小学奥数教师版-4-4-3 圆与扇形(三)

二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)
板块、曲线型旋转问题
【例 1】 正三角形 ABC 的边长是 6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使 A 点再次落在这条直线上，那么 A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是 15 平方厘米，那么三角形在滚 动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留 π )
【巩固】如右图，以 OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以 O 点为中心旋 转 90 ，问：三角形扫过的面积是多少？( π 取 3)
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请；
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之
，它的长度是
2
π
3
1 4
(
cm
)；
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请；
所以 A 点走过的路程长为： 2 π 4 1 2 π 5 1 2 π 3 1 6π ( cm )．
4
4
4
【答案】6π
【例 2】 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见如 图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取 3.14 )
一、跟曲线有关的图形元素：
①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说
的 1 圆、 1 圆、 1 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几
2
4
6
分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是 n ． 360
比如：扇形的面积 所在圆的面积 n ； 360
360 【答案】 24π 15
【巩固】直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长10 厘米．如下图所示，三角形 由位置Ⅰ绕 A 点转动，到达位置Ⅱ，此时 B ，C 点分别到达 B1 ，C1 点；再绕 B1 点转动，到达位置Ⅲ， 此时 A ， C1 点分别到达 A2 ， C2 点．求 C 点经 C1 到 C2 走过的路径的长．
4
4
4
π
302
3 4
202
1 4
102
1 4
2512 ．
【答案】2512
【巩固】一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是 4m ，求狗所能到的地方 的总面积．(圆周率按 3.14 计算)
3
3
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径 4m ，圆心角 300°的扇形与两个半径1m ，圆心角 120°的扇
旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的 加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接 告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．
可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决 对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的． 【答案】（1） BC 边扫过图形的面积为 9π
2π 20 5 2π 10 1 50 π 5π 65 π (厘米)．
12
43
3
【答案】 65 π 3
【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是 5cm ．让这 个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点 A 到达点 E 的位 置．求点 A 走过的路程的长．
如下图所示，端点 A 扫过的轨迹为 AAA ，端点 D 扫过轨迹为 DDD ，而 AD 之间的点，扫过的轨迹 在以 A、D 轨迹，AD， AD 所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段 AD 上某点扫过，
所以 AD 边扫过的图形为阴影部分．显然,
有阴影部分面积为 S直角ADC S扇形ACA S 直角ACD S 扇形CDD ,而直角三角形 ADC 、ACD 面积相等．
扇形中的弧长部分 所在圆的周长 n 360
扇形的周长 所在圆的周长 n 2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 360
②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积 扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图：
弯角的面积 正方形-扇形
④”谷子”：如图：
“谷子”的面积 弓形面积 2
44 3、研究 AD 边扫过的图形． 由于在整条线段上距离 C 点最远的点是 A ，最近的点是 D ，所以我们可以画出 AD 边扫过的图形， 如图阴影部分所示：
A'
A
B
D
C
B'
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请；
用与前面同样的方法可以求出面积为： 52 π 42 π 9 π 4 44
4 （2） AB 边扫过图形的面积为 4π （3） AD 边扫过图形的面积为 9π
4 （4）DC 边扫过图形的面积为 4π
于 ABC 的面积与 A' B 'C 的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形 ACA' 与扇形 BCB ' 的面积之
差，为 120 π 42 120 π 22 4π 12.56 (平方厘米)．
360
360
【答案】12.56
【例 5】 如下图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 米。现在以 C 点为圆点，顺时针旋转
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请；
B
A
C
B
A
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如图所示， A 点在翻滚过程中经过的路线为两段120 的圆弧，所以路线的总长度为：
2π 6 120 2 8π 厘米； 360
三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个 120 的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为： π 62 120 2 15 24π 15 平方厘米．
2、研究 AB 边的情况． 在整个 AB 边上，距离 C 点最近的点是 B 点，最远的点是 A 点，因此整条线段所扫过部分应该介于 这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：
A'
A
B
D
C
B'
下面来求这部分的面积．
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形 ACA' 面积＋三角形 A' B 'C 面积－三角形 ABC 面积一扇形 BCB ' 面积＝扇形 ACA' 面积一扇形 BCB ' 面积 52 π 32 π 4π
请；
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】面积 圆心角为 60 的扇形面积 半圆 空白部分面积(也是半圆) 圆心角为 60 的扇形面积
60 π 32 3 π 4.5(cm2 ) ．
360
2
【答案】4.5
【例 4】 如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米， ABC 60 ，此时 BC 长 5 厘米．以点 B 为 中心，将 ABC 顺时针旋转120 ，点 A 、 C 分别到达点 E 、 D 的位置．求 AC 边扫过的图形即图 中阴影部分的面积．( π 取 3)
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】注意分割、平移、补齐．
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为 EBD 60 ，那么 ABE 120 ， 则阴影部分为一圆环的 1 ．
3
所以阴影部分面积为 1 π AB2 BC2 75 (平方厘米)． 3 【答案】75
形之和．所以答案是 43.96m2 ． 【答案】43.96
【例 3】 如图是一个直径为 3cm 的半圆，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60 ，此时 B 点移动到 B ' 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计算)．
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90 度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是平方米
。（ =3.14）
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。
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请；
因为 r2 r2 12 ，所以 r2 1 。 2
S直角ADC S扇形ACA S 直角ACD S 扇形CD D =S 扇形ACA S 扇形CD D
= 90 AC 2 90 CD2 (52 42) 9 7.065( 平方厘米)
360
360
4
4
即 AD 边扫过部分的面积为 7．065 平方厘米．
【答案】7.065
【例 7】 (祖冲之杯竞赛试题)如图， ABCD 是一个长为 4 ，宽为 3 ，对角线长为 5 的正方形，它绕 C 点按顺
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请；
时针方向旋转 90 ，分别求出四边扫过图形的面积．
A
B
D
C
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】容易发现， DC 边和 BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的 1 ，如图：
4
A'
A
B
D
C
B'
因此 DC 边扫过图形的面积为 4π ， BC 边扫过图形的面积为 9π ． 4
．( π 3.14 )
A
A
B'
B
C
B
C
A'
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如右上图所示，假设 ABC 旋转120 到达 A' B 'C 的位置．阴影部分为 AB 边扫过的图形．
从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于
扇形 ACA' 的面积与 ABC 的面积之和，空白部分面积等于扇形 BCB ' 的面积与 A' B 'C 的面积，由
Ⅰ Ⅱ ⅢⅣ
A
BC
DE
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为长方形旋转了三次，所以 A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．
这三段路程分别是：
第
1
段是弧
AA1
，它的长度是
2
π
4
1 4
(
cm
)；
第
2
段是弧
A1
A2
，它的长度是
2
π
5
1 4
(
cm
)；
第
3
段是弧
A2 E
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为 A ， B ，C 三部分，其中 A 是半径 30 米的 3 个圆， B ，C 分别是 4
半径为 20 米和10 米的 1 个圆． 4
所以羊活动的范围是 π 302 3 π 202 1 π 102 1
所求面积为
12
1 4
12
1 2
12 r2
1 1 0.6775 4 428
（平方米）
【答案】0.6775
【例 6】 如图 30-14，将长方形 ABCD 绕顶点 C 顺时针旋转 90 度，若 AB=4，BC=3，AC=5，求 AD 边扫
过部分的面积．( 取 3.14)
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如下图所示，
请；
圆与扇形
例题精讲
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位
置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．
圆的面积 πr2 ；扇形的面积 πr2 n ； 360
圆的周长 2πr ；扇形的弧长 2πr n ． 360
A2
B
60Ⅰ 30
C
A
C1
Ⅲ Ⅱ
B1
C2
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于
BC
为
AC
的一半，所以
CAB
30
，则弧
CC1
为大圆周长的 180 30 360
5 12
，弧 C 1C2
为小圆
周长的
1 4
，而
CC1
C 1C2
即为
C
点经
C1
到
C2
的路径，所以
C
点经
C1
到
C2
走过的路径的长为
一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边 OA ． 因此可以求得，三角形扫过的面积为： 24 1 π 1010 24 25π 99 (平方厘米)．
4 【答案】99
【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形 ABC 中， B 为直角，且 BC 2 厘米， AC 4 厘米，
则在将 ABC 绕 C 点顺时针旋转120 的过程中， AB 边扫过图形的面积为