数学史之危机与公理化体系
数学史上的三次危机促进了数学的理性进步
数学史上的三次危机促进了数学的理性进步无理数的发现──第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？──第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
数学的三次危机
数学的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。
这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。
第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。
在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。
他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。
然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。
按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。
但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。
这次危机的成因可以归结为以下几点。
首先，当时的数学观念和认知存在局限性。
人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。
其次，数学的推理和证明体系还不够完善。
在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。
第一次数学危机的影响是深远的。
它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。
数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。
第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。
微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。
然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。
例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。
无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。
造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。
一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。
科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。
另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。
对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。
数学史上的三次危机
数学大世界・高中版2005 第7/8期数学史话数学史上的三次危机江苏苏州市木渎二中 母建军 丁 勇 无理数的发现———第一次数学危机大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论.当时的毕达哥拉斯学派重视对自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”,在其中追求宇宙的和谐规律性.他们认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比.毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形,如直角边长均为1的直角三角形就是如此.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根基,从而产生了第一次数学危机.到了公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了.他的处理不可通约量的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中.今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处.第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击.这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之整数及其比却可以由几何量表示出来,整数的权威地位开始动摇,而几何学的地位升高了.危机也表明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从此希腊人开始重视演绎推理,并由此建立了几何公理体系,这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命!无穷小是零吗?———第二次数学危机18世纪,微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用,大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的.1734年,英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》,矛头指向微积分的基础———无穷小的问题,提出了所谓贝克莱悖论,他指出:“牛顿在求x n的导数时,采取了先给x以增量Δx,应用二项式(x+Δx)n,从中减去x n以求得增量,并除以Δx以求出x n的增量与x的增量之比,然后又消去Δx,这样得出增量的最终比.这里牛顿做了违反矛盾律的假设:先设x有增量Δx,又令增量Δx为零,也即假设x没有增量.”他认为无穷小量dx既等于零又不等于零,召之即来,挥之即去,这是谬论,“dx为逝去量的灵魂”.无穷小量究竟是不是零?无穷小量及其分析是否合理?由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,导致了数学史上的第二次危机.18世纪的数学思想的确是不严密的,只管强调形式的计算而不管基础的可靠.其中特别是:没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念也不清楚,无穷大概念不清楚,以及发散级数求和的任意性,符号的不严格使用,不考虑连续就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等.直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础.从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了严格的基础.(下转第41页)数学大世界・高中版2005 第7/8期故当co sα=13时t 有最小值,易得cot α=24,sin α=223代入(2)式,得t min =50+1002秒.【例2】 用总长14.8米的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做的容器底面的一边长比另一边长多0.5米,那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.解:设该容器底面矩形一边长为x 米,另一边长为x +0.5米,易得长方体容器的高h =14.8-4x -4(x +0.5)4=3.2-2x故长方体的容积为V (x )=x (x +0.5)(3.2-2x )=-2x 3+2.2x 2+1.6x ,(0<x <1.6)由V ′(x )=(-2x 3+2.2x 2+1.6x )′=-6x 2+4.4x +1.6=0得x 1=1,x 2=-415(不合题意,舍去)因为V (x )在0<x <1.6内只有一个极值,而实际问题又必有最大容积,故当x =1时即高h =3.2-2×1=1.2时容器的容积V (x )最大且为V (1)=-2+2.2+1.6=1.8m3通过上述二个例子我们可以看出,在解决实际问题关键在于建立适当的函数模型,把“问题情境”译成数学语言,把问题的主要关系数量化、形式化,然后再选择适当的数学方法求解.对于实际问题中的优化问题,目标函数常出现高次多项式、分式函数、无理函数或简单的指数对数函数及它们的复合函数形式,我们均可用导数法求最值,使解答过程简单化.(上接第80页)悖论的产生———第三次数学危机数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度,这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的.由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑.1897年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论.两年后,康托发现了很相似的悖论.1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念.罗素悖论曾被以多种形式通俗化,其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境.理发师宣布了他的这样一条原则:给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸.当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:理发师是否自己给自己刮脸?如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么就不符合他的原则.罗素悖论使整个数学大厦动摇了,无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道:“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地.”于是他终结了近12年的刻苦钻研.承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质.尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失.现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的,所以,第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地在以其他形式延续着.。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为qp/的形式，也就是说不存在作为公共量度单位的线断。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如，,22,8,62等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1．数学已由经验科学变为演绎科学；2．把证明引入了数学；3．演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学，绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。
它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。
悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。
本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。
1第一次数学危机及成因1.1危机介绍第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
1.2危机成因分析毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。
这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。
希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。
数学史上的三次危机及其解决
论数学史上的三次数学危机学号：100521026 姓名：付东群摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。
历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。
数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。
危机的产生、解决，又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论；引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。
数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。
数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。
无理数的发现，微积分和非欧集合的创立，乃至费马定理的证明......这样的例子在数学史上不胜枚举，他们可以帮助人们了解数学创造的完美过程。
对这种创造的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。
第一次数学危机（无理数的产生）第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
(一)、危机的起源毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。
（二）、危机的解决由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。
噶米数学史上的三次危机
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
数学史上的三次危机及其解决
论数学史上的三次数学危机及解决温艳肖（数学与应用数学 201310238）指导老师：刘俊先摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。
历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。
数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。
危机的产生、解决，又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论；引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。
数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。
数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。
无理数的发现，微积分和非欧集合的创立，乃至费马定理的证明。
这样的例子在数学史上不胜枚举，他们可以帮助人们了解数学创造的完美过程。
对这种创造的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。
第一次数学危机（无理数的产生）第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
(一)、危机的起源毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。
（二）、危机的解决由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。
三次数学危机
数学史上的三次危机的产生与消除时间:2012-07-20 13:28来源:未知作者:admin 点击: 420 次摘要：在数学发展的过程中, 人的认识是不断深化的. 在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性。
当一种“反常”现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时，我们就说数学发生了危机。
在历史上，数学曾发生过三次危机，这三次危机，从产生到消除，经历的时间各不相同，都极大地推动了数学的发展，成为数学史上的佳话。
关键词：数学危机、无理数、微积分、集合论、分子集第一次数学危机——无理数的发现第一次数学危机产生于公元前五世纪。
那时，古希腊的毕达哥拉斯学派发现：正方形边与对角线是不可通约的，现在称之为“比达哥拉斯悖论”。
公元前五世纪,，古希腊毕达哥拉斯学派的门人希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边和斜边不可公度，即以直角边边长为单位, 度量其对角线长（设为x），其结果不能用整数的比表示。
因为由勾股定理得：x^2=2, 可以证明，对任何正整数p，q，( q，p) =1, 都有x≠q/p。
事实上，若x=q/p，则q^2/p^2=2, 即q^2=2p^2。
故设q为偶数，令q=2n( n∈Z+) ，则( 2n) ^2=2p^2,，所以p^2=2n^2，故p也为偶数，这与( p，q) =1矛盾。
第一次数学危机持续了两千多年。
十九世纪，数学家哈密顿(Hamilton) 、梅雷(Melay) 、戴德金(Dedekind) 、海涅(Heine) 、波雷尔(Borel) 、康托尔(Cantor) 和维尔斯特拉斯(Weietstrass) 等正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类———实数，并建立了完整的实数理论。
无理数的一个完全令人满意的理论直到1872年才提出，当时戴德金（J．W．Dedekind1831-1916）出版了著名的论文《连续性与无理数》。
这里的技术细节与我们无关。
数学危机
数学危机前述：何为数学危机一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。
在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
1，第一次数学危机简介第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。
这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
出现背景毕达哥拉斯学派从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验有理数的定义整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数0的右边，负整数在0的左边。
数学史上的三次危机
以 形 通 化。 名 是 素 被 多种 式 俗 。 中 化 其 最著 的 罗 于 1919 年 出 给 境。 的 它涉 到 村 发 的 境。 发 宣 了 ， 及 某 理 师 困 理 师 布 这样 条 一 原 则 他给 有 给 己 脸 人刮 ， 且， 给村 这 ： 所 不 自 刮 的 脸 并 ， 且 只 里 样 时， 的 刮脸 当 们 图回 下 人 。 人 试 答 列疑 时 就 识 问 ， 认 到了 种 这 情 脸？ 果 不 况 悖 性质 "理发 是 自 给自 刮 ？ 如 他 给 的 论 ： 理发 师 否 己 己 脸 "如 自 刮脸 那 他 原则 该 己 ， 么 按 就 为自 刮 ； 果 己 脸 如 他给 己 自 刮 原则。 脸 那 他就 符 ， 么 不 合他 原则 的 。 了。 罗 悖 使 个数 大 动 了。 怪 弗 素 论 整 学 厦 摇 无 乎 雷格 收 在 到 的《 则》 罗 的信 后 在 刚 出 的《 术 基 法 》 ２ 素 之 ， 他 要 版 算 的 本 则 第 卷 末 写 ：一 科 家 会 尾 道 " 位 学 不 碰到 这 难 的 情 ， 在 比 更 堪 事 了 即 之时 了， 工 完成 时 它 基 垮 了， 本 等 印 作 之 ， 的 础 掉 当 书 待 出的 候 时 ， 罗 先 的 封 把 置 这 境 "。 是 结 近 12 年 素 生 一 信 我 于 种 地 于 终 了 研。 的 刻苦 研。 钻
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数学史上的三次危机
数学史上的三次危机数学史上的三次危机数学，一直以来被视为完美的学科，其严密性和精确性使其成为科学领域中不可或缺的一部分。
然而，在数学发展的历史中，也曾出现了一些危机，这些危机在当时给数学发展带来了危机和挑战，同时也促进了数学的进一步发展。
本文将介绍数学史上的三次危机。
一、欧几里得的几何第五公设的危机欧几里得的几何学被誉为数学的经典之一，其《几何原本》一书是数学史上的重要著作之一。
在几何学中，第五公设曾给欧几里得的几何学带来了极大的困扰。
第五公设即欧几里得互异公设，它表述为：通过点外一直线上的一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。
第五公设表明了直线是永远不接近的，并且得到了广泛的认可。
然而，在欧几里得时代之后，这一公设被证明存在问题：第五公设不能从其他的公设中推导出来，故其并不是基本公设之一。
这一问题被称为欧几里得几何学的第五公设危机。
在十九世纪，对第五公设进行了广泛的探究和研究，最终发现几何学并非只有欧几里得几何一种形态，而且在非欧几何学中，也可以建立独立的公设，而且可以在这些公设的基础上推导出与欧几里得几何学不同的结论。
二、无穷的危机无穷在数学中一直是一个重要的概念，在数学的发展中，无穷也曾带来了不少的问题和困扰。
十九世纪初，数学家们对狄利克雷级数进行了研究，这些级数在数学上存在一些人们无法解决的问题，比如说，对于一些狄利克雷级数，其和似乎可以按照任意数值来指定。
一个明显的例子是1 - 1 + 1 - 1 +…这个级数显然没有收敛值，因为无论加上还是减去一个1，它的和都不会发生变化。
因此，许多数学家为了避免这类问题的出现，尝试将无穷作为一个不可达到的限制。
然而，这种被限制的观点导致了数学在某些方面的停滞。
对于无穷的概念和理解，人们渐渐地摆脱这样的限制，开始主张在数学中应该采用更广泛的思想，这一思想成为了20世纪数学研究的基础。
三、集合论的危机集合论是数学中一个不可或缺的概念，在数学研究中发挥了至关重要的作用，然而，尽管在今天看来集合论是异常清晰明确的，但在19世纪末和20世纪初，集合论曾经引起过一场危机。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机摘要①公元前580～568年之间，希帕索斯发现了第一个无理数√2，促使了第一次数学危机的发生。
而后，在几何学中引进了不可通约量，使欧式几何变得更加完善。
②大约在公元前450年，莱布尼茨提出“无穷小量是零还是非零”促使了第二次数学危机的发生。
而后，柯西提出极限理论，使微积分更完善。
③十九世纪下半叶，罗素悖论的提出，促使了第三次数学危机的发生。
而后，弗芝克尔改进策梅罗的七条公理得出ZF公理系统，使得集合论得到了发展。
关键词危机无理数无穷小罗素悖论正文数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。
是在人类长期的实践活动中产生和发展的。
发源于计数和度量，随着生产力的发展，越来越多地要求对自然现象作定量研究；同时由于数学自身的发展，使其具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的适用性。
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。
它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。
因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，它常常被人们认为是自然科学中发展得最完善，最具有严谨的逻辑性的一门学科，但是在数学的发展史中，人们为了使数学更快的向前发展，从而引入一些新的东西使问题得到化解，在这样的基础上，引发了三次危机。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊。
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
数学历史上三大危机
数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。
其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。
这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。
一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。
自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。
然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。
这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。
无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。
为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。
无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。
二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。
在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。
然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。
例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。
为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。
19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。
极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。
三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。
19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。
然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。
数学史上的三大数学危机
a
d
t
a mt
d nt
5
实例
① 形数（表示图形所用点的个数）
6
三边形数 四边形数 五边形数
六边形数
3
4
5
6
6
9
12
15
10
16
22
28
15
25
35
45
1 3 (2n 1) n2
1 5 (4n 3) 2n2 n
1 2 n n(n 1) 2
1 4 (3n 2) n(3n 2) 2
实数理论—极限理论—微积分。 而“历史顺序”则正好相反。
29
三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光——集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何 的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和 极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的 理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更 为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的 基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。 人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
34
罗素悖论是：以 M表示“是其本身成员的
所有集合的集合”（所有异常集合的集合），
而以 N表示“不是它本身成员的所有集合的集
合”（所有正常集合的集合），于是任一集合
或者属于M ，或者属于 N ，两者必居其一，且
只居其一。然后问：集合N 是否是它本身的 成员？（集合 N 是否是异常集合？）
35
如果 N 是它本身的成员，则按 M 及 N 的定 义，N 是 M 的成员，而不是 N 的成员，即N 不
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
2
我们要求物体在t 0
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下面的讨论都是在阿基米德公理 成立的假设下展开的. 主要讨论实数的连续性 (也称为完备性).
现代认为, 数轴上的点与实数集合是一一对应的. 这是 因为 实数集合不但有稠密性, 而且有连续性. 实数的连续 性形象地说, 就是实数的全体把数轴填满了. 若将实数域拆分成两个均非空的集合 A 和B, 满足条件: (1) 每一个实数必落在集合A 和B 中的一个集合中, 且仅一个 集合中; (2) 集合A 中的每一个数 a 小于集合B 中的每一个数 b. 我们将这样的拆分叫做分划, 记为 A B . 集合A 称为分划的下 组, 集合B 称为上组.
(2) 数学抽象的提出. 他们认为, 从实物的数和形抽象到 数学上的数和形, 是思维的抽象, 从而把数学推向了科学. (3) 毕达哥拉斯定理. 这就是中国称之为的勾股定理.在 西方文献中一直以毕达哥拉斯命名. Δ 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说 “万物皆数”学说的要点. (1) 数是世界的法则, 一切都可以归结为整数比. 毕达哥 拉斯学派 所说的数是指自然数, 即正整数, 同时还包含 它们的比, 即正分数
一件事是, 1874年德国数学家魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass, 1815-1897)构造了一个点点连续但点点不 可导的函数 另一件事是, 德国数学家黎曼 (B. Riemann, 18261866)发现, 柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的. 黎曼证明了被积函数不连续,其定积分也可能存在. 他还 造出一个函数, 当自变量取无理数时它是连续的, 当自变 量取有理数时它是不连续的. 魏尔斯特拉斯的贡献: 一方面是建立了关于实数系的理 论, 另一方面是创造了精确的“ε-δ” 语言来定义极限. 设函数 f(x) 在 x0 的附近有定义, 如果有一个确定的实 数 A, 对 0, 0, 使当 0 x x0 时, 恒有
罗素悖论 先给出两个术语. 设A 是一个集合. 若A 是A 中的一元, 则 集合A 称为异常集合; 若A 不是A 中的一元, 则集合A 称为 正常集合. 例如, 若 A 是所有集合的集合, 则 A 本身还是一 个集合, 于是 A 是异常集合. 又如, 若 A 是所有人的集合, 则作为集合的 A 并不是人, 于是 A 是正常集合. 罗素悖论说, 以 M 表示所有异常集合的集合, 以 N 表示 所有正常集合的集合, 于是任一集合或者属于 M 或者属于 N, 两者必居其一, 且只居其一. 试问: 集合 N 是否是正常 集合? (即 N 是否是 N 中的一元? ) 若N 是 N 中的一元, 则 N 是异常集合, 于是 N M ,从而 N N , 也就是说, N N N M N N. 若N 不是 N 中的一元, 则 N 是正常集合, 于是 N N, 也 就是说, N N N N ( N M ). 悖论在于: 无论哪一种情况, 都得出矛盾.
1 右端的 2 g t 就不能任意去掉.
s 1 gt0 g t t 2
贝克莱又说, 在推出上式时, 是假定了 t 0 才能做除 法的, 所以上式的成立是以 t 0 为前提的. 那么, 为什么 又可以让 t 0 而求得瞬时速度呢? 贝克莱还讽刺挖苦说, 既然 Δs 和Δt 都变成无穷小了, 而 无穷小作为一个量, 既不是0, 又不是非0, 那它一定是“量 的鬼魂”了! 这就是著名的“贝克莱悖论”.
如果说, 第一次数学危机的实质是, 2 不是有理数, 而是 实数; 数系需要扩充. 那么第二次数学危机的实质则是, 极 限的概念不清楚, 极限的理论基础不牢固. 虽然牛顿和莱布尼兹同时发现了微积分, 但是并未明确 极限的定义. 因而此后的一百多年间的数学家都不能满意 地解释贝克莱提出的悖论. 由于缺乏严密的极限概念和极限理论基础, 数学家在有 限与无限之间任意通行. 在 研究无穷级数时, 做出了许多 错误的证明. 例如, 他们不考虑无穷级数的收敛问题, 也照 常进行无穷级数的计算.
现代认为, 数轴上的点与实数集合是一一对应的. 这是 因为 实数集合不但有稠密性, 而且有连续性. 实数的连续 性形象地说, 就是实数的全体把数轴填满了. 数系的扩张: 自然数系—有理数系—实数系. 所谓“实数的全体把数轴填满了”, 需要建立一个严格 的实数理论, 才能解释清楚. 这将在下面讲到.
四. 数学的公理化体系
1. 实数的公理化体系 大家知道, 实数的全体 R, 按照大小关系“≦”是一个有 序的全序集(即实数中的任意两个数都可以比较大小); 关 于加法 和乘法运算成为实数域. 有序实数域 R, 满足如下的公理: 阿基米德公理 对任意两个正实数 x 和 y, 必存在自然数 n, 使得 nx >y . 这就是大家熟悉的 有序实数域 R. 阿基米德公理 的成立 也是理所当然的. 是否可以设想, 阿基米德公理 不成立的 情形? 其实,的确存在非阿基米德域. 20世纪60年代, 美国 数理逻辑学家A. Robinson 创立的非标准分析就是建立在 非阿基米德实数域上.
f ( x) A
那么称函数 f(x) 当 x 趋于 x0 时有极限 A.
应用极限的“ε-δ” 定义, 可以求出一些基本函数的极限, 推 出极限的 运算法则等. 于是, “贝克莱悖论”在历经二百年 后, 终于消除了. (请读者思考, 悖论是如何消除的.) 总之, 第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固. 柯 西的贡献在于将微积分建立在极限理论的基础上. 魏尔斯 特拉斯的贡献在于逻辑地构造了实数系, 建立了严格的实数 理论, 使之成为极限理论的基础. 所以, 建立数学分析( 或者 微积分)基础的“逻辑顺序”是: 实数理论—极限理论—微积 分. 这与微积分发展的”历史顺序”正好相反. 为实数理论的建立做出贡献的数学家, 除魏尔斯特拉斯 外, 还应提到狄德金(R. Dedekind) 和康托(G. Cantor)等人.
这样, 大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展 过程, 悖论消除了. 但是, 新的系统的相容性并未证明. 换句话说, 在新的系统内不知道是否还会出现新的悖论. 庞加莱(H. Poincare, 1854-1912)对这一公理化的集合 论曾形象地评论: “为了防狼, 羊群已经用篱笆圈起来 了, 但却不知道圈内有没有狼.”这句话把悖论比作狼, 把公理化集合论比作羊群, 意思是, 已经出现的悖论都 排除在新的公理化集合论之外了; 但是新的系统内部是 否还会有其它的悖论却不知道.
三. 第三次数学危机
前两次数学危机, 本质上都是对当时数学基础的质疑. 这之后, 数学家们普遍重视数学理论基础的建立. 到19 世纪, 数学已有了很大的发展. 非欧几何的出现使几何 理论更加扩展和完善; 实数理论和极限理论的出现使微 积分有了牢靠的基础; 群的理论、算术公理的出现使代 数、算术的逻辑基础更为明晰, 等等.人们自然去思索 整个数学的基础在那里? 19世纪末, 集合论出现了. 当人们致力于将全部数学 建立在集合论的基础上的时候, 罗素的“集合论悖论” 引发了第三次数学危机.
历史上的三次数学危机和 数学的公理化体系
一. 第一次数学危机
古代希腊的数学家介绍: Δ 泰勒斯(Thales of Miletus, 约公元前625-前547). 最早开创“命题证明”先河, 被誉为世界上第一位数学家. Δ 毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos, 约公元前580-前500). 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献主要有以下方面. (1) 数学证明的起始. 他们首先意识到, 证明某个命题需要 其它命题, 证明“其它命题” 则还需要别的命题, 因此总 有某些最前面的命题是无法证明的, 人们只能把它们当作 “假设”预先承认. 这样一些预先承认的“假设”被称为 “公理”和“公设”.
n . m
(2) 任意两条线段a 和b 都是“可公度的”. 所谓两条线段 a 和b可公度, 是指它们一定有公共的度量单位t, 使得a 和b 的长度都是 t 的长度的整数倍.
2与第一次数学危机
对毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说产生冲击的, 正是 毕达哥拉斯学派的一个成员的发现. 用现在的语言就是, 2 不能表示为整数比, 或者说 2 不是有理数. 数系的扩张– 危机的彻底解决. 第一次数学危机的彻底解决, 依赖于数系的扩张. 直到人 类认识了实数系, 这次数学危机才算彻底解决, 这已经是两 千多年以后的事情了. 数轴. 古代认为, 数轴上的点与有理数集合是一一对应的. 这是有理数集合的稠密性给人们造成的误解.
罗素的悖论的叙述较为繁杂, 罗素悖论的一个通俗解释 叫做“理发师悖论”: 某村的一个理发师宣称, 他给且只给 村里自己不给自己刮脸的人刮脸. 试问: 理发师是否给自己 刮脸? 如果他给自己刮脸, 他就属于自己给自己刮脸的人, 按 宣称的原则, 理发师不应该给自己刮脸, 这就产生矛盾. 如果他不给自己刮脸, 他就属于自己不给自己刮脸的人, 按宣称的原则, 理发师应该给自己刮脸, 这又产生矛盾. 于是, 无论哪一种情况, 都得出矛盾.
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的17世纪. 由并 非数学家的贝克莱大主教对牛顿“无穷小量”说法提出质 疑而引起的. 先看下面的例子. 自由落体运动的瞬时速度问题. 如图, 1 s gt 2 , 求物体在时刻 tt0 ) g [2t0 t ( t ) 2 ] 2
第二次数学危机的解决 到19世纪, 一批杰出的数学家辛勤地工作, 终于逐步建 立了严格的极限理论, 并把它作为微积分的理论基础. 值 得提出的数学家有: 波尔查诺 (捷克数学家, B. Bolzano, 1781- 1848). 柯西 (法国数学家, A.L. Cauchy, 1789-1857). 他在18211823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数 学史上划时代的著作. 他给出了极限比较精确的定义, 然 后用它定义了连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收 敛性, 这些已与我们现在的教科书上的叙述差不多了. 他 可称为分析学的奠基人. 下面两件事表明, 极限概念、连续性、可导性和收敛性 对实数系的依赖比人们的想象深得多.