Bezier曲面算法及Bezier曲线
Bezier曲线曲面
由于几何外形设计的要求越来越高,在采用传统的 曲线曲面表示方法时,曲线曲面形状不易控制，且修 改任意一个型值点都会影响整个曲线曲面，且变化难 以预测。已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了 一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并 用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
（4）对称性
Bi ,n (t ) = Bn −i ,n (t )
因为
n Bn −i ,n (t ) = Cn −i [1 − (1 − t )]n −i ⋅ (1 − t ) n −( n −i )
=C t
i n −i n
(1 − t ) = Bi ,n (1 − t )
i
(5）递推性。
Bi ,n (t ) = (1 − t ) Bi ,n −1 (t ) + tBi −1,n −1 (t ), (i = 0,1,..., n)
c.）二阶导矢 P' ' (t ) = n(n − 1)∑ ( Pi + 2 − 2 Pi +1 + Pi ) Bi,n−2 (t ) i =0 P 当t=0时， (0) = n(n − 1)( P − 2 P + P ) P 当t=1时，(1) = n(n −1)(P − 2P + P ) 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实 上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无 关。 P (t ) × P (t ) " 将P ' (0) 、P (0) 及 P ' (1) 、P (1) 代入曲率公式 k (t ) = P (t ) ， 可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
第四章 Bezier曲线曲面(上)
j =1,2, n L
这时，Bezier曲线的方程变为：
r p (t ) = 0 £ t £ 1
其中:
j B j , n (t ) = Cn t j (1 - t ) n - j
Bernstein基函数
j = 0,1, n L
2、Bernstein-Bezier曲线
当n＝3 时： ( ) = ( - t ) 3 B0 , 3 t 1
¢ 证明： B j , n (t )
j n = Cnj jt j -1 (1 - t ) n - j - Cn (n - j )t j (1 - t ) - j -1 -1 j n = nCnj-1 t j -1 (1 - t ) n - j －nCn -1 t j (1 - t ) - j -1
二、Bezier曲线的性质
1、Bernstein基函数的性质 1）非负性：
0 £ Bi , n (u ) £ 1 0 £ u £ 1, i = 0,1, n L
2）规范性：
n
å B
i = 0
i , n
( u ) º 1 ,
n n i n
0 £ u £ 1
n i n -i
i i n = Cn -1u i (1 - u ) n -i + Cn -1 u i (1 - u ) -i -1
= (1 - u ) Bi ,n -1 (u ) + uBi -1, n -1 (u )
bezier曲面法向量 -回复
bezier曲面法向量-回复bezier曲面法向量（Bezier Surface Normal Vectors）引言：Bezier曲面是计算机图形领域中一种常用的曲面表示方法。
根据给定的控制点和权重，Bezier曲面可以生成平滑且逼真的曲面形状。
但是，在进行光照和渲染等计算时，我们需要计算曲面上每个点的法向量，以便进行光照模型计算等。
本文将详细介绍如何计算Bezier曲面的法向量，以及其中的数学背景和计算方法。
第一部分：Bezier曲面简介Bezier曲面是利用Bezier曲线在二维或三维空间中进行变形和组合而成的。
Bezier曲线由一系列控制点和权重定义，在曲线上的点是通过使用Bernstein多项式进行插值计算得到的。
Bezier曲线在绘制曲线和表面、CAD建模等领域得到广泛应用。
而Bezier曲面则是由多个Bezier曲线组成的曲面。
第二部分：Bezier曲面的参数化表示在图形学中，我们通常使用参数化表示来描述曲线和曲面。
Bezier曲面可以通过控制点和权重来进行参数化表示。
对于二维的Bezier曲面，我们可以用以下方式来定义：S(u,v) = ∑Bi(u)Bj(v)Pi,j其中，S(u,v)表示曲面上的一点，Bi(u)和Bj(v)是u和v参数所对应的一维Bezier曲线的基函数，而Pi,j表示控制点。
第三部分：Bezier曲面的切向量在计算曲面上某一点的法向量之前，我们首先需要计算该点的切向量。
切向量是描述曲面上某点在该点处切平面上的一个向量。
为了计算切向量，我们可以计算参数u和v分别增加一个微小值时，曲面上相应的两个点。
然后，通过这两个点及其切向量进行差值运算，得到该点的切向量。
计算切向量公式如下：Ts(u,v) = ∂S(u,v)/∂uTv(u,v) = ∂S(u,v)/∂v其中，Ts和Tv分别表示u和v方向上的切向量。
第四部分：Bezier曲面的法向量在得到切向量后，我们可以使用叉乘运算得到曲面上某点的法向量。
Bezier曲线与曲面
页码，3/25
（9）积分
3．Bezier曲线的性质
（1）端点性质
a. 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0) =P0 ；当t=1 时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的 特征多边形的 起点、终点重合。
b. 切矢量
因为
，所以当t=0时，P’(0)=n
且
、
、
线的
和
（图3.1.15打上斜
三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶
file://C:\360Rec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
2011-1-4
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点有关。 （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。
页码，15/25
3．Bezier曲面片的拼接 如图3.1.16所示，设两张m×n次Bezier曲面片
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提
出的递推算法则要简单的多。
如图3.1.10所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不 同的点。
过 和 点的两切线交于点 ，在 点的切线交 和 于和 ，
则如下比例成立：
这是所谓抛物线的三切线定理。
file://C:\360பைடு நூலகம்ec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10 次。所以有时
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处 保持一定的连
续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条 件。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)
计算机图形学实验报告-实验3Bezier曲线
计算机图形学实验报告班级计算机工硕班学号 2011220456姓名王泽晶实验三:Bezier 曲线实验目的：通过本次试验，学生可以掌握Bezier 曲线的求值、升阶算法及Bezier 曲线绘制方法。
实验内容：1. 绘制控制多边形（使用鼠标左键指定多边形顶点，右键结束），使用白色折线段表示。
2. 绘制Bezier 曲线，使用红色，线宽为2，在右键结束控制多边形顶点指定时即执行。
Bezier 曲线是一种广泛应用于外形设计的参数曲线，它通过对一些特定点的控制来控制曲线的形状，我们称这些点为控制顶点。
现在我们来给出Bezier 曲线的数学表达式。
在空间给定1n +个点012,,,,n P P P P ，称下列参数曲线为n 次Bezier 曲线：,0()(),01ni i n i P t P B tt ==≤≤∑ 其中,()i n B t 是Bernstein 基函数，其表达式为：,!()(1)!()!i n ii n n B t t t i n i -=--，接着我们讨论3次Bezier 曲线，我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法，我们得到：3303!()(1)!(3)!i i ii P t P t t i i -==--∑32230123(1)3(1)3(1)t P t t P t t P t P =-+-+-+01323232323331,363,33,P P t t t t t t t t t P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦01322313313630,,,133001000P P t t t P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试验步骤：添加成员函数，编写成员数代码为public class Al_deCasteljau {public function Al_deCasteljau(){}// de Casteljau递推算法的实现public function recursion( ctrlPts:Array, k:int , i:int ,t:Number ):Point {if ( k==0 ) return ctrlPts[i];return addPoints(multiplyNumToPoint((1 - t),recursion(ctrlPts, k-1, i, t)), multiplyNumToPoint(t , recursion(ctrlPts, k-1, i+1, t)));}public function multiplyNumToPoint(n:Number,p:Point):Point{return new Point(p.x * n,p.y * n);}public function addPoints(p1:Point,p2:Point):Point{return new Point(p1.x + p2.x,p1.y + p2.y);}public function minusPoints(p1:Point,p2:Point):Point{return new Point(p1.x - p2.x,p1.y - p2.y);}public function algorithm_deCasteljau(t:Number, ctrlPts:Array ):Point{var size:int = ctrlPts.length;return recursion( ctrlPts, size-1, 0, t );}public function upgradePoints(ctrlPts:Array):Array{var size:int = ctrlPts.length;var newPts:Array = new Array();newPts[0] = ctrlPts[0]; // i = 0for ( var i:int =1; i<size; ++i ){var factor:Number = i / size;newPts[i] = addPoints(multiplyNumToPoint( factor , ctrlPts[i-1] ) , multiplyNumToPoint((1 - factor) , ctrlPts[i]));}newPts[size] = ctrlPts[ctrlPts.length-1]; // i = n+1return newPts;}public function downgradePoints(ctrlPts:Array):Array{var size:int = ctrlPts.length;var newPts:Array = new Array();newPts[0] = ctrlPts[0]; // i = 0for ( var i:int=1; i<size-1; ++i ){var factor:Number = 1.0 /(size-1 - i);newPts[i] = multiplyNumToPoint(factor,minusPoints(multiplyNumToPoint(size-1 , ctrlPts[i]), multiplyNumToPoint(i , newPts[i-1])));}return newPts;}}编译运行得到如下结果：。
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
贝塞尔曲线玩法
贝塞尔曲线玩法贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线，由法国的数学家贝塞尔发明。
其优秀的特性，如任意阶数、曲线平滑、变形自然等，使它被广泛应用在计算机图形学中。
下面我们来探讨一下贝塞尔曲线的一些玩法与应用。
一、Bezier Curve的基本概念Bezier Curve，中文翻译为贝塞尔曲线，是由一些基于控制点来描述曲线的连续函数。
在计算机图形学界，Bezier曲线有着广泛的应用，如二维绘图，三维模型构建等。
下面，我们来说说Bezier曲线的基本概念：1.控制点Bezier曲线的形状和特性由一组控制点决定。
控制点决定着曲线起点、终点，以及曲线的形状与方向。
控制点的数量通常与曲线的阶数相等。
2.阶数Bezier曲线的阶数由控制点的数量决定。
例如，如果控制点数量为4，则Bezier曲线的阶数为3（n-1）。
当阶数为3时，Bezier曲线也被称为二次Bezier曲线或三次Bezier曲线。
3.点集形式Bezier曲线可以表示成点集的形式，其中一个控制点是Bezier曲线的起点，最后一个控制点是Bezier曲线的终点。
而其余的控制点可以看做是曲线上的中间点。
二、贝塞尔曲线的应用1.平滑曲线在绘制平滑曲线时，常常使用Bezier曲线来完成。
在二维绘图中，利用Bezier曲线可以绘制出一些基本的形状，如椭圆、圆弧等。
利用多条Bezier曲线的组合，可以快速实现对复杂曲线的绘制。
2.模型构建在3D计算机图形学中，Bezier曲面经常用作3D模型构建的基础。
对象为Bezier曲面的控制网格，其内部可由Bezier曲线组成。
通过控制点的移动，可以快速改变其表面曲率，实现3D模型快速构建。
3.路径动画路径动画是一种基于贝塞尔曲线的动画形式。
它指定了一个目标的路径，例如一个移动物体的运动轨迹，然后让目标沿着路径移动。
在游戏中，常常使用路径动画来为角色、弹道和粒子效果设置动画路径。
4.平滑编辑另一个应用Bezier曲线的领域是平滑编辑。
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
Bezier曲线及曲面
《自由曲线曲面》课程论文Bezier 曲线与曲面姓名：轩小静 学号：2010113010101、Bezier 曲线的背景给定n +1个数据点，p 0(x 0,y 0),…p n (x n ,y n )，生成一条曲线，使得该曲线与这些点所描述的形状相符。
如果要求曲线通过所有的数据点，则属于插值问题；如果只要求曲线逼近这些数据点，则属于逼近问题。
逼近在计算机图形学中主要用来设计美观的或符合某些美学标准的曲线。
为了解决这个问题，有必要找到一种用小的部分即曲线段构建曲线的方法，来满足设计标准。
当用曲线段拟合曲线f (x )时，可以把曲线表示为许多小线段φi (x )之和，其中φi (x )称为基（混合）函数。
)()(0x a x f i ni i φ∑==这些基（混合）函数是要用于计算和显示的。
因此，经常选择多项式作为基（混合）函数。
0111...)(a x a x a x a x n n n n ++++=--φ几何造型有两个分支：一个是曲线曲面造型（surface modeling ），一个是实体造型（solid modeling ）；后来随着技术的进步，两个分支逐渐融合在一起。
曲线曲面的造型的算法和概念是几何造型的公共基础，bezier 曲线曲面在几何造型中扮演着一个非常重要的角色。
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。
1962年，法国雷诺汽车公司的贝塞尔（P.E.Bezier ）构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
想法基点是在进行汽车外形设计时，先用折线段勾画出汽车的外形大致轮廓，然后用光滑的参数曲线去逼近这个折线多边形。
这个折线多边形被称为特征多边形。
逼近该特征多边形的曲线被称为Bezier 曲线。
Bezier 方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。
贝兹曲线怎么生成面
贝兹曲线怎么生成面贝兹曲线是一种被广泛应用于计算机图形学中的工具，常常用来描述不规则形状的曲线或曲面。
在计算机图形学中，贝兹曲线被广泛应用于三维建模和动画制作中，可以用于生成各种复杂的几何体和表面。
下面是贝兹曲线生成面的一些方法和应用。
1. Bezier曲面生成方法贝兹曲面是一种二次或三次曲面，因此生成贝兹曲面的方法包括二次和三次贝兹曲面生成方法。
一般情况下，贝兹曲面的控制点由一系列的点组成，贝兹曲面自身则由这些控制点确定。
具体生成方法如下：1.1 二次贝兹曲面生成方法二次贝兹曲面生成方法将一系列的控制点组合成一个平面曲面。
该曲面的控制点通常由四个三维向量组成，形成一个四边形控制网格。
其中，曲面的每个点都可以由四个三维控制点确定。
1.2 三次贝兹曲面生成方法三次贝兹曲面生成方法将一系列的控制点组合成一个空间曲面。
该曲面的控制点通常由一个四边形控制网格组成，其中，每个点都可以由四个三维向量决定。
为了生成这个曲面，需要计算每个控制点在空间中的坐标。
2. Bezier曲面应用贝兹曲面在计算机图形学中有广泛的应用。
一些常见的应用包括：2.1 三维建模将二次或三次贝兹曲面应用于三维建模是其最常见的应用之一。
贝兹曲面可以用于创建各种形状的三维物体。
通过控制控制点的数量和位置，可以创建出不同形状和大小的三维物体。
2.2 动画制作贝兹曲面同样可以被用于动画制作。
通过几帧贝兹曲面的过渡，动画制作人员可以创造出相对平滑和自然的动画序列。
2.3 光滑逼近另一个贝兹曲面常用的应用是光滑逼近。
光滑逼近是一种处理离散数据的方法，它可以用于构建光滑的曲面。
因为贝兹曲面可以用少量的控制点来表示平滑的曲线和曲面，所以它被广泛应用于光滑逼近。
总结：贝兹曲线生成面的方法包括二次和三次贝兹曲面生成方法。
通过控制不同的控制点数量和位置，可以创建出不同形状和大小的三维物体。
此外，贝兹曲面还可以被用于动画制作和光滑逼近。
这些应用使贝兹曲面在计算机图形学和三维建模领域中得到广泛的应用。
Bezier曲面算法及Bezier曲线
昆明理工大学理学院信息与计算科学专业设计/综合性实验报告年级： 2015级姓名：学号： 201511101105 指导教师：胡杰实验课程名称：计算机图形学开课实验室：理学楼210实验内容：1．实验/作业题目：MFC绘图Bezier曲面算法及Bezier曲线2．实验/作业课时：2个课时3．问题描述(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机（2）软件：windows OS，VC++6.0或以上版本。
实验内容的描述：Bezier曲面算法及Bezier曲线，Bezier去面啊绘制需要加入控制网格加以控制，先生成控制网格，再根据Bezier算法来绘制出曲面Bezier曲线根据控制点来绘制曲线。
完成实验要求的知识或技能：Bezier算法的迭代算法。
（2）Bezier曲线分为一次/二次/三次/多次贝塞尔曲线，之所以这么分是为了更好的理解其中的内涵。
一次贝塞尔曲线（线性Bezier），实际上就是一条连接两点的直线段。
在此使用了三次Bezier算法。
（3）曲线算法的几种主要算法以及各自的优缺点。
（4）基本的程序阅读能力，VC6.0的基本使用技巧4．基本要求(完成实验要达到的目标)：Bezier曲线定义：给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定义为：P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1] 其中：Bi,n(t)称为基函数。
Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i Ci n=n!/(i!*(n-i)!) 二、Bezier曲线性质 1、端点性质： a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。
b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1) 即：在二端点与控制多边形相切。
2、凸包性：Bezier 曲线完成落在控制多边形的凸包内。
3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。
4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)5．程序结构(程序中的函数调用关系图)6．算法描述或流程图：7．实验数据和实验结果（用屏幕图形表示，可另加附页）：8．实验心得体会：在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（Bézier curve）是电脑图形学中相当重要的参数曲线。
第五章Bezier曲面与B样条曲面
❖ 性质3：端点的切平面 ➢ 由计算可知，三角
P00
P10
P01、P0m
P1m
P0,m
、
1
Pnm Pn1,m Pn,m1、
和Pn0 Pn1,0 Pn,1、 中打上斜线的三角形）
P30 P20 P31
所在的平面分别在点
P00、P0m、Pn0和Pnm与 曲面P(u, v)相切。
图 Bezier曲面端点的切平面和边界
P10
Pn0
P01 P11
P0m B0,m (v)
P1m
B1,m
(v
)
Pn1
Pnm
Bm
,m
(v
)
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
15
（2） Bezier曲面的性质
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
❖ Bezier曲面有类似于Bezier曲线的性质。
的交点则是r(ui , v j )。事
r(u, v) [ x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
也得到曲面上同一点位置矢量 r(ui , v j ) ，即：
r(ui , v j ) [ x(ui , v j ), y(ui , v j ), z(ui , v j )]
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
7
5.3 曲面的参数表示
❖ 当u ui 时，代入式子r(u, v) [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
得：
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线
，即一条v线。
值的曲面上 的线。
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖当 v v j 时，代入式子 r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
贝齐尔曲线曲面生成方法
实验三贝齐尔（Bezier）曲线曲面的生成方法实验类型：综合型一、目的与任务目的：通过学生上机，了解贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法和贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。
任务：熟悉线框建模、表面建模的基本方法。
二、内容、要求与安排方式1、实验内容与要求：贝齐尔（Bezier）曲线曲面的德卡斯特里奥的递推算法P（t）=∑Bi,n(t)Q(i)和几何作图法；要求用熟悉的编程语言编制、调试和运行程序，并打印程序清单和输出结果。
2、实验安排方式：课外编写好程序清单，按自然班统一安排上机。
三、实验步骤1、熟悉贝齐尔（Bezier）的贝齐尔基函数和贝齐尔的性质2、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；3、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法；4、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；5、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。
6、对几何作图法绘制出图，对德卡斯特里奥的递推算法编出程序。
四、实验要求1．在规定的时间内完成上机任务。
2．必须实验前进行复习和预习实验内容。
3．在熟悉命令过程中，注意相似命令在操作中的区别。
4．指定图形完成后，需经指导教师认可后，方可关闭计算机。
5．完成实验报告一份。
五、试验具体内容1，Bezier 曲线的描述在空间给定n + 1 个点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn ,称下列参数曲线为n 次的Bezier 曲线。
P(t) = 6nt = 0PiJ i ,n (t) , 0 ≤t ≤1其中J i ,n (t) 是Bernstein 基函数,即B i ,n (t) = n !／i !(n - i) *t(1-t);i = 0 , ⋯⋯,n一般称折线P0P1P2 ⋯Pn 为曲线P(t) 的控制多边形;称点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn 为P(t) 的控制顶点。
在空间曲线的情况下,曲线P(t) = (x(t) ,y(t) ,z (t) ) 和控制顶点Pi = (Xi ,Yi ,Zi) 的关系用分量写出即为:X(t) = 6ni = 0XiJ i ,n (t)Y(t) = 6ni = 0YiJ i ,n (t)Z(t) = 6ni = 0ZiJ i ,n (t)当t 在区间[0 ,1 ] 上变动时,就产生了Bezier 曲线。
bezier 曲线的曲面拟合
bezier 曲线的曲面拟合一、Bezier曲线Bezier曲线是一种基本的几何曲线，它是由法国的科学家法国人Pierre Bezier于1962年提出的，在计算机图形学中应用广泛，在大多数绘图软件中都有它的实现。
实际上，Bezier曲线是一种由控制点和贝塞尔曲线段组成的平滑曲线，这些贝塞尔曲线段可以连接构成一条实现的曲线段。
Bezier曲线的定义如下：用n+1个控制点P0，P1，...Pn确定唯一的n阶Bezier曲线，该曲线由n个(n>=2)Bezier曲线段组成，它的路径方程为：B(t) = sum(Pi* Bn,i(t) (i=0,1,...n)其中Bn,i (t)为贝塞尔基函数：Bn，i (t)= C(n,i)*t^i*(1-t)^(n-i) (i=0,1...n) 其中C(n,i) 为组合数：C(n,i) = n!/(i!*(n-i)!)Bezier曲线具有一定的优势：（1）Bezier曲线的计算量不多，而且计算量固定，从它的定义式可以看出，Bezier曲线的计算量只和控制点的数量有关，和区间长度无关；（2）Bezier曲线的计算公式是一种确定的公式，易于推导，即使在变换空间中也能简单的求解；（3）Bezier曲线的优点在于曲线的表示力强，它不仅能准确描述曲线上的每一点，而且能模拟出椭圆、圆弧、抛物线、双曲线等复杂的曲线。
二、Bezier曲面Bezier曲面是基于Bezier曲线构建的一种曲面，与Bezier曲线相比，Bezier曲面有更大的表示能力，能代表更复杂的曲面，该方法在计算机图形学中应用广泛，特别是在汽车设计、航空航天、产品建模、工业设计、船舶设计等行业非常流行。
根据贝塞尔三角形的定义，Bezier曲面的曲面表达形式为：B(u,v)=sum(Pi,j * Bm,i(u) * Bn,j(v) (i=0,1,...,m; j = 0,1,...n))其中Bm,i (u)和Bn,j (v)分别为贝塞尔基函数：Bm,i (u) = C(m,i) * u^i * (1-u)^(m-i) (i=0,1,...,m)Bn,j (v) = C(n,j) * v^j * (1-v)^(n-j) (j=0,1,...n) 其中C(m,i)和C(n,j)分别为组合数，m和n分别表示控制点的维度。
bezier曲线绘制算法
bezier曲线绘制算法贝塞尔曲线绘制算法贝塞尔曲线是一种常用于图形设计和计算机图形学中的数学曲线。
它根据给定的控制点，通过插值计算得出平滑曲线。
这种曲线有着良好的平滑度和逼真度，在二维和三维图形的绘制中被广泛使用。
本文将介绍贝塞尔曲线的绘制算法及其应用。
一、贝塞尔曲线的基本原理贝塞尔曲线的绘制基于控制点的位置和权重来计算曲线上的点。
以二次贝塞尔曲线为例，需要三个控制点P0、P1和P2。
曲线上的任意一点P(t)的坐标可以通过以下公式计算：P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2其中，t为参数，取值范围为[0,1]之间。
当t=0时，P(t)为起点P0；当t=1时，P(t)为终点P2。
通过调整t的取值，可以得到不同位置的曲线上的点。
二、绘制贝塞尔曲线的算法绘制贝塞尔曲线的一种常用算法是利用递归和二项式展开来计算曲线上的点。
具体步骤如下：1. 确定控制点的数量和位置：根据需要绘制的曲线类型（二次、三次等），确定控制点的数量。
同时，确定每个控制点的具体位置。
2. 递归计算插值点：根据递推公式，计算参数t对应位置的插值点。
对于二次贝塞尔曲线，计算公式为P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1+ t^2 * P2。
对于每个t值，计算出对应的插值点坐标。
3. 绘制曲线：连接计算得到的插值点，绘制出平滑曲线。
三、贝塞尔曲线的应用贝塞尔曲线由于其良好的平滑性和可控性，在图形设计和计算机图形学中得到广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用领域。
1. 二维图形设计：贝塞尔曲线可以用于绘制二维图形和路径，如绘制平滑的曲线、绘制字体的曲线路径等。
通过调整控制点的位置和权重，可以绘制出各种形状的曲线和路径。
2. 三维图形建模：在三维图形建模中，贝塞尔曲线可用于绘制曲线型的三维物体，如飞机机翼的曲线形状、车辆车身的流线型等。
通过调整控制点的位置和权重，可以创建复杂的曲面。
cadcam实验贝齐尔(Bezier)曲线曲面的生成方法
1贝齐尔曲面设计 1.1 贝齐尔曲面定义设),1,0;,1,0(m j n P ij =为)1()1(+⨯+m n 个空间点列，则m ×n 次Bezier 曲面定义为：]1,0[,)()(),(00,,∈=∑∑==v u v B u B P v u P m i nj n j m i ij （式2-1）其中im ii m m i u u C u B --=)1()(, ，jn j j n n i v v C v B --=)1()(,是Bernstein 基函数。
依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。
Bezier 曲面的矩阵表示式是：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(,),(),(),(,,1,0101111000100,,1,0v B v B v B P P P P P PP P P u B u B u B v u P m n m m nm n n m m n m n n （式2-2）在一般实际应用中，n 、m 不大于4。
(1) 双线性Bezier 曲面 当m=n=1时∑=∑==1010)()(),(1,1,i j p w B u B w u S ijj i u ，w ∈[0,1] （式2-3）定义一张双线性Bezier 曲面。
已知四个角点之后，则11100100)1()1()1)(1(),(uwpup w p u u w w u S -+-+--= (式2-4)(2) 双二次Bezier 曲面 当m=n=2时∑∑===2022,2,)()(w)S(u,i j ijj i p w B u B ]1,0[,∈w u （式2-5）由此式定义的曲面，其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线。
(3) 双三次Bezier 曲面 当m=n=3时∑∑===3033,3,)()(w)S(u,i j ijj i p w B u B ]1,0[,∈w u (式2-6)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()]()()()([),(3,33,23,13,0333231302322212013121110030201003,33,23,13,0w B w B w B w B p p p p p p p p p p p p p p p p u B u B u B u B w u S (式2-7)其矩阵表示为TTZ Z Z W M B UM w u S =),(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----===0001003303631331],1[],1[2323z M w w w W u u u U （式2-8）1.2 贝齐尔曲面性质1．Bezier 曲面特征网格的四个角点正好是Bezier 曲面的四个角点，即P(0,0)=P00 P(1,0)=PM0 P(0,1)=P0N P(1,1)=PMN 2. Bezier 曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier 曲面的四条边界；Bezier 曲面边界的跨界切矢只能与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且P00P10P01, P0nP1nP0,n-1, Pm0Pm-1,0Pm1,分别是四个角点的切平面；跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关。
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昆明理工大学理学院
信息与计算科学专业设计/综合性实验报告
年级：2015级姓名：学号：1105 指导教师：胡杰
实验课程名称：计算机图形学开课实验室：理学楼210
实验内容：
1．实验/作业题目：
MFC绘图Bezier曲面算法及Bezier曲线
2．实验/作业课时：2个课时
3．问题描述(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机
（2）软件：windows OS，VC++或以上版本。
实验内容的描述：Bezier曲面算法及Bezier曲线，Bezier去面啊绘制需要加入控制网格加以控制，先生成控制网格，再根据Bezier算法来绘制出曲面Bezier曲线根据控制点来绘制曲线。
完成实验要求的知识或技能：
Bezier算法的迭代算法。
（2）Bezier曲线分为一次/二次/三次/多次贝塞尔曲线，之所以这么分是为了更好的理解其中的内涵。
一次贝塞尔曲线（线性Bezier），实际上就是一条连接两点的直线段。
在此使用了三次Bezier算法。
（3）曲线算法的几种主要算法以及各自的优缺点。
（4）基本的程序阅读能力，的基本使用技巧
4．基本要求(完成实验要达到的目标)：
Bezier曲线定义：给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定
义为：P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1] 其中：Bi,n(t)称为基函数。
Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i Ci n=n!/(i!*(n-i)!) 二、Bezier曲线性质1、端点性质：a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。
b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1) 即：在二端点与控制多边形相切。
2、凸包性：Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。
3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。
4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)
5．程序结构(程序中的函数调用关系图)
6．算法描述或流程图：
7．实验数据和实验结果（用屏幕图形表示，可另加附页）：
8．实验心得体会：
在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（Bézier curve）是电脑图形学中相当重要的参数曲线。
更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝塞尔曲面，其中贝塞尔三角是一种特殊的实例。
9．改进建议：绘制Bezier曲面的时候的控制网格可以按多种风格生成也就是曲面有了不同的风格。
评分标准学风--报告格式规范，文字清晰观察能力--正确描述和理解问题
分析能力—准确分析问题，算法基本正确问题解决能力—详细算法过程严谨、准确
操作能力--正确输入程序，熟悉编程环境调试能力--熟练使用调试功能解决程序错误。