最佳平方逼近算例
3_最佳平方逼近问题
( 0 , * f ) 0 * ( 1 , f ) 0 ( , * f ) 0 n
yfnie@
5
几何意义
平方逼近误差
f
*
* *
2 2
( f , f )
* *
*
( , ) 2 ( , f ) ( f , f )
yfnie@
8
基于正交基的最佳平方逼近（续）
( 0 , f ) ( 1 , f ) ( n , f ) * C , , , ( , ) ( , ) ( n , n ) 0 0 1 1
*
T
( 0 , f ) ( 0 , 0 )
)
3
0
平方误差计算
直接计算：
b a
* 2x a b sin x 2 ( ) dx ba
2 1
2
间接计算：
ab ba ba * 1 sin( 2 t 2 ) 2 ( t ) dt 2
yfnie@ 16
求 (x ) c 0 0 c 1 1 c n n , 使 得
* * * *
n n n n * * f c i i , f c i i min f c i i , f c i i . i0 i0 ci R i0 i0
c0 ( f , 0 ) c1 ( f ,1 ) cn ( f , n )
即 { i } i 0 是线性空间
的一组正交基。
T
最佳平方逼近算例
相应的正规方程组为
(ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ 0 , ϕ1 ) (ϕ 0 , ϕ 2 ) a 0 ( f , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ1 , ϕ 2 ) a1 = ( f , ϕ1 ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) a ( f , ϕ ) 2 2 1 2 2 2 2 0
0
1
可解出 b = −1 , c = ，正规方程组为
* c0 (ϕ0 , ϕ0 )
1 6
c (ϕ1 , ϕ1 )
* 1
= (ϕ0 , f ) = (ϕ1 , f )
* c2 (ϕ 2 , ϕ 2 ) = (ϕ2 , f )
计算可得
1 1 ， (ϕ 2 , ϕ 2 ) = 180 12 3−e 7e − 19 ， ( f , ϕ2 ) = ( f , ϕ 0 ) = e − 1 ， ( f , ϕ1 ) = 2 6 (ϕ 0 , ϕ 0 ) = 1 ， (ϕ1 , ϕ1 ) =
ϕ * ( x) = a 0ϕ 0 ( x) + a1ϕ 1 ( x) + a 2ϕ 2 ( x) = 0.83918 x 2 + 0.85113x + 1.01299
平方逼近误差为 δ ( x) 2 = f − p2 2 = f 2 − ∑ ai ( f ,ϕi ) ≈ 2.783545 × 10− 5 .
例：求函数 f ( x) = e x 在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平 ，小数点后保留 5 位. 方逼近误差 δ 2 2
解： （解法 1）
2
使用 Legendre 正交多项式
最佳平方逼近
正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。 可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。 我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
否则，就线性无关。 区间[a,b]上c11 ( x) .... cm m ( x) 0成立 就一定有c1 ... cm 0
假定1 ( x),....m ( x)是子空间S的基， 若函数g是最佳逼近元，则
( f g , 1 ( x)) 0,( f g , 2 ( x)) 0 ...., f g , m ( x)) 0 (
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
最佳平方逼近多项式
给定函数f ( x) C[a, b], 求次数不超过n的 多项式p( x)，使得
b
a
w( x)( f ( x) p( x)) dx min
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a， ，am， .....
从而得到f ( x)在子空间S中的最佳平方 逼近元g ( x) a11 ( x) ..... amm ( x)
第三章-2-最佳平方逼近
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
计算方法 最佳平方逼近-最小二乘法
只需证明 (s(x), s(x)) (s(x), f(x)) 即：
n
n
n
( akk (x), ajj(x)) ( akk (x), f(x))
k0
j0
k0
整理上式，得
n
n
n
ak[ aj(k(x), j(x))]
ak (k (x), f(x))
k0
j0
k0
根据之前S*(x)存在性证明过程中得到的(3.3)式，即：
10 27
88 x 135
平方误差 :|| δ(x) ||22
1xdx
1
( 10 27
7 12
31 80
) 88
135
4
1.02
p1* (x)
10 27
88 x. 135
1
f(x) x
平方误差 : || δ(x) ||22 0.0001082.
0.37
1/4
1
观察：在[1 , 1]上，f(x) 4
n
|| f(x) ||22 ak* (f, k ) (4.5) k0
逼近误差公式证明
|| δ(x) ||22 || f(x) - s(x) || (f(x) - s(x), f(x) - s(x)) (f(x), f(x)) (f(x), s(x)) - (s(x), f(x)) (s(x), s(x))
(x)dx
n
(k , j )aj (f, k ), k 0,1,...,n (3.3)
j0
展开成方程组形式：
(0 , 0 )a0 (0 , 1 )a1 (0 , n )an (f, 0 ) (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (f, 1 )
最佳平方逼近原理
最佳平方逼近原理最佳平方逼近原理是数值分析中的一个经典原理，用于寻找函数在给定定义域上的最佳平方逼近曲线。
在实际应用中，我们经常需要通过已知的离散数据点来近似拟合一个函数，最佳平方逼近原理就是为了解决这个问题而提出的。
最佳平方逼近原理的核心思想是，通过最小化残差平方和来选择最佳的曲线拟合函数。
残差平方和是指每个数据点与拟合曲线之间的差值的平方和，通过最小化残差平方和，我们可以找到能够最好地拟合数据点的曲线。
为了更好地理解最佳平方逼近原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一组包含有N个点的数据集{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，我们需要找到一条曲线y=f(x)来拟合这些数据点。
首先，我们可以假设拟合曲线为一条直线y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
我们的目标是找到最佳的斜率a和截距b，使得拟合曲线能够最好地拟合数据点。
为了评估拟合曲线的好坏，我们可以定义残差ei为数据点yi与拟合曲线f(xi)之间的差值，即ei=yi-f(xi)。
然后，可以定义残差平方和E为所有残差的平方和，即E=∑(yi-f(xi))^2。
根据最佳平方逼近原理，我们需要选择最优的斜率a和截距b，使得E达到最小值。
这可以通过对E分别对a和b求偏导数，并令偏导数等于零来实现。
∂E/∂a=0和∂E/∂b=0的解可以分别表示为a=(N∑(xiyi)-∑xi∑yi)/(N∑(xi^2)-(∑xi)^2)和b=(∑yi-∑(xi/n)a))/N 通过求解这两个方程，我们可以得到最佳的斜率a和截距b，从而得到最佳的拟合曲线。
上述例子只是最佳平方逼近原理的一个简单应用，实际上，最佳平方逼近原理可以应用于更复杂的拟合曲线，如多项式拟合、指数拟合等。
在实际应用中，最佳平方逼近原理广泛应用于数据分析、信号处理、图像处理等领域。
通过最佳平方逼近原理，我们可以从大量的离散数据中提取有效的信息，利用拟合曲线来进行预测、分类、回归等操作。
最佳平方逼近
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
函数的一次最佳平方逼近
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：函数的最佳平方逼近一、算法理论下面研究在区间[],a b 上一般的最佳平方逼近问题。
对于给定的函数()[,]f x C a b ∈，如果存在*01(){(),(),,()}n S x Span x x x ϕϕϕ∈使得[]22*()()()min ()()()bb a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤⎡⎤-=-⎣⎦⎰⎰则称*()s x 是()f x 在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕ 中的最佳平方逼近函数。
为了求*()s x ，由式可知，该为题等价于求多元函数。
若用H 表示行列式2(1,,,....,)n Gn G x x x =对应的矩阵，则*()s x ， H 称为Hilbert 矩阵。
记01(,,....,)T n a a a a =，01(,,....,)T n d d d d =其中 (,)(0,1,.....,)k k d f x k n ==则方程 Ha d =的解*(0,1,.....)k k a a k n ==即为所求。
二、算法框图三、算法程序#include<stdio.h>#include<math.h>double function1(double x){ double s1;s1=1/sqrt(4+x*x);//替换函数return s1;}double function2(double x){ double s2;s2=x/sqrt(4+x*x);//替换函数return s2;}double ReiterationOfSimpson(double a,double b,double n,double f(double x)){ double h,fa,fb,xk,xj;h=(b-a)/n;fa=f(a);fb=f(b);double s1=0.0;double s2=0.0;for(int k=1;k<n;k++){ xk=a+k*h;s1=s1+f(xk);}for(int j=0;j<n;j++){ xj=a+(j+0.5)*h;s2=s2+f(xj);}double sn;sn=h/6*(fa+fb+2*s1+4*s2);return sn;}int main(){ double a=0.0,b=1.0,Result[2];int n=5;Result[0]=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function1);Result[1]=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function2);printf("d0=%f,d1=%f\n\n",Result[0],Result[1]);double x[2]={Result[0],Result[1]};double a0,a1;a0=4*Result[0]-6*Result[1];a1=12*Result[1]-4*Result[0];printf("a0=%5.7f,a1=%5.7f\n\n",a0,a1);}四、算法实现例1. 求()f x x =在[1,1]-上的一次最佳平方逼近解：运行程序，把替换函数分别改成s1=abs(x)，s2=x*abs(x)， 上机运行截图例2. 设()1/0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
第四章 3最佳平方逼近(1)
§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。
一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。
例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。
例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。
定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。
二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。
例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。
内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。
3.3 最佳平方逼近
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026. 0
1
最大误差
( x)
max
0 x 1
* 1 x 2 S1 ( x) 0.066.
11
3.3.2
用正交函数族作最佳平方逼近
设 f ( x) C[a, b], span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)},
（3.5）
若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n 中求 n次最佳平方逼近多项式
* * * n S * ( x) a0 a1 x an x ,
7
此时
( j ( x), k ( x))
1 0
1
0
1 /( n 1) 1 /( n 2) 1 /( 2n 1)
（3.6）
称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.
8
T T 记 a (a0 , a1 ,, an ) , d (d 0 , d1 ,, d n ) , 则
Ha d
* a a 1, , n) 即为所求. 的解 k k ( k 0,
讨论特殊情况.设 {0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}是正交多 项式， span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)},k ( x)( k 0,1,, n) 可由 1, x,, x n 正交化得到，则有下面的收敛定理.
15
定理8
设 f ( x) C[a, b], S * ( x) 是由（3.9）给出的
b j 0 n
的最小值.
I (a0 , a1 ,, an ) 是关于 a0 , a1 , , an 的二次函数，
4章§3 最佳平方逼近
定理6
ϕ0 (x),ϕ1(x),Lϕn−1(x), 在[a，b]上线性无关的充分必要条
件是它的克来姆(Gramer)行列式 G ≠ 0, ，其中 n−1
(ϕ0 ,ϕ0 ) Gn−1 = G(ϕ0,ϕ1, Lϕn−1 = (ϕ1,ϕ0 ) L
(ϕ0 ,ϕ1) L (ϕ0 ,ϕn−1) (ϕ1,ϕ1) L (ϕ1,ϕn−1) L L L
用{1，x，…，xn)做基，求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数 矩阵(3.16)式是高度病态的(病态矩阵概念见第七章)，求法方程 (3.13)的解，舍人误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得 最小平方逼近多项式(见§5).
(ϕn−1,ϕ0 ) (ϕn−1,ϕ1) L (ϕn−1,ϕn−1)
(3.10) 定理的证明由读者完成.
一、函数的最佳平方逼近
现在我们研究在区间[a，b]上一般的最佳平方逼近问题. 对 f (x) ∈C[a，b]及C[a，b]中的一个子集ϕ = span{ 0 ,ϕ1 ,L,ϕn ) ， ϕ 若存在S*(x) ∈ϕ ，使
(3.2)
则在(a，b)上g(x)≡0，就称 ρ(x) 为区间(a，b)上的权函数. 定义5 设f(x)，g(x)∈[a，b]，是[a，b]上的权函数，积分
( f , g) = ∫ ρ(x) f (x)g( x)dx
a
b
称为函数f(x)与g(x)在[a，b]上的内积.
容易验证这样定义的内积满足下列四条公理； 1) ( f , g)=(g, f ) ； 2) (cf , g)=c(f , g) ，c为常数； 3)
于是有
∑(ϕ ,ϕ )a
j=0 k, j
n
j
= ( f ,ϕk )
(k = 0,1,L, n)
§3 最佳平方逼近多项式
若f ( x) C[a, b], span{0 ( x),1 ( x),n ( x)},
若函数组 0 ( x),1 ( x), n ( x)满足条件
则
方程组
0， 当i j ( i , j ) ( j , j )， 当i j
( 0 , 0 ) a 0 ( f , 0 ) a ( f , ) ( , ) 1 1 1 1 ( n , n ) an ( f , n )
* a 展开，而系数 k (k 1,2,, n)
按下式计算
ak ( f ( x),k ( x)) /(k ( x),k ( x)) ; (k 0,1,, n)
得级数
a k k ( x) k 0
* 称为f(x)的广义傅立叶(Foureir)级数,系数 ak (k 1,2,, n)
( x)
1 1 x2
，k 0 ( (Tk Tk ) ) ,k 0 2
1 1 x
2
由切比雪夫(Chebyshev)镇多项式作最佳平方逼近
Cn ( x ) ak Tk ( x ) k 0 n
其中
( f , T0 ) 1 a (T0 , T0 )
f P*
2 2
事实上,
f P
2 2
( f P, f P )
*
( f P* P* P, f Pn P* P)
( f P * , f P* ) ( P* P, P * P ) 2( f P * , P * P )
* 因为（f P ，P P） （f P ， （ a j a j） j ( x) ） * * * j 0
研究生数值分析(20)函数的最佳平方逼近
中寻求对f(x)的最佳平方逼近元素 pn (x)
现对该 Hn另取一组基底，即
H n Span L0 , L1 , L2 , , Ln } {
其中 Lj (x) 是 j 次Legendre多项式。此时，
法方程的解可直接得到，就是
( f , Lk ) 2k 1 1 c 1 Lk ( x) f ( x)dx ( Lk , Lk ) 2
以此为基底，生成空间 C[a，b] 的一个子空间
H n Span 0 , 1 ,, n } {
则 Hn中的任一个元素为
p ( x ) c j j ( x )
j 0 n
对空间C[a , b] 中的任意两个函数 f 和 g， 定义内积
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
0
1 2 1 t dt , 3 2 t 6 1 t dt 15 2
可知
2 6 2 6 q1 (t ) L0 ( x) L1 ( x) t , 3 15 3 15 1 t 1
把 t =2x-1代人 q1 (t )
得
x
在区间[0，1]上的一次最佳平方
逼近多项式
n
这是一个以 c , c , , c 为未知数的 n+1 元线性方程组，称该式为法方程组和正规方程。 它的系数矩阵为
(0 , 0 ) (1 , 0 ) ( n , 0 ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 n 1 0 1 G (0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
( x) 的形式；
* ( x) （2）求最小二乘解，即求满足条件的近似解
[ ( xi ) yi ] min
最佳三角多项式平方逼近
最佳三角多项式平方逼近最佳三角多项式平方逼近是一种数学方法，用于找到最接近给定数据集的三角多项式。
这种方法可以在各种领域中找到广泛的应用，包括信号处理、数据分析和图像处理。
下面将通过一个具体的例子来说明最佳三角多项式平方逼近的原理和应用。
假设我们有一组离散的数据点，表示某个周期性现象的变化趋势。
我们的目标是找到一个三角多项式，使得该多项式的平方与数据点的误差最小。
简单来说，我们希望找到一个函数，尽可能地逼近这些数据点，并且在逼近过程中最小化误差。
为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法。
最小二乘法是一种常见的数学方法，用于拟合数据和模型之间的关系。
它通过最小化残差平方和来找到最佳的拟合曲线。
在三角多项式平方逼近中，我们可以使用最小二乘法来找到最佳的三角多项式。
具体来说，我们可以使用三角函数的线性组合作为三角多项式的形式。
常见的三角函数包括正弦函数和余弦函数。
通过选择适当的系数，我们可以将这些三角函数进行线性组合，并得到一个逼近函数。
然后，我们可以使用最小二乘法来找到最佳的系数，使得逼近函数的平方与数据点的误差最小。
最佳三角多项式平方逼近的优点是可以适应不同类型的数据集。
它可以在周期性数据和非周期性数据中都得到良好的逼近效果。
此外，该方法还可以通过调整三角多项式的阶数来控制逼近的精度。
较高阶的三角多项式可以更精确地逼近数据，但也可能导致过拟合问题。
需要注意的是，最佳三角多项式平方逼近并不是万能的。
它的适用范围有一定限制，对于某些特殊的数据集可能效果不佳。
此外，该方法也需要一定的数学基础和计算能力才能正确应用。
总结来说，最佳三角多项式平方逼近是一种用于找到最接近给定数据集的三角多项式的数学方法。
它通过最小化平方误差来实现数据的逼近。
该方法在各种领域中都有广泛的应用，并且可以通过调整阶数来控制逼近的精度。
然而，需要注意该方法的适用范围和限制，并具备一定的数学基础和计算能力才能正确应用。
ch03d用勒让德多项式求最佳平方逼近
§4 曲线拟合的最小二乘法
例：已知一组实验数据如下表，求它的曲线拟合。
xi 1 2 3 4 5 yi 4 4.5 6 8 8.5 i 2 1 3 1 1
解：（1）作线性拟合(不考虑权系数），选取0(x) 1，1(x) x, m 4,n 1.
S(x) a40 a1x
(0 ,0 ) 1 = 5 i0
插值
数值逼近
问题一 已知一个函数的数值表
x
x1
x2 …… xn
y
y1
y2 …… yn
能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 p(xi) = yi 。
问题二 函数 f(x) 的表达式非常复杂，能否找到一个简 单易算的 p(x) ，使得p(x) 是 f(x) 的一个合理的逼近。
问题三 问题一的表中的数值带有误差，能否找到一 个简单易算的 p(x) ，可以近似地表示这些数据。
C[-1, 1] 在 中的 n 次最佳平方逼近多项式为
其中
n
sn ( x) akPk ( x)
k0
ak
( f , Pk ) ( Pk , Pk )
2k 1 2
1 1
f ( x)Pk ( x)dx
由最佳平方逼近多项式的唯一性可知，这里的 sn( x) 与直 接以{1, x, ..., xn}为基得到的最佳平方逼近多项式是一致的
最佳逼近多项式。 上与零偏差最小的多项式
近似最佳逼近多项式
该定理给出了切比雪夫多项式的一个非常重要的性质， 该性质被广泛用于求函数的近似最佳逼近多项式。
由定理可知，若 f (x) - pn(x) =aTn+1(x) ，则在 [-1, 1] 上 有 n+1 个轮流为正负的偏差点，由切比雪夫定理， pn(x) 是 Pn中，在 [-1, 1] 上多项式 f (x) 的最佳逼近多项式。
计算方法最佳平方逼近-最小二乘法
i0
i0
为最小。
这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为 曲线拟合的最小二乘法。
（1）直线拟合
设已知数据点 (xi , yi ), i 1, 2, … , m 分布大致为 一条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x, 该直线
不是通过所有的数据点 (xi , yi ) ,而是使偏差平方和
F(a0 , a1 )
计算方法 (Numerical Analysis)
第5次 最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法
主要内容
• 最佳平方逼近 • 曲线拟合的最小二乘法
最佳平方逼近
函数逼近的类型
• 最佳一致逼近：使用多项式对连续函数进行一致 逼近。逼近误差使用范数
||
f(x)
-
s(x)
||
max
a x b
|
f(x)
-
1(1 x2 )dx 1(0.934 0.426x) 1 x2dx
0
0
0.0026
最大值误差 :
同学们自己求一下
|| δ(x) || max | 1 x2 (0.934 0.426x) | 0.066
例题 求f(x) x在[1/4,1]上的在Φ span{1, x} 中的关于ρ(x) 1的最佳平方逼近多项式。
10 27
88 x 135
平方误差 :|| δ(x) ||22
1xdx
1
( 10 27
7 12
31 80
) 88
135
4
1.02
p1* (x)
10 27
88 x. 135
1
f(x) x
平方误差 : || δ(x) ||22 0.0001082.
matlab最佳平方逼近
最佳平方逼近试验任 兵（200820302025）一、问题叙述求函数f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。
二、问题分析由教材定义6.5有：对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，如果存在*01(){(),(),,()}n S x Span x x x ϕϕϕ∈L使得[]22*()()()min ()()()bba aa xb x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤⎡⎤-=-⎣⎦⎰⎰ 则称S *(x )是f (x )在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕL 中的最佳平方逼近函数。
显然，求最佳平方逼近函数)()(0**x a x S j nj j ϕ⋅=∑=的问题可归结为求它的系数**1*0,,,n a a a Λ，使多元函数dx x a x f x a a a I j n j j ban 2010)()()(),,,(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑⎰=ϕρΛ取得极小值，也即点(**1*0,,,n a a a Λ)是I (a 0, …，a n )的极点。
由于I (a 0, a 1, …，a n )是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，0=∂∂ka I(k = 0, 1, 2, …, n ) 即[]0)()()()(20=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂∑⎰=dx x x a x f x a Ik j n j j b a k ϕϕρ得方程组),,2,1,0(,)()()()()()(0n k dx x x f x dxx x x a k b aj k banj j Λ==⎰⎰∑=ϕρϕϕρ如采用函数内积记号,)()()(),(,)()()(),(dx x x f x f dx x x x k qak j k baj k ϕρϕϕϕρϕϕ⎰⎰==那么，方程组可以简写为(,)(,)(0,1,2,,)nkjjk j af k n ϕϕϕ===∑L (1)这是一个包含n + 1个未知元a 0, a 1, …, a n 的n + 1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭LLM M L L L L L …………（2） 此方程组叫做求a j (j = 0, 1, 2, …, n )的法方程组。
矩阵理论作业5：写出勒让德最佳平方逼近实现
()[,]f x C a b ∈的勒让德最佳平方逼近实现摘 要Legendre 多项式的一个重要应用就是可以用多项式逼近一个区间上的连续函数。
本文对()[,]f x C a b ∈区间范围内的函数进行勒让德最佳平方逼近的实现，推导出逼近的表达式并应用实际例子进行计算。
matlab 中计算的结果表明逼近表达式是正确的。
关键字：勒让德 最佳平方 逼近引言在函数逼近论中，Legendre 多项式的一个重要应用就是可以用多项式逼近一个区间上的连续函数。
Legendre 正交多项式的一个很重要的应用是计算函数的数值积分，本文参考矩阵理论讲义[1]对()[,]f x C a b ∈的勒让德最佳平方逼近形式进行了推导，并在matlab 中计算和验证逼近的结果的正确性。
勒让德最佳平方逼近的实现根据定理2.1.9，如果()[1,1]f x C ∈-，则存在0()()[]ni i n i p x w L x x ==∈∑P ，[1,1]x ∈-作为的()f x 的最佳平方逼近，即0ε∀>，存在n 使得()1/2121()()(()())f x p x f x p x dx ε--=-<⎰，其中1111121()()21()(),2()0,1,,i ii if x L x dxi w f x L x dx L x dxi n---+===⎰⎰⎰对于()[1,1]f x C ∈-，求积分的Gauss-Legendre 近似求积公式为：11()()ni i i f x dx A f x -=≈∑⎰(1)其中,0,1,2,,i x i n = 是1n +阶多项式1()n L x +的零点，求积系数11'11(),0,1,,()()n i i n i L x A dx i n x x L x +-+==-⎰(2)根据这个定理我们来推导更一般的情况，当()[,]f x C a b ∈时，用变量替换的方法实现()baf x dx ⎰的勒让德最佳平方逼近。
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2
= ∫ (e
−1
1
t +1 2 2
) dt − [(e − 1) × (2e − 2) + (−3e + 9) × (−2e + 6) + (35e − 95) × (14e − 38)]
= 2 ∫ (e x ) 2 dx − 2[(e − 1) × (e − 1) + (−3e + 9) × (−e + 3) + (35e − 95) × (7e − 19)]
解得
* c0 =
( p0 , F ) 2(e − 1) = = e −1 ( p0 , p0 ) 2 ( p1 , F ) − 2e + 6 = = −3e + 9 ( p1 , p1 ) 2/3 ( p2 , F ) 14e − 38 = = 35e − 95 ( p2 , p2 ) 2/5
* c1 =
亦即
1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 3 a 0 e − 1 1 a1 = 1 4 1 a 2 e − 2 5
解得 a0 = 1.01299, a1 = 0.85113, a 2 = 0.83918 ，所求最佳平方逼近多项式为
ϕ * ( x) = a 0ϕ 0 ( x) + a1ϕ 1 ( x) + a 2ϕ 2 ( x) = 0.83918 x 2 + 0.85113x + 1.01299
平方逼近误差为 δ ( x) 2 = f − p2 2 = f 2 − ∑ ai ( f ,ϕi ) ≈ 2.783545 × 10− 5 .
因此，对 f(x)的平方逼近误差为
δ 2 = f ( x) − ϕ * ( x) 2 =
2 2 2 1 F (t ) − ϕ * (t ) ≈ 2.783545 × 10− 5 . 2 2
（解法 2） 构造[0,1]上首项系数为 1 的正交多项式的前三项. 设
ϕ 0 ( x) = 1 , ϕ1 ( x) = x + a , ϕ 2 ( x) = x 2 + bx + c
相应的正规方程组为
(ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ 0 , ϕ1 ) (ϕ 0 , ϕ 2 ) a 0 ( f , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ1 , ϕ 2 ) a1 = ( f , ϕ1 ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) a ( f , ϕ ) 2 2 1 2 2 2 2 0
1 * c 2 (3(2 x − 1) 2 − 1) 2 2 = (210e − 570) x + (−216e + 588) x + 39e − 105 = 0.83918 x 2 + 0.85113 x + 1.01299
对 F(t)的平方逼近误差为
δ
2 2
= F (t ) − ϕ * (t ) = F 2 − ∑ ci* ( F , pi )
例：求函数 f ( x) = e x 在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平 ，小数点后保留 5 位. 方逼近误差 δ 2 2
解： （解法 1）
2
使用 Legendre 正交多项式
2 2
作变换 x = a + b + t b − a = 1 (1 + t ) ，则
f ( x) = e , x ∈ [0,1]
2 2 2 i =0
2
平方逼近误差为
δ ( x) 2 = f − ϕ * 2 = f
2 2
− ∑ ci* ( f , ϕi ) 2
2 i =0
2
= −248.5e 2 + 1350e − 1833.5 ≈ 2.783545 × 10−5
（解法 3）
使用线性无关函数族 ϕ0 ( x) = 1, ϕ1 ( x) = x, ϕ2 ( x) = x 2 ，
* * * 于是解得 c0 = e − 1, c1 = 18 − 6e, c2 = 210e − 570 ．
f ( x) = e x ( 0 ≤ x ≤ 1) 的最佳二次平方逼近多项式为
* * ϕ * ( x) = c 0 ϕ 0 ( x) + c1*ϕ1 ( x) + c 2 ϕ 2 ( x)
= (210e − 570) x 2 + (−216e + 588) x + 39e − 105 = 0.83918 x 2 + 0.85113x + 1.01299
Байду номын сангаас
由正交性 (ϕ 0 , ϕ1 ) = ∫0 1 ⋅ ( x + a)dx = 0 可解出 a = − . 又由正交性
(ϕ 0 , ϕ 2 ) = ∫ 1 ⋅ ( x 2 + bx + c)dx = 0
0 1
1
1 2
(ϕ1 , ϕ 2 ) = ∫ ( x + a ) ⋅ ( x 2 + bx + c)dx = 0
0
1
= −497e 2 + 2700e − 3667 ≈ 5.56709 × 10−5
注意作变换 x = a + b + t b − a = 1 (1 + t ) 后，有
2 2 2
∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] dx =
* 2 0
1
b−a 1 [ F (t ) − ϕ * (t )]2 dt ∫ − 1 2
x
⇔
F (t ) = e
t +1 2
, t ∈ [−1,1]
已知 Legendre 多项式
p 0 (t ) = 1, p1 (t ) = t , p 2 (t ) = 1 2 (3t − 1) 2
在[−1,1]上关于权函数 ρ ( x) = 1 两两正交，于是相应的正规方程组为
* ( p0 , p0 ) c0 ( p 0 , F ) * ( p1 , p1 ) c1 = ( p1 , F ) * ( p2 , p2 ) c 2 ( p 2 , F )
* c2 =
故 F (t ) = e
t +1 2
( − 1 ≤ t ≤ 1) 的最佳二次平方逼近多项式为
* * * ϕ * (t ) = c0 p0 (t ) + c1 p1 (t ) + c2 p2 (t )
f ( x) = e x ( 0 ≤ x ≤ 1) 的最佳二次平方逼近多项式为
* * (2 x − 1) + ϕ * ( x) = c0 + c1
0
1
可解出 b = −1 , c = ，正规方程组为
* c0 (ϕ0 , ϕ0 )
1 6
c (ϕ1 , ϕ1 )
* 1
= (ϕ0 , f ) = (ϕ1 , f )
* c2 (ϕ 2 , ϕ 2 ) = (ϕ2 , f )
计算可得
1 1 ， (ϕ 2 , ϕ 2 ) = 180 12 3−e 7e − 19 ， ( f , ϕ2 ) = ( f , ϕ 0 ) = e − 1 ， ( f , ϕ1 ) = 2 6 (ϕ 0 , ϕ 0 ) = 1 ， (ϕ1 , ϕ1 ) =