函数的最佳逼近解读
计算方法-最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
最佳一致逼近多项式
§3 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论
不超过n次的实系 数多项式的全体
本节讨论f(x) C[a, b], 求多项式pn* (x) Hn , 使得误差
||
f(x)
pn* (x)
||
min
pn Hn
||
f(x)
pn(x)
||
此即所谓最佳一致逼近 或切比雪夫逼近问题 。
Hn
设f(x) Cn1[a, b], 则函数通过变换
x a b b a t, 1 t 1
2
2
化为
f(x)
f(a b 2
b 2
a t)
g(t)
针对g(t) 使用定理7
例如：为将[0, 1] [-1, 1]，可以令：
则
x
0
2
1
1 0 2
t
1 (t 2
1)
f(x) f(1 (t 1)) g(t) , 1 t 1. 2
f(x)
p(x)
|
可以证明存在唯一的(a*0 , a1* , … , an* ), 使得
(a*0 , a1* , … , an* )
min{max
最佳平方逼近原理
最佳平方逼近原理最佳平方逼近原理是数值分析中的一个经典原理，用于寻找函数在给定定义域上的最佳平方逼近曲线。
在实际应用中，我们经常需要通过已知的离散数据点来近似拟合一个函数，最佳平方逼近原理就是为了解决这个问题而提出的。
最佳平方逼近原理的核心思想是，通过最小化残差平方和来选择最佳的曲线拟合函数。
残差平方和是指每个数据点与拟合曲线之间的差值的平方和，通过最小化残差平方和，我们可以找到能够最好地拟合数据点的曲线。
为了更好地理解最佳平方逼近原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一组包含有N个点的数据集{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，我们需要找到一条曲线y=f(x)来拟合这些数据点。
首先，我们可以假设拟合曲线为一条直线y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
我们的目标是找到最佳的斜率a和截距b，使得拟合曲线能够最好地拟合数据点。
为了评估拟合曲线的好坏，我们可以定义残差ei为数据点yi与拟合曲线f(xi)之间的差值，即ei=yi-f(xi)。
然后，可以定义残差平方和E为所有残差的平方和，即E=∑(yi-f(xi))^2。
根据最佳平方逼近原理，我们需要选择最优的斜率a和截距b，使得E达到最小值。
这可以通过对E分别对a和b求偏导数，并令偏导数等于零来实现。
∂E/∂a=0和∂E/∂b=0的解可以分别表示为a=(N∑(xiyi)-∑xi∑yi)/(N∑(xi^2)-(∑xi)^2)和b=(∑yi-∑(xi/n)a))/N 通过求解这两个方程，我们可以得到最佳的斜率a和截距b，从而得到最佳的拟合曲线。
上述例子只是最佳平方逼近原理的一个简单应用，实际上，最佳平方逼近原理可以应用于更复杂的拟合曲线，如多项式拟合、指数拟合等。
在实际应用中，最佳平方逼近原理广泛应用于数据分析、信号处理、图像处理等领域。
通过最佳平方逼近原理，我们可以从大量的离散数据中提取有效的信息，利用拟合曲线来进行预测、分类、回归等操作。
计算方法第四章(逼近法)
2n {
m j0
aj
m i 1
x jk i
m i 1
xik
yi }
m
m
记： sl xil , tl xil yi
i 1
i 1
n
得正规方程组(法方程)： s jkaj tk , k 0,1,L , n
j0
2. 内积
定义：设 X 为 R 上的线性空间，对于 X 中的任意两
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.58 0.81 1.01 1.32 1.49 1.67 1.93 2.18 2.395
得正规方程组：
94a50a0452a815a15.83141.962 a0 0.15342, a1 0.09845 a 1.424, b 0.2267 y 1.424e0.2267x
1 8
(35x4
30x2
3),
P5
(
x)
x3
15
x)
LL
证明:
由分部积分法得(Pk , Pj )
1 [(x2 1) j ]( j)[(x2 1)k ](k) dx
1
1 [(x2 1) j ]( j) d[(x2 1)k ](k1) 0 1 [(x2 1)k ](k1)[(x2 1) j ]( j1) dx
多项式，或称为变量x 和 y 之间的经验公式.
显然，S 达到最小值，则
S 0 , k 0,1,L , n ak
S
ak
2 m
m i 1
[ P( xi
)
yi
第3章 函数逼近1 (最佳一致逼近)
上求切比雪夫交错组 在[ 1, 1]上求切比雪夫交错组 t1, …, tn+1 } 。 上求切比雪夫交错组{
最佳一致逼近多项式
目标： 目标：
要在H n中求Pn ( x )逼近f ( x ) ∈ C [a , b], 使其误差 || f ( x ) Pn ( x ) ||∞ = inf || f ( x ) Pn ( x ) ||∞
定理 3.3 的最佳逼近多项式,则 若P ( x ) ∈ H n 是 f ( x ) ∈ C [a , b] 的最佳逼近多项式 则P ( x ) 同时存在正、负偏差点. 同时存在正、负偏差点 证明：用反证法，设只有正偏差点。 证明：用反证法，设只有正偏差点。 设 || Pn y || ∞ = max ] | Pn ( x ) y ( x ) | = E n x∈[ a , b 而对于所有的 x∈[a, b] 都有 Pn ( x ) y ( x ) > E n ∈
-En≤pn*(x)-f(x)≤ En， -En≤qn(x)-f(x)≤ En (x)(x)所以- ≤(p 所以-En≤(pn*(x)+qn(x))/2 -f(x)≤En * 这说明 pn ( x) + qn ( x) pn ( x) = 2 也是对函数f(x)∈C a,b］的最佳一致逼近元. f(x)∈C［ 也是对函数f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元. 现设误差曲线函数pn(x)-f(x)在区间［a,b］ 在区间［ 现设误差曲线函数 (x)-f(x)在区间 a,b］ 上的一个交错点组为{x 上的一个交错点组为{x1, x2,…, xn+2} ，为此 , En=|f(xk)-pn(xk)| =1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk))|.
第4章 函数最优逼近法
n
n
n
2 2
由多元函数极值的必要条件，S取得最小必有 S 0, (k 0,1, , n) ck
S ( c j j , crr ) 2( c j j , f ) f
j 0 r 0 j 0
n n S 又 cr (k ,r ) c j (k ,i ) 2(k , f ) ck r 0 j 0
令 = max xi , 于是 0有 S
b a
w( x )[ p ( x ) f ( x )] 2 dx
(4 3)
选取c0 , c1 ,
, cn , 使得S最小的p( x)称为f ( x)在[a, b]上相对于
权函数w( x)的最优平方逼近函数.
4.1.1 最优平方逼近函数之内积
(0 , n ) c0 (0 , y ) (1 , n ) c1 (1 , y ) (n ,n ) cn (n , y )
n S 由 0得， (k ,i )c j (k , f ), k 0,1, ck j 0
n
n
n
2 2
,n
(0 ,0 ) (0 ,1 ) (1 ,0 ) (1 ,1 ) (n ,0 ) (n ,1 )
简写为 Ac b
(0 ,n ) c0 (0 , f ) (1 ,n ) c1 (1 , f ) (n ,n ) cn (n , f )
0
1
所以
0.06277
对离散数据的曲线拟合最小二乘法
问题（回顾）：在科学实验中,得到函数y=f(x)的一 组实验数据: ( xi , yi ) (i 1,2, , m) ,求曲线
三章最佳逼近
§2 函数的最佳平方逼近
一、公式的推导
对于连续函数空间 C[a,b] 中的元素f(x) 及其子空间
sp {0 ( a x ), 1 n ( x ) ,,n ( x )}
所谓 f(x) 在中的最佳平方逼近，就是存在
p n (x ) c 0 0 c 1 1 c n n
使得对于一切
i0
n
ci
abi(x)k(x)dx
b a
f(x)k(xБайду номын сангаасdx
i0
k0,1,,n
利用内积 可以得到
a bi(x)k(x)d x(i,k) a bf(x)k(x)d x(f,k)
n
(i,k)ci (f,k),k0,1,,n
i0
这是一个含有n+1个变量的方程组，具体形式为：
(0 , k)c 0 (1 , k)c 1 (n , k)c n (f, k)
第三章 最佳逼近
最佳逼近问题 函数的最佳平方逼近 数据拟合的最小二乘法
§1 最佳逼近问题
一、函数的逼近方法
关于函数的n次多项式逼近方法，已知有下面的几种：
1. Taylor展式：
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(nn )(!x0)(xx0)n
如果
f(n (n 1)1())!(xx0)n1
f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 ) f(n n )( ! x 0 )(x x 0 ) n
I(c0,c1)1 1f(x)c0c1x2dx
4
由
I
c0
211f(x)c0c1xdx 0
4
I
c1
211f(x)c0c1xxdx0
4
整理得到
f(x)的一次最佳逼近多项式
标题：f(x)的一次最佳逼近多项式：从简到繁，由浅入深的探讨当谈及函数f(x)的一次最佳逼近多项式时，我们首先需要了解什么是一次最佳逼近多项式以及它的应用和意义。
随着人们对数学的深入探索，这一概念在实际问题中的应用日益广泛，对于我们深入理解这一主题，探究其背后的深层含义有着重要的意义。
1. 一次最佳逼近多项式的定义在数学中，一次最佳逼近多项式指的是在一定范围内，通过一次多项式来最佳逼近给定函数f(x)。
这里的“最佳”指的是在这一范围内，该一次多项式与给定函数的误差最小，或者说残差最小。
这一概念的提出源自对函数逼近的需求，通过使用最佳逼近多项式能够更好地对函数进行估计和逼近，具有广泛的理论和实际应用意义。
2. 一次最佳逼近多项式的计算一次最佳逼近多项式的计算是一个经典的数学问题，涉及到最小二乘法、线性代数等多个数学领域的知识。
在实际求解中，可以通过拉格朗日插值法、最小二乘法或者直接求解线性方程组等方法来得到一次最佳逼近多项式。
这些方法各有特点，但都能够有效地逼近给定函数，为实际问题的求解提供了重要的数学工具。
3. 一次最佳逼近多项式的应用一次最佳逼近多项式在实际中有着广泛的应用，尤其在数据处理、信号处理、曲线拟合等领域有着重要的地位。
在经济学中，通过一次最佳逼近多项式能够更好地对经济数据进行趋势预测和分析；在工程中，能够通过一次最佳逼近多项式来对信号进行处理和分析。
这些应用都彰显了一次最佳逼近多项式在实际中的价值和意义。
回顾以上内容，我们对f(x)的一次最佳逼近多项式有了初步的了解，从其定义、计算方法到应用场景我们都有了一定的认识。
然而，我们接下来还需要更深入地探讨这一主题，理解其中的数学原理、背后的逻辑和应用的实际意义。
4. 个人观点和理解作为文章写手，我对f(x)的一次最佳逼近多项式有着自己的理解和观点。
我认为，一次最佳逼近多项式的研究不仅仅是为了得到一个较好的逼近多项式，更重要的是通过对逼近过程中的误差和残差的分析，揭示函数本身的性质和规律。
数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近
插值逼近的性质
插值逼近的误差
插值逼近的误差取决于插值多项式的阶数和插值点的选择，一般 来说，阶数越高，误差越小。
插值逼近的稳定性
插值逼近的稳定性取决于插值多项式的选择和计算方法，选择合适 的插值多项式和计算方法可以提高稳定性。
插值逼近的应用
插值逼近在数值分析、数学建模、信号处理等领域近
多项式逼近是一种常用的逼近方法，通 过将函数表示为一系列多项式的和，来 逼近原函数。多项式逼近具有精度高、 适用范围广等优点，但计算量大、稳定 性差。
VS
插值法
插值法是一种常用的多项式逼近方法，通 过构造一个多项式来逼近原函数。插值法 具有数学基础扎实、计算稳定等优点，但 需要解决插值节点过多导致计算量大、数 值不稳定性等问题。
最佳一致逼近的误差通常用范数表示，常用的范数有L∞范数、 L2范数和L1范数等。
逼近的数学模型
01
逼近问题通常可以转化为求解一个 泛函极值问题，即寻找一个多项式 p(x)，使得它在给定区间[a, b]上与 目标函数f(x)的误差最小。
02
逼近问题的数学模型可以表示为 求解一个极值条件下的优化问题 ，常用的方法有梯度法、牛顿法 、拟牛顿法等。
深入研究逼近定理
进一步探索逼近定理的内在机制，为逼近理论的 发展提供理论支持。
逼近误差分析
对逼近误差进行深入分析，建立更加精确的逼近 误差估计，提高逼近精度。
推广逼近理论
将逼近理论应用于更广泛的领域，如微分方程、 积分方程等，推动相关领域的发展。
逼近在实际问题中的应用拓展
数值计算
利用最佳一致逼近方法进行数值计算，提高计算精度和效率。
CHAPTER
最佳一致逼近的方法
线性逼近的方法
数值计算方法_最佳平方逼近
25数值分析—最佳逼近━基于ＭＡＴＬＡＢ的实现与分析§１ 引 言所谓函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个与给定的函数（定点）距离最短的函数（点）。
由于在函数空间中可以定义不同的距离，不同意义下的距离度量定义了不同的逼近准则。
令P 表示指定的一类简单的函数集合 １、函数最佳一致逼近： 基于的距离度量如下()[]()()d f P f x P x x a b ，，=-∈max （１）逼近准则：()[]()()x P x f P f d b a x P P -=∈P ∈P∈，max min ,min （２）２、函数最均方逼近：基于的距离度量如下()()()[][]d f P f x P x dx ab，=-⎰212（３）逼近准则()=P∈P f d P ,min minP ∈P()()[][]f x P x dx ab-⎰212（４）如果给定的是函数在若干点处的函数值：()()x f x i i ，，i =0，1，， n ，那么还有称为：３、最小二乘逼近： 基于的距离度量如下()()()[]d f P f x P x i i i n ，=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=∑012（５）逼近准则26()=P ∈P f d P ,min min P ∈P ()()[]f x P x i i i n-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=∑012（６）４、插值逼近，其逼近准则为：()()i i x f x P =， ()n i x P ，，，， 10=P ∈ （７）对于函数最佳逼近问题而言，用于逼近的简单的函数集合一般选取次数不超过n 次的多项式函数全体()()()(){}P n k k x P x P x k n ==≤deg （８）即用多项式函数逼近给定的函数，其原因在于只需对自变量做加法、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的。
4最佳逼近
第四章 最佳逼近1解：作变换)()(a b t a t x -+==ϕ，则当],[b a x ∈时，]1,0[∈t ，记：]1,0[)),(())(()(∈-+==t a b t a f t f t g ϕ，则其Bernstain 多项式为：,2,1,)1()()1()(0=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=∑∑n t t C a b n i a f t t C n i g g B in i n i ni i n i n i ni n再将ab a x t --=代入上式即得)(x f 在],[b a 上的Bernstain 多项式：,2,1,)1()()(0=---⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=∑n a b a x a b a x C a b n i a f f B i n in i ni n 4．假设],[b a C f ∈，证明f 关于0P 的最佳一致逼近多项式为：2m M +，其中：)(max ),(min ],[],[x f M x f m b a x b a x ∈∈==。
证明：因)(x f 在],[b a 上连续，故存在],[,21b a x x ∈使：)(min )(],[1x f m x f b a x ∈==，)(max )(],[2x f M x f b a x ∈==。
（1） 若M m =，则)(x f 为常数，显然2m M c +=就是)(x f 在],[b a 上的0次最佳一致逼近多项式。
（2） 若M m ≠则21x x ≠，且记2m M c +=，由于当M x f m b x a ≤≤≤≤)(,时，于是：22)(m M mM c x f --≤-≤-，即2)(mM c x f -∞=-，又∞--=-cx f c x f )()(1，∞-=-c x f c x f )()(2，即21,x x 为误差曲线c x f -)(的两个正负相间的偏差点，由契比雪夫定理知，2mM c +=就是)(x f 在],[b a 上的0次最佳一致逼近多项式。
函数的逼近
定理 2：（Weierstrass 第二逼近定理） 设： f ( x ) ∈ C2π （以 2π 为周期的连续函数） 则 ∀ε > 0 ，存在三角多项式 T ( x ) ，使得： f ( x ) − T ( x ) < ε 。
n−k
k k = ∑ k 2 Cn x (1 − x ) k =0 n
n
n−k
k k −2nx ∑ kCn x (1 − x ) k =0
n−k
k k + n 2 x 2 ∑ Cn x (1 − x ) k =0
n
n−k
= nx (1 − x + nx ) − 2nxin + n 2 x 2 = nx (1 − x ) ≤
,m ，
11.4
高等微积分讲义
若令： α k ( x ) =
xk +1 − x x − xk ， βk ( x ) = ，则有： α k ( x ) + β k ( x ) = 1 ， xk +1 − xk xk +1 − xk ,m ，
从而 Λ ( x ) = f ( xk ) α k ( x ) + f ( xk +1 ) β k ( x ) ， x ∈ [ xk , xk +1 ] ， k = 0,1,
对于 σ 1 ，有： σ 1 <
k − x <δ n
∑
ε
2
k k Cn x (1 − x )
n−k
≤
ε
2
；
对于 σ 2 ，由于： f ( x ) ≤ M （连续函数有界）， 因而：σ 2 ≤ 2 M
最佳逼近
n
n
这两个方程称为法方程，或者正规方程。
将法方程组整理，得到
n n na ( xi )b yi i 1 i 1 n n n ( x )a ( x 2 )b x y i ii i i 1 i 1 i 1
解法方程组，就可得到a, b, 从而得到最小二乘拟合直线y a bx.
线性最小二乘拟合
给定函数y f ( x)在点x1,...xn处的函数值y1,... yn ,
给定子空间S，设S的基函数为1 ( x),....m ( x)(m n),
求p( x) c11 ( x) .... cmm ( x) S ,
使得 ( p( xi ) yi ) min
解 子空间S的基函数为 2 , 拟合函数为a bx 2， 1,x
则法方程组为：
5 5 2 5a ( xk )b yk k 1 k 1 5 5 5 ( x 2 )a ( x 4 )b= x 2 y k k k k k 1 k 1 k 1
解法方程组，得到c1 ,..., cm ,
从而得到最小二乘拟合： p( x) c11 ( x) .... cmm ( x)
例 用y a bx 最小二乘拟合如下数据：
2
25 31 38 44 x 19 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
i 1 i i 1 i i 1 i 1 1 i m
n
n
m
( xi ))]1 ( xi ) 0
(f(x )-p(x )) ( x ) [y (c ( x ) ... c
i 1 i i 2 i i 1 i 1 1 i m
研究生数值分析(20)函数的最佳平方逼近
中寻求对f(x)的最佳平方逼近元素 pn (x)
现对该 Hn另取一组基底，即
H n Span L0 , L1 , L2 , , Ln } {
其中 Lj (x) 是 j 次Legendre多项式。此时，
法方程的解可直接得到，就是
( f , Lk ) 2k 1 1 c 1 Lk ( x) f ( x)dx ( Lk , Lk ) 2
以此为基底，生成空间 C[a，b] 的一个子空间
H n Span 0 , 1 ,, n } {
则 Hn中的任一个元素为
p ( x ) c j j ( x )
j 0 n
对空间C[a , b] 中的任意两个函数 f 和 g， 定义内积
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
0
1 2 1 t dt , 3 2 t 6 1 t dt 15 2
可知
2 6 2 6 q1 (t ) L0 ( x) L1 ( x) t , 3 15 3 15 1 t 1
把 t =2x-1代人 q1 (t )
得
x
在区间[0，1]上的一次最佳平方
逼近多项式
n
这是一个以 c , c , , c 为未知数的 n+1 元线性方程组，称该式为法方程组和正规方程。 它的系数矩阵为
(0 , 0 ) (1 , 0 ) ( n , 0 ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 n 1 0 1 G (0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
( x) 的形式；
* ( x) （2）求最小二乘解，即求满足条件的近似解
[ ( xi ) yi ] min
03(2)-最佳一致逼近
§2 最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定义3.10 设函数f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，对于任意给定的ε >0，如果存在多项式p (x )，使不等式ε<-<<)()(max x p x f bx a 成立，则称多项式p (x )在区间[a , b ]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x )。
那么，对于在区间[a , b ]上的连续函数f (x )，是否存在多项式p (x )一致逼近于f (x )呢？这个问题有许多人研究过。
德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。
维尔斯特拉斯定理 若f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，则对于任意ε >0，总存在多项式p (x )，使对一切a ≤x ≤b 有ε<-)()(x p x f证明从略。
维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f (x )可以用多项式p (x )逼近到任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。
事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。
因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。
切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式的次数n 趋于无穷大，而是先把n 加以固定。
对于给定的[a , b ]上的连续函数f (x )，他提出在次数不超过n 的多项式的集合p n 中去寻找一个多项式)(*x p n ，使它在[a , b ]上“最佳地逼近”f (x )。
这里最佳逼近的意思是指)(*x p n 对f (x )的偏差。
)()(max *x p x f n bx a -<< 和其它任一p (x ) ∈ p n 对f (x )的偏差)()(max x p x f bx a -<<比较时是最小的，也就是说{})()(max min )()(max )(*x P x f x p x f bx a p x p n b x a n-=-<<∈<<(3.18)这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。
第十讲：函数逼近讲解
性质4 正交多项式系{0 (x),1(x), 有如下关系
}中任何相邻三项之间
n1(x) (x n )n (x) n n1(x)
其中
n
an bn
n
bn bn1
(n 1)
an (xn ,n )
f
2
(
xi
)
2
i1
连续情形：
1
1
f f (x) ( f , f )2 ( f (x), f (x))2
1
b f 2 (x)dx 2
a
范数具有如下性质：
(1) 当 f (x) 0 时， f 0 ， f 0 f (x) 0 (2) 对任意实数 有 f ； f
(3) f h f h ；
匀逼近或一致逼近;(b)
b
a
(
x)[
f
(
x)
g
(
x)]2
dx
平方逼近或均方逼近.
一般情况下，V(x)是已知连续函数或多项
式（代数多项式或三角多项式）或有理分式
函数等。本章V(x)仅限于代数多项式。
§5.1 内积与正交多项式 / Inner Product & Orthogonal Polynomial /
n (n ,n )
§5.2 常见正交多项式系 / Famous Orthogonal Polynomial /
1.勒让德多项式系 /* Legendre Polynomials */
pn
(x)
1 2n n!
dn dxn
(x2
1)n
p0 (x) 1 p1(x) x
高妙热点透析—— 多项式函数最佳逼近
讲解：设 sinθ = x ∈[−1,1]，则 ax − 4x3 ≤ 1恒成立.代入公式有1 = I ≥ 21−2×3 × 4× 23 = 1，
2
恰好取得等号.于是 ax − 4x3 = −T3 (x) ，所以 a = 3.
2、设 f (x) = x + a x + b ， f (x) 在[0, 4] 上的最大值为 M ，求 M 的最小值.
f
(x)
的最大值为
1 2
，则
4a
+
3b
=
_____.
【例 2】设 f (x) = x3 + ax2 + bx + c， f (x) 在 [−1,1]上的最大值为 M ，求 M 的最小值.
【例
3】
f (x) = ax2 + bx + c,当 0 ≤ x ≤
1
时，
f (x) ∈[2, 4]，则 a 的最大值为
高妙热点透析—— 多项式函数最佳逼近
一．内容介绍 1 第一类 Chebyshev 多项式简介
第一类 Chebyshev 多项式定义为：Tn(x) = cos(narccos x) (其中 n ∈N ，x ∈R
且 | x |≤ 1 ).特别地，前 5 个 Chebyshev 多项式分别为：T0 (x) = 1， T1(x) = x ，
f (x) = −x3 − 3x2 + (1+ a)x + b (a < 0, b ∈R) .若 g(x) =| f (x) | ，设 M (a,b) 为 g(x) 在 [−2, 0] 上的最大值，求 M (a,b) 的最小值.
解析：令 t = x + 1 (t ∈[−1,1]) ，则有 h(t) =| −(t − 1)3 − 3(t − 1)2 + (1+ a)(t − 1) + b |，
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§3 Optimal Approximation
最佳一致逼近多项式 的构造：求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn y || 最小。
v 1.0
直接构造 OUAP 的确比较困难，不妨换个角度，先 考察它应该具备的性质。有如下结论：
OUAP 存在，且必同时有 偏差点。 证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。
y ( ) ( x xi ) ( n 1)! i 0
( n 1 ) n
达到极小？
§3 Optimal Approximation
在[ 1, 1]上求{ x1, …, xn } 使得 wn( x) ( x xi ) i 1 的||wn|| 最小。
v 2.1
n Pn1 ( x) ，要使||w || 最小就意味着 w ( x ) x 注意到 n n
令 x = cos( ) ，则 x [ 1 , 1 ]。
Tn 的重要性质：
Tn ( x ) cos(n ) cos(n· arc cos x ) 称为Chebyshev多项式
k t cos ( k 0, 1, ... , n) 时，Tn (t k ) 交错取到极大值 1 当 k n 1
{tk }称为切比雪夫交错组 若 y C[a, b] 且 y 不是 n 次多项式，则 n 次OUAP 唯一。 证明：反证，设有2个OUAP’s，分别是Pn 和 Qn 。 对于Rn 有Chebyshev交错组{ t1,…, tn+2 }使得
Pn ( x) Qn ( x) 则它们的平均函数 Rn ( x) 也是一个OUAP。 2 1 1 En | Rn (t k ) y(tk ) | | Pn (tk ) y(tk ) | | Qn (tk ) y(tk ) | En 2 2 | Pn ( t k ) y( t k ) | | Qn ( t k ) y( t k ) | E n
y
y y ( x) En
y Pn ( x)
可见Pn(x) 是 y(x)的 某一个插值多项式
y y ( x) y y ( x) En
v 2.0
如何确定
插值节点{ x0, …, xn }
x
0
的位臵，使得Pn(x) 刚好是 y 的OUAP ？ 即，使插值余项
| Rn ( x ) |
n
v 3.0
在[ 1, 1]上求函数 xn 的n1阶 OUAP。
由Chebyshev定理可推出：Pn1(x) 关于xn 有n+1个偏 差点，即wn(x)在 n+1个点上交错取极大、极小值。
v 3.1
在[ 1, 1]上求切比雪夫交错组{ t1, …, tn+1 } 。
§3 Optimal Approximation
和极小值1，即 Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
当 xk cos
xn } 为Tn(x)的n个零点。
2k 1 (k 1, ... , n) 时 Tn ( xk ) 0 ，即 {x1, …, 2n
§3 Optimal Approximation
是n阶多项式 是误差更小的多项式
§3 Optimal Approximation
（Chebyshev定理）Pn 是 y 的OUAP Pn 关于 y 在定义域 上至少有n+2个交错的 偏差点。
k 即存在点集 a t1 <…< tn+2 b 使得 Pn (tk ) y(tk ) (1) || Pn y ||
为minimax problem。
若 P( x0 ) y( x0 ) || P y || ，则称 x0 为 偏差点。
Takeyou it easy. It’s so Didn’t say it’s anot very difficult if we consider difficult problem? polynomials only.
| Pn ( x ) y( x ) | E n 设 || Pn y || max x[ a ,b ]
而对于所有的 x[a, b] 都有 Pn ( x) y( x) En En Pn ( x) y( x) En
| [ Pn ( x) / 2] y( x) | En / 2
切比雪夫多项式
考虑三角函数 cos(n ) 在[ 0, ] 上的 n + 1 个极值点。
k 当 k n ( k 0, 1, ... , n) 时， cos(n )交错达到极大值 1 和极
n k 0
小值 1 ，且存在系数 a0, …, an 使得 cos(n ) ak (cos )k
Tn(x)满足递推关系： T0(x) = 1， T1(x) = x， Tn1 ( x) 2 x Tn ( x) Tn1 ( x)
Tn(x)为 n 次多项式，首项系数为 2n1。且T2n(x)只含 x 的 偶 次幂， T2n+1(x)只含x 的 奇 次幂。 { T0(x), T1(x), … } 是[ 1 , 1 ]上关于权 ( x )
则至少在一个点上必须有 Pn (tk ) y(tk ) y(tk ) Qn (tk ) Rn (t k ) y(t k ) 0 En 0
§3 Optimal Approximation
由Chebyshev定理可推出：Pn(x) y(x) 在定义域上至少变号 n+1 次，故至少有 n+1 个根。
§3 函数的最佳逼近
最佳平方逼近：即连续型L-S逼近，在 || f ||2 ( f , f ) 意义 下，使得 || P y ||2 最小。
偏差
最佳一致逼近 在 || f || max | f ( x ) | 意义下，使得 || P y || 最小。也称
x[ a , b ]