高等数学作业集第3章导数与微分及答案

(2) y = = (1 + x ) arctan x ;解: y ' = 1 + 2 x arctan x , y′′ 2 arctan x +
2
2x . 1 + x2
(3) y = xe
− x2
;解: y′ = (−2 x + 1)e
2
− x2
, y′′ =− [ 2 x(−2 x + 1) − 4 x]e
.
(7) y = ln sin(2 x = ) ;解: y′
2 cos(2 x) = 2 cot(2 x) . sin(2 x)
x cos x a2 + x2
.
(8)= y
− a 2 + x 2 sin x + a 2 + x 2 cos x ;解: y′ =
(9) y e3 x sin(5 x + 1) ;解: y′ e3 x (3sin(5 x + 1) + 5cos(5 x + 1)) . = =
d + 2) n x 2 = e 2 x [2n x 2 + 2n nx + 2n − 2 n(n − 1)] . dx dy : 12．求由下列方程所确定的隐函数 y 的导函数 dx
(3) y = x e ;解: y
2 2x
(n)
= e2 x (
(1) ln( x + y ) = x y + sin x ;解:
xy 2 xy
13. 求由下列方程所确定的隐来自百度文库数 y 的二阶导函数:
(1) y= x + arctan y ;解: y′ = 1 + (2) y = 1 + xe y ; 解 : y′ e ( xy′ + 1) ,即 y′ = =
y
y′ ,即 y′ = 1 + y −2 ,故 y′′ = −2 y −3 y′ = −2 y −5 (1 + y 2 ) . 1+ y2
2 3
( x 2 + y )(3 x 2 y + cos x) − 2 x 2 x + y′ 3 2 ′ ′ , 故 . y = = + + x y 3 x y cos x 1 − x5 − x3 y x2 + y sin x + ye xy . xe xy + 2 y
(2) e + y = cos x ;解: e ( y + xy′) + 2 yy′ = − sin x , y′ = −
ey y′e y e 2 y (1 + xy′) e2 y e2 y ′′ , 故 . y = + = + 1 − xe y 1 − xe y (1 − xe y ) 2 (1 − xe y ) 2 (1 − xe y )3
dy ; dx
14. 求下列参数方程所确定的函数的导函数 (1)
= 2t − cos t ; x dy − cos t ;解: . = dx 2 + sin t y = 1 − sin t.
解:
f ( x) − f (0) 1 的左极限为 1,右极限为 0,不相等,故不可导. = x−0 1 + e1/ x
5.求下列函数的导函数: (1) : y′ 12 x 2 + 2 . = y 4 x3 + 2 x ; 解 = (2) y =x −3 + 3 x −2 + 4 ; 解: y′ = −3 x −4 − 6 x −3 . (3) = y 2e x + 3 tan x ;解:= y′ 2e x + 3sec 2 x .
f ( x)(1+ | sin x |) f ( x) f ( x) | sin x | = lim + lim = f ′(0) . x →0 x →0 x x x
x , x ≠ 0, 4. 设 f ( x) = 1 + e1/ x 讨论 f 在 x = 0 处的可导性. 0, x = 0.
= − sin x(cos x)cos x (1 + ln(cos x))
(2) y = 解: y = e
e1/ x x sin x ;
1/(2 x ) 1/4
1 cos x 1 1/8 x sin x ,所以 y′ [e1/(2 x ) x1/4 sin1/8 x] − 2 + = + . 2 x 4 x 8sin x
lim
x→a
ln[1 + sin( x − a )] sin( x − a ) + arctan 2 (a1/3 ) = 1 + arctan 2 (a1/3 ) ,其中用到性质 ln(1+x)~x. (x→0). x−a sin( x − a )
f ( x) = A ,求 f ′( x0 ) . x − x0
(2)
x = arctan t ;
2 t 5. 2 y − ty + e =
;解:
dy y 2 − et dx 1 dy dy t 2 , , 即 ,故 2 − y − 2 ty + e = 0 = = dt dt dt 1 + t 2 dt 2(1 − ty )
dy ( y 2 − et )(1 + t 2 ) . = dx 2(1 − ty )
− x2
;解: y′ = −2 xe
2
− x2
.
(4) = y ln(3 x + 2) ;解: y′ = (5) y = arcsin( x 2 ) ;解: y′ =
6x . 3x 2 + 2
2x 1 − x4
.
(6) y = arcsin 2 x ;解: y′ =
2 arcsin x 1 − x2
1 1 1 1 1 1 ;= 解:因 y = = − . 2 x + 4 x − 12 x + 4 x − 12 ( x − 2)( x + 6) 8 x − 2 x + 6
2
(n) 故y =
(−1) n n ! 1 1 . − n +1 n +1 8 ( x − 2) ( x + 6)
′ (4) y = 3ln x + 4 lg x + ln 5 ;解: y=
: y′ (5) y = sin x ln x ;解 =
3 4 . + x x ln10
sin x + cos x ln x . x
(6) y = x 2 e x cos x ;解: y = e x (2 x cos x + x 2 (cos x − sin x)) . (7) y =
x 2 − ln x ′ 2 ln x ′ −( x 2 + ln x)2 / x + 2 ln x(2 x + 1/ x) 2 x(2 ln x − 1) ′ 解: y = . = 2 = 1 − 2 = ( x 2 + ln x) 2 ( x 2 + ln x) 2 x + ln x x + ln x
解:
dy dy cos t − sin t ,在点(0,1)处, = 1 ,故切线方程为 y= x + 1 ,切线方程为 y = − x + 1. = dx dx sin(2t ) + cos(2t )
第 3 章 导数与微分 1．设 f ( x) = ln[1 + sin( x − a )] + ( x − a ) arctan 2 ( x1/3 ) ,按定义求 f ′( a ) . 解: f ′( a ) = lim
ln[1 + sin( x − a )] + ( x − a ) arctan 2 ( x1/3 ) x→a x−a
6. 求 a 为何值时曲线 y = ln x 与曲线 y = ax 2 相切. 解:两曲线在切点斜率相等,故 ln x = α x ,
2
1 = 2α x ,解得 x = e1/2 , α = 1/ （2e） . x
7. 求下列函数的导函数: (1) = : y′ 30(3 x − 2)9 . y (3 x − 2)10 ;解 = (2) ;解: y′ 4 cos(4 x + 1) . = y sin(4 x + 1) = (3) y = e
2. 设 f ( x) 在 x = x0 处连续,且 lim
x → x0
解:因极限存在,故 f ( x0 ) = 0 故 f ′( x0 ) = A . 3.设函数 f 可导, 且 f (0) = 0 ,试证 = F ( x) 解: F ′(0) = lim
x →0
f ( x)(1+ | sin x |) 在 x = 0 可导.
1 1 − =− . (10) y arccos x + 1 ;解: y′ = = 2 −x x +1 2 − x( x +1)
(11) y ln(sec = = x − tan x) ;解: y′ (12) y = a
ax
a a
sec x tan x − sec 2 x = − sec x . sec x − tan x
(2) y = cos 4 x ; 解:因 y = cos 4 x = [(1 + cos 2 x) / 2]2 = 1/ 4 + cos(2 x) / 2 + (1 + cos(4 x)) / 8 ,
(n) 故: y= 2n −1 cos(2 x + nπ / 2) + 22 n −3 cos(4 x + nπ / 2) .
x a x
a x a a ln 2 a + ax a −1a x ln a = aa + a x + a a , a > 0 ;解: y′ =
1− x ;解: y′ = 1+ x
−1 = 1− x 1− x 1− (1 + x) 2 1+ x 1+ x
+x
ln 2 a + x a −1a x
a
+1
ln a .
sin 2 (2 x )
解: y′ = 4sin(2 x) cos(2 x) f ′(e
)esin
2
(2 x )
y′ = 2sin(4 x) f ′(esin
2
(2 x )
)esin
2
(2 x )
.
9.用对数求导法求下列函数的导函数: (1) y = (cos x)cos x ;解: y′ = y (ln(cos x) cos x )′ = (cos x) cos x (cos x ln(cos x))′
(3) y =
x + 1(3 − x)3 ;解: y′ = ( x + 2) 4
x + 1(3 − x)3 1 3 4 − − . 4 ( x + 2) 2( x + 1) (3 − x) x + 2
10. 求下列函数的二阶导函数:
′′ 6 x − cos x . (1) = y x 3 + cos x ; 解:y’=3x2 - sin x, y =
(13) y = arcsin
−1 = 2 x 1 − x (1 + x)
−1 . 2 x(1 − x)(1 + x)
(14) y = e
arctan x
.解: y′ =
1 earctan x . 2(1 + x) x
8. 设 y = f (e
sin 2 (2 x )
) ,其中 f 可导,求 y′ .
1 1 − 2 2 2 x ln(1 + t 2 ); = −(1 + t 2 ) dy 1 + t 1 d y 2t (2) ;解 : ,= . = = = 2 3 2 t 2 t d x 4 t d 2 x t = y arctan t . 1+ t2 1+ t2
16. 求曲线
x = et sin(2t ), 在点(0,1)处的切线方程和法线方程. t y = e cos t.
15. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导函数
d2 y ; dx 2
(1)
= x sin t − t ; ; y = 1 − cos t.
sin t d 2 y cos t − 1 dx
= , 2 解 : =
dy dx
cos t (cos t − 1) + sin 2 t −1 = . ÷ (cos t − 1) 2 (cos t − 1) (1 − cos t ) 2
2
− x2
= [4 x3 − 6 x]e − x .
2
;解: y′ (4) = y = ln
1− x 1+ x
1+ x 1 −2 x −1 , y′′ = 2 . = 2 2 ( x − 1) 1− x 1 x − 1 − x (1 + x) 2 1+ x
11. 求下列函数的 n 阶导函数的一般表达式: (1) y =
2 2 5 x 2 + 3x 3 x − 5 ′ 3(1 + x ) − 2 x(3 x − 5) −3 x + 10 x + 3 ′ ; 解 : . = y = 5+ = 2 1 + x2 (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2 1+ x
x 2 − ln x ; (8) y = 2 x + ln x