2020高考文科数学冲刺—中档大题满分练一

大题组合练, 中档大题满分练一 )1. (2019湖南八市重点中学联盟第五次测评)已知等差数列{a n }中,a 3＝3,a 2＋2,a 4,a 6－2顺次成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝（－1）na 2n ＋1a n a n ＋1,{b n }的前n 项和为S n ,求S 2n .1．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 2＋2,a 4,a 6－2顺次成等比数列,∴a 24＝(a 2＋2)(a 6－2),∴(a 3＋d )2＝(a 3－d ＋2)(a 3＋3d －2)．又a 3＝3,∴(3＋d )2＝(5－d )(1＋3d ),化简得d 2－2d ＋1＝0, 解得d ＝1,∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝（－1）na 2n ＋1a n a n ＋1＝(－1)n ·2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1,∴S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12n ＋1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1.2. (2019四川自贡第一次诊断性考试)已知向量m ＝(－cos x ,1),n ＝(3,2sin x )． (1)当m ⊥n 时,求3cos x sin x1＋cos 2x的值； (2)已知钝角△ABC 中,角B 为钝角,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且c ＝2b sin(A ＋B ),若函数f (x )＝4m 2－n 2,求f (B )的值．2．解：(1)∵m ⊥n ,∴3cos x ＝2sin x ,即tan x ＝32, ∴3cos x sin x 1＋cos 2x ＝3tan x 2＋tan 2x ＝611. (2)∵c ＝2b sin(A ＋B ),∴sin C ＝2sin B sin C .∵sin C ≠0,∴sin B ＝12.由角B 为钝角知B ＝5π6.∵f (x )＝4m 2－n 2＝4cos 2x ＋1,∴f (B )＝4cos 53π＋1＝3.3. (2019山东德州二模)某高校共有10 000人,其中男生 7 500人,女生2 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．调查部分结果如下2×2列联表：为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；(2)已知在被调查的男生中,有5名数学系的学生,其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）,其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .3．解：(1)收集女生人数为200×2 50010 000＝50,男生人数为200－50＝150,即应收集50位女生,150∴K 2＝150×50×145×55＝957≈5.22>3.841,∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． (2)设a i 表示每周平均体育运动时间超过4小时的学生,i ＝1,2, b j 表示每周平均体育运动时间不超过4小时的学生,j ＝1,2,3,从5名数学系学生中任取2人的可能结果构成的基本事件空间．Ω＝{(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 2,b 3)},共由10个基本事件组成,且这些基本事件是等可能的,设A 表示“2人中恰有一人每周平均体育运动时间超过4小时”,则A ＝{(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3)},故A 由6个基本事件组成．由古典概型概率公式得P (A )＝610＝35.4. (2019山西太原三模)如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB ⊥AD ,AD ＝2AB ＝2BC ＝2,△PCD 是正三角形,PC ⊥AC ,E 是PA 的中点．(1)求证：AC ⊥PD .(2)求三棱锥P －CDE 的体积．4．(1)证明：∵AD ∥BC ,AB ⊥AD ,∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°. ∵AB ＝BC ＝1,∴∠CAD ＝45°,AC ＝ 2.由余弦定理得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos ∠CAD ＝2,∴AC 2＋CD 2＝4＝AD 2,∴AC ⊥CD . ∵PC ⊥AC ,∴AC ⊥平面PCD , ∴AC ⊥PD .(2)解：如图,连接CE .由(1)得AC ⊥平面PCD ,CD ＝ 2. ∵E 是PA 的中点,AD ∥BC ,∴V P －CDE ＝V C －PDE ＝12V C －ADP ＝12V A －CDP ＝16·S △CDP ·AC ＝16×34CD 2·AC ＝612.5．(2019山东省实验中学、淄博实验中学、烟台中学、莱芜一中四校联考)在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为{x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ (φ为参数),过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A ,B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时,求|OA |＋|OB |的取值范围．5．解：(1)由题意可得,直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1,∵x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,x 2＋y 2＝ρ2,∴极坐标方程为ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＋1＝0. (2)设A (ρ1,α),B (ρ2,α),且ρ1,ρ2均为正数,将θ＝α代入ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0,得ρ2－2ρ(cos α＋sin α)＋1＝0.当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时,Δ＝8sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－4>0,∴ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)．根据极坐标的几何意义,|OA |,|OB |分别是点A ,B 的极径．从而|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2 (cos α＋sin α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时,α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2,故|OA |＋|OB |的取值范围是(2,22]．6．(2019安徽合肥第三次教学质量检测)设f (x )＝3|x －1|＋|x ＋1|的最小值为k . (1)求实数k 的值；(2)设m ,n ∈R ,m 2＋4n 2＝k ,求证：1m 2＋1n 2＋1≥32.6．(1)解：f (x )＝3|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋2，x ≤－1，－2x ＋4，－1<x <1，4x －2，x ≥1，当x ＝1时,f (x )取得最小值,即k ＝f (1)＝2.(2)证明：依题意,m 2＋4n 2＝2,则m 2＋4(n 2＋1)＝6.∴1m 2＋1n 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1n 2＋1[m 2＋4(n 2＋1)]×16＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（n 2＋1）m 2＋m 2n 2＋1≥16(5＋24)＝32, 当且仅当4（n 2＋1）m 2＝m 2n 2＋1,即m 2＝2,n 2＝0时,等号成立． ∴1m 2＋1n 2＋1≥32.[70分] 解答题标准练(一)1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和.解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d ＝10，解得d ＝3,所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·a 6,根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1＝32n 2－12n ＋13(4n －1). 2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O ′O 中,平面ABB ′A ′过上、下底面的圆心O ′,O ,点C ,D分别在半圆弧AB ,A ′B ′上,且»¼.AC B'D =(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值.(1)证明如图,取»AB的中点M,∵OO′⊥平面ABC,∴OA,OM,OO′两两垂直,以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O－xyz,连接OC,设OA＝1,AA′＝t,∠AOC＝θ(0<θ<π),则A(1,0,0),B(－1,0,0),C(cos θ,sin θ,0),D(－cos θ,sin θ,t),于是CD→＝(－2cos θ,0,t),而平面ABB′A′的一个法向量为OM→＝(0,1,0),由于CD →·OM →＝0,CD ⊄平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.(2)解 设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,则C ⎝⎛⎭⎫12，32，0,D ⎝⎛⎭⎫－12，32，2,CD →＝(－1,0,2),AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,BD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，2,设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎨⎧CD →·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，AC →·n 1＝－12x 1＋32y 1＝0，不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎨⎧BD →·n 2＝12x 2＋32y 2＋2z 2＝0，BA→·n 2＝2x 2＝0，不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝519, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为519.3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2,∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t 2＝2,∴m 2＝4(1＋t 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3, 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2,即t 2＝14时等号成立.此时|m |＝5,|AB |max ＝3,又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |≤3,∴当|m |＝5,|t |＝12时,△AOB 的面积最大,最大值为3.4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x 分钟).(1)写出m ,n 的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X ,以上述统计数据为参考,求X 的分布列和期望；(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d ).解 (1)m ＝4,n ＝2,该读书协会中人均每周的课外阅读时长为45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×220＝93(分钟),由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.(2)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.且P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫125＝132,P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫125＝532, P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫125＝532,P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132, 所以X 的分布列如下：E (X )＝5×12＝2.5.(3)2×2列联表如下：k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围； (3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1),f ′(x )＝ln x ＋1x,设g (x )＝ln x ＋1x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 无单调递减区间.(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1),则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1),∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴∃x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2]. (3)由(2)可知,取a ＝2,当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0,即12ln x >x －1x ＋1, 当0<x <1时,1x >1,∴12ln 1x >1x －11x ＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1, 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1,∴当0<θ<π4时,0<tan θ<1,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,tan θ＝1,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当π4<θ<π2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上,当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y ,即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9, 点P 的直角坐标为(1,1).(2)设过点P 的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ(t 为参数), 将其代入x 2＋y 2＝6y ,得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, ∴t 1t 2＝－4,∵|P A |＝2|PB |,∴t 1＝－2t 2,∴t 1＝22,t 2＝－2或t 1＝－22,t 2＝2, ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝3 2.7.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式：f (x )≤x ＋3；(2)若不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立,求x 的取值范围.解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3≤x ＋3，得2≤x ≤6；②由⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x ≤x ＋3，得1<x <2；③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ≤x ＋3，得0≤x ≤1.由①②③可得x ∈[0,6]. (2)①当m ＝0时,0≥0,∴x ∈R ； ②当m ≠0时,即f (x )≥⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3对∀m ∈R ,m ≠0恒成立, ⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2m ＋1－⎝⎛⎭⎫2m －3＝4, ∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4, 当x ≥2时,2x －3≥4,解得x ≥72；当1<x <2时,x －1＋2－x ≥4,解得x ∈∅； 当x ≤1时,3－2x ≥4,解得x ≤－12,综上,x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.数学的核心素养引领复习一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x ＋1)＝2f (x ),且当x ∈(0,1]时,f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞,m ],都有f (x )≥－89,则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 答案 B解析 当－1<x ≤0时,0<x ＋1≤1,则f (x )＝12 f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时,0<x －1≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时,0<x －2≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3),…,由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…，12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象,如图所示.由图可知当2<x ≤3时,令22(x －2)·(x －3)＝－89,整理,得(3x －7)(3x －8)＝0,解得x ＝73或x ＝83,将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞,m ]都有f (x )≥－89,必有m ≤73,即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73,故选B.1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h；②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中,正确信息的序号是________.答案①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.素养2直观想象例2(2019·全国Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM＝EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM＝EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B解析取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD＝CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO＝3,ON＝1,所以EN2＝EO2＋ON2＝4,得EN＝2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP＝32,CP＝32,所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7,得BM＝7,所以BM≠EN.连接BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线.2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析由三视图得到空间几何体,如图所示,则P A⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,P A＝AB＝AD＝2,BC＝1,所以P A⊥AD,P A⊥AB,P A⊥BC.又BC⊥AB,AB∩P A＝A,AB,P A⊂平面P AB,所以BC⊥平面P AB.又PB⊂平面P AB,所以BC⊥PB.在△PCD中,PD＝22,PC＝3,CD＝5,所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△P AB,△P AD,△PBC,共3个.故选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理例3(2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,再假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾；若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |等于( ) A.32 B.3 C.2 3 D.4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x . 设两渐近线的夹角为2α,则有tan α＝13＝33, 所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN ⊥ON ,如图所示. 在Rt △ONF 中,|OF |＝2,则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中,|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.素养4 数学运算例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ,b 满足|a |＝2|b |,且(a －b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α,∵(a －b )⊥b ,∴(a －b )·b ＝0,∴a ·b ＝b 2,∴|a |·|b |cos α＝|b |2,又|a |＝2|b |,∴cos α＝12,∵α∈[0,π],∴α＝π3,故选B.4.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3,b ＝log 20.3,则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0, b ＝log 20.3<log 21＝0,∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4, ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0,∴0<a ＋b ab<1,∴ab <a ＋b <0.三、数学建模、数据分析素养5 数学建模例5 (2019·全国Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm答案B解析若头顶至咽喉的长度为26 cm,则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618) ÷0.618≈178(cm),此人头顶至脖子下端的长度为26 cm,即头顶至咽喉的长度小于26 cm,所以其身高小于178 cm,同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm),故其身高可能是175 cm,故选B.5.(2019·北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元；(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________. 答案 130 15解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60＋80＝140(元),又140>120,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元.(2)设顾客一次购买的水果总价为m 元,由题意知,当0<m <120时,x ＝0,当m ≥120时,(m －x )×80%≥m ×70%,得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立,又m8≥15,所以x 的最大值为15.素养6 数据分析例6 (2019·全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ,b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15,故 a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.6.某市一水电站的年发电量y (单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x (单位：毫米)有如下统计数据：(1)若从统计的5年中任取2年,求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为y ^＝0.004x ＋a ^,该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时,现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米,请你预测2019年能否完成发电任务？解 (1)从统计的5年发电量中任取2年,基本事件为{7.4,7.0},{7.4,9.2},{7.4,7.9},{7.4,10.0},{7.0,9.2},{7.0,7.9},{7.0,10.0},{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共10个；其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共3个. 所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P ＝310.(2)因为x ＝1 500＋1 400＋1 900＋1 600＋2 1005＝8 5005＝1 700,y ＝7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.05＝41.55＝8.3.又直线y ^＝0.004x ＋a ^过点(x ,y ), 所以8.3＝0.004×1 700＋a ^, 解得a ^＝1.5, 所以y ^＝0.004x ＋1.5.当x ＝1 800时,y ^＝0.004×1 800＋1.5＝8.7>8.6, 所以预测该水电站2019年能完成发电任务.。