数值分析最佳平方逼近
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第3章数值分析---最佳平方逼近
它可表示为
Tn ( x) cos( n arccos x),
x 1.
（2.10）
若令 x cos ， 则 Tn ( x) cos n , 0 .
7
3.3.1
最佳平方逼近及其计算
对 f ( x) C[a, b] 及 C[a, b] 中的一个子集
span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
0
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026.
0
1
最大误差 ( x)
max
0 x 1
* 1 x 2 S1 ( x) 0.066.
14
3.3.2
用正交函数族作最佳平方逼近
设 f ( x) C[a, b], span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)},
就是在区间 [ , ] 上的正交函数族.
5
勒让德多项式 P59-61
P ,P 利用上述递推公式就可推出 0 ( x) 1 1 ( x) x,
2 P ( x ) ( 3 x 1) / 2, 2
3 P ( x ) ( 5 x 3 x) / 2, 3
4 P 30 x 2 3) / 8, 4 ( x) (35 x
det G(0 , 1 ,, n ) 0 ( P56)
* 于是方程组（3.3）有唯一解 ak ak
(k 0,1, , n),
* * S * ( x) a0 0 ( x ) an n ( x).
10
若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n
数值分析06-平方逼近
x dx cos xdx 0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 2 2
从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求 解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便 ，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到 正交多项式。 定义6.3 如果函数系{0(x), 1(x),…, m(x),…}满足:
0 k 1
( x ) 因而任一至多 0 k ( k1次多项式 Q ( x ) 均能表成它们的线性组 0且 ( x ) 0 ,1, 2 ,...) k 1
2 k 2 k
合。
根据定积分性质有： ( k , k ) ( x ) k ( x ) d x 0 设： Q k 1 ( x ) b aj j ( x ) 所以， k ( x )}为正交多项式系。0 { j
2
阜师院数科院第六章 函数逼近
b a
( k 2 ,3 , L , n )
6-11
( x ) k 2 ( x ) d x
2
下面介绍几种常用的正交多项式: （一）勒让德（Legendre）多项式 Legendre多项式的一般表示式为: n 1 d 具体表达 2 n Pn ( x ) n [( x 1) ] n 式为: 2 n! dx
W Y
设 0， 1， ， n 是线性相关的
, 即存在不全为
c 0 ( 0 , i ) c 1 ( 1 , i ) c n ( n , i ) c i ( i , i ) 0
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上线性无关。
0 ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x ) dx a Ak 0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 2 2
从上节知道 利用正交函数系可以简化最小二乘法的求 解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便 ，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到 正交多项式。 定义6.3 如果函数系{0(x), 1(x),…, m(x),…}满足:
0 k 1
( x ) 因而任一至多 0 k ( k1次多项式 Q ( x ) 均能表成它们的线性组 0且 ( x ) 0 ,1, 2 ,...) k 1
2 k 2 k
合。
根据定积分性质有： ( k , k ) ( x ) k ( x ) d x 0 设： Q k 1 ( x ) b aj j ( x ) 所以， k ( x )}为正交多项式系。0 { j
2
阜师院数科院第六章 函数逼近
b a
( k 2 ,3 , L , n )
6-11
( x ) k 2 ( x ) d x
2
下面介绍几种常用的正交多项式: （一）勒让德（Legendre）多项式 Legendre多项式的一般表示式为: n 1 d 具体表达 2 n Pn ( x ) n [( x 1) ] n 式为: 2 n! dx
W Y
设 0， 1， ， n 是线性相关的
, 即存在不全为
c 0 ( 0 , i ) c 1 ( 1 , i ) c n ( n , i ) c i ( i , i ) 0
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上线性无关。
0 ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x ) dx a Ak 0
最佳平方逼近
( f p*, f p*) 2( f p*, p * p) ( p * p, p * p)
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
第二章最佳平方逼近
第二章 最佳平方逼近为了便于计算和分析，常常需要用一个简单的函数()x ϕ来近似代替给定的函数()f x ，这类问题称为函数逼近问题。
插值问题以及Taylor 展开问题都属于这类问题。
本章介绍另一种函数逼近问题，即最佳平方逼近。
最佳平方逼近问题的提法是：设()f x 是[],a b 上的连续函数，n H 是所有次数不超过n 的多项式的集合，在n H 中求()n P x *逼近()f x ，使()()()()()1/2222infnb n naP x H f Px f x P x dx f Pρ**∈⎡⎤-=-=-⎣⎦⎰此时称()n P x *为()f x 在[],a b 上的最佳平方逼近多项式。
我们将要研究()n P x *是否存在？是否唯一？如何求得()n P x *？首先介绍正交多项式及其性质。
§1、正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有广泛的应用。
1.1正交函数系的概念定义1 设()x ρ定义在[],a b 上（有限或无限），如果满足条件：（1）()[]0,,x x a b ρ≥∈； （2）()()0,1,bnax x dx n ρ=⎰存在；（3）对非负连续函数()f x ，若()()0ba f x x dx ρ=⎰，则在[],a b 上一定有()0f x ≡那么称()x ρ是区间[],a b 上的权函数。
简称为权函数。
权函数()x ρ的一种解释是物理上的密度函数，相应的()bax dx ρ⎰表示总质量。
当()x ρ=常数时，表示质量分布是均匀的。
下面引进内积定义。
定义2 给定()[]()(),,,,f x g x C a b x ρ∈是[],a b 上的权函数，称 ()()(),()ba f g x f x g x dx ρ=⎰ ()1.1为函数()f x 与()g x 在[],a b 上的内积。
内积具有下列简单性质： ()f g g f （1）、（，）=，；()()()1212,)(,00.f g f g R f f g f g f g f f f ααα∈++≠>（2）、（，）=，；（3）、 （，）=（4）、 当时，， 此外，还有如下Cauchy-Schwarz 不等式()()()2,,,.f g f f g g ≤⋅ ()1.2我们知道，一个向量的长度的几何概念，对于函数空间及逼近有许多自然的应用。
数值计算与最优化(lecture 12)最佳平方逼近
称上式为函数序列0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在点 x1, x2 ,..., xm 上 简单记为 Gn a b 的法方程组。
显然，系数矩阵Gn是对称的。由于0 ( x), 1 ( x),, n ( x) 是线性无关的，因而Gn也是非奇异的，即
det(Gn ) det[((i , j ))( n1)( n1) ] 0
三、一般最小二乘拟合问题
定义5.1.1 设函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)定义在实数集X上。
如果存在不全为零的实数c0 , c1 ,..., cn，使得
c0 0 ( x) c11 ( x) cnn ( x) 0, x X
成立，则称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性相关； 否则，称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性无关。
重度:
i 1, 2,..., m
即权重或者密度，统称为权系数
定义加权残差的平方和为
2 2
i i2 i ( y( xi ) yi ) 2
i 1 i 1
m m 2 i
m
m
即，在最小二乘中， 用更一般的加权平均 i i2代替。
i 1 i 1
最小二乘问题可推广如下：
根据Cramer法则，法方程组有唯一解：
a0 a0 *, a1 a1 *,, an an *
因此
S *( x) a* j ( x)为最小二乘解。 j
j 0 n
作为一种简单的情况：
常使用多项式S ( x) P ( x)作为( xi , yi )(i 1, 2,..., m)的拟合函数 n
显然，系数矩阵Gn是对称的。由于0 ( x), 1 ( x),, n ( x) 是线性无关的，因而Gn也是非奇异的，即
det(Gn ) det[((i , j ))( n1)( n1) ] 0
三、一般最小二乘拟合问题
定义5.1.1 设函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)定义在实数集X上。
如果存在不全为零的实数c0 , c1 ,..., cn，使得
c0 0 ( x) c11 ( x) cnn ( x) 0, x X
成立，则称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性相关； 否则，称函数组0 ( x), 1 ( x),..., n ( x)在X上线性无关。
重度:
i 1, 2,..., m
即权重或者密度，统称为权系数
定义加权残差的平方和为
2 2
i i2 i ( y( xi ) yi ) 2
i 1 i 1
m m 2 i
m
m
即，在最小二乘中， 用更一般的加权平均 i i2代替。
i 1 i 1
最小二乘问题可推广如下：
根据Cramer法则，法方程组有唯一解：
a0 a0 *, a1 a1 *,, an an *
因此
S *( x) a* j ( x)为最小二乘解。 j
j 0 n
作为一种简单的情况：
常使用多项式S ( x) P ( x)作为( xi , yi )(i 1, 2,..., m)的拟合函数 n
第三章-2-最佳平方逼近
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
计算方法 第五章第二节最佳平方逼近
b n
n
2
i 0
a
i 0
上述方程组称为正规方程组。也可以写为
( p, j ) ( f , j )，j 0,1,..., n.
由于0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 线性无关，由性质5.2.3，该方程组 的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。
可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。
b
j i,
j i,
则称多项式族 {g n ( x)} 在[a, b] 上带权 ( x) 正交，并称 g n ( x)是[a, b] 上带权 ( x)的 n 次正交多项式。
一般情况下，当权函数 ( x)及区间[a, b] 给定后，人们 可通过Gram－Schmidt正交化过程，由{1, x,..., x n }构造 出相应的正交多项式。
2
的最小值。
由多元函数取极值的必要条件 S 0,
a j
j 0,1,..., n,
得
n aii ( x) f ( x) j ( x)dx 0， j 0,1,..., n. a ( x) i 0
b
于是有
)，j 0,1,..., n. ( , ) a ( f , S (a0 , ai1 ,...,jan ) :i ( x) j aii ( x) f ( x) dx
2
2
2
2
f g f g 2 f g
2
2
2
2
,
f , g Y.
二、 函数的最佳平方逼近
已知函数 f ( x) C[a,b] 及C[a,b]中的一个子集 span{0 , 1 ,..., n }，如果 p( x) span{0 , 1,..., n}，使得
n
2
i 0
a
i 0
上述方程组称为正规方程组。也可以写为
( p, j ) ( f , j )，j 0,1,..., n.
由于0 ( x), 1 ( x),..., n ( x) 线性无关，由性质5.2.3，该方程组 的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。
可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。
b
j i,
j i,
则称多项式族 {g n ( x)} 在[a, b] 上带权 ( x) 正交，并称 g n ( x)是[a, b] 上带权 ( x)的 n 次正交多项式。
一般情况下，当权函数 ( x)及区间[a, b] 给定后，人们 可通过Gram－Schmidt正交化过程，由{1, x,..., x n }构造 出相应的正交多项式。
2
的最小值。
由多元函数取极值的必要条件 S 0,
a j
j 0,1,..., n,
得
n aii ( x) f ( x) j ( x)dx 0， j 0,1,..., n. a ( x) i 0
b
于是有
)，j 0,1,..., n. ( , ) a ( f , S (a0 , ai1 ,...,jan ) :i ( x) j aii ( x) f ( x) dx
2
2
2
2
f g f g 2 f g
2
2
2
2
,
f , g Y.
二、 函数的最佳平方逼近
已知函数 f ( x) C[a,b] 及C[a,b]中的一个子集 span{0 , 1 ,..., n }，如果 p( x) span{0 , 1,..., n}，使得
最佳平方逼近
(f q ,q p ) (f p ,q p ) 0 , 故 ( p q ,p q ) ( p f f q ,p q )
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
9
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
7
() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
9
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
7
() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
研究生数值分析 最佳平方逼近
数值分析
15
解方程组，得 c j =
(ϕ j , f ) (ϕ j , ϕ j )
, j = 0,1, ..., n
因此得最佳平方逼近多项式 n n (ϕ , f ) j s( x ) = ∑ c j ϕ j ( x ) = ∑ ϕ j ( x) j=0 j = 0 (ϕ j , ϕ j ) 平方误差为
p∈H n
则称 p ∗ ( x) 为子空间 H n 中对与 f(x)的最佳平方逼近元素。
特 别 的 ， 如 果 ϕ j = x j , j = 0,1, ⋅⋅⋅, n 则 称 满 足 条 件 的 p∗ ( x) ∈ H ，为函数 f（x）在区间[a，b]上带权 ρ ( x ) 的 n
n
次最佳平方逼近多项式。
•勒让德多项式(Legendre)
[-1,1] , ρ(x)=1 三项递推关系:
Pn +1 ( x) = 2nn++11 xPn ( x) − nn P ( x), n = 1,2,3... +1 n −1
1 dn 2 2 Pn ( x ) = n ⋅ ( x − 1 ) 2 ! dx n
数值分析
17
数值分析
5
π π ⎧ π 2 2 2 2 + = a x dx b x dx x sin xdx ⎪ ∫ ∫ ∫ ⎪ 0 0 0 ⎨ π π π ⎪ a 2 x dx + b 2 dx = 2 sin xdx ∫0 ∫0 ⎪ ⎩ ∫0
⎧π 3 π2 a+ b=1 ⎪ ⎪ 24 8 ⎨ 2 ⎪ π a+π b=1 ⎪ 2 ⎩ 8 解 得 a ≈ 0.6644389, b ≈ 0.1147707
数值分析
19
15
解方程组，得 c j =
(ϕ j , f ) (ϕ j , ϕ j )
, j = 0,1, ..., n
因此得最佳平方逼近多项式 n n (ϕ , f ) j s( x ) = ∑ c j ϕ j ( x ) = ∑ ϕ j ( x) j=0 j = 0 (ϕ j , ϕ j ) 平方误差为
p∈H n
则称 p ∗ ( x) 为子空间 H n 中对与 f(x)的最佳平方逼近元素。
特 别 的 ， 如 果 ϕ j = x j , j = 0,1, ⋅⋅⋅, n 则 称 满 足 条 件 的 p∗ ( x) ∈ H ，为函数 f（x）在区间[a，b]上带权 ρ ( x ) 的 n
n
次最佳平方逼近多项式。
•勒让德多项式(Legendre)
[-1,1] , ρ(x)=1 三项递推关系:
Pn +1 ( x) = 2nn++11 xPn ( x) − nn P ( x), n = 1,2,3... +1 n −1
1 dn 2 2 Pn ( x ) = n ⋅ ( x − 1 ) 2 ! dx n
数值分析
17
数值分析
5
π π ⎧ π 2 2 2 2 + = a x dx b x dx x sin xdx ⎪ ∫ ∫ ∫ ⎪ 0 0 0 ⎨ π π π ⎪ a 2 x dx + b 2 dx = 2 sin xdx ∫0 ∫0 ⎪ ⎩ ∫0
⎧π 3 π2 a+ b=1 ⎪ ⎪ 24 8 ⎨ 2 ⎪ π a+π b=1 ⎪ 2 ⎩ 8 解 得 a ≈ 0.6644389, b ≈ 0.1147707
数值分析
19
数值计算方法_最佳平方逼近
25数值分析—最佳逼近━基于ＭＡＴＬＡＢ的实现与分析§１ 引 言所谓函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个与给定的函数（定点）距离最短的函数（点）。
由于在函数空间中可以定义不同的距离，不同意义下的距离度量定义了不同的逼近准则。
令P 表示指定的一类简单的函数集合 １、函数最佳一致逼近： 基于的距离度量如下()[]()()d f P f x P x x a b ，，=-∈max （１）逼近准则：()[]()()x P x f P f d b a x P P -=∈P ∈P∈，max min ,min （２）２、函数最均方逼近：基于的距离度量如下()()()[][]d f P f x P x dx ab，=-⎰212（３）逼近准则()=P∈P f d P ,min minP ∈P()()[][]f x P x dx ab-⎰212（４）如果给定的是函数在若干点处的函数值：()()x f x i i ，，i =0，1，， n ，那么还有称为：３、最小二乘逼近： 基于的距离度量如下()()()[]d f P f x P x i i i n ，=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=∑012（５）逼近准则26()=P ∈P f d P ,min min P ∈P ()()[]f x P x i i i n-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=∑012（６）４、插值逼近，其逼近准则为：()()i i x f x P =， ()n i x P ，，，， 10=P ∈ （７）对于函数最佳逼近问题而言，用于逼近的简单的函数集合一般选取次数不超过n 次的多项式函数全体()()()(){}P n k k x P x P x k n ==≤deg （８）即用多项式函数逼近给定的函数，其原因在于只需对自变量做加法、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的。
最佳平方逼近
(2) Rn中的最佳平方逼近
R n 中的最佳平方逼近称为离散情形的最佳平方 逼近，求离散情形最佳平方逼近的方法称为
最小二乘法
下节讨论
dis( x, y) || x y ||2 ( x y, x y)
( x y )
i i
2
连续函数空间C[a,b]中f(x)与g(x)的距离即为
dis( f ( x ), g ( x )) || f ( x ) g ( x ) ||2
2 ( f ( x ) g ( x )) dx a b
( f ( x), g( x)) a f ( x) g( x)dx ( f ( x), g( x)) a ( x) f ( x) g( x)dx
b b
若取 Pn [a ,b ] 中 n +1个线性无关元为 {1,x ,… ,x n },则 对任意的g(x)∈C[a,b], 求Pn[a,b]中对g(x)的最佳 平方逼近元pn(x)，就必须通过求解法方程组得到 最佳平方逼近元.
b
或
( f ( x), g( x)) a ( x) f ( x) g( x)dx
b
f ( x ), g ( x ) C[a, b] 其中(x) 称为权函数
它满足：
①在[a,b]的任何子区间上积分为正； ②(x) ≥0，且使(x) =0的点至多有限个； ③ 对f(x)=1, x, x２,…, 积分 a f ( x ) g ( x )dx 存在.
例1 求g(x)=x 在P1[0,1]中的最佳平方逼近元
解法一
这是C[0,1]上的最佳平方逼近问题. 取０＝１, １＝x, P1[0,1]＝span{1,x} 记 p1(x)=a０＋a１x (０,0)=1，(０,1)=1/2， (1,1)=1/3 ， (０,g)=2/3， (1,g)=2/5. 所以，关于a０，a１为未知数的法方程组为
最佳平方逼近
c1 4 5
4 15 4 5 x. 0 x 1
所求的最佳平方逼近元
素为 p ( x )
5.6.2 正交系在最佳平方逼近中的应用
当 0x,1x, , nx, 是正交系时,求解最佳平方逼 近式(5.82)中的系数非常容易. 目标: 求下面的最佳平方逼近式中的系数
（ 5.84）
函数 f 的 L-最佳平方逼近函数为
pL ( x )
n k 0
c k L k ( x ),
(L)
1 x 1
（5.85）
遇到区间[a,b], 通过下面的变换把问题转化到[-1,1]上处理.
x a b 2 b a 2 t.
函数 f (x) 的 Legendre 无穷级数
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
p * (x)
n
故
0
ck k ( x)
*
n * k
k 0
f
p *,
j
f , c
j k 0 j
k
,
j
(5.82)
n
ck k ,
1
( f , g)
1
f ( x ) g ( x )dx
L-正交多项式为 L0x, L1x, , Lnx, 用(5.83), 有
ck
(L)
( f , Lk ) ( Lk , Lk )
2k 1 2
1
1
L
k
( x ) f ( x )dx ,
k 0,1, 2, ..., n
4 15 4 5 x. 0 x 1
所求的最佳平方逼近元
素为 p ( x )
5.6.2 正交系在最佳平方逼近中的应用
当 0x,1x, , nx, 是正交系时,求解最佳平方逼 近式(5.82)中的系数非常容易. 目标: 求下面的最佳平方逼近式中的系数
（ 5.84）
函数 f 的 L-最佳平方逼近函数为
pL ( x )
n k 0
c k L k ( x ),
(L)
1 x 1
（5.85）
遇到区间[a,b], 通过下面的变换把问题转化到[-1,1]上处理.
x a b 2 b a 2 t.
函数 f (x) 的 Legendre 无穷级数
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
p * (x)
n
故
0
ck k ( x)
*
n * k
k 0
f
p *,
j
f , c
j k 0 j
k
,
j
(5.82)
n
ck k ,
1
( f , g)
1
f ( x ) g ( x )dx
L-正交多项式为 L0x, L1x, , Lnx, 用(5.83), 有
ck
(L)
( f , Lk ) ( Lk , Lk )
2k 1 2
1
1
L
k
( x ) f ( x )dx ,
k 0,1, 2, ..., n
最佳平方逼近
同时，还需要给出连续函数
空间上的一个度量标准，下面通过内积给出平方范数。
二、连续函数的平方范数
已知所有连续函数构成的集合C[a,b]是一个线性
空间，对于C[a,b]中的任意函数
、 ，定义
实数
可以证明此实数满足性质：
这时，称
为与
的内积。
并称 为函数
（3.1） 的平方范数， 且满足以下性质：
（1）
，当且仅当
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 zi 2.72 3.02 3.31 3.60 3.89 4.18 4.48 4.77
对
作线性拟合曲线，取
得正则方程组
解得 于是有 拟合曲线为：
练习 三
3-1 利用Legendre多项式
求函数
在
上的最佳均方逼近，并估计误差。
3-2 求 上权函数为
的正交多项
式前四项 3-3 求 ，使
由 得到法方程组第 j 行的元素为：
于是法方程组的系数矩阵为： 令右端第二个矩阵为：
则系数矩阵可以表示为： 再看法方程组的右端项：
由 得到
最后可以将法方程组表示为： 其中
这样会更快的写出法方程组来。
如果所求得最小二乘拟合函数为n次多项式，则： 这时：
误差：
三、数值例子
例3.3 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差 x1 2 3 4 6 7 8
使得对于一切
都有：
不等式
说明，所求的 满足等式：
(3.2)
而
是由系数
唯一确定的，因此，只要我
们求出了满足(3.2)的
，就可以求出
f(x)最佳平方逼近。
令
(3.3)
则
这时等式
数值分析连续函数的最佳逼近
f
( x)k
( x)dx
，(k
0,1,
再由内积的性质得：
, n)，
n
(k , j )a*j ( f ,k ) ，(k 0,1, , n)。 (13)
j0
这是关于{aj}(j=0,1,…n)的线性方程组，称为
法方程. 简记为 Ga=d. 其展开形式为
(14)
(0,0 )
(1
,
0
)
(n ,0 )
n
则有 p * (x) a*j x j
j0
平方误差为
n
2 f 2
2
2
ai* ( f ,i )
i0
法方程Ga=d中的系数矩阵为
1
1/ 2 1/(n 1)
H n1
1/ 2
1/ 3
1
/(n
2)
1/(n 1) 1/(n 2) 1/(2n 1)
称之为Hilbert 矩阵。
例3.5：给定f ( x) 1 x2，0 x 1,取逼近空间H span{1, x}， 在H中求其最佳平方逼近函数。
3530最佳平方逼近多练习05062530023443530dxxpdxxp求得最佳平方逼近多项式为332连续函数的最佳一致逼近范数满足条件实数如果存在唯一记为一起称为上的向量例如对范数称为范数称为范数称为范数或最大范数称为范数称为范数称为最佳一致逼近多项式1
3.3 连续函数的最佳逼近
1 连续函数的最佳平方逼近 2 连续函数的最佳一致逼近
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx, f , g C[a,b]
3.3.1 连续函数的最佳平方逼近
连续函数空间C[a,b]上定义了内积（6）就形 成了一个内积空间。在Rn空间中任一向量都可用 它的线性无关的基表示。类似地，对内积空间任 一元素f (x)∈ C[a,b]，也可用线性无关的基表示。
研究生数值分析(20)函数的最佳平方逼近
2 n
中寻求对f(x)的最佳平方逼近元素 pn (x)
现对该 Hn另取一组基底，即
H n Span L0 , L1 , L2 , , Ln } {
其中 Lj (x) 是 j 次Legendre多项式。此时，
法方程的解可直接得到，就是
( f , Lk ) 2k 1 1 c 1 Lk ( x) f ( x)dx ( Lk , Lk ) 2
以此为基底，生成空间 C[a，b] 的一个子空间
H n Span 0 , 1 ,, n } {
则 Hn中的任一个元素为
p ( x ) c j j ( x )
j 0 n
对空间C[a , b] 中的任意两个函数 f 和 g， 定义内积
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
0
1 2 1 t dt , 3 2 t 6 1 t dt 15 2
可知
2 6 2 6 q1 (t ) L0 ( x) L1 ( x) t , 3 15 3 15 1 t 1
把 t =2x-1代人 q1 (t )
得
x
在区间[0，1]上的一次最佳平方
逼近多项式
n
这是一个以 c , c , , c 为未知数的 n+1 元线性方程组，称该式为法方程组和正规方程。 它的系数矩阵为
(0 , 0 ) (1 , 0 ) ( n , 0 ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 n 1 0 1 G (0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
( x) 的形式；
* ( x) （2）求最小二乘解，即求满足条件的近似解
[ ( xi ) yi ] min
中寻求对f(x)的最佳平方逼近元素 pn (x)
现对该 Hn另取一组基底，即
H n Span L0 , L1 , L2 , , Ln } {
其中 Lj (x) 是 j 次Legendre多项式。此时，
法方程的解可直接得到，就是
( f , Lk ) 2k 1 1 c 1 Lk ( x) f ( x)dx ( Lk , Lk ) 2
以此为基底，生成空间 C[a，b] 的一个子空间
H n Span 0 , 1 ,, n } {
则 Hn中的任一个元素为
p ( x ) c j j ( x )
j 0 n
对空间C[a , b] 中的任意两个函数 f 和 g， 定义内积
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
0
1 2 1 t dt , 3 2 t 6 1 t dt 15 2
可知
2 6 2 6 q1 (t ) L0 ( x) L1 ( x) t , 3 15 3 15 1 t 1
把 t =2x-1代人 q1 (t )
得
x
在区间[0，1]上的一次最佳平方
逼近多项式
n
这是一个以 c , c , , c 为未知数的 n+1 元线性方程组，称该式为法方程组和正规方程。 它的系数矩阵为
(0 , 0 ) (1 , 0 ) ( n , 0 ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 n 1 0 1 G (0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
( x) 的形式；
* ( x) （2）求最小二乘解，即求满足条件的近似解
[ ( xi ) yi ] min
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9 9
第三章 函数逼近与计算
定义3.8 设 0(x), 1(x), … , n-1(x)在[a,b]上连续如果 a00(x)+a11(x)+… +ann(x)=0 对任意 x[a, b]成立
当且仅当 a0= a1=… =an=0，则称 0(x), 1(x), … , n-1(x) 在[a,b]上是线性无关的。
I 0 a k
(k 0,1,, n),
(k 0,1,, n),
(k 0,1,, n).
( ( x), ( x))a
j 0 k j
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n
j
( f ( x ), k ( x ))
b
则称{ k ( x)} 是 [a, b] 上带权 ( x )的正交函数族. 若 Ak 1，则称之为标准正交函数族. 三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , 区间 [ , ]上的正交函数族.
© 2009, Henan Polytechnic University §3 最佳平方逼近
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1111
第三章 函数逼近与计算
3.3.2 函数的最佳平方逼近 对f ( x ) C[a, b]及C[a, b]中的一个子集 span{ 0 ( x ),1 ( x ),, n ( x )}
b b
b
b
I 2a0 0 ( x ), k ( x ) 2a1 1 ( x ), k ( x ) 即 ak 2an n ( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
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则称 X 为内积空间。
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4 4
第三章 函数逼近与计算
3、内积的性质
设 X 是一内积空间，则对任意的 x, y X，有
（1）柯西—许瓦兹不等式：
( x, y) ( x, x)( y, y)
2
（2）三角不等式：
x ( x)dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)；
n
(3) 对非负的连续函数g (x) 若
则在(a, b)上g (x) 0。
b
a
g ( x) ( x)dx 0
称满足上述条件的 (x)为[a, b]上的权函数。
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3 3
第三章 函数逼近与计算
2、内积空间定义
设 X 为(实)线性空间, 在 X 上定义了内积是指 对 X 中每一对元素 x, y , 都有一实数，记为 x, y 与之对应， 且这个对应满足:
（1）
（2） （3） （4）
x, x 0, x 0 x, x 0; x, y y, x , x, y X ; x, y x, y , x, y X ; R; x y, z x, z y, z , x, y, z X ;
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2 2
第三章 函数逼近与计算
3.3.1 内积空间
1、权函数的定义
设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果具有下列性质： (1) 对任意x [a, b]， (x) ≥0； (2) 积分
b
a
x y 2 x 2 y
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2
5 5
第三章 函数逼近与计算
4、两种重要的内积空间
n R n维欧氏空间 ，内积就是两向量的数量积，即
x, y x
T
y xi yi .
连续函数空间 C a, b ，内积可以定义为积分的运算 或带权函数的积分运算，即
如果存在
S * ( x) a0 *0 ( x) a1 *1( x) an *n ( x)
使得
2 || f ( x ) S * ( x ) ||2 inf || f ( x ) S ( x ) || 2 2 S ( x )
inf
S ( x ) a
举例 选取常数a,b使
π 2 0
π 2 0
[ax b sin x ]2 dx 达到最小
解答 设 I (a , b) [ax b sin x ]2 dx
即
I I 0, 0. 确定a,b使 I (a , b) 最小，必须满足 a b π π π π 2 2 2 2 2 a x dx b xdx x sin xdx 20 x[ax b sin x ]dx 0 0 0 0 π π π π 2 2 [ax b sin x ]dx 0 a 2 xdx b 2 dx 2 sin xdx 0 0 0 0 π3 π2 a b1 24 16 2 π a π b 1 a 0.6644389，b 0.1147707. 2 16
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7 7
第三章 函数逼近与计算
定理3.5
对于任何 f , g C a, b , 下列结论成立： 1、
f , g
f
2
g
2
（Cauchy-Schwarz不等式）
2、 3、
f g 2 f
2
2
j 0 的最小值 . 的二次函数， (a ,0 a a ) 1是关于 a(0 ,na ,a ( )1 a,0 (, , )a1 ,1 ,n )an n( 0 n, nn n, f ) I
利用多元函数求极值的必要条件
n
即
b ( x)) ( n ( aIj j ( x), f ( x), k ( x)) ( f ( x) S ( x), k ( x)) 0 k 2 ( x )[ a j j ( x) f ( x)] k ( x)dx j 0 a ak j 0 (k 0,1,, n).
Gn 1 G ( 0 , 1 , , n 1 ) ( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( n 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( n 1 , 1 ) ( 0 , n 1 ) ( 1 , n 1 ) 0 ( n 1 , n 1 )
第三节 最佳平方逼近
1Байду номын сангаас
第三章 函数逼近与计算
* P 如果存在 n ( x) H n 使得
|| f ( x ) P ( x ) ||2
* n PH n
b
a
[ f ( x ) Pn* ( x )]2 dx
inf || f ( x ) P ( x ) ||2
则称 Pn* ( x) 是 f ( x ) 在 H n 中的最佳平方逼近多项式。
g
2
2
(三角不等式)
f g 2 f g 2 2 f
2 2
g
2 2
8 8
(平行四边形定律)
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第三章 函数逼近与计算
6、正交
定义3.7若 f ( x ), g( x ) C[a , b], ( x ) 为 [a , b] 上的权函数且满足
这个关于 a0 , a1 ,, an 的线性方程组，称为法方程.
1414
第三章 函数逼近与计算
n b I 2 ( x )[ a j j ( x ) f ( x )] k ( x )dx a ak j 0
2a ( x )[a00 ( x ) an n ( x ) f ( x )] k ( x )dx 2a a0 ( x ) 0 ( x ) k ( x )dx 2a an ( x ) n ( x ) k ( x )dx 2a ( x ) f ( x ) k ( x )dx
( f ( x ), g( x )) f ( x ) g( x )dx,
a
b
f ( x ), g( x ) C[a, b]
或
( f ( x ), g( x )) ( x ) f ( x ) g( x )dx,
a
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( f ( x ), g( x )) ( x ) f ( x ) g( x )dx 0
a b
则称 f ( x ) 与 g ( x )在 [a , b] 上带权 ( x )正交. 若函数族 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x ), 满足关系
j k. 0, ( j , k ) ( x ) j ( x ) k ( x )dx a j k. Ak 0,
1515
第三章 函数逼近与计算
n I 2 a j j ( x ), k ( x ) 2 f ( x ), k ( x ) 即 ak j 0 I 0 令 ak
得
a ( x ),
n j 0 j j
k
( x ) f ( x ), k ( x ), k 0,1,, n