川大版高数 物理类专用 第三册 答案
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整理得
成立
所以Fra Baidu bibliotek
综上 =
16、（1）
解：设
由①②③④得：
得
（2）设
由①②③④，得：
得：
（3）设
由方程组，得：
得
（4）设
得
得：
（5）
设
得
得
19、
（1）
解：
方程组的解为：
（2）
方程组的解为：
（3）
方程组的解为：
（4）
有且仅有 或 时， 无意义；则其他情况
方程组的解为：
（4）
（5）
由
得
(6)
24.证： A为对称矩阵
8.（1） 5 = 5 5
习题一
13（1）
根据“定义法”
（2）
根据“降阶法”
（3）
注：根据范达蒙行列式原式=
-1=
（4）
= =
14（1）证明：
(2)证明：
（3）
（4）“递推法”
15.(1) = +
=(ab+1)(cd+1)-[a(-d)]=(ab+1)(cd+1)+ad
(2) = =(4-6) (-1-15)=32
（2） 不是行列式的项 = 因为它的列排排列逆序列 (34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数 应带正号。
5 解： 利用 为正负数来做，一共六项， 为正，则带正号， 为负则带负号来做。
6 解：（1）因为它是左下三角形
= = =
（2）
= + = =0
（3） = =32
（4） = =
7.证明： 将行列式转化为 若 零元多于 个时，行列式可变为 故可知行列式为0.
②
③
10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA，证明：
（1）
（2）
（3）
11、
12、证明
13、
14、
15、
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
假设 =
当n=1时 =
假设n=k+1时
=
= 成立
综上当n为自然数时，
当A=2时
n=3时
n=4时
n=5时
假设n 时成立
当n=3时
假设n=k时成立
当n=k+1时
=
n=4时
n=5时
假设n 时成立
当n=3时
假设n=k时成立
当n=k+1时
=
整理得
成立
所以
综上 =
7、已知B=
证明 {E,当n为偶数；
B,当n为奇数
证明：∵
∴
∴ =｛E,当n为偶数；
B,当n为奇数
8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。
证明：设两个n阶上三角形矩阵为A,B,
且A=
B=
根据矩阵乘法，有
A=A’
A A=A A’=E
A A’(A’) =E(A’)
A =(A’)
A为可逆对称矩阵
（A’） =(A )’
A =(A )’
可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
25.证：（1）（A ）’=(AA)’=A’A’
A为n阶对称矩阵
A’=A
（A ）’=A
A 为对称矩阵
(B )’=(BB)’=B’B’
B是n阶反对称矩阵
6.证：假设 线性相关，
由题意知，必存在一组使得
7.证：设
由于
6、证明：假设 线性相关，则 ， 线性相关（部分相关则全体相关）
所以存在m+1个不完全为0的数满足
本来线性相关，故 可为0，可不为0
AB=
则可知AB为上三角形矩阵
同理，可得BA也为上三角形矩阵。
9、若AB=BA,AC=CA,证明：A、B、C为同阶矩阵，且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.
证：设A= ，B= ，C=
由题知AB、BA有意义，则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为m×n阶矩阵，则可知m=n,所以A、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵，故可得A、B、C为同阶矩阵
B’=-B
（B ）’=(BB)’=B’B’
B是n阶反对称矩阵
B’=-B
(B )’=(-B)(-B)=B
B 是对称矩阵
（AB-BA）’
=(AB)’-(BA)’
=B’A’-A’B’
=-B A-A (-B)
=AB-BA
AB-BA为对称矩阵。
（2）必要性： AB为反对称矩阵
（AB）’=-AB
又 （AB）’=B’A’=-BA
第一章行列式
1.
3证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列 当n 2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。 偶排列与奇排列各占一半。
4（1） 不是行列式的项 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列 =(4321)=3+2+0+0=5为奇数， 应带负号
n=1时A=
n=2时 =
=
n=3时 = A=
=
假设
（1当n =1时， =
（2假设当n 2时（n为自然数）成立，令n=k，则 = 成立；
当n=k+1时
= A=
=
= 成立
综上当n微自然数时
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
假设 =
当n=1时 =
假设n=k+1时
=
= 成立
综上当n为自然数时，
当A=2时
n=3时
(3) = + +
=-a(c-d) -a(d-b) -a(d-c)
=abd
= abd (c-b)(d-b)(c-d)
(4) = =
=(
= =
16.范达 行列式V( )= =
（1）因为 为常数。所以p(x)是n-1次的多项式
（2）令p(x)=0.得x= .x= ...... 即p(x)的根为
第二章矩阵代数
4.计算下列矩阵乘积
（1） = =
(2) = =
(3). (1,-1，2） =（1*2+（-1）*1+2*4,1*1+(-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1=
（9，4，1）
（4）（x,y,1）
=（x,y,1）
=
（5）
=
=
5.设A= ，B= ，求
= =
= =
= =
= =
= =
6.
(1)A=
=
=
=
= A
28.解：
=
=
时
依次用V左乘和用U右乘 消去
得从而得证
29.解：（1）判断X可逆即：
因A、C可逆，
则 即
则X可逆。
（2）设 则
由
=
=E
30.证明：
31.解：（1）
原式=
(2)
（3）
第3章线性方程组
1.证：假设 线性相关，
则 不会为0，使得
整理得：
又由 ，故
由于
故由克莱默法则知：
故结论正确。
AB=BA
充分性: AB=BA
(AB)’=B’A’=-BA
AB为反对称矩阵
综上所述：AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
26.解：设矩阵X为x=
则 =
Ax=o
=0
即 =0
对任意n 1矩阵都成立
A=0
27.证： ： A为正交矩阵
=A
A = = =
又 正交矩阵为可逆矩阵
A =A
：
A = = =A
2.解：
得：
3、不一定。原式：
故仅可得到 线性无关
将每个向量任意拆分得到的新向量显然不一定仍然线性相关
例如向量成比例或含有零向量
例： 或 任一一个为零向量
4、不正确使两等式成立的两组系数一般来说是不相等的，所以不可以做那样的公式提取
即
5、提示：含有零向量就一定线性相关
极大线性相关组中每一向量都无法用其他组中向量给出，因此可用一极大线性无关组加零向量构成向量组
成立
所以Fra Baidu bibliotek
综上 =
16、（1）
解：设
由①②③④得：
得
（2）设
由①②③④，得：
得：
（3）设
由方程组，得：
得
（4）设
得
得：
（5）
设
得
得
19、
（1）
解：
方程组的解为：
（2）
方程组的解为：
（3）
方程组的解为：
（4）
有且仅有 或 时， 无意义；则其他情况
方程组的解为：
（4）
（5）
由
得
(6)
24.证： A为对称矩阵
8.（1） 5 = 5 5
习题一
13（1）
根据“定义法”
（2）
根据“降阶法”
（3）
注：根据范达蒙行列式原式=
-1=
（4）
= =
14（1）证明：
(2)证明：
（3）
（4）“递推法”
15.(1) = +
=(ab+1)(cd+1)-[a(-d)]=(ab+1)(cd+1)+ad
(2) = =(4-6) (-1-15)=32
（2） 不是行列式的项 = 因为它的列排排列逆序列 (34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数 应带正号。
5 解： 利用 为正负数来做，一共六项， 为正，则带正号， 为负则带负号来做。
6 解：（1）因为它是左下三角形
= = =
（2）
= + = =0
（3） = =32
（4） = =
7.证明： 将行列式转化为 若 零元多于 个时，行列式可变为 故可知行列式为0.
②
③
10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA，证明：
（1）
（2）
（3）
11、
12、证明
13、
14、
15、
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
假设 =
当n=1时 =
假设n=k+1时
=
= 成立
综上当n为自然数时，
当A=2时
n=3时
n=4时
n=5时
假设n 时成立
当n=3时
假设n=k时成立
当n=k+1时
=
n=4时
n=5时
假设n 时成立
当n=3时
假设n=k时成立
当n=k+1时
=
整理得
成立
所以
综上 =
7、已知B=
证明 {E,当n为偶数；
B,当n为奇数
证明：∵
∴
∴ =｛E,当n为偶数；
B,当n为奇数
8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。
证明：设两个n阶上三角形矩阵为A,B,
且A=
B=
根据矩阵乘法，有
A=A’
A A=A A’=E
A A’(A’) =E(A’)
A =(A’)
A为可逆对称矩阵
（A’） =(A )’
A =(A )’
可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
25.证：（1）（A ）’=(AA)’=A’A’
A为n阶对称矩阵
A’=A
（A ）’=A
A 为对称矩阵
(B )’=(BB)’=B’B’
B是n阶反对称矩阵
6.证：假设 线性相关，
由题意知，必存在一组使得
7.证：设
由于
6、证明：假设 线性相关，则 ， 线性相关（部分相关则全体相关）
所以存在m+1个不完全为0的数满足
本来线性相关，故 可为0，可不为0
AB=
则可知AB为上三角形矩阵
同理，可得BA也为上三角形矩阵。
9、若AB=BA,AC=CA,证明：A、B、C为同阶矩阵，且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.
证：设A= ，B= ，C=
由题知AB、BA有意义，则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为m×n阶矩阵，则可知m=n,所以A、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵，故可得A、B、C为同阶矩阵
B’=-B
（B ）’=(BB)’=B’B’
B是n阶反对称矩阵
B’=-B
(B )’=(-B)(-B)=B
B 是对称矩阵
（AB-BA）’
=(AB)’-(BA)’
=B’A’-A’B’
=-B A-A (-B)
=AB-BA
AB-BA为对称矩阵。
（2）必要性： AB为反对称矩阵
（AB）’=-AB
又 （AB）’=B’A’=-BA
第一章行列式
1.
3证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列 当n 2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。 偶排列与奇排列各占一半。
4（1） 不是行列式的项 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列 =(4321)=3+2+0+0=5为奇数， 应带负号
n=1时A=
n=2时 =
=
n=3时 = A=
=
假设
（1当n =1时， =
（2假设当n 2时（n为自然数）成立，令n=k，则 = 成立；
当n=k+1时
= A=
=
= 成立
综上当n微自然数时
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
假设 =
当n=1时 =
假设n=k+1时
=
= 成立
综上当n为自然数时，
当A=2时
n=3时
(3) = + +
=-a(c-d) -a(d-b) -a(d-c)
=abd
= abd (c-b)(d-b)(c-d)
(4) = =
=(
= =
16.范达 行列式V( )= =
（1）因为 为常数。所以p(x)是n-1次的多项式
（2）令p(x)=0.得x= .x= ...... 即p(x)的根为
第二章矩阵代数
4.计算下列矩阵乘积
（1） = =
(2) = =
(3). (1,-1，2） =（1*2+（-1）*1+2*4,1*1+(-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1=
（9，4，1）
（4）（x,y,1）
=（x,y,1）
=
（5）
=
=
5.设A= ，B= ，求
= =
= =
= =
= =
= =
6.
(1)A=
=
=
=
= A
28.解：
=
=
时
依次用V左乘和用U右乘 消去
得从而得证
29.解：（1）判断X可逆即：
因A、C可逆，
则 即
则X可逆。
（2）设 则
由
=
=E
30.证明：
31.解：（1）
原式=
(2)
（3）
第3章线性方程组
1.证：假设 线性相关，
则 不会为0，使得
整理得：
又由 ，故
由于
故由克莱默法则知：
故结论正确。
AB=BA
充分性: AB=BA
(AB)’=B’A’=-BA
AB为反对称矩阵
综上所述：AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
26.解：设矩阵X为x=
则 =
Ax=o
=0
即 =0
对任意n 1矩阵都成立
A=0
27.证： ： A为正交矩阵
=A
A = = =
又 正交矩阵为可逆矩阵
A =A
：
A = = =A
2.解：
得：
3、不一定。原式：
故仅可得到 线性无关
将每个向量任意拆分得到的新向量显然不一定仍然线性相关
例如向量成比例或含有零向量
例： 或 任一一个为零向量
4、不正确使两等式成立的两组系数一般来说是不相等的，所以不可以做那样的公式提取
即
5、提示：含有零向量就一定线性相关
极大线性相关组中每一向量都无法用其他组中向量给出，因此可用一极大线性无关组加零向量构成向量组