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高中数学 必修二 习题：第4章 圆的方程4.2.3 Word版含解析
第四章 4.2 4.2.3一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6，卡车宽1.6，所以AB ＝0.8， 所以弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－ 5C ．5D ．25[答案] A [解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d ＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )[答案] A[解析] 由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上和以下的部分．4．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )D ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.5．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．6．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)． 二、填空题7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为________.[答案] [34，＋∞)[解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QD ．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)．8．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________.[答案] (－3,32][解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点． 三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C ．现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A 、B 、P 在此圆上，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6. 答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.一、选择题1．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.2．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－ 2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1[答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6. 4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )D ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4[答案] A[解析] 原点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离为d ，则d ＝45，点C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，所以r 最小为25，面积最小为4π5，故选D ． 二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.[答案] B 景点在小路的投影处[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧ a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．6．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________.[答案] [0，43][解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.三、解答题7.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解析] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.8．已知隧道的截面是半径为4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m 、高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得 y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
高中数学必修2第四章测试(含答案)
第四章测试(时间：120分钟 总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0， 化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16. ∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切． 答案：C2．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0 D ．x －3y ＋1＝0解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.答案：A3．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1 D ．－1 解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1. 答案：D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0 解析：∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63， 故切线方程为y －6＝－63(x －2)， 即2x ＋6y －10＝0. 答案：D5．点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是( ) A ．(－3,3，－1) B ．(－3，－3，－1) C ．(3，－3，－1) D ．(3,3,1)解析：点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)． 答案：D6．若点A 是点B (1,2,3)关于x 轴对称的点，点C 是点D (2，－2,5)关于y 轴对称的点，则|AC |＝( )A ．5 B.13 C ．10 D.10解析：依题意得点A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)． ∴|AC |＝(－2－1)2＋(－2＋2)2＋(－5＋3)2＝13.答案：B7．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A.3B. 2C.3或－3D.2和－ 2解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离为12，∴11＋k 2＝12，∴k ＝±3. 答案：C8．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1， O 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心O 1(－2,2)，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5.∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线． 答案：B9．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x －y －2＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝0解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2， ∴l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案：A10．圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心在直线x ＋y －4＝0上，那么圆的面积为( )A ．9πB ．πC ．2πD ．由m 的值而定解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0， ∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m )2＝m 2. ∴圆心(2m ＋1，m )，半径r ＝|m |. 依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1. ∴圆的面积S ＝π×12＝π. 答案：B11．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析：设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，512) B ．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34]解析：如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512.当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34.因此，k 的取值范围是512<k ≤34.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________． 解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案：414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．解析：r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析：已知方程配方得，(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案：②16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________． 解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0， 得(x －3)2＋(y －1)2＝25.圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝ 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝4 5.答案：4 5三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1)， ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0， 解得m ＝－1.故圆M 的圆心M (－1，－2)．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．解：设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0x 2＋y 2－2x －2y ＝0的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0， ∵A 、B 两点的坐标都满足该方程， ∴x ＋y －3＝0为所求． 将圆C 2的方程化为标准形式， (x －1)2＋(y －1)2＝2， ∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝ 2.圆心C 2到直线AB 的距离d ＝|1＋1－3|2＝12，|AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 即两圆的公共弦长为 6.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2，化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知⊙C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2.欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如图所示．则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1)2＝16. 此时，x 13＝y 14＝45，∴x 1＝125，y 1＝165.∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫125，165. 同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2 ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5，消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径， 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2， ∴k ＝5±3 5.。
高中数学必修二第四章同步练习(含答案)
4.1.1 圆的标准方程练习一一、 选择题1、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（ ）A 、x 2+y 2=4B 、 x 2+y 2=16C 、x 2+y 2=2D 、()224(4)16x y -+-=2、已知圆的方程是()222(3)4x y -+-=，则点P （1，2）满足( )A 、是圆心B 、在圆上C 、在圆内D 、在圆外3、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y 轴相切，则该圆的方程是（ ）A 、()222(3)4x y -++=B 、()222(3)4x y ++-=C 、()222(3)9x y -++=D 、()222(3)9x y ++-=4、方程()22()0x a y b -++=表示的图形是（ ）A 、以(a,b)为圆心的圆B 、点(a,b)C 、(－a,－b)为圆心的圆D 、点(－a,－b5、圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )A 、(1,－1)B 、(12,－1)C 、(－1,2)D 、(－12,－1)、6、方程y=( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆7、（x-3）2 +（y+2）2 =13的周长是（ ）A B 、C 、 2πD 、8、过点C （-1，1）和D （1，3），圆心在x 轴上的圆的方程为（ ）A 、22(2)10x y +-=B 、22(2)10x y ++=C 、22(2)10x y ++=D 、22(2)10x y -+=9、直线绕原点按逆时针方向旋转300后所得直线与圆(x-2)2+y 2=3的位置关系是（ ） A 、直线过圆心B 、直线与圆相交但不过圆心C 、直线与圆相切D 、直线与圆没有公共点二、填空题10、如果一个圆的圆心在（2，4）点，并且经过点（0，3），那么这个圆的方程是----------------------------------------------。
11、222()()x a y b r -+-=过原点的条件是 。
新教材人教A版选择性必修二册 第四章 数列 单元测试(含答案)
详解：由 有 ， ，由等差数列的性质有 ，所以 ，又 ，所以 ，选A.
11、答案D
设当差数列 的首项为 ，公差为
∵ ，
∴
∴
∴ ，即
∴
故选D
12、答案C
当 时， 。
当 时，
当 时 单调递减，当 时， 单调递增
当 时，
综上可得， 的最小值为 ，故选C
13、答案
∵ ，∴ ，又
∴ ， ，
故数列 的周期为3，
3、已知数列 ， ， ，…， ，…，下面各数中是此数列中的项的是（）
A． B． C． D．
4、在等差数列 中， ， ，若 ，则 ( )．
A．38B．20C．10D．9
5、现在有这么一列数：2， ， ， ，， ， ， ，按照规律，横线中的数应为
A. B. C. D.
（正确答案）B
6、
已知各项均为正数的等比数列 中, , ,则 等于(）。
故答案为：D
9、答案D
∵等差数列{an}中， ，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0，∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，
∴等差数列{an}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，
∴ ,
又 中最大的项为 ．故选D．
故括号中的数应该为 ．
故选：B．
由题意可得：分子为连续的质数，分母依次为首项为2、公比为2的等比数列，即可得出．
本题考查了数列通项公式的求法、观察法、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6、答案C
详解：因为等比数列 中， , ，，
由等比数列的性质 成等比数列，
高二数学人教A版选择性必修第二册第四章4.3.2等比数列前n项和公式的应用-同步练习及解析答案
高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册4.3.2第2课时 等比数列前n 项和公式的应用一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A ．152 B ．314 C ．334 D ．1723．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．4004．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10 ，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．20 2405．已知公差d ≠0的等差数列{a n } 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( ) A ．30B ．20C ．10D ．5或406．(多选题)已知S n 是公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和，若q ≠1，m ∈N *，则下列说法正确的是( ) A ．S 2m S m ＝a 2ma m ＋1B ．若S 6S 3＝9，则q ＝2C ．若S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则m ＝3，q ＝2D ．若a 6a 3＝9，则q ＝37．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．3n－1 B ．1－(－3)n 2C ．1＋3n 2D ．3n 2＋n 2二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 9．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 10．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.11．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝________，又令该数列的前n 项的积为T n ，则T n 的最大值为________． 12．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的第n 项为a n ，前n 项和为S n ，则a n ＝________，S n ＝________. 三、解答题13．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．14．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．15．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．参考答案一、选择题 1．答案：C解析：由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， ∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15.]2．答案：B解析：显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.]解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列， 因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，解得S 20＝－20或S 20＝30， 又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150.故选A. 4．答案：C解析：∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0， ∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.] 5．答案：A解析：设等差数列的公差为d ，因为a 2，a 4－2，a 6成等比数列，所以(a 4－2)2＝a 2·a 6， 即(a 1＋3d －2)2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，即(3d －1)2＝(1＋d )·(1＋5d )，解得d ＝0或d ＝3，因为公差d ≠0，所以d ＝3，所以a m －a n ＝a 1＋(m －1)d －a 1－(n －1)d ＝(m －n )d ＝10d ＝30，故选A.] 6．答案：ABC解析：[∵q ≠1，∴S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝1＋q m.而a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1qm －1＝q m ，∴A 正确；B 中，m ＝3，∴S 6S 3＝q 3＋1＝9，解得q ＝2.故B 正确；C 中，由S 2m S m ＝1＋q m ＝9，得q m ＝8.又a 2ma m ＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，得m ＝3，q ＝2，∴C 正确；D 中，a 6a 3＝q 3＝9，∴q ＝39≠3，∴D 错误，故选ABC.]7．答案：A解析：由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1＞0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n－1.]二、填空题解析：由a n ＋1＝ca n 知数列{a n }为等比数列．又∵S n ＝3n ＋k ， 由等比数列前n 项和的特点S n ＝Aq n －A 知k ＝－1.] 9.答案：2解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.10．答案：2n －1解析：设等差数列{a n }的公差为d ，(d ≠0)， 则S 1＝5－2d ，S 2＝10－3d ，S 4＝20－2d ，因为S 22＝S 1·S 4，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，整理得5d 2－10d ＝0，∵d ≠0，∴d ＝2， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋2(n －3)＝2n －1.] 11．答案：122解析：设数列{a n }共有2m ＋1项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116，S 奇＝a 1＋a 2q ＋…＋a 2m q ＝2＋q (a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝2＋2116q ＝8532， ∴q ＝12，∴T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝232n －n 22，故当n ＝1或2时，T n取最大值，为2.] 12．答案：2n －1 2n ＋1－n －2 解析：因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 三、解答题13．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶， 由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12.故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ， 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，故a n ＝3n －1(n ≥2，n ∈N *)，又当n ＝1时也满足a n ＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n －2)(3＋n ＋4)2＝3n －n 2－5n ＋112.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3.高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元过关平行性测试卷（A 卷）一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“x <0”是“ln(x +1)<0”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件（2）下列命题正确的是（ ）A ． “x =y ”是“sinx =siny ”的充分不必要条件；B ． 命题“p ∧q ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C ． “am 2<bm 2”是“a <b ”成立的必要不充分条件；D ． 命题“存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x +1<0”.（3）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a b =”是“ac bc =”的充要条件②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件 ④“5a <”是“3a <”的必要不充分条件， 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（4）有下列结论： ①命题 p:∀x ∈R ，x 2>0为真命题 ；②设p:x x+2>0 ，q:x 2+x −2>0，则 p 是 q 的充分不必要条件 ；③已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的充要条件；④非零向量a ⃑与b ⃑⃑满足|a ⃑|=|b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑与a ⃑+b⃑⃑的夹角为300. 其中正确的结论有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个（5）命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ；∃x 0>0，使得ln x 0=1−x 0，则下列命题中为真命题的是（ ；A ． p ∧qB ． p ∨(¬q )C ． (¬p )∧qD ． (¬p )∧(¬q )（6）设x ∈R ，若“log 2(x −1)<1”是“x >2m 2−1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ． [−√2,√2]B ． (−1,1)C ． (−√2,√2)D ． [−1,1] 二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．(7) 下列说法正确的是( ) A.x >3是x 2>4的充分不必要条件 B.命题“∃x 0∈R ， x 0+1x 0≥2"的否定是“∀x ∈R ， x +1x>2”C.若tan (π+α)=2，则sin2α=±45D.定义在[a,b ]上的偶函数f (x )=x 2+(a +5)x +b 的最大值为30 (8)下列说法正确的有( )A.已知a,b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为14B.函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数在区间[34π,54π]上单调递增C.命题“∀x ≥1,x −1≥0”的否定形式为“∃x ≥1,x −1≤0”D.函数y =log a (x +1)(a >0且a ≠1)恒过定点(1,0) 三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．（9）已知:40p x m -<，:22q x -≤≤，若p 是q 的一个必要不充分条件，则m 的取值范围为___________.（10）“a =1”是“直线ax −y +2a =0与直线(2a −1)x +ay +a =0互相垂直”的___________条件（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分又不必要”）． （11）已知x ∈R ,则“|x −1|<2成立”是“x x−3<0成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．（12）有下列命题: ；“x >2且y >3”是“x +y >5”的充要条件;；“b 2−4ac <0”是“一元二次不等式ax 2+bx +c <0的解集为R”的充要条件; ；“a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的充分不必要条件; ；“xy =1”是“lgx +lgy =0”的必要不充分条件.其中真命题的序号为____________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （13）（本小题满分16分）已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k．(I)求m的值；(II)当x∈[−1,2]时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B，设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．(14)（本小题满分18分）设命题p：a>0；命题q：关于x的不等式a−x≥0对一切x∈[−2，−1]均成立。
人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第四章 数列 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示
第四章4.1 数列的概念第1课时 数列的概念与简单表示A 级必备知识基础练1.[探究点三]数列{a n }中,若a n =√16-2n,则a 4=( ) A.12B.√2C.2√2D.82.[探究点三]已知数列-1,14,-19,…,(-1)n 1n2,…,它的第5项的值为( ) A.15B.-15C.125D.-1253.[探究点三]已知数列的通项公式a n ={3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,则a 2a 3等于( ) A.70B.28C.20D.84.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n 项为( ) A.6n-1B.-6n+1C.6n+2D.-6n-25.[探究点二·陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为( )A.a n =(-1)n+12nB.a n =(-1)n 2nC.a n =(-1)n+12nD.a n =(-1)n 2n6.[探究点二、三](多选题)已知数列√2,2,√6,2√2,…,则下列说法正确的是( )A.此数列的通项公式是√2nB.8是它的第32项C.此数列的通项公式是√n +1D.8是它的第4项7.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1,12,13,14,…,1n,…B.sin π7,sin 2π7,sin 3π7,…,sin nπ7,…C.-1,-12,-14,-18,…,-12n -1,…D.1,√2,√3,…,√n ,…8.[探究点四(角度2)]已知数列{a n }的通项公式为a n =2 021-3n,则使a n >0成立的正整数n 的最大值为 .9.[探究点三]已知数列{a n }的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象: (1)a n =2;(2)b n ={n ,n 为奇数,-2n,n 为偶数.10.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式. (1)1,-12,14,-18,….(2)10,9,8,7,6,…. (3)2,5,10,17,26,…. (4)12,16,112,120,130,….(5)3,33,333,3 333,….11.[探究点三]已知数列{a n},a n=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?B级关键能力提升练12.设a n=1n +1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2(n∈N*),则a2等于( )A.14B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+1513.若数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2+25n,则数列{a n }的各项中最大项是( ) A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项14.(多选题)已知数列{a n }的前4项依次为2,0,2,0,则数列{a n }的通项公式可以是( ) A.a n ={2,n 为奇数,0,n 为偶数B.a n =1+(-1)n+1C.a n =2|sinnπ2| D.a n =21-(-1)n215.[湖南长沙月考]数列{a n }的通项公式a n ={(7-t )n +4,n ≤4,t n -2,n >4,若{a n }是递增数列,则实数t 的取值范围是( ) A.[4,7)B.(325,7)C.[325,7)D.(1,7)16.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n+k 2n,若数列{a n }为递减数列,则实数k的取值范围为 .17.函数f(x)=x 2-2x+n(n ∈N *)的最小值记为a n ,设b n =f(a n ),则数列{a n },{b n }的通项公式分别是a n = ,b n = . 18.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n 2(n ∈N *).(1)0和1是不是数列{a n}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{a n}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?C级学科素养创新练19.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为( )A.14.8B.19.2C.19.6D.20.420.若数列{a n }的通项公式为a n =n n 2+(n ∈N *),则这个数列中的最大项是( ) A.第43项 B.第44项 C.第45项D.第46项21.在数列{a n }中,a n =n 2n 2+1.(1)求数列的第7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内. (3)区间(13,23)内有没有数列中的项?若有,有几项?第1课时 数列的概念与简单表示1.B 由a n =√16-2n可知16-2n>0,即n<8,所以a 4=√16-8=√2.2.D 第5项为(-1)5×152=-125.3.C 由a n ={3n +1,n 为奇数,2n -2,n 为偶数,得a 2a 3=2×10=20.4.B 由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为a n =(-1)n-1(3n-1),所以第2n 项为a 2n =(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.5.B 数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故a n =(-1)n 2n.故选B.6.AB 数列√2,2,√6,2√2,…,即√2,√4,√6,√8,…,则此数列的通项公式为√2n ,故A 正确,C 错误;令√2n =8,解得n=32,故8是它的第32项,故B 正确,D 错误.故选AB.7.CD 选项C,D 既是无穷数列又是递增数列. 8.673 由a n =-3n>0,得n<3=67323,又因为n ∈N *,所以正整数n 的最大值为673. 9.解列表法给出这两个数列的前5项:它们的图象分别为10.解(1)a n =(-1)n+112n -1;(2)a n =11-n; (3)a n =n 2+1; (4)a n =1n (n+1);(5)a n =13(10n -1). 11.解(1)由已知,得{1-p +q =0,4-2p +q =-4,解得{p =7,q =6,所以a n =n 2-7n+6,所以a 5=52-7×5+6=-4.(2)令a n =n 2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.12.C ∵a n =1n+1n+1+1n+2+1n+3+ (1)2(n ∈N *),∴a 2=12+13+14.13.C 因为a n =-2n 2+25n=-2·(n-254)2+6258,且n ∈N *,所以当n=6时,a n 的值最大,即最大项是第6项. 14.ABC ∵a n ={2,n 为奇数,0,n 为偶数,∴a 1=2,a 2=0,a 3=2,a 4=0,故A 正确;∵a n =1+(-1)n+1,∴a 1=1+(-1)2=2,a 2=1+(-1)3=0,a 3=1+(-1)4=2,a 4=1+(-1)5=0,故B 正确; ∵a n =2|innπ2|s,∴a 1=2|sin π2|=2,a 2=2|sin2π2|=0,a 3=2|sin3π2|=2,a 4=2|sin4π2|=0,故C 正确; ∵a n =21-(-1)n2,∴a 1=21-(-1)12=2,a 2=21-(-1)22=1,a 3=21-(-1)32=2,a 4=21-(-1)42=1,故D 错误.故选ABC.15.A 因为数列{a n }的通项公式a n ={(7-t )n +4,n ≤4,t n -2,n >4,若{a n }是递增数列,则{7-t >0,t >1,4(7-t )+4≤t 2,解得4≤t<7. 故选A.16.(0,+∞) 由数列{a n }为递减数列可知a n+1<a n 对n ∈N *恒成立,即3(n+1)+k 2n+1<3n+k 2n,因此3(n+1)+k 2n+1−3n+k 2n=3(n+1)+k -6n -2k2n+1=3-k -3n 2n+1<0,即k>3-3n,因为n ∈N *,所以3-3n≤0(n=1时等号成立),即3-3n 的最大值为0,所以k>0.17.n-1 n 2-3n+3 当in =f(1)=1-2+n=n-1,即a n =n-1;将x=n-1代入f(x)得,b n =f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n 2-3n+3.18.解(1)令a n =0,得n 2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{a n }中的第21项.令a n =1,得n 2-21n 2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{a n }中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是a n ,a n+1,则有a n =a n+1,即n 2-21n 2=(n+1)2-21(n+1)2.解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.19.C 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8项是192.新数列0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…的规律是原数列的每一项加4,再除以10,计算即可.20.C 设f(x)=xx 2+(x>0),则f(x)=1x+x ,又由x+x≥2√,当且仅当x=√时,等号成立,则当x=√时,x+x取得最小值,此时f(x)取得最大值,而44<√<45,a 44=44442+<a 45=45452+,则数列中的最大项是第45项. 21.(1)解a 7=7272+1=4950. (2)证明∵a n =n 2n 2+1=1-1n 2+1,∴0<a n <1,故数列的各项都在区间(0,1)内.(3)解令13<n 2n 2+1<23,则12<n 2<2,n ∈N *,故n=1,即在区间(13,23)内有且只有1项a 1.。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高中数学选择性必修二 第四章 数列(章末测试)(含答案)
第四章 数 列 章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（ ） A ．32 B ．31C ．64D ．63【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13-C ．3或13D ．3-或13-【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩, ∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）．A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）．∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ．5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（ ） A ．16 B ．64C ．128D ．256【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =， 所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64. 故选：B .7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③ B ．①②C ．①③D ．①④【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B.8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（ ）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质， 有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=， 故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·鱼台县第一中学月考）设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD.12．（2019·山东省招远第一中学高二期中）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．14【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2020·山东泗水·期中（文））已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列， 所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.14．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭.15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， 即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)． 故答案为：1016．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值，因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2020·安徽省舒城中学月考（文））已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2） 由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 【答案】（1）证明见解析；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-， 所以()1121n n S S n n n --=≥-， 即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得n S n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n n n T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦， 则5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n n n ++. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥， 11S ===1∴=+2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==， 所以数列为等差数列，21na n ∴=-. （2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n nb n n n n +∴==-⋅++， 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（2020·浙江月考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113n S <. 【答案】（1）2n n a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. 所以2n n a =.（2）112()333()1()22n n n nb =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立， 又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<. 22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数.（1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+；证明见解析 【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =.当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立.②假设当()*1,n k k k N =≥∈时等式成立，即()1k a a k k =+， 则当1n k =+时，又n n S a na =-则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-， ∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--， 即()()1211k k a a k a ka k k k k ++==⨯=++ 所以()()()()112111k aa a k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦， 即当1n k =+时，等式成立.结合①②得()1n a a n n =+对任意*n N ∈均成立.。
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最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第1课时圆的标准方程
第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)²+y²=5B。
x²+(y-2)²=5C。
(x+2)²+(y+2)²=5D。
x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1-√2D。
1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
2或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。
高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)
章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。
高中数学必修2第四章测试(含答案)
第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0 B.6x－2y＋10＝0C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝05．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是()A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝() A．5 B.13 C．10 D.107．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A. 3B. 2C.3或－ 3D.2和－ 28．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3 C．2 D．19．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝010．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A.9πB.πC．2π D．由m的值而定11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝112．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．(0，512) B．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．14．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．15．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．18．(12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．21．(12分)已知⊙C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1.(1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．1解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切．答案：C2解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.答案：A 3解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案：D4解析：∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62，∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63， 故切线方程为y －6＝－63(x －2)， 即2x ＋6y －10＝0. 答案：D5解析：点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6解析：依题意得点A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)．∴|AC |＝(－2－1)2＋(－2＋2)2＋(－5＋3)2＝13.答案：B7解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离为12， ∴11＋k 2＝12，∴k ＝±3.答案：C 8解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，O 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心O 1(－2,2)，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4，∴|O 1O 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5.∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B9解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，∴l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：A10解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0，∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m )2＝m 2.∴圆心(2m ＋1，m )，半径r ＝|m |.依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1.∴圆的面积S ＝π×12＝π.答案：B11解析：设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C12解析：如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)，当直线l 与半圆相切时，有|－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34.答案：D 13解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.14解析：r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 15解析：已知方程配方得，(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．16解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0，得(x －3)2＋(y －1)2＝25.圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝ 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝4 5.17解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内)．18解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB 的方程为2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0.∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1)，∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0，解得m ＝－1.故圆M 的圆心M (－1，－2)．19解：设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0x 2＋y 2－2x －2y ＝0的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x ＋y －3＝0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝ 2.圆心C 2到直线AB 的距离d ＝|1＋1－3|2＝12， |AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 即两圆的公共弦长为 6.20解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2. 设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2.∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2，化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510. 21解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2.欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如图所示．则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1)2＝16.此时，x 13＝y 14＝45， ∴x 1＝125，y 1＝165. ∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫125，165.同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245.22解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2 ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5，消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上．(2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0，∵上式对于任意k ≠－1恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)．(3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径，即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，∴k＝5±3 5.。
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第2课时圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 2 2 ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋E 2 2 ＝D 2＋E 2－4F 4 ，(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示圆，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2 ，半径为12D 2＋E 2－4F ．(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2 ．(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0都表示圆吗？ 提示：不一定，当D 2＋E 2－4F ＞0时才表示圆． 2．圆的一般方程当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．(1)圆的一般方程有什么特征？提示：①x 2和y 2的系数相同且不为0；②没有xy 项．(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＋Dx 0＋Ey 0＋F ＜0；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＋Dx 0＋Ey 0＋F＞0.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)圆的标准方程与一般方程可以互化．( √)(2)方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程．( ×)(3)方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．( ×)提示：(1)圆的标准方程与一般方程可以互化．(2)方程2x2＋2y2－3x＝0即x2＋y2－32x＝0，是圆的一般方程．(3)因为(－1)2＋12－4×1＝－2＜0，所以方程不表示任何图形．2．圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的圆心坐标是( )A．(2，3) B．(－2，3)C．(2，－3) D．(－2，－3)【解析】选C.将x2＋y2－4x＋6y＋3＝0配方得(x－2)2＋(y＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3).3．(教材例题改编)若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．R【解析】选A.由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0，可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k＞0，解得k＜1，故实数k的取值范围是(－∞，1).类型一二元二次方程与圆的关系(数学抽象、数学运算)1．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a，b，c的值依次为( ) A．－2，－4，4 B．2，－4，4C．2，－4，－4 D．－2，4，－4【解析】选B.根据题意，圆心为(1，2)，半径为1的圆，则⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，－b 2＝2，14（a 2＋b 2－4c ）＝1， 解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝4.2．以下直线中，将圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0平分的是( ) A ．x －y －1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．2x －y ＝0D ．2x －y ＋3＝0【解析】选A.圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的方程可化为()x －2 2＋()y －1 2＝4， 所以圆心坐标为A ()2，1 ，若直线平分圆，则A ()2，1 必在直线上． 因为2－1－1＝0，点A 在直线x －y －1＝0上，故A 正确； 因为2－1＋1≠0，点A 不在直线x －y ＋1＝0上，故B 错误； 因为2×2－1≠0，点A 不在直线2x －y ＝0上，故C 错误； 因为2×2－1＋3≠0，点A 不在直线2x －y ＋3＝0上，故D 错误． 3．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________.【解析】若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则⎩⎨⎧a 2＝a ＋2≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a ＋22－4aa ＋2＞0，解得a ＝－1. 答案：－14．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围． (2)圆心坐标和半径．【解析】(1)据题意知，D 2＋E 2－4F ＝(2m)2＋(－2)2－4(m 2＋5m)＞0， 即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15 ，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 . (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m)2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m ，1)，半径r ＝1－5m .方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的两种判断方法(1)配方法．对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．(2)运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判断D 2＋E 2－4F 是否为正，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D 2＋E 2－4F ＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x 2及y 2的系数．【补偿训练】圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16【解析】选C.将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方，易得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16.类型二 待定系数法求圆的方程(数学抽象、数学运算)【典例】已知△ABC 的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．【思路导引】利用待定系数法先求出圆的一般方程，然后再求出圆心坐标、半径即可． 【解析】设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为A ，B ，C 在圆上，所以⎩⎨⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，所以⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，所以△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程．1．已知三点A(1，0)，B(0， 3 )，C(2， 3 )，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ．213 C ．253 D ．43【解析】选B.设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 ， 故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332 ＝213 .2．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上． 【解析】A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．证明如下：方法一：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A ，B ，C 三点在圆上，所以⎩⎨⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将点D 的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在圆上， 故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．方法二：因为k AB ·k BC ＝2－11－0 ×1＋60－7＝－1，所以AB ⊥BC ，所以AC 是过A ，B ，C 三点的圆的直径，|AC|＝（1－7）2＋（2＋6）2 ＝10，线段AC 的中点M 即为圆心M(4，－2). 因为|DM|＝（4－4）2＋（3＋2）2 ＝5＝12 |AC|，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)角度1 代入法求方程【典例】已知动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动，点B(3，0)，则AB 的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝14 D ．⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32 2 ＋y 2＝12【思路导引】利用要求的中点坐标表示点A 的坐标，代入圆的方程． 【解析】选C.设A(x 0，y 0)，AB 的中点的坐标为(x ，y)， 由中点坐标公式得⎩⎨⎧x 0＋3＝2x ，y 0＝2y ， 即⎩⎨⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y.因为动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以x 20 ＋y 20 ＝1.则(2x －3)2＋(2y)2＝1，整理得：(2x －3)2＋4y 2＝1.即⎝⎛⎭⎪⎫x －32 2 ＋y 2＝14 .将本例的条件改为“过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，点P 在线段AC 上，且2|AP|＝|PC|”，求点P 的轨迹方程．【解析】设A(x 0，y 0)，点P 的坐标为(x ，y)，因为点P 在线段AC 上，且2|AP|＝|PC|，所以⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝23y 0， 则⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，因为点A 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 2＋94y 2＝1.角度2 定义法求方程【典例】已知等腰三角形ABC 的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C 的轨迹方程．【思路导引】由等腰三角形可求得AC 的长度为定值，即点C 的轨迹为圆，同时注意三角形ABC.即点C 不能在直线AB 上．【解析】设另一底角顶点为C(x ，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即（x －3）2＋（y －20）2 ＝（3－3）2＋（5－20）2 ，整理得(x －3)2＋(y －20)2＝225. 当x ＝3时，A ，B ，C 三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3).求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：若动点P(x ，y)依赖圆上的某一个动点Q(x 0，y 0)而运动，找到两点的关系，把x ，y用x0，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程．提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．1．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A．π B．4π C．8π D．9π【解析】选B.设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π.2．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是( )A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)【解析】选C.根据题意，易知点A在以D为圆心、半径为3的圆上，其中D为原点．又因为A，B，C构成三角形，故点A的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0).3．点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y).因为点P 在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。
人教版高中数学选择性必修第二册第四章-数列-章末测试卷A(含答案)
第四章数列章末测试卷(A)【原卷版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．1422．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．83．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．424．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．105．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.109 33升6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝()A．27B．81C．243D．7297．数列{a n}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…a n＝n2，则a3＋a5＝()A.61 16B.25 9C.25 16D.31 158．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <110．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <011．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为101112．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n －1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则an n的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.第四章数列章末测试卷(A)【解析版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．142答案C解析∵a1＝－2，d＝2，∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－22.∴a15＝152－22＝132.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析因为a3a11＝a72＝16，又数列{a n}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A.3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．42答案C解析方法一：设数列{a n}的公差为d a1＋d＝2，a1＋6d＝10，解得a1＝14，d＝32.则S6＝6a1＋15d＝24.方法二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.故选C.4．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．10答案A解析已知等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.又因为a2＋a7≥2a2a7，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.10933升答案A解析设自上而下各节竹子的容积依次为a 1，a 2，…，a 91＋a 2＋a 3＋a 4＝3，7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1·a 2·a 3＝27，则a 6＝()A ．27B ．81C ．243D ．729答案C解析∵数列{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3＝a 23＝27，∴a 2＝3.又∵S 2＝4a 1，∴a 1＋a 2＝4a 1，∴3a 1＝a 2，∴a 1＝1，即公比q ＝3，首项a 1＝1，∴a 6＝a 1·q 6－1＝1×35＝35＝243.故选C.7．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝()A.6116B.259C.2516D.3115答案A解析a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2，n ≥3，∴a n ＝n 2（n －1）2，n ≥3，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.8．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元答案B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <1答案ACD解析对于A ，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，故错误；对于B ，若d >0，则a n ＋1>a n ，故正确；对于C ，当a n ＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D ，若等比数列{a n }是递增数列，则当a 1>0时，q >1，故错误．故选ACD.10．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0答案ABC解析由题意得，S 10＝S 20，则a 11＋a 12＋…＋a 20＝0，即a 15＋a 16＝0，也即2a 1＋29d ＝0(d为公差)，因为a 1>0，所以d <0，所以a 16<0，S n ≤S 15.所以A 、B 、C 正确．由于S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，故S 30＝15(a 15＋a 16)＝0，S 31＝31a 16<0，所以D 不正确．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为1011答案BD解析因为S n ＝2a n －1，①所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，②①②两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a na n －1＝2(n ≥2)，所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列．所以a n ＝a 1q n －1＝1×2n －1＝2n －1，a 2＝2，所以S 2＝3，所以A 、C 错误，B 正确；因为b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，设T n 为{b n }的前n 项和，则T 10…＝1011，故D 正确．故选BD.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n－1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050答案BCD解析由S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又a 1＝－1，∴S 1＝a 1＝－1，从而S 2－S 1＝S 1S 2，即S 2＋1＝－S 2，得S 2＝－12，∴S 1S 2≠0，从而S n S n ＋1≠0，∴S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)，所以数是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050，故D正确；由1S n ＝－n 得S n ＝－1n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合此式)，故a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．答案2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以由等比数列的通项公式可得a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．答案16解析方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，将以上两式联立，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二：设等差数列{a n }的公差为d .由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，得a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，a 4＝1，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4×(1＋3)＝16.15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．答案33解析∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上，∴a n ＝3＋k (n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1，2，3，…，6，∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝（2＋2n －2）（n －1）2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解析(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设数列{b n }的公差为d ，1＋2d ＝8，1＋4d ＝32，1＝－16，＝12，所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n ，n ∈N *.18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解析植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0，20，40，60， (380)这是首项a 1＝0，公差d ＝20，项数n ＝20的等差数列，其和S 20＝20a 1＋20×（20－1）2d ＝0＋20×（20－1）2×20＝3800(m)．因此，植树工人共走了3800m 的路程．19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．解析若选①，因为a 3＝12，q ＝2，所以a 1＝3.所以S n ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)．S k >2020，即3(2k －1)>2020，即2k >20233.当k ＝9时，29＝512＜20233，当k ＝10时，210＝1024＞20233，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为10.若选②，因为a 3＝12，q ＝12，所以a 1＝48.所以S n1－12因为S n <96<2020，所以不存在满足条件的正整数k .若选③，因为a 3＝12，q ＝－2，所以a 1＝3.所以S n ＝3×[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .S k >2020，即1－(－2)k >2020，整理得(－2)k <－2019.当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于2k >2019，当k ＝9时，29＝512＜2019，当k ＝11时，211＝2048＞2019，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为11.20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析(1)设数列{a n }的公比为q .由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10.∵a n ＞0，∴q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n (n ∈N *)．(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12×1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n .则数列{nS n }的前n 项和为T n ＝(1＋2＋…＋n )＋222＋…①则T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋223＋…＋n －12n ＋①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋122＋…＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－21－12＋n 2n ＋1，即T n ＝n （n ＋1）2＋12n －1＋n 2n －2.21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .解析(1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－1＝13(a n －1)，又a 1－1＝23，∴数列{a n －1}是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)由(1)可得a n －1＝23×－1，∴a n ＝2＋1.则a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋＋132＋…n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若n ＋1－13n <100，n ∈N *，则n max ＝99.22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.解析(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·（a 1＋d ）＝2（a 1＋3d ），整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又a 1＋2d ＝5，所以a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×（1－22n ＋1）1－2＋（a 1＋a 2n ＋2）（2n ＋2）2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.。
最新人教版高二数学选择性必修第二册第四章 4.2.1 第2课时等差数列的性质及应用
所以a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误．又因为a51＝a1＋ 50d＝0，所以a1＝－50d，所以a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－ 50d)＋101d＝d>0，故C错误．
探究点二 等差数列的设法与求解 【典例2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四 个数． 【思维导引】方法一：直接设首项和公差，将已知条件转化为方程组求解． 方法二：直接设出4个数，根据题中条件列方程组求解． 方法三：等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性，用对称设法求解．
(1)3＋6＝4＋5，a3＋a6与a4＋a5相等吗？ 提示：相等． (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq吗？ 提示：相等．因为am＝3m，an＝3n，ap＝3p，aq＝3q， 所以am＋an＝3(m＋n)，ap＋aq＝3(p＋q)， 因为m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq.
下面是关于公差是d(d＞0)的等差数列{an}的四个说法：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列ann 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中正确的是(
)
A．p1，p2
B．p3，p4
C．p2，p3
D．p1，p4
【解析】选D.对于p1：an＝a1＋(n－1)d，d＞0，
【补偿训练】 某市2016年底绿地面积为560平方千米，预计每年都比上一年新增绿地面积4平 方千米，问到2026年底该市绿地面积为多少平方千米？ 【解析】将该市2016年起每年年底的绿地面积依次排成数列，记为{an}，由题意 可知{an}为等差数列，其中a1＝560，d＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝4n＋556. 2026年底的绿地面积在数列{an}中是第11项， 所以a11＝556＋4×11＝600(平方千米). 答：到2026年底该市绿地面积为600平方千米．
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 数列 习题课——数列求和
[nx
-(n+1)x
+1],
2
(1-)
(+1)
,
2
= 1,
∴Sn= 0, = 0,
+1
[
-(
+
1)
+ 1], ≠ 0, ≠ 1.
2
(1-)
若若已知数列{(2n-1)an-1}(a≠0,n∈N*),求它的前n项和Sn.
解:当 a=1 时,数列变成 1,3,5,7,…,(2n-1),…,则
2.什么情况下可以用错位相减法求和?
提示:当一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之
积构成时可以用错位相减法求和.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n·2n,则Sn=
解析:∵an=n·2n,
∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①
∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②
( 1 + )
(-1)
Sn=
=na1+
d
2
2
等比数列{an}的前 n 项和公式是 Sn=
;
1 , = 1,
1 (1- )
,
1-
.
≠1
2.是不是所有的数列求和都可以直接用这两个公式求解?
提示:不是.
3.将数列中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和
的目的的方法叫做裂项相消法.
解:设数列的第 n 项为 an,则 an=1+2+2 +…+2
2
1-2
人教B版(2019)高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系习题
4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－135．已知函数f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个．6．若函数f(x)＝2x＋1x＋a的反函数是其本身，则实数a＝________.7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg (x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________．8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )． 知识点二 反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立． 其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3)D ．(1)(2)(3)14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c19．(多选)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值 20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．易错点一对反函数的定义理解不清而致误已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.一、单项选择题1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )A．y＝1＋log2x(x>0)B．y＝log2(x－1)(x>1)C．y＝－1＋log2x(x>0)D．y＝log2(x＋1)(x>－1)2．把函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A．y＝－a x B．y＝a－xC．y＝log a(－x) D．y＝－log a x3．已知f(x)＝－4－x2的反函数为f－1(x)＝4－x2，则f(x)的定义域为( )A．(－2,0) B．[－2,2]C．[－2,0] D．[0,2]4．当0<a<1时，方程log a x＝a x的实数解( )A．有且只有一个B．可能无解C ．可能有3个D ．一定有3个5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．36．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75D ．10711．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称 三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．16．已知函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．18．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f－1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值． 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性； (2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋xk.4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一 反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)答案 C解析y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝12ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝12ln x，x>0.2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)答案 D解析∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)答案 B解析令y＝12x2＋1.∵x>2，∴y＝12x2＋1>3.对调函数中的x和y得x＝12y2＋1，解得y＝2x－2.∴所求反函数为y＝2x－2(x>3)．4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－13答案 B解析∵函数y＝3x－2a，∴x＝y＋2a3，互换x，y，得函数y＝3x－2a的反函数是y ＝13x ＋23a ，x ∈R .∵函数y ＝3x －2a 的反函数是y ＝bx ＋23，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13，2a 3＝23，解得a ＝1，b ＝13.故选B.5．已知函数f (x )＝x 2，x ∈D 的值域是{1,4,9}，且函数f (x )存在反函数，这样的f (x )共有________个．答案 8解析 当x 2＝1时，x ＝±1；当x 2＝4时，x ＝±2；当x 2＝9时，x ＝±3.若函数f (x )存在反函数，则一个y 只能对应一个x ，列举如下：⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9.故这样的f (x )共有8个． 6．若函数f (x )＝2x ＋1x ＋a的反函数是其本身，则实数a ＝________. 答案 －2解析 函数y ＝f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数为x ＝2y ＋1y ＋a ，即y ＝1－axx －2，因为函数f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数是其本身，所以2x ＋1x ＋a ＝1－axx －2，所以a ＝－2. 7．已知函数f (x )是以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝lg (x ＋1)，令函数g (x )＝f (x )(x ∈[1,2])，则g (x )的反函数为________________．答案 g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)解析 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，∴f (x )＝f (－x )＝lg (－x ＋1)；当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，∴f (x )＝f (x －2)＝lg [－(x －2)＋1]＝lg (－x ＋3)．∴g (x )＝lg (－x ＋3)(1≤x ≤2)，∴－x ＋3＝10g (x )，∴x ＝3－10g (x )．故反函数为g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )． 解 (1)当a ＝－12时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ∈[－1，1]，显然函数不单调，所以此时没有反函数．(2)函数存在反函数时必须在[－1,1]上单调，而f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，x ∈[－1,1]，对称轴x ＝a ，所以a ≥1或a ≤－1.当a ≥1时，f －1(x )＝a －x ＋a 2－2，x ∈[3－2a,3＋2a ]；当a ≤－1时，f －1(x )＝a ＋x ＋a 2－2，x ∈[3＋2a,3－2a ]．知识点二 反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 A解析 反函数的定义域即为原函数的值域．由12x －1>0可得log 212x －1∈R ，所以原函数的值域为R ，故它的反函数的定义域为R .故选A.10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 答案 D解析 ∵f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，∴－1≤log 3x 2≤1，即13≤x 2≤3，而x >0，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.∵反函数的值域为原函数的定义域，∴反函数f －1(x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )答案 C解析 由f (x )＝3x －1可得f －1(x )＝log 3x ＋1，∴图像为C.12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称 答案 D解析 函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )互为反函数，图像关于直线x －y ＝0对称．故选D.13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立． 其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3) D ．(1)(2)(3)答案 A解析 (1)设奇函数f (x )的反函数为f －1(x )，∵f (x )是奇函数，∴f (x )的值域关于原点对称，即f －1(x )的定义域关于原点对称．假设f (x )＝y ，则f (－x )＝－y .∴f －1(y )＝x ，f －1(－y )＝－x .∴f －1(－y )＝－f －1(y )，即f －1(－x )＝－f －1(x )．∴f －1(x )是奇函数．故(1)正确；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数，不一定f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，比如f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤1，x ，x >1存在反函数，但f (x )在R 上不单调，故(2)不正确；(3)x 0不一定属于f (x )的值域，即f －1(x 0)不一定存在，故(3)不正确．故选A.14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.答案 log 2(x －1)(x >1)解析 ∵(3,9)在函数f (x )上，∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x ，又f (x )>1，∴f －1(x )＝log 2(x －1)(x >1)．15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.答案 2解析 由y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，且f (4)＝1，得g (1)＝4，所以a 2＝4，a ＝2.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．答案 (1,4)解析 ∵y ＝f (x )的图像过点(0,1)，∴f (4－x )的图像过点(4,1)，∴g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点(1,4)．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，＋∞解析 因为y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )互为反函数，所以二者关于y ＝x 对称．若y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )有实数根，则y ＝f (x ＋a )与y ＝x 有交点，所以x ＋a －1＝x ，即a ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c答案 A解析 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 2x ，y ＝的图像，如图所示，则a ，b ，c 分别为两个图像交点的横坐标，根据图像可知a <b <c .19．(多选)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值 答案 AC解析 ∵函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，当a >1时，由a x －1>0，可得x >0，此时，函数的图像仅在y 轴的右侧；当0<a <1时，由a x －1>0，可得x <0，此时，函数的图像仅在y 轴的左侧，故A 正确．由于f (－x )＝log a (a －x －1)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1≠－f (x )，故函数不是奇函数，故B 不正确．由于函数y ＝log a t 和函数t ＝a x 的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，根据复合函数的单调性可得f (x )＝log a (a x －1)在它的定义域内一定是增函数，故C 正确．由于t ＝a x －1无最值，故y ＝log a t 无最值，故D 不正确．故选AC.20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称． 解 (1)要使函数f (x )＝log 2(1－2x )有意义， 则1－2x>0，即2x<1. 故x <0，此时0<1－2x <1， ∴f (x )＝log 2(1－2x )<0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y ＝f (x )＝log 2(1－2x )可得1－2x ＝2y ，解得x ＝log 2(1－2y )，故原函数的反函数为f －1(x )＝log 2(1－2x )，与原函数相同，所以函数f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．易错点一 对反函数的定义理解不清而致误已知函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝x 对称，且g (x )的图像过定点(1,2020)，则y ＝f －1(x ＋1)的图像过定点________．易错分析 本题容易误认为f (x ＋1)与f －1(x ＋1)互为反函数．答案(0,2021)正解∵g(x)的图像过定点(1,2020)，∴f(x＋1)的图像过定点(2020,1)．又f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2021,1)．又f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2021)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0,2021)．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.易错分析本题的易错之处为不能正确将问题转化为函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x三个图像之间的关系进行求解．答案 4正解如图，分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x的图像，相交于点P，Q.∵log2α＝4－α，2β＝4－β.而y＝log2x(x>0)与y＝2x互为反函数，直线y＝4－x与直线y＝x互相垂直，∴点P与Q关于直线y＝x对称．∴α＝2β＝4－β.∴α＋β＝4.一、单项选择题1．函数y ＝2x ＋1(x ∈R )的反函数是( ) A ．y ＝1＋log 2x (x >0) B ．y ＝log 2(x －1)(x >1) C ．y ＝－1＋log 2x (x >0) D ．y ＝log 2(x ＋1)(x >－1) 答案 C解析 由y ＝2x ＋1⇒x ＋1＝log 2y ⇒x ＝－1＋log 2y ，又因原函数的值域{y |y >0}，故其反函数是y ＝－1＋log 2x (x >0)．2．把函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A ．y ＝－a xB ．y ＝a －xC ．y ＝log a (－x )D ．y ＝－log a x答案 B解析 函数的图像绕坐标原点逆时针旋转90°后，得到的函数与原函数的反函数的图像关于y 轴对称．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的反函数为y ＝a x ，其关于y 轴对称的函数解析式为y ＝a －x .故选B.3．已知f (x )＝－4－x 2的反函数为f －1(x )＝4－x 2，则f (x )的定义域为( )A ．(－2,0)B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]答案 D解析 ∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域．∴⎩⎨⎧4－x 2≥0，f－1x ≥0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤2，x ≥0，即0≤x ≤2.故f (x )的定义域为[0,2]．故选D.4．当0<a <1时，方程log a x ＝a x 的实数解( ) A ．有且只有一个 B ．可能无解 C ．可能有3个 D ．一定有3个答案 C解析 考虑函数y ＝log a x 与函数y ＝a x 的图像公共点，易知B ，D 两项不对．又y ＝和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116x 的图像除了在直线y ＝x 上存在一个公共点外，还存在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12两个公共点．故选C. 5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．3答案 B解析 解法一：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数即y ＝log a x ，故y ＝log a x 的图像过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.解法二：由题意得，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像过点(a ，a )，即a a ＝a ＝，故a ＝12.6．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )答案 B 解析 y ＝1－xx(x ≠0)的反函数为y ＝11＋x (x ≠－1)，其图像为y ＝1x的图像向左平移1个单位长度．7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 C解析 由题意，可得－1≤f －1(x )≤12的解集即为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的值域．当－1≤x ＜0时，由题图可知f (x )∈[－2,0)，当0≤x ≤12时，由题图可知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故不等式－1≤f －1(x )≤12的解集为[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.8．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64答案 B解析 由函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，则g (x )＝log 3x ，所以g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)＝log 3(x 1x 2…x 2020)2＝2log 3(x 1x 2…x 2020)＝2log 381＝8.故选B.二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上答案 AC解析 对于A ，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)为单调函数，一定存在反函数，故正确；对于B ，因为函数f (x )＝1x在定义域上不单调，但函数f (x )存在反函数，故错误；对于C ，因为原函数与它的反函数的图像关于y ＝x 对称，所以将y ＝f (x )的图像沿y ＝x 翻折后，会落在第一、四象限，故正确；对于D ，比如函数y ＝－x ＋1与其反函数y ＝x 2－1(x ≤0)的交点坐标有(－1,0)，(0，－1)，显然交点不在直线y ＝x 上，故错误．故选AC.10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75 D ．107答案 BC解析 由图像可知a >1且a 2<log a 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94>2＝94>2，故A 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169<2＝169<2，故B 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝4925<2＝4925<2，故C 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫1072＝10049>2＝10049>2，故D 错误．综上，选BC.11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)答案 CD解析 当x ＝1时，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)恒过(1,0)点，故(1,2)一定不是好点；当y ＝1时，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)恒过(0,1)点，故(2,1)也一定不是好点；而(2,2)是函数y ＝(2)x 与的交点；(2,0.5)是函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 4x 的交点；故选CD. 12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称 答案 ABC解析 令a ＝2，分别作出对应的图像，由图像可知，对于A ，∵函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x图像关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，∵函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称，故B 正确；对于C ，D ，∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称，故C 正确，D 不正确．故选ABC.三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 答案 －－x ，x ∈(－∞，－4]解析 由y ＝－x 2，x ∈(－∞，－2]，得y ∈(－∞，－4]，∴x ＝－－y ，即f －1(x )＝－－x ，x ∈(－∞，－4]．14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．答案 f (x )＝2x ＋1解析 ∵y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，∴f (x )的图像过点(0,2)，∴2＝a 0－k ，∴k ＝－1，∴f (x )＝a x ＋1.又f (x )的图像过点(1,3)，∴3＝a 1＋1，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ＋1.15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．答案 (－∞，－1]解析 由题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (x 2＋2x )＝，∵f (x )在R 上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t ＝x 2＋2x 的单调减区间，即(－∞，－1]．16．已知函数f (x )＝log a x －b x ＋b(a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．答案 (－∞，0)∪(0，＋∞) f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x 解析 ∵b ≠0，∴x －b x ＋b ≠1，∴f (x )＝log a x －b x ＋b ≠0.由y ＝log a x －b x ＋b ，化为x －b x ＋b ＝a y ，解得x ＝b ·1＋a y 1－a y .把x 与y 互换可得y ＝b ·1＋a x 1－ax ，∴f (x )的反函数f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x. 四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解 要使不等式4x ＜log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒在函数y ＝4x 图像的上方，而y ＝4x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 由图可知，log a 12≥2，显然这里0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 递减．又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12， 又0<a <1，∴a ≥22. ∴所求的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 18．已知f (x )＝1－3x1＋3x ，求f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值． 解 令y ＝1－3x 1＋3x ，∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y 1＋y ， ∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x. ∴f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝log 31－451＋45＝log 319＝－2. 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.解 ∵y ＝f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f －1(x )在R 上也是增函数．∵f (－1)＝1，f (1)＝3，∴f －1(1)＝－1，f －1(3)＝1.由|f －1(log 2x )|<1，得－1<f －1(log 2x )<1，∴f －1(1)<f －1(log 2x )<f －1(3)，∴1<log 2x <3，∴2<x <8，即所求不等式的解集为{x |2<x <8}．20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋x k .解 (1)由f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )． 因为f (x )＋f (－x )＝2x －12x ＋1＋2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1＋1－2x1＋2x ＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数．(2)因为f (x )＝y ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1， 所以2x ＝1＋y 1－y(－1＜y ＜1)， 所以f －1(x )＝log 21＋x 1－x(－1＜x ＜1)． (3)因为f －1(x )＞log 21＋x k ，即log 21＋x 1－x ＞log 21＋x k ，所以⎩⎨⎧ 1＋x 1－x ＞1＋x k ，－1＜x ＜1，所以⎩⎨⎧ x ＞1－k ，－1＜x ＜1，当0＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1－k ＜x ＜1}； 当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．。
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必修二第四章 1
1．若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为2
（ ） 3
A ．1-或3
B ．1或3
C ．2-或6
D ．0或4 4
2．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是5
原点）的面积为（ ）
6 Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．556
7 3．直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时，斜率k 的取值范围8
是( ) 9
A ．），（2222-
B ．），（22- 10
C ．），（4242-
D ．），（8
181- 11 4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与12
圆C 相切，则圆C 的方程为（ ） 13
A ．03222=--+x y x
B ．0422=++x y x 14
C ．03222=-++x y x
D ．0422=-+x y x 15 5．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内16
的部分有交点，则k 的取值范围是（ ） 17 A. 50<<k B. 05<<-k
18
C. 130<<k
D. 50<<k
19 ６．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）
20 A ．1± B ．21±
21 C ．33± D ．3±
22 7．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截23 得的弦长为32时，则a =（ ） 24
A ．2
B ．22- 25
C ．12-
D ．12+ 26
8．若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 的取值范围是27
___________；若有一个交点，则b 的取值范围是________；若有两个交点，则b 28
的取值范围是_______； 29
9．把圆的参数方程⎩⎨⎧+-=+=θ
θsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________．
30 10．如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么x y 的最大值是________。
31
11．过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆的两条切线，切点为12,T T ，则32
直线12T T 的方程为________。
33 12．直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于
34 13、对于任意实数k ，直线(32)20k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位35 置关系是_________
36
14．动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程37
是 . 38
15．求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程。
39
16．求由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积。
40 17．设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d 41
的最小值。
42
18．求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上的圆的方程。
43
必修二第四章答案
44
1.D 22,4,0d a a a ==-===或
45
2.D 弦长为4，14
25S =⨯=46
3.C tan
4α==，相切时的斜率为±47 4.D 设圆心为2234(,0),(0),2,2,(2)45
a a a a x y +>==-+= 48
5.A 圆与y 轴的正半轴交于k <<49
6.D 得三角形的三边060的角
50
7.C 1,1d a ===
51
8.[-；[){}1,12-；⎡⎣ 曲线21x y -=
代表半圆
52
9.22(1)(3)4x y -++= 53
设22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x
==-+=+-+=， 54
2164(1)0,k k ∆=-+≥≤≤55
另可考虑斜率的几何意义来做 56
11．220x y -+= 设切点为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 的方程为57
11(2)(2)4x x y y +--=
58 2AT 的方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则1124(2)4,x y --=2224(2)4x y --= 59
24(2)4,220x y x y ∴--=-+=
60
12.22(3)(1)25x y -+-=
，d r ===61 13.相切或相交
2≤=；
62 另法：直线恒过(1,3)，而(1,3)在圆上 63 14.210,(1)x y x --=≠ 圆心为(21,),,(0)m m r m m +=≠， 64 令21,x m y m =+= 65 15.解：显然2x =为所求切线之一；另设4(2),420y k x kx y k -=--+-= 66
32,,341004k x y ==-+= 67 2x ∴=或34100x y -+=为所求。
68
16、解：当0,0x y ≥≥时，22111()()222x y -+-=，表示的图形占整个图形的14 69 而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半70
圆 71 1114(11)2222
S ππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+ 72 17、解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d
73
=(3,5)A -和(2,15)B 74 到直线10,x y -+=上的点的距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+= 75
对称的点'(4,2)A -，则'min d A B ==76 18.解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上， 77
即4,23
x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==78 22(4)(5)10x y ∴-+-= 79
80
81。