB∥CD【答案】∵∠1=∠2∴2∠1=2∠2,即∠ABC=∠BCD∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)【例题8】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠CDA,BE、DF分别是∠ABC和∠ADC 的平分线,求证:BE∥DF【解析】想要证明EB∥DF,根据平行钱的判定方法,只要证明∠AEB=∠ADF即可【答案】证明:∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBC∵∠ABC=∠ADC,BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线∴∠EBC=∠ADF∴∠AEB=∠ADF∴EB∥DE【例题9】已知,如图,EF⊥EG,GM⊥EG,∠1=∠2,AB与CD平行吗?请说明理由【答案】解:AB∥CD。
平行线知识点汇总(实用型)
相交线和平行线知识点总结在平面不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系:相交与平行。
在初中,我们会更加深入地研究角度的关系。
角度的关系和直线的位置关系密切相关。
相交线一、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:相关测试:(1)若三条直线交于一点,则共有对顶角(平角除外)( )A.6对B.5对C.4对D.3对(2)下列各图中,1∠与2∠是对顶角的是( )(3)直线AB 、CD 相交于点O ,⑴如果100AOC BOD ∠+∠=o ,那么____AOD ∠=o;⑵如果BOC AOC ∠∠比 的2倍大30o ,那么___AOC ∠=o两线垂直 ⑴定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作: 如图所示:AB ⊥CD ,垂足为O⑵垂线性质1:在同一平面,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)A B C DO⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:垂线段最短。
相关测试:(1)如图,点O 是直线CD 上一点,AO OB ⊥,2AOD BOC ∠=∠,求BOC ∠的度数.(2)三角形ABC 中,90C ∠=o ,6AC =cm ,8BC =cm,10AB =cm.那么点B 到直线 AC 的距离是___________,A 、B 两点的距离是________.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段⑵两点间距离与点到直线的距离⑶线段与距离三.平行线1、平行线的概念:同一平面两条直线的位置关系有两种 1.相交;2.平行在同一平面,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b。
附:判断同一平面两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:①有且只有一个公共点,两直线相交;②无公共点,则两直线平行;③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线2、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行3、平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行如左图所示,∵b ∥a ,c ∥a∴b ∥c注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
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相交线和平行线知识点总结
在平面不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系:相交与平行。
在初中,我们会更加深入地研究角度的关系。
角度的关系和直线的位置关系密切相关。
相交线
一、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
相关测试:
(1)若三条直线交于一点,则共有对顶角(平角除外)( )
A.6对
B.5对
C.4对
D.3对
(2)下列各图中,1∠与2∠是对顶角的是( )
(3)直线AB 、CD 相交于点O ,
⑴如果100AOC BOD ∠+∠=o ,那么____AOD ∠=o
;
⑵如果BOC AOC ∠∠比 的2倍大30o ,那么___AOC ∠=o
两线垂直 ⑴定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作: 如图所示:AB ⊥CD ,垂足为O
⑵垂线性质1:在同一平面,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(与平行公理相比较记)
A B C D
O
⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:垂线段最短。
相关测试:
(1)如图,点O 是直线CD 上一点,AO OB ⊥,2AOD BOC ∠=∠,求BOC ∠的度数.
(2)三角形ABC 中,90C ∠=o ,6AC =cm ,8BC =cm,10AB =cm.那么点B 到直线 AC 的距离是___________,A 、B 两点的距离是________.
如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段
⑵两点间距离与点到直线的距离
⑶线段与距离
三.平行线
1、平行线的概念:同一平面两条直线的位置关系有两种 1.相交;2.平行
在同一平面,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b。
附:判断同一平面两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线
2、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
3、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵b ∥a ,c ∥a
∴b ∥c
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三
条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、错角与同旁角。
如图,直线b a ,被直线l 所截
①∠1与∠5在截线l 的同侧,同在被截直线b a ,的上方,
叫做同位角(位置相同) ②∠5与∠3在截线l 的两旁(交错),在被截直线b a ,之间(),叫做错角(位置在且交错)
③∠5与∠4在截线l 的同侧,在被截直线b a ,之间(),叫做同旁角。
a b c
a b
l
1 2 3 4 5 6 7 8
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;错角是“Z”型;同旁角是“U”型。
相关练习:
一、选择题:
1.在同一平面,两条不重合直线的位置关系可能是( )
A.平行或相交
B.垂直或相交;
C.垂直或平行
D.平行、垂直或相交
2.下列说确的是( )
A.经过一点有一条直线与已知直线平行
B.经过一点有无数条直线与已知直线平行
C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3.在同一平面有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4.下列说确的有( )
①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面,两条直线的位置关系有两种;
③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二.填空题
1.若AB∥CD,AB∥EF,则_____∥______,理由是__________________.
2.在同一平面,若两条直线相交,则公共点的个数是________;•若两条直线平行,则公共点的个数是_________.
3.同一平面的三条直线,其交点的个数可能为________.
4.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L平行,则A,•B,C三点________,理论根据是___________________________.
5.两条直线平行,它们的交点个数是_______.
6.平行用符号“______”表示,直线AB与CD的平行,可以记作_______.
7._______,______的两条直线叫做平行线.
8.在同一平面,两条直线的位置关系有_____和______两种.
三、解答题变式训练:
1.已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么?
四.平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,错角相等;
性质3:两直线平行,同旁角互补。
几何符号语言:
∵AB ∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,错角相等)
∵AB ∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等) ∵AB ∥CD
∴∠4+∠2=°(两直线平行,同旁角互补)
2、两条平行线的距离
如图,直线AB ∥CD ,EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
注意:直线AB ∥CD ,在直线AB 上任取一点G ,过点G 作CD 的垂线段GH ,则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。
相关练习:
1.命题“垂直于同一直线的两直线平行”这个命题对不对________(写对错)
2. 如图1,直线,直线与 相交.若,则.
图1 图2 图3
A B C D E
F 1 2 3 4 A E
G B C F
H D
3、如图2,已知则______.
4、如图3 ,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C=______
5、如图4,已知,,,则.
图4 图5 图6 6、如图5所示,请写出能判定CE∥AB的一个条件.
7、如图6,已知,=____________
8 如图10,,分别在上,为两平行线间一点,
那么()
图10
五、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 简称:同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果错角相等,那么这两条直线平行
简称:错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁角互补,那么这两条直线平行 简称:同旁角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB ∥CD (同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2 ∴ AB ∥CD (错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=°
∴ AB ∥CD (同旁角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
平行线的判定是写角相等,然后写平行。
注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或错角“相等”或同旁角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
相关习题
如图,AD=CD ,AC 平分∠DAB ,求证DC ∥AB .
A B C D E
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六、平行的常见模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧,在AB、CD部“铅笔”模型结论1:若∥,则∠+∠+∠=3 60°;
结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型(M模型)
点P在EF左侧,在AB、CD部“猪蹄”模型结论2:若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
·
点P在EF左侧,在AB、CD外部
“骨折”模型结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.。