2016级成都一诊理科数学图片版(含答案)
成都市2016届高中毕业班一诊检测数学文理科参考答案及评分标准(含双向细目表及打分板)(20161226171633)
������������������������������������８ 分 ������������������������������������９ 分
), 使 u( 即 x０ －２＝ ʑ 存在 x０ ɪ ( ３, ４ x０) l n x０ ． ＝０, 此时函数 g( ʑ当x ɪ ( １, x０)时 , ᶄ( x )＜０, x )单调递减 ; g
又当 n ＝１ 时 , 上式也满足 ． ㊀
������������������������������������１ １分 ������������������������������������１ ２分 ������������������������������������２ 分 ������������������������������������３ 分 ������������������������������������４ 分 ������������������������������������６ 分 ������������������������������������７ 分 ������������������������������������１ ０分
( ) 解: 在正方形 A １ ９． I B C D 中 ,øA , øB , øC 为直角 ． ʑPD ʅ 平面 P E F． ȵ
n＋ １ ʑ 当 n ɪ N∗ 时 , Sn ＝２ n ＋２． －４
ʑ 在三棱锥 P －D E F 中, P E, P F, PD 三条线段两两垂直 ．
D G B R D G P R , , 即 ʑ 在 әPDH 中 , R G ʊ PD ． ＝ ＝ GH RH GH RH
������������������������������������１ １分 ������������������������������������１ ２分 ������������������������������������１ 分 ������������������������������������２ 分
四川省成都市高考数学一诊试卷理科
四川省成都市高考数学一诊试卷理科The latest revision on November 22, 20202016年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2016成都模拟）已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1} 2．（5分）（2016成都模拟）在△ABC中，“A=”是“cosA=“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2016成都模拟）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：24．（5分）（2016成都模拟）设a=（），b=（），c=log，2则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．（5分）（2016成都模拟）已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m∥n，则n∥αD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β6．（5分）（2016成都模拟）执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）（2016成都模拟）已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣8．（5分）（2016成都模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2016成都模拟）设不等式组示的平面区域为D．若指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点，则a的取值范围是（）A．[，3] B．[3，+∞）C．（0，] D．[，1）10．（5分）（2016成都模拟）如果数列{an}中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称{an}为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列{an}，如果函数使得y=f（x）仍为一个“亚三角形”数列，则称y=f（x）是数列{an}的一个“保亚三角形函数”（n∈N*）．记数列{an }的前项和为Sn，c1=2016，且5Sn+1﹣4Sn=10080，若g（x）=lgx是数列{cn }的“保亚三角形函数”，则数列{cn}的项数的最大值为（）（参考数据：lg2≈，lg2016≈}．A．33 B．34 C．35 D．36二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
成都七中高2016届成都一诊模拟试题含答案
成都七中高2016届“一诊”数学理科模拟试题（含答案）第Ⅰ卷(非选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则 =N C M R ( ) [)),0(.2,1.)4,0(.)2,0(.+∞D C B A答案：C2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(3,则复数z 对应的点在（ ）上.A 直线x y 21-=直线x y 21= 直线21-=x 直线21-=y 答案：C3．已知命题，使25sin =x ；命题R x q ∈∀:，都有012>++x x .给出下列结论： ① 题是真命题②命题是假命题 ③命题是真命题 ④命题是假命题 其中正确的是（ ）②④②③③④①②③答案：B4．已知实数[]10,1∈x 执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为( )103.52.94.31.D C B A 答案：A5．函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ） 有相同的对称轴但无相同的对称中心 有相同的对称中心但无相同的对称轴 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心既无相同的对称中心也无相同的对称轴答案：A{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭.B .C .D R x p ∈∃:""q p ∧""q p ⌝∧""q p ∧⌝""q p ⌝∨⌝.A .B .C .D .A .B .C .D6． 已知函数)(x f 的图像如图所示，则)(x f 的解析式可能是（ ）3121)(.x x x f A --=3121)(.x x x f B +-=3121)(.x x x f C -+=3121)(.x x x f D ---=答案：A7.已知点()0,2A ，抛物线C :2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若则a 的值等于（ ）答案：D解析：5:1:),0,4(=∴=MN KM MKMF a F ，则42421:2:=∴=∴=a a KM KN8.已知M 是ABC ∆内一点，且AB AC ⋅=30BAC ∠= ，若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积分别为12、x 、y ，则14x y+的最小值是（）答案：C9.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,27.2,25.27,25.25,0.D C B A 答案：D10. 已知实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数 , 则22)()(d bc a -+-的最小值为（ ）4.1.21.41.D C B A 20.81.16.9.D C BA 18.12.10.8.D C BA答案：A解析：∵实数满足，c d e a b a -=-=∴2,2，∴点),(b a 在曲线xe x y 2-=上，点),(d c 在曲线x y -=2上，22)()(d b c a -+-的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．考查曲线上和直线平行的切线，x e y 21-=' ，求出上和直线平行的切线方程，，解得∴=,0x 切点为)2,0(-该切点到直线的距离2211220=+--=d 就是所要求的两曲线间的最小距离，故22)()(d b c a -+-的最小值为82=d ．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 答案：π29解析：由三视图知，三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直，将此三棱锥补成长方体，它们有共同的外接球，ππ29422923322222==∴=++=R S R12.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为____________.答案：4013.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为________． 答案：20,30解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为y x ,亩，总利润z 万元，则目标函数y x y y x x z 9.0)9.063.0()2.1455.0(+=-⨯+-⨯=线性约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0549.02.150y x y x y xd c b a ,,,1112=--=-d cb e a a x e x y 2-=x y -=2x e x y 2-=x y -=2x e x y 2-=x y -=2121-=-='x e y x y -=2即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,01803450y x y x y x ，做出可行域，求得)45,0(),20,30(),50,0(C B A 平移直线,9.0y x z +=可知直线,9.0y x z +=经过点),20,30(B 即20,30==y x 时，z 取得最大值.14.将9~1这9个数平均分成3组，则每组的3个数都成等差数列的分组方法的种数是 答案：解析：设3组中每组正中间的数分别c b a ,,且c b a <<，则15,45333=++=++c b a c b a ， 而42≤≤a ，故),,(c b a 所有可能取的值为)6,5,4(),7,5,3(),8,4,3(),7,6,2(),8,5,2(此时相对应的分组情况是());8,7,6(),9,5,1(),4,3,2();9,8,7(),6,4,2(),5,3,1();9,7,5(),8,6,4(,3,2,1);9,8,7(),6,5,4(),3,2,1()9,6,3(),8,5,2(),7,4,1(故分组方法有5种.15.如果)(x f 的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x ysin =具有“)(a P 性质”；②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”， 图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数. 其中正确的是(写出所有正确命题的编号)．答案：①③④三、解答题，本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数R x x x x f ∈++=,cos 2)322cos()(2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数的图象向右平移3π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 上的最小值． 解析：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 12sin 232cos 21cos 2322cos )(2++--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π5)(x f 132cos 12sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=πx x x所以函数)(x f 的最小正周期为π.由πππ)12(322+≤+≤k x k ,可解得36ππππ+≤≤-k x k所以单调减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,3,6ππππ （Ⅱ）由（Ⅰ）得1)32cos(1)3)3(2cos()(+-=++-=πππx x x g 因为20π≤≤x ,所以32323πππ≤-≤-x 所以1)32cos(21≤-≤-πx ,因此，即)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 17.（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为21,32,43，乙队每人答对的概率都是32．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （Ⅰ）求随机变量的分布列及其数学期望;（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． （1）的可能取值为3,2,1,041213141213241213143)1(;241213141)0(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξP P的分布列为1223413241124112410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（2）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A ,“甲队比乙队得分高”为事件B 则31313241313224113241)(213223333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C C C A P181313241)(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C AB P 613181)()()|(===∴A P AB P A B P 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥A B C D P -中，四边形A B C D 是直角梯形，ABCD PC CD AB AD AB 底面⊥⊥,//,,E a PC CD AD AB ,2,422====是PB 的中点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；21)32cos(21≤+-≤πx ξ)(ξE ξ41213243)3(;2411213143213241213243)2(=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξξP P ξ1 23 P241 412411 41ξ（Ⅱ）若二面角E AC P --的余弦值为36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 解析：（Ⅰ）PC AC ABCD AC ABCD PC ⊥∴⊂⊥,,平面平面.2,2,4==∴===BC AC CD AD ABBC AC AB BC AC ⊥∴=+∴,222,又PBC AC C PC BC 平面⊥∴=,PBC EAC EAC AC 平面平面平面⊥∴⊂ .（Ⅱ）如图，以点C 为原点，,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则)0,2,2(),0,2,2(),0,0,0(-B A C 。
2016届成都一诊理科数学答案及评分标准
成都市高2013级高中毕业班第一次诊断性检测数学(理工类)参考答案及评分意见第Ⅰ卷㊀(选择题㊀共50分)一㊁选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.B ;㊀2.C ;㊀3.C ;㊀4.B ;㊀5.D ;㊀6.A ;㊀7.A ;㊀8.B ;㊀9.D ;㊀10.A.第Ⅱ卷㊀(非选择题,共100分)二.填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.1+5i ;㊀㊀12.-280;㊀㊀13.25;㊀㊀㊀14.23;㊀㊀15.[2,1+3].三㊁解答题:(本大题共6小题,共75分)16.解:(Ⅰ)ȵ2(a n +a n +2)=5a n +1,㊀ʑ2(a n +a n q 2)=5a n q .由题意,得a n ʂ0,ʑ2q 2-5q +2=0.ʑq =2或12.ȵq >1,ʑq =2.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 6分㊀(Ⅱ)ȵa 25=a 10,㊀ʑ(a 1q 4)2=a 1q 9.ʑa 1=2.ʑa n =a 1q n -1=2n .ʑa n 3n =(23)n .ʑS n =23[1-(23)n ]1-23=2-2n +13n .㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 12分17.解:(Ⅰ)由题意,X 的所有可能取值为15,20,25,30.ȵP (X =15)=C 34C 39=121,P (X =20)=C 24㊃C 15C 39=514,P (X =25)=C 14㊃C 25C 39=1021,P (X =30)=C 35C 39=542,ʑX 的分布列为:X15202530P 1215141021542㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 7分(Ⅱ)E (X )=15ˑ121+20ˑ514+25ˑ1021+30ˑ542=703.㊀㊀ 12分18.解:(Ⅰ)f (x )=c o s 2x +(32s i n x -12c o s x )2=c o s 2x +(34s i n 2x +14c o s 2x -32s i n x c o s x ))页4共(页1第案答)理(题试考 诊一 学数=12-(-34c o s 2x +34s i n 2x )=12-32s i n (2x -π3).㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 3分要使f (x )取得最大值,须满足s i n (2x -π3)取得最小值.ʑ2x -π3=2k π-π2,k ɪZ .ʑx =k π-π12,k ɪZ .㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 5分ʑ当f (x )取得最大值时,x 取值的集合为{x |x =k π-π12,k ɪZ }. 6分(Ⅱ)由题意,得s i n (2C -π3)=32.ȵC ɪ(0,π2),ʑ2C -π3ɪ(-π3,2π3).ʑC =π3.㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 9分ȵB ɪ(0,π2),ʑs i n B =45.ʑs i n A =s i n (B +C )=s i n B c o s C +c o s B s i n C =45ˑ12+35ˑ32=4+3310.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 12分19.解:(Ⅰ)如图,过点E 作E H ʅB C 于H ,连接HD .ʑE H =3.ȵ平面A B C D ʅ平面B C E ,E H ⊆平面B C E ,平面A B C D ɘ平面B C E =B C ,ʑE H ʅ平面A B C D .又ȵF D ʅ平面A B C D ,F D =3.ʑF D ʏE H .ʑ四边形E HD F 为平行四边形.ʑE F ʊHD .ȵE F ⊄平面A B C D ,HD ⊆平面A B C D ,ʑE F ʊ平面A B C D .㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 6分(Ⅱ)连接HA .由(Ⅰ),得H 为B C 中点,又øC B A =60ʎ,ΔA B C 为等边三角形,ʑHA ʅB C .分别以H B ,HA ,H E 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H -x y z .则B (1,0,0),F (-2,3,3),E (0,03),A (0,3,0).B F ң=(-3,3,3),B A ң=(-1,3,0),B E ң=(-1,0,3).设平面的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1).由n 1㊃B F ң=0n 1㊃B E ң=0{,得-3x 1+3y 1+3z 1=0-x 1+3z 1=0{.令z 1=1,得n 1=(3,2,1).设平面A B F 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2).由n 2㊃B F ң=0n 2㊃B A ң=0{,得-3x 2+3y 2+3z 2=0-x 2+3y 2=0{.)页4共(页2第案答)理(题试考 诊一 学数令y 2=1,得n 2=(3,1,2).ʑc o s <n 1,n 2>=n 1㊃n 2|n 1|㊃|n 2|=3+2+28=78.ȵ二面角A -F B -E 为钝角,故二面角A -F B -E 的余弦值是-78.㊀㊀㊀㊀㊀ 12分20.解:(Ⅰ)A (-3,0),B (3,0).设点P (x ,y )(y ʂ0).则有x 23+y 22=1,即y 2=2(1-x 23)=23(3-x 2).ʑk P A ㊃k P B =y x +3㊃y x -3=y 2x 2-3=23(3-x 2)x 2-3=-23.㊀ʑ直线P A 与P B 斜率乘积的值为-23.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 4分(Ⅱ)令M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).ȵM N 与x 轴不重合,ʑ设l M N :x =m y +t (m ɪR ).由x =m y +t 2x 2+3y 2-6=0{,得(2m 2+3)y 2+4m t y +2t 2-6=0.ʑΔ=16m 2t 2-4(2m 2+3)(2t 2-6)>0y 1+y 2=-4m t 2m 2+3y 1㊃y 2=2t 2-62m 2+3ìîí.㊀㊀㊀㊀㊀㊀ (∗)由题意,得AM ʅA N .即AM ң㊃A N ң=0.ȵx 1=m y 1+t ,x 2=m y 2+t ,ʑAM ң㊃A N ң=[m y 1+(t +3)][m y 2+(t +3)]+y 1y 2=0.ʑ(1+m 2)y 1y 2+m (t +3)(y 1+y 2)+(t +3)2=0.将(∗)式代入上式,得(1+m 2)2t 2-62m 2+3+m (t +3)-4m t 2m 2+3+(t +3)2=0.即2t 2-6+2m 2t 2-6m 2-4m 2t 2-43m 2t +(2m 2+3)(t 2+23t +3)=0.展开,得2t 2-6+2m 2t 2-6m 2-4m 2t 2-43m 2t +2m 2t 2+43m 2t +6m 2+3t 2+63t +9=0.整理,得5t 2+63t +3=0.解得t =-35或t =-3(舍去).经检验,t =-35能使Δ>0成立.故存在t =-35满足题意.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 13分21.解:(Ⅰ)f (x )的定义域为(0,+¥),f ᶄ(x )=-(a x -1)(x -1)x (a >0).①当a ɪ(0,1)时,1a >1.由f ᶄ(x )<0,得x >1a 或x <1.ʑ当x ɪ(0,1),x ɪ(1a ,+¥)时,f (x )单调递减.ʑf (x )的单调递减区间为(0,1),(1a ,+¥).)页4共(页3第案答)理(题试考 诊一 学数②当a =1时,恒有f ᶄ(x )ɤ0,ʑf (x )单调递减.ʑf (x )的单调递减区间为(0,+¥).③当a ɪ(1,+¥)时,1a <1.由f ᶄ(x )<0,得x >1或x <1a .ʑ当x ɪ(0,1a ),x ɪ(1,+¥)时,f (x )单调递减.ʑf (x )的单调递减区间为(0,1a ),(1,+¥).综上,当a ɪ(0,1)时,f (x )的单调递减区间为(0,1),(1a ,+¥);当a =1时,f (x )的单调递减区间为(0,+¥);当a ɪ(1,+¥)时,f (x )的单调递减区间为(0,1a ),(1,+¥).㊀㊀. 6分(Ⅱ)当a =0时,g (x )=x 2-x l n x ,x ɪ(0,+¥),g ᶄ(x )=2x -l n x -1,[g ᶄ(x )]ᶄ=2-1x .当x ɪ[12,+¥)时,[g ᶄ(x )]ᶄ=2-1x ⩾0,ʑg ᶄ(x )在[12,+¥)上单调递增.又g ᶄ(12)=l n 2>0,ʑg ᶄ(x )⩾g ᶄ(12)>0在[12,+¥)上恒成立.ʑg (x )在[12,+¥)上单调递增.由题意,得m 2-m l n m =k (m +2)-2n 2-n l n n =k (n +2)-2{.原问题转化为关于x 的方程x 2-x l n x =k (x +2)-2在[12,+¥)上有两个不相等的实数根.㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 9分即方程k =x 2-x l n x +2x +2在[12,+¥)上有两个不相等的实数根.令函数h (x )=x 2-x l n x +2x +2,x ɪ[12,+¥).则h ᶄ(x )=x 2+3x -2l n x -4(x +2)2.令函数p (x )=x 2+3x -2l n x -4,x ɪ[12,+¥).则p ᶄ(x )=(2x -1)(x +2)x 在[12,+¥)上有p ᶄ(x )⩾0.故p (x )在[12,+¥)上单调递增.ȵp (1)=0,ʑ当x ɪ[12,1)时,有p (x )<0即h ᶄ(x )<0.ʑh (x )单调递减;当x ɪ(1,+¥)时,有p (x )>0即h ᶄ(x )>0,ʑh (x )单调递增.ȵh (12)=910+l n 25,h (1)=1,h (10)=102-10l n 212>102-1012=233>h (12),ʑk 的取值范围为(1,910+l n 25].㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ 14分)页4共(页4第案答)理(题试考 诊一 学数。
四川省成都市锦江区2016届中考数学一诊试题(含解析)
四川省成都市锦江区2016届中考数学一诊试题一、选择题：每小题3分，共30分1．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A．B．C．D．2．如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱 C．球D．圆锥3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0两实数根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣24．已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3D．﹣5．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜﹣27．如图，在△ABC中，点D在线段BC上且∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，则AB的值是（）A．12 B．8 C．4 D．38．将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1）D．（1，1）9．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径是（）A．2 B．4 C．D．10．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A．B．C．D．二、填空题：每小题4分，共16分11．已知，且a+b=9，那么a﹣b= ．12．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x= ．13．如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为．三、解答题：15小题6分，16小题6分，共18分15．（1）计算：（﹣1）2015+（）﹣3+（cos76°﹣）0+|﹣2sin60°|（2）解方程：2x2+3x﹣1=0（用公式法）16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．四、解答题：每小题8分，共16分17．数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m，请你根据以上数据计算GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）18．已知，如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，A点坐标为（1，n），连接OB，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求△BOC的面积以及m的值；（2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．五、解答题：每小题12分，共20分19．成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A﹣篮球，B﹣足球，C﹣排球，D﹣羽毛球，E﹣乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）求出“足球”在扇形的圆心角是多少度；（3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．20．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB，AC=PC．（1）求证：OC⊥CP；（2）求cos∠PAC的值；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=6，求MN•MC的值．五、填空题：每小题4分，共20分21．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2b﹣10+ab2的值为．22．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，若五边形ABCDE 的面积为15cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC的面积为．24．如图，AB是⊙O上的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上的一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=；④S△ADE=7．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）25．已知而成函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值是．六、解答题：8分26．人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；（2）11月“感恩节”商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n 的值．八、解答题：10分27．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点点E，连接CD．（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；（2）若CD2=DE•DB，求证：DC=BE；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．九、解答题：12分28．已知如图1，二次函数y=ax2+4ax+的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），过A点的直线y=kx+3k（k）交该二次函数的图象于另一点C（x1，y1），交y轴于M．（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，3）且点Q是线段DC上的一个动点，求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标；（3）设P（﹣1，﹣2），图2中连CP交二次函数的图象于另一点E（x2，y2），连AE交y轴于N，请你探究OM•ON的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．2016年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共30分1．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．【解答】解：由图可得tan∠AOB=．故选B．【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正切等于对边比邻边．2．如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱 C．球D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形，可判断该几何体是锥体，再根据左视图的形状，即可得出答案．【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；故选D．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0两实数根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的公式x1+x2=﹣进行解题．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0两实数根为x1、x2，∴x1+x2=﹣（﹣2）=2．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．4．已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3D．﹣【考点】反比例函数的定义．【分析】根据反比例函数的定义先求出m的值，再由图象在第二、四象限内，求出m的值．【解答】解：由函数y=（m+2）为反比例函数可知m2﹣10=﹣1，解得m=﹣3，m=3，又∵图象在第二、四象限内，∴m+2＜0，∴m=﹣3．故选B．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式以及对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．5．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；分式的定义．【专题】应用题；压轴题．【分析】列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率==．故选B．【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜﹣2【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程没有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程没有实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＜0，解得：m＞2，故选C．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根7．如图，在△ABC中，点D在线段BC上且∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，则AB的值是（）A．12 B．8 C．4 D．3【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明△BAD∽△BCA，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【解答】解：∵BD=2，CD=6，∴BC=8，∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=，∴AB2=BC•BD=16，∴AB=4．故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握两个角对应相等的两个三角形相似、相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．8．将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1）D．（1，1）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据平移规律作答即可．【解答】解：将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后所得抛物线解析式为y=2（x﹣2）2+1，所以平移后的抛物线的顶点为（2，1）．故选A．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．9．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径是（）A．2 B．4 C．D．【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．【分析】作直径CD，连接AD，由圆周角定理得出∠DAC=90°，∠D=∠ABC=45°，得出△ADC是等腰直角三角形，AD=AC=2，由勾股定理求出CD，即可得出结果．【解答】解：作直径CD，连接AD，如图所示：则∠DAC=90°，∵∠D=∠ABC=45°，∴△ADC是等腰直角三角形，AD=AC=2，∴CD==AC=2，∴OC=CD=，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．10．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二、填空题：每小题4分，共16分11．已知，且a+b=9，那么a﹣b= ﹣1 ．【考点】比例的性质．【分析】根据合比性质： =⇔=，可得答案．【解答】解： ===1，得a=4，b=5．a﹣b=4﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．12．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x= ﹣5或1 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】新定义．【分析】根据新定义得到x2﹣2•（﹣2x）+3=8，然后把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为﹣5或1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．13．如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 6 米．【考点】平行投影．【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【解答】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4，FD=9；易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，∴=；即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=36，DC=6；故答案为6．【点评】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为y=﹣2（x+2）2+1 ．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a=﹣2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=﹣2x2相同，∴a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣h）2+k，∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y=﹣2（x+2）2+1，∴这个函数解析式为y=﹣2（x+2）2+1，故答案为：y=﹣2（x+2）2+1．【点评】本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出a值是关健．三、解答题：15小题6分，16小题6分，共18分15．（1）计算：（﹣1）2015+（）﹣3+（cos76°﹣）0+|﹣2sin60°|（2）解方程：2x2+3x﹣1=0（用公式法）【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-公式法；特殊角的三角函数值．【分析】（1）将（﹣1）2015=﹣1，（）﹣3=8，（cos76°﹣）0=1，|﹣2sin60°|=0代入原式，再结合实数的运算法则即可得出结论；（2）利用公式法直接解出方程即可．【解答】（1）解：原式=﹣1+8+1+0=8．（2）解：2x2+3x﹣1=0，b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=9+8=17，x=，或x=．【点评】本题考查了实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）将（﹣1）2015=﹣1，（）﹣3=8，（cos76°﹣）0=1，|﹣2sin60°|=0代入原式；（2）会套入公式法解方程．16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由AB=AC，BD=CD，可得⊥BC，又由CE⊥AB，∠B是公共角，即可证得：△ABD∽△CBE；（2）由BD=3，可得BC=6，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】（1）证明：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，∵∠B是公共角，∴△ABD∽△CBE；（2）解：∵BD=3，∴BC=2BD=6，∵△ABD∽△CBE，∴，即，解得：AB=9，∴AC=AB=9．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．四、解答题：每小题8分，共16分17．数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m，请你根据以上数据计算GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先构造直角三角形，得出AE=（x+2），BE=x，进而求出x的长，进而得出GH的长．【解答】解：根据已知画图，过点D作DE⊥AH于点E，设DE=x，则CE=x+2，在Rt△AEC和Rt△BED中，有tan30°=，tan60°=，∴AE=（x+2），BE=x，∴（x+2）﹣x=10，∴x=5﹣3，∴GH=CD+DE=2+5﹣3=（5﹣1）（m）答：GH的长为=（5﹣1）m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出DE的长是解题关键．18．已知，如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，A点坐标为（1，n），连接OB，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求△BOC的面积以及m的值；（2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）利用反比例函数的比例系数的几何意义可求得△BOC的面积；把A（1，n）代入y=﹣求出n=﹣，得到A点坐标为（1，﹣），然后把A点坐标代入一次函数求出m的值即可；（2）解方程组方程组可确定B点坐标，然后观察函数图象得到当x＜0或1＜x＜时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，即反比例函数的值大于一次函数的值．【解答】解：（1）∵反比例函数y=﹣，∴△BOC的面积=|k|=×=；把A（1，n）代入y=﹣得n=﹣，∴A点坐标为（1，﹣），把A（1，﹣）代入y=x+m得1+m=﹣，解得m=﹣；（2）解方程组得或，∴B点坐标为（，﹣1），∴当x＜0或1＜x＜时，反比例函数的值大于一次函数的值．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．五、解答题：每小题12分，共20分19．成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A﹣篮球，B﹣足球，C﹣排球，D﹣羽毛球，E﹣乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）求出“足球”在扇形的圆心角是多少度；（3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图．【分析】（1）由C有12人，占24%，即可求得该班的总人数，继而求得A与E的人数，即可补全频数分布直方图；（2）由（1）可得“足球”在扇形的圆心角是360°×；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵C有12人，占24%，∴该班的总人数有：12÷24%=50（人），∴E有：50×10%=5（人），A有50﹣7﹣12﹣9﹣5=17（人），补全频数分布直方图为：（2）“足球”在扇形的圆心角是：360°×=50.4°；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种情况，∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为： =．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图与频数分布直方图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB，AC=PC．（1）求证：OC⊥CP；（2）求cos∠PAC的值；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=6，求MN•MC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的判定．【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；继而求得cos∠PAC的值；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；又由△ABM是等腰直角三角形，即可求得BM的值，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP；（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，∴BC=AB，∴∠A=30°，∴cos∠PAC=；（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴=，∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2=MN•MC．又∵AB是⊙O的直径， =，∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=6，∴BM=3．∴MN•MC=BM2=18．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．五、填空题：每小题4分，共20分21．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2b﹣10+ab2的值为﹣20 ．【考点】根与系数的关系．【分析】由a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之和和两根之积，代入代数式即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个不相等的实数根，∴a+b=﹣2，ab=5．∴a2b﹣10+ab2=ab（a+b）﹣10=5×（﹣2）﹣10=﹣20，故答案为：﹣20．【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当方程有解，即b2﹣4ac≥0时，设方程的解分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．22．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，若五边形ABCDE 的面积为15cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为cm2．【考点】位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质得出两图形的面积比，进而求出答案．【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，∴=，∵五边形ABCDE的面积为15cm2，∴五边形A′B′C′D′E′的面积为： cm2．故答案为： cm2．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出两图形的面积比是解题关键．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC的面积为．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，由A点的横坐标是2，且在双曲线y=（m ＞0）上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程求解．【解答】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，∵A点的横坐标是2，且在双曲线y═（m＞0）上，∴A（2，2m），∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠FCB，∴△ABE∽△BCF，∴==3，∴CF=1，BF=，∴C（﹣1﹣，1），∵双曲线y=﹣经过C点，∴﹣1﹣=﹣m，∴m=3，∴A（2，6），C（﹣3，1），∴AE=6，CF=1，EF=5，BF=3﹣1=2，BE=1+2=3，∴Rt△ABC的面积=S梯形ACFE﹣S△BCF﹣S△ABE=（6+1）×5﹣×2×1﹣×3×6=．故答案为：．【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形．24．如图，AB是⊙O上的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上的一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=；④S△ADE=7．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）【考点】圆的综合题．【分析】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得： =，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴GF=CG﹣CF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG==，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，∴tan∠E=；故③错误；④∵DF=DG+FG=6，AD==，∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，∵△ADF∽△AED，∴=（）2，∴=（）2，∴S△AED=7，故④正确．故答案为：①②④．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．注意证得△ADF∽△AED是解此题的关键．25．已知而成函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值是1或．【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【分析】根据题意求得k=0，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①过交点（﹣1，0），根据待定系数法，可得m的值；②不过点（﹣1，0），直线与y1=﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切，根据判别式，可得答案．【解答】解：∵函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，∴△=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2k﹣3）＞0，解得k＞﹣1，当k取最小整数时，k=0，∴抛物线为y=x2﹣2x﹣3，将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为y1=（x﹣1）2﹣4（x≤﹣1或x≥3）y1=﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）．①因为y2=x+m的k＞0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过（﹣1，0）把（﹣1，0）代入y2=x+m得﹣1+m=0 所以m=1，②y1=﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）与y=x+m相切时，图象有三个交点，﹣（x﹣1）2+4=x+m，△=1﹣4（m﹣3）=0，解得m=．故答案为：1或．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．六、解答题：8分26．人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；（2）11月“感恩节”商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n 的值．【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元，可以设出9月份的保温瓶销售单价和销售数量，从而可以列出相应的二元一次方程组，即可解答本题；（2）根据题意可以列出销售利润的关系式，将其化为顶点式，即可求得最大利润和此时的打折数；（3）由（1）和（2）和题意可以列出相应的关系式，从而可以求得n的值．【解答】解：（1）设9月份的销售单价为x元，销售的保温瓶y件，解得，即该保温水瓶9月份的销售单价是200元；（2）设销售的利润为w，由题意可得，w=（200×﹣80）（﹣50x+600）=﹣1000x2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，∴x=8时，w取得最大值，此时w=16000，即商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；（3）由（1）和（2）及题意可得，（200﹣80）×100=（200×﹣80）（﹣50n+600）解得，n=6或n=10即n的值是6或10．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，能根据题目的要求，列出相应的表达式，会求函数的最值．八、解答题：10分27．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点点E，连接CD．（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；（2）若CD2=DE•DB，求证：DC=BE；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，进而得出∠DBC的正切值等于，即可得出答案；（2）利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性质得出即可；（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出，，进而得出，以及，即可得出比例系数．【解答】解：（1）∵等边△APD和△BPC，∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，∴PD∥BC，∴∠DPC=∠PCB=60°，∵BC⊥CD，∴∠DCB=∠PDC=90°，∴∠DCP=30°，∴tan∠DBC=；。
2016年3月2016届高三第一次全国大联考(四川卷)理数卷(答案及评分标准)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【命题意图】本题考查复数中纯虚数的概念和学生的基本运算能力．【答案】A【解析】i a a a )3()32(2++-+ 为纯虚数，⎩⎨⎧≠+=-+∴,03,0322a a a 1=∴a ，故答案选A.2.【命题意图】本题考查集合与集合之间基本关系及其运算等基础知识，意在考查学生的基本运算求解能力.【答案】B.【解析】由已知得},22|{≤≤-=x x M 若,0<a 则, =N 符合;M N ⊆若,0≥a 此时集合},11|{+≤≤-=a x a x N ,M N ⊆ ⎩⎨⎧-≥-≤+∴,21,21a a 10≤≤∴a ，综上1≤a ；故答案选B.3.【命题意图】本题考查含逻辑连结词命题及其真假等基础知识，意在考查学生的逻辑推理能力.【答案】D.【解析】因为p 为真命题，q 为假命题，所以q p ∧为假，q p ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真，故答案选D.5.【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力．【答案】A【解析】记=I {四人全排列}，=A {小明站排头}，=B {小张站排尾}，则=N 14))()()(()(22333344=+--=-+-A A A A AB n B n A n I n 种，故答案选A.6.【命题意图】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于基本知识的考查.【答案】A【解析】模拟执行程序框图，可得01P i ==，；12P i ==-，不满足条件201603i P i ≥==;，不满足条件201614i P i ≥==;-，不满足条件201605i P i ≥==;，…2016i =时，满足条件2016i ≥，退出循环，输出P 的值为-1．故答案选A ．7.【命题意图】本题考查线性规划基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．【答案】B【解析】作出可行域如图阴影部分，yx y xz -=⋅=22)21(4，令y x t -=2，易知当y x t -=2经过A （5,2）时，8252max =-⨯=t ，故25628max ==z ，故答案选B.8.【命题意图】本题考查向量及其几何意义等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力和基本运算能力.【答案】C9.【命题意图】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.【答案】B【解析】由题意椭圆和圆有四个不同的交点，则⎪⎩⎪⎨⎧>+<+,22,22b c t b a c t b对任意]2,1[∈t 恒成立，即⎪⎩⎪⎨⎧>+<+,22,2b c b a c b平方化简得⎩⎨⎧>+->-,017,045222c a ac c 所以⎪⎩⎪⎨⎧>->,45,17122e e e 解得154<<e ，故答案选B.10.【命题意图】本题考查函数及其性质等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．【答案】C第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.【命题意图】本题主要考查平均数基础知识，考查学生的计算能力．【答案】15【解析】设数据12,,12,121021---x x x 的平均数为X ，由已知8101021=+++x x x ，所以=X =-++-+-101212121021x x x 151821010)(21021=-⨯=-+++x x x ，故答案为15.12.【命题意图】本题主要考查二项式定理的性质等基础知识，考查学生的计算能力．【答案】35【解析】由已知得1282=n，7=n ，所以通项r r r r r r x C x xC T 4217)7(371---+==，令5421=-r ，解得4=r ，3547=C ，答案应填：35.学科网13.【命题意图】本题主要考查正方体性质，距离，最值等基础知识，考查学生的空间想象能力和计算能力．【答案】23a【解析】如图，EC EA =，所以EC EP EA EP +=+，易知当C P E 、、三点共线时，EA EP +最小，故23)2(222aa a a PC EA EP =++=≥+，故答案为23a .15.【命题意图】本题考查函数恒成立问题，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.【答案】{}1+e 【解析】由已知e a f ≥-=1)1(，所以1+≥e a ，又xa x a x a x x a x f )2)((2)(2'+--=+-=，0>a ，所以)(x f 在],1[e 上单调递增，故⎩⎨⎧+≤≥23)()1(e e f e f ，即⎩⎨⎧+≤+-≥-23122e ae e a e a ，所以⎩⎨⎧+≤≤--+≥121e a e e a ，1+=e a .三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查三角函数恒等变形，解三角形等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．【解析】(Ⅰ)由正弦定理及已知条件有CB A B B A B A BB A A B Bsin 2sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin =+=+，3分所以cos sin cos sin sin sin()sin 2sin A B A B BA B C C==+，21cos =A ，又),0(π∈A ，故3π=A .6分(Ⅱ))cos ,(cos )12cos2,(cos 2C B CB b a =-=+所以)62sin(211)32(cos cos cos cos ||22222ππ--=-+=+=+B B B C B b a 8分因为3π=A ，所以32π=+C B ，),32,0(π∈B 67626πππ<-<-B ，1)62sin(21≤-<-πB ，10分故)43,21[)62sin(211||2∈--=+πB b a ，)23,22[||∈+b a .12分17.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3．……………………………7分，，，．………11分学科网所以的分布列为123的期望．………………12分18.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线平行的判定及线面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．【解析】（Ⅰ）证明：因为F E C D ，，，分别是BP AP BQ AQ ，，，的中点，所以EF AB //，DC AB //.所以DC EF //.又⊄EF 平面PDC ，⊂DC 平面PDC ，所以//EF 平面PDC .又⊂EF 平面EFQ ，平面 EFQ 平面PDC ＝GH ，所以GH EF //.又EF AB //，所以GH AB //.4分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得CP＝(0，－1,2)，设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP ＝0，n ·CP＝0，得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)．设直线AQ 与平面PDC 所成角为θ，则5105224|||||||,cos |sin =⋅=⋅=><=n AQ n AQ n AQ θ.12分19.（本小题满分12分）【命题意图】本题考查等差数列、等比数列通项公式以及数列前n 项和的求法等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、推理能力和运算求解能力.【答案】(Ⅰ)12+=n n a ，1+=n b n ；(Ⅱ)]3,(-∞.20.（本小题满分13分）【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．【解析】（Ⅰ）由12||24A A a ==，得2a =，所以1(2,0)A -，2(2,0)A ，),0(b B直线1BA 的方程为12=+-byx ，即022=+-b y bx ，由直线1BA 与圆M 相切得7214|2|2=++-b b b ，解得32=b ，故椭圆C 的标准方程为13422=+y x ．5分（Ⅱ）由（1）可知，12(2,0),(2,0),A A -设00(,)P x y ，依题意022x -<<，于是直线1A P 的方程为0(2)2y y x x =++.令22x =，则00(222)2y y x +=+，所以00(222)2y DE x =++.7分又直线2A P 的方程为00(2)2y y x x =--，令22x =，则00(222)2y y x -=-，即00(222)2y DF x =--.9分所以22000022000044(222)(222)2244y y y y DE DF x x x x ⋅=+⋅-==+---,又00(,)P x y 在22143x y +=上，所以22003412x y +=，即22004123y x =-，12分代入上式，得2023(4)34x DE DF x -⋅==-，所以DE DF ⋅为定值3.13分21.（本小题满分14分）【命题意图】本题考查导数的几何意义，函数恒成立问题，分类讨论的思想等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．(*)1ln 1122⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-∴b t a b a 消去a 得(**)0)1(4)1(ln 22=+-++t b b b 7分令)1(4)1(ln )(22+-++=t x x x x G ，则)0(2)1)(12(211)(33'>-+=+-=x x x x x x x x G 当10<<x 时，0)('<x G ，当1>x 时，0)('>x G ，。
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(四川卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学1.(2016四川,理1)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C由题意,A∩Z={-2,-1,0,1,2},故其中的元素个数为5,选C.2.(2016四川,理2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4答案A二项式(x+i)6展开的通项T r+1=C x6-r i r,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为C62x4i2=-15x4,故选A.3.(2016四川,理3)为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D由题意,为得到函数y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)],只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度,故选D.4.(2016四川,理4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1,3,5,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.5.(2016四川,理5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>200130,两边取常用对数得n lg 1.12>lg200130,∴n>lg2-lg1.3lg1.12≈0.30-0.110.05=3.8.∴n ≥4,故选B .6.(2016四川,理6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为( )A.9B.18C.20D.35答案B 程序运行如下n=3,x=2→v=1,i=2≥0→v= 1×2+2=4,i=1≥0→v=4×2+1=9,i=0≥0→v=9×2+ 0=18,i=-1<0 ,结束循环,输出v=18,故选B .7.(2016四川,理7)设p :实数x ,y 满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q :实数x ,y 满足{y ≥x -1,y ≥1-x ,y ≤1,则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A 画出可行域 (如图所示),可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内,即p q ,q ⇒p ,所以p 是q 的必要不充分条件.故选A .8.(2016四川,理8)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p>0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.√33B.23C.√22D.1答案C 设P (2pt 2,2pt ),M (x ,y )(不妨设t>0),F (p2,0),则FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2pt 2-p 2,2pt),FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -p 2,y). ∵FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13FP ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{x -p2=2p3t 2-p6,y =2pt 3,∴{x =2p3t 2+p3,y =2pt3.∴k OM =2t2t 2+1=1t+12t ≤12√12=√22, 当且仅当t=√22时等号成立.∴(k OM )max =√22 ,故选C .9.(2016四川,理9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )={-lnx ,0<x <1,lnx ,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A 设P 1(x 1,ln x 1),P 2(x 2,-ln x 2)(不妨设x 1>1,0<x 2<1),则由导数的几何意义 易得切线l 1,l 2的斜率分别为k 1=1x 1,k 2=-1x 2.由已知得k 1k 2=-1,所以x 1x 2=1. 所以x 2=1x 1.所以切线l 1的方程分别为y-ln x 1=1x 1(x-x 1),切线l 2的方程为y+ln x 2=-1x 2(x-x 2),即y-ln x 1=-x 1(x -1x 1).分别令x=0得A (0,-1+ln x 1),B (0,1+ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x11+x 12,ln x 1+1-x 121+x 12). ∵x 1>1,∴S △PAB =12|y A -y B |·|x P |=2x11+x 12<1+x 121+x 12=1. ∴0<S △PAB <1,故选A .10.(2016四川,理10)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,动点P ,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是 ( )A.434B.494C.37+6√34D.37+2√334答案B 由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.以D 为原点,直线DA 为x 轴,过D 的DA 垂线为y 轴 建立平面直角坐标系 ,如图,则A (2,0),B (-1,-√3),C (-1,√3).设P (x ,y ),由已知|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,得(x-2)2+y 2=1, ∵PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M (x -12,y+√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+12,y+3√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x+1)2+(y+3√3)24,它表示圆(x-2)2+y 2=1上点(x ,y )与点(-1,-3√3)距离平方的14, ∴(|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)max =14(√32+(0+3√3)2+1)2=494,故选B .11.(2016四川,理11)cos 2π8-sin 2π8= . 答案√22解析由三角函数二倍角公式 得,cos 2π8-sin 2π8=cos π4=√22.12.(2016四川,理12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 答案32解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果 有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-(12)2=34.所以在2次试验中成功次数X 的取值为0,1,2,其中P (X=0)=(14)2=116,P (X=1)=C 21×34×14=38,P (X=2)=34×34=916, 所以在2次试验中成功次数X 的均值是EX=0×116+1×38+2×916=32.13.(2016四川,理13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 . 答案√33解析由三棱锥的正视图知,三棱锥的高为1,底面边长分 别为2√3 ,2,2,所以底面三角形的高为√22-(√3)2=1,所以,三棱锥的体积为V=13×12×2√3×1×1=√33.14.(2016四川,理14)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=4x ,则f (-52)+f (1)= .答案-2解析因为函数f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数,所以f (-1)+f (1)=0,f (-1)=f (-1+2)=f (1) . 所以f (1)=0,f (-52)=f (-12-2)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,所以f (-52)+f (1)=-2.15.(2016四川,理15)在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为P'(yx 2+y 2,-xx 2+y 2);当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身.平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C'定义为曲线C 的“伴随曲线.”现有下列命题:①若点A 的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A ; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身;③若曲线C 关于x 轴对称,则其“伴随曲线”C'关于y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是 (写出所有真命题的序号). 答案②③解析对于①,若令P (1,1),则其伴随点 为P'(12,-12),而P'(12,-12)的伴随点为(-1,-1),而不是P ,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P (cos x ,sin x ),其伴随点为P'(sin x ,-cos x )仍在单位圆 上,故②正确;对于③,设A (x ,y )与B (x ,-y )为关于x 轴对称的两点,则A 的“伴随点”为A'(y x 2+y 2,-xx 2+y 2),B 点的伴随点为B'(-y x 2+y 2,-xx 2+y 2),A'与B'关于y 轴对称,故③正确; 对于④,取直线l :y=1.设其“伴随曲线”为C ,其上任一点M (x ,y ), 与其对应的直线l 上的点为N (t ,1).则由定义可知{x =1t 2+1,y =-tt 2+1,①②①2+②2得x 2+y 2=1+(-t )2(t 2+1)2=11+t 2=x , 整理得x 2+y 2-x=0,显然不是一条直线.故④错误; 所以正确的序号为②③.16.(2016四川,理16)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨).估计x 的值,并说明理由. 解(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85, 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3. 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准. 17.(2016四川,理17)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cosAa +cosBb =sinCc . (1)证明:sin A sin B=sin C ; (2)若b 2+c 2-a 2=65bc ,求tan B. 解(1)根据正弦定理,可设a sinA =b sinB =c sinC=k (k>0).则a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C.代入cosA a +cosB b =sinC c 中,有cosA ksinA +cosB ksinB =sinCksinC ,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B= sin(A+B ).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin(A+B )=sin(π-C )=sin C ,所以sin A sin B=sin C. (2)由已知,b 2+c 2-a 2=65bc , 根据余弦定理,有cos A=b 2+c 2-a 22bc =35,所以sin A=√1-cos 2A =45.由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B , 所以45sin B=45cos B+35sin B ,故tan B=sinBcosB=4. 18.(2016四川,理18)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD ,E 为棱AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1)在平面PAB 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PBE ,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下: 由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,所以CM∥平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以∠PDA=45°.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=√22.在Rt△PAH中,PH=√PA2+AH2=3√22,所以sin∠APH=AHPH =13.方法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA ⊥AB ,可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1,则在Rt △PAD 中,PA=AD=2.作Ay ⊥AD ,以A 为原点,以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),P (0,0,2),C (2,1,0),E (1,0,0).所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设平面PCE 的法向量为n =(x ,y ,z ). 由{n ·PE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x -2z =0,x +y =0.设x=2,解得n =(2,-2,1).设直线PA 与平面PCE 所成角为α, 则sin α=|n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√2+(-2)+1=13.所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.19.(2016四川,理19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *. (1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式; (2)设双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.解(1),S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1, 故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得2a 3=3a 2+2, 即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2. 所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率e n =√1+a n2=√1+q 2(n -1). 由e 2=√1+q 2=53,解得q=43.因为1+q 2(k-1)>q 2(k-1),所以√1+q 2(k -1)>q k-1(k ∈N *). 于是e 1+e 2+…+e n >1+q+…+q n-1=q n -1q -1, 故e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.20.(2016四川,理20)已知椭圆E :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l :y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(2)设O 是坐标原点,直线l'平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,且与直线l 交于点P ,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值. 解(1)由已知,a=√2b ,则椭圆E 的方程为x 22b2+y 2b2=1.由方程组{x 22b 2+y 2b2=1,y =-x +3,得3x 2-12x+(18-2b 2)=0. ① 方程①的判别式为Δ=24(b 2-3),由Δ=0,得b 2=3,此时方程①的解为x=2, 所以椭圆E 的方程为x 26+y 23=1,点T 坐标为(2,1). (2)由已知可设直线l'的方程为y=12x+m (m ≠0),由方程组{y =12x +m ,y =-x +3,可得{x =2-2m3,y =1+2m3.所以P 点坐标为(2-2m 3,1+2m 3),|PT|2=89m 2. 设点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组{x 26+y 23=1,y =12x +m , 可得3x 2+4mx+(4m 2-12)=0. ②方程②的判别式为Δ=16(9-2m 2), 由Δ>0,解得-3√22<m<3√22. 由②得x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=4m 2-123.所以|PA|=√(2-2m 3-x 1)2+(1+2m3-y 1)2=√52|2-2m3-x 1|, 同理|PB|=√52|2-2m3-x 2|. 所以|PA|·|PB|=54|(2-2m 3-x 1)(2-2m 3-x 2)| =54|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(x 1+x 2)+x 1x 2| =54|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(-4m 3)+4m 2-123| =109m 2.故存在常数λ=45,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.21.(2016四川,理21)设函数f (x )=ax 2-a-ln x ,其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>1x -e 1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数). 解(1)f'(x )=2ax-1x =2ax 2-1x(x>0). 当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x )=0,有x=√2a. 此时,当x ∈(0,1√2a )时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(1√2a,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增. (2)令g (x )=1x −1e x -1,s (x )=e x-1-x. 则s'(x )=e x-1-1.而当x>1时,s'(x )>0,所以s (x )在区间(1,+∞)内单调递增.又由s (1)=0,有s (x )>0,从而当x>1时,g (x )>0.当a ≤0,x>1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x<0. 故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时,√2a >1. 由(1)有f (√2a )<f (1)=0,而g (√2a)>0, 所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a ≥12时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).当x>1时,h'(x )=2ax-1x +1x 2-e 1-x >x-1x +1x 2−1x =x 3-2x+1x 2>x 2-2x+1x 2>0. 因此,h (x )在区间(1,+∞)单调递增. 又因为h (1)=0,所以当x>1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立. 综上,a ∈[12,+∞).。
成都市2016届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理科)试卷和参考答案
数学参考答案及评分标准 ( 理科 )
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． B; ２． A; ３． B; ４． C; ５． B; ６． C; ７． B; ８． D; ９． C; １ ０． A; １ １． A; １ ２． D． 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９ ０ 分) ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分) ９ ３ ; １ ３． ㊀１ ４． ; ㊀１ ５． ㊀１ ６．３ ． －２; － ２ ２ ( 三㊁ 解答题 : 共７ ０ 分) ( )ȵ ������������������������１ 分 解: １ ７． I a１ ＝－２,ʑ a１ ＋４＝２． ,ʑ ( )． ������������������������３ 分 ȵ a ２ a a ２ a ２ a n＋ １＝ n ＋４ n＋ １ ＋４＝ n ＋８＝ n ＋４ a n＋ １ ＋４ ������������������������４ 分 ʑ ＝２． a n ＋４ }是以 ２ 为首项 , ������������������������５ 分 ʑ{ a ２ 为公比的等比数列 ． n ＋４ n n ( ) ( ) , ������������������������７ 分 I I 由 I 可知 a ２ ． ㊀ʑ a ２ －４． n ＋４＝ n ＝ , ; ������������������������８ 分 当 n ＝１ 时 , a１ ＝－２＜０ ʑS１ ＝ a１ | | ＝２ 当 n ȡ２ 时 , a n ȡ０． ������������������������９ 分 ʑSn ＝－a１ ＋a２ ＋ ������ ＋a n ２ n ２ n ( ) ������ ( ) ������ ( ) ＝２＋ ２ －４ ＋ ＋ ２ －４ ＝２＋２ ＋ ＋２ －４ n －１ n ( ) ２ １－２ n＋ １ ( ) ������������������������１ n －１ n ＋２． １分 ＝ －４ ＝２ －４ １－２ 又当 n ＝１ 时 , 上式也满足 ． n＋ １ ������������������������１ ʑ 当 n ɪ N∗ 时 , Sn ＝２ n ＋２． ２分 －４ ( ) 解: 由题意 , 可知 １ １ ８． I ０ x ＋０． ０ １ ２ˑ１ ０＋０． ０ ５ ６ˑ１ ０＋０． ０ １ ８ˑ１ ０＋０． ０ １ ０ˑ１ ０＝１． ������������������������２ 分 ʑx ＝０． ０ ０ ４． ������������������������３ 分 ʑ 甲学校的合格率为 １－１ ０ˑ０． ０ ０ ４＝０． ９ ６． ２ ������������������������４ 分 而乙学校的合格率为 １－ ９ ６． ＝０． ５ ０ ������������������������５ 分 乙两校的合格率均为 ９ ʑ 甲㊁ ６％． ( ) ������������������������６ 分 样本中甲校 C 等级的学生人数为 ０． I I ０ １ ２ˑ１ ０ˑ５ ０＝６． 而乙校 C 等级的学生人数为 ４． ������������������������７ 分 甲校学生人数 X 的可能取值为 ０, ʑ 随机抽取 ３ 人中 , １, ２, ３． ３ １ ２ C C １ ３ ４ ６C ４ ) , ) , ʑP ( X ＝０ P( X ＝１ ＝ ３ ＝ ＝ ３ ＝ ３ ０ １ ０ C C １ ０ １ ０ ２ １ ３ C C C １ １ ６ ４ ６ ) ) P( X ＝２ P( X ＝３ ＝ ３ ＝ , ＝ ３ ＝ ． ２ ６ C C １ ０ １ ０ ʑ X 的分布列为 ０ １ ２ ３ １ ３ １ １ P ３ ０ １ ０ ２ ６ ３ １ １ ９ ㊀㊀ 数学期望 EX ＝１ˑ ＋２ˑ ＋３ˑ ＝ ． １ ０ ２ ６ ５ 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分)
四川省成都市2016届高三第一次诊断性检测数学(理)试题(解析版)
2016年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}2．在△ABC中，“A=”是“cosA=“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：24．设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m∥n，则n∥αD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣8．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．9．设不等式组示的平面区域为D．若指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象经过区域D 上的点，则a的取值范围是（）A．[，3]B．[3，+∞）C．（0，]D．[，1）10．如果数列{a n}中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称{a n}为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列{a n}，如果函数使得y=f（x）仍为一个“亚三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a n}的一个“保亚三角形函数”（n∈N*）．记数列{a n}的前项和为S n，c1=2016，且5S n+1﹣4S n=10080，若g（x）=lgx是数列{c n}的“保亚三角形函数”，则数列{c n}的项数的最大值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg2016≈3.304}．A．33 B．34 C．35 D．36二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理科试题(解析版)
四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理科试题(解析版)成都市2016级高中毕业班摸底测试数学试题（理科）本试卷分为卷一和卷二两部分，卷一至四页，满分100分；卷五至六页，满分60分。
全卷满分160分，考试时间120分钟。
卷一（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 $A=\{x\mid -2\leq x\leq 3\}$，$B=\{x\mid 1\leqx\leq 5\}$，$C=\{x\mid -1\leq x\leq 4\}$，$D=\{x\mid -4\leqx\leq -1\}$，则 $A\cap B\cap C\cap D$ 的值为（）答案】B解析】分析：由不等式 $-2\leq x\leq 3$，$1\leq x\leq 5$，$-1\leq x\leq 4$，$-4\leq x\leq -1$ 求出的范围，得出集合$A=\{-2,-1,0,1,2,3\}$，$B=\{1,2,3,4,5\}$，$C=\{-1,0,1,2,3,4\}$，$D=\{-4,-3,-2,-1\}$，所以 $A\cap B\cap C\cap D=\{-1,-2\}$，故选B。
点睛：本题主要考查了不等式的解集及集合间的交集运算，属于容易题。
2.复数 $z=\mathrm{i}$（为虚数单位）在复平面内表示的点的坐标为（）答案】A解析】分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标。
详解：复数 $\mathrm{i}$，所以复数在复平面内表示的点的坐标为 $(0,1)$，选A。
点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题。
3.若实数 $x,y$ 满足约束条件 $x+2y\leq 8$，$x\geq 0$，$y\geq 0$，则 $3x+4y$ 的最大值为（）答案】D解析】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值。
成都市2016级高中毕业班第一次诊断性检测数学(文科、理科)参考答案及评分标准(含双向细目表及打分板)
π ʑC ＝ π－A －B ＝ ． ２
π ． ６
������������������６ 分 ʑP A ʊ 平面 BMD ． ( 如图 , 取线段 B 连结 AH ． Ⅱ) C 的中点 H , ȵA B C D 是菱形 , øA B C＝ ȵP A ʅ 平面 A B C D, ʑAH ʅP A． π , ʑAH ʅAD ． ３
２ ２ 即ρ ＝２ s i n θ＋２ c o s θ ������ʑx２ ＋ x ������ y ＝２ y＋２ ρ ρ ２ ２ )＋ ( ) 故曲线 C 的直角坐标方程为 ( x－１ ＝２ ������ y－１
２ ２ ( ) ) 将直线l 的参数方程代入 ( 得 Ⅱ) x－１ ＋( ＝２ 中 , y－１
且tʂʃ１ ʑ tʂʃ１ ������ʑ－ ３ ７＜ t＜ ３ ７, ������
数学 ( 文科 ) 一诊 考试题参考答案 ㊀ 第 ㊀ 共 ４页) ２ 页(
２ ３ ６ t ９ t －９ , ʑx１ ＋x２ ＝－ x１ x２ ＝ ������ ３ ７ ３ ７
) ( y１ －１ y２ －１ ４ x１ x２ ＋ ( t－１ x１ ＋x２) , ȵ kHM ＋ kHN ＝ ＋ ＝ x１ x２ x１ x２ ) ( ４ x１ x２ ＋ ( t－１ x１ ＋x２) ４ t ʑ ＝４－ ＝１ ������ x１ x２ t＋１ 解得t＝３ ������ ʑ t 的值为 ３ ������
������������������１ １分 ������������������１ ２分
{
x＝３ m －３ x ������ n＝－３ y－ y
������������������２ 分 ������������������４ 分 ������������������５ 分
成都市2016级高中毕业班第一次诊断性检测(理综含答案),已做
成都市2016级高中毕业班第一次诊断性检测第Ⅰ卷二、选择题：本题共8小题每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14.如图，顶部有“凹槽”的物体P静止于固定斜面上，将物体Q轻放入“凹槽”，P仍然静止。
则放入Q后与放入Q前比较A.P对斜面的压力变大B.P与斜面间的摩擦力变小C.P对斜面的作用力不变D.P所受的合外力增大15.某电场的电场线分布如图中实线所示，一带电粒子仅受电场力作用的运动路径如图中虚线所示，M、N是路径上的两点，粒子在MN点的加速度大小分别为a M、a N，速度大小分别为v M、v N。
则下列判断正确的是A.粒子带负电B.粒子定从M点运动到N点C a M＞a N D.v M＜v N16.a、b两车在同一平直公路上行驶，a做匀速直线运动，两车的位置x随时间t的变化如图所示。
下列说法正确的是A.b车运动方向始终不变B.a、b两车相遇两次C.t到t2时间内，a车的平均速度小于b车的平均速度D.t1时刻，a车的速度大于b车的速度17.套圈游戏是一项趣味活动。
如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45m处水平抛出半径为0.1m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为12m、高度为0.25m的竖直细圆筒。
若重力加速度大小g=10m/s2，则小孩抛出圆环的速度可能是A.4.3m/sB.4.6m/sC.6.5m/ sD.7.5m/s18.如图所示的点电荷电场中，带正电的场源点电荷固定于O 点，OP=r 。
已知一个电荷量为q 的正检验电荷在P 点受到的电场力大小为F 、具有的电势能为E P ，静电力常量为k 。
下列说法正确的是A.P 点的场强大小为qF B.P 点的电势为qE PC.场源电荷的电荷量为kqFr 2D.撤去检验电荷q ，P 点的场强、电势均变为019如图，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道I ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (理科)解析版
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6【答案】C 【解析】试题分析：由题意，{2,1,0,1,2}A Z =-- ，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.2.设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为（）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 4【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +的展开式可以改为6()i x +，则其通项为66r rr C ix -，即含4x 的项为46444615C i x x -=-．3.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（）（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2sin[2(36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种y sin x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把y sin x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象．4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）（A ）24（B ）48（C ）60（D ）72【答案】D考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年【答案】B 【解析】试题分析：设第n 年的研发投资资金为n a ，1130a =，则1130 1.12n n a -=⨯，由题意，需1130 1.12200n n a -=⨯≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.考点：等比数列的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v的值为（A ）9（B ）18（C ）20（D ）35【答案】B考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.【名师点睛】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．7.设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A）3（B ）23（C）2（D ）1【答案】C 【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,2.2p FP pt pt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由已知得13FM FP = ，22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，221212122OM t k t t t ∴==≤=++，()max 2OM k ∴=，故选C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1)（B ）(0,2)（C ）(0,+∞)（D ）(1,+∞)【答案】A考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA=-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC，则2BM 的最大值是（A ）434（B ）494（C ）37634+（D ）372334+【答案】B 【解析】考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.22cos sin 88ππ-=.【答案】2【解析】试题分析：由二倍角公式得22cos sin 88ππ-=2cos .42=π考点：三角函数二倍角公式．【名师点睛】这是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是.【答案】32考点：离散型随机变量的均值【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值12,,,n x x x ，再求得对应的概率(1,2,,)i P i n = ，则均值为1ni i i x P =∑．13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.【答案】33【解析】试题分析：由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为3，2,2，则底面等腰三角形的顶角为120︒，所以三棱锥的体积为11322sin1201323V =⨯⨯⨯⨯︒⨯=.考点：三视图，几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=.【答案】-2考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．15．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y-++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.【答案】②③考点：对新定义的理解、函数的对称性.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I ）求直方图中a 的值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【答案】（Ⅰ）0.30a =；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a +0.20+0.26+0.5×a +0.06+0.04+0.02=1，解得a =0.30．（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000．（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x <3．由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73，解得x =2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．考点：频率分布直方图.【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=.（I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B .【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设sin a A =sin b B =sin c C =k (k >0)．则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ．代入cos A a +cos B b =sin C c 中，有cos sin A k A +cos sin B k B =sin sin C k C，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ，所以sin A sin B =sin C ．（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有cos A =2222b c a bc +-=35．所以sin A =45．由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，所以45sin B =45cos B +35sin B ，故sin tan 4cos B B B ==．考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1 3 .试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CD∥EB从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=2.在Rt△PAH中，=2，所以sin∠APH=AHPH=13.所以PE =（1,0,-2），EC =（1,1,0），AP =（0,0,2）设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,0,PE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得20,0,x z x y -=⎧⎨+=⎩设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sin α=||||||n AP n AP ⋅⋅13=.所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.考点：线线平行、线面平行、向量法.【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．19.（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n N∈.（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析.（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到n e 的表达式，再由253e =解出q 的值，要证明题设不等式，一般想法是求出和12n e e e +++L ，但数列{}n e 的和不可求，因此我们利用放缩法得1n n e q ->，从而有12n e e e +++L 11n q q ->+++L ，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边．最后利用等比数列的求和公式计算证明.试题解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+两式相减得到21,1n n a qa n ++=³.又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立.所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q +q -=，由已知,0q >，故=2q .所以1*2()n n a n -=ÎN .考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是n S 的递推式，在与n S 的关系式中，经常用1n -代换n （2n ≥），然后两式相减，可得n a 的递推式，利用这种方法解题时要注意1a ；在第（Ⅱ）问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的目的是为了求数列的和．另外放缩时要注意放缩的“度”．不能太大，否则得不到结果．20.（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.试题解析：（I ）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b +=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（II ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠，有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅.考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把PA PB ⋅用12,x x 表示出来，并代入刚才的1212,x x x x +，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．21.（本小题满分14分）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得11()x f x e x ->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).【答案】（Ⅰ）当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x单调递增；（Ⅱ）1[,)2a Î+¥.试题解析：（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>(0a ≤当时，'()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减.0a >当时，由'()f x =0，有x =此时，当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增.（II ）令()g x =111e x x --，()s x =1e x x --.则'()s x =1e 1x --.而当1x >时，'()s x >0，所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增.又由(1)s =0，有()s x >0，从而当1x >时，()f x >0.当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<.故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >.当102a <<综上，1[,)2a Î+¥．考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．。