新课标高中数学人教A版必修四教材解读
新课标高中数学人教A版必修四教材解读3
新课标高中数学人教A版必修四教材解读3尤溪第一中学罗世卿四、教学内容分析第二章平面向量课程标准内容:1.了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。
2.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。
3.掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。
4.了解向量的线性运算性质及其几何意义。
5.了解平面向量的基本定理及其意义。
6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
7.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
8.理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
9.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
10.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
11.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。
知识结构:2.1平面向量的实际背景及基本概念课时安排:建议本节2课时第1课时:向量的物理背景与概念、向量的几何表示,至例1以前,可补充向量表示的例题第2课时:例1、平行向量及相等向量与共线向量教学要求:基本要求。
①理解向量、零向量、向量的模、单位向量、相等向量、平行向量、相等向量的概念。
②理解向量的几何表示,会用字母表示向量。
发展要求。
平面向量的几何意义及应用。
重点:向量的概念、相等向量的概念以及向量的几何表示.难点:正确理解向量的概念和共线向量的概念.教学建议:本节可按照:“创设问题情境-----探索研究新概念-----巩固认识新概念”来设计,在问题情境设置环节,所设计的问题要贴近学生生活,并且注重与固有观念的联系与比较,在问题中培养学生的比较、鉴别、归纳的思维能力,以系统有序地“组织”看似零散的一堆相关概念,针对本节课概念多的特点,教学中要设计一定数量的练习达到重点概念重点掌握,并且注重概念辨析,可做一些必要的变式训练,以突出概念的本质特征,消除非本质因素对概念学习的负面影响.案例:向量概念的教学1.情境设置(小船的位移):大海中的一艘小船,由A地向西北方向航行15n mile(海里)到达B地.(边讲边建立坐标系图示)这里,如果仅指出“小船由A地航行15n mile”,而不指明“向西北方向‘航行,那么小船一定能够到达B地吗?答案:不一定.为什么?(请同学回答)因为没有指明方向.体验:看下面哪些量是与众不同的?①线段的长度; ②物体的质量③物体的体积④重力加速度2.引入概念从上面的几个例子以及我们的物理学习中,我们知道,位移、速度、加速度等这些量都是既有大小又有方向的量.事实上,我们的现实世界当中,这样的量有许多.让我们来结识并亲近一下这位新朋友吧.定义:我们把既有大小又有方向的量叫做向量.……2.2平面向量的线性运算课时安排:建议本节3课时第1课时:向量加法运算及其几何意义第2课时:向量减法运算及其几何意义第3课时:向量数乘运算及其几何意义教学要求:基本要求。
最新人教A版数学必修4第一章三角函数教材分析
必修4“第一章三角函数”教材分析函数是刻画客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要作用,它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。
本章中,学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I的基础上,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.通过本章的学习,学生将进一步加深对函数概念的理解,提高用函数概念解决问题的能力。
一、内容与课程学习目标本章的学习内容是三角函数及其基本性质。
通过本章学习,要引导学生:1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化;2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;3.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(的正弦、余弦、正切),能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;4.借助图象理解正弦函数、余弦函数在,正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等);5.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,;6.结合具体实例,了解的实际意义;能借助计算器或计算机画出的图象,观察参数A,ω,φ对函数图象变化的影响;7.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
二、内容安排本章共安排了6个小节以及两个选学内容,教学时间约需16课时,大体分配如下(仅供参考):1。
1任意角和弧度制…………………………………………………约2课时1。
2任意角的三角函数………………………………………………约3课时1。
3三角函数的诱导公式……………………………………………约2课时1。
4三角函数的图象与性质…………………………………………约4课时1。
5函数y=Asin(φ)的图象………………………………约2课时1。
6三角函数模型的简单应用……………………………………约2课时小结……………………………………………………………………约1课时本章知识结构如下:1.本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,在数学1中建立的函数概念,以及指数函数、对数函数的研究经验;主要的学习内容是三角函数的概念,图象与性质,以及三角函数模型的简单应用;单位圆是研究三角函数的重要工具,借助它的直观,可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质,因此三角函数的学习可以帮助学生更好地体会数形结合思想;三角函数作为描述周期现象的重要数学模型,与其他学科(特别是物理、地理)有紧密联系,因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力。
A高中数学课标解读数学必修4
数学必修4课程简介一、教育价值三角函数是最基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要作用。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角的一种工具,有着极其丰富的实际背景。
三角恒等变换在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。
这部分内容的教育价值主要体现在以下几方面。
1.有助于学生体会数学与实际生活的联系,以及数学在解决实际问题中的作用三角函数与向量是刻画现实世界的重要数学模型。
学生在实际生活中遇到大量的周期变化现象,如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等,这些都是三角函数的实际背景,又可以用三角函数加以刻画和描述。
力、速度、位移等在实际生活中随处可见,这些都是向量的实际背景,也可以用向量加以刻画和描述。
《标准》突出三角与向量的实际背景与应用,因此,通过本模块的学习,有助于学生认识三角函数、向量与实际生活的紧密联系,以及三角函数、向量在解决实际问题中的广泛应用,从中感受数学的价值,学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界,去解决日常生活和其他学科学习中的问题,发展数学应用意识。
2.有助于学生认识数学内容之间的内在联系,体验数学的发现与创造过程向量既是代数的对象,又是几何的对象,它是沟通代数与几何的桥梁。
《标准》将向量与三角函数设计在一个模块中,主要是为了通过向量沟通代数、几何与三角函数的联系,体现向量在处理三角函数问题中的工具作用。
《标准》要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,并由此公式作为出发点,推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式等。
二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式等。
这个过程有助于学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及三角恒等变换公式之间的内在联系。
3.有助于发展学生的运算能力和推理能力向量作为代数对象,可以像数一样进行运算。
运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。
新课标人教A版高中数学(必修4)全册教案
1.1.1 角的概念的推广-任意角教学目标知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写.情感与态度目标提高学生的推理能力;2.培养学生应用意识.教学重点任意角概念的理解;区间角的集合的书写.教学难点终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写.教学过程一、引入:1.回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.二、新课:1.角的有关概念:①角的定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称:③角的分类:④注意:⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念:①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角?正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角负角:按顺时针方向旋转形成的角顶点AO例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角.⑴ 60°;⑵ 120°;⑶ 240°;⑷ 300°;⑸ 420°;⑹ 480°;答:分别为1、2、3、4、1、2象限角.3.探究:教材P3面终边相同的角的表示:所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S={ β | β = α + k·360 °,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和.注意:⑴ k∈Z⑵α是任一角;⑶终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差360°的整数倍;⑷角α + k·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角.例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角.⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'.答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角;例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}.例5.写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类:③象限角;④终边相同的角的表示法. 5.课后作业:①阅读教材P2-P5; ②教材P5练习第1-5题; ③教材P.9习题1.1第1、2、3题思考题:已知α角是第三象限角,则2α,2α各是第几象限角?解:α 角属于第三象限,∴ k ·360°+180°<α<k ·360°+270°(k ∈Z)因此,2k ·360°+360°<2α<2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°<2α<(2k +1)360°+180°(k ∈Z) 故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角.正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角负角:按顺时针方向旋转形成的角又k ·180°+90°<2α<k ·180°+135°(k ∈Z) .当k 为偶数时,令k=2n(n ∈Z),则n ·360°+90°<2α<n ·360°+135°(n ∈Z) ,此时,2α属于第二象限角当k 为奇数时,令k=2n+1 (n ∈Z),则n ·360°+270°<2α<n ·360°+315°(n ∈Z) ,此时,2α属于第四象限角因此2α属于第二或第四象限角.1.1.2弧度制(一) 教学目标 知识与技能目标理解弧度的意义;了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数. 过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进,培养学生求异创新的精神;通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比,让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美. 教学重点弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明. 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系. 教学过程 一、复习角度制:初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制. 二、新课: 1.引 入:由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢? 2.定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在弧度制下, 1弧度记做1rad .在实际运算中,常常将rad 单位省略. 3.思考:(1)一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值是否是确定的?与圆的半径大小有关吗?(2)引导学生完成P6的探究并归纳: 弧度制的性质:①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r③正角的弧度数是一个正数. ④负角的弧度数是一个负数. ⑤零角的弧度数是零. ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度:π2360=︒; π=︒180;rad01745.01801≈=︒π;rad n n 180π=︒.②将弧度化为角度:2360p =?;180p =?;1801()57.305718rad p¢=盎??;180()nn p =?.5.常规写法:① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数. ② 弧度与角度不能混用. 6.特殊角的弧度7.弧长公式ll r ra a=??弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积. 例1.把67°30'化成弧度.例2.把rad53π化成度. 例3.计算:4sin)1(π;5.1tan )2(.例4.将下列各角化成0到2π的角加上2k π(k ∈Z )的形式:319)1(π;︒-315)2(.例5.将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式,并确定其所在的象限.319)1(π;631)2(π-.解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,193p\是第三象限角.(2)315316,666p p pp -=-+\-是第二象限角.ORl.,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lRR R l S 21212=⋅=. 证法二:设圆心角的度数为n ,则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=,又此时弧长180R n l π=,∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π.可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化,而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多.22121:R lR S α==扇形面积公式7.课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别. 8.课后作业: ①阅读教材P6 –P8;②教材P9练习第1、2、3、6题; ③教材P10面7、8题及B2、3题.4-1.2.1任意角的三角函数(三) 教学目的:知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式;2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
高中数学A版必修4教材介绍
• 研究匀速旋转最本质、最简单的是研究单位圆 上的点(x,y)随旋转角θ的变化而变化的规 律,即研究x和y作为角 θ(弧度制)的函数— —三角函数是圆的几何性质的代数表示。
• 研究1的过程:在一般函数概念指导下明确三角 函数的研究内容——定义、图像与性质,但又 要注意其特殊性——作为刻画周期现象的数学 模型;
教学目标的变化
1.强调三角函数的描述周期现象的数学模 型的作用。
2.强调向量作为沟通代数、几何与三角函 数的工具作用,向量是高中数学的核心 概念之一。
3.不在三角变换的技巧上提过高要求。
二、教科书结构
三角函数——定义、图象、性质、应用
平面向量——背景、概念、表示、 运算和运算律、应用
三角恒等变换——两角差的余弦 基本公式的推导 简单的恒等变换
(3)推理、运算能力的培养——有条理地思 维,类比、推广、特殊化等思考方法的应用;
(4)不搞技巧性训练。
欢迎批评指正 谢谢
向量的线性运算及运算律与数的加减及 其运算律的类比;向量的坐标表示与数轴 上点表示数的类比;向量数量积的运算律 与数的乘法运算律的类比;向量法与解析 法的类比;等。
五、“三角恒等变换”简介
1.学习目标 (1)经历用向量的数量积推导出两角差的余
弦公式的过程,进一步体会向量方法的 作用。 (2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在 联系。
2.关于两角差的余弦公式
• 几种推导方案的比较: (1)解决好“锐角问题”,任意角的推广让
学生完成; (2)用好单位圆的旋转对称性; (3)直接用向量法推导; (4)从“锐角问题”引出一般公式的猜想,
再用“向量法”证明;等。
新课标高中数学人教A版必修四教材分析及教学建议
新课标高中数学人教A版必修四教材分析及教学建议迁安二中杨桂芹一、教材内容、地位:1.内容:人教A版数学(必修4)的内容包括三角函数、平面向量、三角恒等变换。
2.地位:(1)三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中,通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.(2)向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。
在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。
(3)变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一。
代数变换是学生熟悉的,与代数变换一样,三角变换也是只变其形不变其质的,它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。
在本册第一章,学生接触了同角三角函数式的变换,在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。
通过本章学习,学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。
二、新教材与旧教材的内容上对比:三角函数是高中数学的重要组成部分,是进一步学习数学的基础,也是数学与其他学科联系的重要工具。
三角函数的内容是新课程标准中删减、变化较大的内容之一,教师在教学过程中应积极转变教学思想和研究教学方法,将新课程标准的理念贯彻到课堂教学中去。
“平面向量”一章,突出强调了向量的工具特性,充分利用向量的物理背景与几何背景建立向量及其运算的概念,并在这个过程中强调用向量解决实际问题及几何问题。
其中,特别强调了用向量解决几何问题的基本思想——“三步曲”,从而比较好地体现了数形结合思想。
另外,作为一个应用,用向量方法推导了两角差的余弦公式。
为了实现削枝强干的目标,教科书除了将三角恒等变换独立成章外,还在具体内容上进行了处理。
高中数学必修4教案完整版新课标人教A版
第一章三角函数4-1.1.1任意角(1)教学目标:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角;并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点:“旋转”定义角 课标要求:了解任意角的概念 教学过程: 一、引入同学们在初中时,曾初步接触过三角函数,那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。
三角函数也是高中数学的一个重要内容,在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容,它能够简单地解决许多数学问题,在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课1.回忆:初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”师:初中时,我们已学习了0○~360○角的概念,它是如何定义的呢?生:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师:如图1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点。
师:在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720o ” (即转体2周),“转体1080o ”(即转体3周);再如时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?如果慢了5分钟,又该如何校正?生:逆时针旋转300;顺时针旋转300.师:(1)用扳手拧螺母;(2)跳水运动员身体旋转.说明旋转第二周、第三周……,则形成了更大范围内的角,这些角显然超出了我们已有的认识范围。
本节课将在已掌握 ~角的范围基础上,重新给出角的定义,并研究这些角的分类及记法. 2.角的概念的推广:(1)定义:一条射线OA 由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ,就形成了角α。
高中数学必修四课程标准与教材解读
3、平面向量基本定理及坐标表示
(1)了解平面向量基本定理及其意义 (2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
(3)会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算; (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件;
了解向量的非正交分解 4、平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义; (2)体会平面向量数量积与向量投影的关系; (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的 运算 (4)能运用数量积表示两向量的夹角,会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系。
四、教学建议
1、准确地把握教学要求 根据课程标准的要求,教科书降低了对三角变换 的要求,特别是不再要求用积化和差、和差化积、 半角公式等作复杂的恒等变形,而把推导积化和 差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基 本训练,避免加大三角变换的难度,不要随意补 充已被删减的内容,也不要引进那些繁琐的、技 巧性高的难题,更不要在一些细枝末节上做文章, 但要注意基础训练。
4、让学生理解向量方法的实质
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示 问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间单位关 系,如距离,夹角等问题。 (3)把运算结果“翻译”成几何关系。
第三章 三角恒等变换
一、课标要求
三角恒等变换在数学中有一定的应用, 它有利于发展学生的推理能力和运算能力。 在本模块中,学生将运用向量的方法推导 基本的三角恒等变换公式,由此出发导出 其它的三角恒等变换公式,并运用这些公 式进行简单的三角恒等变换,发展学生的 推理能力和运算能力。
本模块内容
1、三角函数
2、平面向量 3.三角恒等变换1、课标要求 2、课程内容加强与削弱的方面及 依据
人教新课标a版高一数学必修4
人教新课标a版高一数学必修4人教新课标A版高一数学必修4是高中数学学习中非常重要的一部分,它涵盖了多个重要的数学概念和技能。
以下是该课程的主要内容概述:1. 三角函数:包括正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义、性质、图像和应用。
学生将学习如何利用三角函数解决实际问题,如测量、导航等。
2. 三角恒等变换:这部分内容涉及到三角函数之间的基本关系,如和差公式、倍角公式、半角公式等,以及它们在简化表达式和解决复杂问题中的应用。
3. 解三角形:学生将学习如何使用正弦定理和余弦定理来解决三角形的问题,包括已知两边和夹角求第三边,或者已知三边求角度等。
4. 数列:数列是数学中的一个重要概念,学生将学习等差数列和等比数列的定义、通项公式、求和公式以及它们的应用。
5. 不等式:包括不等式的基本性质、解法和应用。
学生将学习如何解一元一次不等式、一元二次不等式以及更复杂的不等式系统。
6. 立体几何:这部分内容将介绍空间中的点、线、面之间的关系,包括直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等。
7. 空间向量:学生将学习如何使用向量来描述空间中的点、线和面,以及如何利用向量解决几何问题。
8. 解析几何:包括直线和圆的方程,以及如何利用这些方程来解决几何问题。
9. 概率与统计初步:学生将学习基本的概率概念,如样本空间、事件、概率的计算,以及统计的初步知识,如数据的收集、整理和描述。
10. 算法初步:这部分内容将介绍算法的概念,包括算法的描述、设计和实现。
通过学习人教新课标A版高一数学必修4,学生不仅能够掌握高中数学的核心知识,还能够培养逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力。
这些技能对于学生未来的学术和职业生涯都是非常宝贵的。
高中数学必修4_人教A版_教材习题特点分析及建议
高中数学必修4(人教A版)教材习题特点分析及建议广东省广州市第六中学 唐庆华 (邮编:510300)1 教材习题编制的特点1.1 采用螺旋编写体系,符合学生认知规律旧教材上的习题一般紧扣每一节的知识内容,但是一轮教完之后,许多知识又变得陌生.新课标理念强调知识是一个螺旋上升的过程,课后习题将已学和将学的知识串在一起,搞好知识本身的衔接,这样有利于学生整体上的认知.如第120页第2题(以下简称T2):证明:任意的a,b,c, d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+ d2).此题通过构造向量可证明,而该题结论就是高二(理科)将要学习的柯西不等式,这样设计让学生认识到数学知识是紧密联系的.又如第133页T9(4):请你利用向量知识,如何推导点到直线距离公式?该公式在必修2中是通过构造直角三角形推导的,但是过程较繁.若利用向量推导比较简单,这样设计又进一步体现数学知识之间的联系.1.2 探究味道更浓,激发学生求知欲旧教材中课后习题以封闭类题目为主,较少涉及“探究式”问题.新课标中指出:“教师应根据不同的内容目标及学生的实际情况,给学生留下拓展、延伸的空间和时间,对有关课题作进一步的探究、研究”.新教材课后习题的设计也体现了这一理念.如第19页T4:“你认为三角函数线对认识三角函数有哪些作用?”学生通过前面的学习,若能总结出:“三角函数线能体现三角函数的概念本质,简化定义形式,并加强与几何的联系,便于应用”,那么对巩固教学效果是有好处的.同样还有第151页T3:观察以下等式sin230°+co s260°+sin30°cos60°=34,sin220°+cos250°+sin20°co s50°=34,分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并证明.通过探究此题激发了学生求知的欲望,另外也体现了从特殊到一般,先猜想后证明的科学研究方法.1.3 培养数学应用意识,关注个人体验旧教材应用题一般安排在“…的应用”一节,而三角函数的应用问题也仅设计一个有关“潮汐和港口水深”的阅读材料.新课标指出:“数学课程应适当反映数学的历史、应用、发展趋势,数学对推动社会发展的作用,逐步形成科学的数学观”.新教材习题适当增加联系实际的题目,为学生创设联系实际问题的氛围.如第74页A组T4:夏天用电的高峰时期,根据你们地区的用电情况,制定一项“削峰平谷”的电价方案.该问题对于广州夏天每年都会遇到,教师可指导学生先获取相关数据,绘制出用电随时间变化的三角函数图像,然后根据相关电价规定制定方案.即使绘制图像不准而导致解决不理想,但个人关注社会的体验,对学生以后的成长是非常有利的.1.4 更加重视数学思想方法的渗透,提升学生的思维自觉性新教材设计的习题注重潜移默化地渗透数学思想方法,提升学生的思维自觉性,提高学生用思想方法统领知识的能力及建构知识体系.如第11页习题B组T2(2):有人说,钟的时针和分针一天会重合24次.你认为这种说法是否正确?请说明理由?(课本提示:从午夜零时起,假设分针走了t min会与时针重合,一天内分针和时针会重合n次,建立t关于n的函数关系式,并画出图像,然后求出每次重合的时间.)此题设计目的是在解答中体现函数的思想和数形结合思想.又如第132页T2和T3,证明向量等式后,还要求解释几何意义,体现了数形结合思想,而旧教材中这两道习题并没有体现这一点.2 安排教材习题的建设课本的习题一般比较经典,具有一定代表性.课本习题既可以帮助学生理解基础知识、训练基本技能,又可以帮助学生掌握数学思想方法,进行思维训练.而旧教材习题层次感不强,许132007年第3期中学数学教学多高考类型的题目遮遮掩掩,许多教师只能自己补充题目.新教材习题分A、B组,涉及不同层次题目,教师的教学目标容易明确.教师一方面要研究课本习题的内涵,使布置的作业符合学生的认知特点,另一方面要挖掘课后习题的价值,通过变式等途径使学生的认知再上升一个台阶,真正实现布置的习题“源于课本而高于课本”.如果不认真学习新课标理念,抛弃课本习题,盲目相信市面上的教辅用书,教学的效果就不理想.以下提供一些安排课本习题案例供各位老师参考,以期提高课本习题的教学价值.2.1 横向联想 思维发散受教材编排的限制,许多习题设计时只针对本节知识,而类似的知识点或方法较少涉及,如果教师能启发学生去横向联想,不但有利于巩固新旧知识,也在提问中让学生学习到了一种科学学习方法.例(第40页T1) 等式sin(30°+120°)= sin30°是否成立?如果这个等式成立,能否说120°是正弦函数y=sin x,x∈R的一个周期?为什么?建议 学生解完之后,可继续提问:我们学过的知识中,有无也要注意任意性的呢?注释 如果只是回答不是,因为对于任意x,sin(x+120°)≠sin x,那么很好的一个学习机会就错过了.本题的实质是要注意定义中的任意性,意在培养学生严谨的思维习惯.若继续联想,学过的知识中,有无也要注意任意性的呢?其实对于函数的奇偶性、单调性都要注意满足任意性,不然像此题一样就会犯以偏概全的错误.2.2 查漏补缺 巩固到位课本习题具有示范性、代表性,一般和前面知识点是配套的.但是受篇幅或其他因素影响,可能会出现例题中有的,习题中没有,或者例题中没有的,习题中偏偏又有.教师应该研读教材和课程标准,查漏补缺,使习题对本节(章)知识真正起到巩固作用.例第77~79页复习参考题A组、B组.建议 需补充一些课后习题(选自北师大版)(1)判断下列函数的奇偶性:①y=x2+ co s x;②y=co s x-tan x.(2)求下列函数定义域:①y=11+2sin x;②y=1-cos x2.(3)求下列函数的值域:①y=2-3co s4x-π3;②y=7-7sin x-3cos2x.注释 该复习参考题是对第一章总的概括,而本章一个重点就是研究三角函数性质,应包括求定义域、值域、奇偶性、解三角不等式,而教材的习题中涉及甚少或根本未涉及.教师安排习题时要注意习题是否比较全面反映本节知识,尽量不要存在漏洞.2.3 变式引申 举一反三安排习题不能是蚂蚁搬家,见到“好题”就布置给学生做,这样学生难免陷入题海之中.对课本习题作相应变式引申,在比较中进行学习,使得学生容易搞清相似的概念、方法,或者对原方法有更透彻的认识.变式可以比较有效地解决惯性思维的负迁移,起到事半功倍的效果,体现“源于课本而高于课本”的思想.例(第117页T2)△AB C中,AB=a,A C= b,当a・b<0或a・b=0时,试判断△AB C的形状.建议 增加变式题:若AB=a,A C=b,当a・b<0,则∠BA C为钝角吗?注释 此题是针对学生解完上例的习题之后,可能认为AB・A C<0Ζ∠BA C为钝角.其实,当AB・A C<0时,∠BA C可能是钝角,也可能是平角.又例(第159页T3)已知α、β都是锐角,tanα=17,sinβ=1010,求tan(α+2β).建议 增加变式题:求α+2β的值.注释 学生也许这样解:tan(α+2β)=1,而0<α,β<π2,故0<α+2β<32π,所以α+2β=π4或54π.其实由tanα=17,sinβ=1010,有0<α,β<π4,故0<α+2β<34π,所以α+2β=π4.本题设计目的是提醒学生三角求值题目要准确把握角的范围.23中学数学教学2007年第3期2.4 整理对比 正向迁移教师经常有这种教学体会,就是有些学生学习每一节知识似乎没有什么问题,但是教完一个学段之后,有些学生似乎判若两人.究其原因很复杂,有些学生是由于不能找到知识之间的共性和区别,知识混淆,方法混用.教师如果能将相关习题整理归类,让学生进行对比分析,找出运用方法的规律,逐步实现思维的正向迁移.例①第160页A组T9:y=(sin x+co s x)2 +2co s2x,求函数单调递减区间.②第79页T4:已知tanα=-13,计算(1)…;(2)12sin2α+co s2α.(同源题:2004广东卷)0<x<π4,求f(x)=cos2xco s x sin x-sin2x的最小值.③第159页A组T6(3):sin4θ+cos4θ=59,求sin2θ.(同源题:2004全国卷1)求函数y= sin4x+co s4x+sin2x cos2x2-sin2x的最值.④第160页B组T4:co s x+π4=35,17π12<x<7π4,求sin2x+2sin2x1-tan x.(同源题:2005全国卷1)0<x<π2,求函数y=1+co s2x+8sin2xsin2x的最小值.注释 这是一组关于三角函数恒等变形的题目,第①题要用到倍角公式cos2x=1+cos2x2降次,通过学习该公式后,学生总结出“规律”:遇平方就降次.为了克服这种惯性思维的弊端,此时教师不妨再让学生解决第②③④题,就会发现“遇平方不一定降次”,如第②题是二次齐次式,先将分子1化成sin2α+co s2α,然后将分子、分母同除以co s2α,即可转化成和tanα有关.第③题将条件凑成完全平方即可.第④题将分子提取公因式2sin x,分母化切为弦,再结合条件计算出co s x±sin x即可.以上提供的三道高考题,如果惯性地认为“遇平方就降次”,那么会遇到同样的困境.3 教材习题中值得商榷的地方3.1 第133页T7(2):某人在静水中游泳,速度为43千米/小时,他在水流速度为4千米/小时的河中游泳.(1)…;(2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?此题是一道向量在物理中应用问题.该题在教学参考书上提供答案是沿与水流方向成90°+arc co s63的方向前进.可是反三角函数在新教材中没有涉及.建议此题单独命题,将该人在静水中速度改成8千米/小时,则答案为沿与水流方向成120°的方向前进.3.2 第150页T8:在△AB C中,sin A= 513,co s B=35,求co s C的值.教参提供答案是5665或-1665.其实,该答案是错的.因为sin B=45>513=sin A.由正弦定理, B>A,则A为锐角,故答案应为-1665.改过答案之后问题又来了,正弦定理还没学,当然也可用反证法:若A为钝角,则sin B>sin(π-A),故B >π-A,这不可能.笔者建议将sin A改成1213,则原答案成立.3.3 第157页T5:设f(α)=sin xα+cos xα, x∈{n|n=2k,k∈N+},估计f(α)在x=2,4, 6时的取值……当x=6时,f(α)=sin6α+co s6α,这里需用到立方和公式,而初中新教材没有这个公式.考虑课本的示范性和初高中知识衔接,建议在此题后面补充该公式.参考文献1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.2 人民教育出版社,课程研究所,中学数学课程教材研究中心.普通高中数学课程标准实验教科书(数学必修4)[M].北京:人民教育出版社,2004.3 李宏志.如何提高课本例、习题的教学价值[J].中学数学,2006(1).(收稿日期:2007203226)332007年第3期中学数学教学。
高中数学必修4解读
2.基本内容
主要的学习内容是三角函数的概念,图象与性 质,以及三角函数模型的简单应用;
单位圆是研究三角函数的重要工具,借助它的 直观,可以使学生更好地理解三角函数的概念 和性质,因此三角函数的学习可以帮助学生更 好地体会数形结合思想;
三角函数作为描述周期现象的重要数学模型, 与其他学科(特别是物理、地理)有紧密联系, 因此本章的学习可以培养学生的数学应用能 力.
本章共安排了6个小节以及两个选学内容,教学时间约需16课时:
1.1 任意角和弧度制
约2课时
1.2 任意角的三角函数
约3课时
1.3 三角函数的诱导公式
约2课时
1.4 三角函数的图象与性质
约4课时
1.5 函数y=Asin( φ)的图象
约2课时
1.6 三角函数模型的简单应用
约2课时
小结
约1课时
[形到向量] ──[向量的运算] ──[向量和数到 形].
第3章 三解恒等变换
本章包含2节,教学时间约8课时:
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.2简单的三角恒等变换
小结
约4课时 约3课时 约1课时
本章知识结构如下:
和(差)角公式的逻辑联系图:
应当以哪一个公式作为基础呢?过去的教材曾 经进行过许多探索,其基本出发点都是努力使 公式的证明过程尽量简明易懂,易于被学生所 接受.
5.第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理 中的应用举例.由于向量来源于物理,并且兼具“数” 和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的 应用.本节通过几个具体的例子说明了它的应用.
“平面向量”一章,突出强调了向量的工具特 性,充分利用向量的物理背景与几何背景建立 向量及其运算的概念,并在这个过程中强调用 向量解决实际问题及几何问题.其中,特别强 调了用向量解决几何问题的基本思想──“三 步曲”,从而比较好地体现了数形结合思 想.另外,作为一个应用,用向量方法推导了 两角差的余弦公式.
高中数学新课标教材解读
高二下学期
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4.运算求解能力
运算求解这一能力贯穿于高中数学的始终,必修三
中算法这一内容只是其中的一部分,高考中主要的考 查 运算的准确与熟练程度、 运算的合理与简捷性、 分析条件、探究方向、选择公式、设计程序等。
5.数据处理能力
数据处理主要体现在必修三中“统计”和选修2-3
中“统计案例”两章中,它包括数据的收集与整理 、
必修五:不等式问题
在知识上删去了解绝对值不等式和解分式不等式的
要求;删去了不等式的证明;只要求会解一元二次
不等式,不要求会解多元不等式。不要求用基本不
等式作推理证明。
强调基本不等式在解决简单的最大(小)问题中的
作用。
关于圆锥曲线问题
在圆锥曲线中要注意对三种曲线要求的差别.
文科:掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标 准方程,知道它们的简单几何性质. 理科:掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何
图形及简单性质.
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程, 知道双曲线的有关性质.
圆锥曲线的第二定义、焦半径公式、准线方程
(椭圆和双曲线)等内容应当舍弃,双曲线出解
答题的可能性不大.
关于统计问题
教材中对“统计”这一内容的安排,采取了螺旋式
上升的方法,在必修三和选修2-3中都有介绍。统
计包括数据的收集(抽样方法)与整理 (抽样方
选修系列1(文科必选模块)
选修1-1:
常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用;
选修1-2:
人教版高中数学A版必修四说课稿
必修四目录《任意角》说课稿 (2)《弧度制》说课稿 (4)《任意角的三角函数》说课稿 (5)《同角三角函数的基本关系式》说课稿 (7)《三角函数的诱导公式》说课稿 (9)《正弦函数、余弦函数的图象》说课稿 (11)《正弦函数、余弦函数的性质》说课稿 (13)《正切函数的图象与性质》说课稿 (15)《函数y=Asin(ωx+ψ)》说课稿 (17)《两角差的余弦公式》说课稿 (19)《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》说课稿 (21)《二倍角的正弦、余弦、正切公式》说课稿 (23)《简单的三角恒等变换》说课稿 (25)《向量的物理背景与概念》说课稿 (27)《向量的几何表示》说课稿 (29)《相等向量与共线向量》说课稿 (30)《向量加法运算及其几何意义》说课稿 (31)《向量减法运算及其几何意义》说课稿 (33)《向量数乘运算及其几何意义》说课稿 (35)《平面向量基本定理》说课稿 (37)《平面向量的正交分解及坐标表示》说课稿 (38)《平面向量的坐标运算》说课稿 (40)《平面向量共线的坐标》说课稿 (41)《平面向量数量积的物理背景及其含义》说课稿 (43)《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿 (44)《任意角》说课稿各位评委大家好,我说课的题目是《任意角》,下面我会从教材的分析、教学目标的分析、教学重难点的分析、教法学法分析以及教学过程加以阐述。
一.教材分析1.教材的地位与作用:本节课是人教版高中数学必修四第一章第一节的第一课时的内容,三角函数是基本初等函数,角的概念的推广是初中相关知识的延续,为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件,也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具,所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要2.学情分析:本节课面向的学生是高一的学生,学生在初中已经接触到角的定义,角的范围仅限于003600 ,结合实际生活中的例子,引发学生的的认知冲突,让学生体会角的推广的必要性。
新课标高中数学人教A版必修四教材解读
新课标高中数学人教A版必修四教材解读4尤溪第一中学罗世卿四、教学内容分析第三章三角恒等变换课程标准内容:1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。
2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在了解。
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆)知识结构:3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时安排:建议本节4课时第1课时:两角差的余弦公式;第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式;第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式;第4课时:公式的综合运用.教学要求:基本要求。
①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性;②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路;③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式;④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。
发展要求。
①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。
②理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理正确的拆分。
③能对公式进行简单的逆用。
说明。
①控制好拆分角度的难度。
②题型的变化不宜过多。
重点难点:重点:通过探索和讨论交流,导出两角差与和的三角函数的十一个公式,并了解它们的内在了解。
难点:两角差的余弦公式的探索和证明。
教学建议:教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手,采用实验探究、交流讨论等方式进行教学,可以设计一定的教学情景,引导学生从数形结合的角度出发,利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含,,的正弦、余弦值的等量关系。
教学时应当注意下面四个要点:①在需要学生了解已学过的其它知识时,有意识的引导学生联想向量知识;②充分利用单位圆,分析其中有关几何元素(角的终边及其夹角)的关系,为向量方法的运用做好准备;③探索过程的安排,应当先把握整体,然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。
人教A版必修4的教材分析与教学建议.doc
大纲要求1、理解角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算。
2、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切;了解任意角的余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基木关系:Sin2a +cos2a =1sin a------ = tanacos atan a • cot a =1掌握正弦、余弦的诱导公式。
3、会利用单位圆的三角函数线画出正弦、正切函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象;了解周期函数与最小正周期的意义;了解奇偶函数的意义;并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质以及化简这些函数图象的绘制过程;会用“五法点"画正弦函数、余弦函数和正切函数的简图,理解广Asin(3x+。
)的物理意义。
4、会由己知三角函数值求角,并用arcsinx, arccosx, arctanx 表示。
5、实习作业以测量为内容,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力。
课标要求1、了解任意角的概念、弧度制,能进行弧度与角度的互化。
2.(1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
(2)借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式(n/2±a, n±a的正弦、余弦、正切)能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性。
(3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0, 2n],正切函数在(一兀/2, n/2)上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)。
(4)理解同角三角函数的关系式:2 2 sin aSin a+cos a =1 , ------------- = tanacos a(5)结合具体实例,了解尸Asin(3x+4))的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(6)x+(]))的图象,观察A,(,),(])对函数图象变化的影响。
(6 )会用三角函数解决一些实际问题,体会三角函数是描述周期变化的重要函数模型。
高中数学必修四教材分析
高中数学必修四教材分析一、 知识结构及在高中教材中的位置必修四共分三章:一、三角函数;二、平面向量;三、三角恒等变换。
其中第二章《平面向量》是数学的一个重要工具,它在平面几何、立体几何、物理学等有着重要应用,而三角函数作为一类重要的基本初等函数,包括第一章(三角函数)、第三章(三角恒等变形)及必修五第一章(解三角形)在整个高中数学中占有重要位置, 在近几年高考特别是广东题中所占分比有16分以上(1小题,1大题),而且都以基础题为主。
必修四各章知识系统如下:二、内容与要求1、三角函数:(1) 任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。
(2) 三角函数① 借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义② 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(,360α+︒⋅k αα±±︒ ,180,α±︒90的正弦、余弦、正切)能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象,了解三角函数的周期性。
③ 借助图象理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π,正切函数在)2,2(ππ-上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与X 轴交点等),并能利用周期性进一步拓展到其它区间。
④ 理解同角三角函数的基本关系式:;cos sin tan ,1cos sin 22ααααα==+ ⑤ 结合具体实例,了解函数)sin(ϕω+=x A y 的实际意义;能借助计算器或计算机画出)sin(ϕω+=x A y 的图象,观察常数ϕω,,A 对函数图象变化的影响。
⑥ 会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
2、 平面向量:(1) 平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的做含义,理解向量的几何表示。
(2) 向量的线性运算① 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解几何意义,以及两个向量共线的含义。
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新课标高中数学人教A版必修四教材解读4
尤溪第一中学罗世卿
四、教学内容分析
第三章三角恒等变换
课程标准内容:
1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。
2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆)
知识结构:
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时安排:
建议本节4课时
第1课时:两角差的余弦公式;
第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式;
第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式;
第4课时:公式的综合运用.
教学要求:
基本要求。
①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性;②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路;③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式;④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。
发展要求。
①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。
②理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理正确的拆分。
③能对公式进行简单的逆用。
说明。
①控制好拆分角度的难度。
②题型的变化不宜过多。
重点难点:
重点:通过探索和讨论交流,导出两角差与和的三角函数的十一个公式,并了解它们的内在联系。
难点:两角差的余弦公式的探索和证明。
教学建议:
教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手,采用实验探究、交流讨论等方式进行教学,可以设计一定的教学情景,引导学生从数形结合的角度出发,利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含,,的正弦、余弦值的等量关系。
教学时应当注意下面四个要点:①在需要学生联系已学过的其它知识时,有意识的引导学生联想向量知识;②充分利用单位圆,分析其中有关几何元素(角的终边及其夹角)的关系,为向量方法的运用做好准备;③探索过程的安排,应当先把握整体,然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。
④本章不仅关注使学生得到差(和)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。
在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。
特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导。
教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。
例如,在旁白中有“倍”是描述两个数量之间关系的,是的二倍……是的二倍,这里蕴含着换元的思想。
这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等,这些都可以成为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容,也是我们开展研究性学习的好素材。
本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式,并用三角函数之间的关系推导和(差)角公式、二倍角公式。
要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上,降低变换的技巧性要求。
教学时应当把握好这种“度”,遵循“标准”所规定的内容和要求,不要随意补充知识点(如半角公式、积化和差与和差化积公式,这些公式只是作为基本训练的素材,结果不要求记忆,更不要求运用)。
3.2简单的三角恒等变换(3课时)
教学要求:
基本要求。
①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形,并证明三角恒等式。
②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。
③能把一些实际问题化为三角问题,通过三角变换解决。
发展要求。
①了解和、差、倍角公式的特点,并进行变形应用。
②理解三角变换的基本特点和基本功能。
③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。
说明。
积化和差、和差化积、半角公式只作为练习,不要求记忆。
重点难点:
重点:掌握三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点.
难点:公式的灵活应用.
教学建议:
三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系,推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系,从中体现了丰富的数学思想。
从数学变换的角度看,三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。
相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算,对其结构形式进行变换。
由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式
上,而且还表现在角及其函数类型上,因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中各个角之间的关系,然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换,这是三角恒等变换的主要特点。
教学中应当引导学生以一般的数学(代数)变换思想为指导,加强对三角函数式特点的观察,在类比、特殊化、化归等思想方法上多作引导,同时要注意体会三角恒等变换的特殊性。
几点说明:
(三角函数)
1.对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面加深.
2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算,教学中不必作太多的拓展、补充.
3.已知三角函数值求角问题,达到课本要求即可,不必拓展.
4.开展函数y=Asin(ωx+ϕ)图象教学时,提倡用计算机辅助教学.
5.三角函数模型的简单应用教学时,要突出三角函数的工具性,重点在引导学生建立三角函数模型.
(平面向量)
1.向量的线性表示应控制在基本要求的范围内,不宜做太多的扩展。
2.对于向量运算的交换律、数乘的结合律和分配律,只要求会用就行。
对于基础较好的学生可以介绍证明方法。
3.平面向量基本定理不作严格的证明。
4.平面向量的应用主要在平面几何和简单的物理学这两个方面,不在其它方面拓展。
(三角恒等变换)
1.积化和差、和差化积、半角公式只作为练习,不要求记忆.
2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学时,要控制好拆分角度的难度,题型的变化不宜过多。