深圳宝安区福永中学数学圆 几何综合(提升篇)(Word版 含解析)

深圳宝安区福永中学数学圆几何综合（提升篇）（Word版含解

析）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.

（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.

（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.

（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.

【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，82

+

【解析】

试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，

BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2

8

22

OP DB OB

+⨯+⨯

==，二者相加即为点P的

关联图形的面积是12．

（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．

（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．

试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，

∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正方形，

∴正方形的面积是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积=()(26)2

8

22

OP DB OB

+⨯+⨯

==，

∴点P的关联图形的面积是12．（2）判断△OCD是直角三角形．

证明：延长CP 交BD 于点F ，则四边形ACFB 为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，

∴OC ⊥CD ，∴△OCD 是直角三角形．

（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．

理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=()(26)4

1622

AC DB AB +⨯+⨯==为定值，

要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小， ∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小， 连接OC ，设交半圆O 于点P ，

∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=22，

∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ， ∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大．

∵CD=42，CP=222-， ∴△PCD 的面积=

()(26)4

1622

AC DB AB +⨯+⨯==，

∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+．

考点：圆的综合题．

2．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分

题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.

（1）求的取值范围；

（2）当矩形的对角线长为时，求的值；

（3）当为何值时，矩形变为正方形？

题乙：如图，是直径，于点，交于

点，且．

（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；

（2）当，时，求的面积．

【答案】题甲（1）（2）（3）

题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=

【解析】

试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；

由得

（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方

程的两根，则；因为

，所以；解得

由得

（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得

题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，

；因为，所以；于点，

，所以

，，在三角形OBD 中

，所以OB ⊥BD ；BD 是

切线

（2），AB 是圆的直径，所以OB=5；于点

，交

于

点，F 是BC 的中点；

，BF=4；在直角三角形OBF 中由勾股定理得

OF=

；根据题意，，则，所以

，从而

，解得DF=

，

的面积

=

考点：直线与圆相切，相似三角形

点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似

3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．

（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，

①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）

【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或104

33

与△ABC 的边相切．②点F 11365

72

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.

（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3

cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．

（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设

O 切AC 于H ，连接OH .