数学建模常用方法整理

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8
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RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
随机性比率：CR CI 0.10
RI
若一致性检验通过，则特征向量可作为权向量 47
第二步：构造判断矩阵
C1
C2 C3
C4 C5
1 1/2 4 3 3
C1
2
1
7
5
5
C2
A C 1/4 1/7 1 1/2 1/3 C3
1.769
w
Aw 0.974
0.268
最大特征根： 1 1.769 0.974 0.268 3.009
3 0.587 0.324 0.089
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层次单排序及其一致性检验
一最致大性特指征标根：λCmaIx的 求m解ax ：n
n 1
1-9阶矩阵的平均随机一致性指标
阶数 1
2
3
4
56
38
3.图论 休息一下吧~~~~
结果为14
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4.层次分析
一、基本概述
• 层次分析是一种多层次权重解析方法。AHP是分析 多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。
• 它最适宜于解决那些难以完全用定量方法进行分 析的评价决策问题。
• 它具有思路清晰、方法简单、实用面广、系统性 强等特点，便于普及推广。
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2.最优化理论之动态规划
（路径类）动态规划的解题思路：
从过程的最后一段开始，用逆序递推方法求 解，逐步求出各段各点到终点的最短路线， 最后求出总的最短路线。
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2.最优化理论之动态规划
最短路线问题
如图是一个五座城市的 及其相连道路的交通图，线 上的数字是对应的路长。问： 应如何选择行驶路线，才能 使从A市经过B、C、D各城 市（无顺序要求）到E城市 的行驶路程最短？
度的概念 度（次）：节点v相连的边的数目，
表示为d（v）。 • 奇数度节点：节点的度的数目为奇数的点； • 偶数度节点：节点的度的数目为偶数的点。
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3.图论
路
• 通路：点 vi 到点 v j 中任意的两点都连通.
T {vi , ek , vi1, ek1, vi2 ,, v j1, el , v j}
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2.最优化理论之动态规划
动态规划的基本概念 阶段（按时间或空间特征分解成若干个相互联系的阶 段，常用K表示以便按次序去求每阶段的解） 状态（描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk 表示第k阶段的状态变量）
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2.最优化理论之动态规划
决策和策略（依据各段的状态做出不同的 决定从而确定下一阶段的状态用dk(Sk)表示） 状态转移（动态规划中本阶段的状态往往 是上一阶段的决策结果） 指标函数（用于衡量所选定策略优劣的数 量指标称为指标函数。）
作为单目标问题求极小值。
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1.最优化理论之多目标规划
5.分层序列法 将目标按重要性的次序分成最重要目标、
次重要目标，如 f1 x, f 2 x,, f p x 。然
后按顺序将一个多目标规划问题转化为一系列 单目标优化问题来求解。
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2.最优化理论之动态规划
动态规划是解决多阶段决策过程最优 化问题的一种方法。由美国数学家贝尔曼 （Ballman）等人在20世纪50年代提出。 他们针对多阶段决策问题的特点，提出了 解决这类问题的“最优化原理”，并成功 地解决了生产管理 、 工程技术等方面的 许多实际问题。
用图来解决 问题的理论 即为图论
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图论最基本的概念
图：由点及连接线所构成的图形， 用G=(V,E) 表示。
点(vertex)：代表事物。
V (G) {v1, v2 ,, vn}
线(edge)：两个事物间具有的关系。
E(G) {e1, e2 ,, en}
ek (vi , v j )
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3.图论
cj
尺度 aij
含义
1
ci 与 c j 的影响相同
3
ci 比 c j 的影响稍强
5 7 9 2，4，6，8
ci 比 c j 的影响强 ci 比 c j 的影响明显的强 ci 比 c j 的影响绝对的强 ci 与 c j的影响之比在上述两个相邻等
级之间
1，1/2，…1/9 ci 与 c j的影响之比为上面的互反数
据统计，1992~2005年全国赛28个赛题中有关优 化问题有19个，最优化方法是用的最多的方法之 一。
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1.最优化理论
➢最优化问题的定义
最优化问题就是在给定条件下寻找 最佳方案的问题
即在资源给定时寻找最好的目标， 或在目标确定时使用最少的资源
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1.最优化理论
➢最优化问题的分类
整数规划
数学规划线性规划目0 标1规 规划 划
主
次 明
min f1x
x R'
显 的 问
R f1 fi x fi, i 2,, p, x R
题
fi fi x fi i 2,, p
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1.最优化理论之多目标规划
2.线性加权法
当 p个目标 f1 x, f 2 x,, f p x 都要
求最小时，可以给每个目标相应的权系数
且i 0
,
p
2
Fx fi x fi*
i 1
然后求 min F x 。
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1.最优化理论之多目标规划
如果对其中不同的目标重视程度不同，则可 采用加权的平方和作为评价函数，即求：
p
min F xR
x
i
i 1
fi
x
f
* i
2
式中，i为加权系数，可按各目标被重视的 程度给出。
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1.最优化理论之多目标规划
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3.图论
定理1. 图G 具有欧拉通路的判别条件： 当且仅当G 是连通的且仅有零个或两个奇数 度顶点。
若无奇数度顶点，则通路为回路； 若有两个奇数度顶点，则它们是每条欧拉通 路的端点。
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3.图论
定理2. 图G 具有汉密尔顿通路的判别条件： 充分条件：图G中任意两点的度数之和大于等 于顶点数
注意：目前没有充分必要要条件来判断任 意一图是否为Hamilton图
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4.层次分析
二、模型建立的基本步骤
第一步：建立层次结构模型（解决问题的关键） 第二步：构造判断矩阵 第三步：层次单排序及其一致性检验 第四步：层次总排序 第五步：层次总排序的一致性检验
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层次分析的结构
目标层 决策层 方案层
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比较尺度 aij ：不同性质的因素
对上一层因素的影响之比
ci
和
一、将多目标转化为单目标
优选法 线形加权法 平方和加权法 乘除法 分层序列法
二、直接用数学方法求非劣解
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1.最优化理论之多目标规划
适
合1.优选法（使主要目标优化兼顾其它目标）
解 决
如果其中一个目标比较关键，如果希望它取极（小）
目 值，将其他目标分别给一希望值后，加到约束里（即
标 函 数
其他目标满足一定希望值）而把问题转化为单目标规 划问题。
p
i
1 构成新的目标函数
i 1
p
Fx i fi x
i 1
然后使这个新的目标函数取极小值。这里的权系
数大小根据每个目标函数的相对重要性来确定。
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1.最优化理论之多目标规划
3.平方和加权法
首先确定各个目标 fi x 的希望目标值 fi* ，
要求所有的目标值和相应的希望目标值尽可能接近。 此时采用下列评价函数：
数学建模常用方法整理
什么是数学建模？
• 数学建模就是用数学语言描述实际现象 的过程。这里的实际现象既包涵具体的 自然现象比如自由落体现象，也包涵抽 象的现象比如顾客对某种商品所取的价 值倾向。
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常见的数学建模方法
• 最优化理论之多目标规划 • 动态规划 • 图论 • 层次分析 • 灰色关联度分析 • 微分方程 • ……
4.乘除法
设有 p个目标 f1 x, f 2 x,, f p x 。式中，有k 个要求极小值，例如设 f1x, f2 x,, fk x， 而余
下 f k1 x, f k2 x,, f p x 的要求其极大值，并假
定 fk1x, fk2 x,, f p x 0。这时，采用以
下评价函数：
Fx
f1x f2 x fk x fk1x fk2 x f p x
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2.最优化理论之动态规划
动态规划的优点：
•可把一个N维优化问题化成N个一维优 化问题求解。
•DP方程中附加某些约束条件，可使求 解更加容易。
•求得最优解以后，可得所有子问题的最 优解。 但是,状态变量维数不能太高，一般要求小 于6。
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3.图论
图并不是几何学中的 图形,而是客观世界中某 些事物间联系的一个数 学抽象,用顶点代表事物, 用边表示各事物间的关 系,如果所讨论的事物之 间有关系,就把相应的顶 点连成一条边.这种由顶 点及边所组成的图,就是 图论中研究的图.
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哥尼斯堡七桥问题
能否从一点出发，走遍7座桥，且通过每座桥 恰好一次，最后仍回到起始点？
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3.图论
各个点都与奇数条边 相连所以不能实现
七桥路径图
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3.图论
欲建设一个连接7个城市的光纤通信网络。 各城市间线路的造价如图所示，求一个使总造 价最少的线路建设方案。
各线路的造价图 37
3.图论
• 回路：起点和终点是同一个点的路,即vi vj
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常见的图论算法
• TSP （旅行商问题-寻找回路的最短路 径）；
• Dijkstra （ 迪杰斯特拉算法-求单源 最短路径 ）；
• Kruskal； • 匈牙利算法。
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3.图论
欧拉通路：走遍图G每一条边一次仅且一次的通路。 欧拉回路：走遍图G每一条边一次仅且一次的回路。 汉密尔顿通路：走遍图G每个顶点一次且仅一次的 通路。 汉密尔顿回路：走遍图G每个顶点一次仅且一次的 回路。
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1.最优化理论之多目标规划
多目标规划
在多指标的最优化问题背景下所建立 起来的数学规划问题即为多目标规划问题。 在实际问题中，可能会同时考虑几个方面 都达到最优，多目标规划能更好地兼顾统 筹处理多种目标的关系，求得更切合实际 要求的解。
多目标规划可以按照实际情况分主次， 轻重缓急来考虑问题。
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1.最优化理论之多目标规划 基本方法
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2.最优化理论之动态规划
动态规划模型的分类： （时间角度）离散型和连续型；（信息确定与 否）确定型和随机型；（目标函数个数）单目 标型和多目标型。
基本原理：
多阶段决策过程最优化
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2.最优化理论之动态规划
动态规划可用于最优路径问题、 资源分配问题、生产计划和库存问题、 投资问题、装载问题、排序问题及生 产过程的最优控制等。
非线性规划
动态规划
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1.最优化理论
➢解最优化问题的方法 最优化问题的求解方法一般可以分成 解析法、直接法、数值计算法和其他方法 最优化理论的三大非经典算法：模拟 退火算法、神经网络算法、遗传算法
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1.最优化理论
➢最优化模型基本要素 决策变量、目标函数和约束条件
（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。 （2）目标函数是指对问题所追求的目标的数 学描述。 （3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。
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2.最优化理论之动态规划
于是从A城市到达E城市的阶段数有下 列四种情形：
1.从A城市直达E城市，一个阶段。
2.从A城市通过其他B、C、D三城市之一到 E城市，二个阶段。
3.从A城市通过其他B、C、D三城市之二到 E城市，三个阶段。
4.从A城市通过其他B、C、D三城市各一次 到E城市，四个阶段。
C1 : C3 2 矩阵为非一致性的
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最大特征根的求解
特征向量
1 A 1
2 1 6
2
1 1 4
6
4
1
列的归 0.6 一化 0.3
0.1
0.645 0.308 0.077
0.545 按行 0.364 求和
0.091
1.760
0.587
0.972 归一化 0.324
0.268
0.089
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假期旅游，假如有3个旅游胜地供你选择，从景 色、费用、居住、饮食和旅途五个方面出发，选出 你认为的最佳旅游胜地。
目标层
选择旅游地
决策层 景色 费用
居住 饮食 旅途
方案层
P1
P2
Baidu NhomakorabeaP3
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一致性的概念
C1 : C2 1: 2 C2 : C3 4 :1
C1 : C3 ?
C1 : C3 2 矩阵为一致性的
避圈法步骤：
1. 在所有各边中找到边权最小的一条，将其作为第一边； 在剩余的边中，仍然找到边权最小的作为第二条边；
2. 在剩余的边中，找到边权最小的边，查看其是否与 前面的边形成圈，如果没有，则在最小部分树中添加该边， 如果形成了圈，则不再考虑该边；
3. 重复进行第二步，直到找到第 n-1 条边为止。
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1.最优化理论
生 最短路径优化
活 中
最省时间优化
的 管理科学优化
优 化
工程设计优化
无 市场调度优化
处 不
城市建设优化
在
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1.最优化理论
建模真题之优化问题
1994年全国赛A题：逢山开路 1996年全国赛A题：最优捕鱼策略 2001年全国赛B题：公交车优化调度 2010年东三省A题：企业的营销管理问题 2010年东三省B题：周游全中国