一元二次方程根的分布问题、恒成立问题

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一元二次不等式(二)含参数不等式的解法与恒成立问题修改版

二次函数的区间恒成立问题
恒成立问题求参数范围常规思路：方法一：利用函数性质(二次函数性质). 方法二：分离参数，转化为求函数最值.
a<f(x)恒成立
a<f(x)min a>f(x)恒成立 a>f(x)max
例1
课堂互动讲练已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)
时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
m 6或m 2 即 m 0 m 3 0
X=m/2
o
x1
x2
∴ 2≤ m<3.
（三）二次函数图象的应用
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合： (2)一个根大于0,另一个根小于0; 解： (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
0 f (0) 0
m 6或m 2 即 m 3 0
x1 o
X=m/2
∴ m>3.
x2
（三）二次函数图象的应用例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m 值的集合： (3)两根都小于0;
解： (3) ∵两根都小于0
X=m/2
x1
2 5 2 ∴不等式变为－3ax ＋－3ax＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0，又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0.
1 ∴所求不等式的解集为x－3<x<2 .
方法二：由已知得 a<0
1 c － ×2＝知 a 3
2
1 1 ∴－，是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根． 2 3 b 1 1 －2＋3＝－a 由根与系数的关系得－1×1＝2 2 3 a

含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式分析因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或；当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

微专题11 二次函数根的分布问题(解析版)

微专题11 二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<2()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩ Onm yxOnmyxOnm yxOnm yxOnm yx在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f m f n <⎧⎨>⎩在区间(,)m n 内有两个不等实根02()0()0b m n a f m f n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m 为实数，命题甲：关于x 的不等式240mx mx +-<的解集为R ；命题乙：关于x 的方程22200x mx m -++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围为_______．【答案】(20,0]-【解析】由命题甲：关于x 的不等式240mx mx +-<的解集为R ，当0m =时，不等式40-<恒成立；OnmyxOn m yxOn myx当0m ≠时，则满足2160m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得160m -<<，综上可得160m -<≤．由命题乙：关于x 的方程22200x mx m -++=有两个不相等的负实数根，则满足2121244(20)020200m m x x m x x m ⎧∆=-+>⎪+=<⎨⎪=+>⎩，整理得2200020m m m m ⎧-->⎪<⎨⎪>-⎩，所以45020m m m m <->⎧⎪<⎨⎪>-⎩或，解得204m -<<-．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有160m -<≤或204m -<<-，可得200m -<≤，即实数m 的取值范围为(20,0]-．故答案为：(20,0]-．例2．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________. 【答案】0a ≤或1a =【解析】若方程2210ax x ++=有且仅有一个负实数根，则当0a =时，12x =-，符合题意. 当0a ≠时，方程2210ax x ++=有实数根，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，当1a =时，方程有且仅有一个负实数根1x =-，当1a <且0a ≠时，若方程有且仅有一个负实数根，则10a<，即0a <. 所以当0a ≤或1a =时，关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“0a ≤或1a =”. 故答案为：0a ≤或1a =.例3．（2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________. 【答案】125k ≤-或3k > 【解析】首先0k ≠，设方程2330kx kx k ++-=的两根为12,x x ，则1212120,00x x x x x x +<⎧<<⇔⎨>⎩，所以2Δ94(3)03030k k k k kk k⎧⎪=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩，又0k ≠，解得125k ≤-或3k >．故答案为：125k ≤-或3k >．例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．【答案】112m -<<【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得2101021m m m +≠⎧⎪-⎨<⎪+⎩，解得112m -<<.故答案为：112m -<<例5．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b 的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意可得1-和13是方程210+-=ax bx 的两个实根，则11,3111,3b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得3,2a b ==.（2）因为31b a =--，所以()23110ax a x -+-=，由题可知Δ0>，则1a <-或19a >-，由题意，方程有两个负根，即310,10,a a a +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得103-<<a .综上，实数a 的取值范围是109aa ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣. 例6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知1x ､2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)若1x ､2x 均为正根，求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不能存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根1x ､2x 故20,(4)16(+1)0k k k k ≠∆=-≥，即0k ≤，且121210104x x k x x k +=>⎧⎪+⎨=>⎪⎩，解得：1k <-．（2）由题意，当0∆≥，即0k ≤时，有121211,4k x x x x k ++==()()2221212121212129(1)93222+252()92442k k x x x x x x x x x x x x k k ++--=-=+-=-=-=-解得：95k =，与0k ≤矛盾.故不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立题型二：根在区间的分布问题例7．（2022·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．【答案】5(,2)2--【解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋1，由题意知(0)10(1)20(2)520f f a f a =>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得－52<a <－2.故答案为：5(,2)2--.例8．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=． (1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩ ，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=，当a 为何值时，该方程：有不同的两根且两根在(1,3)内．【解析】令2()22f x x ax a =-++，因为方程2220x ax a -++=有不同的两根且两根在(1,3)内，所以213Δ44(2)0(1)30(3)1150a a a f a f a <<⎧⎪=-+>⎪⎨=->⎪⎪=->⎩ ，解得1125<<a ，故答案为：112,5⎛⎫⎪⎝⎭例10．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．【解析】（1）设二次函数()2221y x tx t t =-+-∈R 的两个零点分别为1x ，2x ，由已知得120x x +=，而122x x t +=，所以20t =，故0=t ，不等式22210x tx t -+-≥即210x -≥，解得1≥x 或1x ≤-，故不等式的解集为{1x x ≥或}1≤-x .（2）因为方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，所以()()()()222222Δ2t 4t 102t 422t 2t 1042t 4t 10⎧=---≥⎪⎪-<<⎨⎪--⨯-+->⎪-⨯+->⎩，即2240244308150t t t t t ≥⎧⎪-<<⎪⎨++>⎪⎪-+>⎩，解得：13t -<<，即实数t 的取值范围为{}13t t -<<.例11．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221?260.x m x m +-++= (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<； (3)至少有一个正根. 【答案】(1)1m <- (2)7554m -<<- (3)1m ≤- 【分析】设()()22126y f x x m x m ==+-++，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-． ③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．例12．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】()()2,13,4--【解析】令()()227132f x x a x a a =-++--，因为程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，所以()()()001020f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()22220713202821320a a a a a a a a ⎧-->⎪--+--<⎨⎪-++-->⎩，解得21a -<<-或34a <<，所以实数a 的取值范围为()()2,13,4--. 故答案为：()()2,13,4--.例13．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____．【答案】16(5,]3【解析】关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，令()()214f x x a x =--+，则有()()()2Δ1160113216031630a a f a f a ⎧=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=-≥⎪=-≥⎪⎩，解得1653a <≤，所以实数a 的取值范围是16(5,]3. 故答案为：16(5,]3例14．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的取值范围是_____．【答案】54a -<≤-【解析】由题意，方程()2250x a x a +=－－－的两根都大于2，令()()225f x x a x a =+－－－，可得()020222f a⎧⎪≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，即2165024a a a ⎧≥⎪+>⎨⎪->⎩，解得54a <≤－－．故答案为：54a -<≤-.例15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．【答案】3,0【解析】显然0a ≠，关于x 的方程220ax x ++=对应的二次函数()22f x ax x =++ 当0a >时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向上，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即2030a <⎧⎨+<⎩，解得a ∈∅；②当0a <时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向下，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩，即2030a >⎧⎨+>⎩，解得30a -<<．；综上所述，实数a 的范围是3,0．故答案为：3,0．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．【答案】()0,1.【解析】方程()()()()2211010x a x a a x a x a ⎡⎤+++=⇒--+=⎣⎦－∴方程两根为12,1x a x a ==+，若要满足题意，则01113a a <<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，故答案为：()0,1.例17．（2022·上海·高一专题练习）方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______【答案】5[2,)2【解析】2240x ax -+=的两个根都大于121520Δ4160a a a >⎧⎪∴->⎨⎪=-≥⎩，解得522a ≤<可求得实数a 的取值范围为5[2,)2故答案为：5[2,)2例18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（） A ．2275a -< C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D例19．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（） A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足： ①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<；②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)， ()2(2)4210m m ∆=---=，解得67m =±当67m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为27-- 若627m =-2(2)210x m x m +-+-=72，符合题意综上：实数m 的取值范围为{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦故选：D题型三：整数根问题例20．（2022·上海市实验学校高一开学考试）已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 【解析】（1）假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-， 95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.（2）()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，， 0k <，235k ∴=---，，.例21．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线，根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21. 故选：C例22．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．9【答案】BC【解析】设()26f x x x a =-+，函数图象开口向上，且对称轴为3x =，因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <≤，又因为a ∈Z ，所以6a =或7或8，故选：BC.例23．（2022·全国·高一专题练习）若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根，则k 可取的最大整数值是______. 【答案】1【解析】方程化为()221860k x x --+=，由()Δ6424210k =-->，12k ≠解得116k <，所以k 最大整数值是1. 故答案为：1. 题型四：范围问题例24．（2022·上海·高一专题练习）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.【答案】3-【解析】a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根， ∴可得2a b +=，10ab t =-≥，1t ∴≥，又()4410t ∆=--≥ ，可得2t ≤，12t ∴≤≤，又()()()()()()222222211121a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++()()()()2221114211a b t t ∴--=--+-+，24t =- ，又12t ≤≤， 2340t ∴-≤-≤，故答案为：3-．例25．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x . (1)当1m =时，求1211+x x 的值； (2)若120,0x x >>，求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.【解析】（1）当1m =时，方程为2410x x -+=，2(4)4120∆=--=>，所以12124,1x x x x +=⋅=，122112114x x x x x x ∴+⋅+==. （2）因为240x mx m -+=两根120,0x x >>，所以21212Δ1640400m m x x m x x m ⎧=-≥⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得14m ≥.因为12124x x x x +=，120,0x x >>，所以12114x x +=，所以21211212121212441111194(4)()(5)524444x x x x x x x x x x x x x x ⎛+=++=++≥+⨯= ⎝，当且仅当21124x x x x =，即1233,48x x ==时等号成立，此时91324m =>符合题意， 124x x ∴+的最小值为94. 例26．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（） A ．4 B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】因为函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=，所以1012200288b c b c +=++-，解得4b =-，所以()224f x x x c -+=，因为方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，所以()Δ168000c f c =-≥⎧⎨=>⎩，解得02c <≤，所以121212112422x x c x x x x c =++==≥，当c =2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B例27．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（） A ．-2B ．23C ．89D ．1【答案】B【解析】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k . 故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++= 1331k k k==++，6k ，∴1106k <，3102k <，故33112k <+， ∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23. 故选：B例28．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是( ) A ．12a x x b <<< B ．12x a b x <<< C ．12a x b x <<< D ．12x a x b <<<【答案】A【解析】由题可得：12x x a b +=+，121x x ab =+.由a b <，12x x <，设1x a m =+，则2x b m =-.所以212()()()1a m b m ab m b a m ab x x =+-=+--=+，所以2()1m b a m --=，21m m b a+=-.又a b <，所以0b a ->，所以0m >.故1x a >，2x b <.又12x x <，故12a x x b <<<. 故选：A.例29．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈． (1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【解析】(1)当0a =时，原不等式可化为()120x x -⋅-<…①．（ⅰ）当0x ≥时，①式化为220x x --<，解得12x -<<，所以02x ≤<；（ⅰ）当0x <时，①式化为220x x -+>，解得x ∈R ，所以0x <．综上，原不等式的解集为(),2-∞．(2)依题意，()()()2211,11,x a x a x af x x a x a x a ⎧-++--<⎪=⎨-++-≥⎪⎩．因为()10f a =-<，且二次函数()211y x a x a =-++-开口向上，所以当x a ≥时，函数()f x 有且仅有一个零点．所以x a <时，函数()f x 恰有两个零点．所以()()()21,21410,10.a a a a f a +⎧<⎪⎪⎪=+-+>⎨⎪=-<⎪⎪⎩解得3a >．不妨设123x x x <<，所以1x ，2x 是方程()2110x a x a -++--=的两相异实根，则12121,1x x a x x a +=+⎧⎨=+⎩，所以121212111x x x x x x ++==．因为3x 是方程()2110x a x a -++-=的根，且312a x +>，由求根公式得()23114a a x ++-+=因为函数()()2114a a g a ++-+在()3,+∞上单调递增，所以()3322x g >=31201x <<123111x x x ++．所以a 的取值范围是21,2⎛ ⎝⎭．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一专题练习）已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（） A ．1 B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2210ax x ++=有一正一负两个根，所以224010a a ⎧∆=->⎪⎨<⎪⎩，解得0a <. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以0m <，且m ∈Z ，则m 的最大值为1-. 故选：C2．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（） A ．(5,4)(4,)--+∞ B ．(5,)-+∞ C ．(5,4)-- D ．(4,2)(4,)--+∞【答案】C【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或则54m -<<-，即(5,4)m ∈-- 故选：C3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ，则12||x x -=（） A ．3 B ．6C ．22D ．42【答案】D【解析】2610x x -+=，364320∆=-=>，故121261x x x x +=⎧⎨=⎩，()()2212121212||43642x x x x x x x x --=+--=故选：D.4．（2021·江苏·高一课时练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）. A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令2()2g x x ax a =-+，由方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解可得244011(1)0(1)0a a a g g ⎧∆=->⎪-<<⎪⎨->⎪⎪>⎩，即011131a a a a <⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩或111131a a a a >⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩，解得103-<<a ，故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A ．0a C ．1a <- D ．2a <【答案】C【解析】由题意，不妨设2()21f x ax x =++，因为(0)10=>f ，且()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根，所以2()21f x ax x =++的图像开口向下，即0a <，故对于选项ABCD ，只有C 选项：1a <-是0a <的充分不必要条件. 故选：C.6．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）设集合{}2320A x x x =-+<，集合{}2210B x ax x =--=，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（） A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】由题意，{}2320{|12}A x x x x x =-+<=<<若A B ⋂≠∅，即方程2210ax x --=存在根在区间(1,2)（1）若102102a x x =∴--=∴=-，不成立；（2）若0a ≠，由于0x =不为方程的根，故0x ≠，则222221211210(1)1x ax x a x x x x+--=⇔==+=+- 由于21115(1,2)(,1)(1)1(,3)24x x x ∈∴∈∴+-∈综上，实数a 的取值范围是5,34⎛⎫⎪⎝⎭故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（） A ．{}12a a -<【答案】B【解析】由题意可得()2211220a a a a +-+-=+-<，解得21a -<<.故选：B.8．（2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-【答案】A【解析】因为元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，令2()(1)1f x x m x =+++，则由题意可得(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即10,30,1330,m m >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩解得1333m -<<-，又m Z ∈，可得4m =-. 故选：A 二、多选题9．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）. A ．24a b =B ．若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-，则7a b c ++=C ．若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c 的解集为12(,)x x ，且12||4x x -=，则4c = 【答案】ABD【解析】由题意，不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，所以240a b ∆=-=，24a b ∴=，所以A 正确；对于B ：2+x ax b c +<变形为2+0x ax b c +-<，其解集为(3,1)-，所以231? 314? a b c a b -+=-⎧⎪-⨯=-⎨⎪=⎩，得214a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故7a b c ++=成立，所以B 正确；对于C ：若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21204a x xb =-=-<，所以C 错误；对于D ：若不等式2x ax bc 的解集为12(,)x x ，即20x ax b c 的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21212,4a x x a x x b c c +=-=-=-，则222121212||()44()244a x x x x x x a c c -+---=，解得4c =，所以D 正确.故选：D.10．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是（） A ．4m =B ．5m =C ．1m =D ．12=-m【答案】ACD【解析】设()24f x x x m =-+，则二次函数()f x 的图象的对称轴为2x =．当4m =时，方程即()224420x x x -+=-=，求得2x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故4m =是方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故A 满足条件；当5m =时，方程即()224521x x x -+=-=-，求得x ∈∅，不满足方程有正实数根，故5m =不是方程240x x m -+=有正数根的充分条件，故排除B ．当1m =时，方程即()224123x x x -+=-=，求得23=x但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故1m =方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故C 满足条件；当12=-m 时，方程即24120x x --=，求得2x =-，或6x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故12=-m 方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故D 满足条件，故选：ACD ．11．（2022·湖南湖南·高一期末）若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（） A ．3- B ．18 C ．14 D ．1【答案】BC【解析】由题意22x x λ=--在(1,0)-上有解．∵(1,0)x ∈-，∴222(1)1(0,1)x x x λ=--=-++∈，故选：BC ．12．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】对A ，当0x =时，函数2(3)y x m x m =+-+的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是{}|0m m m ∈<，故A 正确；对B ，若方程()230x m x m +-+=有两个正实数根1x ，2x ，即()2121234030,0,m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=->⎨⎪=>⎩解得：01m <≤，故B 正确；对C ，方程()230x m x m +-+=无实数根，即()2340m m ∆=--<，解得：19m <<，方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}19m m m ∈<<，故C 错误；对D ，当3m =时，方程为230x +=，无实数根，故D 错误.故答案为：AB.13．（2021·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】BC 【解析】设()()2112f x x m x =+++，由12013x x <<<<，可得()()()()10200110110230193102f fm f m ⎧>⎪⎧>⎪⎪⎪<⇒+++<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪+++>⎪⎩，解得：25562m -<<-，又因为m Z ∈，得3m =-或4m =-，故选：BC.三、填空题14．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是：__________________．【答案】a <-2【解析】∵关于x 的方程 210x ax ++=的一根大于1，另一根小于1，令2()1=++f x x ax ，则(1)20f a =+<，求得2a <- ，故答案为：2a <-15．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．【答案】（52，＋∞）【解析】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞． 16．（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．【答案】(),3-∞-【解析】由题意，关于x 的方程220x kx -+=的一根大于-1，另一根小于-1，设()22f x x kx =-+，根据二次函数的性质，可得()130f k -=+<，解得3k <-，所以实数k 的取值范围为(),3-∞-.故答案为：(),3-∞-.17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈，{}2|120,B x x ax x R =--≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1- 【解析】由()()2320x x x -+-≤，得 23020x x x ⎧-≥⎪⎨+-≤⎪⎩或 23020x x x ⎧-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得 13x ≤≤，所以集合{|31A x x =-≤≤- 或}13x ≤≤，因为A B ⊆，令()212f x x ax =--，则 ()()3030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即 9312093120a a +-≤⎧⎨--≤⎩，解得 11a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,1-故答案为：[]1,1-四、解答题18．（2022·全国·高一期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题():0,q x ∃∈+∞，2390x mx -+<．(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】（1）若命题q 为假命题，则对()0,x ∀∈+∞，2390x mx -+≥为真命题； 239mx x ∴≤+，即93m x x ≤+； 9926x x x x +≥⋅=（当且仅当9x x =，即3x =时取等号），36m ∴≤，解得：2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2-∞.（2）由（1）知：若命题q 为真命题，则2m >；若命题p 为真命题，则Δ1400m m =->⎧⎨>⎩，解得：104m <<；若p 真q 假，则104m <<；若p 假q 真，则2m >；综上所述：实数m 的取值范围为()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.19．（2022·湖南·高一课时练习）若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内，另一个根在区间()1,2内，求实数a 的取值范围．【解析】令2()57f x x x a =--，则根据题意得(1)057012(0)000(1)0202(2)0201406f a a f a a f a a f a a ->⇒+->⇒<⎧⎪<⇒-⇒⎪⎨<⇒--⇒-⎪⎪>⇒-->⇒<⎩， ∴06a <<.故实数a 的取值范围(0,6).20．（2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）1.已知()()2213f x x a x =+-+．(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根，求实数a 的取值范围；(2)如果[]1,2x ∃∈，()0f x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)()()2213f x x a x =+-+的对称轴为1x a =-要想方程()0f x =在()0,3有两个根，需要满足()()()100001330f a f a f ⎧-<⎪>⎪⎨<-<⎪⎪>⎩解得：(1,13a ∈-(2)[]1,2x ∃∈，()22130x a x +-+>成立，即3122x a x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上有解，只需1a -大于()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小值，其中()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为对勾函数，在3x ⎡∈⎣上单调递增，在)3,2x ∈上单调递减，又()131222g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2372244g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以最小值为()12g =- 故12a ->-，解得：1a >-，实数a 的取值范围为()1,-+∞21．（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数()2f x ax bx c =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围； (2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；(3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.【解析】（1）∵()22820440x x x -+=-+>∴()()221940f x ax a x a =++++<在R 上恒成立∵0a ≠，则()()20Δ414940a a a a <⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得12a <-综上所述：a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）∵()()0,1f c f a b c ==++，则c 为奇数，a b +为偶数当Z x ∈时，则有：1.若a b 、均为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根2.若a b 、均为奇数时，则有①若x 为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根②若x 为奇数时，则()2ax bx x ax b +=+为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根综上所述：方程()0f x =无整数根（3）()()2221f x x k x k =+-+由题意可得()()222Δ21402112120k k k f k k ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪=+>⎪⎩，解得2k<-则k 的取值范围为(),2∞--.。

一元二次方程实根的分布问题

专题二、一元二次方程的实根分布问题
问题: 已知方程0)3(2=+-+m x m x ，求实数m 的取值范围。

条件1：若方程有两个正根。

条件2：若方程的两个根均小于1。

条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。

条件4：若方程的两个根均在( 0，2)内。

条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。

条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根在(0 ，4)。

条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。

条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大。

1.若方程02)13(22=--++-m m x m x 在区间(0，1)、(1，2)上各有一个实根，求实数m 的取值范围。

2.若方程02)2(22=----m m x m x 的两根在区间[0，1]之外两旁，求实数m 的取值范围。

3.关于x 的方程023222=---k x kx 的二根，一个小于1，另一个大于1，则
求实数k 的取值范围。

4.若方程0122=-+-m mx x 在区间(–2，4)上有两根，求实数m 的取值范围。

高中数学一元二次方程的根的分布问题教案苏教版必修1

一元二次方程的根的分布问题一、定理：设：f (x )=ax 2+bx +c （a ＞0），△=b 2－4ac定理1 方程f (x )=0的两实根都大于（或小于）给定的实数m 的充要条件是定理2 方程f (x)=0的两实根在区间（m ，n ）的充要条件是定理3 方程f (x)=0的两实根分别在区间（p ，q ）与（q ，r ）内的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><>0)(0)(0)(r f q f p f定理4 方程f (x)=0的两实根分别在区间（p ，q ）与（r ，s ）（r ≥q ）的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>0)(0)(0)(0)(s f r f q f p f 定理5 方程f (x)=0的两实根中一根小于m ，另一根大于n （m ＜n ）的充要条件是定理6 方程f (x)=0的两实根x 1、x 2满足x 1＜m ＜x 2的充要条件是x y o m －a b 2 －a b2 x y o mxyo －a b 2 m n p q rp q r s xy o m n m x 1 x 2小结：⑴若两实根分布在同一开区间．．．（m ，n ），则必须考虑三点：①判别式△≥0；②对称轴在所给区间内，即m ＜a b2 ＜n ；③在区间端点处函数值的符号，即f (m)＞0且f (n)＞0.⑵若两实根分布在两个不同的开区间．．．内，则只要考虑在区间端点处函数值的符号.二、例题：例1、若方程（k 2+1）x 2－2（k+1）x+1=0的两根在区间（0，1）内，求k 的取值范围.例2、求实数m ，使方程7x 2－（m+13）x+m 2－m －2=0有两实根，且它们分别在区间（0，1）与（1，2）中.例3、方程x 2+（a 2－1）x+a －2=0有一根大于1，另一根小于－1，求a 的取值范围.例4、若方程x 2－11x+m=0的两根都大于5，求m 的取值范围.例5、若方程x 2 l ga －2x+1=0的一根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围.例6、若a ＞b ＞0，证明方程0112=+-+-b x a x ，有两相异实根，且一根在（b ，a ）之间，另一根比b 小.练习题1、已知方程x 2－2x+ l g （2a 2－a ）=0有一正根和一负根，求实数a 的取值范围.2、求使方程x 2－2mx+m+1=0有两实根，且一根大于5，一根小于5的实数m 的取值范围.3、方程x 2+2（k+3）x+2k+4=0有两个相异实根， ⑴若一根大于3，另一根小于1，求k 的取值范围； ⑵若两根都在区间（－2，2）内，求k 的取值范围； ⑶若方程有且只有一个实根在（1，2）内，另一根不在其内，求k 的取值范围.4、设a 是任意实数，二次方程3x 2－1=a （2x －1）有两个不等的实根，证明两根中至少有一个在区间（0，1）之间.。

一元二次不等式解法以及应用专题

一元二次不等式一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式题型一、解一元二次不等式1.一元二次不等式的解法（大于取两边，小于取中间）(1)通过对不等式的变形，使不等式右边为0，左边二次项系数为正 (2)对不等式的左边进行因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式;(3)求出相应一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实数根; (4)画出对应的二次函数的简图 (5)根据图象写出不等式的解集，例1. 02532<--x x 263-2≤+x x 091242>+-x x 01062>-+-x x 02322>--x x 0532>+-x x题型二、含参数的一元二次不等式及其解法—1.解含参数的不等式时，应对参数进行讨论(1)以二次项系数是否为0进行讨论，以确定不等式是否为元二次不等式(2)转化为标准形式(即右边为0，左边二次项的系数为正数)后，再对判别式与0的大小作为分类标准进行讨论;(3)如果判别式大于0，但对应方程的两实根的大小还不能确定，此时，再以两实数根大小为分类标准进行讨论2.含参数的不等式的解题步骤(1)将二次项系数转化为正数(2)判断对应的二次方程是否有根(如果可以直接分解因式，此步可省去)…(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异实根，要分析两根的大小)注意1.当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0这决定了不等式是否为二次不等式2.含参数的一元二次不等式的讨论顺序为:(1)二次项系数;(2)判别式;(3)若有实数根，两实数根的大小顺序3.对参数的讨论还应注意以下几个方面:(1)对参数分类时，要目标明确，讨论时要不重不漏;(2)最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为空集时，也是其中一类，不要随便丢掉4.并不是所有含有参数的不等式都要进行分类讨论例1. ;例2.解关于x 的不等式：05622<--a ax x例3. 解关于x 的不等式：0)(322>++-a x a a x变式练习：1.解关于x 的不等式：x x a 2)1(2≥+2. 解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax~题型三、三个“二次”的应用方法规律：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和02=++c bx ax 的两实根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系(1) 如果不等式02>++c bx ax 的解集为{}e x d x <<，则说明a ＜0，ex d x ==21,分别为方程2=++c bx ax 的两根；若解集为{}e x d x x ><或，则说明a>0,e x d x==21,分别为02=++c bx ax 的两根(2) 如果不等式的解集为02<++c bx ax {}e x d x <<，则说明a>0，e x d x ==21,分别为02=++c bx ax 的两根，若解集为{}ex d x x ><或，则说明a<0,e x d x ==21,分别为02=++c bx ax 的两根例1. 已知不等式{}21022><>+-x x x bx ax 或的解集为，求a,b 的值*例2. 若不等式{}的解集。

广东省广州二中奥数培训讲义第4讲《一元二次方程根的分布》

第4讲一元二次方程根的分布一、内容提要二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。

1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）从四种情形得充要条件是：f (α)·f (β)＜0 ②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f (x)的图象有下列两种情形（图3）：当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0两种情形合并后的充要条件是：af (α)＜0，af (β)＜0 ③（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0 ④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0 ⑤二次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。

2023届高考数学一轮复习讲义：第4讲一元二次不等式及其解法

第4讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x 0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实根x 1＝x 2 ＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0) 的解集 {x |x >x 2 或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0， b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.➢考点1 一元二次不等式的解法[名师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； ③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集． [典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210x x --<解集为（） A ．{x |1<x <2}B ．{x |－2<x <1 }C ．{x |x >2或x <1}D ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x 的不等式： (1)231x ≤-； (2)()22120ax a x +--<（0a <）.[举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（）A ．(]1,3-B ．[)1,3C ．(]1,5-D ．(]3,52．（2022·全国·模拟预测）设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -≤≤C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x 的不等式：2(1)(23)20(1)a x a x a +-++<≥-.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2． (1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．➢考点2 一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R 上恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f β>0，f α>0. (2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f β<0，fα<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（） A ．15a <恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(-∞，2)(3，)∞+ B ．(-∞，1)(2，)∞+C ．(-∞，1)(3，)∞+D ．(1,3)[举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．(],0-∞D ．(),0∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（） A ．10a -<<B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．()1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．(]1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（） A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的不等式3231012xkx x x ->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________．8．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1f x mx mx =--． (1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围.➢考点3 一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a >k .定理3：x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a <k .2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240x ax -++=的两实根中一个小于1-，另一个大于2，则 a 的取值范围是（） A ．()0,3B ．[]0,3C ．()3,0-D ．(,1)(3,)-∞+∞2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+3．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18 C ．21 D ．26[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是（）A ．(,)-∞-⋃+∞B ．(6,--C ．(6,2))--⋃+∞D ．(,2)-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞-B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈．（1）当1a =时，求函数()y f x =的零点；（2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>；（3）当1a =时，函数()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围第4讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x 0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实根x 1＝x 2 ＝－b 2a没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0){x |x >x 2 或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aR的解集 ax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.➢考点1 一元二次不等式的解法[名师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤[典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210x x --<解集为（） A ．{x |1<x <2} B ．{x |－2<x <1 }C ．{x |x >2或x <1}D ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】∵2210x x --<，∴112x -<<，∴不等式2210x x --<解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故选：D.2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x 的不等式： (1)231x ≤-； (2)()22120ax a x +--<（0a <）.【解】(1)由231x ≤-，得2301x -≤-，即5301x x -≤- 则(53)(1)0x x --≤且1x ≠，解得：5(,1)[,)3-∞+∞(2)当12a =-时，原不等式1(1)(2)02x x ⇔--+<，解的{|2}x x ≠-；当12a <-时，原不等式(1)(2)0ax x ⇔-+<，又12a >-所以解集为1(,2)(,)a -∞-+∞；当102a -<<时，因为12a <-所以解集为1(,)(2,)a-∞-+∞.综上有，12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；12a <-时，解集为1(,2)(,)a -∞-+∞；102a -<<时，解集为1(,)(2,)a-∞-+∞. [举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（）A ．(]1,3-B ．[)1,3C ．(]1,5-D ．(]3,5【答案】B【解析】由题意，{}2230{|13}A x x x x x =--<=-<<，故{}{|13}15{|13}A B x x x x x x ⋂=-<<⋂≤≤=≤<，故选：B2．（2022·全国·模拟预测）设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（）A ．{}22x x -<+，解得2x <-或4x >，所以{|2A x x =<-或4}x >，又由不等式27100x x -+≥，解得2x ≤或5x ≥，所以{|2B x x =≤或5}x ，可得R{|24}A x x =-≤≤，所以()R A B ⋂={}22x x -≤≤. 故选：B.3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x 的不等式：2(1)(23)20(1)a x a x a +-++<≥-.【解】当a ＋1=0即 a ＝-1时，原不等式变为－x ＋2<0，即x >2. 当a>-1时，原不等式可转化为()1201x x a ⎛⎫--< ⎪+⎝⎭， ∴方程()1201x x a ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭的根为1,21a +. 若-1<a<12-，则11a +>2，解得2<x <11a +；若a ＝12-，则11a +＝2，解得x ∈∅；若a >12-，则11a +<2，解得11a +<x <2.综上，当a >12-时，原不等式的解集为{x |11a +<x <2}；当a ＝12-时，原不等式的解集为∅；当-1<a <12-时，原不等式的解集为{x |2<x <11a +}. 当a ＝-1时，原不等式的解集为{x |x >2}.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2． (1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．【解】(1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.➢考点2 一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R 上恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ fβ>0，f α>0.(2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f β<0，f α<0. f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（）A ．15a <<B ．51a -<<-C ．51a -<≤-D ．31a -<≤-【答案】C【解析】当10a +=，即1a =-时，()()21110a x a x +-+-<可化为10-<，即不等式10-<恒成立；当10a +≠，即1a ≠-时，因为()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，所以()()2101410a a a +<⎧⎪⎨+++<⎪⎩，解得51a -<<-；综上所述，51a -<≤-. 故选：C.2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于x 的不等式2210x ax ++在[0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．()0,∞+B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[)0,∞+【答案】B【解析】解：当0x =时，不等式10恒成立；当0x >时，由题意可得12a x x-+恒成立，由11()22f x x x x x=+⋅=，当且仅当1x =时，取得等号．所以22a -，解得1a -．综上可得，a 的取值范围是[)1,-+∞．故选：B ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(-∞，2)(3，)∞+ B ．(-∞，1)(2，)∞+C ．(-∞，1)(3，)∞+D ．(1,3)【答案】C【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x ∴的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ． [举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．(],0-∞ D ．(),0∞-【答案】A【解析】由题意，当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，故2(2)4(1)0a ∆=-++≤ 解得2a ≤-，故实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（） A ．10a -<< B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤【答案】B【解析】当0a =时，221=10ax ax +--<，对x R ∀∈恒成立；当0a ≠时，若2210ax ax +-<，对x R ∀∈恒成立，则必须有2(2)4(1)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩，解之得10a -<<，综上，a 的取值范围为10a -<≤.故“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是10a -<≤，故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．1124⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．()1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．(]1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】∵不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，当a -2＝0，即a ＝2时，不等式为3>0恒成立，故a ＝2符合题意；当a ﹣2≠0，即a ≠2时，不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则()()220Δ424230a a a ->⎧⎪⎨⎡⎤=---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得1124a <<，综合①②可得，实数a 的取值范围是1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或x >12≤xx =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,4]-∞ D ．(,2]-∞【答案】A【解析】解：因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max 2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞ 故选：A6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】[1,4]【解析】2|()|5515f x x ax ⇔-≤--≤， ①当0x =时，a R ∈；②当0x ≠时，2|()|5515f x x ax ⇔-≤--≤64x a x x x⇔-≤≤+， min 44242x x ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，max 6321x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴14a ≤≤，综上所述：14a ≤≤. 故答案为：[]1,4.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的不等式3231012xkx x x->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________．【答案】[]0,1【解析】由题意知：2302kx x x +->，即22>-k x x 对任意的()0,2x ∈恒成立，0k ∴≥ 当()0,2x ∈，3231012x kx x x->+-得： 233210kx x x x <+--，即200+21x kx <-对任意的()0,2x ∈恒成立，即210210=2x k x x x-<-对任意的()0,2x ∈恒成立，令()102f x x x=-，()f x 在()0,2x ∈上单减，所以()()21f x f >=，所以1k ≤ 01k ∴≤≤.故答案为：[]0,18．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1f x mx mx =--． (1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围. 【解】(1)解：由已知，210mx mx --<对于一切实数x 恒成立，当0m =时，10-<恒成立,符合题意，当0m ≠时，只需20Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<，综上所述，m 的取值范围是(4-，0]；(2)解：由已知，215mx mx m --<-+对[1x ∈，3]恒成立，即2(1)6m x x -+<对[1x ∈，3]恒成立，22131()024x x x -+=-+>，∴261m x x <-+对[1x ∈，3]恒成立，令2()1g x x x =-+，则只需min6()m g x ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦即可，而()g x 在[1x ∈，3]上是单调递增函数，()[1g x ∴∈，7]，∴66[,6]()7g x ∈，67m ∴<，所以m 的取值范围是6(,)7-∞.➢考点3 一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a >k .定理3：x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a <k .2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2—4ac >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ，c ∈R .3.在区间内有解，可以参变分离为a >f (x )或a <f (x )的形式，转化为a >f (x )min 或a <f (x )max ；也可以通过对立命题转化为在区间内无解，从而转化为恒成立问题.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240x ax -++=的两实根中一个小于1-，另一个大于2，则 a 的取值范围是（） A ．()0,3 B ．[]0,3 C ．()3,0-D ．(,1)(3,)-∞+∞【答案】A【解析】因为方程24=0x ax -++有两根，一个大于2,另一个小于1-，所以函数 ()24f x x ax =-++有两零点，一个大于2，另一个小于1-，由二次函数的图像可知，()()2010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩ ，即:()()2222401140a a ⎧-+⋅+>⎪⎨--+⋅-+>⎪⎩ 解得:0<<3a 故选:A.2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】B【解析】因为不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以不等式22m x x >-在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()22211t x x x =-=--，则min 1t =-，所以1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,-+∞ 故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线，根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈ 所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21. 故选： C[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是（）A ．(,25)(25,)-∞-⋃+∞B ．(6,25]--C ．(6,2)(25,)--⋃+∞D ．(,2)-∞-【答案】B【解析】解：∵关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，令2()(2)6f x x m x m =+-+-，可得2(2)4(6)0222(2)42(2)60m m m f m m ⎧∆=---≥⎪-⎪->⎨⎪=+-+->⎪⎩，即252526m m m m ⎧≥≤-⎪<-⎨⎪>-⎩或，求得625m -<≤- 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】2(]0,x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；令2()4f x x x =+，则max 1()2a f x <==，当且仅当2x =时，等号成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤【答案】D【解析】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤，故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞- B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】A【解析】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立，即()2max42a x x <--设()224226y x x x =--=-- 当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈--所以2a <- . 故选：A5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______【答案】52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】解：由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设1()f x x x =+，则函数1()f x x x=+在[]1,2上单调递增，所以5(1)()(2)2f f x f ≤≤=，所以实数a 的取值范围为52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意；当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解，则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(),1-∞，故答案为：(),1-∞.7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+【解析】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】57m <【解析】若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，即可知：250mx mx m -+-<在13{|}x x x ∈≤≤上恒成立，令()25g x mx mx m =-+-，当0m =时，50-<恒成立，当0m ≠时，对称轴为12x =. 当0m <时，有()g x 开口向下且在[]1,3上单调递减，∴在[]1,3上()()max 150g x g m ==-<，得5m <，故有0m <. 当0m >时，有()g x 开口向上且在[]1,3上单调递增，∴在[]1,3上()()max 3750g x g m ==-<， ∴507m <<，综上，实数m 的取值范围为57m <，故答案为：57m <9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈．（1）当1a =时，求函数()y f x =的零点；（2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>；（3）当1a =时，函数()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围．【解】解：（1）当1a =时，2()56(2)(3)f x x x x x =-+=--，所以函数()y f x =的零点为2，3.（2）由2()(23)60f x ax a x =-++<可得(3)(2)0ax x --<，当302a <<时，解得32x a <<；当32a =时，x 不存在，不等式的解集为∅；当32a >时，解得32x a <<.综上，当302a <<时，不等式的解集3{|2}x x a <<，当32a =时，不等式的解集∅，当32a >时，不等式的解集3{2}x x a<<. （3）1a =时，()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，即230x mx m ++-在[2,2]-有解，因为23y x mx m =++-的开口向上，对称轴2m x =-， ①22m --即4m ，2x =-时，函数取得最小值4230m m -+-即73m， 4m ∴. ②222m -<-<即44m -<<时，当2m x =-取得最小值，此时2304m m -+-，解得24m <. ③当22m-即4m -时，当2x =时取得最小值，此时4230m m ++-，解得7m -，综上，2m 或7m -。

专题12三个二次之间的关系(原卷版)

专题12 三个二次之间的关系【考点清单】“三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究有关于二次曲线的问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题解决。

”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。

因而在高考试题函数问题中，非常多的试题与“三个二次”问题有关。

初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，但对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。

升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。

1、二次函数①二次函数的三种形式在“三个二次”中一元二次函数是重点，它的一般形式)0(2≠++=a c bx ax y ：它的配方形式： 224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠配方形式中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于对称值时函数值的取值特点。

从而它的对称轴：2b x a=-它的顶点坐标：24(,)24b ac b a a--它的因式分解形式：12()()y a x x x x =--，其中12,x x 是一元二次方程的两根.从二次函数的因式分解形式，运用实数运算的符号法则，很容易看出函数y 值何时等于0、y 何时大于0、y何时小于0等特点。

总之一元二次函数反映y 与x 对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。

②二次函数的最值设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：()()n f x f =（1）若[,]2bm n a-∈，则max ()max{(),(),()}2b f x f m f f n a =-，min ()min{(),(),()}2bf x f m f f n a=- （2）若[,]2bm n a-∉，则max ()max{(),()}f x f m f n =，min ()min{(),()}f x f m f n = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

一元二次方程根在区间的分布

一元二次方程根在区间的分布一元二次方程是数学中的一个重要概念，它表示为ax² + bx + c = 0。

在解析几何、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。

而方程的根是指使方程成立的未知数的值，解二次方程的根通常可以得到方程的图像、方程解的情况以及相关应用的启示。

首先，我们来探究一元二次方程根的分布情况。

方程根的分布与方程的判别式Δ = b² - 4ac有着密切的关联。

当Δ > 0时，方程有两个实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根，而有两个复数根。

接下来，我们讨论根在区间的分布。

对于具有两个不同实数根的方程，我们可以通过求导的方法或者判别式的符号来确定它们的分布。

以方程的标准形式ax² + bx + c = 0为例，如果a > 0，则开口朝上，两个实根分布在抛物线的两侧；如果a < 0，则开口朝下，两个实根分布在抛物线的中间。

更进一步地，我们可以通过求解方程来确定根在区间的具体分布情况。

例如，将方程化简为标准形式后，我们可以通过配方法、因式分解或者公式法来求解方程，得到两个根x₁和x₂。

然后，我们可以将区间划分成三个部分：小于x₁的值、介于x₁和x₂之间的值，以及大于x₂的值。

然后，我们可以选择区间内的一些特定值，将其代入方程，判断方程是否成立，从而得到根在区间的分布情况。

此外，根在区间的分布还与一元二次方程图像的性质相关。

方程的图像是一个抛物线，对于a > 0的情况，图像开口朝上，两个实根分布在抛物线上方的部分；对于a < 0的情况，图像开口朝下，两个实根分布在抛物线下方的部分。

最后，了解一元二次方程根在区间的分布对我们在实际问题中的解题过程具有指导意义。

通过分析根的分布情况，我们可以确定方程解的数量及其位置，从而解决与方程相关的各种问题。

无论是在几何学中的求解平方根，还是在物理学中的运动问题，对方程根的区间分布的理解都能够帮助我们更好地解决问题。

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

f3 f2
f x max f x min
f2 f3
3a b 2 5 2b 2
b25 3a b 2 2
a1
；
b0
a1 b3
解：对称轴 x0 a （ 1）当 a 1 时，ymin f 1 2 2a（ 2）当 1 a 3 时，ymin f a 1 a2 ；（ 3）当 a 3 时，ymin f 3 10 6a
分布情况
两根都在 m, n 内
两根有且仅有一根在 m, n 内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在 m, n 内，另一根在 p, q 内， m n p q
大致图象（
a0
）
0
得
fm 0
出
的
fn 0
结论
m
bn
2a
fm fn 0
fm 0
fn 0
fmfn 0
或
f p 0 f pfq 0
fq 0
变题：方程 x 2 ax 2 0 的两根都小于 1．（ 4）方程 x2 ( a 4) x 2a2 5a 3 0 的两根都在区间 [ 1,3] 上；（ 5）方程 x2 ax 4 0 在区间（ 1， 1）上有且只有一解；例 2、已知方程 x2 mx 4 0 在区间 [ 1， 1]上有解，求实数 m 的取值范围．例 3、已知函数 f (x) mx2 (m 3) x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数
1 2 时，
f
x min
f
1 2
3 4
a ；（ 2）当
1 2
a
1 2 时，
f
x min
fa
a2 1；
（ 3）当 a
1 2 时，

一元二次方程根的分布问题恒成立问题

一、知识要点1、利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2≠=++的根的分布1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根 2、借助函数图像研究)0a (0c b x ax 2≠=++的根的分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k【定理1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<k ab k af ac b x x k 20)(04221，则【定理2】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤k ab k af ac b k x x 20)(04221，则【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f 【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 【定理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b二、典型例题例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2≠=++的根的分布例2 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根分析：利用0021<<<acx x ，则例3 若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根分析：把x=0代入，得k=3,则可算出两根之和为5/3>0,所以另一根为正例4.方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围分析：利用21x k x <<⇔0)(<k af例5.若关于x 的方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围利用零点存在定理练习1.方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围练习2若关于x 的方程kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（答：)1,+∞）；（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（答：1a <）；（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（答：（712-,312+））；（4）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：3[2,)2-）；（5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：12m >-） 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____（答：1a >）3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .。

高中数学--恒成立能成立问题总结(详细)

恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。

这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。

感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。

在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。

一、函数法（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。

由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。

小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。

练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。

（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。

（答案：或）（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。

一元二次方程根的分布

(x1 m) (x2 m) 0
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
6. 方程一根大于m另一根小于m
(x1 m) (x2 m) 0
• 例1பைடு நூலகம் 方程x2+2ax+1=0有两个不等负
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二次函数图象来研究求解。(函数法）抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
2.方程两根都小于m 3.方程一个根大于m另一根小于m 4.方程两根都大于m且都小于n
C.必要不充分条件 D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之间另一根在1,2之间的充要条件
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1
根，求实数a的取值范围。(a>1)
例2: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0 两根都大于3，求实数m的取值范围。
；资质代办 /daiban/ 资质代办
；
替那些果实遮过阴凉、从枝头跌落、背井离乡的叶子。祖母在秋天的离世毫无征兆，只是那一天刮了很大的风，院子里的那棵老柳树稀里哗啦地掉落了所有的叶子。其实，也只有风能让叶子喘息或者感叹。在叶子的生命中，风往往扮演着接生婆和送行者的双重角色，所以叶子的心思只和风说，它只和风窃窃私语。落叶也有遗言吗？在离开枝头的刹那，它和风都说了什么？谁

二次方程根的分布及恒成立问题

两实根，则 x1， x2 分布范围与二次方程系数之间的关系见下表：
根的分布 x1<x2<k k<x1<x2 x1<k<x2
图象
等价条件
f(k)<0
课前自修
根的分布
(续上表)
xt;k2<x2<k3 在(k1，k2)内有且仅有一个根
图象
等价条件
课前自修
1．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任
一元二次方程根的分布问题及恒成立问题
一元二次方程根的分布问题
研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑： (1)一元二次方程根的判别式； (2)相应二次函数区间端点函数值的符号； b (3)相应二次函数图象——抛物线的对称轴x＝－与端点的 2a 位置关系．
课前自修
设x1，x2是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的
(0，1)∪(9，＋∞)
解析：设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，栏目链接
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．
练习
恒成立问题 1
练习
不相等的实根，求分别满足下列条件的 a 的取
值范围．
(1)方程两根都大于1；
(2)方程一根大于1，另一根小于1.
解析：设f(x)＝x2－2ax＋2＋a. (1)∵两根都大于1， 2 Δ ＝ 4a －4（2＋a）>0，
∴a>1， f（1）＝3－a>0，
解得2<a<3.
(2)∵方程一根大于1，一根小于1， ∴f(1)<0， ∴a>3.
考点探究

高一数学一元二次方程根的分布问题

x2 1 x 3k 2 0
k
2k
m
x1
x2
f (1) 1 1 3k 2 0 k 2k
一根大于m，另一根小于m
例2.若二次函数 f (x) 4x2 2( p 2)x 2 p2 p 1在 f (m) 0
区间[1,1]内至少存在一点 c，使 f (c) 0 ，求实数 p的取值范围。
{ f (1) 2 p2 p 1 0 f (1) 2 p2 3 p 9 0
1 1
p
3
或
p
3 2
3 p 3 2
例3.已知函数 y 6 x x2 的定义域为A，
函数y lg(kx2 4x k 3)的定义域为B，当B A求实数
k的取值范围。
A {x | 2 x 3} B {x | kx2 4x k 3 0}
构造二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)
一、两实根由一个量来控制
m
x1
x2
一根大于m，
另一根小于m
f (m) 0
m x1 x2
两根均大于m
f
(m)
0
0
b 2a
m
x1
x2
m
两根均小于m
f
(m)
0
0
b 2a
m
二、两实根由二个量来控制
x1 x2
m
n
x1
,
x2
(m,
n)
f (m) 0
f (n) 0
0
m
b
n
2a
mn
x1
x2
一根小于m，另一根大于n
f (m) 0
f
(n)
0
x1 x2
mn

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一、知识要点
1、
利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2
≠=++的根的分布
1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+≥-=∆>>00
040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则0
021<<<a
c
x x ，则
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则
2、
借助函数图像研究)0a (0c b x ax 2
≠=++的根的分布
设一元二次方程（）的两实根为，，且。

为常数。

则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若
干定理。

【定理1】⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>->≥-=∆≤<k a b k af ac b x x k 20)(04221，则
【定理2】⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->≥-=∆<≤k a
b k af a
c b k x x 20)(04221，则
【定理3】
【定理4】有且仅有（或）
【定理5】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0
)(0
)(0)(0
)(021
21p f p f k f k f a 【定理6】，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧
<-<<<<≥-=∆212
1220
)(0)(004k a b k k f k f a ac b
二、典型例题
例1若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。

分析：利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2
≠=++的根的分布
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则
例2 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？分析：利用0021<<<a
c
x x ，则
例3 若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：把x=0代入，得k=3,则可算出两根之和为5/3>0,所以另一根为正例4.方程x 2
+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围分析：利用
例5.若关于x 的方程x 2
+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围
利用零点存在定理
练习1.方程mx 2
+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围
练习2若关于x 的方程kx 2
-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围
不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变
量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
如（1）设实数,x y 满足2
2
(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______
（答：)
1,+∞）；
（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____
（答：1a <）；
（3）若不等式)1(122
->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____
（答：（712-,312
+））；
（4）若不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____
（答：3
[2,)2
-）；
（5）若不等式2
2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
（答：12
m >-
） 2). 能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____
（答：1a >）
3). 恰成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .。