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初三数学期中考试试题及答案

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初三数学期中考试试卷及答案

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初三数学期中考试试卷及答案第一卷：选择题（共80分）一、选择题（每小题1分，共40分）1. 下列各组函数中，相等的是（）a) y = x^2 - 2x + 1，y = (x - 1)^2b) y = |2x - 1|，y = -(2x - 1)c) y = |2x - 1|，y = 2|x| - 1d) y = 2|x + 1|，y = -2|x + 1|2. 单项式 2x^3 y z^2 的次数是（）a) 2 b) 3 c) 4 d) 53. 若 a:b = 7:5，b:c = 4:3，求 a:b:c =a) 7:5:3 b) 7:4:5 c) 7:10:12 d) 28:20:154. 圆心坐标为 (-4, 2)，半径为 5 的圆方程是（）a) (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2b) (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2c) (x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2d) (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2...第二卷：非选择题（共70分）五、计算题（共30分）1. 化简：(3a^2b)^3 / (6a^5b^2) =2. 解方程：4x - 5 = 3x + 73. 已知图中三角形 ABC，其中∠B = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm。

求 sin A 和 cos C 的值。

...八、解答题（共20分）1. 某商店购进一批相同的商品，第一天卖出了商品总数的 1/4，第二天又卖出了剩余商品总数的1/3 ，已知最后剩下的商品总数是60 件，求原先购进的商品总数。

2. 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 300 km，开了 4 个小时到达终点。

第二天，汽车原路返回，回到 A 地用了 6 个小时。

求汽车在去程和返程时的平均速度。

...第三卷：答题卡（共10分）请将你的答案填写在答题卡上。

注意事项：1. 请认真核对试卷上的题号和试卷形式，确保填涂无误。

初三期中数学试题及答案

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初三期中数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。

）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（循环）B. πC. √4D. 3.14答案：B2. 一个数的相反数是-5，这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 1答案：A3. 如果a和b互为倒数，那么ab的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：B4. 一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么它的周长是：A. 16B. 17C. 18D. 20答案：C5. 下列哪个方程是一元二次方程？A. 3x + 2 = 0B. x² - 4x + 4 = 0C. 2x - 3y = 5D. x³ - 2x² + 1 = 0答案：B6. 函数y = 2x + 3的图象是：A. 一条直线B. 一条双曲线C. 一个圆D. 一个抛物线答案：A7. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是：A. 60°B. 30°C. 45°D. 90°答案：B8. 一个数的立方根是2，那么这个数是：A. 2B. 4C. 8D. 6答案：C9. 下列哪个图形是中心对称图形？A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 圆答案：D10. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 一个数的平方是36，这个数是______。

答案：±612. 一个数的绝对值是它本身，这个数是非负数，即这个数可以是______。

答案：0或正数13. 两个角的和是180°，这两个角互为______。

答案：补角14. 一个数的立方是-8，这个数是______。

答案：-215. 一个等腰三角形的底角相等，如果一个底角是40°，那么顶角是______。

黑龙江省绥化市望奎县第五中学(五四学制)2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

黑龙江省绥化市望奎县第五中学(五四学制)2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年度初三上学期期中考试数学试题考生注意：考试时间90分钟；本题共计五道大题，满分120分．一、填空题（每题3分，共30分）1.等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别为__________．2.两边长分别为的等腰三角形的周长是__________．3.如图，在中，，则的长为__________．4.如图．，那么，__________，__________．假设．那么__________．5.如图，相交于点，请你补充一个条件，使得．你补充的条件是__________．6.点关于轴对称的点的坐标是__________，直线与轴的位置关系是__________．7.已知中，，则__________．8.如图，直线，点在上，假设的面积为16，那么的面积为__________．70 6cm 10cm ､ABC 90,60,4A C BC ∠=∠== AC ABC ADE ≌AB =E ∠=∠12040BAE BAD ∠=∠= BAC ∠=,AB CD ,O AD CB =AOD COB ≌()2,1M -x N MN x ABC ()23B C A ∠+∠=∠A ∠=AE ∥BD C BD 4,8,AE BD ABD == ACE9.如图，在中，是的垂直平分线，的周长为的周长为，则的长为__________．10.如图，在中，平分交于点，点分别是线段上一动点且，则的最小值为__________．二、选择题（每小题3分，计30分）11.2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏，下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）．A. B.C. D.12.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A. B. C. D.13.一个边形的每个外角都是，则这个n 边形的内角和是（）．A.1080B.540C.2700D.216014.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成4个三角形，则这个多边形的边数为（ ）A.3B.4C.5D.6ABC DE AC ABC 19cm,ABD 13cm AE ABC BD ABC ∠AC D ,M N BD BC ､AB BD >10,5S ABC AB == CM MN +2,4,66,8,157,5,116,7,14n 4515.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（ ）A. B.C. D.16.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（）A.带①去 B.带③去 C.带②去 D.带④去17.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的面积是（ ）A.15B.30C.40D.4518.如图，在中，为线段的垂直平分线与直线的交点，连结，则（ ）A. B. C. D.19.如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，则（ ）E9362E9365E6395E6392Rt ABC 90C ∠= A AC AB ､M N ､M N ､12MN P AP BC D 5,18CD AB ==ABD ABC 50,20,ABC BAC D ∠=∠= AB BC AD CAD ∠=40 30 20 10ABC ,B C D E ､､,CG CD DF DE ==E ∠=A.35B.20C.15D.1020.如图，已知，直角的顶点是的中点，两边分别交于点．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（ ）A.①②③ B.①③ C.①② D.①③④三、作图题（共18分）21.最近几年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县打算在张村、李村之间建一座定点医疗站P ，张、李两村座落在两相交公路内（如下图）．医疗站必需知足以下条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确信点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹）（8分）22.如图是由边长为1的若干个小正方形拼成的方格图，的顶点均在小正方形的顶点上．（10分）（1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，且使点的坐标为，并写出两点的坐标；（4分）（2）在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于y 轴对称的；（3分）（3）求的面积．（3分）四、解答题（满分42分）23.如图，是的中线，的周长比的周长多．若的周长为，且，求和的长．（8分）,,90ABC AB AC A =∠= EPF ∠P BC ,PE PF ,AB AC E F ､AE CF =BE CF EF +=EPF 12ABC AEPF S S = 四边形P ABC ,,A B C A ()4,2-,B C ABC A B C ''' ABC BD ABC ABD BCD 2cm ABC 18cm 4cm AC =AB BC24.如图，为上一点，．求证：．（6分）25.如图，中，于，且分别是的中点，延长至点，使．（8分）（1）的度数．（4分）（2）求证：．（4分）26.如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点，过点作于点于点．若．求的长度（8分）27.（12分）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点在同一条直线上，连接．E BC AC ∥,,BD AC BE ABD CED =∠=∠AB ED =ABC ,AB AC BE AC =⊥E D E ､AB AC ､BCF CF CE =ABC ∠BE FE =ABC AB PQ ABC P P PD BC ⊥,D PE AC ⊥E 8,4BD AC ==CE ABC EDC B D E ､､AE①的度数为__________．②线段之间的数量关系为__________．（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点在同条直线上，请直接写出的度数．AEC ∠AE BD ､ABC EDC 90ACB DCE ∠=∠= B D E ､､CM EDC DE AE AEB ∠CM AE BE ､､ABC EDC 36ACB DCE ∠=∠= B D E ､､EAB ECB ∠+∠参考答案一、填空题（每题3分，共30分）或2.或3.24.，，5.（答案不唯一）6.垂直7.8.89.10.4二、选择题（每小题3分，计30分）11-15DCADC16-20CDBCD三、作图题（共18分）21.如图所示（8分）22.（1）；（3分）（2）（3分）（3）（4分）（1）点的坐标表明点在第二象限，横坐标离坐标原点的距离为4，纵坐标离坐标原点的距离为2，由此确定坐标原点的位置，再画坐标轴，结果如下：结合点在方格图中的位置可得它们的坐标为：；（2）点关于y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同则三点的坐标分别为：1.55,55 70,4022cm 26cmAD C ∠80A C ∠=∠(2,1)--723cm()()1,0,3,1B C ---72A ()4,2-A O O OBC ､()()1,0,3,1B C ---,,A B C '''()()()4,2,1,0,3,1A B C ''-'先在平面直角坐标系中描出三点，再连接，画图如下：（3）如图，的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积即则．四、解答题（满分42分）23.．．（8分）由题意知①，点D 为AC 的中点，，，，即②，由①②得24.（6分）在与中，,,A B C '''ABC ABC ADC BCE ABFADEF S S S S S =--- 正方形111373313122391322222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---= 8cm,6cm AB BC ==18cm,4cm,14cm C ABC AC AB BC ==∴+= AD DC ∴=2cm C ABD C BCD -= ()()2cm AB BD AD BC BD DC ∴++-++=2cm AB BC -=8cm,6cmAB BC ==AC ∥BDACB EBD∴∠=∠,,ABD CED ABD ABC EBD CED EBD EDB ∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠ ABC EDB∴∠=∠ABC EDB ABC EDB ACB EBDAC BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．25.（8分）（1）；（4分）（2）（4分）（1）于是的中点，是等腰三角形，即，，是等边三角形，；（2），，，，是等边三角形，，，，；26.（8分）连接是的平分线，是线段的垂直平分线在和中27.（12分）解：（1）；()ABC EDB AAS ∴ ≌AB ED ∴=60 BE AC ⊥ ,E E AC ABC ∴ AB BC =AB AC = ABC ∴ 60ABC ∴∠= CF CE = F CEF ∴∠=∠60ACB F CEF ∠==∠+∠ 30F ∴∠= ABC BE AC ⊥30EBC ∴∠= F EBC ∴∠=∠BE EF ∴=PA PB､CP BCE ∠,PD BC PE AC ⊥⊥PD PE∴=PQ AB PA PB∴=Rt AEP Rt BDP PE PD=PA PB=()Rt Rt HL AEP BDP ∴ ≌AE BD∴=4CE BD AC ∴=-=4CE ∴=1120（2）．；（2），理由如下：是等腰直角三角形，由（1）得，，，都是等腰直角三角形，为中边上的高，；（3）AE BD =2CM AE BM +=DCE 45CDE ∴∠=135CDB ∴∠=ECA DCB ≌135,CEA CDB AE BD ∴∠=∠== 45CEB ∠= 90AEB CEA CEB ∴∠=∠-∠=DCE CM DCE DE CM EM MD∴==EM MD BD BE++= 2CM AE BE ∴+=180EAB ECB ∠+∠=。

人教版初三期中考试数学试卷及答案

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人教版初三期中考试数学试卷及答案一、选择题(每题3分,共30分)1.下面关于x的方程中:①ax2+x+2=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=;④(a2+a+1)x2-a=0;⑤=x-1.一元二次方程的个数是()【解析】选B.方程①与a的取值有关,当a=0时,不是一元二次方程;方程②经过整理后,二次项系数为2,是一元二次方程;方程③是分式方程;方程④的二次项系数经过配方后可化为+,不管a取何值,都不为0,所以方程④是一元二次方程;方程⑤不是整式方程,故一元二次方程有2个.【知识归纳】判断一元二次方程的几点注意(1)一般形式:ax2+bx+c=0,特别注意a≠0.(2)整理后看是否符合一元二次方程的形式.(3)一元二次方程是整式方程,分式方程不属于一元二次方程.2.假设(x+y)(1-x-y)+6=0,那么x+y的值是()【解析】选C.设x+y=a,原式可化为a(1-a)+6=0,解得a1=3,a2=-2.关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是()A.k>-B.k>-且k≠0C.k0,解得k>-且k≠0.应选B.4.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,那么平均每次降价 ()A.10%B.19%C.9.5%D.20%【解析】选A.设平均每次降价x,由题意得,(1-x)2=0.81,所以1-x=±0.9,所以x1=1.9(舍去),x2=0.1,所以平均每次降价10%.5.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是()【解析】选B.把a=1,b=0,c=-1代入b2-4ac得0+4>0,故与x轴有两个交点.6.二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,那么当x取x1+x2时,函数值为()【解析】选D.由题意可知=,又x1≠x2,所以x1=-x2,即x1+x2=0,所以当x取x1+x2时,函数值为c.7.(2022 宜宾中考)假设关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是()wA.k1C.k=1D.k≥0【解析】选A.∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,a=1,b=2,c=k,∴Δ=b2-4ac=22-4×1×k>0,∴kx2),那么x1+x2=-1,x1-x2=1,解得x1=0,x2=-1.(2)当x=0时,(a+c)×02+2b×0-(c-a)=0,所以c=a.当x=-1时,(a+c)×(-1)2+2b×(-1)-(c-a)=0,即a+c-2b-c+a=0,所以a=b,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.21.(8分)心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间(单位:分钟)之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y的值越大,表示接受能力越强.(1)假设用10分钟提出概念,学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来答复.【解析】(1)当x=10时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×100+2.6×10+43=59.(2)当x=8时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×82+2.6×8+43=57.4,∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1×152+2.6×15+43=59.5,∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.22.(8分)(2022 来宾中考)某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?(2)要使商场每月销售这种商品的利润到达7200元,且更有利于减少库存,那么每件商品应降价多少元?【解析】(1)由题意,得60(360-280)=4800元.答:降价前商场每月销售该商品的利润是4800元.(2)设要使商场每月销售这种商品的利润到达7200元,且更有利于减少库存,那么每件商品应降价x元,由题意,得(360-x-280)(5x+60)=7200,解得:x1=8,x2=60.∵有利于减少库存,∴x=60.答:要使商场每月销售这种商品的利润到达7200元,且更有利于减少库存,那么每件商品应降价60元.23.(8分)(2022 温州中考)如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y 轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,点A的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的解析式.(2)求梯形COBD的面积.【解析】(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,得0=4a+4,∴a=-1,∴y=-(x-1)2+4.(2)令x=0,得y=3,∴OC=3.∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1,∴CD=1.∵A(-1,0),∴B(3,0),∴OB=3,∴S梯形COBD==6.24.(9分)有一批图形计算器,原售价为每台800元,在甲、乙两家公司销售.甲公司用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台每台都为760元.依次类推,即每多买一台,那么所买各台单价均再减20元,但最低不能低于每台440元;乙公司一律按原售价的75%促销.某单位需购置一批图形计算器:(1)假设此单位需购置6台图形计算器,应去哪家公司购置花费较少?(2)假设此单位恰好花费7500元,在同一家公司购置了一定数量的图形计算器,请问是在哪家公司购置的,数量是多少?【解析】(1)在甲公司购置6台图形计算器需要用6×(800-20×6)=4080(元);在乙公司购置需要用75%×800×6=3600(元)440,符合题意.当x=25时,每台单价为800-20×25=300人教版初三期中考试数学试卷及答案.。

2024-2025学年北京北师大附中初三上学期期中数学试题及答案

2024-2025学年北京北师大附中初三上学期期中数学试题及答案

2024北京北师大附中初三（上）期中数 学考生须知1．本试卷有三道大题，共10页．考试时长120分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题纸交回． 一、选择题（共8小题，共16分）1. 2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D .2. 把抛物线2y x =−向上平移3个单位长度，则乎移后抛物线的解析式为（ ） A. ()23y x =−+ B. ()23y x =−− C. 23y x =−+D. 23=−−y x3. 将一元二次方程2810x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（ ） A. ()2826x −= B. ()286x −= C. ()246x −=− D. ()246x −=4. 如图，在ABC 中，80B ∠=︒，65C =︒∠，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．当AB '落在AC 上时，BAC '∠的度数为（ ）A. 65︒B. 70︒C. 80︒D. 85︒5. 如图，已知正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ，则该正六边形的边心距是（ ）A. 1cmB. 2cm6. 如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x 米，那么可列方程（ ）A. ()1015xx −=B.()10152xx −= C. 110152x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭D.()102152xx −= 7. 下面是“作ABC 的外接圆”的尺规作图方法．ABC 的外接圆O ．上述方法由，得到OA OB OC ==，从而知O 经过A ，，三点．其中获得OA OB =的依据是（ ）A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C. 角平分线上的点到角的两边的距离相等D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上8. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =−，该抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，其部分图象如图所示，下列结论：①40a b −=，②0a b c ++<，③2324b b ac +>，④若点()5,n −在二次函数的图像上，则关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，其中正确的是（ ）A. ①③B. ③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题（共8小题，共16分）9. 若关于x 的一元二次方程220x x m +−=有一个根为1，则m 的值为_______． 10. 如图，点A ，B ，C 在O 上，55BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为_______︒．11. 若点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，则a _______b ．（填<，=或>）． 12. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y 轴上．此二次函数的解析式可以是_______．13. 如图，PA PB ，是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA AB ，，若35OAB ∠=︒，则P ∠=________︒．14. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .15. 无论非零实数m 取何值，抛物线()2211y mx m x =++−一定经过的定点的坐标是________．16. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为4，则CM 长的最大值是________．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 解方程：（1）210x x +−=． （2）()()3121x x x +=+18. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =（1）BD =________． （2）若D 为OC 中点，求O 的半径．19. 已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m −+++=． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根的和为0时，求m 的值． 20. 已知二次函数 2=23y x x −−．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出二次函数 2=23y x x −−的图象； （3）结合函数图象：直接写出当12x −<<时，y 的取值范围．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点0A ，B ，C 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点()01,1A −−关于原点O 的对称点A ； （2）连接AC ，AB 得ABC ，将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．画出旋转后的11AB C △；（3）在（2）的条件下，点1B 的坐标是________，边AC 扫过区域的面积为________． 22. 下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明，并在括号中填推理的依据： 证明：连接DP ， ∵CP DQ = ∴________DQ = ∴PDC________．∴PQ l ∥（________）．23. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．（1）经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：离），并求y 与x 满足的函数关系式．（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =−−+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）． 24. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，过点D 作DE AB ∥，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若60ADC ∠=︒，4BC =，求CD 的长． 25. 【项目式学习】 项目主题：车轮的形状项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】（1）探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离始终为______cm ；（2）探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若正方形的边长为6cm ，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；（3）探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm ，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60︒圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O 并不稳定．（4）探究D 组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m −，()3n ,在抛物线()2<0y ax bx c a =++上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）当5c =，m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点()()00,3x n x ≠在抛物线上，若m n c <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围．27. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，()030BAC a α∠=︒<<︒．将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α得到射线l ，射线l 与射线BC 的交点为M ．在射线BC 上截取MD AC =（点D 在点M 左侧），（1）如图1，当点D 与点C 重合时，此时α=_________°，ACB ∠的度数为_________°．（2）当点D 与点C 不重合时，在线段MA 上截取2ME BC =，连接DE ．依题意补全图2，用等式表示EDM ∠与BAC ∠的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个不同的点S ，T 满足2ST PM =．其中点M 为线段ST 的中点，则称点P 是图形W 的相关点．（1）已知点(2A ，0)①在点1234113(,),(,(2,1)2222P P P P −−中，线段OA 的相关点是_______； ②若直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求b 的取值范围．（2）已知点(3Q −，0)，线段的长度为d ，当线段CD 在直线2x =−上运动时，如果总能在线段CD 上找到一点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的相关点，直接写出d 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，共16分）1. 【答案】C【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A 、B 、D 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C ． 2. 【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：把抛物线2y x =−向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为23y x =−+ 故选：C ． 3. 【答案】D【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16 【详解】解：移项得2810x x −=−，配方得22284104x x −+=−+，即2(4)6x −=． 故选：D ． 4. 【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得B AC BAC ''∠=∠， 由三角形内角和定理可得出35B AC BAC ∠=∠=''︒，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出B AC BAC ''∠=∠， ∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒， ∴180806535BAC ∠=︒−︒−︒=︒， ∴35B AC BAC ∠=∠=''︒，∴70BAC BAC B AC ∠=∠+''∠='︒， 故选：B ． 5. 【答案】D【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键．连接OA ，作OM AB ⊥，构造出直角OAM △，且根据正六边形的性质可知30AOM ∠=︒，即可解答； 【详解】解：连接,OA OB ，作OM AB ⊥于点M ， ∵正六边形ABCDEF 的外接圆半径为2cm ， ∴正六边形的半径为2cm ， 即2cm OA =，在正六边形ABCDEF 中，360660AOB ∠=︒÷=︒， ∴30AOM ∠=︒，∴正六边形的边心距是)cos302cm 2OM OA =︒⨯=⨯=， 故选：D ．6. 【答案】B【分析】平行于围墙的一边为x 米，则垂直于围墙的一边为()1102x −米，再根据矩形的面积公式列方程即可．()10152xx −=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 7. 【答案】A【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知直线1l 是线段AB 的垂直平分线，则OA OB =的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 故选：A ． 8. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到2434ac b a−=，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当0x =时，0y <，得到0c <，即可判断②对错；根据二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和直线y n =的交点，即可判断④对错．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线22b x a=−=−， 4b a ∴=，∴40a b −=，①正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，2434ac b a−∴=， 2124b a ac ∴+=，4b a =，234b b ac ∴+=，0a <，40b a ∴=<，∴2b 2>b ，∴2b 2+b 2+2b >b +b 2+2b ，∴3b 2+2b >b 2+3b ，∴3b 2+2b >b 2+3b =4ac ，成立，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点(4,0)−和点(3,0)−之间，∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在(1,0)−和(0,0)之间，0x ∴=时，0y <，0c ∴<，0a <，40b a ∴=<，∴0a b c ++<，②正确；∵抛物线的顶线坐标为(2,3)−，点()5,n −在二次函数的图像，∴抛物线与直线y n =有两个交点，∴交点的横坐标即为方程2ax bx c n ++=的两个实数根，∵点()5,n −在二次函数的图像，∴5−为其中一个实数根，根据函数图像对称性，对称轴2x =−，∴另一个实数根是1，∴关于x 的不等式20ax bx c n ++−>的解集是51x −<<，∴④正确，故选：D ．二、填空题（共8小题，共16分）9. 【答案】3【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 把1x =代入220x x m +−=，转化为m 的方程求解即可．【详解】解：把1x =代入220x x m +−=，得210m +−=，解得：3m =，故答案为：3．10. 【答案】110【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：∵点A 、B 、C 在O 上，55BAC ∠=︒，2110BOC A ∴∠=∠=︒，故答案为：110．11. 【答案】<【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+图象的性质，掌握二次函数2()y a x h k =−+图象的性质是解题的关键．根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断,a b 的大小关系．【详解】解：∵二次函数2(,1011)y x a =−=>−，开口向上，对称轴为1x =，当x >1时，y 随x 增大而增大，又点()2,a ，()3,b 都在二次函数y =(x −1)2−1的图象上，211,312−=−=，a b ∴<，故答案为：<．12. 【答案】23y x =−+（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出0a <，0b =是解题的关键．根据二次函数的性质可得出0a <，利用二次函数图象顶点在y 轴上的特征可得出0b =，取取1a =−，0b =，c 为任何数即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为2y ax bx c =++．∵抛物线开口向下，∴0a <．∵抛物线顶点在y 轴上，∴0b =，c 为任何数，则取1a =−，0b =，3c =时，二次函数的解析式为23y x =−+．故答案为：23y x =−+（答案不唯一）．13. 【答案】70【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出110AOB ∠=︒，再根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，再根据四边形内角和定理求出P ∠的度数即可．【详解】解：∵OA OB =，∴35OAB OBA ∠=∠=︒，∴180110AOB OAB OBA ∠=︒−∠−∠=︒，∵PA PB ，是O 的两条切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴36070P AOB OAP OBP =︒−−−=︒∠∠∠∠，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知切线的性质是解题的关键．14. 【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 15. 【答案】(2,3)−−，()01−，【分析】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．把含m 的项合并，只有当m 的系数为0时，不管m 取何值抛物线都通过定点，可求x 、y 的对应值，确定定点坐标．【详解】解：∵()2211y mx m x =++−， ()222121y mx mx x m x x x ∴=++−=++−，∴当220x x +=时，与m 的取值无关，即0x =或2x =−时，不管m 取何值时都通过定点，当2x =−时，()422113y m m =−+−=−，当x =0时，1y =−，故不管m 取何值时都通过定点(2,3)−−或()01−，． 故答案为：(2,3)−−，()01−，．16. 【答案】2+【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，由90OMA ∠=︒得出点M 的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【详解】解：如图，取OA 中点O '，连接O C '，O M '，OM ，∵M 为AP 的中点，∴90OMA ∠=︒， ∴122O M O A O O OA '''====， ∴当点P 在O 上移动时，AP 的中点M 的轨迹是以OA 为直径的O '，∴'CO 交O '于点M ，此时CM 的值最大，由题意得，4OA OB OC ===，122OO OA O M ''===， 在Rt O OC '中，4OC =，2OO '=，∴O C '==，∴2CM CO O M ''=+=，故答案为：2+．三、解答题（共12小题，共68分．其中第17题8分，第18题4分，第19，21，22，23，25题每小题5分，第20，24，26，27题每小题6分，第28题7分）17. 【答案】（1）112x −=，212x −−= （2）11x =−，223x = 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．（1）利用公式法求解即可；（2）移项，利用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：∵1,1,1a b c ===−，∴122b x a −−===，则112x −+=，212x −=； 【小问2详解】解：()()3121x x x +=+()()31210x x x +−+=()()1320x x +−=∴10x +=或320x −= 则11x =−，223x =． 18. 【答案】（1）√3 （2）2【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．（1）根据垂径定理即可得到12AD BD AB ==即可得出结果； （2）连接OA ，设O 的半径为r ，在Rt AOD 中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】解：∵AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，垂足为D ，AB =∴12AD BD AB === 【小问2详解】 解：连接OA ，如图所示：设O 的半径为r ，即OA OC r ==， 若D 为OC 中点，1122OD OC r ∴==，由（1）知12AD BD AB ===在Rt AOD 中，由勾股定理可知222AD OA OD =−，即22212r r ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 解得2r =（负值舍去）， ∴O 的半径为2．19. 【答案】（1）见详解 （2）12m =− 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出10∆=>，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根； （2）用根与系数的关系列式求得m 的值即可．【小问1详解】证明：∵[]22(21)41()10m m m ∆=−+−⨯⨯+=>．即0∆>，∴方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：设方程的两根为a 、b ，利用根与系数的关系得：210a b m +=+=， 解得：12m =−． 20. 【答案】（1）()1,4−（2）见解析 （3）40y −≤＜【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，做题的关键是通过数形结合去解题．（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；（2）由五点作图法即可画出二次函数图象；（3）根据图象即可求得y 的范围；【小问1详解】()222314y x x x =−−=−−， ∴该二次函数的顶点坐标为()1,4−；【小问2详解】列表如下，=23y x x 的图象如图，【小问3详解】由图象可知，当1x =−时，y 取得最大值，y 的最大值为0，当1x =时，y 取得最小值，y 的最小值为-4，∴当12x −<<时，y 的范围为40y −≤＜．21. 【答案】（1）()1,1A（2）见详解 （3）()12,3B −，94π 【分析】本题主要考查对称性和旋转的性质．（1）根据一点关于原点对称点的性质即可求解；（2）结合旋转的性质即可得到旋转后的图形；（3）结合点A 的坐标和旋转的性质即可求得点1B ，利用旋转的性质和面积公式即可．【小问1详解】解：∵()01,1A −−，∴()1,1A ；【小问2详解】解：如图，【小问3详解】解：根据旋转得，13AC AC ==，12BC B C ==，∵点()1,1A ，∴点()12,3B −，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90°得11AB C △．∴边AC 扫过区域的面积为229019·336044AC πππ⨯=⨯=． 22. 【答案】（1）作图见解析（2）CP ，DPQ ∠，内错角相等，两直线平行【分析】本题考查的作已知直线的平行线，圆周角定理的应用，平行线的判定；（1）根据题干的作图语言逐步作图即可；（2）证明CP DQ =，可得PDC DPQ ∠=∠，结合平行线的判定可得结论．【小问1详解】解：如图，作图如下：．【小问2详解】证明：连接DP ，∵CP DQ =，∴CP DQ =，∴PDC DPQ ∠=∠．∴PQ l ∥（内错角相等，两直线平行）．23. 【答案】（1）该拱门的高度为7.2m ，跨度为12m ，()20.267.2y x =−−+（2）<【分析】本题考查了二次函数的实际应用，（1）由表格得当0x =时，0y =，当12x =时，0y =，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；（2）先把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中，求出h 的值，则可求出2d ，进行比较即可． 【小问1详解】解：由表格可知抛物线经过()0,0和()12,0，∴抛物线的对称轴为直线6x =，∵当6x =，7.2y =，∴该拱门的高度为7.2m ，∵12012−=，∴跨度为12m ；设抛物线解析式为()267.2y a x =−+，把()2,4代入()267.2y a x =−+中得：()2267.24a −+=， 解得：0.2a =−，∴()20.267.2y x =−−+；【小问2详解】解：把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中得()200.1807.30h =−−+，解得3h =或3h =−（舍去），∴抛物线()20.187.30y x h =−−+与x 轴的另一个交点坐标为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2m 3d =， 由（1）可得110m d =， ∵222114601009d d =>=， ∴21d d >，故答案为：<．24. 【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OD ．根据直径所对的圆周角是直角得90ACB ∠=︒，再根据角平分线得45ACD BCD ∠=∠=︒，进而得45ABD ACD ∠=∠=︒，又由45ODB OBD ∠=∠=︒，从而根据平行线的性质得45BDE OBD ︒∠=∠=，于是90ODE ODB BDE ∠=∠+∠=︒，得OD DE ⊥，根据切线的判定即可证明结论成立；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，先证明BF CF =．再根据勾股定理得BF CF ==，根据直角三角形的性质得2BD BF ==【小问1详解】证明，如图1，连接OD ．AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CD 平分ACB ∠，45ACD BCD ∴∠=∠=︒45ABD ACD ∴∠=∠=︒OD OB =，45ODB OBD ∴∠=∠=︒， DE AB ∥，45BDE OBD ︒∴∠=∠=，90ODE ODB BDE ︒∴∠=∠+∠=， OD DE ∴⊥ OD 为O 的半径，∴直线DE 是O 的切线．【小问2详解】解：如图2，过点B 作BF CD ⊥于点F ，90BFC BFD ︒∴∠=∠=， ∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ， ∴45ACD BCD ∠=∠=︒， 45CBF ∴∠=︒，BF CF ∴=．在Rt BFC △中，4BC =，根据勾股定理，得42BF CF ==⨯= ∵60ABC ADC ∠=∠=︒，∴906030BAC ∠=︒−︒=︒， BC BC =，30CDB BAC ︒∴∠=∠=，2BD BF ∴==在Rt BFD 中，根据勾股定理，得DF ==CD CF DF ∴=+=．【点睛】本题主要考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键．25. 【答案】8；3−；；A【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．（1）利用正方形的性质解答即可；（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案； （3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论． 【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，∴车轮轴心O 到地面的距离始终等于圆的直径，圆形车轮半径为4cm ，故车轮最高点到地面的距离始终为8cm ，故答案为：8；（2）如图所示，OC 为正方形车轮的轴心O 移动的部分轨迹，点D 为车轮轴心O 的最高点，点C 为车轮轴心O 的最低点，由题意得车轮轴心O 距离地面的最低高度为AD OA ==∴车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为3)cm ，故答案为：3)；（3）点O 的运动轨迹为圆，以点C 为圆心，23=运动距离为2π⨯=故答案为：； （4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”A ，故答案为：A ．26. 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为()0,5，1t =（2）010x −<<【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键．（1）将5c =代入()20y ax bx c a =++<中，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据m n =可得点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称，即132t −+=计算即可； （2）根据m n c <<，可确定出2a >−b >3a ， 结合20a <，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线032x x +=，进而可确定0x 的取值范围． 【小问1详解】解：当5c =时，抛物线：25y ax bx =++当0x = 时，5y =；∴ 抛物线与y 轴交点的坐标为：()0,5；∵m n =，∴点()1,m −与()3,n 关于抛物线的对称轴对称， ∴1312x t −+===； 【小问2详解】解：∵m n c <<，∴93a b c a b c c −+<++<，解得23a b a −<<−，∴2a >−b >3a ， 而20a <， ∴3122b a <−<，即312t <<， ∵点()3,n ，()()00,3x n x ≠在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线032x x +=， ∴033122x +<<， 解得：010x −<<，∴0x 的取值范围010x −<<．27. 【答案】（1）18︒，72°（2）补全图形见解析，2EDM BAC ∠=∠，证明见解析【分析】（1）当点D 与点C 重合时，由等腰三角形等边对等角，得到 2AMC CAM α∠=∠=，再根据直角三角形的性质可得590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，进而求出18α=︒，可求ACB ∠的度数； （2）根据题意补全图形，在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ， 证明DME ACN ≌可得EDM CAN ∠=∠，即可得到EDM ∠与BAC ∠的等量关系．【小问1详解】解：∵点D 与点C 重合，,2MD AC CAM α=∠=，∴2AMC CAM α∠=∠=，在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒，∴90AMC MAB ∠+∠=︒，∵BAC α∠=，∴590AMC CAM BAC α∠+∠+∠==︒，∴18α=︒，∴236MAC AMC α∠=∠==︒，∴22472ACB MAC MAC a αα∠=∠+∠=+==︒；【小问2详解】解：补全图形如图；2EDM BAC ∠=∠，理由如下：如图， 在CB 的延长线上截取BF BC =，连接AF ，在AF 上取点N ，使得CF CN =， 连接CN ，∵,90BF BC ABC =∠=︒，∴AC AF =，∴22CAN BAC α∠=∠=， ∴()1180902AFC ACF CAN α∠=∠=︒−∠=︒−， ∵CF CN =，∴90CNF AFC α∠=∠=︒−，∴1802FCN AFC CNF α∠=︒−∠−∠=，∴903ACN ACF FCN α∠=∠−∠=︒−，∵22MAC BAC α∠=∠=，∴90903AMD MAC BAC α∠=︒−∠−∠=︒−，∴ACN AMD ∠=∠，∵2ME BC =，2CF CN BC ==，∴ME CN =，∵MD AC =，∴()SAS DME ACN ≌，∴22EDM CAN BAC α∠=∠==∠．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系．28. 【答案】（1）①1P ，3P ；②1−b ≤≤1（2）d ≥【分析】（1）①根据新定义得出P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，以OA 为直径，()1,0为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；②根据①可得P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；（2）设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点，设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，勾股定理求得KB 的值，进而根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，符合题意，即可求解．【小问1详解】解：①∵(2A ，0)，∴2OA =，∵P 是线段OA 的相关点，∵2ST PM =，若点,S T 分别与点()()0,0,2,0A 重合，则中点为()1,0，∴P 在以OA 为直径的圆上，∵,S T 是线段OA 上的点，∴P 点在以OA 为直径的圆上及其内部，故答案为： 1P ，3P． ②由题意可得线段OA 的所有相关点都在以OA 为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是H ．(2A ，0)，∴ (1H ，0)．当直线y x b =+与H 相切，且0b >时，将直线y x b =+与x 轴的交点分别记为B ，则点B 的坐标是(b −，0)．∴ 1BH b =+．BH =，∴1b +=1b =．当直线y x b =+与H 相切，且0b <时，同理可求得1b =−．所以b 的取值范围是1−b ≤≤1．【小问2详解】解：设点K 是直线2x =−上一点，且点K ，使得在y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点， 设()2,K k −，则以QK 为直径的圆上两点ST 为直径的圆与y 轴相切于点P ，且ST y ∥轴，如图所示，设以QK 为直径的圆，圆心是C ．则5,22k C ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴52CP = M 是ST 的中点，2ST PM =，∴SP =当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 为直径的圆的唯一相关点P ，在Rt CSM 中，52224CS CP ===，∴22QK CS ==，∴2KB ===， 根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，也符合题意，∴d ≥．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．。

初三数学期中试题及答案

初三数学期中试题及答案

初三数学期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.33333B. πC. 4.5D. 0.5答案：B2. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-1答案：D3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度可能是：A. 1B. 2C. 7D. 5答案：D4. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 圆C. 正三角形D. 所有选项答案：D5. 一个数的绝对值是它本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. 正数或零答案：D6. 以下哪个选项是二次根式？A. √2B. √(-1)C. √(0)D. √(4/9)答案：A7. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-1或0答案：D8. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么另一个锐角是：B. 90度C. 120度D. 30度答案：A9. 以下哪个选项是不等式？A. x + 3 = 7B. x - 5 > 2C. 4x = 16D. 3x ≤ 9答案：B10. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 任何数答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_______。

答案：52. 如果一个数的绝对值是8，那么这个数可能是_______或_______。

答案：8，-83. 一个数的平方根是4，那么这个数是_______。

4. 一个三角形的两边长分别为5和12，根据三角形的三边关系，第三边的长度应该大于_______而小于_______。

答案：7，175. 如果一个数的立方是27，那么这个数是_______。

答案：3三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个数的平方是25，求这个数。

答案：这个数是±5。

2. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，求斜边的长度。

2024-2025学年北京四中初三上学期期中数学试题及答案

2024-2025学年北京四中初三上学期期中数学试题及答案

数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题 (共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下面四个标志中是中心对称图形的是（ ）.A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（ ）. A ．0x =B ．2x =C ．0x =或2x =D ．0x =或2x =-3．若1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(3,)C y 为二次函数21y x =+（）图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）. A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数(5)(7)y x x =-+的图象的对称轴是（）. A ．直线1x =- B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为O 直径，点C 、D 在O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（ ）.A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（ ）. A ．21.058(1) 1.167x -= B ．1.058(12) 1.167x +=C ．21.058(1) 1.167x +=D ．21.167(1)1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时 的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，则表盘的半径长为（ ）.A ．3B． C ． D．A8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（ ）. A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A. B.C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上一点，50A ∠=︒，则DCE ∠的度数为 ．11．抛物线256y x x =-+与y 轴的交点的坐标是 ．12．如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作O 的切线分别交PA 、PB 于M 、N 两点，若△PMN 的周长为10，则切线长PA 等于 ．第10题图 第12题图13．已知22310a a -+=，则代数式2(3)(3)a a a -++的值为 ．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度．．．．是 cm ．图1 图2 第15题图15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-， 对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在(0,1)A 和(0,2)B 之间（不与A 、B 重合）．下列结论：①0abc >； ②93a c b +>； ③40a b +=； ④当0y >时，15x -<<； ⑤a 的取值范围为2155a -<<-． 其中正确结论有 ．（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，∠A =90°，D 是AC 上一点，BD =10， AB =CD ，则BC 的最大值为 ．三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21、25题每题4分，第19、23、24题每题5分，第20、26题6分，第22、27、28题每题7分）17．解下列方程：（1）23610x x -+=； （2）2(3)3x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -．将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到△11A BC ， （1）请在图中画出△11A BC ； （2）线段BC 旋转过程中所扫过的面积是 （结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ． （1）求证：△AEB ≌△ADC ； （2）连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数． 20．已知关于x 的一元二次方程22(8)40x k x k +--=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围． 21．已知：如图O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B ．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：A ，A 交O 于点B ，则直线PB 是O 的切O 于点M ；②以点的长为半径作弧，交直线，交O 于点B PB 是O 的切线． 证明：如图1，连接OB ， A 直径，90PBO =︒．（ OB ． OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．请仔细阅读，并完成相应的任务．（1）“作法一”中的“依据”是指 ； （2）请写出“作法二”的证明过程．NQ M P22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过(0,2)A -，(2,0)B 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（3）若一次函数y mx n =+的图象也 经过A ，B 两点，结合图象，直接写出 不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥． （1）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（2）若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米，竖直距离为6米．若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．25．如图1，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7AB =cm ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、Q 两点间的距离为1y cm ，P 、Q 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象． 解决问题：（1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；（2）结合函数图象，解决问题：当△APQ 中有一个角为30︒时，AP 的长度约为 cm ．图1图226．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224(0)y ax a x a =-≠． （1）当1a =时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知1(M x ，1)y 和2(N x ，2)y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =45°，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC =BE ，连接AE ，过C 作CF ⊥AE 于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ． （1）求证：∠AEB =∠ACF ；（2）用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”． 已知B （-1,0），C （2,0），（1）写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标________；（2）已知点1C （2,m ）（102m ），存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2l ：y =x+b 上，求b 的取值范围；（3）已知点H 是直线x =1上的一点，且点H 的纵坐标小于0，C （3,0），E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线x =6上的点F （6,h ），以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．备用图数学参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C二、填空题9． 231y x =+ 10. 50° 11．(0,6) 12．5 13．8 14．18 15．③④⑤16. 5+ 补充说明：T15只有一个正确答案得1分，有错误答案不得分。

人教版初三上册《数学》期中考试卷及答案【可打印】

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一、选择题（每题1分，共5分）1. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）。

A.（2，3）B.（2，3）C.（2，3）D.（2，3）2. 已知一组数据：1，2，3，4，5，那么这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）。

A. 3，3，3B. 3，3，3.5C. 3，3，4D. 3，3，4.53. 下列函数中，属于一次函数的是（）。

A. y=2x+1B. y=x^2C. y=2/xD. y=3sinx4. 已知正比例函数y=kx（k≠0），当x=2时，y=4，那么k的值为（）。

A. 2B. 4C. 2D. 45. 在平面直角坐标系中，点A（3，2），点B（3，2），那么线段AB的中点坐标是（）。

A.（0，0）B.（0，1）C.（0，1）D.（1，0）二、判断题（每题1分，共5分）1. 直角三角形的两个锐角互余。

（）2. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（）3. 一元二次方程的根一定是实数。

（）4. 圆的周长与半径成正比。

（）5. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越小。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 在等腰三角形中，若底边长为10，腰长为13，则这个等腰三角形的周长是______。

2. 在平面直角坐标系中，点P（m，n）关于原点的对称点坐标是______。

3. 已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），若方程有两个相等的实数根，则判别式△=______。

4. 在等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则第10项a10=______。

5. 在平面直角坐标系中，点A（m，n），点B（m，n），则线段AB的长度是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述一元二次方程的根的判别式。

2. 请简述圆的性质。

3. 请简述等差数列的性质。

4. 请简述三角形的内角和定理。

5. 请简述平行线的性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个等腰三角形的底边长为8，腰长为5，求这个等腰三角形的周长。

2024-2025学年江苏省宿迁市如东实验中学、崇文中学、洋河中学等校九年级期中数学试卷(含答案)

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2024-2025学年江苏省宿迁市如东实验中学、崇文中学、洋河中学等校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一元二次方程x2−4=0的解是( )A. −2B. 2C. ±2D. ±22.已知⊙O的半径为5，OA=6，则点A在( )A. ⊙O内B. ⊙O上C. ⊙O外D. 无法确定3.已知一组数据4，6，8，7，5，则这组数据的中位数是( )A. 6B. 6.5C. 7D. 54.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4.若BC=1，则EF的长是( )A. 2B. 2C. 4D. 165.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC=20°，则∠ABC的度数是( )A. 20°B. 50°C. 70°D. 80°6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，则点B(−2,4)的对应点B′的坐标为( )A. (−4,8)B. (8,−4)C. (−8,4)D. (4,−8)7.如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为( )A. 1732B. 12C. 1736D. 17388.如图，过△ABC内任一点P，作DE//BC，GF//AC，KH//AB，则DEBC +GFAC+KHAB=( )A. 1B. 43C. 2D. 83二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.若ab =35，则a+2bb的值为______．10.如图，点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB=10，那么AP的长为______．11.若关于x的方程mx2−4x+3=0是一元二次方程，则m的取值范围是______．12.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为______cm2．13.小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是70分、90分、80分.若将三项得分依次按2：4：4的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分.14.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ=______m．15.如图，α是正十边形两条对角线的夹角，则α的度数是______°16.已知m，n是x2−4x+3=0的两个根，则m2−3m+n=______．17.如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB.三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为2π，那么这个曲边三角形的面积是______．18.如图，矩形ABCD中，P为AB上一动点(P与A、B不重合)，将△BPC沿CP翻折至△B1PC，B1P与AD相交于点E，CB1与AD相交于点F，连接BB1交AD于Q，若EQ=8，QF=5，BC=30，则折痕CP的长为______．三、解答题：本题共10小题，共80分。

2024-2025学年吉林省长春市南关区九年级(上)期中数学试卷(含答案)

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2024-2025学年吉林省长春市南关区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若a−5有意义，则a的值可以是( )A. −3B. 0C. 4D. 62.下列各式计算正确的是( )A. (−2)2=−2B. −22=−2C. −(±2)2=±2D. 22=±23.用配方法解一元二次方程x2−6x+7=0配方后得到的方程是( )A. (x+6)2=29B. (x−6)2=29C. (x+3)2=2D. (x−3)2=24.关于x的一元二次方程3x2+bx−1=0根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根5.一架梯子的示意图如图所示，其中AA1//BB1//CC1//DD1//EE1，且AB=BC=CD=DE.为了使梯子更加稳固，在A、E1之间加绑一条安全绳(线段AE1)分别交BB1、CC1、DD1于点F、G、H.量得AF=0.4米，则安全绳(线段AE1)的长为( )A. 0.8米B. 1.2米C. 1.6米D. 1.8米6.如图，△ABC是△DEF经过位似变换得到的，点O是位似中心，AD=2OD.若△DEF的面积为3，则△ABC的面积为( )A. 6B. 9C. 18D. 277.在平面直角坐标系中，将抛物线y=−x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为( )A. y=−(x−3)2−4B. y=−(x+3)2−4C. y=−(x−3)2+4D. y=−(x+3)2+48.已知二次函数y=x2−2x(−1≤x<n+1)，当x=−1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则n的取值范围是( )A. n≥2B. 0<n≤2C. 1<n≤3D. 2<n≤4二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

山东省枣庄市市中区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

山东省枣庄市市中区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2023—2024学年第一学期期中联合教研质量监测九年级数学试题温馨提示：请将试题的正确答案填涂或书写在答题纸上，在本试卷上答题无效．一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．）1．下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C ．D．2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）A ．1，2，3，4B ．2，3，4，6C ．3，4，5，6D ．5，10，15，203．如图，菱形中，连接AC ，BD ，若，则的度数为（）（第3题图）A ．B ．C ．D ．4．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个红球．A ．2B ．3C ．6D ．85．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．枣庄市要组织一次中学生篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在中，D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，，，且，那么的值为（ ）x 220x x +=10x +=2ax bx c ++=211x =ABCD 120∠=︒2∠20︒60︒70︒80︒323x y y +=yx311-3113737-x 215x =(1)15x x +=(1)15x x -=(1)152x x -=ABC △DE BC ∥EF AB ∥:2:3AD DB =:CF BF第7题图A ．4：3B ．3：2C ．3：4D ．2：48．关于的一元二次方程有一根为0，则的值为（ ）A ．2B ．C ．2或D．9．如图，下列条件不能判定的是（）第9题图A ．B ．C ．D ．10．如图，已知正方形的边长为3，点是对角线BD 上的一点，于点于点，连接PC ，当时，则PC 等于（ ）第10题图AB ．2CD ．二、认真填一填，相信你能填对!（每小题3分，共18分．）11．写出以0和1为根且二次项系数为1的一元二次方程是______．12．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取B ，C ，D 三点，使得，，点在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得，则河的宽度为______．第12题图x 22(2)40m x x m +++-=m 2-2-12ADB ABC △△∽ABD ACB ∠=∠ADB ABC ∠=∠2AB AD AC=⋅AD ABAB BC=ABCD P PF AD ⊥,F PE AB ⊥E :1:2PE PF =52A AB BC ⊥CD BC ⊥E 20m,10m,20m BE CE CD ===13．若是关于的一元二次方程的解，则______．14．琪琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为，此时方程的解为______．15．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点，过点作于点，连接，若菱形ABCD 的面积为，则CD 的长为______．第15题图16．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，于点F ，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是______．第16题图三、解答题：（本题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）17．（本小题满分10分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．18．（本小题满分10分）如图，点A 的坐标为，点B 的坐标为，点C 的坐标．（1）求出的面积；（2）请以点O 为位似中心作一个与位似的，使得的面积为18．1x =x 230x mx n ++=62m n +=260x x -+=□□260x x -+=□□O D DH AB ⊥H ,2OH OH =BE AC ⊥AEF CAB △△∽2BF EF =CD AD =23(3)12x -=2210x x --=()3,1-()1,1-()0,1-ABC △ABC △111A B C △111A B C △19．（本小题满分10分）如图，在中，，，，将沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法．第19题① ② ③ ④（1）其中正确的剪法有中______（填序号）；（2）请选择其中一种剪法，并写出所选中两个三角形相似的证明过程．20．（本小题满分10分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A ，B ，C ，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．A ．决策类人工智能B ．人工智能机器人C ．语音类人工智能D ．视觉类人工智能．（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．21．（本小题满分10分）公安交警部门提醒市民，骑车由行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？22．（本小题满分10分）阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，ABC △72A ∠=︒4AB =6AC =ABC △ABC △()()22215140x x ---+=我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得，．当时，当时，．原方程的解为（1）在由原方程得到方程（1）的过程中，是利用换元法达到_____的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想；（2）仿照上面的方法，解方程．23．（本小题满分12分）如图，已知：在四边形ABFC 中，的垂直平分线EF 交BC 于点，交AB 于点，且．第23题（1）求证：四边形BECF 是菱形；（2）当______°时，四边形BECF 是正方形；．（3）在（2）的条件下，若，求四边形ABFC 的面积．2023—2024学年第一学期期中联合教研质量监测九年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题（每题3分）11．（答案不唯一）12．40m 13．14．9；15．416．317．（1）；题目12345678910答案ABCCDDBADC21x -21x y -=2540y y -+=11y =24y =1y =211,x x -==4y =214,x x -==∴1234x x x x ====()()2224120x xx x ----=90,ACB BC ∠=︒D E CF AE ∥A ∠=4AC =20x x -=2-123x x ==125,1x x ==（2）1211x x =+=18．（1）解：（1）的面积；（2）如图，或为所作．19．解：（1）①③；（2）（答案丕唯一）（1），，；（3），．20．解：（1）共有4张卡片，从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；故答案为：；（2）解：根据题意画图如下：共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．21．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得：，解得：（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为．（2）设该品牌头盔的实际售价为元，依题意，得：，整理，得：，ABC △12222=⨯⨯=111A B C △A B C '''△72CDE A ∠=∠=︒ C C ∠=∠CDE CAB ∴△△∽A A ∠=∠ 4136364242AD AC AE AB -=====-CDE CAB ∴∽△△ ∴141441164=x 2150(1)216x +=120.220%, 2.2x x ===-20%y ()()30600104010000y y ⎡⎤---=⎣⎦213040000y y -+=解得：（不合题意，舍去），，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．22．解：（1）降次（2）设，原方程化为，解得，①当时，，解得，②当时，，，，此方程无解，所以原方程的解为．23．（1）证明：垂直平分BC ，，，，，，，，，，．，∴四边形BECF 是菱形；（2）解：当时，四边形BECF 是正方形；（3）解：由（2）知，四边形BECF 是正方形，，四边形ABFC．180y =250y =2y x x =-24120y y --=126,2y y ==-16y =26x x -=123,2x x ==-22y =-22x x -=-220x x ∴-+=141270∆=-⨯⨯=-< ∴123,2x x ==-EF BF FC ∴=BE EC =FCB FBC ∴∠=∠CF AE ∥FCB CBE ∴∠=∠FBC CBE ∴∠=∠90FDB EDB ∠=∠=︒ BD BD =(ASA)FDB EDB ∴≌△△BF BE ∴=BE EC FC BF ∴===45A ∠=︒AE BE CE ===∴12=。

人教版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解

人教版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的解为（）A ．x 1＝2，x 2＝﹣3B ．x 1＝﹣2，x 2＝3C ．x 1＝﹣2，x 2＝﹣3D ．x 1＝2，x 2＝33．二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠的图像经过点（0，2），则a+b 的值是（）A ．-3B ．-1C ．2D ．34．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O 的半径为()A ．B ．4C ．D ．55．如图，ABC 和111A B C 关于点E 成中心对称，则点E 坐标是（）A ．() 3,1--B ．() 3,3--C ．()3,0-D ．()4,1--6．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：x …-10245…y 1…01356…y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞47．已知如图，PA 、PB 切O 于A 、B ，MN 切O 于C ，交PB 于N ；若7.5PA cm =，则PMN 的周长是（）A ．7.5cmB ．10cmC ．15cmD ．12.5cm8．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转40°得到△A'B'C ，CB'与AB 相交于点D ，连接AA'，则∠B'A'A 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°9．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ．F 分别在BC 和CD上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF ；④正方形对角线AC=1+，其中正确的序号是（）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④10．已知二次函数2y x bx 1=-+，当b 从1-逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是()A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动二、填空题11．若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a =_________．12．将抛物线y ＝x 2＋1向下平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为__________.13．由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为_____．14．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1cm 的的圆心P 在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ，以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么与直线CD 相切时，圆心P 的运动时间为_____．15．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是_____．16．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 在CD 上，1DE =，点F 在边AB 上一动点，以EF 为斜边作Rt EFP ∆.若点P 在矩形ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF 的值是__________．三、解答题17．解下列方程（1）2450x x --=（2）()22(3)33x x -=-18．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB 的端点均在格点上．按要求在图①，图②，图③中画图．（1）在图①中，以线段AB 为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；（2）在图②中，以线段AB 为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.19．为响应“美丽台州，美化环境”的号召，某校开展“美丽台州，清洁校园”的活动，该校经过精心设计，在绿化工作中设计一块170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍长3m ，则这块矩形场地的长和宽各是多少米？20．如图，已知AB 是⊙O 中一条固定的弦，点C 是优弧AB 上一个动点(点C 不与A ，B 重合)．（1）设∠ACB 的角平分线与劣弧AB 交于点P ，试猜想点P 在弧AB 上的位置是否会随点C 的运动而发生变化？请说明理由；（2）如图②，设A′B′=8，⊙O 的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP 的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围．21．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.(2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.22．如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 在AC 上（且不与点A ，C 重合），在△ABC 的外部作△CED ，使∠CED=90°，DE=CE ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．（1）请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；（2）将△CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论．23．如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．（1）如图①，求证：OP∥BC；（2）如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数．24．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为()()1010x xyx x⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数21 42y x x=-+-．①当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数21 42y x x=-+-的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣12，1），（92，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数24y x x m =-++的相关函数的图象有两个公共点时m 的取值范围．答案与详解1．C 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．D 【分析】利用因式分解法解方程．解：（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，∴x 1＝2，x 2＝3．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．C 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点（0，2）直接代入解析式即可得到答案．【详解】∵二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠的图象经过点（0，2），∴22(01)a b =⋅-+，∴2a b +=．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4．A 【详解】试题解析：连接OA ，OB ．45,C ∠=︒ 90AOB ∴∠=︒，∴在Rt AOB △中，OA OB ==点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.5．A【分析】先求出△ABC和△A1B1C1中对应的两点坐标，连接此两点坐标则E点必在其中点上，求出其中点坐标即可．【详解】由图可知：因为B、B1点的坐标分别是：B（-5，1）、B1（-1，-3），所以BB1的中点坐标为（512--，132-），即（-3，-1），则点E坐标是（-3，-1），故选A．【点睛】本题考查了坐标与图象变化-旋转，用到的知识点是图形旋转对称的性质等，图形旋转后时，其旋转中心必是其对应点连线的中点坐标．6．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．C【分析】已知MN、PA、PB是⊙O的三条切线，于是可得MA=MC、NC=NB、PA=PB；从而可得△PMN的周长用AP、BP来表示，代入数值即可求解.【详解】∵直线PA、PA、MN分别于圆相切于点A、B、C，∴MA=MC，NC=NB，PA=PB，∴△PMN的周长=PM+PN+MN=PM+AM+PN+BN=PA+PB=7.5+7.5=15.故选C.【点睛】考查圆的切线的性质定理，关键是掌握切线长定理；8．C【分析】先确定旋转角∠A′CA，根据旋转的性质A′C=AC，可求∠AA′C，∠B′A′C要求的∠B′A′A=∠B′A′C-∠AA′C即可．【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，∴∠A′CA=40º，∵A′C=AC，∴∠AA′C=180-40=702︒︒︒，∵∠BAC=∠B′A′C==90°，∴∠B′A′A=∠B′A′C-∠AA′C=90º-70º=20º．故选择：C ．【点睛】本题考查图形旋转的性质和等腰三角形的性质等问题，掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，会找旋转角，会利用等腰三角形求∠AA′C ，找到∠B′A′A 与∠AA′C 的关系是解题关键．9．A【分析】根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC ⊥EF ，然后分别求得AG 与CG 的长，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD=BC=DC ，∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB AD AE AF =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ，AE=AF ，∵BC=DC ，∴BC-BE=CD-DF ，∴CE=CF ，故①正确；∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于G 点，∵AE=AF，CE=CF，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，故③错误；∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC⊥EF，∴EG=FG=1，∴AG=AE•sin60°3232=⨯=CG=112EF=，∴31；故④正确．综上，①②④正确故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．10．C【分析】先分别求出当b=-1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．【详解】当b=-1时，此函数解析式为：y=x2+x+1，顶点坐标为：13 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，；当b=0时，此函数解析式为：y=x2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b=1时，此函数解析式为：y=x2-x+1，顶点坐标为：13 24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．11．1【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：把x=1代入方程220x ax +-=得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．y =x 2﹣2【分析】根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解．【详解】抛物线y =x 2+1向下平移3个单位得到的解析式为y =x 2+1﹣3，即y =x 2﹣2．故答案为y =x 2﹣2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．13．20%．【分析】设平均每次下调的百分率为x,则第一次下调后的关税为4000(1-x),第二次下调的关税为40002(1)x -,根据题意可列方程为40002(1)x -=2560求解即可.【详解】解：设平均每次下调的百分率为x,根据题意得:(1)x =2560，40002解得:1x=0.2=20%,2x=1.8=180%(舍去),即:平均每次下调的百分率为20%.故答案是:20%.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据已知条件列出方程是解题的关键.14．4秒或8秒【分析】⊙P与CD相切应有两种情况，一种是在射线OA上，另一种在射线OB上，设对应的圆的圆心分别在M，N两点．当P在M点时，根据切线的性质，在直角△OME中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得OM的长，进而求得PM的长，从而求得由P 到M移动的时间；根据ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移动的时间．【详解】①当⊙P在射线OA上，设⊙P于CD相切于点E，P移动到M时，连接ME．∵⊙P与直线CD相切，∴∠OEM=90°，∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠AOC=30°，∴OM=2ME=2cm，则PM=OP-OM=6-2=4cm，∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，∴⊙P移动4秒时与直线CD相切；②当⊙P的圆移动到直线CD的右侧，同理可求ON=2则PN=6+2=8cm．∴⊙P移动8秒时与直线CD相切．故答案为：4秒或8秒．【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．15．4.8【详解】设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB=4.8．故答案为：4.8．考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理16．0或1113AF <<或4【详解】【分析】在点F 的运动过程中分别以EF 为直径作圆，观察圆和矩形矩形ABCD 边的交点个数即可得到结论.【解答】当点F 与点A 重合时，以EF 为斜边Rt EFP ∆恰好有两个，符合题意.当点F 从点A 向点B 运动时，当01AF <<时，共有4个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1AF =时，有1个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1113AF <<时，有2个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当113AF =时，有3个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当1143AF <<时，有4个点P 使EFP ∆是以EF 为斜边Rt EFP ∆.当点F 与点B 重合时，以EF 为斜边Rt EFP ∆恰好有两个，符合题意.故答案为0或1113AF <<或4【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在数学中的应用.17．（1）1251x x ，==-；（2）12932x x ==，【分析】（1）利用因式分解法解方程得出答案；（2）移项变形，利用因式分解法解方程得出答案．【详解】（1）2450x x --=，因式分解得：()()510x x -+=，解得：1251x x ，==-；（2）()22(3)33x x -=-，移项得：()22(3)330x x ---=，因式分解得：()()3290x x --=，∴30x -=或290x -=，解得：12932x x ==，．【点睛】本题主要考查了因式分解法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）作AB 的垂直平分线，垂直平分线在端点处的点即为顶点；（2）如下图所示，满足面积条件和直角条件；（3）以AB 为对角线，绘制平行四边形即可【详解】（1）如下图，过线段AB 作垂直平分线，与网络交于格点C ，则点C 为等腰直角三角形顶点根据勾股定理，可求得，根据勾股定理逆定理，可得△ABC 是直角三角形，满足条件（2）图形如下：根据勾股定理，可求得：10，2，BC=22根据勾股定理逆定理，可判断△ACB是直角三角形面积=122×22=2，成立（3）平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，图形如下：(答案不唯一)【点睛】本题考查格点问题，解题过程中，一方面需要结合几何特征，另一方面，还要敢于尝试19．这块矩形场地的长是23米、宽是10米．【分析】阅读试题，理解含义，分清题意，找出等量关系设矩形场地的宽为x米，则矩形场地的长为（2x+3）米，利用面积得：x(2x+3)=170，解方程要检验，负根舍去，最后作答即可．【详解】设这块矩形场地的宽为x米，则矩形场地的长为（2x+3）米，由面积得：x(2x+3)=170，因式分解得：(2x+17)(x-10)=0，∴x=10，x=-172(舍)，∴2x+3=23，答：这块矩形场地的长是23米、宽是10米．【点睛】本题考查面积问题应用题，抓住矩形的长比宽的2倍长3m 来设元，抓住一块170m 2的矩形场地列方程是解题关键，掌握列方程解应用题的步骤与要求，分析题意，恰当设元，列出方程，解方程，检验，作答．20．（1）不变化，理由见详解；（2）8<S 四边形A′C′B′P′≤40【分析】（1）由∠ACP=∠BCP 得 AP BP=，P 为 AB 的中点，P 在弧AB 上的位置不动，p 点不变化，（2）四边形ACBP 的面积不是定值，连接OA ，OB ，OP ，OP 交AB 于D ，由 AP BP =，OP 为半径，由垂经定理知OP ⊥AB ，AB=BD ，由勾股定理得OD=，进而S △APB =12AB DP ，当PC 为直径时，S △ABC 最大=12AB DC 则0<S △ABC ≤32即可求出S 四边形ACBP =S △ABC +S △PAB =S △ABC +8的范围，即S 四边形A′C′B′P′的范围．【详解】（1）∵∠ACB 的角平分线与劣弧AB 交于点P ，∴∠ACP=∠BCP ，∴ AP BP=，∴P 为 AB 的中点，∴P 在弧AB 上的位置不动，为此不随点C 的运动而发生变化，P 点不变化．（2）四边形ACBP 的面积不是定值，连接OA ，OB ，OP ，OP 交AB 于D ，由 AP BP=，OP 为半径，∴OP ⊥AB ，AB=BD=4，OA=5，∴由勾股定理得3==，∴DP=OP-OD=5-3=2，∴S △APB =1182822AB DP =⨯⨯= ，当PC 为直径时，交AB 于点D ，则CD=PC-PD=10-2=8，S △ABC 最大=11883222AB DC =⨯⨯= ，0<S △ABC ≤32，S 四边形ACBP =S △ABC +S △PAB =S △ABC +8，8<S 四边形ACBP ≤40，即8<S 四边形A′C′B′P′≤40．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形面积，勾股定理等内容，熟练掌握圆周角定理是解题关键．21．（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．【解析】试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析：(1)根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3650a c =-=.∴抛物线的表达式是23650y x =-+.(2)可设N (5,N y )，于是2356 4.550N y =-⨯+=.从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3)设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.22．（1）AE ；（2）AE ，证明见解析.【详解】解：（1）如图①中，∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB=DF ，∵AB=AC ，∴AC=DF ，∵DE=EC ，∴AE=EF ，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE ．（2）如图②中，连接EF ，DF 交BC 于K ．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE ，∵∠DKC=∠C ，∴DK=DC ，∵DF=AB=AC ，∴KF=AD ，在△EKF 和△EDA 中，{EK DKEKF ADE KF AD=∠=∠=，∴△EKF ≌△EDA ，∴EF=EA ，∠KEF=∠AED ，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE．23．（1）证明见详解；（2）36º或1807︒．【分析】(1)连接PC ，由 AP PC=得AOP COP ∠=∠，利用△AOP ≌△COP ，得出∠APO=∠CPO ，由OA=OP 得∠APO=∠OAP ，由∠PCB=∠OAP 得∠PCO=∠PCB 即可；（2）如图，△OCD 是等腰三角形①当OD=CD 时，连接BC ，OP ，设∠BOC=∠DCO=xº,∠BDC=∠BOC+∠DCO=2xº,由（1）知OP ∥BC ，∠POD=∠OBC ，易证△POD ≌ΔOBC ，BC=OD=CD ，∠OBC=∠OCB=∠CDB=2xº，∠BAC+∠OBC+∠OCB=180º即x+2x+2x=180；②当OC=CD 时由OP ∥BC ，∠OPC=∠DCB ，由OP=OC ，∠OCP=∠OPC=∠DCB ，设∠OCP=∠OPC=DCB=yº，∠OCB=∠OCD+∠DCB=2xº，∠OBC=∠OCB=2xº，∠ODC 是ΔCDB 的外角，得∠COD=∠ODC=3xº，由∠OCD+∠COD+∠ODC=180º即x+3x+3x=180．【详解】(1)连接PC ，∵ AP PC =，∴AOP COP ∠=∠，在△AOP 和△COP 中，,,,OP OP AOP COP OA OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOP ≌△COP ，∴∠APO=∠CPO ，∵OA=OP ，∴∠APO=∠OAP ，又∵∠PCB=∠OAP ，∴∠PCO=∠PCB ，∴OP ∥BC，（2）如图，△OCD 是等腰三角形，①当OD=CD 时，连接BC ，OP ，设∠BOC=∠DCO=xº,∠BDC=∠BOC+∠DCO=2xº,由（1）知OP ∥BC ，∴∠POD=∠OBC，∵OP=OC，∴∠OPD=∠OCD=BOC=xº，∴△POD≌ΔOBC，∴BC=OD=CD，∴∠OBC=∠OCB=∠CDB=2xº，∠BAC+∠OBC+∠OCB=180º，x+2x+2x=180，x=36，∠PAB=∠PCB=36º，②当OC=CD时由OP∥BC，∠OPC=∠DCB，OP=OC，∠OCP=∠OPC=DCB，设∠OCP=∠OPC=DCB=yº，∠OCB=∠OCD+∠DCB=2xº，∠OBC=∠OCB=2xº，∠ODC是ΔCDB的外角，∠ODC=∠DCB+∠DBC=3xº，∠COD=∠ODC=3xº，在ΔOCD中，∠OCD+∠COD+∠ODC=180º，x+3x+3x=180，x=1807，∴∠PAB=∠PCB=1807︒，综合∠PAO=36º或1807︒．【点睛】不本题考查园中平行与等腰三角形中角度问题，掌握圆心角、圆周角、弧的关系，会利用全等三角形证相关的结论，会证等腰三角形，利用内角与外角关系，求角的度数，本题是一道有关圆的综合应用题，作出恰当的辅助线是解答本题的关键．24．（1）1；（2）①m =2m或m =2﹣；②最大值为432，最小值为﹣12；（3）﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤54．【分析】（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将然后将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3求解即可；（2）二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+-，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x ≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3得：5a +3=8，解得：a =1．（2）二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩；①当m ＜0时，将B （m ，32）代入2142y x x =-+得213422m m -+=，解得：m=2+（舍去）或m =2当m ≥0时，将B （m ，32）代入2142y x x =-+-得：213422m m -+-=，解得：m=2+或m =2．综上所述：m =2m或m =2．②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+，抛物线的对称轴为x =2，此时y 随x 的增大而减小，∴此时y 的最大值为432．当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，抛物线的对称轴为x =2，当x =0有最小值，最小值为﹣12，当x =2时，有最大值，最大值y =72．综上所述，当﹣3≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值为432，最小值为﹣12；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x =2时，y =1，即﹣4+8+n =1，解得n =﹣3．如图2所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线24y x x n =-++与y 轴交点纵坐标为1，∴﹣n =1，解得：n =﹣1，∴当﹣3＜n ≤﹣1时，线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线24y x x n =-++经过点（0，1），∴n =1．如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线24y x x n =--经过点M （﹣12，1），∴14+2﹣n =1，解得：n =54，∴1＜n ≤54时，线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．。

初三数学期中试题及答案

初三数学期中试题及答案

初三数学期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 4x + 4 = 0的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = -12. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是多少？A. 4B. 2C. -4D. -23. 计算下列表达式的结果：(2x + 3)(2x - 3) = ?A. 4x^2 - 9B. 4x^2 + 9C. 4x^2 + 6x - 9D. 4x^2 - 6x + 94. 一个矩形的长是宽的两倍，如果宽是3厘米，那么矩形的周长是多少？A. 18厘米B. 12厘米C. 24厘米D. 30厘米5. 一个圆的半径是5厘米，那么这个圆的面积是多少？A. 78.5平方厘米B. 25π平方厘米C. 100π平方厘米D. 78.5π平方厘米6. 如果一个等腰三角形的底边长为6厘米，两腰长为5厘米，那么这个三角形的周长是多少？A. 16厘米B. 21厘米C. 26厘米D. 31厘米7. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 08. 下列哪个选项是不等式3x - 2 > 5的解？A. x > 3B. x > 7/3C. x < 3D. x < 7/39. 计算下列表达式的结果：(a + b)^2 = ?A. a^2 + b^2B. a^2 + 2ab + b^2C. a^2 - 2ab + b^2D. a^2 + ab + b^210. 如果一个数的立方根是2，那么这个数是多少？A. 8B. 2C. -8D. -2二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_________。

12. 一个数的倒数是2，那么这个数是_________。

13. 一个数的平方是9，那么这个数是_________或_________。

14. 一个数的立方是-27，那么这个数是_________。

2024年人教版初三数学下册期中考试卷(附答案)

2024年人教版初三数学下册期中考试卷(附答案)

2024年人教版初三数学下册期中考试卷(附答案)一、选择题：5道（每题1分，共5分）1. 下列哪个选项是勾股定理的正确表达？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 c^2 = b^22. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点是？A. P'(2,3)B. P'(2,3)C. P'(2,3)D. P'(2,3)3. 下列哪个选项是平行四边形的性质？A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分D. 对角线互相平行4. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^3 + bx^2 + cC. y = ax^2 + bx + dD. y = ax^3 + bx + d5. 下列哪个选项是圆的面积公式？A. A = πr^2B. A = 2πrC. A = πrD. A = 2πr^2二、判断题5道（每题1分，共5分）1. 一个等腰三角形的底角是60度，则顶角也是60度。

（）2. 一个数的平方根只有一个。

（）3. 任何两个圆都是相似的。

（）4. 两个相似的三角形，它们的对应边长之比相等。

（）5. 一个二次函数的图像是一个抛物线。

（）三、填空题5道（每题1分，共5分）1. 勾股定理中，斜边的长度是直角边的长度的平方和的平方根。

2. 在平面直角坐标系中，点P(x,y)关于y轴的对称点是P'( , )。

3. 平行四边形的对角线互相_________。

4. 二次函数的一般形式是y = ________。

5. 圆的面积公式是A = ________。

四、简答题5道（每题2分，共10分）1. 简述勾股定理的内容。

2. 简述平行四边形的性质。

3. 简述二次函数的一般形式。

4. 简述圆的面积公式。

5. 简述两个相似的三角形的性质。

五、应用题：5道（每题2分，共10分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，求斜边的长度。

2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．本试题共7页，满分150分，考试时间为120分钟．答卷前请考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题（共40分）一、选择题（本题共10小题，满分40分.在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，故选：A．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．2.如图，123l l l ∥∥，直线AC 、DF 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB ＝4，DE ＝3，EF ＝6，则AC 的长是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】D 【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理求出BC ，可得结论．【详解】解：∵123l l l ∥∥，∴=AB DE BC EF ，∴436BC ，∴BC＝8，∴AC＝AB+BC ＝4+8＝12，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线段成比例，解决本题的关键是掌握平行线段成比例的性质．3. 随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．A.14B. 12C.34D. 1【答案】A 【解析】【分析】首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．【详解】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，可能的结果有：正正，正反，反正，反反，∴两次正面都朝上的概率是14．故选：A ．【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x ，则所列方程正确的是（ ）A. ()216123x += B. ()223116x -=C. ()22323116x --= D. ()2231216x -=【答案】B 【解析】【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x ，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程．【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x ，由题意可得()223116x -=，故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．5. 关于x 的一元二次方程220x kx -+=有实数根，则k 可能是（ ）A. 3- B. 2- C. 1D.32【答案】A 【解析】【分析】先根据根的判别式的意义28k ≥，然后分别把3k =-、2-、1、32代入进行计算，如果满足28k ≥就符合题意．【详解】解：根据题意得△2()420k =--⨯≥，即28k ≥，只有3k =-满足28k ≥，而2k =-、1、32都不满足28k ≥．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6.已知点()()()1232,,1,,1,A y B y C y --均在反比例函数3y x=的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A. 123y y y << B. 213y y y <<C. 312y y y << D. 321y y y <<【答案】B 【解析】【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．详解】解：∵30k =>，∴图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵2101-<-<<，∴2130y y y <<<．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数ky x=(k 是常数，0k ≠)的图象是双曲线，当0k >，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大．7. 设x 1，x 2是方程x 2＋5x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2的值为( )A. 5 B. －5C. 3D. －3【答案】B 【解析】【详解】试题解析：试题解析：由韦达定理可得：【12 5.bx x a+=-=-故选B.点睛：一元二次方程根与系数的关系：1212,.b cx x x x a a+=-⋅=8. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，则它的宽为（ ）A. ()7cm + B. (21cm -C. ()21cm - D. ()7cm-【答案】D 【解析】【分析】根据黄金比例求解即可．【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm ，∴它的宽()147cm ==-，故选：D ．是解题的关键．9.如图，B 、C 两点分别在函数5(0)y x x=> 和1y x=-（0x <）的图象上，线段BC y ⊥轴，点A 在x 轴上，则ABC 的面积为（ ）A. 9B. 6C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】本题考查了反比例函数k 的意义，三角形等积求解；连接OB 、OC ，由等底同高的三角形面积相等得ABC OBC S S =△△，再由反比例函数k 的意义得111522OBC S =⨯-+⨯ ，即可求解；理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，连接此点与坐标原点，所围成的三角形面积为12k ．”是解题的关键．【详解】解：如图，连接OB 、OC ，BC y ⊥轴，BC x \∥轴，ABC OBC S S ∴= ，111522OBC S =⨯-+⨯ 3=，3ABC S ∴= ；故选：C ．10.如图，将正方形纸片ABCD 沿PQ 折叠，使点C 的对称点E 落在边AB 上，点D 的对称点为点F ，EF 为交AD 于点G ，连接CG 交PQ 于点H ，连接CE ．下列四个结论中：①PBE QFG △∽△；②CEG CBE CDQH S S S =+ 四边形；③EC 平分BEG ∠；④22EG CH GQ GD -=⋅，正确的是（ ）A. ①③B. ①③④C. ①④D.①②③④【答案】B 【解析】【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C 作CM EG ⊥于M ，通过证明BEC MEC ≅ ，进而说明CMG CDG ≅ ，可得CEG BEC CDG BEC CDQH S S S S S =++ 四边形＞，可得②不正确；③由折叠可得：GEC DCE ∠=∠，由AB CD ∥可得BEC DCE ∠=∠，结论③成立；④连接DH MH HE ，，，由BEC MEC ≌，CMG CDG ≌可知：BCE MCE ∠=∠，MCG DCG ∠=∠，所以1452ECG ECM GCM BCD ∠=∠+∠=∠=︒，由于EC HP ⊥，则45CHP ∠=︒，由折叠可得：45EHP CHP ∠=∠=︒，则EH CG ⊥；利用勾股定理可得222EG EH GH -=；由CM EG EH CG ⊥⊥，，得到90EMC EHC ∠=∠=︒，所以E ，M ，H ，C 四点共圆，所以45HMC HEC ∠=∠=︒，通过CMH CDH ≌，可得45CDH CMH ∠=∠=︒，这样，45GDH ∠=︒，因为45GHQ CHP ∠=∠=︒，易证GHQ GDH ∽，则得2GH GQ GD =⋅，从而说明④成立．【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴90A B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒．由折叠可知：9090GEP BCD F D ∠=∠=︒∠=∠=︒，． ∴90BEP AEG ∠+∠=︒，∵90A ∠=︒，∴90AEG AGE ∠+∠=︒，∴BEP AGE ∠=∠．∵FGQ AGE ∠=∠，∴BEP FGQ ∠=∠．∵90B F ∠=∠=︒，∴PBE QFG △△．故①正确；②过点C 作CM EG ⊥于M ，由折叠可得：GEC DCE ∠=∠，∵AB CD ∥，∴BEC DCE ∠=∠，∴BEC GEC ∠=∠，在BEC 和MEC 中，==90==B EMC BEC GEC CE CE ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()AAS BEC MEC ≌∴BEC MEC CB CM S S == ，．∵CG CG =，∴CMG CDG ≌R t R t ，∴CMG CDG S S = ，∴CEG BEC CDG BEC CDQH S S S S S =+>+ 四边形，∴②不正确；③由折叠可得：GEC DCE ∠=∠，∵AB CD ∥，∴BEC DCE ∠=∠，∴BEC GEC ∠=∠，即EC 平分BEG ∠．∴③正确；④连接DH MH HE ，，，如图，∵BEC MEC CMG CDG ≌≌，，∴BCE MCE MCG DCG ∠=∠∠=∠，，∴1452ECG ECM GCM BCD ∠=∠+∠=∠=︒，∵EC HP ⊥，∴45CHP ∠=︒．∴45GHQ CHP ∠=∠=︒．由折叠可得：45EHP CHP ∠=∠=︒，∴EH CG ⊥．∴222EG EH GH -=．由折叠可知：EH CH =．∴222EG CH GH -=．∵CM EG EH CG ⊥⊥，，∴90EMC EHC ∠=∠=︒，∴E M H C ，，，四点共圆，∴45HMC HEC ∠=∠=︒．在CMH 和CDH △中，===CM CD MCG DCG CH CH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴CMH CDH ≌．∴45CDH CMH ∠=∠=︒，∵90CDA ∠=︒，∴45GDH ∠=︒，∵45GHQ CHP ∠=∠=︒，∴45GHQ GDH ∠=∠=︒．∵HGQ DGH ∠=∠，∴GHQ GDH ∽，∴GQ GHGH GD=，∴2GH GQ GD =⋅，∴22GE CH GQ GD -=⋅．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，四点共圆，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．第II 卷 非选择题 （共110分）二、填空题（本题共6小题，满分24分）11. 若23x y =，则x y y +的值为______．【答案】53【解析】【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到23x y =，然后代入约分是解题的关键．【详解】解：∵23x y =，∴23x y =，∴2533y yx y y y ++==，故答案为：53．12. 已知2x =是一元二次方程280x mx +-=的一个根，则方程的另一个根是______．【答案】4x =-【解析】【分析】将2x =代入280x mx +-=，解得2m =，即得出原一元二次方程为2280x x +-=，再根据因式分解法解方程即得出方程的另一个根．【详解】将2x =代入280x mx +-=，得：22280m +-=，解得：2m =，∴原一元二次方程为2280x x +-=，(2)(4)0x x -+=，解得：1224x x ==-，，∴方程的另一个根是4x =-．故答案为：4x =-．【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．13.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________．【答案】5【解析】【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．【详解】解：由题意可得，20×0.25＝5（个），即袋子中红球的个数最有可能是5个，故答案是：5．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率公式计算出红球的个数．14.如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D 端被向上撬起的距离8cm BD =，动力臂OA 与阻力臂OB 满足3OA OB =（AB 与CD 相交于点O ），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C 点向下压_____cm ．【答案】24【解析】【分析】本题考查了三角形相似判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得AOC BOD ∽，由三角形相似的性质得OA AC OB BD=，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．【详解】解：90A D ∠=∠=︒，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴△∽△，OA AC OB BD∴=，38AC ∴=，解得：24AC =，故答案：24．15.如图，是一个长为30m ，宽为20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m 2，那么小道进出口的宽度应为 ___m ．【答案】2【解析】【分析】设小道进出口的宽度应为xm ，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m ，宽为（20﹣x ）m 的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小道进出口的宽度应为xm ，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m ，宽为（20的﹣x）m 的矩形，依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，整理得：x 2﹣35x+300＝0，解得：x 1＝2，x 2＝35．当x ＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；当x ＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于找到等量关系列出方程.16. 如图，矩形ABCD 中，48AD AB ==，，EF AC ，交AB CD 、于E 、F ，则AF CE +的最小值是_____．【答案】10【解析】【分析】因AF 与EC 两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作∥CG EF ，且CG EF =，连接AG ，又因点F 在DC 上是一动点，由边与边关系AF FG AG +≥，只有当点F 在直线AG 上时AF FG +的和最小，由平行四边形CEFF 可知FG EC =时可求AF CE +的最小值．【详解】解：设DF x =，则8FC x =-；过点C 作∥CG EF ，且CG EF =连接FG ，当点A 、F 、G 三点共线时，AF FG +的最值小；如图：,CG EF CG EF = ∥，∴四边形CEFG 是平行四边形：,EC FG EC FG ∴=∥，∵点A 、F 、G 三点共线，AF EC ∴∥．∵四边形ABCD 是矩形．,90,AE DC D ∴∠=︒∥∴四边形AECF 是平行四边形．,,OA OC OE OF ∴==又,EF AC ⊥ 8,AF CF x ==-在Rt ADF 中，由勾股定理得：222,AD DF AF +=2224(8),x x ∴+=-解得∶3x =，835AF CF ∴==-=在Rt ADC 中，由勾股定理得：222,AD DC AC +=4,8,AD DC AB ===AC ∴=AO ∴=又,OF CG ∥,AOF ACG ∴△∽△,AO AF AC AG∴=10,AG ∴=又,,AG AF FG FG EC =+=10,AF EC ∴+=故答案为：10．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求AG 的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小．三．解答题（共10小题，共86分）17. 解方程： x 2﹣2x﹣3＝0．【答案】x 1＝﹣1，x 2＝3【解析】【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x 2﹣2x﹣3＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，x+1=0或x﹣3＝0，x 1＝﹣1，x 2＝3．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．18.如图，//AB CD ，AD 、BC 相交于点O ，若2OA =，4OD =，3AB =．求CD 的长度．【答案】6【解析】【分析】由AB∥CD得到∠A=∠D，∠B=∠C，根据相似三角形的判定方法得到△OAB∽△ODC ，然后利用相似比可计算出CD ．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△OAB∽△ODC，∴AB OA CD OD =，即324CD =，∴CD=6.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．19. 如图，平面直角坐标系中，ABC 三个顶点坐标分别为()2,1A - ，()1,4B -，()3,2C -．（1）画出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C ∆，并直接写出1C 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，位似比为12∶，在y 轴的左侧，画出ABC 放大后的图形222ΔA B C ，并直接写出2C 点坐标；【答案】（1）作图见解析，点1C 的坐标为()3,2；（2）作图见解析，点2C 的坐标为()6,4-．【解析】【分析】（1）根据关于对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到对称点1A 的坐标为()2,1，点1B 的坐标为()1,4，点1C 的坐标为()3,2，顺次连接点111A B C 、、，得到111A B C △，111A B C △即为所求；（2）根据位似图形的性质，分别找到点222A B C 、、的位置，顺次连接222A B C 、、，得到222A B C △，222A B C △即为所求，由图可得到点2C 的坐标；本题考查了作轴对称图形和位似图形，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键．【小问1详解】解：如图，111A B C △即为所求，由图可得点1C 的坐标为()3,2．【小问2详解】解：如图，222A B C △即为所求，由图可得，点2C 坐标为()6,4-．20.某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价．【答案】每个台灯的售价为37元．【解析】【分析】根据已知条件列出一元二次方程求解即可；【详解】解：方法一：设每个台灯的售价为x 元．根据题意，得（x-30）[（40-x ）×200+600]=8400，的解得x1=36（舍），x2=37．当x=36时，（40-36）×200+600=1400＞1210；当x=37时，（40-37）×200+600=1200＜1210；答：每个台灯的售价为37元．方法二：设每个台灯降价x元．根据题意，得（40-x-30）（200x+600）=8400，解得x1=3，x2=4（舍）．当x=3时，40-3=37，（40-37）×200+600=1200＜1210；当x=4时，40-3=36，（40-36）×200+600=1400＞1210；答：每个台灯的售价为37元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．21.小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．【答案】(1)见解析 (2) 8m【解析】【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．【详解】（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；（2）∵AF∥CE，∴∠AFB=∠CED，而∠ABF=∠CDE=90°，∴△ABF∽△CDE，∴AB BF CD DE =， 即 1.620.4AB ， ∴AB=8（m ）,答：旗杆AB 的高为8m ．22. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：项目主题：测量旗杆高度问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：方案一方案二…测量工具标杆，皮尺自制直角三角板硬纸板，皮尺…测量示意图说明：线段AB 表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离1.7m CD ＝，测点F 与B ，D 在同一水平直线上，D ，F ，B 之间的距离都可以直接测得，且A ，B ，C ，D ，E ，F 都在同一竖直平面内，点A ，C ，E 三点在同一直线上．说明：线段AB 表示旗杆，小明的身高 1.7m CD ＝，测点D 与B 在同一水平直线上，D ，B 之间的距离可以直接测得，且A ，B，C ，D ，E ，F ，G 都在同一竖直平面内，点A ，C ，E 三点在同一直线上，点C ，F ，G 三点在同一直线上．B ，D 之间的距离16.8m B ，D 之间的距离16.8m …D ，F 之间的距离 1.35m EF 的长度0.50m …测量数据EF 的长度 2.60m CE 的长度0.75m ………根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB 的高度．（结果精确到0.1m ）．【答案】学校旗杆AB 的高度为12.9m【解析】【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应边成比例．方案一中过C 作CH BD ∥交EF 于Q ，交AB 于H ，构造矩形CDFQ 和矩形CDBH ，易得CEQ CAH ∽，再根据对应边成比例即可求解；方案二中易得CEF CGA △∽△，根据对应边成比例即可求解．【详解】解：方案一：过C 作CH BD ∥交EF 于Q ，交AB 于H ，则四边形CDFQ ，四边形CDBH 都是矩形，1.35m CQ DF ∴==，16.8m CH BD ==，EQ AH ，CEQ A ∴∠=∠，ACH ECQ ∠=∠ ，CEQ CAH ∴∽△△，CQ EQ CH AH∴=，即：1.35 2.6 1.716.8 1.7AB -=-，解得：12.9m AB =．方案二：（1）ACG ACG ∠=∠ ，90CGA CEF ∠=∠=︒，CEF CGA ∴∽△△，CE EF CG GA∴=，即：0.750.516.8 1.7AB =-，解得：12.9m AB =．23. 如图，在ABC 和DEC 中，BCE ACD ∠=∠，B CED ∠=∠．（1）求证：ABC DEC ∽△△；（2）若:9:16ABC DEC S S =△△，12BC =，求EC 的长．【答案】（1）见解析 （2）16EC =【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．（1）先根据BCE ACD ∠=∠得到ACB DCE ∠=∠，再根据B CED ∠=∠即可证明ABC DEC ∽△△；（2）根据ABC DEC ∽△△得到29=16ABC DEC S BC S EC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，进而得到34BC EC =，根据12BC =，即可求出16EC =．【小问1详解】解：∵BCE ACD ∠=∠，∴BCE ACE ACD ACE Ð+Ð=Ð+Ð，即ACB DCE ∠=∠，∵B CED ∠=∠，∴ABC DEC ∽△△；【小问2详解】解：∵ABC DEC ∽△△，∴29=16ABC DEC S BC S EC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∴34BC EC =，∵12BC =，∴1234EC =，∴16EC =．24.菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．（1）请根据统计图将下面的信息补充完整：①参加问卷调查的学生共有________人；②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________．（2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？（3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．【答案】（1）①240，②36（2）600 （3）1 6【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，用样本估计总体等等．（1）用最喜欢B的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用360度乘以最喜欢D的人数占比即可求出扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小；（2）先求出样本中最喜欢A的人数，进而求出样本中最喜欢C的人数，再用2000乘以样本中最喜欢C的人数占比即可得到答案；（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好甲和丁同学被选到的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可．【小问1详解】解：8435%240÷=人，∴参加问卷调查的学生人数是240人，∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为2436036240︒⨯=︒，故答案为：240，36；【小问2详解】解：24025%60⨯=人，∴样本中最喜欢A 课程的人数为60人，∴样本中最喜欢C 课程的人数为24060842472---=人，∴估计该校全体学生中最喜欢C 课程的学生有722000600240⨯=人；【小问3详解】解：用A 、B 、C 、D 表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下：A B C DA （B ，A ）（C ，A ）（D ，A ）B （A ，B ）（C ，B ）（D ，B ）C （A ，C ）（B ，C ）（D ，C ）D （A ，D ）（B ，D ）（C ，D ）由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种，∴恰好甲和丁同学被选到的概率为21126=．25.如图，在ABC 中，60m AC =，40m BC =，点A 开始沿AC 边向点C 以2m/s 的速度匀速移动（运动到C 即停止），同时另一点Q 由C 点开始以3m/s 的速度沿着CB 匀速移动（运动到B 即停止），设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，PC CQ =？（2）当t 为何值时，50m PQ =？（3）几秒后，PCQ △与ABC 相似？求出t 的值．【答案】（1）当=12t 时，PC CQ =（2）当110t =，2t =11013 时，50m PQ = （3）当时间为12013秒时，PCQ △与ABC 相似【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质：（1）用t 表示出线段PC 和CQ 建立方程，解答即可；（2）根据勾股定理可得PQ 关于t 的方程，解答即可；（3）设x 秒后，PCQ △与ABC 相似，根据题意设出AP PC CQ ，，，分两种情况考虑：当CPQ A ∠=∠，90C C ∠=∠=︒时，CPQ CAB ∽ ；当CPQ B ∠=∠，90C C ∠=∠=︒时，CPQ CBA ∽△△；分别由相似得比例，求出x 的值，即可得到结果．【小问1详解】解：根据题意得，()602m 3 m PC t CQ t =-，=，6023t t -=，解得12t =，当12t =时，PC CQ =；【小问2详解】解：()602m 3 m PC t CQ t =-，=，在Rt PCQ △中，()()222222602350PQ PC QC t t =+=-+=，解得1210t t ==，11013，当1210t t ==，11013时，50m PQ =；【小问3详解】解：t 秒后，PCQ △与ABC 相似，根据题意得：2tm AP =，()602m 3 m PC t CQ t =-，=，分两种情况考虑：当90CPQ A C C ∠=∠∠=∠=︒，时，CPQ CAB ∽ ，此时有CP CQ CA CB =，即60236040t t -=，解得：12013t =，当90CPQ B C C ∠=∠∠=∠=︒，时，CPQ CBA ∽△△，此时CP CQ CB CA =，即60234060t t -=，解得：15t =，∵当15t =时，15345m 40m ⨯=>，应舍去，∴12013秒时，PCQ △与ABC 相似．26. 如图1，点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC ⊥于E ，GF CD ⊥于F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AG BE=___________；（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（045α︒<<︒），如图2，试探究线段AG 与BE 之间数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B 、E 、F 三点在一条直线上时，如图3，延长CG 交AD 于点H ，若3AG =，GH =，求BC 的长．【答案】（1（2）AG =，理由见解析 （3【解析】【分析】(1)①由GE BC ⊥，GF CD ⊥，结合90BCD ∠=︒可得四边形CEGF 是矩形，再由45ECG ∠=︒，即可得证；②由正方形性质知90CEG B ∠=∠=︒、45ECG ∠=︒，据此可得CG CE=，GE AB ∥，利用平行线分线段成比例定理可得；(2)连接CG ，只需证ACG BCE △△∽即可得；(3)证AHG CHA ∽ 得AG GH AH AC AH CH==，设BC CD AD a ===，知AC =，由AG GH AC AH =得23AH a =、13DH a =、CH =，由AG AH AC CH =可得a 的值，即可求得BC 的值．【小问1详解】①证明∵四边形ABCD 是正方形，90BCD ∴∠=︒，45BCA ∠=︒，GE BC ⊥ ，GF CD ⊥，90CEG CFG ECF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形CEGF 是矩形，45CGE ECG ∠=∠=︒，EG EC ∴=，∴四边形CEGF 是正方形；的②解：AG BE=理由如下：由①知四边形CEGF 正方形，90CEG B ∴∠=∠=︒，45ECG ∠=︒，CG CE∴=GE AB ∥，AG CG BE CE ∴==；【小问2详解】解：AG =，理由如下：如图，连接GC ，∵四边形ABCD 是正方形，四边形CEGF是正方形，AC C ∴=，GC =，45ACB GCE ∠=∠=︒，BCE ACG ∴∠=∠，AC GC BC CE==，AGC BEC ∴∽，AG AC BE BC∴==，AG ∴=；【小问3详解】解：45CEF ∠=︒ ，点B 、E 、F 三点共线，135BEC ∴∠=︒，ACG BCE ∽ ，是135AGC BEC ∴∠=∠=︒，45AGH CAH ∴∠=∠=︒，CHA AHG ∠=∠ ，AHG CHA ∴∽ ，AG GH AH AC AH CH∴==，设BC CD AD a ===，则AC =，则由AG GH AC AH ==，23AH a ∴=，则13DH AD AH a =-=，CH ===，∴由AG AH AC CH ==，解得：a =，即BC =【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．。

2023-2024学年第一学期期中质量检测数学试题及答案

2023-2024学年第一学期期中质量检测数学试题及答案

注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷）数学3、考试结束后，只收回答题卡.第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是A．B．02342=++xx 0122=--y x C．D．0122=++x ax ()024=-x x 2．如图，将含有30°角的三角尺ABC （∠BAC =30°），以点A 中心，顺时针方向旋转，使得点C ，A ，B ′在同一直线上，则旋转角的大小是A．30°B．60°C．120°D．150°3．方程的两个实数根是x x =2A．x 1=x 2=1B．x 1=1，x 2=-1C．x 1=0，x 2=1D．x 1=0，x 2=-14．将关于x 的方程配方成的形式，则的值是0862=+-x x ()p x =-23p A．1B．28C．17D．445．如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，则k 的取值范围是032=+-k x x A．k≥B．k≤C．k＞D．k＜49494949C′B′CB A6．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单()2122---=x y 位，则所得到的二次函数的解析式是A．B．()1322---=x y ()1122-+-=x y C．D．()3122-+-=x y ()3322---=x y 7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA 病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类和人．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x 只动物，则下面所列方程正确的是A．3x（x+1）=363B．3+3x+3x ²=363C．3（1+x）²=363D．3+3（1+x）+3（1+x）²=3638．已知二次函数（c 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），c x x y +-=42则关于x 的一元二次方程的两个实数根是042=+-c x x A．x 1=1，x 2=-1B．x 1=-1，x 2=2C．x 1=-1，x 2=0D．x 1=1，x 2=39．二次函数的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：c bx ax y ++=2则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A．开口方向向上B．当x＞-2时，y 随x 增大而增大C．函数图象与x 轴没有交点D．函数有最小值是-210．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图bx ax y +=2a bx y +=象可能是x …-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图，在⊙O 中，AC =BC ，半径OC 与AB 交于点D ，若AB =8cm，OB =5cm，则CD =▲cm.13．已知点A （4，y 1）和点B （-1，y 212．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会隆重开幕，北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家.下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成.对于图片中的“雪花图案”，至少旋转▲°能与原雪花图案重合.）是二次函数（m 为常数）()m x y +-=21-215．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若四边形EFGH 是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD 的图象上两点，则y 1和y 2的大小关系是▲.14．2021年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2023年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网.若设2021年到2023年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为▲.的面积的最大值是▲.HG FED CBA⌒⌒三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解方程（每小题5分，共10分）（1）()910-=+x x （2）()12832+=+x x x 17．（本小题5分）如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于点G .求证：EF =FG .18．（本小题8分）在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （5，4），B （1，3），C （3，1）.点P （a，b）是△ABC 内的一点.（1）以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1，C 1的坐标：A 1▲，B 1▲，C 1▲.注：点A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1分别是对应点.（2）点P 的对应点P 1的坐标是▲；（3）若以点O 为中心，把△ABC 逆时针旋转则点P 的对应点P 2的坐标是▲，点P 1与点P2关于▲对称.（填写“x 轴、y 轴或原点”）⌒⌒19．（本小题8分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：一元二次方程在几何作图中的应用如图1，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4.求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.因为矩形ABCD 的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24.若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14-x.所以，得x（14-x）=24.解得x 1=2，x 2=12.当x=2时，14-x=12；当x=12时，14-x=2.所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12.如图2，在边AB 的延长线取点G ，使得AG =4AB .在AD 上取AE =AD .21以AG 和AE 为邻边作出矩形AGFE .则矩形AGFE 的周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.学习任务：（1）在作出矩形AGFE 的过程中，主要体现的数学思想是▲；（填出序号即可）A.转化思想B.数形结合思想C.分类讨论思想D.归纳思想（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的？21若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由.图1 图2GFEDCBA D CB A20．（本小题9分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA =60米，在水面的跨度BC =80米，桥面距水面的垂直距离OE =7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？21．（本小题10分）下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：“，”现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？解：设….根据题意，所列出方程：.()6080402300-20=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+x x …根据小明所列方程，完成下列任务：（1）填空：数学问题中“”处短缺的条件是▲，小明所列方程中未知数x 的实际意义是▲.（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题.图1图222．（本小题12分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边CD 上一点，将△ADE 以点A 为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF ，连接EF ．过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．试猜想FG 与GE 的数量关系，并证明.（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG ，他们认为DG 平分∠ADC ．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；（3）问题解决：在图2中，若AD +DE =28，则四边形AGED 的面积为▲.（直接写出答案即可）图1 图2AB CDEFGGFEDCBA23．（本小题13分）综合与探究已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 32-2-=x x y 轴交于点C ，点D 是y 轴右侧抛物线上一个动点.（1）求出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图1，当点D 在第四象限时，求出△BCD 面积的最大值，并求出这时点D 坐标；（3）当∠DAB =∠ABC 时，求出点D的坐标.图1 备用图一、选择题：1—10：DDCAB BCDCC二、填空题：11.2；12.60°；13.y 1＜y 2；14.2.9（1+x）²=3.8；15.50.三、解答题：16.解：（1）x 1=-1，x 22023～2024学年第一学期九年级期中质量监测试题数学参考答案=-9；…………………………………………………………5分（2）x 1=，x 2=4.…………………………………………………………………5分23-注：阅卷组自行制定评分细则17.证明：∵AB=AE，∴∠B=∠AEB.……………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，……………………………………………………………………2分∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，……………………………………………………………………3分∴∠GAF=∠FAE，…………………………………………………………………4分∴EF=FG.……………………………………………………………………5分18.解：（1）画图略，画图正确.………………………………………………2分A 1（4，-5），B 1（3，-1），C 1（1，-3）.………………………………………5分（2）（b,-a）.……………………………………………………………………6分（3）（-b,a），原点.………………………………………………………………8分19.解：（1）B；…………………………………………………………………2分（2）不存在.……………………………………………………………………3分理由如下：若存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的，21则所求的矩形周长为7，面积为6.………………………………………………4分设所求的矩形一边长为x，则与其相邻的另一边的长为-x.………………5分27所以，得x（-x）=6.……………………………………………………………6分27整理，得2x ²-7x+12=0.…………………………………………………………7分因为△=（-7）²-4×2×12=49-96＜0.所以该方程无解.…………………………………………………………8分所以，不存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的……9分21⌒⌒20.解：（1）设桥拱所在抛物线的函数关系表达式为y=ax ²+bx.………………1分∵OA=60，∴A 点坐标为（60，0）.∵BC=80，根据对称性可知，点C 坐标为（70，-7）.…………………………2分把A（60，0），B（70，-7）代入y=ax ²+bx，得………3分⎩⎨⎧-=+=+77049000603600b a b a 解得………………………………………………………………4分⎪⎩⎪⎨⎧=-=531001b a ∴桥拱所在抛物线的函数关系表达式是.………………5分x x y 5310012+-=（2）∵x x y 5310012+-=……………………………………………………7分().93010012+--=x ∴该函数的顶点为（30，9）.……………………………………………………8分∵9+7=16.∴桥拱最高点到水面的距离是16米.…………………………………………9分21.解：（1）每件商品的售价每降价2元，每个星期的销售量可增加40件；每件商品的售价降了x 元.………………………………………………………………2分（2）设每件商品的定价为x 元，根据题意可列方程…………………………3分.………………………………………6分()60804026030040=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-x x 整理，得x ²-115x+3304=0.……………………………………………………7分解得x 1=59，x 2=56.……………………………………………………………8分为了让每位顾客得到更大的实惠，所以x=59舍去.…………………………9分答：每件商品的定价为56元，每个星期的利润能达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠.…………………………………………………………………10分22.（1）FG=EG.………………………………………………………………1分证明：∵△ABF 是由△ADE 顺时针方向旋转90°得到的，∴△ABF≌△ADE，………………………………………………………………2分∴AF=AE.………………………………………………………………3分∵AG⊥EF，∴FG=EG.………………………………4分（2）连接CG.……………………………5分∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD，∠FCE=90°.……………………6分由（1）可知，FG=EG，∴CG=EF.………………………………7分21∵∠EAF=90°，∴AG=EF.………………………………8分21∴AG=CG.∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，………………………………………………………………9分∴∠ADG=∠CDG，即DG 平分∠ADC.…………………………………………10分（3）196………………………………………………………………………12分23.解：（1）当y=0时，.032-2=-x x 解得x 1=-1，x 2=3.∴点A（-1，0），B（3，0）.……………………………………………………2分当x=0时，y=-3，∴点C（0，-3）……………………………………………………………………3分（2）如图，过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E，并且交直线BC 于点F.过点C 作CH⊥DE，垂足为H.……………………4分设BC 的解析式为y=kx+b.把点B（3，0），点C（0，-3）代入，得，⎩⎨⎧-==+33b b k 解得k=1，b=-3.∴直线BC 的解析式为y=x-3.……………………5分设点D（m，m ²-2m-3），则点F（m，m-3）.则DF=m-3-（m ²-2m-3）=-m ²+3m.……………6分∵S △BCD =S △CDF +S △BDF =×DF×CH+×DF×BE=×DF（CH+BE）=21212121ACDEFG∴S △BCD =（-m ²+3m）×3=-m ²+m.………………………………7分212329=-（m-）²+.（0＜m＜3）…………………………………………8分2323827∵-＜0，∴当m=时，S △BCD 有最大值，S △BCD 的最大值为.………9分2123827（3）∵点B（3，0），点C（0，-3）.∴OB=OC.∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°.设点D（m，m ²-2m-3）.如图，当点D 在x 轴下方时，过点D 作DP⊥OB，垂足为P.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠APD=90°.∴∠PDA=∠PAD，∴PA=PD.∴m-（-1）=-（m ²-2m-3）.……………………10分解得m=2或m=-1（舍去）.当m=2时，m ²-2m-3=-3.∴点D 坐标为（2，-3）.…………………………11分如图，当点D 在x 轴上方时，过点D 作DQ⊥OB，垂足为Q.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠AQD=90°.∴∠QDA=∠QAD，∴QA=QD.∴m-（-1）=m ²-2m-3.…………………………………………………………12分解得m=4或m=-1（舍去）.当m=4时，m ²-2m-3=5.∴点D 坐标为（4，5）.∴当∠DAB=∠ABC 时，点D（2，-3）或（4，5） (13)分。

2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案(1)

2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案(1)

2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案考试时间120分钟 满分150分第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）A.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查俯视图，根据俯视图定义直接判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，的俯视图是A 选项图形，故选：A ．2. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果4AC =，3BC =，那么A 的正切值为（）A.34B.43C.35D.45【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数定义即可得出结果．的【详解】解：∵4AC =，3BC =，∴3tan 4BC A AC ==，故选：A ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若:2:3AB BC =，4DE =，则EF 为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得AB DEBC EF=，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键．【详解】解： 两条直线被三条平行线所截，AB DEBC EF∴=，:2:3AB BC = ，4DE =，243EF∴=，6EF ∴=，故选：B ．4. 如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB 长2m ，它的影长BC 为1m ，旗杆DE 的影长EF 为6m ，则旗杆DE 的高度为（ ）A. 9mB. 10mC. 11mD. 12m【答案】D 【解析】【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，根据“同一时刻物高与影长成正比”列式计算即可，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．【详解】解： 同一时刻物高与影长成正比，DE ABEF BC∴=， 木杆AB 长2m ，它的影长BC 为1m ，旗杆DE 的影长EF 为6m ，261DE ∴=，12m DE ∴=，故选：D ．5. 已知点()12A y -，，()22B y ，，()34C y ，都在反比例函数8y x=的图象上，则123y y y ，，的大小关系为（ ）A. 123y y y << B. 132y y y << C. 321y y y << D.231y y y <<【答案】B 【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先分别求出123y y y ，，的值，再进行比较即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．【详解】解： 点()12A y -，，()22B y ，，()34C y ，都在反比例函数8y x=的图象上，1842y ∴==--，2842y ==，3824y ==，424>>- ，132y y y ∴<<，故选：B ．6.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）A.49B. 12C.59D.23【答案】C 【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，∴两次摸到相同颜色的棋子的概率59=，故选：C ．7. 一次函数y ax a =-+与反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数图象所在象限可以判定a 的符号，根据a 的符号来确定直线所经过的象限，逐项判断即可，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象是解此题的关键．【详解】解：A 、双曲线经过第一、三象限，则0a >，则一次函数y ax a =-+应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；B 、双曲线经过第一、三象限，则0a >，则一次函数y ax a =-+应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；C 、双曲线经过第二、四象限，则a<0，则一次函数y ax a =-+应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；D 、双曲线经过第二、四象限，则a<0，则一次函数y ax a =-+应该经过第一、三、四象限，故本选项符合题意；故选：D ．8.如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点O M ，，N 都在格点上，点P Q ，在格线上，则点P 与点Q 之间的距离为（ ）A. 5 C.92D.143【答案】D 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作AB PQ ⊥交PQ 于点B ，交MN 于A ，由图可得：3OA =，7OB =，2MN =，MN PQ ∥，则OMN OPQ ∽，从而得到OA MNOB PQ=，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：如图，作AB PQ ⊥交PQ 于点B ，交MN 于A ，，由图可得：3OA =，7OB =，2MN =，MN PQ ∥，OMN OPQ ∴ ∽，OA MN OB PQ ∴=，即327PQ=，143PQ ∴=，故选：D ．9. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC =，点D 为边AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠，点B 恰好落在边AB 上的点E 处．若3AE =，则BD 为（ ）B. 1 D.43【答案】B 【解析】【分析】根据翻折的性质可得BD DE =，90∠=∠=︒CDE CDB ，设BD x =，则2BE x =，32AB x =+，利用锐角三角函数即可求解，此题考查了翻折的性质、锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：由翻折的性质可得BD DE =，90∠=∠=︒CDE CDB ，设BD x =，则2BE x =，32AB x =+，∴cos BD BCB BC AB==，=，解得1x =或52x =-（舍去），∴1BD =，故选：B10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点()11P x y ，，当点()22Q x y ，满足()12122x x y y +=+时，称点()22Q x y ，是点()11P x y ，的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数4y x=图象上的点A 与点B 都是点()110P ，的“倍增点”，连接OA ，OB AB ，，则OAB 的面积为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据反比例函数4y x=图象上的点A 与点B 都是点()110P ，的“倍增点”，求出A 、B 的坐标，从而得到直线AB 的解析式，得到点C 的坐标，根据AOB AOC BOC S S S =+△△△进行计算即可得出答案，求出A 、B 的坐标是解此题的关键．【详解】解：如图，，反比例函数4y x=图象上的点A 与点B 都是点()110P ，的“倍增点”，()4210x x∴+=+，整理得：220x x +-=，解得：12x =-，21x =，当2x =-时，422y ==--，当1x =时，441y ==，()22A ∴--，，()14B ，，设直线AB 解析式为y kx b =+，将()22A --，，()14B ，代入解析式得：224k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为22y x =+，当0x =时，2y =，()02C ，∴，2OC ∴=，112221322AOB AOC BOC S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△△，故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11. 已知点 M（1，2）在反比例函数kyx=的图象上，则 k＝____．【答案】2【解析】【分析】把点M（1，2）代入反比例函数kyx=中求出k的值即可．【详解】解：把点M（1，2）代入得：k=xy=1×2=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．12. 已知23a cb d==，若b+d≠0，则a cb d++＝_____．【答案】2 3【解析】【分析】分别设a=2m，c=2n，根据23a cb d==可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.【详解】设a=2m，c=2n，∵23a cb d==，∴b=3m，d=3n，∴a cb d++=2m2n3m3n++=23，故答案为：2 3【点睛】本题考查等比性质的应用，若a ckb d==，则a cb d++=k，熟练掌握等比性质是解题关键.13.为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞20条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞500条鱼．如果在这500条鱼中有5条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为______条．【答案】2000【解析】【分析】本题考查了统计中用样本估计总体的思想，根据样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【详解】解：估计鱼塘中鱼的条数为500÷5202000=（条），故答案为：2000．14.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C 可看做是线段AB 的黄金分割点（AC CB <），10cm AB =，则BC =______cm ．（结果保留根号）【答案】()5-##(5-+【解析】【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答．【详解】解： 点C 可看作是线段AB 的黄金分割点()AC CB <，10cm AB =，105)cm BC AB ∴===，故答案为：5)．15.如图，反比例函数y =的图象经过菱形OABC 的顶点A ，点B 在y 轴上，过点B 作y 轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D ．若60BAO∠=︒，则点D 的坐标是______．的【答案】2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出AOB是等边三角形，从而表示点A 的坐标为12a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长2a =，把2y =代入解析式即可求得点D 的横坐标．【详解】解：设菱形OABC 的边长为a ，60BAO ∠=︒ ，AOB ∴ 是等边三角形，∴点A 的坐标为12a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，反比例函数y=的图象经过菱形OABC 的顶点A ，∴12a ⋅=2a ∴=（负数舍去），∴菱形OABC 的边长为2，D 点的纵坐标为2，把2y =代入y =得，2=，解得x =，∴点D 的坐标是2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．16.如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，交BC 于点E ，EF AE ⊥，交CD 于点F ，以AE ，EF 为边，作矩形AEFG ，FG 与DA 相交于点H ．若3CE =，4AH =，则AE =______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是得到GAH CEF ∽．首先证明()Rt Rt ASA ECF ABE ≌，推导出AE EF =，结合矩形AEFG ，推导出四边形AEFG 为正方形，然后利用GAH FEC ∠=∠，G C ∠=∠，推导出GAH CEF ∽，AG CEAH EF=，进而得到AG EF AH CE ⋅=⋅，代入数据得到24312AE =⨯=．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴∥，CD AB =，90B C ∠=∠=︒，90AEB EAB ∴∠+∠=︒，EF AE ⊥ ，90AEF ∴∠=︒，90AEB CEF ∠+∠=︒，EAB CEF ∴∠=∠，DE 平分ADC ∠，1452CDE ADC ∴∠=∠=︒，在Rt CDE △中，CE CD AB ==，在Rt ECF 和Rt ABE △中，B C CE ABEAB CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()Rt Rt ASA ECF ABE ∴ ≌，AE EF ∴=，在矩形AEFG 中，AG EF AE ==，∴四边形AEFG 为正方形，90G ∴∠=︒，AG EF \∥，GAH FEC ∴∠=∠，又G C ∠=∠ ，GAH CEF ∴ ∽，∴AG CEAH EF=，AG EF AH CE ∴⋅=⋅，24312AE ∴=⨯=，AE ∴=故答案为：三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 计算：（1）2sin 60tan 45︒+︒；（2）22cos 30sin 45︒-︒．【答案】（11+ （2）14【解析】【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．（1）将特殊角三角函数值代入计算即可；（2）将特殊角三角函数值代入计算即可．【小问1详解】解：2sin 60tan 45︒+︒21=1=+【小问2详解】解：22cos 30sin 45︒-︒22=-3142=-14=18. 如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成投影BC ．（1）此光源下形成投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”）（2）已知树高AB 为2m ，树影BC 为3m ，树与路灯的水平距离BP 为4.5m ．求路灯的高度OP ．【答案】（1）中心投影； （2）5m ．【解析】【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．（1）由中心投影的定义确定答案即可；（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．【小问1详解】此光源属于点光源，的∴此光源下形成的投影属于中心投影，故答案为：中心投影；【小问2详解】AB CP ⊥ ，PO PC ⊥，OP AB ∴∥，ABC OPC ∴ ∽，∴AB BCOP PC=，即：233 4.5=+OP ，解得：()5m OP =，∴路灯的高度为5米．19. 如图，AB CD 、相交于点O ，已知6OA =，8OD =，4OB =，3OC =，求证：B D ∠=∠．【答案】证明详见解析【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据2OA OC=，2OD OB =，得出OA ODOC OB =，结合DOA BOC ∠=∠即可证明DOA BOC ∽，利用相似三角形的性质即可求证，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．【详解】证明：∵在AOD △和BOC 中，6OA =，3OC =，8OD =，4OB =，2∴=OA OC，2ODOB =，OA OD OC OB∴=，∠=∠ DOA BOC ，∴△∽△DOA BOCB D ∴∠=∠．20.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，五边形OABCD 的五个顶点坐标分别为()0,0O ，()1,3A -，()1,4B ，()4,2C ，()3,0D ．（1）以原点O 为位似中心，在原点O 的同侧作五边形OABCD 的位似图形1111OA B C D ，使它与五边形OABCD 的相似比为21：．（2）写出1C 的坐标______．（3）已知五边形OABCD 的面积为13.5，则五边形1111OA B C D 的面积为______．【答案】（1）图见解析（2）()84，（3）54【解析】【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的性质是解题的关键；（1）根据位似比为21：，把A 、B 、C 、D 的横纵坐标都乘以2得到1111A B C D 、、、的坐标，再顺次连接1111O A B C D 、、、、即可；（2）根据（1）所求，写出1C 的坐标即可；（3）根据位似图形面积之比等于位似比的平方进行求解即可．【小问1详解】解：如图所示，五边形11111O A B C D 即为所求；【小问2详解】解：由题意得，点1C 的坐标为()84，，故答案为：()84，【小问3详解】解：∵五边形1111OA B C D 与五边形OABCD 关于原点位似，且位似比为21：，五边形OABCD 的面积为13.5，∴五边形1111OA B C D 的面积为13.5454⨯=，故答案为：54．21.九年级组织“11·9全国消防日”消防安全知识竞赛活动，其中本次竞赛成绩分为“优秀”“良好”“一般”“较差”四个等级，为了解全体九年级同学的消防安全知识水平，随机抽取了m 个同学的竞赛成绩进行统计整理，根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图：请结合以上信息完成下列问题：（1）m=______；（2）如果九年级共有600名学生参加本次活动，那么可估计竞赛成绩为“优秀”的学生有_ _____人；（3）此次活动中有五名同学获得满分，其中有三名女生和两名男生．现从这五名同学中随机挑选两名同学参加校外比赛，请用列表法或画树状图法求出选中的两名同学恰好是一男一女的概率．【答案】（1）120；（2）120；（3）3 5．【解析】【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体．（1）用“较差”人数和其所占百分百即可求解；（2）根据竞赛成绩为“优秀”学生的占比乘以600即可求解；（3）列出表格得可能出现的所有情况，再由概率公式即可得出答案．解题的关键是从统计图表中获取信息．【小问1详解】解：由题意可知：1815%120m=÷=，故答案为：120；【小问2详解】竞赛成绩为“优秀”的学生有24600120120⨯=人，故答案为：120；【小问3详解】将三名女生，分别记作“女1，女2，女3”两名男生分别记作“男1，男2”，列表如下：女1女2女3男1男2女1（女1，女2）（女1，女3）（女1，男1）（女1，男2）女2（女2，女1）（女2，女3）（女2，男1）（女2，男2）女3（女3，女1）（女3，女2）（女3，男1）（女3，男2）男1（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）（男1，男2）男2（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）（男2，男1）总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两名同学恰好是一男一女的有12种，∴P （两名同学恰好是一男一女）123205==22.为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温()y ℃与通电时间()min x 之间的函数关系如图所示．（1）水温从20℃加热到100℃，需要______min ；请直接写出加热过程中水温y 与通电时间x 之间的函数关系式：______；（2）观察判断：在水温下降过程中，y 与x 的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；（3）已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃．现将20℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？【答案】（1）4；2020y x =+； （2）反，400y x=（3）14分钟．【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数的应用，理解题意，正确求出解析式是解此题的关键．（1）由图可得水温从20℃加热到100℃，需要4min ，设加热过程中水温y 与通电时间x之间函数关系式为：y kx b =+，将()020，，()4100，代入解析式得：410020k b b +=⎧⎨=⎩，求出k b 、的值即可；（2）观察判断：在水温下降过程中，y 与x 的函数关系是反函数，设在水温下降过程中，y 与x 的函数关系为1k y x=，将()580，代入解析式得：1805k =，求出1k 的值即可；（3）在400y x =中，当40y =时，40040x=，解得：10x =，再由题意列式计算即可．【小问1详解】解：由图可得：水温从20℃加热到100℃，需要4min ，设加热过程中水温y 与通电时间x 之间的函数关系式为：y kx b =+，将()020，，()4100，代入解析式得：410020k b b +=⎧⎨=⎩，解得：2020k b =⎧⎨=⎩，∴加热过程中水温y 与通电时间x 之间的函数关系式为：2020y x =+，故答案为：4，2020y x =+；【小问2详解】解：观察判断：在水温下降过程中，y 与x 的函数关系是反函数，设在水温下降过程中，y 与x 的函数关系为1k y x=，将()580，代入解析式得：1805k =，解得：1400k =，∴在水温下降过程中，y 与x 的函数关系为：400y x=，故答案为：反；的【小问3详解】解：由题意得：在400y x =中，当40y =时，40040x=，解得：10x =，∴从加入自来水开始，需要等待的时间为：41014min +=，∴则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉．23.在“济南天下第一泉”风景区随处可以看到历代名人雅士留下的匾额和楹联，它们丰富了园林的人文内涵．如图1，趵突泉公园南门上悬挂着的匾额，图2中的线段AB 就是这块匾额的截面示意图．已知0.8AB =米，37DAB ∠=︒．从水平地面点C 处看点B ，仰角45MCD ∠=︒，且视线经过射线MA 上的点D ，从点E 处看点A ，53∠=︒AEM ，且2.07=CE 米．（参考数据：343sin 37,cos37,tan 37554︒≈︒≈︒≈）AI（1）求点B 到AD 水平距离；（2）求线段DA 的长；（3）求匾额上点A 到地面的距离AM 的长．【答案】（1）0.48米； （2）1.12米； （3）3.8米．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，．（1）过点B 作BH MD ⊥，垂足为H ，由0.8AB =米，37DAB ∠=︒，结合sin BH AB BAD =⋅∠即可求解；（2）在Rt BAH 中，可得cos370.64AH AB =⨯︒=米，由45CDM ∠=︒，可得的45DBH CDM ∠=∠=︒，易知0.48DH BH ==米，结合DA DH HA =+即可求解；（3）在Rt AME △中，可得3tan 374ME AM AM =⨯︒=，在Rt DMC 中，45CDM ∠=︒，可得45CDM DCM ∠=∠=︒，易知DM MC =，结合DA AM ME EC +=+即可求解．掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．【小问1详解】解：过点B 作BH MD ⊥，垂足为H ，如图所示：在Rt BAH 中，0.8AB =米，37DAB ∠=︒，3sin 0.80.485BH AB BAD =⋅∠=⨯=米，答：点B 到AD 的水平距离是0.48米；【小问2详解】在Rt BAH 中，0.8AB =米，37DAB ∠=︒，4cos370.80.645AH AB ∴=⨯︒=⨯=米．90M ∠=︒ ，45MCD ∠=︒，45CDM ∴∠=︒，45∴∠=∠=︒DBH CDM ，0.48DH BH ∴==米，0.480.64 1.12DA DH HA ∴=+=+=米，答：DA 的长为1.12米．【小问3详解】在Rt AME △中，53∠=︒AEM ，则37EAM ∠=︒，3tan 374∴=⨯︒=ME AM AM ．在Rt DMC 中，45CDM DCM ∠=∠=︒，∴DM MC =．∴+=+DA AM ME EC ，31.122.074∴+=+AM AM ，解得 3.8AM =米，答：匾额上点A 到地面的距离约为3.8米．24. 如图，正比例函数y kx =的图象与反比例函数my x=的图象交于A B ，两点，其中()43A -，．（1）求k m ，的值；（2）根据函数图象，直接写出不等式0-≤mkx x的解集；（3）若点C 在y 轴上，且ABC 的面积为16，求点C 的坐标．【答案】（1）34k =-，12=-m ； （2）40x -≤<或4x ≥；（3）()04C ，或()04-，．【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握面积的计算方法是解答本题的关键．（1）根据点A 的坐标求k m ，的值即可；（2）根据函数图象可直接写出不等式0-≤mkx x的解集；（3）设OC a =，利用=+△△△ABC OCA OCB S S S ，求出a 的值即可得到答案．【小问1详解】解：将()43A -，代入y kx =，得34k =-，解得34k =-，将()43A -，代入my x =，得43m -=，解得12=-m ，34k ∴=-，12=-m ；【小问2详解】解：由反比例函数图象的对称性可得点B 的坐标为()43，-，由图象可得：不等式0-≤mkx x的解集为40x -≤<或4x ≥；【小问3详解】解：由反比例函数图像的中心对称性知点()43B -，，设OC a =，则=+△△△ABC OCA OCB S S S 1122||=+⋅A B OC x OC x 11441622=⨯+⨯=a a ，解得4a =，()04C ∴，或()04-，．25. 【问题情境】如图1，小明把三角板EFG （30GFE ∠=︒）放置到矩形ABCD 中，使得顶点E 、F 、G 分别落在AD 、CD 、AB 上，你发现线段ED 与AG 有什么数量关系？直接写出结论：______（不用证明）．【变式探究】如图2，小明把三角板EFG （30GFE ∠=︒）放置到矩形ABCD 中，使得顶点E 、F 、G 分别在AD BC AB 、、边上，若4GA =，6AE =，求BG 的长．【拓展应用】如图3，小明把三角形EFG 放置到平行四边形ABCD 中，使得顶点E 、F 、G 分别落在AD BC AB 、、边上，若45=AB AD ，310=AE AD ，∠=∠FEG BAD ，求出EG EF的值．【答案】（1）=ED AG 2）4BG =；（3）38EG EF =【解析】【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出tan 30GE EF =︒=，再证明AGE DEF ∽，根据相似三角形对应边成比例可得AG GE DE EF ==变式探究：过点F 作FH AD ⊥，同（1）可证FEH EGA △∽△，根据相似三角形对应边成比例可得FH EFAE GE==，求出FH ，再证四边形ABFH 是矩形，即可求解；拓展应用：过点F 作∠=∠CFM BAD 交AD 的延长线于点M ，交CD 于点K ．则CFM BAD GEF ∠=∠=∠，再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明FM DC=，再证ABE MEF △∽△，推出EG AE EF FM =，再证45FM DC AB AD ===，310AE AD =，代入可得EGEF 的值．【详解】解：问题情境：三角板EFG 中，30GFE∠=︒，∴tan 30GE EF=︒=． 四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90AEG AGE ∠+∠=︒，由题意知90GEF ∠=︒，∴90AEG DEF ∠+∠=︒，∴AGE DEF ∠=∠，又 A D ∠=∠，∴AGE DEF ∽，∴AG GE DE EF==∴=EDAG故答案为：=EDAG变式探究：如图，过点F 作FH AD ⊥，垂足为H ，FH AD ⊥ ，90∴∠=∠=︒FHE A ，90EFH FEH ∠∠+=︒ ，90GEA FEH ∠+∠=︒，∴∠=∠EFH GEA∴△∽△FEH EGA ，∴==FH EFAE GE，6AE = ，∴=FH ，90A B EHF ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFH 是矩形，∴==AB FH ，4BG AB AG ∴=-=-．拓展应用：如图，过点F 作∠=∠CFM BAD 交AD 的延长线于点M ，交CD 于点K ．∠=∠ GEF BAD ，∴∠=∠=∠CFM BAD GEF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AD CB ∴∥，BAD C ∠=∠，∴∠=∠CFM FMD ，∠=∠C CDM ，CFM C CDM FMD ∴∠=∠=∠=∠，∴FK CK =，DK MK =，∴=FM DC ，∠=∠=∠ A GEF FMA ，∴∠+∠=∠+∠A AGE GEF FEM 即∠=∠AGE MEF ，ABE MEF ∴△∽△，EG AEEF FM∴=，43,510AB AE AD AD ==，45FM DC AB AD ∴===，310AE AD =，3310485ADEG AE EF FM AD ∴===．【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．26. 小静发现希腊数学家曾利用反比例函数图象将一个角三等分，具体方法如下：第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角AOB 的顶点与原点O 重合，角的一边OB 与x 轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数1y x=的图象，图象与已知角的另一边OA 交于点P ．第二步：以P 为圆心、以2OP 为半径作弧，交函数1y x=的图象于点R ．第三步：分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，连接OM ，得到MOB ∠（如图1）．这时13MOB AOB ∠=∠．为什么13MOB AOB ∠=∠小静想要证明这个结论却没有思路，便询问老师．老师进行了指导：分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两线交于点Q （如图2），解答这道题的关键就是证明O Q M ，，三点共线，在平面直角坐标系中，证明三点共线最直接的做法是先用两点确定一条直线的表达式，再证明第三点在这条直线上．老师指导后，小静若有所思．请你和小静一起，完成下列问题．（1）已知()10C -，，()02D ，，()14E ，，请说明C D E 、、三点共线；（2）在“三等分角”的作图中（如图2），请证明O Q M ，，三点共线；（3）在（2）的基础上，请证明13MOB AOB ∠=∠．【答案】（1）详见解析； （2）详见解析； （3）详见解析．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线CE 解析，把点D 的坐标代入解析式判断即可；（2）设1P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1R b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则11M b Q a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，待定系数法求出OM 的解析式，把点Q 的坐标代入解析式判断即可；（3）设PR 交QM 于点D ，由题意得四边形PORM 为矩形，从而得到DOR DRQ ∠=∠，由外角定理，2PDO DOR ∠=∠，再结合矩形的性质可得2POM PDO MOB ∠=∠=∠，即可得证．【小问1详解】解：设直线CE 解析式为y kx b =+，将()10C -，，()14E ，代入得，04k bk b =-+⎧⎨=+⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，22y x ∴=+，将0x =代入得，2y =，∴D 在直线CE 上，∴C D E 、、三点共线；【小问2详解】解：PM x ∥轴，MR y ∥轴，设1P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1R b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11M b Q a a b ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，设OM 的解析式为y kx =，1bk a∴=，1k ab∴=，∴直线OM 的解析式为：1y x ab=，当x a =时，1y b=，1Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴点Q 在直线OM 上；【小问3详解】解：设PR 交QM 于点D ，，∵过P R ，作x y ，轴的平行线，∴四边形PORM 为矩形，DQ DR∴=DOR DRQ ∴∠=∠，∴由外角定理，2PDO DOR ∠=∠，OR OB ∥，DQR MOB ∴∠=∠，2PDO MOB ∴∠=∠，又四边形PORM 为矩形，2PR PD ∴=，2PR PO = ，PD PO ∴=，2POM PDO MOB ∴∠=∠=∠，13MOB AOB ∴∠=∠．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解此题的关键．2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案考试时间120分钟 满分150分第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）A.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查俯视图，根据俯视图定义直接判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，的俯视图是A 选项图形，故选：A ．2. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果4AC =，3BC =，那么A 的正切值为（）A.34B.43C.35D.45【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数定义即可得出结果．的【详解】解：∵4AC =，3BC =，∴3tan 4BC A AC ==，故选：A ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若:2:3AB BC =，4DE =，则EF 为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得AB DEBC EF=，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键．【详解】解： 两条直线被三条平行线所截，AB DEBC EF∴=，:2:3AB BC = ，4DE =，243EF∴=，6EF ∴=，故选：B ．4. 如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB 长2m ，它的影长BC 为1m ，旗杆DE 的影长EF 为6m ，则旗杆DE 的高度为（ ）A. 9mB. 10mC. 11mD. 12m【答案】D 【解析】【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，根据“同一时刻物高与影长成正比”列式计算即可，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．【详解】解： 同一时刻物高与影长成正比，DE ABEF BC∴=， 木杆AB 长2m ，它的影长BC 为1m ，旗杆DE 的影长EF 为6m ，261DE ∴=，12m DE ∴=，故选：D ．5. 已知点()12A y -，，()22B y ，，()34C y ，都在反比例函数8y x=的图象上，则123y y y ，，的大小关系为（ ）A. 123y y y << B. 132y y y << C. 321y y y << D.231y y y <<【答案】B 【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先分别求出123y y y ，，的值，再进行比较即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．【详解】解： 点()12A y -，，()22B y ，，()34C y ，都在反比例函数8y x=的图象上，1842y ∴==--，2842y ==，3824y ==，424>>- ，132y y y ∴<<，故选：B ．6.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）A.49B. 12C.59D.23【答案】C 【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，∴两次摸到相同颜色的棋子的概率59=，故选：C ．7. 一次函数y ax a =-+与反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数图象所在象限可以判定a 的符号，根据a 的符号来确定直线所经过的象限，逐项判断即可，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象是解此题的关键．【详解】解：A 、双曲线经过第一、三象限，则0a >，则一次函数y ax a =-+应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；B 、双曲线经过第一、三象限，则0a >，则一次函数y ax a =-+应该经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；C 、双曲线经过第二、四象限，则a<0，则一次函数y ax a =-+应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；D 、双曲线经过第二、四象限，则a<0，则一次函数y ax a =-+应该经过第一、三、四象限，故本选项符合题意；故选：D ．8.如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点O M ，，N 都在格点上，点P Q ，在格线上，则点P 与点Q 之间的距离为（ ）A. 5 C.92D.143【答案】D 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作AB PQ ⊥交PQ 于点B ，交MN 于A ，由图可得：3OA =，7OB =，2MN =，MN PQ ∥，则OMN OPQ ∽，从而得。

四川省自贡市富顺第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

四川省自贡市富顺第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2023-2024上初三期中考试数学试题一、单选题（共48分）1. 下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.答案：B2. 一元二次方程的解是（）A. B. C. ， D. ，答案：C3. 将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，如图，则的大小为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 不能确定答案：B4. 如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（）A. 3B.C.D.答案：A5. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为（）A. B. C. D.答案：B6. 已知一元二次方程，根据下列表格中的对应值：… 3.09 3.10 3.11 3.12……0.11…可判断方程的一个解的范围是（）A. B.C. D.答案：D7. 函数与在同一坐标系内的图象是图中的（）A. B.C. D.答案：B8. 一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（）A. B. C. D.答案：B9. 某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人答案：A10. 如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）A. 2B.C.D.答案：C11. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（）A. ①②③B. ②③④C. ①④D. ②③答案：B12. 经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（）A. 10B. 12C. 13D. 15答案：B二、填空题（共24分）13. 点关于原点的对称点是，则______．答案：14. 抛物线的对称轴是______．答案：直线15. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．答案：且16. 将二次函数的图象绕着顶点旋转后得到的新图象的解析式是___________．答案：17. 已知a，b是一元二次方程两个实数根，则的值为_____．答案：718. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．根据这个法则，下列结论中错误的是______．（只填写番号）①；②若，则；③是一元二次方程；④方程有一个解是．答案：①③④三、解答题（共78分）19. 解方程：答案：，解：，，，，，解得：，．20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，（1）画出将向下平移4个单位长度得到；（2）画出绕点C逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；答案：（1）画图见解析（2）画图见解析，点的坐标【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，即为所求；∴点的坐标．21. 已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0.（1）若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．答案：（1）a＝0，x2＝－1；（2）见解析.（1）因为x＝1是方程x2＋ax＋a－1＝0的解，所以把x＝1代入方程x2＋ax＋a－1＝0得，1＋a＋a－1＝0，解得a＝0∵x1＋x2＝－a，∴1＋x2＝0，∴x2＝－1（2）∵△=a2－4（a－1）＝a2－4a＋4＝（a－2）2≥0，∴无论a何值，此方程都有实数根.22. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元．要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？答案：元解：设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，依题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．故每件工艺品售价应为元．23. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是（单位：），面积是（单位：）．（1）求与的函数关系式及的取值范围；（2）如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？（3）长为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少？答案：（1）（2）要围成面积为的花圃，的长为9米．（3），最大面积为：．【小问1详解】解：根据题目数量关系得，，根据题意，，∴，∴．【小问2详解】将代入得，整理得：，∴，∵，则不符合题意舍去，∴要围成面积为的花圃，的长为9米．【小问3详解】∵，，∴抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而减小，∴当时，面积最大，此时，最大面积为：；24. 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．（2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）答案：（1）；（2）水面宽度增加米【小问1详解】解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．∴点，，把点代入得：，解得：，∴该抛物线的函数解析式为；【小问2详解】解：∵水面下降1米，到处，∴点D的纵坐标为，当时，，解得：，∴此时水面宽度为米，∴水面宽度增加米．25. 已知关于x的方程（1）求证此方程总有实数根（2）若方程的两个实数根都为整数，求k的值．答案：（1）详见解析．（2）或或或．【小问1详解】证明：当时，方程为一元一次方程，此方程有一个实数根；当时，方程为一元二次方程，，即，当k取除以外的任意实数时，此方程总有两个实数根．综上可得，不论k取何值，此方程总有实数根．【小问2详解】方程的两个实数根都为整数，且方程的两个解之和也为整数，即是整数，即是整数，或或或．26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线解析式及，两点坐标；（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）抛物线解析式为，，（2）或或（3）【小问1详解】解：∵抛物线与x轴交于，∴解得：，∴抛物线解析式为，当时，，∴，当时，解得：，∴【小问2详解】∵，，，设，∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形当为对角线时，解得：，∴；当为对角线时，解得：∴当为对角线时，解得：∴综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或【小问3详解】解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，∵∴是等腰直角三角形，∴在上，∵，，∴，，∵，∴在上，设，则解得：（舍去）∴点设直线的解析式为∴解得：.∴直线的解析式∵，，∴抛物线对称轴为直线，当时，，∴．。

2024-2025学年广东省深圳市九年级上学期期中数学试题及答案

2024-2025学年广东省深圳市九年级上学期期中数学试题及答案

2024-2025学年深圳市九年级上册期中考试模拟试卷数学试卷注意事项：1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2.本卷考试时间90分钟，满分100分．考试范围：九年级上册3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内．作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．4.考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（24分）1. 方程x 2=2x 的根是（ ） A 0B. 2C. 0 或 2D. 无解2. 一元二次方程2230x x +−=两根分别为12x x 、，则12x x ⋅的值为（ ） A. 2B. 2−C. 3−D. 33. 关于x 的一元二次方程()21230k x x −+=有两个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） A. 43k <B. 43k <且1k ≠ C. 403k <<D. 1k ≠4. 若关于x 的一元二次方程方程kx 2﹣2x ﹣1=0有实数根，k 的取值范围是（ ） A. k ＞﹣1B. k ≥﹣1且k ≠0C. k ＜﹣1D. k ＜1且k ≠05. 对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD 的边长为1，菱形的边AB 水平放置，如果该菱形的高是宽的23，那么菱形的宽是（ ）.的A.1813B.139C.32D. 26. 设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“ ”，2a b a ab =+ ，则方程()212x x −=的实数根是（ ） A. 12x =−，23x =B. 1 2x =，23x =−C. 11x =−，26x =D. 1 1x =，26x =−7. 已知3是关于x 的方程220x ax a −+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A 9B. 12C. 12或15D. 158.我们把宽与长的比值等于黄金比例12−的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD (AB BC >)的边AB 上取一点E ，使得BE BC =，连接DE ，则AEAD等于( )AB.C.D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（12分）9. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是________．10. 一元二次方程()()2311x x +−=解为 __． 11. 已知a b ≠，且满足22510a a −+=，22510b b −+=，那么b aa b+的值为______. 12. 如图，矩形ABCD 中，15AD =，12AB =，E 是AAAA 上一点，且8AE =，F 是BC 上一动点，若将EBF △沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为______．..的三、解答题（62分）13. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50.7万个，求该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率．14. “当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋． （1）每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？（2）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ 15. 某公司去年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，那么该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是多少？（请列方程解答）16. 如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CEF A ∠=∠．（1）求证：DE CF =；（2）若1BC =，3AB =，求四边形DCFE 的周长．17. 如图，ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点,E 点G 为AD 的中点，连接,CG CG 的延长线交BA 的延长线于点,F 连接FD ．（1）求证：AGF DGC ≌；（2）若,120,AG AB BAD =∠=°判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论．2024-2025学年深圳市九年级上册期中考试模拟试卷数学试卷注意事项：1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2.本卷考试时间90分钟，满分100分．考试范围：九年级上册3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内．作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．4.考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（24分）1. 方程x 2=2x 的根是（ ） A. 0 B. 2C. 0 或 2D. 无解【答案】C 【解析】【详解】解：移项可得：22x 0x −=， 因式分解可得：x (x -2)=0， 解得：x=0或x=2， 故选C ．2. 一元二次方程2230x x +−=的两根分别为12x x 、，则12x x ⋅的值为（ ） A. 2 B. 2−C. 3−D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵该一元二次方程为2230x x +−=，∴12331cx x a −⋅===−． 故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 根与系数的关系：12b x x a +=−和12c x x a⋅=是解题关键． 3. 关于x 的一元二次方程()21230k x x −−+=有两个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） A. 43k <B. 43k <且1k ≠ C. 403k <<D. 1k ≠【答案】B 【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆＜时，方程无实数根．根据题意可得()1044310k k −≠ =−×−>再解不等式组，从而可得答案；【详解】解： 关于x 的一元二次方程()21230k x x −−+=有两个不相等的实数根， ()1044310k k −≠ ∴ =−×解得：43k <且1k ≠ ， 故选：B ．4. 若关于x 的一元二次方程方程kx 2﹣2x ﹣1=0有实数根，k 的取值范围是（ ） A. k ＞﹣1 B. k ≥﹣1且k ≠0C. k ＜﹣1D. k ＜1且k ≠0【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程根有实数根，可得ΔΔ≥0，代入系数解不等式，需要注意k ≠0. 【详解】∵一元二次方程有实数根 ∴()()2=2410k ∆−−⋅−≥ ，解得1k ≥−，又∵一元二次方程二次项系数不为0，∴0k ≠， ∴k 的取值范围是1k ≥−且0k ≠. 故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根，当=0∆时，方程有两个相等的实数根，当∆<0时，方程无实数根，熟记概念是解题的关键.5. 对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD 的边长为1，菱形的边AB 水平放置，如果该菱形的高是宽的23，那么菱形的宽是（ ）A.1813B.139C.32D. 2【答案】A 【解析】【分析】先根据要求画图，设AF =x ，则CF =23x ，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ， 设AF =x ，则CF =23x ， 在Rt △CBF 中，CB =1，BF =x -1， 由勾股定理得：BC 2=BF 2+CF 2， 12＝（x −1）2+（23x ）2， 解得：x =1813或0（舍）， 则该菱形的宽是1813，故选A ．【点睛】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．6. 设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“ ”，2a b a ab =+ ，则方程()212x x −=的实数根是（ ） A. 12x =−，23x =B. 1 2x =，23x =−C. 11x =−，26x =D. 1 1x =，26x =−【答案】A 【解析】【分析】根据题目中的新定义的运算规则，将所求方程化为一元二次方程方程，解方程即可解答． 【详解】解：∵2a b a ab =+ ， ∴x △（x-2）=x 2 +x （x-2）=12， 整理得：2x 2-2x-12=0， 解得：x 1=-2，x 2=3． 故选A.【点睛】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将所求方程化为一元二次方程方程是解决本题的关键.7. 已知3是关于x 的方程220x ax a −+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A 9 B. 12C. 12或15D. 15【答案】D 【解析】【分析】把x ＝3代入已知方程求得a 的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【详解】解：把x ＝3代入方程得：220x ax a −+=， 解得a ＝9，则原方程为29180x x −+=，解得：123,6x x ==， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长， ①当△ABC 的腰为3，底边为6时，不符合三角形三边关系②当△ABC 的腰为6，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC 的周长为6＋6＋3＝15， 综上所述，△ABC 的周长为15． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．.8. .如图，在黄金矩形ABCD (AB BC >)的边AB 上取一点E ，使得BE BC =，连接DE ，则AEAD等于( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用黄金矩形的定理求出ADAB= ,再利用矩形的性质得1AE AB BE AB AD AB ADAD AD AD −−===−,代入求值即可解题. 【详解】解：∵矩形ABCD 中,AD=BC,根据黄金矩形的定义可知AD AB , ∵BE BC =，∴11AE AB BE AB AD ABAD AD AD AD −−−=−==== 故选B【点睛】本题考查了黄金矩形这一新定义,属于黄金分割概念的拓展,中等难度,读懂黄金矩形的定义,表示出边长比是解题关键.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（12分）9. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是________． 【答案】16【解析】【分析】蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为A B C D 、、、，画出树状图，找出颜色恰好都发生变化的等可能情况和所有等可能情况，根据概率公式进行求解即可．【详解】解：蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为A B C D 、、、，画树状图如下：∵颜色恰好都发生变化的是取到B D 、的情况有两种，共有12种等可能情况， ∴颜色恰好都发生变化的概率是21126=， 故答案为：16【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，找出所有等可能情况数是解题的关键．10. 一元二次方程()()2311x x +−=的解为 __．【答案】1x =，2x =【解析】【分析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．【详解】解：()()2311x x +−=， 化为一般形式得：2240x x +−=， ()2142433=−××−=△，∴x =∴1x =2x =故答案为：1x =2x = 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 11. 已知a b ≠，且满足22510a a −+=，22510b b −+=，那么b aa b+的值为______. 【答案】212【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于ba −、两根之积等于c a”是解题的关键．由a 、b 满足的条件可得出a 、b 为方程22510x x −+=的两个实数根，根据根与系数的关系可得出52a b +=、12ab =，将其代入()22a b ab b a a b ab+−+=中可求出结论． 【详解】解： a b ≠，且满足22510a a −+=，22510b b −+=，∴a 、b 为方程22510x x −+=的两个实数根，52a b ∴+=，12ab =，()222212221212252a b ab b a a b ab ab a b−× +−+ =∴+=== 故答案为：212． 12. 如图，矩形ABCD 中，15AD =，12AB =，E 是AAAA 上一点，且8AE =，F 是BC 上一动点，若将EBF △沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为______．【答案】13 【解析】【分析】连接PD ，DE，易得17DE，4EB AB AE =−=，由翻折可得4PE EB ==，由EP DP DE +≥可知，当E ，P ，D 三点共线时，DP 最小，进而可得出答案．【详解】解：连接PD ，DE ，四边形ABCD 为矩形， 90A ∴∠=°，15AD = ，8AE=，17DE ∴=，12AB = ，4EB AB AE ∴=−=，由翻折可得PE EB =，4PE ∴=，EP DP DE +≥ ，∴当E ，P ，D 三点共线时，DP 最小，17413DP DE EP ∴=−=−=最小值．故答案：13．【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．三、解答题（62分）13. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50.7万个，求该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率．【答案】该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为30%．【解析】【分析】设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ，根据一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50.7万个，列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ，由题意得，()230150.7x +=解得10.3x =，1 2.3x =−（不合题意，舍去）∴该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为30%．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键．14. “当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋．（1）每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？（2）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为为的了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼销售单价为多少元？【答案】（1）每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟的销量为150袋．（2）鳕鱼的销售单价为70元．【解析】【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答．（1）设每袋鳕鱼的售价为x 元，根据题意，则()1090100150x −+=，解出x ，即可； （2）设此时鳕鱼的销售单价为y 元，根据题意，则方程为()()5010901005005500y y −×−+−=，解出方程，即可．【小问1详解】解：设每袋鳕鱼的售价为x 元，每分钟的销售量为150袋，∴()1090100150x −+=， 解得：85x =，答：每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟的销售量为150袋．【小问2详解】解：设此时鳕鱼的销售单价为y 元，∴()()5010901005005500y y −×−+=， 解得：170y =，280y =，∵要最大限度让利消费者，∴70y =，答：此时鳕鱼的销售单价为70元．15. 某公司去年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，那么该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是多少？（请列方程解答）【答案】20%【解析】【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；根据该公司10月份和12月份的营业额，即可得到关于x 的一元二次方程，解方程取其正值即可．【详解】解：设该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是x ，根据题意得：的的()2250013600x += 解得：10.220%x ==，2 2.2x =−（不合题意，舍去），答：该公司11月、12月两个月营业额的月均增长率是20%．16. 如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CEF A ∠=∠．（1）求证：DE CF =；（2）若1BC =，3AB =，求四边形DCFE 的周长．【答案】（1）见解析 （2）4【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD AD BD ==，进而证明四边形DCEF 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD ，根据中位线的性质求得DE ，根据平行四边形的性质即可求解．【小问1详解】证明：90ACB ∠=° ，点D 是AB 中点，CD AD BD ∴==，DAC DCA ∴∠=∠，CEF A ∠=∠ ，CEF DCE ∴∠=∠，CD EF ∴∥，点E 是AC 中点，DE CF ∴∥，∴四边形DCEF 是平行四边形，DE CF ∴=；【小问2详解】解：1BC = ，3AB =，AD BD = ，AE CE =，1122DE BC CF ∴===， 3AB = ，四边形DCEF 是平行四边形，1322CD EF AB ∴===， ∴四边形DCFE 的周长为132422 +×=． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．17. 如图，ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点,E 点G 为AD 的中点，连接,CG CG 的延长线交BA 的延长线于点,F 连接FD ．（1）求证：AGF DGC ≌；（2）若,120,AG AB BAD =∠=°判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）四边形ACDF 是矩形，理由见解析．【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质和平行线的性质得出FAG GDC ∠=∠，然后利用ASA 即可证明；（2）首先根据全等三角形的性质得出AF CD =，进而可证四边形ACDF 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和角度之间的关系得出AFG 是等边三角形，则有AG GF =，进而得出AD FC =，最后利用对角线相等的平行四边形是矩形即可证明．【详解】()1证明: 四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，FAG GDC ∴∠=∠．点G 是AD 的中点，GA GD ∴=．又AGF DGC ∠=∠ ，()AGF DGC ASA ∴≅ ；()2解:四边形ACDF 是矩形.理由:AGF DGC ≌,AF CD ∴=，FG CG =．又//AB CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形．四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AB AF ∴=．又AG AB = ，AG AF ∴=．120BAD ∠=° ，60FAG ∴∠=°，AFG ∴ 是等边三角形，AG GF ∴=．2,2AD AG FC FG == ，AD FC ∴=，∴四边形ACDF 是矩形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，矩形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，掌握矩形的判定，全等三角形的判定及性质是解题的关键．。

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九年级上册数学期中试题附参考答案
(满分120分 考试时间90分钟)
一、填空题（每空3分，共30分）
1.方程022
=x 的解是_____________.
2．要使□ABCD 成为菱形，需添加的条件是_____________________(写一个即可)．
3．若关于x 的一元二次方程0122
=--x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
4．用反证法证明“一个三角形中，必有一个内角小于或等于︒60”时，首先应假设__________．
5．如图在ABC ∆中，PDE ∆的周长为5，CP BP ,分别是
ABC ∠和ACB ∠的角平分线，且AC PE AB PD //,//,
则BC 的长为_________.
6．如图在矩形ABCD 中，3,600
==∠AB AOB ， 则=BC _________.
7．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， E 是CD 的中点，DOE ∆的周长为8cm ，则ABD ∆的
周长为________.
8．已知：直角三角形斜边上的中线长是2.5，两直角边的和为7，则三角形面积为_______. 9.在周长为1的111C B A ∆中，取各边中点得222C B A ∆，再取
222C B A ∆各边中点得333C B A ∆，依次类推……，则n n n C B A ∆
的周长为________.
10．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其
中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转0
45， 则这两个正方形重叠部分的面积为_________. 二、选择题（每小题3分，共24分）
11.关于x 的一元二次方程05252
2
=+-+-p p x x 的一个根为1，则实数P 的值是( )
A ．4
B ．0或2
C ．-1
D ． 1
12．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形为（ ）.
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
13．绛县“大自然服装城”在国庆期间为了促销，下调部分服装价格，男式衬衫经过两次降价
由每件100元降到每件81元，则平均每次降低率为（ ）. A ．8﹪ B ．9﹪ C ．10﹪ D ．11﹪
14．在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，连接AE 并延长交BC 的
延长线于点F ，则图中全等的直角三角形有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对
15.用两块能完全重合的含0
30角的三角板，能拼成下列五种图形：①矩形 ②菱形 ③等腰三
角形（腰与底不等） ④等边三角形 ⑤平行四边形（不含矩形、菱形）中的（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④⑤ D ．①②③④⑤
16.某次会议上，每两人相互握一次手，有人统计一共握了66次手，如参加这次会议的有x 人，
则由题意列方程整理后得（ ）
A B
C
D
E
P
B
C
D 1
1
2
A B
C
D
C '
D '
B '
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……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线………………………
……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………… ……………………………密……………………………………………………封…………………………………………线………………………
A ．01322=--x x
B ．01322
=-+x x C ．01322
=+-x x D ．01322
=++x x
17.在□ABCD 中，E 是BC 中点，且DCE AEC ∠=∠，
则下列结论不正确的是（ ） A ．DF BF 2
1
=
B ．EFB AFD S S ∆∆=2
C ．四边形AEC
D 是等腰梯形 D ．ADC AEB ∠=∠
18.如图，,90..20
=∠===BAD CD CB AD AB 点E
是AB 边上的中点，点F 是AC 上一动点，连接EF 、BF ，则 EF+BF 的最小值是（ ）
A ．2
B ．5
C ．22
D ．21+
三、解答题(共66分)
19．解方程（每题6分，共24分）
⑴0652
=+-x x ⑵4252
=+x x
⑶ ()()2
2
322+=-x x ⑷()()041512
=+---y y
20．已知：如图，在ABC ∆中，AB=AC, BC AD ⊥垂足为D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平
分线，AN CE ⊥垂足为点E. （10分）
⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形
⑵当BC 与AD 在数量上满足什么关系时，四边形ADCE 是 正方形？并给出证明.
21．作图题，如图在线段BC 的两侧分别是正方形BEFC 和矩形ABCD ，请作出线段BC
的
A
B
C
D E
F
A B
D
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垂直平分线 (8分)
（只能用直尺，保留作图痕迹，不写作法）
22．应用题 （10分）
在直角梯形ABCD 中，,26,24,90,//0
===∠BC AD A BC AD 动点p 从A 开始沿AD 边以s cm /1速度运动，动点Q 从C 开始沿CB 边以s cm /3的速度运动，P 、Q 同时出发，当其中一点到端点，另一点也随之停止。

设运动时间为t s .
⑴当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ ⑵当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？
23．ABC ∆是等边三角形，点D 是射线BC 上一个动点（点D 不与点B 、C 重合）ADE ∆是以
AD 为边的等边三角形，过点E 作EG//BC ，分别交AB 、AC 于点F 、G ，连接BE.（14分） ⑴如右图，当D 在线段BC 上时，
①求证：AEB ∆≌ADC ∆（4分）
②探究四边形BCGE 是怎样特殊四边形.说明理由（4分）
⑵如右图，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出⑴中 的两个结论是否成立？（2分）
⑶在⑵情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 为菱形？并说明理由.（4分）
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
D
E
F G
A
B C
D E
F
G
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……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………… ……………………………密……………………………………………………封…………………………………………线………………………
九年级数学参考答案
一、填空题：
1、120x x ==
2、AC BD ⊥或AB ＝BC
3、1k >-且0k ≠
4、没有一个内角小于或等于0
60或每个内角都大于0
60 5、5 6
、 7、16cm 8、6 9、
1
1
2
n - 10
1 二、选择题：
11-15 DCCBC 16-18 ABB 三、解答题：
19、⑴21=x 32=x
⑵1x =
2x = ⑶121
5,3
x x =-=-
⑷122,5y y == 20、⑴证明：∵,AB AC AD BC =⊥
∴1
2
DAC BAC ∠=
∠ 又∵AN 平分MAC ∠
∴1
2
EAC MAC ∠=∠
又∵0
180BAC MAC ∠+∠=
∴0
01
180902
DAE DAC EAC ∠=∠+∠=⨯= 又∵AD BC ⊥，CE AN ⊥ ∴0
90ADC AEC ∠=∠=
∴四边形ADCE 为矩形
21、连接AC 、BD 相交于P
连接BF 、EC 相交于Q 过点P 、Q 作直线MN ∴直线MN 即为所求
22、⑴当PD ＝CQ 时，四边形PQCD 为平行四边形
由题意得 24－t ＝3t 解得 t=6
答：当t=6时，四边形PQCD 为平行四边形 ⑵四边形PQCD 为等腰梯形时
过P 、D 向BC 作垂线，垂足为E 、F ， 则QE=FC=26-24=2 EF=PD=24-t CQ=3t 由题意得： 24-t+2+2=3t 解得 t=7
答：当t=7时，四边形PQCD 为等腰梯形
23、⑴
①证明：∵ABC 、ADE 是等边三角形
∴,AB AC AE AD ==
0132360∠+∠=∠+∠=
∴12∠=∠ 在AEB ADC 和中
12AE AD AB AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEB ≌ADC （SAS ）
⑵①成立 ②成立
⑶当点D 运动到BC=DC 时，四边形BCGE 是菱形 理由：∵AEB ≌ADC
∴BE CD = 又∵BC DC = ∴BE BC =
又∵四边形BCGE 为平行四边形∴ ∴四边形BCGE 是菱形
②四边形BCGE 是平行四边形
∵AEB ≌ADC
60ABE ACB ∠=∠=又∵ABC 为等边三角形0
60ABC ∠= 0120EBC ∠= ACB ∠+∠//EB CG。

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