高中数学必修五： 等比数列性质典型题(最全整理)含解析

第二章 等比数列性质典型题（最全整理）含解析

2.4 第1课时

基础巩固

一、选择题

1．等比数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝8，则公比等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8

[答案] B

[解析] ∵a 1＝4，a 2＝8，∴公比q ＝a 2

a 1

＝2.

2．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为2

3，则这个数列的项数为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 [答案] B

[解析] 98·(23)n －1＝13，∴(23)n －1＝827＝(2

3

)3∴n ＝4.

3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 [答案] A

[解析] ∵{a n }是等比数列，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6， ∴设等比数列的公比为q ，

则a 2＋a 3＝(a 1＋a 2)q ＝3q ＝6，∴q ＝2. ∴a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3a 1＝3，∴a 1＝1， ∴a 7＝a 1q 6＝26＝64.

4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．1

2

B ．

2

2 C ． 2 D ．2

[答案] B

[解析] 设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2， 因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，

故a 1＝a 2q ＝12＝2

2

，故选B ．

5．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝±3，ac ＝9

[答案] B

[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

＝－b b 2

＝ac ＝9

c 2＝－9b

，∵⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2

≥0a ≠0，∴a 2>0，∴b <0，∴b ＝－3，故选B ．

6．已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，a n >0，m ＝a 5＋a 6，k ＝a 4＋a 7，则m 与k 的大小关系是( )

A ．m >k

B ．m ＝k

C ．m

D ．m 与k 的大小随q 的值而变化 [答案] C

[解析] m －k ＝(a 5＋a 6)－(a 4＋a 7) ＝(a 5－a 4)－(a 7－a 6)

＝a 4(q －1)－a 6(q －1)＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)

＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)． 二、填空题

7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝__________. [答案] 3·2n －

3

[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝3a 10＝384，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 1q 2

＝3

a 1q 9＝384

∴q 7＝128，∴q ＝2，∴a 1＝34

，∴a n ＝a 1q n －1＝3·2n －

3.

8．已知等比数列前3项为12，－14，1

8，则其第8项是________．

[答案] －1

256

[解析] ∵a 1＝12，a 2＝a 1q ＝12q ＝－1

4，

∴q ＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝12×(－12)7＝－1

256

.

三、解答题

9．若a,2a ＋2,3a ＋3成等比数列，求实数a 的值． [解析] ∵a,2a ＋2,3a ＋3成等比数列， ∴(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)， 解得a ＝－1或a ＝－4.

当a ＝－1时，2a ＋2,3a ＋3均为0，故应舍去． 当a ＝－4时满足题意，∴a ＝－4.

10．已知：数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．求证：数列{a n ＋1}是等比数列．

[证明] 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)． 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4.两式相减 得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，

即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， ∴a 2＋a 1＝2a 1＋6.

又∵a 1＝5，∴a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *. 又∵a 1＝5，a 1＋1≠0.

从而a n ＋1＋1a n ＋1

＝2，即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.

能力提升

一、选择题

1．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，1

2a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5

的值

为( )

A ．1－5

2

B ．5＋1

2

C ．

5－1

2

D ．

5＋12或5－1

2

[答案] C

[解析] ∵a 2，1

2a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，

∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1， ∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋1

2

. ∴

a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4(a 3＋a 4)q ＝1

q

＝5－12.