奇妙的分形图形
分形 自然界
分形自然界
1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。
它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型（一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列）的天然代表。
2.世界最大盐沼——天空之镜:坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则
图案，这是典型的分形。
3.菊石缝线:在大约6500 万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间
隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。
这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。
4.山脉:山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使
地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。
这些因素共同作用的产物，是一个分形。
分形图形（组图）
分形图形（组图）*
对数学痛心疾首恨之入骨的同学一定不在少数呢。
说到数学都会想到昏昏欲睡的数学课、无法理解的公式、还有永远也算不出来的X 先生和α先生。
但是很少会有人知道。
其实数学也有非常柔美华丽的一面呢。
曼德尔布诺特给分形下的定义是：一个集合形状，可以细分为若
干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
由于分形将数学的美变得更直观更平易近人，它也被很多艺术家青睐。
这里整理了艺术家Silvia Kordedda创作的分形图形。
是不是觉得如果早一些看到这些，也会想要努力学习数学呢?。
奇妙的分形图形
奇妙的分形图形如果让你考虑一个这样的问题：“具有有限面积的平面图形，其周长是有限的，还是无限的呢？”你可能会毫不犹豫地说：“当然周长也是有限的。
”在欧式几何中，人们总是用诸如点、线、平面、三角形、正方形、圆这样的对象和概念来描述我们生存的这个世界。
然而，1906年瑞典数学家科克作了一条“雪花曲线”，它的面积是有限的，而它的周长是无限的。
雪花曲线的具体做法是这样的。
先作一个等边三角形（如图1），再把每边三等分，将居中的部分向外作一个小等边三角形，并把每一个小等边三角形的底抹掉，得到一个六角星形（如图2）；再在六角星形的每一条边上以同样的方法向外作出更小的等边三角形，于是曲线变得越来越长，开始像一片雪花了（如图3）。
再如此作下去，曲线将变得越来越长，图形也更美丽（如图4）。
如果不断地作下去，则曲线可以要多长有多长，若无限地如此作下去，自然就有无限周长了。
而这个图形的面积，通过计算，最多只能是原来三角形的8/5倍。
意大利数学家欧内斯托·切萨罗曾对科克雪花曲线作过如下描述：这个曲线最使我们注意的地方是任何部分都与整体相似。
这个结构的每一个小三角形包含着一个适当比例缩小的整体形状。
这个形状包含着每一小三角形的缩小形式，后者又包含缩得更小的整体形状，如此下去以致无穷。
就是这个在它所有的无论怎样小的部分都保持着相似的性质，使这曲线看上去是如此的奇妙。
“雪花曲线”的图形中，存在自相似性，即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系，这样的图形叫做分形图形。
从20世纪70年代起，一个新兴的数学分支——分形几何逐步形成，它的研究对象就是具有自相似性的图形。
分形几何学的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。
分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
各种有趣的分形
各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让我们先来熟悉几个典型的分形。
图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。
例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面虽然有些东西似乎是显然的，但一个完整的定义仍然很有必要。
比如，大多数人并不知道函数的连续性是怎么定义的，虽然大家一直在用。
有人可能会说，函数是不是连续的一看就知道了嘛，需要定义么。
事实上，如果没有严格的定义，你很难把下面两个问题说清楚。
你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。
考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。
显然，任何有理数都是这个函数的一个周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。
因此，该函数的最小正周期可以任意小。
如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。
请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？Cauchy定义专门用来解决这一类问题，它严格地定义了函数的连续性。
Cauchy定义是说，函数f在x=c处连续当且仅当对于一个任意小的正数ε，你总能找到一个正数δ使得对于定义域上的所有满足c-δ< x <c+δ的x都有f(c)-ε<f(x)<f(c)+ε。
直观地说，如果函数上有一点P，对于任意小的ε，P点左右一定范围内的点与P的纵坐标之差均小于ε，那么函数在P点处连续。
这样就保证了P点两旁的点与P无限接近，也就是我们常说的“连续”。
这又被称作为Epsil on-Delta定义，可以写成“ε-δ定义”。
有了Cauc hy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。
45幅耀眼夺目的分形艺术作品欣赏
45幅耀眼夺目的分形艺术作品欣赏
美国著名的物理学家惠勒曾说过这样一句话：谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
想必要是按这个标准算的话，很多人都不能称为有知识。
其实，在我们生活的这个世界里，分形无处不在。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
今天这篇文章收集了45幅耀眼夺目的分形艺术作品分享给大家，一起欣赏。
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（1）
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（1）
分形（Fractal），是耶鲁大学数学家曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
应用一个方程去等于一个数字，然后让同样的方程去计算相同的结果，一遍遍的重复这个过程。
当结果被转换成几何形态，便会产生了包含着同样的形态不同的比例，生成惊人的自我衍生图像。
这种运用曼德布洛特集合，由程序迭代（iterative）而产生图像的过程，称为分形（fractal）艺术。
分形艺术不同于普通的“电脑绘画”，普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底，且作品的创作几乎完全依赖于作者的个人意愿。
而“分形艺术”则是利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合作者的审美及艺术性的塑造，从而将抽象神秘的数学公式变成一幅幅精美绝伦的艺术画作。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门研究非整数维度图形的数学学科，它的核心理论是分形，分形意为“自相似的”，即一幅图形包含自身的缩小版本，且无限重复。
分形几何在物理、生物、经济、社会等领域都有着广泛的应用，也是艺术中的一个重要领域。
许多艺术家利用分形几何创建出独一无二的作品。
其中一个知名的分形艺术家是美国数学家和计算机科学家，珍妮弗·佩克。
她在20世纪80年代开始研究分形几何，使用计算机程序创建出了大量独特的艺术作品。
佩克的作品通常都是由充满规律的图案组成的，这些图案又以同样的规律进行重复和变形，从而创建出复杂优美、自然流畅的形态。
佩克研究的一个分形形态是由一条直线分割成三条相等长的线段，再将中间一条线段上放一个相似的形状，然后无限重复这个过程。
最终形成的图形看似复杂又规律，似乎有着自然的美感，这种形态被称为科赫雪花（Koch snowflake，也叫科赫曲线）。
科赫雪花虽然由简单的线段构成，但它却是一种非整数维度的图形，具有完整的分形特征。
佩克的另一种分形形态是曼德博集合（Mandelbrot set），该形态是由一组复数所构成，但这组复数所形成的图形却是非常奇妙的分形形态。
曼德博集合是由一些和其他数学公式类似的公式组成的，“mandelbrot（曼德博）”使用了自己的姓作为这个图像命名的依据。
曼德博集合的图像其形态非常多变，包含了数量无穷的分形形态，从科学角度上来看，曼德博集合也含有大量的有趣的讯息和规律。
利用分形几何的原理，现在还有许多艺术家基于计算机程序制作出优美的图案，他们往往通过自相似的不断演变的图形来展示出分形几何的神奇之处。
总之，分形几何是一门神奇的数学学科。
它的原理被广泛应用于艺术创作，成为了许多艺术家表现自己创意的手段之一。
分形几何形成的图形无论是具有几何美学的规律图案，还是含有神秘色彩的曼德博集合，都能让人们领略到分形几何的独特魅力，同时这种美学也在启示着更多创意的可能性。
生活中的美妙分形
从海洋贝类、螺旋星系再到人类肺部的结构，混沌的模型无处不在。
分形是从混沌方程形成的一系列图形，包含不断放大的复杂自相似图案。
如果将一个分形图案分为几个部分，那么每一小块都和整体形状完全一样。
分形的数学之美在于可以从相对简单的方程推导出无限复杂的系统。
通过多次迭代或重复分形生成方程，随机输出就可以产生独特且可识别的美丽图案。
地球上也存在一些自然生成的分形图形，下面我们将从中挑出一些最美丽的图案，以飨读者。
1. 罗马花椰菜（Romanesco Broccoli）这种花椰菜的变种形式是一种极限分形蔬菜。
它的图案是斐波纳契（Fibonacci）黄金螺旋的自然呈现形式，在这个对数螺旋中，每一个直角转弯与起始点的距离都被Φ值所约束，Φ值即黄金分割率。
旧金山湾（San Francisco Bay）的盐滩曾经出产了将近一个世纪之久的商品盐。
世界上最大的盐滩，即位于玻利维亚南部的乌尤尼岩沼（Salar de Uyuni）。
结痂的盐层展现出一种非常一致的随机图案模式，这就是分形的特征。
3. 菊石缝合线已经灭绝了6500万年之久的菊石是一种带有多室螺旋状外壳的海洋头足类动物，其小室之间的阻隔即缝合线就是一种复杂的分形曲线。
斯蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay Gould）曾以菊石缝合线随时间的复杂性来论证不存在向着更高复杂性方向发展的进化驱动力，人类的出现是一个“壮丽的偶然”，在宇宙中独一无二。
和罗马花椰菜一样，菊石外壳也会按照对数螺旋的方式生长，这种生长模式在自然界中颇为常见。
西班牙巴塞罗那一处教堂楼梯的设计灵感就来自于菊石。
4. 山脉地质构造作用力向上抬升地壳，侵蚀再将地壳撕得支离破碎，山脉从此形成，同时也产生了分形图案。
上图是喜马拉雅山脉（Himalayan Mountains）的高空图像，地球上许多最高的山峰都集中在这一带。
造山运动始于7000万年前，随着印度板块和欧亚大陆板块的不断碰撞，喜马拉雅山脉还在被抬升。
曼德尔布罗特--奇妙的分形几何
奇妙的分形几何：噪音也可形成美丽图案(图)2010年10月21日 13:38据国外媒体报道，2010年10月14日，著名数学家、“分形几何之父”伯努瓦-曼德尔布罗特在美国因病逝世，享受85岁。
他所提出的“分形几何”理论和出版的《大自然的分形几何》一书，不仅仅为世人带来一个神奇绝妙的美丽世界，而且分形几何在数学、物理学、生物学等许多科学领域中都得到了广泛的应用，甚至对流行文化领域也产生了重要影响。
让我们通过如下这组不断放大的美丽分形几何图案来纪念这位天才数学家。
1. 曼德尔布罗特集合曼德尔布罗特集合曼德尔布罗特集合最经常被用来说明何为分形几何，它已成为分形几何的标志性图案，它可以帮助我们更好地理解我们周围不规则和粗糙的世界。
它的名称就来源于“分形几何之父”伯努瓦-曼德尔布罗特。
分形几何理论认为，许多领域(如物理学、生物学以及金融等)中的复杂现象，都可以以这种美丽的图案进行处理。
2. 伯努瓦-曼德尔布罗特伯努瓦-曼德尔布罗特伯努瓦-曼德尔布罗特在1982年的照片。
曼德尔布罗特出生于波兰华沙。
当时，为了逃避纳粹的追杀，他们全家移居法国。
曼德尔布罗特先后供职于全球多家最著名的研究机构，不过在职业生涯的大部分时间里，他都是IBM的一名研究员。
在IBM，曼德尔布罗特第一次遇到不规则问题，这一问题导致他提出了最著名的分形几何理论。
20世纪60年代，IBM科学家们被电子“噪音”所困扰，这种“噪音”可能会干扰数据传输，导致错误的发生。
尽管当时没有能够对这种“噪音”有更深入的认识，但曼德尔布罗特发现，“噪音”会形成一种图案，而且它们被检测时距离越靠近，形成的图案也更复杂。
3. 第一步靠近第一步靠近一个新词汇--“分形”(fractal)。
“fractal”来自拉丁文“fractus”，原意为“碎片”。
4. 进一步靠近曼德尔布罗特根据他的观测结果，撰写了《大自然的分形几何》一书，该书发表于1982年。
在《大自然的分形几何》一书中，他创造了进一步靠近要想理解曼德尔布罗特所观察到的奇怪现象，最好的方法就是去思考如下这个非常简单问题的答案，即“英国海岸线有多长”。
奇妙的“雪花曲线”
奇妙的“雪花曲线”
作者：丁学明
来源：《学与玩》2015年第01期
冬季里雪花漫天飞舞，你知道吗，雪不仅是文学艺术领域常常描绘的，也是数学的研究对象。
数学在不断更新和发展，其中，分形数学就是最近发展起来的一门新的数学分支，它第一次引起公众注意是1985年在《科学美国人》上发表的一篇文章，自那以后，分形数学的研究有了许多进展。
在分形数学中，最典型的当数“雪花曲线”了。
雪花曲线因其形状类似雪花而得名，雪花曲线又名科克曲线，它是在1906年由瑞典数学家赫尔奇·冯·科克第一次作出的。
雪花曲线是这样的：由图1那样的等边三角形开始，把三角形的每条边三等分，并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要像图2那样去掉与原三角形叠合的边。
接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三分后的中段，像图3那样向外画新的尖形。
不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线。
雪花曲线令人惊异的性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长！我们可以这样想，在一张纸上画雪花曲线，不管“生长”多少次，它都不会超过一张纸的，所以说它的面积是有限的。
经过研究，其面积等于原三角形面积的1.6倍。
而雪花的边长可以无限地增加下去，所以说它的周长是无限的。
上面我们作的雪花曲线是向外作正三角形，如果我们向内作正三角形，则相应地得到如下图所示的另一系列的雪花曲线，称之为反雪花曲线。
下面就是应用分形数学原理画出的两个美丽的分形图形，你能设计出什么样的图形？请你也试着画一下。
不可思议的分形图形
不可思议的分形图形讲数学之美，分形图形是不可不讲的。
如果说有什么东西能够让数学和艺术直接联系在一起，答案毫无疑问就是分形图形。
让我们先来看一个简单的例子。
首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。
这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。
用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换成一座小山，得到了16条更小的线段。
然后继续对这16条线段进行类似的操作，并无限地迭代下去。
图1是这个图形前五次迭代的过程，可以看到第五次迭代后图形已经相当复杂，我们已经无法看清它的全部细节了。
图 1你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的如果最初的线段长度为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了第二次操作后总长度增加到第n次操作后总长度为毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。
难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。
现在，我们像图2那样，把3条这样的曲线首尾相接组成一个封闭图形。
这时，有趣的事情发生了，这个雪花状的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。
有人可能会说，为什么面积是有限的呢？虽然从图2看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明。
3条曲线中每一条在第n次迭代前都有4n－1条长为的线段，迭代后多出的面积为4n－1个边长为的等边三角形。
把4n－1扩大到4n，再把所有边长为的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数是收敛的。
很难相信，这一块有限的面积，竟然是用无限长的曲线围成的。
图 2这让我们开始质疑“周长”的概念了：剪下一个直径为1厘米的圆形纸片，它的周长真的就是π厘米吗？拿放大镜看看，我们就会发现纸片边缘并不是平整的，上面充满了小锯齿。
再用显微镜观察，说不定每个小锯齿上也长有很多小锯齿。
然后，锯齿上有锯齿，锯齿上又有锯齿，周长永远也测不完。
分形领域中有一个经典的说法，“英国的海岸线有无限长”，其实就是这个意思。
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我们猜想：上面这样的图形中，存在多种相似 关系，例如其中大大小小的三角形是相似的。
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事实上，上面的图形中都存在自相似性， 即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似 关系，这样的图形叫做分形图形。
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下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每 个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。 而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么， 枝杈的枝杈的枝杈呢？
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分形图形具有奇特的性质，例如，如果把上面 那样画雪花曲线的做法无限地继续下去，雪花曲线 的周长可以无限长，但它却可以画在一个小小的格 子中；它的尖端可以无限多，无数小尖尖布满了整 个曲线，但它们彼此却不会相交。 需要更完整的资源请到 新世纪教
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从20世纪70年代起，一个新兴的数学分 支——分形几何逐步形成，它的研究对象就是 具有自相似性的图形。
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再看一个分形图形的例子。画一个大的正五边形，接 着画出内嵌的5个小正五边形（如果算上中间的一个小正五 边形，则正好是在6个）；在每个小正五边形内再画出5个 更小的正五边形；继续下去，不断重复此过程，就可以得 到有无穷自相似结构的分形图形。你愿意试着画画吗？
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这个图叫做谢尔宾斯基地毯,它最早是由波兰数学家 谢尔宾斯基这样制作出来的:把一个正三角形分为全等的 4个小正三角形,挖去中间的一个小三角形;对剩下的三个 小正三角形再分别重复以上做法……将这种做法 继续进 行下去,就能得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯.
想一想
图3中的阴影部分的面积的变化有什么规律？
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想一想
图4中的图形的周长的变化有什么规律？
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需要更完整的资源请到 新世纪教 下面我们仔细的看一看它的产生过程 育网 -
这种图形 中大大小小的 三角形之间有 什么关系呢?
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下面我们仔细的 看一看它的产生 过程
这是雪花曲线,它可以从一 个等边三角形开始来画:把一个 等边三角形的每边分成相同的 三段,再在每边中间一段上向外 画出一个等边三角形,这样一来 就做成了一个六角星.然后在六 角星的各边上用同样的方法向 外画出更小的等边三角形,出现 了一个有关18个尖角的图形.如 此继续下去,就能得到分支越来 越多的曲线.继续重复上面的过 程,图形的外边界逐渐变得越来 越曲折、越来越长、图案变得 越来越细致,越来越像雪花、越 需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 - 来越美丽了。
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这张美丽的图片是利用分形技术生成的。 在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优 势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
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不管你信不信，上面的这张月球表 面的照片也是用分形技术生成的。如果 你把图片放大观看，也可以看到更加细 致的东西。因为，分形能够保持自然物 体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。
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如果你是个有心人，你一定会发 现在自然界中，有许多景物和都在某 种程度上存在这种自相似特性，即它 们中的一个部分和它的整体或者其它 部分都十分形似。其实，远远不止这 些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气 到股票的起落等许多现象都具有分形 特性。这正是研究分形的意义所在。 例如，在道· 琼斯指数中，某一个阶 段的曲线图总和另外一个更长的阶段 的曲线图极为相似。