高等教育出版社 四川大学数学系编高等数学(物理类专业用)第二版第三册

8. 利用行列式的性质计算
（3）
a b c1
a b c1
b
c
a
1 1 r4

1 2
b
c
a1
c
a
b 12 c
a
b1
bc ca ab
2
2
1 2
bc ca ab 2
abc1
1 b r4 r2 r3 c a 1

0
2c a b 1
0000
9. 不展开行列式，证明下列等式成立。
（1） b c c a a b
b1 bn
0
0
(0a2 a1 )(b2 b1 )
n2 n2
an a1
0
0
0
（5） 1 x1 y1 1 x1 y2 1 x1 yn
1 x2 y1 1 x2 y2 1 x2 yn


解：
1 xn y1 1 xn y2 1 xn yn 1 1 x1 y2 1 x1 yn x1 y1
n
a3

a1
a3 a1
a3 a1




a1 bn a2 a1 a3 a1

an a1 an a1 an a1 an a1
a1 b1
ci c1 a2 a1

i 2,3
n a3

a1

b1 b2 0 0
b1 b3 0 0
ab 2a b
abc
按第一
aa
3a 2b c 列展开 a
2a b 3a b
0 a 3a b 6a 3b c
abc 3a 2b c 6a 3b c
a
ri ri1
a0
i3,2
0
ab a a
abc
2a b
按第

一
a
2
a
列展开 a
)2
1
c2 x
1
0 z xy
z xy 0
r3 xyz
y xz r4 xyz 1 xyz
x yz xy源自文库 xyz
0 z2
z2 0
y2 x2
c3 y
c4 z
1 y xz x yz 0
xyz y2 x2 0
01 1 1
1 0 c1 xyz
1
z2
z2 0
y2 x2

右边
1 y2 x2 0
abc
b'c' c'a' a'b' 2 a' b' c'
b''c'' c''a'' a''b'' a'' b'' c''
证明：
abc 左 边 2 (c1 c2 c3 )2 a'b'c'
a''b''c''
ca c'a' c''a''
ab a'b' a''b''
10. 计算行列式。
（1） a b
c
a ab abc
d abcd
a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
解：
ab c
d
a ab
原式
ri ri1

0
0 i 4,3,2
a a
（4） a1 b1
a2 b1

a1 b2 a2 b2

a1 bn a2 bn

an b1 an b2 an bn
解：
a1 b1 a1 b2 a1 b3
ri r1 a2 a1 a2 a1 a2 a1
原式 i 2,3,
（1） x y 0 0 0
0 x y 0 0
0 0 x 0 0

0 0 0 x y
y 0 0 0 x
解：
x y 0 0
y 0 0 0
0 x 0 0
x y 0 0
按第一列
原式 x (1)n1 y
展开
0 0 x y
0 0 y 0
y1
x2
1

1
xn 1 xn y2 1 xn yn
xn 1 1


y1( x1

x2 )
0
n2 n3
∴原式

A

B

(
x1

x2 )( y1

y2 )
0
n2 n3
（6） x1 m x2
xn
x1
x2 m
xn


x1
x2 xn m
0 0 0 x
0 0 x y
xn (1)n1 yn
（2） 1
1 0 0 0
2 3 1 0 2 2 0 0 0 0
n1 n 00 00
2n 0 n1 1n
解：
n(n 1)
2 0
c1 c2 cn
原式
0

0
0
2 3 1 0 2 2 0 0 0 0
解：
1
c1 c2
原式
cn
n i 1
xi

m

1
x2 x2 m

1
x2
1 0 0
ci c1 xi n
1

i 2,3
n
i 1
xi

m
m
0
1 0 m

( m )n 1

x3 a23
00
0
00
0
a1n 1 a2n1 a1n1 a3n1 a2n1

x a n1
( n 2)(n 1)
0
a1n a2n a1n a3n a2n

a a (n1)n
(n2)n
xn a(n1)n
x1( x2 a12 )( x3 a23 ) ( xn a(n1)n )
1. 计算下列排列的反序数，从而判断奇偶性。
（3） n(n 1) 321
(n 1) (n 2) 2 1 n(n 1)
2
（4） 135 (2n 1)246 (2n)
0 1 2 (n 1) n(n 1)
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 0
0
0
(1) a a a a a ( j1 j5 ) 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4 5 j5
a41 a42 0
0
0
j1 j5
a51 a52 0 0 0
分析 a1 aj1 2 a j2 3 j3 a4 a j4 5 j5 ，无论 j1 j2 j3 j4 j5 如何组合， 在 j3 j4 j5 中都至少有一个数字≥3，使得 a a a a a 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4 5 j5 中出现 aij (i 3, j 3) ，使得 a a a a a 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4 5 j5 0
n i 1
xi

m
xn xn xn m
11. 利用行列式的性质求方程：
1 1 1
1
1
1 1 x 1
1
1
1 1 2 x
1

1 0, n1

1 1 1 n2 x 1
1 1 1
1
n1 x
解：
1
0
左边 ri r1

0
i 2,3 n
c2 c1 a b c
c3 c1
2 a'b'c'
b c
abc
b' c' 2 a'b'c'
bc b' c' 右 边
a''b''c'' b'' c'' a''b''c'' b'' c''
（2） sin2 sin2 sin2
cos 2 cos 2 cos 2
2
2. 已知排列i1i2 in 的反序数，求 inin1 i1的反序数。
解：对于排列 i1i2 in 中的数字 i j ，设排列中有 l(i j ) 个
小于它的数字，设这些小于它的数字中，位于其右边的
有 r(i j ) 个，则位于其左的有 l(i j ) r(i j ) 个。
n
x1 x2 a23 a2n1 a2n x1 x2 x3 a3n1 a3n
x1 x2 x1 x2
x3 x3
xn1 xn1
a( n 1) n xn
解： x1
a12
a13

0 x2 a12 a23 a13
0 ri ri1
0

i n,n1, 2
0 右边
cos2 cos2 cos2
（3）0 x y z 0 1 1 1
x 0 z y 1 0 z2 y2
y
z
0
x1
z2
0
x2 , ( xyz 0)
z y x 0 1 y2 x2 0
证明：
r2 x
01
1
1 r2 xyz
0 111
r3 y
左
边
r4

z
(
xyz
j1
2
(inin1
i1 )

n(n 1) 2
(i1i2
in )
5. 写出四阶行列式中含因子 a23 且带负号的项。 解：四阶行列式中的项为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 a4 j4
j1 j2 j3 j4 是数字1、2、3、4的组合。
含因子 a23 时，令 j2 3
1 x1 y2
1 x1 yn
原式 1 1 x2 y2 1 x2 yn x2 y1 1 x2 y2 1 x2 yn



1 1 xn y2 1 xn yn xn y1 1 xn y2 1 xn yn
A B
1 1 ci c1 A i 2,3 n
0
0
1 1 x 0 0 1 x 0 0 0 0
1 0 0 n3 x 0
1 0 0 0 n2 x
( x)(1 x) (n 3 x)(n 2 x) 0
则方程的根为 x 0,1,2 n 2
12. 计算下列 n 阶行列式。
3a b
2a b a4 3a b
（2） 1 2 3 n
-1 0 3 n
-1 -2 0 n

-1 -2 -3 0
解：
1 2 3
0 2 6
ci c1
原式 0 0 3 i 2,3 n
0 0 0
n 2n 2n n! n
（3） x1 a12 a13 a1n1 a1n
因此该行列式的值为0.
6. 利用行列式的定义计算
（4）
x y000
0 x y00
0 0 x y 0
(1) a a a a a ( j1 j5 ) 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4 5 j5
0 0 0 x y j1 j5
y000x
其中非0项为：
(1) (12345) a11a22a33a44a55 (1) (23451) a12a23a34a45a51 x5 y5
n
n
则： (inin1 i1 ) l(i j ) r(i j ) l(i j ) r(i j )
j1
j1
j 1
对于任意 n 个不相等的自然数，其中最大的数字有 n-1 个小 于它的，次大的数字有 n-2 个小于它的，…… 因此，
n
n(n 1)
l(i j ) (n 1) (n 2) 1 0
cos 2 cos 2 0 cos 2
证明：
sin2
左 边 sin2
sin2
cos2 cos2 cos2
cos2 - sin2 cos2 - sin2 cos2 - sin2
sin2
c3 c1
sin2 sin2
cos2 cos2 cos2
则 j1 j2 j3 j4 可能的组合有：
1324，1342，2314，2341，4312，4321 其中奇排列为：1324，2341，4312
则含因子 a23 且带负号的项为： a11a23a32a44 , a12a23a34a41 , a14a23a31a42
6. 利用行列式的定义计算
（2）
a11 a12 a13 a14 a15
1
x1 y2 x2 y2 xn y2
x1 yn
x2 yn


x2
y2

x1
y2
0
xn yn
n2 n2
x1 1 x1 y2 1 x1 yn
x1 1 1
B

y1
x2
1 x2 y2
1 x2 yn
ci yi c1

i 2,3 n
n1 n
0
0
0 2n n1
0 0 1 n
1 0
2
按
第1列

n(n

1)

展开
2
0
-2 0
0 0
n(n 1) (1)n1(n 1)! 2
(1)n1 (n 1)! 2
0 0 2n n1
0 0 0 1 n
（3） 1 1 1 1