第三章 圆锥曲线的方程 章末测试(原卷版) 高二数学新教材选择性必修第一册(人教A版)
人教版高中数学选择性必修第一册-第3章-圆锥曲线的方程 单元测试卷(含解析)
第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．4 B ．－4C ．－14D.142．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1D.y 29＋x 28＝13．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为( )A ．1 B ．－1C ．1或－1 D ．1或－1或04．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B.5C.52D ．55．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是( )6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B ．4C ．6 D ．87.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是( )A ．3 B ．2C.3 D.28．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3) B ．(1，4)C ．(2，3) D ．(2，4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为( )A.2－1B.22C.2D.2＋111．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( )A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA → ·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(14，94)B.(23，1)C.(12，23)D.(0，12)2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．24．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝15．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝16．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 27．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则( )A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________．9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝8，求k 的值．14．已知抛物线C 的顶点在原点O ，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点时，有∠POQ ＝π2.若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为其长、短轴的一个端点，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且AB → 与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A ．4 B ．－4C ．－14D.14答案 C2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1D.y 29＋x 28＝1答案 C解析 因为△AF 1B 的周长为12，所以4a ＝12，所以a ＝3.又c a ＝13，所以c ＝1，b 2＝8，所以C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.3．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为( )A ．1 B ．－1C ．1或－1 D ．1或－1或0答案 C解析 由题意可知直线l 恒过点(2，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .要使直线l 与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k ＝±1.故选C.4．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B.5C.52D ．5答案 B解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2.∴c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝c a＝5.5．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是( )答案 B解析 方程ax 2－by 2＝ab变形为x 2b －y 2a ＝1，直线bx －y ＋a ＝0，即y ＝bx ＋a 的斜率为b ，纵截距为a .当a >0，b >0时，x 2b －y 2a＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，此时直线的斜率b >0，纵截距a >0，故C 错误；当a <0，b <0时，x 2b －y 2a＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，此时直线的斜率b <0，纵截距a <0，故D 错误；当a <0，b >0，且－a ≠b 时，x 2b －y 2a＝1表示椭圆，此时直线的斜率b >0，纵截距a <0，故A 错误．故选B.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B ．4C ．6 D ．8答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.7.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是( )A ．3 B ．2C.3 D.2答案 B解析 如图，记AF1，AF 2与△APF 1的内切圆分别相切于点N ，M ，则|AN |＝|AM |，|PM |＝|PQ |，|NF 1|＝|QF 1|，又因为|AF 1|＝|AF 2|，则|NF 1|＝|AF 1|－|AN |＝|AF 2|－|AM |＝|MF 2|，因此|QF 1|＝|MF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝(|PQ |＋|QF 1|)－(|MF 2|－|PM |)＝|PQ |＋|PM |＝2|PQ |＝2，即2a ＝2，则a ＝1.由|F 1F 2|＝4＝2c ，得c ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.故选B.8．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3) B ．(1，4)C ．(2，3) D ．(2，4)答案 D解析 如图，显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，M (x 0，y 0)，则{y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．由于x 1≠x 2，所以y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x2＝2⇒ky 0＝2.①圆心为C (5，0)，由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1⇒ky 0＝5－x 0.②由①②解得x 0＝3，即点M 必在直线x ＝3上，将x 0＝3代入y 2＝4x ，得y 02＝12⇒－23<y 0<23，因为点M 在圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)上，所以(x 0－5)2＋y 02＝r 2(r >0)，r 2＝y 02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y 0≠0，所以4<y 02＋4<16⇒2<r <4.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为( )A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)答案 AD解析 对于A ，y 2＝4x ，抛物线的焦点为F (1，0)，满足；对于B ，x 2＝4y ，抛物线的焦点为F (0，1)，不满足；对于C ，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)，焦点为(±cos 2θ－sin 2θ，0)或(0，±sin 2θ－cos 2θ)或曲线表示圆不存在焦点，均不满足；对于D ，x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1(0<θ<π2)，双曲线的右焦点为F (1，0)，满足．10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为( )A.2－1 B.22C.2D.2＋1答案 ABD解析 若圆锥曲线E 为椭圆，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的离心率为e .因为△ABC 为等腰直角三角形，所以当AB 为斜边时，可以得到b ＝c ＝22a ，则e ＝c a ＝22；当AB 为直角边时，不妨令|AC |＝|AB |＝2c ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝ca＝2－1.若圆锥曲线E 为双曲线，不妨设双曲线方程为x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，设双曲线的离心率为e ′.因为△ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为直角边，不妨令AC ⊥AB ，则|AC |＝|AB |＝2c ，可以得到22c ′＝2a ′＋2c ′，则e ′＝c ′a ′＝2＋1.故选ABD.11．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( )A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)答案 CD解析 设点P 的坐标为(x ，y )，由椭圆E ：x 28＋y 24＝1，可知a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×2c ×|y |＝12×4×|y |＝3，得到y ＝±32，A 说法错误；将y ＝±32代入椭圆E 的方程，得到x 28＋916＝1，解得x ＝±142，不妨取P (142，32)，因为PF 1→ ·PF 2→＝(－2－142，－32)·(2－142，－32)＝144－4＋94>0，所以∠F 1PF 2为锐角，B 说法错误；因为a ＝22，所以|PF 1|＋|PF 2|＝42，所以△F 1PF 2的周长为4＋42＝4(2＋1)，C 说法正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×r ×4(2＋1)＝3，解得r ＝32(2－1)，D 说法正确．故选CD.12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( )A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)答案 ABD解析 设点P 的坐标为(x ，y )(x ≠±1)，则直线AP 的斜率为k AP ＝y x ＋1，直线BP 的斜率为k BP＝y x －1.因为k AP ·k BP ＝m ，所以yx ＋1·yx －1＝m (x ≠±1)，化简得到点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－m＝1(x ≠±1)，所以正确结论有A 、B 、D.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．答案 38解析 由题意，得(a ，b )共有8种不同情况，其中满足“曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P ＝38.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案 2 255解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p 2，因此12×2p×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.15．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．答案 0或2或4解析 设该点为P (x ，y )，椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2(1－x 2a 2)＝a ＋ex ，|PF 2|＝a －ex .|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|＝2a 2＋2c 2a2x 2＝4c 2.∴x 2＝2a 2－a 4c 2＝a 2（2c 2－a 2）c 2≥0.∴当a 2＞2c 2时，该点不存在；当a 2≤2c 2时，该点存在，且当a 2＝2c 2时这样的点有2个，当c 2<a 2<2c 2时有4个．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案 52解析 利用渐近线与直线方程求出交点A ，B 的坐标，进而得出中点C 的坐标；由|PA |＝|PB |可知，PC 与直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)垂直，利用斜率关系求出a ，b 的关系式．双曲线x 2a2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax .由{y ＝bax ，x －3y ＋m ＝0，得A(am 3b －a ，bm3b －a).由{y ＝－bax ，x －3y ＋m ＝0，得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b).所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2).设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l .所以k PC ＝－3，即3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a＝52.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．解析 如图，延长F 2P 交F 1Q 于点A ，连接OP ，则由角平分线的性质，知|AQ |＝|F 2Q |.由三角形中位线性质，知|OP |＝12|F 1A |.∴|OP |＝12(|QF 1|－|QA |)＝12(|QF 1|－|QF 2|)．若点Q 在双曲线的左支上时，|OP |＝12(|QF 2|－|QF 1|)， 即|OP |＝12×2a ＝a ，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .解析 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a ＝2，c ＝3，b ＝22－（3）2＝1，故轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立{x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16(k 2＋3)>0，且x 1＋x 2＝－2kk 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16（k 2＋3）（k 2＋4）2，所以|AB |2＝(1＋k )2(x 1－x 2)2＝(1＋k )2·16（k 2＋3）（k 2＋4）2＝12825，整理得(17k 2＋53)(k 2－1)＝0，解得k 2＝1，所以k ＝±1.19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)由{y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0，∴{Δ＝（2m －8）2－4m 2>0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10.得m ＝716(m ＜2)．(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0.∴m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验得m ＝－8.20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解析 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，由{y ＝k （x －t ），y ＝14x 2，消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，令Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知点B ，O 关于直线PD 对称，故{y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得{x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2.因此，点B 的坐标为(2t 1＋t 2，2t 21＋t 2).(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2.设△PAB 的面积为S ，所以S ＝12|AP |·d ＝t 32.21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA → ·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．解析 (1)由已知a ＝2，ca ＝22，得c ＝2，∴a 2－b 2＝2，即4－b 2＝2，∴b 2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴重合时，MA → ·MB →＝0.当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1)，MB →＝(x 2＋2，y 2)．由{x ＝ty ＋1，x 24＋y 22＝1，得(t 2＋2)y 2＋2ty －3＝0.显然Δ>0，∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－3t 2＋2.∴MA → ·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝(t 2＋1)·－3t 2＋2＋3t ·－2tt 2＋2＋9＝－3－3t 2－6t 2t 2＋2＋9＝－9t 2－3t 2＋2＋9＝15t 2＋2≤152，∴MA → ·MB →的最大值为152.此时t ＝0，直线AB 的方程为x ＝1.综上可知MA → ·MB →的最大值为152.联立{x ＝1，x 24＋y 22＝1，解得{x ＝1，y ＝62或{x ＝1，y ＝－62，不妨令A (1，62)，B (1，－62)，∴|AB |＝6，又|MN |＝3，∴S △MAB ＝12|MN |·|AB |＝12×3×6＝362.22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解析 (1)∵曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍，∴|x －2|＝2·（x －1）2＋y 2，化简，得x 22＋y 2＝1，即曲线C 是椭圆，其方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由{y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝(4mk )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0，即2k 2＋1>m 2，x 1＋x 2＝－4mk 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∵y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·2m 2－21＋2k 2＋mk ·－4mk1＋2k 2＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2.∵点A 2(2，0)在以AB 为直径的圆上，∴AA 2⊥BA 2，即AA 2→ ·B A 2→＝0.又AA 2→ ＝(2－x 1，－y 1)，BA 2→＝(2－x 2，－y 2)，∴(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0，即(2－x 1)(2－x 2)＋y 1y 2＝2－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2＋2·4mk1＋2k 2＋2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝0，化简得2k 2＋42mk ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，∴2k ＋m ＝0或2k ＋3m ＝0.当2k ＋m ＝0时，直线l ：y ＝k (x －2)过定点(2，0)，即过点A 2(2，0)，不满足题意；当2k ＋3m ＝0时，直线l 的方程可化为y ＝k (x －23)，过定点(23，0).综上，直线l 过定点(23，0).1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(14，94)B.(23，1)C.(12，23)D.(0，12)答案 C解析 由题意知B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23.故选C.2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a答案 A解析 不妨取P 在双曲线的右支上，则{|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a .∴|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋a )(m －a )＝m －a .3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433 B.233C ．3 D ．2答案 A解析 利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cosπ3，得4c 2＝r 12＋r 22－r 1r 2.由{r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得{r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2.∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c＝r 1c .令m ＝r 12c 2＝4r 12r 12＋r 22－r 1r2＝41＋(r 2r 1)2－r2r 1＝4(r 2r 1－12)2 ＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，∴(r 1c )max ＝433.即1e 1＋1e 2的最大值为433.4．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.5．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1D.x 22－y 24＝1答案 AB解析 因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P (0，b )，Q (0，－b )，所以|A 1A 2|＝2a ，|PQ |＝2b ，所以|A 1P |＝|A 2Q |＝|A 1Q |＝|A 2P |＝a 2＋b 2＝c .又四边形A 1PA 2Q 的面积为22，所以4×12ab ＝22，即ab＝2.记四边形A 1PA 2Q 的内切圆的半径为r ，则2πr ＝263π，解得r ＝63，所以2cr ＝22，所以c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2＝3，所以{a ＝2，b ＝1或{a ＝1，b ＝2，所以双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1或x 2－y 22＝1.故选AB.6．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2答案 BD解析 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．对于A ，若|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2，则(a －c )2＝(2c )2，∴a －c ＝2c ，∴e ＝13，不符合题意，故A 错误；对于B ，若∠F 1B 1A 2＝90°，则|A 2F 1|2＝|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2，∴(a ＋c )2＝a 2＋a 2＋b 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)，符合题意，故B 正确；对于C ，若PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1，则P (－c ，b 2a)，∵k PO ＝kA 2B 1，∴b 2a－c ＝b－a ，解得b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a ＝c 2c ＝22，不符合题意，故C 错误；对于D ，若四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ，则由菱形面积公式可得ab ＝c a 2＋b 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52(舍去)或e 2＝3－52，∴e ＝5－12，故D 正确．故选BD.7．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则( )A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆答案 BD解析 mx 2＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件是m >0，n >0，A 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示双曲线的充要条件是mn <0，B 正确；当n ＝0时，mx 2＝1不表示抛物线，C 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是n >m >0，D 正确．故选BD.8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．答案 2＋1思路分析 根据正方形的边长及O 为AD 的中点，求出点C ，F 的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．解析 ∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C (a2，－a )，F (a2＋b ，b ).又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，∴{a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )，解得ba＝2＋1.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1思路分析 根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解．解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→ ＝3F 1B →.∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－51－b 23，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为(－51－b 23，－b 23).将B (－51－b 23，－b 23)代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案 ±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由{y 2＝4x ，y ＝k （x ＋1），得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2.∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2k ，即Q (－1＋2k 2，2k).又|FQ |＝2，F (1，0)，∴(－1＋2k 2－1)2 ＋(2k)2＝4，解得k ＝±1.11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析 方法一：根据题图设焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.方法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.解析 (1)由y 2＝－4x ，可得准线x ＝1，从而M (1，0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，联立{y ＝k （x －1），y 2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1.又k ≠0，∴k ∈(－1，0)∪(0，1)．(2)证明：设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝k(x 1＋x 22－1)＝－2kk2＝－2k.即直线PE 的方程为y ＋2k ＝－1k (x －k 2－2k 2).令y ＝0，x 0＝－2k2－1.∵k 2∈(0，1)，∴x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝8，求k 的值．解析 (1)设F (－c ，0)，由ca＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3.于是26b 3＝433，解得b ＝2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组{y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC → ·DB → ＋AD → ·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．已知抛物线C 的顶点在原点O ，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点时，有∠POQ ＝π2.若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析 (1)椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点为(4，0)，所以抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)设点M (a ，0)(a ≠0)满足题设，当PQ 的斜率存在时，PQ 的方程为y ＝k (x －a )，则联立{y 2＝16x ，y ＝k （x －a ）⇒k 2x 2－2(ak 2＋8)x ＋a 2k 2＝0，则x 1＋x 2＝2（ak 2＋8）k 2，x 1x 2＝a 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由∠POQ ＝π2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.从而x 1x 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝0⇒a 2－16a ＝0⇒a ＝16，若PQ 的方程为x ＝a ，代入抛物线方程得y ＝±4a ，当∠POQ ＝π2时，a ＝4a ，即a ＝16，所以存在满足条件的点M (16，0)．15.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为其长、短轴的一个端点，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且AB → 与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解析 (1)设M (x M ，y M )，∵F 1(－c ，0)，∴x M ＝－c ，y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .由题意知k AB ＝－b a，∵OM → 与AB →是共线向量，∴－b 2ac ＝－ba，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝22.(2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，则r 1＋r 2＝2a .又|F 1F 2|＝2c ，∴由余弦定理，得cos θ＝r 12＋r 22－4c 22r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈(0，π2]..。
2022_2023学年高中数学第3章圆锥曲线与方程-双曲线的标准方程同步练习湘教版选择性必修第一册
3.2 双曲线3.2.1 双曲线的标准方程A级必备知识基础练1.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,双曲线上一点P到F1的距离为8,则点P到F2的距离为()A.2或12B.2或18C.18D.22.(2022江苏镇江高二期中)若椭圆=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同,则m的值为()A.3B.4C.6D.93.(2022福建连城一中高二月考)以F1(-,0),F2(,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.-y2=1D.x2-=14.设m是常数,若F(0,5)是双曲线=1的一个焦点,则m= .5.已知点F1,F2分别是双曲线=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是.6.已知点P在双曲线C:=1(m>-1)上,且点P的横坐标为m-1,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2.若|F1F2|=6,则m的值为,△PF1F2的面积为.7.(2022山东泰安宁阳高二期中)已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为.8.(2022河北邢台高二期中)在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+,②C 的焦距为6,③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.已知双曲线C:=1,,求C的标准方程.B级关键能力提升练9.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线10.已知动点P(x,y)满足=2,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支11.已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的标准方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=112.(2022江苏盐城高二期中)若椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是()A. B.(a2-m)C.a2-mD.a2-m213.(2022黑龙江哈师大附中高二期中)过原点的直线l与双曲线x2-y2=6交于A,B两点,点P为双曲线上一点,若直线PA的斜率为2,则直线PB的斜率为()A.4B.1C. D.14.已知双曲线2x2-y2=k的焦距为6,则k的值为.15.若双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=10,P为双曲线上一点,|PF1|=2|PF2|,PF1⊥PF2,求此双曲线的标准方程.C级学科素养创新练16.已知F是双曲线=1的下焦点,A(4,1)是双曲线外一点,P是双曲线上支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为()A.9B.8C.7D.6参考答案3.2双曲线3.2.1双曲线的标准方程1.C由双曲线定义可知||PF2|-8|=2a=10,解得|PF2|=18或-2(舍),故点P到F2的距离为18,故选C.2.D将双曲线方程化为标准方程得-y2=1,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),由于椭圆与双曲线有相同的焦点,所以由椭圆的方程得m=25-16=9.故选D.3.A由题意得双曲线的焦点在x轴上且c2=3,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.故选A.4.16由题意可知c2=25,则m+9=25,解得m=16.5.34∵|PF1|=2|PF2|=16,∴|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,∴a=4.又b2=9,∴c2=25,∴2c=10.∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.6.4由题意可知|F1F2|=2=6,解得m=4,此时双曲线的方程为=1,点P的横坐标为x P=3,所以点P的纵坐标为y P=±,所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y P|=×6×.7.16(方法1)由题意得a2=36,b2=16,c2=a2+b2=52.在Rt△PF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,即4c2=4a2+2|PF1|·|PF2|,即4×52=4×36+2|PF1|·|PF2|,得|PF1|·|PF2|=32,故△PF1F2面积为|PF1|·|PF2|=16.(方法2)本题中b2=16,∠F1PF2=90°,因此△PF1F2的面积为S==16.8.解若选①,因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以a=,c=.因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c,所以=3+,解得m=3,故C的标准方程为=1.若选②,则c=3.若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以c==3,解得m=3,则C的标准方程为=1;若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=a2+b2=-3m,所以c==3,解得m=-3,则C的标准方程为=1.综上,C的标准方程为=1或=1.若选③,因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4,所以2a=4,即a=2.若m>0,则a2=m,所以a==2,解得m=4,则C的标准方程为=1;若m<0,则a2=-2m,所以a==2,解得m=-2,则C的标准方程为=1.综上,C的标准方程为=1或=1.9.D方程mx2-my2=n可化为=1.因为mn<0,所以<0,->0.方程又可化为=1,所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.10.D=2表示动点P(x,y)到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差等于2,而2<|F1F2|=4,由双曲线的定义,知动点P的轨迹是双曲线的右支.故选D.11.B根据已知条件得双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则a2+b2=5.①∵线段PF1的中点的坐标为(0,2),∴点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,得=1.②由①②解得a2=1,b2=4,∴双曲线的标准方程为x2-=1.12.D由题意可得|PF1|+|PF2|=2a,||PF1|-|PF2||=2m,两式平方相减得4|PF1|·|PF2|=4a2-4m2,∴|PF1|·|PF2|=a2-m2.故选D.13.C由题意可设A(m,n),B(-m,-n),P(x,y),x≠±m,y≠±n,则m2-n2=6,x2-y2=6,即y2-n2=x2-m2,所以=1,由直线PA的斜率为k PA=,直线PB的斜率为k PB=,可得k PA·k PB==1,而k PA=2,所以k PB=.故选C.14.±6易知k≠0,则由2x2-y2=k,可得=1,当k>0时,a2=,b2=k,由题意知+k=9,即k=6;当k<0时,a2=-k,b2=-,由题意知-k-=9,即k=-6.综上,k=±6.15.解∵|F1F2|=10,∴2c=10,c=5.又|PF1|-|PF2|=2a,且|PF1|=2|PF2|,∴|PF2|=2a,|PF1|=4a.在Rt△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4a2+16a2=100,得a2=5.则b2=c2-a2=20.故所求的双曲线的标准方程为=1.16.A∵F是双曲线=1的下焦点,∴a=2,b=2,c=4,F(0,-4).上焦点为F1(0,4),由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+=9, 当A,P,F1三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值9.故选A.。
2021_2022学年新教材高中数学3圆锥曲线的方程章末综合测评含解析新人教A版选择性必修第一册20
章末综合测评(三) 圆锥曲线的方程(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A ．12B ．32C ．1D ．3B [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－0|32＋－12＝32，故选B ．]2．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 为椭圆C 上一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，那么椭圆C 的短轴长是( )A ．6B ．7C ．8D ．9C [设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，∴a ＝5，又c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16，即b ＝4，因此椭圆的短轴长是2b ＝8，故选C ．]3．在平面直角坐标系Oxy 中，动点P 关于x 轴对称的点为Q ，且OP →·OQ →＝2，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2－y 2＝2C ．x ＋y 2＝2D ．x －y 2＝2B [设P (x ，y )，Q (x ，－y )，则OP →·OQ →＝(x ，y )·(x ，－y )＝x 2－y 2＝2，故选B ．]4．椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，则C 的离心率为( )A ．12B ．22C ．32D ．2B [由椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，可知焦点在x 轴上即2a ＝4，a ＝2.∴椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1，a ＝2，b ＝2，c ＝4－2＝2，椭圆的离心率为e ＝c a＝22，故答案为B ．]5．“m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [当m >3时，m －2>0，mx 2－(m －2)y 2＝1⇒x 21m －y 21m －2＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m (m －2)>0⇒m >2或m “m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的充分不必要条件．故选A ．]6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过点F 且斜率为3的直线l 1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．43D ．8C [∵y 2＝4x ，∴焦点F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x－1)，将其与y 2＝4x联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴|AK |＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝43.故选C ．]7．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点相同，C 1与C 2交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为( )A ．2B ．3 C ．2D ．2＋1D [由图形的对称性及题设条件得AF ⊥x 轴，且c ＝p2，则p ＝2c .不妨设交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，y 1，代入y 2＝2px 可得y 1＝p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，代入双曲线方程可得p 24a 2－p 2b 2＝1，即e 2－1＝4c 2b 2，即e 2－1＝4c 2c 2－a 2，由此可得(e 2－1)2＝4e 2，即e 2－1＝2e ，所以e ＝2＋1(负值舍去)．故选D ．]8．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．3－12C ．3－1D ．4－23C [直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)联立方程得(3a 2＋b 2)x 2＝a 2b 2，设A (x 0，y 0)，∴B (－x 0，－y 0)，右焦点F (c ,0)，由FA →·FB →＝0代入坐标得c 2＝4a 2b 23a 2＋b2，整理得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e ＝3－1故选C ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9．若方程x 25－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是( )A ．若1<t <5，则C 为椭圆B ．若t <1，则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <5BD [若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t ≠t －1，解得1<t <3或3<t <5.对于A ，当t ＝3时，此时方程为x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t <1时，5－t >0，t －1<0，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确； 对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t <t －1，解得3<t <5，所以D 正确．故选BD ．]10．已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1→·MF 2→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2＝π3，则下列各项正确的是( )A ．e 2e 1＝2B ．e 1e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝1 BD [因为MF 1→·MF 2→＝0且|MF 1→|＝|MF 2→|，所以△MF 1F 2为等腰直角三角形． 设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22.在焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝π3，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，双曲线C 2的实半轴长为a ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－xy ＝4c 2，x ＋y ＝22c ，|x －y |＝2a ′，故xy ＝43c 2，故(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c 23，所以(a ′)2＝2c 23，即e 2＝62，故e 2e 1＝3，e 1e 2＝32，e 21＋e 22＝2，e 22－e 21＝1，故选BD ．] 11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( )A ．双曲线的离心率为3B ．双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC ．∠PAF 2＝45°D ．直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点ABD [依题意得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又∵|F 1F 2|＝2c ，且a <c ， ∴在△PF 1F 2中，PF 2是最小的边， ∴∠PF 1F 2＝30°，∴4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×32，整理得c 2－23ac ＋3a 2＝0，即(c －3a )2＝0，∴c ＝3a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝23a ，b ＝c 2－a 2＝2a .∴双曲线的离心率e ＝ca ＝3a a＝3，A 正确．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2aax ＝±2x ，B 正确．根据前面的分析可知，△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1＝90°， 若∠PAF 2＝45°，则|PF 2|＝|AF 2|. 又知|PF 2|＝2a ， |AF 2|＝a ＋c ＝a ＋3a ＝(1＋3)a ≠|PF 2|，∴∠PAF 2≠45°，C 不正确．直线x ＋2y －2＝0，即y ＝－12x ＋1，其斜率为－12，－12∈[－2，2]，∴直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，D 正确．故选ABD ．] 12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ．若|AF |＝8，则以下结论正确的是( )A ．p ＝4B ．DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4ABC [如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线方程为y＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得12x 2－20px ＋3p 2＝0.解得x A ＝32p ，x B ＝16p ，由|AF |＝32p ＋p2＝2p ＝8，得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x . x B ＝16p ＝23，则|BF |＝23＋2＝83；|BD |＝|BF |cos 60°， 所以|BD |＝2|BF |， |BD |＋|BF |＝83＋163＝8，则F 为AD 的中点，DF →＝FA →. 所以运算正确的是ABC ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 22－y 22＝1的渐近线的距离为________．2[由抛物线y 2＝8x 可得其焦点为(2,0)，又双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴所求距离为d ＝22＝ 2.]14．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．x 2＋(y －2)2＝16[由题意知，抛物线x 2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，圆的半径为4，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.]15．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是________．855[如图，设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，因为△FMN 的周长|MF |＋|NF |＋|MN |＝2a －|MF ′|＋2a －|NF ′|＋|MN |＝4a ＋|MN |－|MF ′|－|NF ′|，且|MN |≤|MF ′|＋|NF ′|，当M ，N ，F ′三点共线，即m ＝1时，等号成立，所以当△FMN 的周长最大时，|MN |＝2b 2a＝855，所以△FMN 的面积S ＝12×855×2＝855.]16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．(第一空2分，第二空3分)3－1 2[如图，六边形ABF 1CDF 2为正六边形，直线OA 、OB 是双曲线的渐近线，则△AOF 2是正三角形，∴直线OA 的倾斜角为π3，∴其斜率k ＝|n ||m |＝3，∴双曲线的离心率e 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝1＋3＝2；连接F 1A ，∵正六边形的边长为c ，∴|F 1A |＝3c .由椭圆的定义得|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，∴椭圆的离心率e 2＝c a ＝21＋3＝3－1.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．[解] 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程． [解] 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[证明] (1)依题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ， BD 的方程为x ＝x 2，则交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1. 又x 1x 2＝－8，x 21＝4y 1，则有y 1x 2x 1＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，即D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0.设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理，得b ＝－a 2，故切线的方程为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2，得N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.21．(本小题满分12分)设M (x ，y )与定点F (1,0)的距离和它到直线l 1：x ＝3的距离的比是常数33.记点M 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过定点F 的直线l 2交曲线C 于A ，B 两点，以O 、A 、B 三点(O 为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB ，若点P 刚好在曲线C 上，求直线l 2的方程．[解] (1)由题意得，x －12＋y 2|x －3|＝33，则3[(x －1)2＋y 2]＝(x －3)2，即2x 2＋3y 2＝6，∴x 23＋y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设直线l 2的方程为x ＝my ＋1，P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，2x 2＋3y 2＝6，消去x ， 得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0.则y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－4m 22m 2＋3＋2＝62m 2＋3， ∴x 0＝x 1＋x 2＝62m 2＋3，y 0＝y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3. ∵P (x 0，y 0)在椭圆x 23＋y 22＝1上， ∴122m 2＋32＋8m 22m 2＋32＝1，即2m 2＋3＝4，解得m ＝±22.∴直线l 2的方程为x ＝22y ＋1或x ＝－22y ＋1，即2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0. 22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋22＝22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)假设这样的直线存在，设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t x 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， ∴y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9且－3＜t ＜3， 由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，∴y 0＝53＋y 42＝t 9，得y 4＝2t －159，又－3＜t ＜3，可得－73＜y 4＜－1， ∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l .。
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 课后练习及章末测验 含解析
第三章圆锥曲线的方程课后练习及章末测验3.1.1椭圆及其标准方程................................................................................................. - 1 -3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质............................................................................. - 6 -3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用........................................................... - 12 -3.2.1双曲线及其标准方程........................................................................................... - 20 -3.2.2双曲线的简单几何性质....................................................................................... - 27 -3.3.1抛物线及其标准方程........................................................................................... - 34 -3.3.2抛物线的简单几何性质....................................................................................... - 40 -第三章章末测验............................................................................................................ - 47 -3.1.1椭圆及其标准方程一、选择题1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M 到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C[若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则点M 的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.]2．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是()A．(±5,0) B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12,0)C[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，故焦点为(0，±12)．]3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A ．x 212＋y 29＝1 B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1B [∵2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，∴a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.]4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15B [由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (4,0)，点C 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin B sin C ＝________.54 [由题意知|AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10，所以sin A ＋sin B sin C ＝|BC |＋|AC ||AB |＝108＝54.] 8．已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是________．8－43 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.]三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故所求C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．11．(多选题)下列说法中错误的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆ABD [A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410＞|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选ABD.]12．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2A [易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α＞1sin α＞0，即sin α＞cos α＞0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4＜α＜π2.]13．(一题两空)已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．120° 2 [由题得a 2＝9，b 2＝2，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7，∴|F 1F 2|＝27.∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22×|PF 1|×|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，又0＜∠F 1PF 2＜180°，∴∠F 1PF 2＝120°.又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(27)2＝28， 配方得(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝28，∴36－2|PF 1||PF 2|＝28，即|PF 1||PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝2.]14.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.23 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3，解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2， 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝23， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1， 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． [解] (1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2， 所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质一、选择题1．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )A ．14B ．12C．2 D．4D[将椭圆方程化为标准形式为x2＋y2 1m＝1，所以长轴长为2，短轴长为21m，由题意得2＝2×21m，解得m＝4.]2．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0<k<9)的关系为()A．有相等的长轴B．有相等的短轴C．有相同的焦点D．有相等的焦距D[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]3．已知椭圆x2＋y2b2＋1＝1(b＞0)的离心率为1010，则b等于() A．3 B．13C．910D．31010B[易知b2＋1＞1，由题意得(b2＋1)－1b2＋1＝b2b2＋1＝110，解得b＝13或b＝－13(舍去)，故选B.]4.如图所示，把椭圆x225＋y216＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝()A．35 B．30C．25 D．20A[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]5．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)C [当0＜k ＜4时，e ＝ca ＝4－k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12＜4－k 2＜1⇒1＜4－k ＜4，即0＜k ＜3. 当k ＞4时，e ＝ca ＝k －4k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即12＜k －4k ＜1⇒14＜k －4k ＜1⇒14＜1－4k ＜1⇒0＜4k ＜34⇒k ＞163.综上，实数k 的取值范围为(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c2a ＝48＝12.]7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的标准方程为________．x 245＋y 236＝1 [∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2，即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1. 解得a 2＝45.∴椭圆的标准方程为x 245＋y 236＝1.]8．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 4,3 [过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.]三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．[解] 根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．依题意设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac .又因为b 2＝a 2－c 2，所以3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，解得e ＝c a ＝33(负值舍去)．10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，可知m ＞m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3，由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1.于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝32.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.11．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A 距离地面m km ，远地点B 距离地面n km ，地球半径为R km ，关于这个椭圆有下列说法，正确的有( )A ．长轴长为m ＋n ＋2RB ．焦距为n －mC ．短轴长为(m ＋R )(n ＋R )D ．离心率e ＝n －m m ＋n ＋2RABD [由题意，得n ＋R ＝a ＋c ，m ＋R ＝a －c ，可解得2c ＝n －m ，a ＝m ＋n ＋2R 2，2a ＝m ＋n ＋2R .∴2b ＝2a 2－c 2＝2(m ＋R )(n ＋R )，e ＝n －m m ＋n ＋2R ，故ABD 正确，C 不正确．]12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．32C ．3－12D ．5－12D [在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.]13．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程是________．若点P 为椭圆上任意一点，则AP →·FP →的取值范围是________．x 24＋y 23＝1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a ＝2. 因为离心率e ＝12，所以c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3， 则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，所以点A 的坐标为(－2,0)，点F 的坐标为(－1,0)． 设P (x ，y )，则AP →·FP →＝(x ＋2，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋3x ＋2＋y 2. 由椭圆的方程，得y 2＝3－34x 2，所以AP →·FP →＝x 2＋3x －34x 2＋5＝14(x ＋6)2－4. 因为x ∈[－2,2]，所以AP →·FP →∈[0,12]．]14．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． [解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用一、选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(－3,0) D ．(1,3)B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点， 则⎩⎨⎧3＋m ≠0，Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0， 解得⎩⎨⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B.]2．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A ．67 B ．167 C ．716D ．76B [易求得直线AB 的方程为y ＝3(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝3(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4消去y 并整理，得7x 2＋122x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋(3)2·⎝⎛⎭⎪⎫－12272－4×87＝167.]3．在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝0C [设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减，又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0，故选C.] 4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A ．12 B ．23 C ．34D ．45C [如图所示，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则有|F 1F 2|＝|PF 2|，∠PF 1F 2＝∠F 2PF 1＝30°所以∠PF 2A ＝60°，∠F 2P A ＝30°，所以|PF 2|＝2|AF 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝3a －2c .又因为|F 1F 2|＝2c ，所以，2c ＝3a －2c ，所以e ＝c a ＝34.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝－1－01－3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即1a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0⇔1a 2＋1b 2×12×－22＝0，即a 2＝2b 2，c 2＝9，a 2＝b 2＋c 2，解得：a 2＝18，b 2＝9，方程是x 218＋y 29＝1，故选D.]二、填空题6．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．53 [由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]7．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点，过F 1作斜率为1的直线，交C 于A 、B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|＝________.327 [由x 24＋y 23＝1知，焦点F 1(－1,0)，所以直线l ：y ＝x ＋1，代入x 24＋y 23＝1得3x 2＋4(x ＋1)2＝12，即7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.由定义有，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝4×2－247＝327.]8．椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线P A 2斜率的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14 [由椭圆C ：x 22＋y 2＝1的方程可得a 2＝2，b 2＝1，由椭圆的性质可知：k P A 1·k P A 2＝－12，∴k P A 2＝－12k P A 1，∵k P A 1∈[1,2]，则k P A 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14.]三、解答题9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1， 消去y 并整理，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值．[解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2，又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.11．(多选题)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝1外B ．必在圆x 2＋y 2＝74上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．必在圆x 2＋y 2＝94上ABC [e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a . ∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x －12＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74. ∵1＜74＜2，∴点P 在圆x 2＋y 2＝1外，在x 2＋y 2＝74上，在x 2＋y 2＝2内，故应选ABC.] 12．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14A [设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x 由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ，把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b 2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因0＜e ＜1，所以可得e ＝32.]13．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，则椭圆方程为________，若直线l 交椭圆于M ，N 两点，且△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则直线l 方程为________．x 220＋y 216＝1 6x －5y －28＝0 [由题意得b ＝4，又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－16a 2＝15，解得a 2＝20.∴椭圆的方程为x 220＋y 216＝1.∴椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，从而(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)， 解得x 0＝3，y 0＝－2，所以点Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4， 且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.]14．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫0，22 [∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2，∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e＜22.]15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B (O 为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.(1)求椭圆的方程；(2)已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN ＝60°，求点M 的坐标．[解] (1)依题意知A (a,0)，B (0，－b )，∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点， ∴a 2＝32，－b 2＝－12，即a ＝3，b ＝1， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知B (0，－1)，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0， 设直线BN 的方程为y ＝kx －1(k ＜0)， 则直线BM 的方程为：y ＝－1k x －1，由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx －1.消去y 得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得：x N ＝6k1＋3k 2，y N＝kx N －1， ∴|BN |＝x 2N ＋(y N ＋1)2＝x 2N ＋k 2x 2N＝1＋k 2|x N |∴|BN |＝1＋k 2|x N －x B |＝1＋k 2·6|k |1＋3k 2，在y ＝－1k x －1中，令y ＝0得x ＝－k ，即M (－k,0) ∴|BM |＝1＋k 2，在Rt △MBN 中，∵∠BMN ＝60°，∴|BN |＝3|BM |， 即1＋k 2·6|k |1＋3k 2＝3·1＋k 2， 整理得3k 2－23|k |＋1＝0，解得|k |＝33，∵k ＜0，∴k ＝－33，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0.3.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C ．x 29－y 216＝1D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)D [由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴M 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．] 2．若ax 2＋by 2＝b (ab ＜0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上B [因为ab ＜0，方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∴ba ＜0，方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1 B ．x 23－y 22＝1 C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1C [由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2， ⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.]4．双曲线x 225－y 29＝1上的点P 到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．2 A [根据双曲线的方程得2a ＝2×5＝10，由定义知||PF |－12|＝10，可解得|PF |＝22或2，故选A.]5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点， 所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D.] 二、填空题6．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．(－3,2)∪(3，＋∞) [依题意有⎩⎨⎧ 2－m ＞0，|m |－3＜0或⎩⎨⎧2－m ＜0，|m |－3＞0，解得－3＜m ＜2或m ＞3.所以实数m 的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．]7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5.若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________．26 [根据双曲线定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8.∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋|AF 1|＋|BF 1|＝16＋|AB |＝16＋5＝21.所以△ABF 2的周长是|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.]8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．x 2－y 23＝1 [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]三、解答题9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型．[解] (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．10．已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．[解] 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(不妨设r 1＞r 2)，θ＝∠F 1MF 2，因为S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ，θ已知，所以只要求r 1r 2即可，因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r 1r 2.(1)当θ＝90°时，S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ＝12r 1r 2.由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，由双曲线定义，得|r 1－r 2|＝2a ＝4，两边平方，得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16， 又r 21＋r 22＝|F 1F 2|2，即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16，也即52－16＝4S △F 1MF 2，求得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝52，所以r 1r 2＝12， 求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理，可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.(3)由以上结果可见，随着∠F 1MF 2的增大，△F 1MF 2的面积将减小． 证明如下：由双曲线定义及余弦定理，得 ⎩⎨⎧(r 1－r 2)2＝4a 2， ①r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ＝4c 2. ② ②－①，得r 1r 2＝4c 2－4a 22(1－cos θ)，所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ＝(c 2－a 2)sin θ1－cos θ＝b 2cot θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内，cot θ2是减函数． 因此当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2cot θ2减小．11．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1的说法正确的是( )A ．当0＜θ＜π2时，方程表示椭圆 B ．当θ＝π2时，方程不表示任何图形C ．当π2＜θ＜3π4时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 D ．当3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线BC [当0＜θ＜π2时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝π4时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A 错误；当θ＝π2时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当π2＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论π2＜θ＜3π4还是3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以C 正确，D 错误，故选BC.]12．(多选题)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下判断，正确的是( )A ．当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆B ．当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线 C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52 D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4BCD [A 错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；B 正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；C 正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0，∴1＜t ＜52；D 正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧4－t ＜0，t －1＞0，∴t＞4.]13．(一题两空)已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，则|AB |＝________.又三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C ．则点C 的轨迹方程为________．4 x 2－y 23＝1(x ＞1) [将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.又∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得 |CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)．]14．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．2512，31312 [因为双曲线方程为x 2144－y 225＝1，所以c ＝144＋25＝13，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，则y 225＝132144－1＝25144，所以y ＝2512，即|AF 1|＝2512.又|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24， 所以|AF 2|＝24＋2512＝31312.即所求距离分别为2512，31312.]15．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP －|FP ||的最大值．[解] (1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r .由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4.则圆C 的圆心轨迹为双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1， ∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)由(1)知F 为双曲线L 的一个焦点，如图，连接MF 并延长交双曲线于一点P ，此时|PM |－|PF |＝|MF |为||PM |－|FP ||的最大值．又|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝2， ∴||MP |－|FP ||的最大值为2.3.2.2双曲线的简单几何性质一、选择题1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴相等C．离心率相等D．焦距相等D[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]2．若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)C[由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1 a.即e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.]3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A．x220－y25＝1 B．x25－y220＝1C．x280－y220＝1 D．x220－y280＝1A[双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以4a2－1b2＝0，即a2＝4b2①.又a2＋b2＝c2＝25②.由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为x220－y25＝1，故选A.] 4．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率是( )A ． 2B ．1＋ 2C ．2＋ 2D ．3－ 2B [因为|PF 2|＝|F 2F 1|, P 点满足c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝ba c 2－a 2，∴2c ＝b a c 2－a 2，即2ac ＝b 2＝c 2－a 2，∴2＝e －1e ，又e ＞0，故e ＝1＋ 2.] 5．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4B [根据题意，可知其渐近线的斜率为±33，且右焦点为F (2,0)，从而得到∠FON ＝30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°， 可以得出直线MN 的方程为y ＝3(x －2)， 分别与两条渐近线y ＝33x 和y ＝－33x 联立， 求得M (3，3) ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，所以|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＝3.] 二、填空题6．(一题两空)若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________，渐近线方程是________．2 y ＝±2x [a 2＝1，b 2＝m ，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋m ＝3，m ＝2.渐近线方程是y ＝±mx ＝±2x .]7．以y ＝±x 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．x 24－y 24＝1 [以y ＝±x 为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x 2－y 2＝4，即x 24－y 24＝1.]8．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．x 24－y 2＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3＜2， ∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知条件可得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.] 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 因为c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12. 故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则b a ＝12①. 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b 2＝1 ②.联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， 可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)， ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴422－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点是F (2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3. 所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.11．(多选题)关于双曲线C 1：4x 2－9y 2＝－36与双曲线C 2：4x 2－9y 2＝36的说法正确的是( )A ．有相同的焦点B ．有相同的焦距C ．有相同的离心率D ．有相同的渐近线BD [两方程均化为标准方程为y 24－x 29＝1和x 29－y 24＝1，这里均有c 2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x 轴上，另一个在y 轴上，所以A 错误，B 正确；又两方程的渐近线均为y ＝±23x ，故D 正确．C 1的离心率e ＝132，C 2的离心率e ＝133，故C 错误．]12．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( )A ．233B ． 2C ． 3D ．2D [直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b 2＝ab c＝34c ， 即ab ＝34c 2，所以a 2(c 2－a 2)＝316c 4.整理得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43， 又b >a >0，所以e 2＝1＋b 2a 2>2，故e ＝2.]13．(一题两空)已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为左焦点F 1，右焦点F 2，点P 是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF 1|＝________，cos ∠F 1PF 2的值为________．6＋3 13 [因为F 1，F 2分别为左、右焦点，点P 在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝13.]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．[2，＋∞) [由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a 2≥4，所以e ≥2.]15．已知椭圆C 1：x 23＋y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为32.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且OQ 1→·OQ 2→＝－5，求|M 1M 2|的取值范围．[解] (1)由椭圆C 1：x 23＋y 2＝1的左右顶点为(－3，0)，(3，0)，可得a 2＝3，又椭圆C 1的上顶点(0,1)到双曲线C 2的渐近线bx －ay ＝0的距离为32，由点到直线的距离公式有a a 2＋b2＝32可得b ＝1， 所以双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 23－y 2＝1，消去y 并整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，要与C 2相交于两点，则应有⎩⎨⎧1－3k 2≠036k 2m 2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＞0 ⇒⎩⎨⎧1－3k 2≠01＋m 2＞3k 2①，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有：x 1＋x 2＝6km1－3k 2，x 1·x 2＝－3＋3m 21－3k 2.又OQ 1→·OQ 2→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，又OQ 1→·OQ 2→＝－5，所以有11－3k2[(1＋k 2)(－3m 2－3)＋6k 2m 2＋m 2(1－3k 2)]＝－5 整理得m 2＝1－9k 2②，将y ＝kx ＋m ，代入x 23＋y 2＝1，消去y 并整理得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，要有两交点，则Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＞0⇒3k 2＋1＞m 2 ③。
新教材2025版高中数学第三章圆锥曲线的方程章末质量检测新人教A版选择性必修第一册
章末质量检测(三) 圆锥曲线的方程考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( ) A ．(1，0)B ．(0，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1162．过椭圆x 225＋y29＝1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．18C ．10D ．163．已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ＝33x ，则该双曲线的离心率为( )A ．12B ．32C ．2D ．2334．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线上，直线PF 交x 轴于Q 点，且PF →＝4FQ →，则点P 到准线l 的距离为( )A ．4B ．5C ．6D ．75．为了更好地探讨双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB 与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分，曲线AB 与曲线CD 中间最窄处间的距离为30cm ，点A 与点C ，点B 与点D 均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝36cm ，则|AD|＝( )A ．1210cmB ．638cmC ．38cmD ．637cm6．已知椭圆mx 2＋5my 2＝5的一个焦点坐标是(－2，0)，则m ＝( ) A ．5B ．2C ．1D ．327．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆交抛物线于A 、B 两点，交准线于M 、N 两点，若|AB|＝42，|MN|＝25，则抛物线方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上．当△PF 1F 2的面积最大时，△PF 1F 2的内切圆半径为( )A ．12B ．33C ．1D ．233二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．关于双曲线y 29－x216＝1，下列说法正确的有( )A ．虚轴长为8B ．渐近线方程为y ＝±34x C ．焦点坐标为(±5，0) D ．离心率为5410．已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则下列选项正确的是( ) A ．当m ＝n 时，方程表示的曲线是圆 B ．当mn<0时，方程表示的曲线是双曲线 C ．当m>n>0时，方程表示的曲线是椭圆D ．当m ＝0且n>0时，方程表示的曲线是抛物线11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为23，则( )A ．椭圆的方程为x 24＋y23＝1B ．椭圆与双曲线2y 2－2x 2＝1的焦点相同C ．椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32D ．直线y ＝k(x ＋1)与椭圆恒有两个交点12．如图，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且斜率为3的直线与抛物线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，|BF|＝1，则( )A ．|BD|＝2B ．p ＝32C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．双曲线mx 2＋y 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝________．14．过抛物线x 2＝2y 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为4，则线段AB 的长度为________．15．已知线段AB 的长度为3，其两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 满意2AM →＝MB →.则点M 的轨迹方程为________．16．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1，(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，过F 1的直线l 与圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 24相切，与双曲线在第四象限交于一点M ，且有MF 2⊥x轴，则直线l 的斜率是________，双曲线的渐近线方程为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知双曲线x 22－y27＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为7的弦AB.求：(1)弦AB 的长； (2)△F 1AB 的周长．18．(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且FA →·OA →＝16.(1)求抛物线的方程；(2)过点M(8，0)作直线l 交抛物线于B ，C 两点，设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，推断OB →·OC →是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．(本小题满分12分)已知P 是椭圆C 1：x 22＋y 2＝1上的动点，F 1，F 2分别是C 1的左、右焦点，点Q 在F 1P 的延长线上，且∠PQF 2＝∠PF 2Q ，记点Q 的轨迹为C 2.(1)求C 2的方程；(2)直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于M ，N 两点，若MN 的中点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，求AB 的中点坐标．20．(本小题满分12分)已知直线l ：ax －y －1＝0与双曲线C ：x 2－2y 2＝1相交于P 、Q 两点．(1)当a ＝1时，求|PQ|；(2)是否存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)，直线l ：y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点且OA⊥OB(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)设P(2，2)，若直线PA ，PB 的倾斜角互补，求k 的值．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，且过点(0，1). (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A 、B 非椭圆顶点)，求·的最大值．章末质量检测(三) 圆锥曲线的方程1．解析：抛物线y ＝4x 2的方程化为标准方程为：x 2＝14y ，故p ＝18，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.答案：D2．解析：依题意a ＝5，依据椭圆的定义可知，三角形ABF 2的周长为4a ＝20. 答案：A3．解析：由题意b a ＝33，∴a 2＝3b 2，∴a 2＝3(c 2－a 2)，∴4a 2＝3c 2，∴c 2a 2＝43，∴e 2＝43，∴e ＝233.答案：D4．解析：由题意得：F (0，1)，准线方程为y ＝－1，因为PF →＝4FQ →，所以y P ＝5y F ＝5，故点P 到准线l 的距离为y P ＋1＝6.答案：C5．解析：以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1(a >0)，依题意可得2a ＝30，则a ＝15，即双曲线的方程为x 2152－y 23×152＝1.因为|AB |＝36cm ，所以A 的纵坐标为18.由x 2152－1823×152＝1，得|x |＝337，故|AD |＝637cm.答案：D6．解析：由焦点坐标是(－2，0)，则椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， 将椭圆mx 2＋5my 2＝5化为x 25m＋y 21m＝1，则m >0，由5m >1m ，焦点坐标是(－2，0)，则5m －1m＝4，解得m ＝1.答案：C7．解析：设圆O 的半径为r ，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由勾股定理可得r ＝p 24＋5，因为|AB |＝42，将y ＝±22代入抛物线方程得2px ＝8，可得x ＝4p，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，则r ＝|OA |＝16p2＋8，所以，⎩⎪⎨⎪⎧p 24＋5＝16p 2＋8p >0，解得p ＝4， 因此，抛物线的方程为y 2＝8x .答案：C8．解析：由已知得a 2＝4，b 2＝3，∴a ＝2，c ＝1， ∴F 1(－1，0)，F 2(1，0)，∵点P 在椭圆C 上，当△PF 1F 2的面积最大时，∴点P 到x 轴距离最大，即P 为椭圆的短轴的端点，不妨设P (0，3), △PF 1F 2周长为l ＝2c ＋2a ＝2＋2×2＝6，面积为S ＝3， 设内切圆半径为r ，则S ＝12rl ，∴r ＝2S l ＝33.答案：B9．解析：双曲线y 29－x 216＝1，则a 2＝9，b 2＝16，则a ＝3，b ＝4，则c 2＝a 2＋b 2＝25，则c ＝5，所以双曲线的虚轴长2b ＝8，渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x ，焦点坐标为(0，±5)，离心率e ＝c a ＝53.答案：AB10．解析：对于A ，当m ＝n <0时，方程不表示任何图形，故A 错误； 对于B ，当m >0，n <0时，方程x 21m－y 2－1n＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，当m <0，n >0时，方程y 21n－x 2－1m＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，故B 正确；对于C ，当m >n >0时，1n >1m >0，方程y 21n＋x21m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，故C 正确；对于D ，当m ＝0且n >0时，方程y ＝n n 或y ＝－nn表示垂直于y 轴的两条直线，故D 错误．答案：BC11．解析：因为椭圆的短轴长为23，所以有2b ＝23⇒b ＝3⇒a 2－c 2＝3，而椭圆的离心率为12，所以c a ＝12⇒a ＝2c ⇒a 2＝4c 2，所以可得：c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.A ：因为a 2＝4，b 2＝3，所以该椭圆的标准方程为：x 24＋y 23＝1，因此本选项正确；B ：由2y 2－2x 2＝1⇒y 212－x 212＝1，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆x 24＋y 23＝1的焦点在横轴上，所以本选项说法不正确；C ：因为124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3223＝1，所以点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32在该椭圆上，因此本选项说法正确； D ：直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1，0)，而（－1）24＋023<1，所以点(－1，0)在椭圆内部，因此直线y ＝k (x ＋1)与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确．答案：ACD 12.解析：如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM ⊥x 轴于M ，BE ⊥准线l 于点E .BH ⊥x 轴于H ，直线的斜率为3，∴tan∠HFB ＝3，∴∠HFB ＝π3，∴∠BDE ＝π6，∴|DB |＝2|BE |＝2|BF |＝2，故A 正确；又∵|BF |＝1，∴|HF |＝12，|HB |＝32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－12，－32，代入抛物线，得p ＝32(p ＝－12舍去)，故B 正确；对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：y ＝3x －334，与抛物线方程联立得：x 2－52x ＋916＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －94⎝⎛⎭⎪⎫x －14＝0，故x A ＝94，故点A 到准线的距离为p2＋x A ＝3，故C 错误；对于D, 由C 选项得，|AF |＝3＝|FD |, 点F 为线段AD 的中点，故D 正确． 答案：ABD13．解析：由已知条件得m <0，双曲线mx 2＋y 2＝1的标准方程为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，b 2＝－1m，实轴长为2，虚轴长为2－1m，由题意得2＝4－1m，解得m ＝－4.答案：－414．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝4，即y 1＋y 2＝8，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝8＋1＝9.答案：915．解析：设M (x ，y )，A (a ，0)，B (0，b )，由2AM →＝MB →，有2(x －a ，y )＝(－x ，b －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x 2b ＝3y ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，0，B (0，3y )，由|AB |＝3得：9x 24＋9y 2＝9，所以点M 的轨迹C 的方程是x 24＋y 2＝1.答案：x 24＋y 2＝116．解析：如图所示，不妨设直线l 与圆C 相切于点A ， ∴CA ⊥F 1M ，∴|CA ||AF 1|＝|F 2M ||F 1F 2|，由于|CA |＝c 2，|CF 1|＝3c 2，|AF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝2c ，|F 1F 2|＝2c ，∴|F 2M |＝2c 2，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－2c 2， ∴k l ＝－tan∠CF 1A ＝－c22c＝－24. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－2c 2代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得c 2a 2－c 22b 2＝1， ∴a 2＋b 2a 2－a 2＋b 22b2＝1，∴a ＝b ，渐近线方程为y ＝±bax ＝±x .答案：－24y ＝±x 17．解析：(1)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意知双曲线的左、右焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 直线AB 的方程y ＝7(x －3)，与x 22－y 27＝1联立得x 2－12x ＋20＝0，解得x 1＝2，x 2＝10， 代入AB 的方程为y ＝7(x －3)，分别解得y 1＝－7，y 2＝77.所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（2－10）2＋（－7－77）2＝16 2. (2)由(1)知|AB |＝162，|AF 1|＝（2＋3）2＋（－7－0）2＝42， |BF 1|＝（10＋3）2＋（77－0）2＝162，所以△F 1AB 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝36 2.18．解析：(1)由题意，设抛物线的方程为：y 2＝2px (p >0)，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，点A 的一个坐标为(2，2p )， 因为FA →·OA →＝16，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2，2p ·(2，2p )＝16，即4－p ＋4p ＝16，解得p ＝4.所以抛物线的方程为：y 2＝8x .(2)设直线l 的方程为x ＝ky ＋8，则联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝ky ＋8得y 2－8ky －64＝0，所以y 1＋y 2＝8k ，y 1·y 2＝－64， 因为OB →＝(x 1，y 1)，OC →＝(x 2，y 2)，所以OB →·OC →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋8)(ky 2＋8)＋y 1y 2＝(k 2＋1)y 1y 2＋8k (y 1＋y 2)＋64＝－64(k 2＋1)＋8k ·8k ＋64＝0. 所以OB →·OC →为定值0.19．解析：(1)因为P 是C 1：x 22＋y 2＝1上的点，F 1，F 2是C 1的焦点，所以|PF 1|＋|PF 2|＝22，因为∠PQF 2＝∠PF 2Q ，所以|PQ |＝|PF 2|，又因为点Q 在F 1P 的延长线上，所以|QF 1|＝|PF 1|＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＝22，即点Q 的轨迹C 2是以F 1为圆心，以22为半径的圆，因为F 1(－1，0)，所以C 2的方程为(x ＋1)2＋y 2＝8.(2)因为MN 的中点为T ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，圆C 2的圆心为F 1(－1，0)，且TF 1⊥MN ，所以直线MN 的斜率为k MN ＝－1kTF 1＝2，方程为y ＝2x －12. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －12，x22＋y 2＝1，消y 得9x 2－4x －32＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝49，所以x 0＝x 1＋x 22＝29，y 0＝2x 0－12＝2×29－12＝－118， 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫29，－118.20．解析：(1)设点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，当a ＝1时，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x 2－2y 2＝1，可得x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－12>0，由韦达定理可得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝3，所以，|PQ |＝1＋12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2 2.(2)假设存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y －1＝0x 2－2y 2＝1，得(2a 2－1)x 2－4ax ＋3＝0， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1≠0Δ＝16a 2－12（2a 2－1）>0，解得－62<a <62且a ≠±22， 由韦达定理可知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4a2a 2－1x 1x 2＝32a 2－1，因为以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP ⊥OQ ，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(ax 1－1)(ax 2－1)＝(a 2＋1)x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋1 ＝3（a 2＋1）－4a 22a 2－1＋1＝0， 整理可得a 2＋2＝0，该方程无实解，故不存在． 21．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py y ＝kx ＋2，得x 2－2pkx －4p ＝0， 故x 1x 2＝－4p ，由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋x 21 2p ·x 222p＝0，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为：x 2＝2y ；(2)设PA 的倾斜角为θ，则PB 的倾斜角为π－θ， ∴k PA ＋k PB ＝tan θ－tan (π－θ)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y y ＝kx ＋2，得x 2－2kx －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k ，∴k PA ＝y 1－2x 1－2＝12x 21 －2x 1－2＝x 1＋22，同理k PB ＝x 2＋22， 由k PA ＋k PB ＝0，得x 1＋22＋x 2＋22＝0，∴x 1＋x 2＋4＝0，即2k ＋4＝0，故k ＝－2.22．解析：(1)由椭圆C 过点(0，1)，则有b ＝1， 由e ＝c a ＝22，可得a 2＝2c 2＝2(a 2－b 2)， 解得：a ＝2，则椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1. (2)由(1)得F 1(－1，0)，F 2(1，0)，已知直线l 不过椭圆长轴顶点， 则直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x ＝my －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线方程和椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1x ＝my －1，整理可得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，故Δ>0是恒成立的．依据韦达定理可得y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 则有F 2A ·F 2B ＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－2m (y 1＋y 2)＋4＝(m 2＋1)·－1m 2＋2－2m ·2m m 2＋2＋4 ＝－m 2＋7m 2＋2＝－1＋9m 2＋2. 由m 2≥0，可得－1＋9m 2＋2≤72， 所以F 2A ·F 2B 的最大值为72.。
新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程章末测评含解析苏教版选择性必修第一册
新教材高中数学：章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A ．133 B ．53 C ．23 D ．59B [根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53．]2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线的焦点的坐标为( ) A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1)D ．(0，1)B [y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，由条件知－p2＝－1．∴p ＝2，即方程为y 2＝4x ，其焦点坐标为(1，0)．]3．若双曲线x 2a －y 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，则正实数a 的值为( )A ．9B ．3C ．13D ．19D [双曲线x 2a －y 2＝1的渐近线为y ＝±1a x ．由条件知1a＝3，解得a ＝19．]4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A ．2B ．2C ．322D ．22D [法一：由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ．由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝22．故选D ．法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝22．故选D ．] 5．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( )A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1B [椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1．]6．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．8C [双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2．又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7．]7．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A ．x 24－3y 24＝1B ．x 24－4y 23＝1C ．x 24－y 2b2＝1D ．x 24－y 212＝1D [根据对称性，不妨设A 在第一象限，A (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b2，∴xy ＝16b 2＋4·b 2＝b 2⇒b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选D ．]8．我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°A [设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知，得A (a ，0)，B (0，b )，F (－c ，0)， 则BF →＝(－c ，－b )，BA →＝(a ，－b )． ∵离心率e ＝ca ＝5－12，∴c ＝5－12a ，b ＝a 2－c 2 ＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a ， ∴BF →·BA →＝b 2－ac ＝0，∴∠ABF ＝90°．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对于双曲线C 1：x 24－y 2＝1与双曲线C 2：y 2－x 24＝1的下列说法中，正确的是( )A ．它们的实轴长和虚轴长相同B ．它们的焦距相同C ．它们的渐近线相同D ．若它们的离心率分别为e 1，e 2，那么1e 21＋1e 22＝1BCD [A 中，C 1的实轴长、虚轴长分别为4和2，而C 2的实轴长和虚轴长分别为2和4，故A 错误；B 中，C 1，C 2的焦距均为2c ＝21＋4＝25，故B 正确；C 中，C 1，C 2的渐近线方程均为y ＝±12x ，故C 正确．D 中，C 1的离心率e 1＝52，C 2的离心率e 2＝5，这里1e 21＋1e 22＝45＋15＝1．故D 正确，故应选BCD ．] 10．给定下列四条曲线中，与直线x ＋y －5＝0仅有一个公共点的曲线是( ) A ．x 2＋y 2＝52B ．x 29＋y 24＝1C ．x 22－y 22＝1D ．y 2＝－45xACD [A 中，圆心到直线距离d ＝52＝r ．故直线与圆相切，仅有一个公共点，∴A 正确；B 中，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x 29＋y 24＝1得13x 2－185x ＋9＝0，Δ＞0，∴直线与椭圆相交，有两个交点，∴B 错误；C 中，由于直线平行于双曲线的渐近线，故只有一个交点，∴C 正确；D 中，由⎩⎨⎧x ＋y －5＝0y 2＝－45x得x 2＋25x ＋5＝0，这里Δ＝0．故直线与抛物线相切．∴D 正确，故应选ACD ．]11．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线不可能的是下图中的( )A BC DABD [方程化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1．从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B中直线有a ＜0，b ＜0矛盾，所以B 不可能；D 中直线有a ＜0，b ＞0矛盾，也不可能；再看A 中双曲线的a ＜0，b ＞0，但直线有a ＞0，b ＞0，也矛盾，所以A 也不可能；C 中双曲线的a ＞0，b ＜0和直线中a ，b 一致．所以C 是可能的，故应选ABD ．]12．已知点M (1，0)，A ，B 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，当MA →·BA →取下列哪些值时，可以使MA →·MB →＝0( )A ．3B ．6C ．9D ．12 ABC [设A (x 0，y 0)，且MA →·MB →＝0．因为MA →·BA →＝MA →·(BM →＋MA →)＝MA →2＋MA →·BM →＝MA →2＝(x 0－1)2＋y 20， 将A 点坐标代入椭圆，得x 204＋y 20＝1， 所以y 20＝1－x 204，代入上式可得MA →·BA →＝(x 0－1)2＋1－x 204＝3x 204－2x 0＋2＝34⎝⎛⎭⎫x 0－432＋23(－2≤x 0≤2)．所以(MA →·BA →)min ＝23，(MA →·BA →)max ＝9．对照选项，MA →·BA →可以取ABC ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．抛物线y 2＝8x的焦点到双曲线x 22－y 22＝1的渐近线的距离为________．2 [由抛物线y 2＝8x 可得其焦点为(2，0)，又双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴所求距离为d ＝22＝2．]14．与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程为________．x 212－y 28＝1 [法一：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又点(32，2)在双曲线上，故(32)2a 2－4b 2＝1．又a 2＋b 2＝16＋4＝20，得a 2＝12，b 2＝8，则双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1． 法二：设双曲线的标准方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16，且k ≠0)，将点(32，2)代入方程，得k ＝4，则双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．]15．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |＝________．6 [法一：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)．∵N 点在y 轴上，设N (0，y N )．又∵M 为FN 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫2＋02，0＋y N 2，即M ⎝⎛⎭⎫1，y N 2． 又∵M 点在抛物线y 2＝8x 上， ∴⎝⎛⎭⎫y N 22＝8×1，得y 2N ＝32， ∴|FN |＝(2－0)2＋(0－y N )2＝6．法二：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，准线l ：x ＝－2．如图，设l 与x 轴的交点为A ，分别过N ，M 作直线l 的垂线，垂足分别为C ，B ．由M 为FN 的中点，易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线．∵|CN |＝2，|AF |＝4，∴|MB |＝3．又由抛物线的定义得|MB |＝|MF |，且|MN |＝|MF |，∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝2|MF |＝2|MB |＝6．]16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为_____________．(第一空2分，第二空3分)3－1 2 [如图，六边形ABF 1CDF 2为正六边形，直线OA 、OB 是双曲线的渐近线，则△AOF 2是正三角形，∴直线OA 的倾斜角为π3，∴其斜率k ＝|n ||m |＝3，∴双曲线的离心率e 1＝1＋⎝⎛⎭⎫n m 2＝1＋3＝2；连接F 1A ，∵正六边形的边长为c ，∴|F 1A |＝3c ．由椭圆的定义得|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，∴椭圆的离心率e 2＝c a ＝21＋3＝3－1．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C 的标准方程．[解] 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2．双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ．所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1．18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．[解] 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∵点P ⎝⎛⎭⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32．∴p ＝2， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x ．∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1， 得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)． ∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1．19．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100． (2)S△F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，① 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2．② 由①②得c ＝6，∴b ＝8．20．(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0，2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2．证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[证明] (1)依题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8， 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，BD 的方程为x ＝x 2，则交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 1x 2x 1． 又x 1x 2＝－8，x 21＝4y 1， 则有y 1x 2x 1＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，即D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)． (2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0．设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(ax ＋b )， 即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0， 化简整理，得b ＝－a 2，故切线的方程为y ＝ax －a 2． 分别令y ＝2，y ＝－2，得N 1⎝⎛⎭⎫2a ＋a ，2，N 2⎝⎛⎭⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎫2a ＋a 2＝8， 即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8．21．(本小题满分12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13． (1)求椭圆的方程．(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．[解] (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59．又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b ．由|AB |＝a 2＋b 2＝13得a ＝3，b ＝2．所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1．(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)．由题意，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1．易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx 消去y ，可得x 2＝63k ＋2．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx 消去y ，可得x 1＝69k 2＋4．由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89或k ＝－12．当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， ∵A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(1＋1)2＋⎝⎛⎭⎫222＋22＝22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)假设这样的直线存在，设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋tx 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， ∴y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9且－3＜t ＜3，由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形，∴y 0＝53＋y 42＝t 9，得y 4＝2t －159，又－3＜t ＜3，可得－73＜y 4＜－1，∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．。
新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去； 当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。
新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程质量评估含解析新人教A版选择性必修第一册
第三章质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a(a>0)，当a=3和a=5时，点P的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线B.双曲线和两条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线解析:当2a<|AB|时，表示双曲线的一支;当2a=|AB|时，表示一条射线.答案:D2.抛物线x2=4y的焦点坐标是()A.(0，2)B.(2，0)C.(0，1)D.(1，0)解析:因为抛物线x2=4y中，p=2，p2=1，焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0，1).答案:C3.已知双曲线的实轴长为2，焦点为(-4，0)，(4，0)，则该双曲线的标准方程为()A.p212-p24=1B.p24-p212=1C.x2-p215=1D.p215-x2=1解析:由题意，得c=4，a=1，所以b2=c2-a2=16-1=15.因为双曲线以(-4，0)，(4，0)为焦点，所以双曲线的标准方程是x2-p215=1.答案:C4.若a>1，则双曲线p2p2-p2(p+1)2=1的离心率e的取值范围是()A.(√2，2)B.(√2，√5)C.(2，5)D.(2，√5)解析:由题意，得e2=(pp )2=p2+(p+1)2p2=1+(1+1p)2.因为1p是随着a的增大而减小的，所以当a>1时，0<1p<1，所以2<e2<5，所以√2<e<√5.5.已知椭圆p 2p 2+p 2p 2=1(a >b >0)的一个焦点为圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A.(-3，0)B.(-4，0)C.(-10，0)D.(-5，0)解析:因为圆的方程可化为(x -3)2+y 2=1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c =3.由题意，知b =4，所以a =√p 2+p 2=5.因为椭圆的一个焦点为(3，0)，所以椭圆的左顶点为(-5，0).答案:D 6.若椭圆p 24+p 22=1的弦AB 的中点为(-1，-1)，则弦AB 的长为( )A.√303B.2√63 C.√103D.√153解析:设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=-2.因为点A ，B 在椭圆上，所以{p 124+p 122=1,p 224+p 222=1,解得弦AB 所在直线的斜率为-12，所以弦AB 所在直线的方程为y =-12(x +1)-1，联立椭圆方程消去y 得到3x 2+6x +1=0，根据弦长公式得|AB |=√303. 答案:A7.设F 1，F 2分别是双曲线C :p 2p 2-p 2p 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过点F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |，则双曲线C 的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√2解析:设渐近线的方程为bx -ay =0，则直线PF 2的方程为ax +by -ac =0，由{pp +pp -pp =0,pp -pp =0,可得P (p 2p ,pp p ). 由F 1(-c ，0)及|PF 1|=√6|OP |，得√(p 2p+p )2+(pp p )2=√6×√(p 2p)2+(pp p)2， 化简可得3a 2=c 2，则e =√3. 答案:C8.已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2p 1+p 22的最小值为( )C.6D.√3解析:如图，设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，由题意可知，|F1F2|=|F2P|=2c.因为|F1P|+|F2P|=2a1，|F1P|-|F2P|=2a2，所以|F1P|+2c=2a1，|F1P|-2c=2a2，两式相减，可得a1-a2=2c.因为2p1+p22=2p1p+p2p2=4p1p2+p22pp2，所以2p1+p22=4(2p+p2)p2+p22pp2=8pp2+4p22+p22pp2=4+2p2p +p 2p2.因为2p2p +p2p2≥2√2p2p×p2p2=2，当且仅当2p2p=p2p2时成立，所以2p1+p22的最小值为6.答案:C二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线C:mx2+ny2=1，下列说法正确的是()A.若m=0，n>0，则C是两条直线B.若m=n>0，则C是圆，其半径为√pC.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上D.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√-ppx解析:已知曲线C:mx2+ny2=1，若m=0，n>0，则C是两条直线:y=√pp 和y=-√pp，所以A项正确;若m=n>0，则C是圆，其半径为√pp，所以B项错误;若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，所以C项错误;若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√-ppx，所以D项正确.故选AD.答案:AD10.已知双曲线的方程为p 29-p 27=1，则下列说法正确的是( )A.焦点坐标为(±√2，0)B.渐近线方程为√7x ±3y =0C.离心率为43D.焦点到渐近线的距离为√144解析:由双曲线的方程为p 29-p 27=1，可知a =3，b =√7，c =4，所以双曲线的焦点坐标为(±4，0)，渐近线方程为√7x ±3y =0，离心率为43，焦点到渐近线的距离为√7√7+9=√7，所以A 项错误，B 项正确，C 项正确，D 项错误.故选BC .答案:BC 11.已知椭圆C :p 24+p 28=1内一点M (1，2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是( )A.椭圆的焦点坐标为(2，0)，(-2，0)B.椭圆C 的长轴长为2√2C.直线l 的方程为x +y -3=0D.|AB |=4√33解析:由椭圆C 的方程可得a 2=8，b 2=4， 所以c =√p 2-p 2=2，所以椭圆C 的焦点坐标为(0，-2)，(0，2)，所以A 项错误; 因为椭圆C 的长轴长为2a =4√2，所以B 项错误; 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则p 124+p 128=1，p 224+p 228=1， 两式作差，得(p 1+p 2)(p 1-p 2)4=-(p 1+p 2)(p 1-p 2)8，即p 1-p 2p 1-p 2=-2(p 1+p 2)p 1+p 2.因为M (1，2)为线段AB 的中点， 所以p 1-p 2p 1-p 2=-2×24=-1，即直线l 的斜率为-1，所以直线l 的方程为y -2=-1×(x -1)，即x +y -3=0，所以C 项正确;由方程组{p +p -3=0,p 24+p 28=1,可得3x 2-6x +1=0.所以x 1+x 2=2，x 1x 2=13，所以|AB |=√1+(-1)2×√(p 1+p 2)2-4p 1p 2=√2×√4-43=4√33，所以D 项正确.故选CD . 答案:CD12.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点A 是抛物线上的动点，设点B (-2，0)，当|pp ||pp |取得最小值时，满足( )A.AB 的斜率为±√23B.|AF |=4C.△ABF 内切圆的面积为√5+12π D.△ABF 内切圆的面积为(24-16√2)π 解析:显然B 为抛物线的准线与x 轴的交点，如图，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为M ，则|AM |=|AF |，于是|pp ||pp |=|pp ||pp |=sin ∠ABM.显然当AB 与抛物线相切时，∠ABM 最小，即|pp ||pp |取得最小值.设AB 与抛物线相切时，直线AB 的方程为y =k (x +2)，把直线AB 的方程代入抛物线方程，化简可得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0. ① 令Δ=0，可得(4p 2-8)2-16k 4=0，解得k =±1，故A 项错误;把k =±1代入方程①，可得x 2-4x +4=0，解得x =2，即|pp ||pp |取得最小值时，点A 的横坐标为2， 故|AF |=|AM |=2+2=4，故B 项正确;不妨设点A 在第一象限，则A (2，4)，所以|AB |=4√2，|BF |=4，|AF |=4.显然AF ⊥BF. 设△ABF 的内切圆半径为r ，则S △ABF =12×(4√2+4+4)×r =12×4×4=8，解得r =4-2√2，所以△ABF 的内切圆面积为π×(4-2√2)2=(24-16√2)π，故C 项错误，D 项正确. 故选BD . 答案:BD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若抛物线y 2=2px (p >0)经过点(2，1)，则p =14.解析:因为抛物线y 2=2px (p >0)经过点(2， 1)，所以1=4p ，即p =14. 14.直线l :y =kx +2与椭圆C :p 22+y 2=1有公共点，则k 的取值范围是(-∞,-√62]∪[√62,+∞).解析:由{p 22+p 2=1,p =pp +2消去y ，整理得(2k 2+1)x 2+8kx +6=0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ=(8k )2-24×(2k 2+1)≥0，解得k ≥√62或k ≤-√62.15.在平面直角坐标系Oxy 中，设P 为两动圆(x +2)2+y 2=(r +2)2，(x -2)2+y 2=r 2(r >1)的一个交点，记动点P 的轨迹为C ，给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于x 轴对称; ③设点P (x ，y )，则有|y |<2|x |. 其中，正确结论的序号是②③.解析:①设A (-2，0)，B (2，0)，动点P (x ，y )，根据题意，得|PA |-|PB |=2，所以根据双曲线的定义判定，点P 的轨迹是双曲线的右支，方程为p 21-p 23=1(x >0).因为(0，0)不在曲线C 上，所以①不正确;②设M (x 0，y 0)为曲线上任一点，则M (x 0，y 0) 关于x 轴的对称点为N (x 0，-y 0).因为N 也在曲线C 上，所以曲线C 关于x轴对称，所以②正确;③因为4x 2=4(1+p 23)=4+43y 2>y 2，所以|y |<2|x |，所以③正确.16.已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则1p 12+3p 22= 4.解析:椭圆和双曲线的位置示意图如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，由定义得{|pp 1|+|pp 2|=2p 1,|pp 1|-|pp 2|=2p 2,所以|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1-a 2.设|F 1F 2|=2c ，由∠F 1PF 2=π3，结合余弦定理得4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1-a 2)2-2(a 1+a 2)·(a 1-a 2)×cos ∠F 1PF 2，化简得p 12+3p 22=4c 2，所以p 12p 2+3p 22p 2=4，即1p 12+3p 22=4.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求与椭圆p 2144+p 2169=1有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程，并求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.解:由题意，知椭圆p 2144+p 2169=1的焦点是(0，-5)，(0，5)，焦点在y 轴上，所以设双曲线方程是p 2p 2-p 2p 2=1(a >0，b >0). 因为双曲线过点(0，2)，所以c =5，a =2. 所以b 2=c 2-a 2=25-4=21. 所以双曲线的标准方程是p 24-p 221=1，实轴长为4，焦距为10，离心率e =p p =52，渐近线方程是y =±2√2121x.18.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的通径长为4. (1)求抛物线C 的标准方程;(2)若直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，M (3，2)是线段P Q 的中点，求直线l 的 方程.解:(1)由抛物线的性质，知2p =4，所以p =2， 所以所求抛物线C 的标准方程为y 2=4x. (2)由题意易知直线l 不与x 轴垂直.设所求方程为y -2=k (x -3)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由P ，Q 在抛物线C 上，得{p 12=4p 1,p 22=4p 2.两式相减，化简得(y 2+y 1)(y 2-y 1)=4(x 2-x 1). 因为p 2+p 12=2，p 2-p 1p 2-p 1=k ，代入上式解得k =1，所以所求直线l 的方程为y -2=1×(x -3)，即x -y -1=0.19.(12分)已知椭圆E :p 2p 2+p 2p 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且过点(√3,12)，直线l :y =x +m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于M ，N 两点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)若pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值.解:(1)由椭圆E 的离心率e =√32=√1-(p p )2，且过点(√3,12)，即3p 2+14p2=1，解得a 2=4，b 2=1，所以所求椭圆E 的方程为p 24+y 2=1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由题意，得P (0，m )，由{p 24+p 2=1,p =p +p ,得5x 2+8mx +4m 2-4=0，所以x 1+x 2=-8p 5，x 1x 2=4p 2-45.因为pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(-x 1，m -y 1)=3(x 2，y 2-m )，所以x 1=-3x 2.把x 1=-3x 2与x 1+x 2=-85m 联立，解得x 2=45m ，x 1=-125m.把x 1=-125m ，x 2=45m 代入x 1x 2=4p 2-45，解得m 2=517，所以m =±√8517. 验证:当m =±√8517时，Δ>0成立，符合题意.所以m =±√8517. 20.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线C 上一点，|MF |=8，且∠OFM =2π3(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程;(2)过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值. 解:(1)由抛物线的定义，知点M 到准线的距离为8， 由|MF |=p +|MF |cos 60°，得8=p +4，即p =4. 所以抛物线C 的方程为y 2=8x. (2)由(1)知焦点F (2，0).由题意知直线l 的斜率不为0，所以设直线l 的方程为x =ty +2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，得{p =pp +2,p 2=8p ,消去x 整理得y 2-8ty -16=0. 所以y 1+y 2=8t ，y 1y 2=-16. 坐标原点到直线l 的距离d =√.因为|AB |=√1+p 2|y 1-y 2|，所以S △AOB =12d |AB |=|y 1-y 2|=√(p 1+p 2)2-4p 1p 2=√64p 2+64≥8，当t =0时，取到最小值8. 所以△AOB 面积的最小值为8.21.(12分)(全国卷Ⅱ)已知椭圆C 1:p 2p 2+p 2p 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，椭圆C 1的中心与抛物线C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交椭圆C 1于A ，B 两点，交抛物线C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.(1)求椭圆C 1的离心率;(2)若椭圆C 1的四个顶点到抛物线C 2的准线距离之和为12，求椭圆C 1与抛物线C 2的标准方程. 解:(1)由题意可设抛物线C 2的方程为y 2=4cx (c >0)，则焦点为F (c ，0). 因为CD ⊥x 轴，将x =c 代入抛物线C 2的方程可得y 2=4c 2，所以|y |=2c ， 所以|CD |=4c.因为AB ⊥x 轴，将x =c 代入椭圆C 1的方程可得y 2=b 2(1-p 2p 2)=p 4p 2，所以|y |=p 2p ， 所以|AB |=2p 2p.由|CD |=43|AB |，得4c =43·2p 2p，即3ac =2b 2=2(a 2-c 2)，整理可得2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，e ∈(0，1)，解得e =12.所以椭圆C 1的离心率为12.(2)由题意可得椭圆C 1的四个顶点的坐标分别为(a ，0)，(-a ，0)，(0，b )，(0，-b )，抛物线C 2的准线方程为x =-c.所以2c +a +c +a -c =12，即a +c =6.由(1)可得p p =12，所以解得a =4，c =2，所以b 2=a 2-c 2=16-4=12， 所以椭圆C 1的标准方程为p 216+p 212=1，抛物线C 2的标准方程为y 2=8x.22.(12分)已知三个条件:①离心率e =12;②椭圆C 过点(1,32);③△PF 1F 2面积的最大值为√3.在这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并解决下面两个问题.设椭圆C :p 2p 2+p 2p 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为k 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，已知椭圆C 的短轴长为2√3，选法不唯一，以选①为例.(1)求椭圆C 的方程;(2)若线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证:|pp ||pp 1|为定值.(1)解:由题意可得{p 2=p 2+p 2,2p =2√3,p p=12,解得{p =2,p =√3,p =1,所以所求椭圆C 的方程为p 24+p 23=1.(2)证明:①当k =0时，|PQ |=2a =4，|NF 1|=c =1，所以|pp ||pp 1|=2pp =4. ②当k ≠0时，由题意可得F 1(-1，0).设直线PF 1的方程为y =k (x +1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 由{p =p (p +1),p 24+p 23=1,得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0，可求得Δ>0，且x 1+x 2=-8p 23+4p 2，x 1x 2=4p 2-123+4p 2，所以|PQ |=√1+p 2√(p 1+p 2)2-4p 1p 2=√1+p 2·√(-8p 23+4p 2)2-4×4p 2-123+4p 2=12+12p 23+4p 2.所以y 1+y 2=k (x 1+1)+k (x 2+1)=k (x 1+x 2)+2k =-8p 33+4p 2+2k =6p3+4p 2，所以线段PQ 的中点为(-4p 23+4p 2,3p3+4p 2)， 所以线段PQ 的垂直平分线方程为y -3p 3+4p 2=-1p (p +4p 23+4p 2).令y =0，得x =-p 23+4p 2，即N (-p 23+4p 2,0).所以|NF 1|=-p 23+4p 2+1=3p 2+33+4p 2，所以|pp ||pp 1|=12+12p 23+4p 23p 2+33+4p 2=4.综上可得|pp ||pp 1|=4.。
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--第三章 圆锥曲线的方程章末总结
2
− =
题型4 圆锥曲线中的证明问题
例4 已知曲线 上的任意一点 到定点 (1,0) 的距离比它到定直线
= −2 的距离少1.
（1） 求曲线 的方程；
[答案] 因为曲线 上的任意一点 到定点 (1,0) 的距离比它到定直
，点 的坐标是(8,7)，求 || + || 的最小值.
[答案] 抛物线的焦点为 (0,1) ，准线方程为 = −1 ，
如图，设点 在准线上的射影是点 ，
根据抛物线的定义知， || = || = || + 1 ，所以 || + || = || +
2
则双曲线 的标准方程为
4
2
−
5
= 1.
4.
2
已知双曲线 2
−
2
2
= 1(＞0, ＞0) 的两条渐近线与抛物线 2 =
2(＞0) 的准线分别交于 ， 两点， 为坐标原点，若双曲线的离心率
2 = 4 2
为2， △ 的面积为 2 3 ，则抛物线的标准方程为__________________.
[解析]
∵ 抛物线 : 2
= 2(＞0) ， ∴ 抛物线的准线方程是 =
− ，
2
∵
抛物线上的一点 (2, ) 到焦点 的距离是6， ∴ 由抛物线的定义可得点
2
(2, ) 到准线的距离也是6，即 2 + = 6 ，解得 = 8 ， ∴ 抛物线 的方
程是 2 = 16 .
A. (
2 5
, )
2 6
B. (
2 3
, )
2 4
高中数学选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程章末检测B(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典第三章 圆锥曲线的方程 章末检测B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。
其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单选题1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为C 的标准方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】A 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长求出a ，再根据离心率求出c ，由222b a c =-即可求解. 【详解】1AF B △的周长为则1122114AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =又c e a ==，所以1c =， 所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22132x y +=.故选：A 【点睛】本题考查了焦点三角形周长、利用离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.2．如图所示，直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若且AOB 的面积为的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设02AOX πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，由题中条件求出60θ=︒，再由双曲线的渐近线方程得到tan 3baθ==. 【详解】由题意，设02AOX πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，因为6OA OB ⋅=-且AOB 的面积为33 所以cos 26OA OB θ=-，1sin 2332OA OB θ=， 所以tan 23θ=2120θ=︒，可得60θ=︒，又双曲线2222:1x y E a b-=的渐近线方程为b y x a =±，∴tan 3baθ== 所以212c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，属于基础题型.3．已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）【解析】 【分析】利用抛物线的定义，将12d d +的最小值转化为焦点到直线43110x y -+=的距离即可求得． 【详解】解：抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线， 则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以12224011343d d -++==+，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题．4．离心率为2的双曲线22221y x a b-=的渐近线方程是（ ）A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x ±=D 50x y ±=【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率221c b e a a ==+可求出b a ，又双曲线的渐近线方程为a y x b =±，可求出答案.【详解】由题意，双曲线22221y x a b -=的离心率为2212c b e a a ==+=，则223b a =，即3b a = 所以双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为33a y x xb =±=±，即30x ±=.故选：C.本题考查双曲线的渐近线、离心率，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆()22:61E x y ++=上一点，则2MN MF +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得双曲线的方程为2219x y -=，再结合双曲线的定义得212MF a MF =+，故212MN MF a MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，再计算即可得答案. 【详解】由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为()110,0F -，()210,0F ，由双曲线的定义可得21126MF a MF MF =+=+，由圆()22:61E x y ++=可得()0,6E -，半径1r =，216MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，且为16104EF =+=， 则2MN MF +的最小值为6419+-=. 故选：B.本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.6．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】09k <<，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-的实半轴长为5=离心率为5，双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 故选D.7．已知点P （－1，0），设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点 A ．（12，0） B ．（1，0） C ．（2，0） D ．（-2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x 轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP 、BP 的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果. 【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x 轴上， 设直线的方程为x ty m =+，与抛物线方程联立，消元得2220y ty m --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP 、BP 的斜率互为相反数，所以1212011y y x x +=++， 结合根与系数之间的关系，整理得出12122(1)()0ty y m y y +++=，即2(2)220t m tm t -++=，2(1)0t m -=，解得1m =，所以过定点(1,0)， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键. 8．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222222:1(0,)x y C a b c a b a b+=>>=-，若圆1C ，2C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0,]2C．[,1)2D．(0,2【答案】B 【解析】 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆1C ，2C 都在椭圆内，可得圆2C 上的点(2,0)c ，(,)c c 都在椭圆内，由此列关于a ，c 的不等式组得答案． 【详解】由圆221:20C x cx y ++=，得222()x c y c ++=，得圆1C 的圆心为(,0)c -，半径为c ，由圆222:20C x cx y -+=，得222()x c y c -+=，得圆2C 的圆心为(,0)c ，半径为c ， 要使圆1C ，2C 都在椭圆内，则22222{1c ac c a b+，解得102ca <． ∴椭圆离心率的范围是1(0,]2．本题考查圆与椭圆的综合，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)++=C x y r 和22222:(2)-+=C x y r ，其中常数12,r r 为正数满足124r r +<，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ） A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ；分动圆P 可能与两圆①均内切，②均外切，③一个外切，一个内切，三种情况，根据圆与圆位置关系，即可结合双曲线的定义，即可判断出结果. 【详解】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ．当124r r +<时，两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切． ①若均内切，则1122,PC r r PC r r =-=-， 此时1212PC PC r r -=-，当12r r ≠时，点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，点P 在线段12C C 的垂直平分线上． ②若均外切，则1122,PC r r PC r r =+=+， 此时1212PC PC r r -=-，则点P 的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切，则11222112,,PC r r PC r r PC PC r r =-=+-=+．同理，当与圆2C 内切，与圆1C 外切时，1212PC PC r r -=+．此时点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．本题主要考查动点的轨迹问题，熟记双曲线的定义以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.10．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．1QF QP +的最小值为21a - B ．椭圆C 的短轴长可能为2 C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 将1QF QP +，利用椭圆的定义转化为12222+=-+≥-QF QP a QF QP a PF 求解；B.假设椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，与点P 在椭圆的内部验证；C. 根据点()1,1P 在椭圆内部，得到111a b+<，又1a b -=，解得a，再由=eD. 根据11PF FQ =，得到1F 为线段PQ 的中点，求得Q 坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(2136244++>==a>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故正确；21190-+=a a ，解得()2517118522285244+++===a ，所以5172+=a ，所以椭圆C 的长轴长为517+，故正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a <【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B 选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD 选项根据B 选项的结论进行变形来判断. 【详解】由题图可得12121122,,>>∴+>+a a c c a c a c ，故A 不正确；11221122||,||,=-=-∴-=-PF a c PF a c a c a c ，故B 正确；由1122a c a c -=-得()()221221a c a c +=+，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即22121122211221121222,,,+=+>∴>∴>c c b a c b a c b b a c a c a a ，故C 正确，D 不正确．故选：BC 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题.12．已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】 【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可. 【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B ,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确. 对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-.又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC 【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.三、填空题13．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323x y +=+，则双曲线2C 的方程为____________．22142323=- 【解析】 【分析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423x c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴=222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221-= 221= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.【答案】3【解析】 【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值.【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =， 所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合，所以224TF a ==，所以圆的半径为2243tan23AF B r MT TF ∠===. 故答案为：433.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线()2: 20C y px p =>(如图)一条平行x 轴的光线射向C 上一点P 点，经过C 的焦点F 射向C 上的点Q ，再反射后沿平行x 轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C 的方程是____________．【答案】24y x = 【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出PQ 的最小值，进而可求出p 的值，得出抛物线方程． 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =；当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，11(,)P x y ，22(,)Q x y 由2 22p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，整理得()222224480k x k p p x k p -++=， 所以221212224k p p p x x x x k ++==,，所以()2122222222kpPQ x x p p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭+=++==+>； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为4，故24p =， 所以抛物线方程为24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．16．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫⎪=>=+= ⎪⎝⎭⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________. 【答案】64π 【解析】 【分析】延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示：22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，PN ∴为2QPF ∠的角平分线， 又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，141216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，1182ON FQ ∴==， ∴以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积64S π=.故答案为：64π. 【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0B ，()2,0C -，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，记点A 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）若直线l ：1y x =+与E 相交于P ，Q 两点，求PQ ．【答案】（1）22142x y +=，（0y ≠）；（245【解析】 【分析】（1）先设点(,)A x y ，再建立方程12122+2y y x k x k ⋅=--=，最后得到E 的方程：22142x y +=，（0y ≠）；（2）先联立方程221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得到23420x x +-=，再得到12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，最后求PQ 即可. 【详解】解：（1）设点(,)A x y ，则12y k x =-，2+2yk x =， 因为1212k k =-，则12122+2y y x k x k ⋅=--=， 整理得：22142x y +=，斜率存在，所以2x ≠±，所以E 的方程：22142x y +=，（0y ≠） （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23420x x +-=，则2443(2)400∆=-⨯⨯-=>，所以12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，则12PQ x =-=，所以PQ =【点睛】本题考查求点的轨迹方程、利用弦长公式求弦长，是中档题.18．在椭圆2222:1(20)x y C b a b a b+=>>>上任取一点P （P 不为长轴端点），连结1PF 、2PF ，并延长与椭圆C 分别交于点A 、B 两点，已知2APF ∆的周长为8，12F PF ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设坐标原点为O ，当P 不是椭圆的顶点时，直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，值为920-. 【解析】（1）根据椭圆的定义，结合2APF ∆的周长为8，求出a 的值，设出点P 的坐标，结合三角形面积公式，椭圆的范围，12F PF ∆可以求出,c b 的关系，进而求出,a b 的值，最后求出椭圆C 的方程；（2）设出直线1PF 的方程与椭圆方程联立，利用解方程组，求出A 点坐标，同理求出B 的坐标，最后通过斜率公式，计算出直线OP 和直线AB 的斜率之积是定值. 【详解】（1）因为2APF ∆的周长为8，所以有11228482AF PF PF AF a a +++=⇒=⇒= 设00(,)P x y ，因为12F PF ∆所以1212y F F P ⋅当y P b =时，面积最大，因此有bc =a =，因为20b a b >>>，所以2,a b ==，所以椭圆标准方程为：22143x y +=；（2）当P 不是椭圆的顶点时，因此00120,0,(1,0),(1,0)x y F F ≠≠-. 直线1PF 的方程为：00(1)1y y x x =++，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=+⎪+ ⎪⇒+++-=⎨ ⎪+++⎪⎝⎭+=⎩， ()2200000152********A x x xx x x x x -++∴⋅==-++，0000583,2525A Ax y x y x x +-∴=-=++， 同理直线2PF 的方程为：00(1)1y y x x =--，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=-⎪- ⎪⇒+-+-=⎨ ⎪---⎪⎝⎭+=⎩200005825B x x x x x -⇒⋅=⇒-0000583,2525B B x y x y x x -==--，()00002200123208054B AB A x y x y y y kAB x x x x -∴===---， ()220022003394205453AB OPy y k k x y ∴⋅===-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭为定值.本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的范围，考查了求椭圆的标准方程，考查了通过直线与椭圆的位置关系判断两直线斜率之积为定值，考查了数学运算能力.19．已知点A 是椭圆22:154x y E +=的上顶点，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于A 、M 两点，点N 在椭圆E 上，且MA NA ⊥；（Ⅰ）当||||AM AN =时，求AMN 的面积； （Ⅱ）当2||||AM AN =时，求证：2152k <<． 【答案】（Ⅰ）40081；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由A 为椭圆的上顶点及||||AM AN =，可得M ，N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又MA NA ⊥且0k >有1k =，可得直线AN 的斜率，求出直线AN 的方程，设N 的坐标，代入椭圆的方程求出N 的坐标，进而求出AMN 的面积；（Ⅱ）设直线AM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出||AM 的值，同理可得||AN 的值，由2||||AM AN =可得关于k 的方程32851040k k k -+-=，设函数32()85104f x x x x =-+-，求导，由函数的单调性可得k 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由对称性知点M 、N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又MA NA ⊥且||||AM AN =有△AMN 为等腰直角三角形，即可知1k =，而(0,2)A ∴直线AN 的斜率为1-，则直线AN 的方程为：2y x =-+设点(,2)N t t -其中0t >，有22(2)154t t -+=，解得209t =∴220400981AMNS⎛⎫==⎪⎝⎭（Ⅱ）据题意，直线:2AM y kx =+，联立椭圆E ，得：2245(2)200x kx ++-=，即：22(45)200k x kx ++=则22045M k x k =-+，那么||AM =AN ==； 由2||||AM AN =，得：222(54)45k k k +=+，即：32851040k k k -+-=令32()85104f x x x x =-+-，则22525()24101024()1002424f x x x x =+=-+-'->， 所以()f x 单调增，又236()05125f =-<，13()024f =>，故()f x 存在唯一零点021(,)52x ∈，即2152k <<得证 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，三角形面积求法和由求导得函数的单调性，属于中难题． 20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为1(F ，且C经过点1)2P . （1）求C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线l ：y kx m =+与C 交于A 、B 两点（l 不经过D 点），且AD BD ⊥.证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，直线l 经过定点3(0,)5-. 【解析】 【分析】（1）根据一个焦点坐标得出另一个焦点坐标，结合椭圆的定义可得方程；（2）联立椭圆和直线的方程，结合AD BD ⊥，求出m 的值，从而可得定点的坐标. 【详解】（1）由题意，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则c =)2F ，由椭圆定义得12712422a PF PF =+=+=，2a =，1b ==， 所以C 的方程2214x y +=.（2）由已知得()0,1D ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+， ()121222214m y y k x x m k +=++=+，()()2212122414m k y y kx m kx m k-=++=+， 由AD BD ⊥得()()1212110DA DB x x y y ⋅=+--=，整理得22523014m m k--=+， 所以，25230m m --=，解得1m =或35m =-， ①当1m =时，直线l 经过点D ，舍去； ②当35m =-时，显然有>0∆，直线l 经过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的方程求解及定点问题，已知椭圆焦点及椭圆所过点常用椭圆的定义进行求解，直线过定点问题一般是求解直线方程中的斜率与截距的关系，侧重考查数学运算的核心素养.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，)2F ，离心率为2.（1）若P 为椭圆C 上任意一点，且横坐标为0x ，求证：2022PF x =-； （2）不经过1F 和2F 的直线():0,0l y kx m k m =+<>与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，试判断2MF N 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为4. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出椭圆方程，设()00,P x y ，根据两点间距离公式，以及椭圆的性质，即可得出结论成立；（2）先由直线与圆相切，得到221m k =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式，求出241MN k =-+，再由（1）的结论，得到2122MF x =-，2222NF x =-，进而可求出周期，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，可得c =，又2c e a ==，∴2a =，1b =，所以椭圆22:14x C y +=；设()00,P x y ，则202PF x ==-.∵022x -≤≤，∴202PF =. （2）记以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆的半径为r ， 则1r b ==，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线距离为11=，∴221m k =+.设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()222418410k x kmx m +++-=， 则()()()222222264164111641480k m k m k m k ∆=-+-=-+=>，122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，因此12MN x =-===由（1）得2122MF x =-，2222NF x =-，所以)2212244241MF NF x x k +=-+=++， 因此2MNF的周长为2244MF NF MN ++=+=； 即2MNF 周长为定值4. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单应用，考查求椭圆的方程，考查椭圆的弦长的求法，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型.22．在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0.【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可. 【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线. 则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=,216160m ∆=+>, 124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y my y ++===-, 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y yB -==-==.圆的半径为2r =.所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+. 展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=, 所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y kx x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即()22212112121210x y x y y yx y y x x x x +-+-+=,即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0. 【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.。
2024_2025学年高中数学第3章圆锥曲线与方程单元测评湘教版选择性必修第一册
第3章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.双曲线-x2=1的渐近线方程是()A.x±y=0B.x±y=0C.2x±y=0D.x±2y=02.若抛物线x2=2my的焦点与椭圆=1的下焦点重合,则m的值为()A.4B.2C.-4D.-23.(2024四川绵阳一中高二期中)平面上满意到定点F(0,-1)和定直线l:2x+3y+3=0距离相等的点P(x,y)的轨迹是()A.圆B.双曲线C.直线D.抛物线4.(2024山西怀仁高二期中)与椭圆=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线的标准方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.=1D.x2-=15.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|=|F1F2|,则C的离心率为()A.1B.2C.3D.46.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M的纵坐标为-4,该点到准线的距离为6,则该抛物线的标准方程为()A.y2=-16xB.y2=8x或y2=4xC.y2=-8xD.y2=16x或y2=8x7.已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆的上顶点,直线AF1交椭圆于另一点P,若|PF2|=|PA|,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.8.已知焦点在x轴上的椭圆=1(a>0),且a,2,c成等差数列,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上随意一点,则的最大值为()A.8B.10C.12D.16二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=4,则()A.x0=3B.y0=2C.|OM|=D.F的坐标为(0,1)10.(2024吉林东北师大附中高二期中)已知关于x,y的方程mx2+ny2=1(其中m,n为参数)表示曲线C,下列说法正确的是()A.若m=n>0,则曲线C表示圆B.若mn>0,则曲线C表示椭圆C.若mn<0,则曲线C表示双曲线D.若mn=0,m+n>0,则曲线C表示四条直线11.(2024浙江瑞安中学高二期中)已知双曲线C过点(),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是()A.双曲线C的离心率为B.左焦点到渐近线的距离为C.双曲线的实轴长为1D.过右焦点被双曲线C截得弦长为6的直线只有三条12.(2024山东嘉祥一中高二期中)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=.过点M(-2,1)的直线l交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,则下列结论正确的有()A.椭圆的标准方程为=1B.椭圆的焦距为C.椭圆上存在2个点Q,使得=0D.直线l的方程为8x-9y+25=0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024河南名校联盟高二期中)已知椭圆的面积等于,其中l是椭圆长轴长与短轴长的乘积,则椭圆=1的面积为.14.如图,吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段,宽为7 m,高为0.7 m.依据图中的坐标系,则这条抛物线的方程为.15.双曲线=1(b>0)的离心率为,则b= ;过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设O为坐标原点,则|OA|= .16.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且△PF1F2是直角三角形,这样的点P有个.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①双曲线E的焦点在x轴上,②双曲线E的焦点在y轴上这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.已知双曲线C的对称轴为坐标轴,且C经过点A(0,),B(1,3).(1)求双曲线C的标准方程;(2)若双曲线E与双曲线C的渐近线相同,,且E的焦距为4,求双曲线E的实轴长. 注:若选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB的中点M的横坐标为2,且|AF|+|BF|=6.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l(斜率存在)经过焦点F,求直线l的方程.19.(12分)(2024河北唐县一中高二期中)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满意直线AM与BM 的斜率之积为,记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)若直线l:y=x-3和曲线C相交于E,F两点,求|EF|.20.(12分)已知椭圆C:=1.(1)求C的四个顶点围成的菱形的面积;(2)若直线y=kx+1与C交于P,Q两点,M(5,0),△MPQ的面积为,求k的值.21.(12分)(2024广东华南师大附中高二期中)如图,在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池,水池边缘由两个半椭圆=1(x≤0)和=1(x≥0)组成,其中a>b>9,“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).(1)求“挞圆”的方程;(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖欣赏鱼,若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t∈(0,15)),求该网箱所占水域面积的最大值.22.(12分)(2024山东临沂兰山高二期中)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,若|FQ|=c,求直线FQ的斜率.参考答案第3章测评1.C∵双曲线的标准方程为-x2=1,∴渐近线方程为-x2=0,即y=±2x.故选C.2.D∵椭圆=1的下焦点坐标为(0,-1),即抛物线x2=2my的焦点坐标,∴=-1,∴m=-2.故选D.3.C依题意得,点F(0,-1)在直线l上,所以点P的轨迹是过点F且与l垂直的直线.故选C.4.B椭圆=1的焦点坐标是(±,0).设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),因为双曲线过点P(2,1),所以=1,又a2+b2=3,解得a2=2,b2=1,所以所求双曲线的标准方程是-y2=1.故选B.5.B e==2.故选B.6.D∵抛物线的准线方程是x=-,而点M到准线的距离为6,∴点M的横坐标是6-.将点M6-,-4的坐标代入y2=2px,得32=2p6-,解得p=8或p=4,故该抛物线的标准方程为y2=16x或y2=8x.故选D.7.A因为A是上顶点,所以|AF1|=|AF2|=a.由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF2|=|PA|,则可得|PF1|=,|PF2|=.则由余弦定理可得cos∠APF2=,则整理可得a2=3c2,则离心率e=.故选A.8.C因为椭圆=1的焦点在x轴上,所以a2=8+c2.又a,2,c成等差数列,所以4=a+c.联立解得所以椭圆的标准方程为=1,左焦点F(-1,0),右顶点A(3,0).设P(x0,y0),则=1,所以=81-,=(-x0-1,-y0)·(-x0+3,-y0)=-2x0-3+-2x0-3+8--2x0+5=(x0-9)2-4,x0∈[-3,3],当x0=-3时,最大,为12.故选C.9.AC由题可知F(1,0),由|MF|=x0+1=4,=4x0,可得x0=3,y0=±2.则|OM|=.故选AC.10.ACD若m=n>0,则x2+y2=>0,C表示圆,故A正确;若m<0,n<0,满意mn>0,但C不表示椭圆,故B错误;若mn<0,则C表示焦点在x轴或y轴上的双曲线,故C正确;若mn=0,m+n>0,则m>0,n=0或m=0,n>0,则x=±或y=±,C表示四条直线,故D正确.故选ACD. 11.BD由已知设双曲线的方程为x2-=λ,因为双曲线过点(),所以2-=λ,λ=1,双曲线的标准方程为x2-=1,a=1,b=,所以c=2,离心率为e==2,故A错误;左焦点为(-2,0),一条渐近线方程是x-y=0,左焦点到渐近线的距离为d=,故B正确;双曲线实轴长是2,故C错误;双曲线两顶点间的距离为2a=2,又=6,即通径长为6,因此过右焦点被双曲线截得弦长为6的直线有3条,两个交点在同一支上的只有一条,即双曲线的通径所在直线,另两条与双曲线的两支各有一个交点,故D正确.故选BD.12.AD因为PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=,所以c=,a=(|PF1|+|PF2|)=3,则b=2,所以椭圆的标准方程为=1,椭圆的焦距为2,故A正确,B错误;由=0知∠F1QF2=90°,所以点Q在以F1F2为直径的圆上,因为c>b,所以圆与椭圆有4个交点,故C错误;因为过点M(-2,1)的直线l交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,所以点M(-2,1)为弦AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2,联立两式相减得直线AB的斜率为k AB==-,所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0,故D正确.故选AD.13.4π因为a2=8,b2=2,所以a=2,b=,所以椭圆=1的面积为πab=4π.14.x2=y 设抛物线方程为x2=2py(p>0),因为B,所以=2×p,解得p=,所以抛物线的方程为x2=y.15.12由e=,得b=1.由双曲线的渐近线为y=±x可知,|OA|2=|OF|2-|AF|2=c2-b2=a2=4,所以|OA|=2.16.6当P不是直角顶点时,P为过焦点与x轴垂直的直线与椭圆的交点,易知这样的点有4个;当P是直角顶点时,点P在以F1F2为直径的圆上,c=,故圆的标准方程为x2+y2=6,联立解得这样的点P有两个.综上所述,共有6个点满意条件.17.解(1)设双曲线C的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则解得所以双曲线C的标准方程为=1.(2)双曲线C的渐近线方程为y=±x.若选①,设双曲线E的标准方程为=1(a>0,b>0),则解得所以双曲线E的实轴长为2.若选②,设双曲线E的标准方程为=1(a>0,b>0),则解得所以双曲线E的实轴长为2.18.解设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点M的横坐标为=2,即x1+x2=4. (1)|AF|+|BF|=x1+x2+p=4+p=6,解得p=2.故抛物线的标准方程为y2=4x.(2)由(1)可知抛物线的焦点坐标为F(1,0),故设直线方程为y=k(x-1),k≠0,联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=16k2+16>0,则x1+x2==4.解得k=±,故直线l的方程为x±y-=0.19.解(1)由题意可得AM,BM的斜率分别为k1=(x≠-2),k2=(x≠2),由已知得(x≠±2),化简得=1(x≠±2),即曲线C的方程为=1(x≠±2),曲线C是一个双曲线(不包含左、右顶点).(2)联立消去y整理得x2-12x+22=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),Δ=56>0,则x1+x2=12,x1x2=22,|EF|=·|x1-x2|==4.20.解(1)由题意,可得a2=4,b2=3,所以a=2,b=,所以C的四个顶点围成的菱形的面积为×2a×2b=2ab=4.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立整理得(4+3k2)x2+6kx-9=0,Δ=36k2+36(4+3k2)=144(k2+1)>0,则x1+x2=-,x1x2=-,可得|PQ|=.又由点M到直线y=kx+1的距离d=,所以△MPQ的面积S=|PQ|×d=·|5k+1|=,即,解得k=1或k=.21.解(1)易知b=15,a=34-9=25,所以“挞圆”的方程为=1(x≤0)和=1(x≥0). (2)设A(x1,t),B(x2,t)分别是矩形水箱在第一、二象限内的顶点,则可得x2=-x1,所以网箱所占水域面积S=2t(x1-x2)=2t×x1=15×34×2×≤510×=510,当且仅当时,等号成立.故网箱所占水域面积的最大值为510平方米.22.解(1)由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(方法1)依题意,设直线FQ的方程为x=my-c(m>0),则直线FQ的斜率为.由(1)知a=2c,则直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FQ的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+c2+2=2,整理得3m2-4m=0,所以m=(m=0舍去),即直线FQ的斜率为.(方法2)依题意,设直线FQ的斜率为k(k>0),则直线FQ的方程为y=k(x+c).由(1)知a=2c,则直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0.联立解得∴点Q坐标为,由已知|FQ|=c,有+c2+2=c2,整理得4k=3,即k=,即直线FQ的斜率为.。
第三章 圆锥曲线的方程单元检测卷(知识达标卷)20212022高二数学(选择性必修第一册)
第三章圆锥曲线的方程（知识达标卷）一、单选题1．椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A ．10B ．8C ．6D ．52．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：222150x y x +--=的直径，则椭圆的标准方程是（）A ．22143x y +=B ．2211612x y +=C ．22134x y +=D ．2211216x y +=3．已知焦点在x 轴上的椭圆22218x y a +=，且a ，2，c 成等差数列，,F A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA ⋅的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．164．已知双曲线2221y x b-=（0b >）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =5．已知0mn ≠，则方程221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是（）A ．B ．C ．D ．6．已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y+=上的动点，则||||MA MB +最大值是（）A ．10+B ．10-C ．8D ．8-7．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A B ．12C ．3D8．已知实数x ，y 满足13y yx x +=6y +-的取值范围是（）A ．)6⎡⎣B ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．)6⎡-⎣D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、多选题9．（多选）某月球探测器顺利进入以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100千米，远月点与月球表面距离为400千米．已知月球的直径约为3476千米，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A ．焦距约为300千米B ．长轴长约为3988千米C ．两焦点坐标约为()150,0±D ．离心率约为7599410．双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的离心率恰好等于它的一条渐近线的斜率的两倍，则渐近线的斜率可以为（）AB C ．3-D ．11．已知曲线C ：221mx ny +=（m ，R n ∈），则下列说法正确的是（）A ．若0m >，0n >，且m n ≠，则曲线C 是椭圆B ．若0m n >>，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C ．若0m n >>，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D ．曲线C 可以是抛物线12．已知椭圆2212:1,,259x y C F F +=分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为15C ．若1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为9D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-三、填空题13．已知椭圆2212516x y +=与双曲线2215x y m -=有共同的焦点，则m =______．14．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，点P 是椭圆C 上点，1PF x ⊥轴，且2145PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_____________.15．直线10x y --=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，过线段AB 的中点作直线1x =-的垂线，垂足为M ，则MA MB ⋅=______．16．点P 在椭圆221169x y +=上，点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离为______．四、解答题17．根据下列已知条件求曲线方程.（1）求与双曲线221169x y -=共渐近线且过A 3)-点的双曲线方程；（2）求与椭圆22143x y +=有相同离心率且经过点(2,的椭圆方程.18．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度||6AB =米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？19．抛物线C ：24y x =上有不同的两个点()11,A x y ，()22,B x y .（1）若OA OB ⊥，求证：1216x x =；（2）判断：若1216x x =，则OA OB ⊥是否成立?并说明理由.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 和上顶点B 在直线330x -=上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求OMN 面积的最大值.21．已知椭圆22:143x y W +=的左､右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线1:4l x =.（1）若椭圆W 的左顶点A 关于直线40x my +-=的对称点在直线1l 上，求m 的值；（2）过F 的直线2l 与椭圆W 相交于不同的两点C ，D （不与点A ，B 重合），直线CB 与直线1l 相交于点M ，求证：A ，D ，M 三点共线.22．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆.（1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程.参考答案1．D 【分析】利用椭圆的定义，即可得到答案；【详解】点P 到两个焦点的距离之和为10，∴P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为5，故选：D 2．B 【分析】求得圆C 的半径，由此求得a ，结合椭圆离心率求得c ，由此求得2b ，进而求得椭圆的标准方程.【详解】依题意可设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，由22222150(1)16x y x x y +--=⇒-+=，半径为4，故有284a a =⇒=，又12c e a ==，2c ∴=，22216412b a c ∴=-=-=.所以椭圆的标准方程为2211612x y +=.故选：B 3．C 【分析】依题意可得228a c =+，根据等差中项的性质可得4a c =+，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程，设()00,P x y ，根据点在椭圆上即可得到22819x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再表示出PF PA ⋅ 根据二次函数的性质求出PF PA ⋅的最大值；【详解】解：焦点在x 轴上的椭圆22218x y a+=．所以228a c =+，又a ，2，c ，成等差数列，所以4a c =+，联立228,4,a c a c ⎧-=⎨+=⎩解得31a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆方程为22198x y +=，左焦点()1,0F -，右顶点()3,0A ，设()00,P x y ，则2200198x y +=，所以2200819x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()2200000001,3,23PF PA x y x y x x y ⋅=+⋅-=--+ 2220000008123825,[3,3]99x x x x x x =--+-=-+∈-，()200194,[3,3]9PF PA x x ⋅=--∈- ，03x =-时max ()12PF PA ⋅=．故选：C ．4．C 【分析】根据离心率公式及双曲线中,,a b c 的关系式即可求出b 的值，从而求双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线2221y x b-=（0b >）可得1a =，因为离心率为2，所以2ca=，即2c =，所以b ===所以该双曲线的渐近线方程为y =．故选：C.5．A 【分析】利用特殊值法验证即可得到答案.【详解】解：由题意，当1m =，2n =时，方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆2221x y +=，方程20mx ny +=表示开口向左的抛物线212y x =-，故排除选项C 、D ；当1m =-，1n =时，方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的双曲线221y x -=，方程20mx ny +=表示开口向右的抛物线2y x =，故排除选项B ，而选项A 符合题意，故选：A.6．A 【分析】设左焦点为(4,0)F -，A 为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化||||10||||MA MB MB MF +=+-，然后利用平面几何的性质得最大值．【详解】解：椭圆221259x y +=，所以A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，则由椭圆定义||||210MA MF a +==，于是||||10||||MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形，于是||||||MB MF BF -<，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有||||||MB MF BF -=-，在第三象限交点时有||||||MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时||||MA MB +有最大值，其最大值为||||10||||10||1010MA MB MB MF BF +=+-=+==+故选：A.7．B 【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.8．C 【分析】实数x ，y 满足13y yx x +=，通过讨论x ，y 得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的6y +-60y +-=距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数x ，y 满足13y yx x +=，所以当0,0x y ≥≥时，2213y x +=，其图象是位于第一象限，焦点在y 轴上的椭圆的一部分（含点((),1,0），当0,0x y ><时，2213y x -=其图象是位于第四象限，焦点在x 轴上的双曲线的一部分，当0,0x y <>时，2213yx -=其图象是位于第二象限，焦点在y 轴上的双曲线的一部分，当0,0x y <<时，2213y x --=其图象不存在，作出椭圆和双曲线的图象，其中13y yx x +=图象如下：任意一点(,)x y 60y +-=的距离d =62y d +-=6y +-的范围就是图象上一点到直线60y +-=距离范围的2倍，双曲线2213y x -=，2213y x -=0y +=60y +-=平行通过图形可得当曲线上一点位于P 时，2d 取得最小值，无最大值，2d小于两平行线0y +=60y +-=之间的距离3的2倍，0(0)y c c ++=<与2213y x +=其图像在第一象限相切于点P ，由2222063013y c x c y x ++=⇒++-=⎨+=⎪⎩因为()()224630x c c ∆=-⨯⨯-=⇒=c =0y +=60y +-=42=6y d +-=4y +-的取值范围是)6⎡⎣．故选：C ．9．AD 【分析】椭圆的焦半径范围是[a －c ，a ＋c ]，根据题意列出a 与c 的方程组，解方程组即可﹒【详解】设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距为c ．依题意可得月球半径约为1347617382⨯=(千米)，10017381838a c -=+=，40017382138a c +=+=，2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A ，D 项正确，B 项错误；因为没有给定坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误．综上可知，正确的为AD ．故答案为：AD 10．BC【分析】由题意根据离心率公式，列出等式，可得b a 【详解】由题意可知2b e a =⋅，即2c b a a ==，得b a =b a -=.故选：BC.11．ABC 【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的特征即可判断答案.【详解】若0m n >>，则110n m>>，曲线C ：22221111y x mx ny n m+=⇒+=表示焦点在y 轴上的椭圆，若0n m >>，则110m n>>，曲线C ：22221111x y mx ny m n+=⇒+=表示焦点在x 轴上的椭圆.故A,B 正确；对C ，若0m n >>，则1n-，曲线C :22111x y m n-=-表示焦点在x 轴上的双曲线.故C 正确；对D ，抛物线的标准方程为：()22222,2,2,20y px y px x py x py p ==-==->.故D 错误.故选：ABC.12．ACD 【分析】求出椭圆的离心率可以判断A ；根据椭圆的定义可判断B ；根据椭圆的定义和勾股定理可以求出三角形的面积，进而判断C ；设出点P 的坐标，得到斜率，进而结合点P 的坐标满足椭圆方程求出答案，进而判断D.【详解】由221259x y +=，可知5,3,4a b c ===，对于A ：45c e a ==，故A 正确；对于B ：记12||,||PF m PF n ==，则10m n +=，12F PF △的周长为1212|||210818PF PF F F m n c ++=++=+=，故B 错误；对于C ：12||,||PF m PF n ==，()()2222210118642m n mn m n m n m n +=⎧⎡⎤⇒=+-+=⎨⎣⎦+=⎩，所以12192F PF S mn == ，故C 正确；对于D ：设()()()(),5,5,0,5,0P x y x A B ≠±-，则221259x y +=，,55PA PB y y k k x x ==+-，于是22229125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故D 正确.故选：ACD.13．4【分析】求出椭圆的焦点，再解方程3=，即得解.【详解】解：由题意得椭圆的焦点为()3,0-和()3,0，所以3=4m =．故答案为：4141或1-+【分析】设1PF m =，根据直角三角形为等腰直角三角形，得出2PF 、12F F ，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可.【详解】在21Rt PF F 中，设1PF m =，因为2145PF F ︒∠=，所以2PF =，12F F m =.故1212212F F c e a PF PF ===+.115．0【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程可得12124,4y y y y +==-，根据数量积的坐标运算公式求MA MB ⋅的值.【详解】解：如图，设()()1122,,,A x y B x y ，则121,2y y M +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()21212211212121,1,1224y y y y y y MA MB x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫⋅=++=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2104x y y x--=⎧⎨=⎩可得2440y y --=，所以12124,4y y y y +==-，则()()12121212121226,1114411x x y y x x y y y y y y +=++==++=+++=-++=，()()221212124161632y y y y y y -=+-=+=，故()21212121161804y y MA MB x x x x -⋅=+++-++-= ，故答案为：0．16．12(25【分析】曲线上一点到直线的距离最值问题有两种方法，法一设平行直线与椭圆相切，求线线距离，法二参数方法,设点坐标(4cos ,3sin )θθ，到直线的距离，利用点到直线的距离公式可以得到答案.【详解】设点P 的坐标为(4cos ,3sin )θθ，可得点P 到直线3424x y -=的d ==，当cos(14πθ+=-时，d，当cos()14πθ+=故答案为：12(25，12(25．17．（1）221944y x -=（2）22186x y+=或221252534y x +=【分析】（1）设所求双曲线方程为22(0)169x y λλ-=≠，根据A 点坐标求得λ，从而求得所求的双曲线方程.（2）根据椭圆焦点所在坐标轴进行分类讨论，结合(2,求得椭圆方程.（1）设与双曲线221169x y -=共渐近线的双曲线方程为：22(0)169x y λλ-=≠点A ，3)-在双曲线上，∴12911694λ=-=-∴所求双曲线方程为：2211694x y -=-，即221944y x -=.（2）若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为22(0)43x y t t +=>，将点(2,代入，得2t =，故所求方程为22186x y +=.若焦点在y 轴上，设方程为22(0)43y xλλ+=>代入点(2,，得2512λ=，∴221252534y x +=.18．3.25米【分析】抛物线的应用，第一步选择适当的建系方式，顶点在原点，数形结合设抛物线方程然后确定一点坐标代入求解.然后由横坐标确定纵坐标，就是隧道的限制高度.【详解】取隧道截面抛物线的顶点为原点，如下图：对称轴为y 轴，建立直角坐标系，()4,4C -，设抛物线方程22(0)x py p =->，将点C 代入抛物线方程得2p =，∴抛物线方程为24x y =-，行车道总宽度6AB m =，∴将3x =代入抛物线方程， 2.25y m =-，∴限度为6 2.250.5 3.25m --=．故答案为：3.25米．19．（1）证明见详解.（2）不一定，理由见详解【分析】（1）利用向量的数量积以及抛物线方程即可求解.（2）利用数量积是否等于0即可得出答案.（1）由题意可得21140y x =>，22240y x =>，即120,0x x >>所以12124y y x x =±由()()1122,,,OA x y OB x y == ，OA OB ⊥，所以1212121240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=±=解得1216x x =，即证.（2）1216x x =，()()1122,,,OA x y OB x y ==，1212121241616OA OB x x y y x x x x ⋅=+=±=±，所以32⋅= OA OB 或0OA OB ⋅=，当0OA OB ⋅=时，OA OB ⊥，当32⋅=OA OB 时，OA 与OB 不垂直，所以1216x x =，OA OB ⊥不一定成立.20．（1）22143x y +=；（2）32.【分析】（1）由已知可得椭圆的右焦点为()21,0F，上顶点为(B ，可得,c b ，可求椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，并与椭圆方程联立利用韦达定理得到12y y -，又12112OMN S y y =⨯⨯-△，求得12y y -的最大值，即可得结果.（1）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 和上顶点B在直线330x -=上，∴椭圆的右焦点为()21,0F，上顶点为(B ，故2221,c b a b c ===+，∴所求椭圆标准方程为22143x y +=．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为1x my =+ 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2234690m y my ++-=，12122269,3434m y y y y m m --∴+==++，12y y ∴-=12y y -=12112OMN S y y ∴=⨯⨯-△,211m +≥ ，令[)211,m t +=∈+∞，函数196y t t=++在[)1,+∞上为增函数，故当1t =，即0m =时，12max ||3y y -=，此时三角形OMN 的面积取得最大值为32.21．（1）1m =±（2）证明见解析.【分析】(1)设点A 关于直线对称的点为1(4)A n ，，根据题意可得1AA 的中点(1)2n，在直线上且13AA l ⊥，列出方程组，解方程组即可；(2)对直线斜率是否存在分类讨论，当直线CD 斜率k 不存在时，求出点A 、M 、C 、D 坐标，利用DM AD k k =可证得A 、D 、M 三点共线；当直线CD 斜率存在时，设直线2l ：(1)(0)y k x k =-≠，()()1122C x y D x y ，，，，与椭圆方程联立方程组，消y 得到关于x 的一元二次方程，将AM AD k k 、表示为含有k 的算式，得出AM AD k k =即可.（1）由题意知，直线340l x my +-=：的斜率存在，且斜率为31k m=-，设点A 关于直线3l 对称的点为1A ，则1(4)A n ，，13AA l ⊥所以线段1AA 的中点(12n ，在直线3l 上，又16AA nk =，131AA k k =-，有1161402nm n m ⎧-⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩或16m n =-⎧⎨=-⎩，所以1m =±；（2）已知(20)(20)(10)A B F -，，，，，，当直线2l 的斜率不存在时，2l ：x =1，此时33(1)(122C D -，，，，有3032212CBk +==-，所以直线3(2)2CB l y x =-：，当4x =时，3y =，所以3(4)M ，，所以33301122412122DMAD k k --====-+，，所以DM AD k k =，即A 、D 、M 三点共线；当直线2l 的斜率存在时，设直线2l ：(1)(0)y k x k =-≠，则22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=，22222(8)4(43)(412)1441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122C x y D x y ，，，，则2212122284124343k k x x x x k k -+==++，，直线BC 的方程为11(2)2y y x x =--，令4x =，得112(4)2yM x -，，所以直线AD 、AM 的斜率分别为212123(2)AD AM y y k k x x ==+-，21211221213(2)(2)=23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-+-+-，上式的分子21123(2)(2)y x y x --+21123(1)(2)(1)(2)k x x k x x =----+121225()8kx x k x x k=-++2222412825804343k k k k k k k -=⋅-⋅+=++，所以0AD AM k k -=，即A 、D 、M 三点共线.综上，A 、D 、M 三点共线.22．（1）22(4)16x y -+=（2）22464()39x y -+=【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.（2）求解轨迹方程求谁设谁，设(,)M x y ，00)(P x y ，用点M 的坐标表示点P 的坐标，带入方程即可得到答案.（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==，所以1(4,0)F -､2(4,0)F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4，所以C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=；（2）设动点(,)M x y ，00)(P x y ，，则1(4,)F M x y =+，00(,)MP x x y y =--，由12F M MP =，得(4x +，0)2(y x x =-，0)y y -，即0042()2()x x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得0034232x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在C 上，所以2200(4)16x y -+=，代入得22343(4)()1622x y+-+=，化简得22464()39x y -+=.。
新教材适用高中数学第3章圆锥曲线的方程测评新人教A版选择性必修第一册
第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为( )A. B. C.(1,0) D.(0,1)解析:∵抛物线过点(1,4),∴4=2a,∴a=2,∴抛物线方程为x2=y,焦点坐标为.答案:A2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )A. B. C. D.解析:设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±x.因为点(4,-2)在渐近线上,所以,依据c2=a2+b2,可得,解得e2=,e=.答案:D3.与椭圆=1共焦点且过点(5,-2)的双曲线的标准方程是( )A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=1解析:∵双曲线与椭圆=1共焦点,∴双曲线中c2=6,即a2+b2=6,故设双曲线方程为=1,把(5,-2)代入双曲线方程得a2=5,故所求双曲线的方程为-y2=1.答案:A4.已知双曲线=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )A. B. C. D.解析:抛物线的焦点为(1,0),由题意知=2.即m=,则n=1-,从而mn=.答案:A5.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )A.8B.16C.32D.64解析:抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标),从而弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案:B6.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )A.y2=2(x-1)B.y2=4(x-1)C.y2=x-1D.y2=(x-1)解析:设P(x0,y0),M(x,y),则因为=x0,所以4y2=2x-2,即y2=(x-1).答案:D7.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点(异于原点),若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )A. B.2 C. D.4解析:∵点A到抛物线C1的准线的距离为p,∴A,适合y=x,∴=4,∴e=.答案:C8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:因为椭圆的离心率为,所以e=,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=4b2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得=1,即=1,所以x2=b2,x=± b.所以y=±b,则在第一象限,双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为,所以四边形的面积为4×b×b=b2=16,所以b2=5,故椭圆C的方程为=1,选D.答案:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对抛物线y=4x2,下列描述正确的是( )A.开口向上B.焦点为C.准线x=-1D.对称轴为y轴解析:抛物线方程可化为x2=y,故抛物线开口向上,焦点为,准线方程为y=-,关于y轴对称. 答案:ABD10.若双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是( )A.C的方程为=1B.C的离心率为C.焦点到渐近线的距离为3D.双曲线上一点到两焦点的距离之差的肯定值为6解析:由题意设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),焦距为2c,因为双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±x,所以解得所以双曲线的标准方程为=1,A对;其离心率为e=,B错;焦点到渐近线的距离d==4,C错;由双曲线定义知,双曲线一点到两焦点的距离之差的肯定值为2a=6,D对.答案:AD11.设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Г上存在点P满意|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Г的离心率可能等于( )A. B.C.2D.解析:设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=;②若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=.综上,所求的离心率为.答案:AD12.已知椭圆C:=1的右焦点为F,过点F的两条相互垂直的直线l1,l2,l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点C,D,则下列叙述正确的是( )A.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为7B.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为C.弦长|AB|存在最大值,且最大值为4D.弦长|AB|不存在最小值解析:当直线l1,l2一个斜率为零一个斜率不存在时,则|AB|+|CD|=7,故A是正确的;当直线l1,l2的斜率都存在时,不妨令直线l1的斜率为k(k≠0),由题意知l1的直线方程为y=k(x-1),联立得消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知x1+x2=,x1·x2=,则|AB|=·|x1-x2|=,同理|CD|=.特殊地,当k2=1时,|AB|=|CD|=,即|AB|+|CD|=,故B正确;由于|AB|==3+,故当k=0时,|AB|取到最大值4,故C正确;由于|AB|=3+>3,但当弦AB的斜率不存在时,|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D选项不正确.答案:ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|的值为 ,|PF1|的值为 .(本题第一空2分,其次空3分)解析:因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2与x轴垂直,且点P的坐标为,所以|PF2|=,则|PF1|=2a-|PF2|=.答案:14.设F1,F2为曲线C1:=1的焦点,P是曲线C2:-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为 .解析:由题意知|F1F2|=2=4,设点P坐标为(x,y).由则|F1F2|·|y|=×4×.答案:15.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .解析:由于x2=2py(p>0)的准线为y=-,由解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为A,B,-,所以|AB|=2.由△ABF为等边三角形,得|AB|=p,解得p=6.答案:616.设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为.解析:依题意及双曲线的对称性,不妨设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a.而|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2,所以4a2=16a2+4c2-2·4a·2c·cos30°,即3a2-2ac+c2=0,所以a-c=0,故双曲线C的离心率为.答案:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=6,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两条曲线的方程;(2)若P为两曲线的一个交点,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)设椭圆方程为=1(a1>b1>0),双曲线方程为=1(a2>0,b2>0),则由题意知c=3,又由已知得解得a1=7,a2=3,所以b1=,b2=3,故两曲线的方程分别为=1,=1.(2)设P为两曲线在第一象限的交点,则解得在△PF1F2中,|F1F2|=6,由余弦定理,得cos∠F1PF2=.依据椭圆与双曲线的对称性知,点P为其他交点时,也有cos∠F1PF2=.故∠F1PF2的余弦值为.18.(12分)已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(m≠0)截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.解:设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).由得x2-2(4+m)x+16=0,所以x1+x2=2(4+m),x1x2=16,所以弦长为==2.由2=6,解得m=1或m=-9.经检验,m=1或m=-9均符合题意.故所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=-18x.19.(12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为=1(a>2),其离心率为,故,则a=4,故椭圆C2的方程为=1.(2)A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y 轴上,因此可以设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以,将y=kx代入=1中,得(4+k2)x2=16,所以.由=2,得=4,即,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.20.(12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹方程;(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?解:(1)由题设,点C到点F的距离等于它到l1的距离,故点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,所求轨迹的方程为x2=4y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在,又抛物线方程为x2=4y,当直线l2的斜率为0时,|PQ|=4.当直线l2的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),则有=4y1,=4y2,两式作差得=4(y1-y2),即得k=,则直线方程为y-2=(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0.由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,|PQ|====≤6,当且仅当t2=2时等号成立.即|PQ|的最大值为6.21.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解由题意,得,又点(2,)在C上,所以=1,两方程联立,可解得a2=8,b2=4.故C的方程为=1.(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=,yM=k·xM+b=.所以直线OM的斜率kOM==-,所以kO M·k=-.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.22.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求t,p的值.(2)如图所示,设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且=5(其中O为坐标原点).①求证:直线AB必过定点,并求出该定点P的坐标;②过点P作AB的垂线与抛物线交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.(1)解由已知得3+=4,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,代入点T坐标可解得t=±2.(2)①证明:设直线AB的方程为x=my+n,A,B.由得y2-4my-4n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n.由=5,得+y1y2=5,∴y1y2=-20或y1y2=4(舍去).即-4n=-20,∴n=5,∴直线AB过定点(5,0).②解由①得|AB|=|y2-y1|=,同理得|CD|=,则四边形ACBD的面积S=|AB|·|CD|==8, 令m2+=μ(μ≥2),则S=8,是关于μ的增函数,故Smin=96.当且仅当m=±1时取到最小值96.。
人教A版高二数学选择性必修第一册-第三章 圆锥曲线的方程 章末测试(解析版)
第三章章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(每题5分，共40分）1．（2020·全国高二课时练习）已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（）A ．3B ．2C ．4D ．【答案】A【解析】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A2．（2020·全国高二课时练习）抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为()A ．B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.根据抛物线定义，得y P ＋1＝3，解得y P ＝2，代入抛物线方程求得x P ＝±，∴点P 到y轴的距离为故选A.3．（2020·全国高二课时练习）已知方程221||12x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(1,2)C ．(,1)(1,2)-∞-⋃D ．3(,1)1,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意得10,20,21,m m m m ⎧->⎪->⎨⎪->-⎩即112,3,2m m m m ⎧⎪-⎪<⎨⎪⎪<⎩或∴312m <<或1m <-故选：D.4．（2020·全国高二课时练习）曲线221169x y +=与曲线22(0)169x y k k +=>的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D【解析】首先化简22(0)169x y k k +=>为标准方程221169x y k k +=，()0k >，由方程形式可知，曲线221169x y +=的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率4c e a ==，221169x y k k +=，()0k >的长轴长是，短轴长是，离心率4c e a ==，所以离心率相等.故选D.5．（2020·全国高二课时练习）与椭圆229436x y +=有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．2216y x +=C ．2216x y +=D ．22185x y +=【答案】B【解析】椭圆229436x y +=可化为标准方程22149x y +=，可知椭圆22149x y +=的焦点在y轴上，焦点坐标为(0,，故可设所求椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>，则c =.又22b =，即1b =，所以2226a b c =+=，故所求椭圆的标准方程为2216y x +=.故选：B.6．（2020·全国高二课时练习）方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．()4,7C ．()4,10D ．()7,10【答案】D【解析】由题意可知40,100,410,k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得710k <<.7．（2020·全国高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A1-B ．22C．2D ．212-【答案】A【解析】12F PF ∆为等腰直角三角形，2222b a c c a a-==，即222ac a c =-得2210e e +-=，解得1e =-．8．（2020·全国高二课时练习）设e 是椭圆2214x yk +=的离心率，且1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是A ．()0,3B ．1633,⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】当焦点在x 轴时1,12e ⎛⎫=⎪⎝⎭，4116,1,,43k k k -⎛⎫⎛⎫∴∈∴∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当焦点在y 轴时()41,10,322e k ⎛⎫=∈∴∈ ⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围是()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D.二、多选题（每题5分，共20分）9．（2020·全国高二课时练习）已知方程22141x y t t +=--表示的曲线C ，则下列判断正确的是（）A ．当14t <<时，曲线C 表示椭圆；B ．当4t >或1t <时，曲线C 表示双曲线；C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<；D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >；【答案】BC【解析】由41t t -=-，得52t =，此时方程22141x y t t +=--表示圆，故A 选项错误.由双曲线的定义可知()()410t t --<时，即1t <或4t >时，方程22141x y t t +=--表示双曲线，故B 选项正确.由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x 轴上时，满足410t t ->->，解得512t <<，故C 选项正确.当曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t ->⎧⎨->⎩，解得14t <<，故D 选项不正确.综上所述，正确的选项为BC.故选：BC10．（2020·广东汕头高二期末）双曲线221916x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，下列结论正确的是（）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D ．若12PF PF ⊥，则12PF F ∆的面积为32【答案】BC 【解析】221916x y -=3,4,5a b c ∴===53c e a ∴==，故A 错误；双曲线的渐近线方程为43y x =±即430x y ±=，故B 正确；设双曲线上一点()00,P x y ，22001916x y ∴-=即2200169144x y -=则P 到两渐近线的距离的乘积为220000001694343144552525x y x y x y -+-⋅==，故C 正确；若12PF PF ⊥，则1290F PF ∠=︒由焦点三角形面积公式122121616tan 45tan2PF F F P S F b ∆===∠︒，故D 错误.综上，正确的有BC 故选：BC11．（2019·山东青岛二中高二月考）下列说法正确的是（）A ．方程2x xy x +=表示两条直线B ．椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m =C ．曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D ．双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y xa=±【答案】ACD【解析】方程2x xy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则()1024m m ---=或()2104m m ---=，解得4m =或8m =，所以B 选项错误；曲线22259x y xy +=上任意点(),P x y ，满足22259x y xy +=，(),P x y 关于坐标原点对称点(),P x y '--也满足()()()()22259x y x y --+=--，即(),P x y '--在22259x y xy +=上，所以曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称，所以C 选项正确；双曲线2222x y a b λ-=即0λ≠，其渐近线方程为b y x a=±正确，所以D 选项正确.故选：ACD12．（2019·山东淄博.高二期中）已知抛物线24y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线:43110l x y -+=的距离为2d ，则12d d +的取值可以为()A ．3B ．4C D ．【答案】ABD【解析】抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离,所以过焦点F 作直线4311=0x y -+的垂线,则F 到直线的距离为12d d +的最小值,如图所示：所以()12min 22343d d +==+,选项ABD 均大于或等于3.故选:ABD第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2019·湖北襄阳。
新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程测评一含解析新人教A版选择性必修第一册
第三章测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为()A.2B.2√2C.4D.4√2M:x2+y24=λ经过点(1,2)可得λ=2,即椭圆的方程为x 22+y28=1,则a=2√2,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=4√2.2.(2020广东茂名期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0)P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,得p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知双曲线x29−y2m=1的一条渐近线的方程为y=23x,则双曲线的焦距为()A.√13B.10C.2√13D.2√5由题意得√m3=23,得m=4,则双曲线的焦距为2√9+m=2√13.4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16D.(x+2)2+y2=4,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.5.设P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率是43,且∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积是7,则a+b是()A.3+√7B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴{a =3,c =4,∴b=√c 2-a 2=√7, ∴a+b=3+√7. 6.已知直线y=k (x+2)(k>0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于 ( )A.13B.2√23C.23D.√23A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1>0,x 2>0,y 1>0,y 2>0.由{y =k (x +2),y 2=8x ,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0, 所以x 1x 2=4, ①根据抛物线的定义得, |FA|=x 1+p2=x 1+2,|FB|=x 2+2.因为|FA|=2|FB|,所以x 1=2x 2+2, ②由①②得x 2=1(x 2=-2舍去), 所以B (1,2√2),代入y=k (x+2)得k=2√23. 7.我们把由半椭圆x 2a2+y 2b2=1(x ≥0)与半椭圆y 2b2+x 2c 2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2=b 2+c 2,a>b>c>0),如图所示,其中点F 0,F 1,F 2是相应椭圆的焦点.若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形,则a ,b 的值分别为( ) A.√72,1 B.√3,1C.5,3D.5,42|=√b 2-c 2=12,|OF 0|=c=√3|OF 2|=√32, ∴b=1,∴a 2=b 2+c 2=74, 得a=√72,即a=√72,b=1.8.已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)与双曲线C 2:x 2-y 24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则( ) A.a 2=132 B.a 2=13C.b 2=12D.b 2=2,知a 2-b 2=5,因此椭圆方程为(a 2-5)x 2+a 2y 2+5a 2-a 4=0, 双曲线的一条渐近线方程为y=2x , 联立方程消去y ,得(5a 2-5)x 2+5a 2-a 4=0, 所以直线截椭圆的弦长d=√5×2√a 4-5a 25a 2-5=23a , 解得a 2=112,b 2=12.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.当α∈(π4,3π4)时,方程x 2sin α+y 2cos α=1表示的轨迹可以是( )A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线α∈(π4,3π4)时,sin α∈(√22,1],cos α∈(-√22,√22), 可得方程x 2sin α+y 2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0),也可以是双曲线(sin α>0,cos α<0),也可以是两条直线(sin α=1,cos α=0).10.已知双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-5,0),F 2(5,0),则能使双曲线C 的方程为x 216−y 29=1的是( )A.离心率为54B.双曲线过点(5,94)C.渐近线方程为3x ±4y=0D.实轴长为4C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-5,0),F 2(5,0),可得c=5.如果离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C 的方程为x 216−y 29=1,故A 正确;c=5,双曲线过点(5,94),可得{25=a 2+b 2,25a 2-8116b 2=1,解得{a =4,b =3,所以双曲线C 的方程为x 216−y 29=1,故B 正确;c=5,渐近线方程为3x ±4y=0,可得{a 2+b 2=25,b a =34,解得{a =4,b =3,所以双曲线C 的方程为x 216−y 29=1,故C 正确;c=5,实轴长为4,可得a=2,b=√21,双曲线C 的方程为x 24−y 221=1,故D 不正确.11.已知斜率为√3的直线l 经过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F ,与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AB|=8,则以下结论正确的是( ) A.1|AF |+1|BF |=1 B.|AF|=6C.|BD|=2|BF|D.F 为AD 的中点,F (p2,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),由A ,B 分别向准线作垂线,交点为A',B',直线l 的斜率为√3,则直线方程为y=√3(x -p2),联立{y 2=2px ,y =√3(x -p2),得12x 2-20px+3p 2=0,解得x A =3p2,x B =p 6. 由|AB|=|AF|+|BF|=x A +x B +p=8p3=8,得p=3. 所以抛物线方程为y 2=6x.则|AF|=x A +p2=2p=6,故B 正确; 所以|BF|=2,1|AF |+1|BF |=23,故A 错误;|BD|=|BF |cos60°=4,则|BD|=2|BF|,故C 正确;所以|AF|=|DF|=6,则F 为AD 的中点,故D 正确.12.如图,已知椭圆C 1:x 24+y 2=1,过抛物线C 2:x 2=4y 焦点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,连接NO ,MO 并延长分别交C 1于A ,B 两点,连接AB ,△OMN 与△OAB 的面积分别记为S △OMN ,S △OAB .则下列说法正确的是( )A.若记直线NO ,MO 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2的大小是定值-14B.△OAB 的面积S △OAB 是定值1C.线段OA ,OB 长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值4D.设λ=S △OMN S △OAB,则λ≥2(0,1),设直线MN 的方程为y=kx+1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).联立方程组{y =kx +1,x 2=4y ,消元得x 2-4kx-4=0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4,∴y 1y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=1, ∴k 1k 2=y 2x 2·y 1x 1=y 1y 2x 1x 2=-14,故A 正确;设直线OA 的方程为y=mx (m>0), 则直线OB 的方程为y=-14mx ,联立方程组{y =mx ,x 24+y 2=1,解得x 2=41+4m 2, 则A (√1+4m2√1+4m 2),同理可得B (√1+14m212m√1+14m 2),∴A 到OB 的距离d=2√1+4m 2+8m 2√1+4m 2√1+16m 2=2√1+4m 2√1+16m 2.又|OB|=√41+14m 2+14m 21+14m2=√16m 2+1√4m 2+1,∴S △OAB =12·|OB|·d=12·√16m 2+1√4m 2+12√1+4m 2√1+16m 2=1,故B 正确; 又|OA|2=41+4m2+4m 21+4m2=4+4m 21+4m2,|OB|2=16m 2+14m 2+1,∴|OA|2+|OB|2=5+20m 21+4m 2=5,故C 不正确;联立方程组{y =mx ,x 2=4y ,可得x (x-4m )=0,故N (4m ,4m 2),∴|ON|=4m √m 2+1, 同理可得M (-1m ,14m 2), ∴M 到直线OA 的距离h=|-1-14m 2|√m 2+1=1+14m 2√1+m 2,∴S △OMN =12·|ON|·h=2m (1+14m 2)=2m+12m ≥2,当且仅当2m=12m ,即m=12时,等号成立. ∴λ=S △OMN S △OAB=S △OMN ≥2,故D 正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.抛物线y 2=2px (p>0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1,则p= .,设抛物线的焦点为F ,点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0),则|QF|=x 0+p2的最小值是p2=1,则p=2.14.若等轴双曲线C 的左顶点A ,右顶点B 分别为椭圆x 2a 2+1+y 2=1(a>0)的左、右焦点,点P 是双曲线上异于A ,B 的点,直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2=.,椭圆x 2a 2+1+y 2=1(a>0)的左、右焦点分别为A (-a ,0),B (a ,0),所以以A ,B 分别为左、右顶点的等轴双曲线C 的方程为x 2-y 2=a 2. 设双曲线上异于A ,B 的点P 的坐标为(x ,y )(x ≠±a ), 则直线PA ,PB 的斜率分别为k 1=y x+a,k 2=yx -a,所以k 1k 2=y x+a·y x -a=y 2x 2-a 2=1.15.已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=ba x 交椭圆于A ,B 两点,若cos ∠AFB=13,则椭圆C 的离心率是 .,过点A 作AM 垂直x 轴于点M ,过点B 作BN 垂直x 轴于点N ,联立{y =ba x ,b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2,解得A √22a ,√22b .∴|AM|=|BN|=√22b ,|MF|=c-√22a , |NF|=c+√22a.∵cos ∠AFB=13,∴tan ∠AFB=2√2.tan ∠AFM=|AM ||MF |,tan ∠BFN=|BN ||FN |, 则tan ∠AFB=tan∠AFM+tan∠BFN1-tan∠AFM ·tan∠BFN=2√2.即√2b 2-√22a √2b 2c+√22a=2√2(1√2b 2-√22a √2b 2c+√22a),化简得c 2-bc-2b 2=0,解得c=2b ,故e=c a =√c 2+b 2=2√55.16.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (x 1,-2√x 1),A (x 2,2√x 2),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(x 1-1,-2√x 1)=(3x 1-3,-6√x 1),则有{3x 1-3=-2,m =-6√x 1,解得{x 1=13,m =-2√3,则C (-1,-2√3),则直线AB 的斜率k=2√32=√3,则直线AB 的方程为y=√3(x-1),即√3x-y-√3=0.将y=√3(x-1)代入y 2=4x 得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163. √3x-y-√3=0163四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设A ,B 分别是双曲线x 225−y 220=1的两渐近线上的动点,且|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,设O 为坐标原点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x ,y ),∵动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x=x 1+x 2,y=y 1+y 2. ∵A ,B 分别是双曲线x 225−y 220=1的两渐近线上的动点,∴令y 1=2√55x 1,y 2=-2√55x 2, ∴x=x 1+x 2=√52(y 1-y 2),y=y 1+y 2=2√55(x 1-x 2), ∴|AB|=√(√52y)2+(√52=2√5,化简可得动点P 的轨迹方程为x 225+y 216=1.18.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为2√3,左、右焦点分别为F 1,F 2,且过点P (√3,12). (1)求椭圆C 的方程;(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l 的方程.由题意得c=√3,焦点F 1(-√3,0),F 2(√3,0),2a=|PF 1|+|PF 2|=√(√3-√3)2+(12-0)2+√(√3+√3)2+(12-0)2=4,则a=2,b=√a 2-c 2=1, 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线l 的方程为x=my+√3(m>0),代入椭圆方程得(m 2+4)y 2+2√3my-1=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),Δ=16(m 2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y 1+y 2=-2√3m m 2+4,y 1y 2=-1m 2+4. ① 由MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得y 1=-3y 2, ②由①②可得m=√22.故直线l 的方程为2x-√2y+2√3=0.19.(12分)(2020四川雅安期末)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍. (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2(c ,0)到渐近线的距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2, 解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0. (2)因为∠F 1PF 2=60°, 由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2, 即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. ① 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a , 平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2, ②①-②得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2. 根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3, 得b 2=48.再由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)(2020山东烟台段考)已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A 在抛物线上,且A 的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l 为过点(4,0)的任意一条直线,若l 交抛物线于A ,B 两点,求证:以AB 为直径的圆必过坐标原点.y 2=2px (p>0)的焦点为F (p 2,0),准线为x=-p2,由抛物线的定义可得,|AF|=4+p2=5, 解得p=2,即抛物线的方程为y 2=4x.l :x=my+4,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将x=my+4代入抛物线方程y 2=4x ,可得y 2-4my-16=0,Δ=16m 2+64>0恒成立, y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-16,x 1x 2=y 124·y 224=16,即有x 1x 2+y 1y 2=0,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则以AB 为直径的圆必过坐标原点. 21.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套的一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①②③三个区域面积彼此相等.已知:椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值.(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立平面直角坐标系,如图.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0), ∵内、外椭圆有相同的离心率, ∴内椭圆的方程为y 2b2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①②③三个区域面积彼此相等,由对称性可知πab=3πb b 2a ,即a 2=3b 2,则a 2=3(a 2-c 2),∴e=√63.(2)同(1)建立平面直角坐标系,由于外椭圆长轴长为6, ∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.当两切线不与坐标轴垂直时,设点M (x 0,y 0),切线方程分别为y-y 0=k 1(x-x 0),y-y 0=k 2(x-x 0),切线统一记为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∵直线y-y 0=k (x-x 0)与椭圆x 29+y 23=1相切,高中数学教学、学习精品资料11 ∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)〖3(y 0-kx 0)2-9〗=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0,则方程的两根为k 1,k 2.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3). 当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.22.(12分)给定椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),称圆心在原点O ,半径为√a 2+b 2的圆是椭圆C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率为√22,点(2,√2)在C 上.(1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”的方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线l 1,l 2,使得l 1,l 2与椭圆C 都只有一个交点,且l 1,l 2分别交其“卫星圆”于点M ,N (异于点P ).求证:弦长|MN|为定值.{c a =√22,4a 2+2b 2=1,解得{a =2√2,b =2, 所以椭圆的方程为x 28+y24=1,其“卫星圆”的方程为x 2+y 2=12.当l 1,l 2中有一条斜率不存在时,不妨设l 1斜率不存在,因为l 1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=2√2或x=-2√2,当l 1方程为x=2√2时,此时l 1与“卫星圆”交于点(2√2,2)和(2√2,-2),此时经过点(2√2,2)或(2√2,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l 2为y=2或y=-2,所以l 1⊥l 2,所以线段MN 应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=4√3.②当l 1,l 2的斜率都存在时,设点P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=12,设经过点P (x 0,y 0)与椭圆只有一个公共点的直线分别为y=t 1(x-x 0)+y 0,y=t 2(x-x 0)+y 0,统一记为y=t (x-x 0)+y 0,联立方程组{y =tx +(y 0-tx 0),x 28+y 24=1,消去y , 整理得(1+2t 2)x 2+4t (y 0-tx 0)x+2(y 0-tx 0)2-8=0,所以Δ=(64-8x 02)t 2+16x 0y 0t+32-8y 02=0,则方程的两根为t 1,t 2,所以t 1t 2=32-8y 0264-8x 02=32-8(12-x 02)64-8x 02=-1,满足条件的两直线l 1,l 2垂直.所以线段MN 应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=4√3.综合①②知,弦长|MN|为定值4√3.。
第三章+圆锥曲线单元测试卷(一)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
第三章 圆锥曲线单元测试卷（一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)分别过点A (2,0)和B (0,-1),则该椭圆的焦距为 ( ) A .√3B .2√3C .√5D .2√52.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点为(4,0),那么抛物线的方程是 ( )A .y 2=-16xB .y 2=12xC .y 2=16xD .y 2=-12x3. 双曲线x 24-y 2=1的渐近线方程是 ( )A .y=±2xB .y=±12x C .y=±14x D .y=±4x4.已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F 1,F 2,以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3),则此双曲线的方程为 ( )A .x 29-y 216=1B .x 24-y 23=1 C .x 216-y 29=1D .x 23-y 24=15.已知椭圆C :x 23+y 24=1的上焦点为F ,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A ,B ,C ,D ,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|= ( ) A .2√3B .8C .4D .4√36.已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0),过其右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A .(1,√5)B .(1,√3)C .(√2,√3)D .(1,√2)7.已知抛物线y 2=2px (p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( ) A .x=1B .x=-1C .x=2D .x=-28.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线C 2:x 2-y 24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则 ( ) A .a 2=132B .a 2=13C .b 2=12D .b 2=2二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.若方程x 23-t +y 2t -1=1所表示的曲线为C ,则下面四个说法中错误的是 ( ) A .若C 为椭圆,则1<t<3 B .若C 为双曲线,则t>3或t<1C .曲线C 可能是圆D .若C 为椭圆,且长轴在y 轴上,则1<t<2 10.设椭圆C :x 22+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的动点,则下列结论正确的是( ) A .|PF 1|+|PF 2|=2√2 B .离心率e=√62C .△PF 1F 2面积的最大值为√2D .以线段F 1F 2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切 11.我们通常称离心率是√5-12的椭圆为“黄金椭圆”.如图已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),A 1,A 2,B 1,B 2分别为左、右、上、下顶点,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是( )A .|A 1F 1|·|F 2A 2|=|F 1F 2|2B .∠F 1B 1A 2=90°C .PF 1⊥x 轴,且PO ∥A 2B 1D .四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1,F 212.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则下列结论正确的是 ( )A .双曲线C 的渐近线方程为y=±xB .以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.△PF1F2的面积为1第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知椭圆的离心率为12,短轴长为2√3,焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为.14.椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为,此时点P的坐标为.15.已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若双曲线C与圆O:x2+y2=a2+b2的一个交点为A(x0,y0)(x0<0,y0>0),且双曲线C的渐近线方程为y=±2√6x,则cos∠AF2F1=.16.若正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上,另外两个顶点在抛物线y=x2上,则该正方形面积的最小值为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)已知椭圆与双曲线x23-y2=1有公共的焦点,且椭圆的短轴长为2√2,求椭圆的标准方程;(2)求以椭圆x28+y25=1的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程.18.(12分)已知直线l的倾斜角为45°,且经过点(-1,0),.(1)求直线l和曲线C的方程;(2)试判断直线l与曲线C的位置关系,若相交,求出弦长.从以下三个条件中任选一个,补充到上面的横线处,完成解答.①曲线C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,且四个顶点构成的四边形面积为4√3;②曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,且点(4,6)在曲线C上;③曲线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,其上的点P的横坐标为4,且|OP|=4√2,O为坐标原点,|PF|=5.19.(12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.20.(12分)已知直线x+y-1=0与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,点M是线段AB上的一点,AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且点M在直线l:y=12x上.(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上,求椭圆的方程.21.(12分)如图已知抛物线C:y2=2px(p>0),其焦点为F,一条直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB的中点,且|AF|+|BF|=1+2x0.(1)求抛物线C的方程;(2)若x1x2+y1y2=-1,求x0|AB|的最小值.22.(12分)已知椭圆E:x24+y23=1与y轴的正半轴交于点M,且椭圆E上相异两点A,B满足直线MA,MB的斜率之积为14.(1)试证明直线AB过定点,并求出定点的坐标;(2)求△ABM的面积的最大值.单元测试卷答案1.B [解析] 由题意可得a=2,b=1,所以a 2=4,b 2=1,所以c=√4-1=√3,从而2c=2√3.故选B .2.C [解析] 由题意可设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),因为p2=4,所以p=8,故抛物线的方程为y 2=16x ,故选C .3.B [解析] 双曲线x 24-y 2=1的渐近线方程为y=±12x. 4.C [解析] 由题意知,c=√32+42=5,所以a 2+b 2=c 2=25,又双曲线的渐近线方程为y=±ba x ,所以b a =34,从而解得a=4,b=3,所以双曲线的方程为x 216-y 29=1.5.B [解析] 由椭圆的方程得a 2=4,b 2=3,∴c 2=1,∴F (0,1).作出椭圆与直线x+y-1=0,x+y+1=0,如图所示.不妨设点A ,C 在x 轴上方,连接AC ,BD ,由对称性知四边形ABDC 是平行四边形,∴|AB|=|CD|,设椭圆的下焦点为F 1,因此|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AB|+|CF|+|DF|=|CD|+|CF|+|DF|=|CF 1|+|CF|+|DF 1|+|DF|=2a+2a=4a=8,故选B. 6.D [解析] 依题意得,双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y=±ba x ,又过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支有两个交点,∴ba <1,即b<a ,即b 2<a 2,∴c 2-a 2<a 2,因此c 2<2a 2,∴e 2<2.又e>1,∴1<e<√2.故选D .7.B [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题知抛物线的焦点F p2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,将其代入抛物线方程得y 2=2px=2p y+p 2=2py+p 2,所以y 2-2py-p 2=0,所以y 1+y 22=p=2,所以抛物线的方程为y 2=4x ,准线方程为x=-1.8.C [解析] 由题意知,a 2=b 2+5,因此椭圆的方程为(a 2-5)x 2+a 2y 2+5a 2-a 4=0①,不妨取双曲线的一条渐近线方程为y=2x ②,联立①②,消去y 得(5a 2-5)x 2+5a 2-a 4=0,所以直线y=2x 被椭圆C 1截得的弦长d=√5×2√a 4-5a 25a 2-5=23a ,解得a 2=112,所以b 2=12.9.AD [解析] 当3-t=t-1,即t=2时,方程表示圆,因此A 中说法错误,C 中说法正确;当(3-t )(t-1)<0,即t>3或t<1时,方程表示双曲线,因此B 中说法正确;方程表示长轴在y 轴上的椭圆时,必须满足t-1>3-t>0,即2<t<3,因此D 中说法错误.故选AD .10.AD [解析] 对于选项A,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a=2√2,所以选项A 正确.对于选项B,依题意知a=√2,b=1,c=1,所以e=ca =√2=√22,所以选项B 错误.对于选项C,|F 1F 2|=2c=2,当P 为椭圆短轴端点时,△PF 1F 2的面积取得最大值,最大值为12×2c ·b=c ·b=1,所以选项C 错误.对于选项D,以线段F 1F 2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,又圆心到直线x+y-√2=0的距离为√2√2=1,也即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切,所以选项D 正确.综上所述,正确的选项为A,D .故选AD . 11.BD [解析] 由椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0),可得A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,b ),B 2(0,-b ),F 1(-c ,0),F 2(c ,0).对于A,|A 1F 1|·|F 2A 2|=|F 1F 2|2,即为(a-c )2=(2c )2,所以a-c=2c ,即e=c a =13,不满足条件,A 错误;对于B,若∠F 1B 1A 2=90°,则|A 2F 1|2=|B 1F 1|2+|B 1A 2|2,即(a+c )2=a 2+(a 2+b 2),所以c 2+ac-a 2=0,即有e 2+e-1=0,得e=√5-12舍去e=-1-√52,满足条件,B 正确;对于C,PF 1⊥x 轴,且PO ∥A 2B 1,所以P -c ,b 2a ,由k PO =k A 2B 1,可得b 2a-c =b-a ,解得b=c ,又a 2=b 2+c 2,所以e=ca =c√2c =√22,不满足条件,故C 错误;对于D,若四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1,F 2,即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ,则ab=c √a 2+b 2,结合b 2=a 2-c 2,得c 4-3a 2c 2+a 4=0,即e 4-3e 2+1=0,解得e 2=3+√52(舍去)或e 2=3-√52,所以e=√5-12,满足条件.故D 正确.故选BD .12.ACD [解析] 由x 2-y 2=0得y=±x ,选项A 正确;由a=b=1得c=√2,因此以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=2,选项B 错误;F 1(-√2,0),取一条渐近线为y=x ,则F 1到渐近线y=x 的距离d=√2-√2=1,选项C 正确;由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得PF 1⊥PF 2,因此P 点在圆x 2+y 2=2上,由{x 2+y 2=2,x 2-y 2=1,得y 2=12,所以|y|=√22,因此,S △PF 1F 2=12|F 1F 2|·|y|=12×2√2×√22=1,选项D 正确.故选ACD .13.x 24+y 23=1 [解析] 依题意,设椭圆的标准方程为x 2a2+y 23=1(a>√3),又c a=√a 2-3a=12,得a=2,所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.14.25 (±3,0) [解析] 设椭圆的两个焦点为F 1,F 2,则m=|PF 1|·|PF 2|≤|PF 1|+|PF 2|22=2a22=a 2=25,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=5时等号成立,即点P 在短轴端点时m 取最大值25,所以点P 的坐标为(±3,0)时,m 的最大值为25.15.45[解析] 连接AF 1.设|AF 1|=m ,则|AF 2|=2a+m ,因为点A 在圆O 上,所以△AF 1F 2为直角三角形,所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2,所以m=-a+√b 2+c 2,|AF 2|=a+√b 2+c 2,因为ba=2√6,所以c=5a ,所以|AF 1|=6a ,|AF 2|=8a ,|F 1F 2|=10a ,所以cos ∠AF 2F 1=45.16.80 [解析] 设正方形的边AB 在直线y=2x-17上,位于抛物线上的两个顶点为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则边CD 所在直线l 的方程可设为y=2x+b ,将直线l 的方程与抛物线方程联立,消去y 得x 2=2x+b ,解得x=1±√b +1,则|x 1-x 2|=2√b +1.设正方形的边长为a ,则a 2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=5(x 1-x 2)2=20(b+1)①.在直线y=2x-17上取一点(6,-5),它到直线y=2x+b 的距离为a ,所以a=√5②.联立①②解得b=3或b=63,所以a 2=80或a 2=1280,所以a min 2=80,即正方形面积的最小值为80.17.解:(1)根据题意,双曲线x 23-y 2=1的左、右焦点分别为(-2,0),(2,0),则所求椭圆的左、右焦点分别为(-2,0),(2,0),即椭圆的半焦距c=2,又由椭圆的短轴长为2√2,知b=√2,则a 2=b 2+c 2=6,故所求椭圆的标准方程为x26+y 22=1.(2)椭圆x 28+y 25=1的焦点为(±√3,0),顶点为(±2√2,0),(0,±√5),则所求双曲线的焦点在x 轴上,其顶点为(-√3,0),(√3,0),即a=√3,又双曲线以椭圆的顶点为焦点,则双曲线的焦点为(±2√2,0),即c=2√2,则b=√8-3=√5,故所求双曲线的方程为x 23-y 25=1.18.解:因为直线l 的倾斜角为45°,且经过点(-1,0),所以其方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.选择①:(1)曲线C 是椭圆,依题意得ca =12,得a=2c ,所以a 2=4a 2-4b 2,得b 2=34a 2,又12×2a×b×2=4√3,即ab=2√3,所以a 2b 2=12,将b 2=34a 2代入上式,得a 2=4,所以b 2=3,所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1.(2)将x-y+1=0与x 24+y 23=1联立,消去y ,得7x 2+8x-8=0,因为Δ=82-4×7×(-8)=288>0,所以直线l 与曲线C 相交.设交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-87,x 1x 2=-87,所以|AB|=√1+12√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2×√(-87) 2-4×(-87)=247.选择②:(1)曲线C 是双曲线,依题意得ca =2,则c 2=4a 2,所以a 2+b 2=4a 2,得b 2=3a 2,又42a 2-62b 2=1,所以42a 2-623a 2=1,得a 2=4,所以b 2=3a 2=12,则曲线C 的方程为x 24-y 212=1.(2)将x-y+1=0与x 24-y 212=1联立,消去y ,得2x 2-2x-13=0,因为Δ=(-2)2-4×2×(-13)=4×27>0,所以直线l 与曲线C相交.设交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=1,x 1x 2=-132,所以|AB|=√1+12√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2√12-4×(-132)=3√6.选择③:(1)曲线C 是抛物线,Fp 2,0,不妨设P (4,y 0)(y 0>0),则{42+y 02=32,(4-p 2) 2+y 02=25,解得{p =2,y 0=4或{p =14,y 0=4(舍去),所以曲线C 的方程为y 2=4x. (2)将x-y+1=0与y 2=4x 联立,消去y ,得x 2-2x+1=0,此方程有唯一实数解x=1,所以直线l 与曲线C 相切. 19.解:(1)因为直线MN 的斜率为34,所以|MF 2||F 1F 2|=34.因为点M 的横坐标为c ,代入椭圆方程得|MF 2|=b 2a,所以b 2a×12c =34①,又a 2=b 2+c 2②,由①②消去b ,得2c 2+3ac-2a 2=0,将e=ca 代入,可得2e 2+3e-2=0,解得e=12(负值舍去),所以椭圆C 的离心率为12.(2)由题意,原点O 为线段F 1F 2的中点,MF 2平行于y 轴,所以线段MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a ③.由|MN|=5|F 1N|得|F 1D|=2|F 1N|,设N (x 1,y 1),由题意得y 1<0,则{2(-c -x 1)=c ,-2y 1=2,即{x 1=-32c ,y 1=-1,代入椭圆方程,得9c 24a 2+1b2=1④,将③及c 2=a 2-b 2代入④得9(a 2-4a )4a 2+14a=1,解得a=7,b 2=4a=28,所以a=7,b=2√7.20.解:(1)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 是AB 的中点,设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),由{x +y -1=0,x 2a2+y 2b2=1,消去y 得(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2-a 2b 2=0,则x 1+x 2=2a 2a 2+b2,y 1+y 2=-(x 1+x 2)+2=2b 2a 2+b2,所以M 点的坐标为a 2a 2+b 2,b 2a 2+b 2,又M 点在直线l 上,所以a 2a 2+b 2-2b 2a 2+b 2=0,所以a 2=2b 2=2(a 2-c 2),所以a 2=2c 2,得e=c a =√22.(2)由(1)知b=c ,根据对称性,不妨设椭圆的右焦点F (b ,0)关于直线l :y=12x 的对称点为(x 0,y 0),则有{y 0-0x 0-b ·12=-1,x 0+b 2-2·y 02=0,解得{x 0=35b ,y 0=45b ,由已知得x 02+y 02=1,所以35b 2+45b 2=1,得b 2=1,所以所求的椭圆的方程为x 22+y 2=1.21.解:(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x 1+x 2+p ,又x 1+x 2=2x 0,|AF|+|BF|=1+2x 0,∴p=1,∴抛物线C 的方程为y 2=2x.(2)设直线AB 的方程为x=my+b ,代入抛物线方程,得y 2-2my-2b=0,∴y 1+y 2=2m ,y 1y 2=-2b ,∵x 1x 2+y 1y 2=-1,即y 12y 224+y 1y 2=-1,∴y 1y 2=-2,∴y 1y 2=-2b=-2,∴b=1,∴|AB|=√1+m 2|y 1-y 2|=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=2√1+m 2·√m 2+2,x 0=x 1+x 22=y 12+y 224=14[(y 1+y 2)2-2y 1y 2]=m 2+1,∴x 0|AB |=22√m 2+1·√m 2+2,t=m 2+1,t ∈[1,+∞),则x 0|AB |=2√t ·√t+1=2√1+1t≥√24.故x 0|AB |的最小值为√24.22.解:(1)由题意得M (0,√3).记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知,x 1≠0,x 2≠0,若直线AB 的斜率不存在,则直线AB 的方程为x=x 1,故y 1=-y 2,且y 12=y 22=31-x 124,因此k MA ·k MB =y 1-√3x 1·y 2-√3x 2=-y 12-3x 12=34,与已知条件不符,因此直线AB 的斜率存在.设直线AB 的方程为y=kx+m ,与椭圆E 的方程x 24+y 23=1联立,消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-3)=0①,因为直线AB 与椭圆E 有两个交点A ,B ,所以方程①有两个非零不等实根,所以Δ>0,x 1+x 2=-8km 3+4k2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2.又k AM =y 1-√3x 1=kx 1+m -√3x 1,k BM =y 2-√3x 2=kx 2+m -√3x 2,所以由k AM ·k BM =14,得4(kx 1+m-√3)(kx 2+m-√3)=x 1x 2,即(4k 2-1)x 1x 2+4k (m-√3)(x 1+x 2)+4(m-√3)2=0,所以4(m 2-3)(4k 2-1)+4k (m-√3)(-8km )+4(m-√3)2(3+4k 2)=0,化简得m 2-3√3m+6=0,故m=√3或m=2√3.结合x 1x 2≠0,知m=2√3,故直线AB 过定点(0,2√3). (2)记直线AB 过的定点为N ,则N (0,2√3).由(1)知Δ>0且m=2√3,解得k<-32或k>32.则S △ABM =|S △ANM -S △BNM |=12|MN||x 1-x 2|=√32√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√32√(-8km 3+4k 2) 2-4×4(m 2-3)3+4k 2=6√4k 2-93+4k 2=√4k 2-9+12√2≤√32,当且仅当4k 2-9=12,即k=±√212时,△ABM 的面积取得最大值,且最大值为√32.。
2020-2021学年新教材人教A版选择性必修第一册 第三章圆锥曲线的方程 章末测试
第三章圆锥曲线的方程(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为 ( )A. B. C.(1,0) D.(0,1)【解析】选A.因为抛物线过点(1,4),所以4=2a,所以a=2,所以抛物线方程为x2=y,焦点坐标为.2.(2017·浙江高考)椭圆+=1的离心率是( )A. B. C. D.【解析】选B.因为椭圆方程为+=1,所以a=3,c===.所以e==.3.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是( )A.x2=2y-1B.x2=2y-C.x2=y-D.x2=2y-2【解析】选A.设P(x0,y0),PF的中点为(x,y),则y0=,又F(0,1),所以所以代入y0=得2y-1=(2x)2,化简得x2=2y-1.4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( )A.1B.0C.-2D.-【解析】选C.设点P(x0,y0),则-=1,由题意得A1(-1,0),F2(2,0),则·=(-1-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-x0-2+,由双曲线方程得=3(-1),故·=4-x0-5(x0≥1),可得当x0=1时,·有最小值-2.5.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.【解析】选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,则焦点到渐近线的距离d1==或d2==.6.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+相切,则C的离心率为( ) A. B. C.2 D.【解析】选A.由题意得,联立直线与抛物线得x2-kx+=0,由Δ=0得k=±,即=,所以e==.7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为 ( ).A. B. C. D.3【解析】选A.如图,设椭圆方程为+=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y),由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),即解得所以D.因为点D在椭圆上,所以+=1,解得a2=3c2,即e2=,所以e=.8.已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则μ的最大值为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.过P(x轴上方)作准线的垂线,垂足为H,则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,由sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则在△PFE中由正弦定理可知:|PE|=μ|PF|,所以|PE|=μ|PH|,设PE的倾斜角为α,则cos α==,当μ取得最大值时,cos α最小,此时直线PE与抛物线相切,设直线PE的方程为x=ty-,则联立直线与抛物线即y2-2pty+p2=0,所以Δ=4p2t2-4p2=0,所以t=1,即tan α=1,则cos α=,则μ的最大值为.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选BD.2c=6,所以c=3,2a+2b=18,a2=b2+c2,所以所以椭圆方程为+=1或+=1.10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程可以为( )A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x【解析】选CD.因为2b=2,2c=2,所以b=1,c=,所以a2=c2-b2=3-1=2,所以a=,故渐近线方程为y=±x.11.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )A. B. C. D.2【解析】选AC.设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,由椭圆的定义,则有e===;②若圆锥曲线为双曲线,由双曲线的定义,则有e===.综上,所求的离心率为或.12.已知双曲线C:-=1,给出以下4个命题,真命题的是( )A.直线y=x+1与双曲线有两个交点B.双曲线C与-=1有相同的渐近线C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3D.双曲线的焦点坐标为(-13,0),(13,0)【解析】选BC.A错误,因为直线y=x+1与渐近线y=x平行,与双曲线只有一个交点;B正确,两曲线渐近线方程均为y=±x;C正确,右焦点为(,0)到渐近线y=x的距离为3.D错,因c2=a2+b2=13,所以双曲线焦点坐标为(,0)和(-,0).三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则|PF1|= ,△PF1F2的面积等于.【解析】由+=1知,a=5,b=4,所以c=3,即F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF2|=|F1F2|=6.又由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=10,所以|PF1|=10-6=4,于是=·|PF1|·h=×4×=8.答案:4 814.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,记点P到y轴的距离为d,对于定点A(4,5),|PA|+d 的最小值为.【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.由题意得d=|PF|-1,所以|PA|+d≥|AF|-1=-1=-1,当且仅当A,P,F三点共线时,|PA|+d取得最小值-1.答案:-115.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.【解析】设椭圆的方程为+=1(a>b>0),F2的坐标为(c,0),P点坐标为(不妨取第一象限内点P),由题意知|PF2|=|F1F2|,所以=2c,a2-c2=2ac,+2-1=0,解得=±-1,负值舍去,所以e==-1.答案:-116.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c==5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.所以直线BF的方程为y=±(x-5).①若直线BF的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于点B,此时S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=;②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.此时S△AFB=|AF|·|y B|=×2×=.因此,△AFB的面积为.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)给定抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.若|FA|=2|BF|,求直线l的方程.【解析】显然直线l的斜率存在,故可设直线l:y=k(x-1),联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,故x1=,①又|FA|=2|BF|,所以=2,则x1-1=2(1-x2)②由①②得x2=(x2=1舍去),所以B,得直线l的斜率为k=k BF=±2,所以直线l的方程为y=±2(x-1).18.(12分) (2019·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O 为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.【解析】(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=c,故C的离心率e==-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,|y|·2c=16,·=-1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②+=1,③由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).19.(12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.【解析】①焦点在x轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),且c=.设双曲线为-=1(m>0,n>0),m=a-4.因为=,所以=,解得a=7,m=3.因为椭圆和双曲线的半焦距为,所以b2=36,n2=4.所以椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.②焦点在y轴上,椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.20.(12分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点P(4,m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程.(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值. 【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,p>0,其准线方程为x=-,因为P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线的距离,所以4+=6,所以p=4,所以此抛物线的方程为y2=8x.(2)由消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0,设直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则有解得k>-1且k≠0,且x1+x2==4,解得k=2或k=-1(舍去),所以所求k的值为2.21.(12分)设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,A(0,2),B(2,0),且+=.(1)求椭圆C的方程.(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°,直线l与椭圆C相交于E,F,求三角形OEF的面积.【解析】(1)由题意知,b=2,设P(x,y),A(0,2),B(2,0),由+=,得(2,2)=(x,y),则椭圆方程为+=1,可得+=1,即a2=8.所以椭圆方程为+=1.(2)c==2.所以直线l的方程为y=x-2,代入椭圆方程+=1,整理得:3x2-8x=0,则x=0或x=.所以交点坐标为(0,-2)和,所以|EF|==,O到直线l的距离d==.所以S△OEF=××=.22.(12分)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F.(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P,Q两点,若|PQ|=,求抛物线C的方程.(2)过点F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线x=-p相交于M,N两点,试判断△ABO与△MNO的面积之比是否为定值,并说明理由.【解析】(1)设直线PQ的倾斜角为α,由题意得tan α=,α=60°,由抛物线的焦点弦公式得|PQ|====⇒p=2,所以C的方程为y2=4x.(2)△ABO与△MNO的面积之比为,理由如下:设AB的方程为x=ty+,代入y2=2px得y2-2pty-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,x1x2=·==.因为∠AOB=∠MON,所以==·=·==.。
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第三章 圆锥曲线的方程 章末测试
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、单选题(每题5分，共40分）
1．（2020·全国高二课时练习）已知点F 是抛物线2
4x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为
平面上点，则PM PF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．4
D ．2．（2020·全国高二课时练习）抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为( )
A ．
B ．1
C ．2
D ．3
3．（2020·全国高二课时练习）已知方程
22
1||12x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞
B ．(1,2)
C ．(,1)(1,2)-∞-⋃
D ．3(,1)1,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭
4．（2020·全国高二课时练习）曲线221169x y +=与曲线22
(0)169
x y k k +=>的（）
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
5．（2020·全国高二课时练习）与椭圆22
9436x y +=有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）
A ．22143x y +=
B ．2
216y x +=
C ．2
216x y +=
D ．22
185
x y +=
6．（2020·全国高二课时练习）方程22
1410x y k k
+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，
则实数k 的取值范围是（ ） A ．()4,+∞
B ．()4,7
C ．()4,10
D ．()7,10
7．（2020·全国高二课时练习）设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若
12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A 1
B ．
2
C ．2
D ．
1
2
8．（2020·全国高二课时练习）设e 是椭圆22
14x y k +=的离心率，且1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则实数k 的取值范围是
A ．()0,3
B ．1633,
⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()0,2
D ．()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
二、多选题（每题5分，共20分）
9．（2020·全国高二课时练习）已知方程22
141
x y t t +=--表示的曲线C ，则下列判断正确的是（ ）
A ．当14t <<时，曲线C 表示椭圆；
B ．当4t >或1t <时，曲线
C 表示双曲线； C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512
t <<
； D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >；
10．（2020·广东汕头高二期末）双曲线22
1916
x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，下列结论
正确的是（ ） A ．该双曲线的离心率为
54
B ．该双曲线的渐近线方程为43
y x =±
C ．点P 到两渐近线的距离的乘积为
144
25
D ．若12PF PF ⊥，则12PF F ∆的面积为32
11．（2019·山东青岛二中高二月考）下列说法正确的是（ ） A ．方程2x xy x +=表示两条直线
B ．椭圆221102
x y m m +=--的焦距为4，则4m =
C ．曲线22
259
x y xy +=关于坐标原点对称
D ．双曲线22
22x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a
=±
12．（2019·山东淄博.高二期中）已知抛物线2
4y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线:43110
l x y -+=的距离为2d ，则12d d +的取值可以为( )
A ．3
B ．4
C D
第II 卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2019·湖北襄阳。
高二期中）椭圆22194
x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，
则12F PF ∠=________.
14．（2020·平罗中学高二月考（文））已知1F 、2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，点P 为
C 上一点，O 为坐标原点，2POF 为正三角形，则C 的离心率为__________．
15．（2020·全国高二课时练习）若双曲线22
1412
x y -=的左焦点为F ，
点P 是双曲线右支上的动点，已知()1,4A ，则PF PA +的最小值是_____________.
16．（2020·全国高二课时练习）设12F F ，是双曲线2
2
124
y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且
1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于________.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线的方程是22
4936x y -=.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设1F 和2F 是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且1216PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小.
18．（2020·定远县育才学校高二期末（文））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3
，且
过点.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线l ：y kx =C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.
19．（2020·全国高二课时练习）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2
，F 是椭
圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3
，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.
20．（2020·全国高二课时练习）点)
M
在椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>上，且点M 到椭圆两焦点
的距离之和为 (1)求椭圆C 的方程；
(2)已知动直线()1y k x =+与椭圆C 相交于,A B 两点，若7,03P ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，求证：PA PB →→⋅为定值
21．（2020·定远县育才学校高二期末（理））双曲线C 的中心在原点，右焦点为,03F ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，渐近线方程
为y =．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设直线:1l y kx =+与双曲线C 交于,A B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点．
22．（2019·广东高二期末（理））已知抛物线E ：2
2y px =上一点()m,2到其准线的距离为2．
（1）求抛物线E 的方程；
（2）如图A ，B ，C 为抛物线E 上三个点，()8,0D ，若四边形ABCD 为菱形，求四边形ABCD 的面积．。