对勾函数绝对经典(教学知识)

对勾函数f(x)=ax+错误!未找到引用源。

的图象与性质
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对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。

（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：
a>0 b>0 a<0 b<0
对勾函数的图像（ab同号）
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）
对勾函数的图像（ab异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：
当x>0时，错误!未找到引用源。

当
x<0时，错误!未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：
(三)对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四)对勾函数的单调性
(五)对勾函数的渐进线
由图像我们不难得到：
(六)对勾函数的奇偶性
对勾函数在定义域内是奇函数，
利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：
1、求函数
3
2
4
2
2
2
+
+
+
+
=
x
x
x
x
y的最小值。

解：令3
2
2+
+
=x
x
t，则2
2
)1
(2≥
+
+
=x
t
t
t
t
t
y
1
1
2
+
=
+
=
根据对号函数
t
t
y
1
+
=在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当2
=
t时y有最小值
y
X
O
y=ax
2
2
3。

此时x=-1. 2、求函数),(sin 2
sin Z k k x x
x y ∈≠+
=π的单调区间，并求当),0(π∈x 时函数的最小值。

解：令t=sinx,对号函数t t y 2+=在（0，2）上是减函数，故当]2
,0(π
∈x 时sinx 是增函数，所
以x x y sin 2sin +=在]2,0(π上是减函数。

同理，x
x y sin 2sin +=在),2(ππ
上是增函数，由于函
数x x y sin 2sin +=是奇函数，所以函数x x y sin 2sin +=在)0,2(π-上是减函数，在)2
,(π
π--上
是增函数，由周期性，函数x x y sin 2sin +=在每一个区间))(2,2
2(Z k k k ∈-ππ
π上是减函数，
在每一个区间))(22,2(Z k k k ∈+πππ上是减函数；函数x
x y sin 2
sin +=在每一个区间
))(2,22(Z k k k ∈++ππππ上是增函数，在每一个区间))(2
32,2(Z k k k ∈++π
πππ上是增函数。

当),0(π∈x 时]1,0(∈t ，当t=1时即2
π=
x 时y 有最小值3。

20 (本小题12分)已知函数f (x )=ax 2+1
x .
(1)在a>0时求f(x)的单调区间(不必写过程);
(2)若a >0,x 1+x 2>0,x 2+x 3>0,x 3+x 1>0,|x i |>1
a (i =1,2,3),
求证:f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>2a .
解：整理得：f (x )=ax +1
x
(1)当a ≤0时, f (x )的减区间为(−∞,0)和(0,+∞);
当a >0时, f (x )的减区间为(−1a ,0)和(0,1a ),增区间为(−∞,−1a )和(1
a ,+∞)………5分
(2) 证明:由条件知：x 1,x 2,x 3中至多一个负数. ………6分
(ⅰ)若x 1,x 2,x 3都为正数,由(1)可知|x i |>1a 时,f (|x i |)>f (1
a )=2a (i =1,2,3)
∴ f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>6a >2a
………9分
(ⅱ)若x 1,x 2,x 3中有一负数,不妨设x 3<0.
∵x 2+x 3>0且|x 3|>1
a
,
∴x 2>−x 3>1
a
∴f (x 2)>f (−x 3)=−f (x 3)(∵f (x )为奇函数) ∴f (x 2)+f (x 3)>0
f(x1)+f(x2)+f(x3)>f(x1)>f(1
a
)=2a………12分
综上,f(x1)+f(x2)+f(x3)>2a. ………13分。