线性代数题目及解析。
大学数学线性代数题库及答案解析
大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。
因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。
b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。
我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。
则得到 z = -6 + 5t。
将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。
因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。
2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。
解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。
我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。
因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。
线性代数试题库+解析
线性代数期末考试题库一、填空题（1）设A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-7345327254321111,则=+++44434241A A A A 6+2-22+14=0 （2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101010001P ， 则P AP=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++13331232133311312322232113121311a a a a a a a a a a a a a a a a （3）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= 1 3)因为rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n ，而本题中rank(AB)=0,rank(A)-2,所以rank （B ）=1 （4）设44⨯矩阵A=[]432,,,γγγα，B=[]432,,,γγγβ其中432,,,,γγγβα均为四维列向量，且已知行列式,1,4==B A 则=+B A ( 40 )（5）设C B A ,,皆为n 阶矩阵，已知0)det(≠-A I 。
若AB I B +=，CA A C +=，则=-C BE（5）解析：因为AB I B +=，则B(I-A)=I ，所以(I-A)=B -1。
又CA A C +=，则C(I-A)=A ，所以有CB -1=A, C=AB, B-C=B-AB=B(I-A)=I;（6）设A 为三阶非零矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=a B 11213112，且O AB T=)(，则=a 0（6）解析：(AB)T =O ，即为AB=O,说明A 有非零解B ，说明rank(A)=rank(A|B)<3;当a 不等于0时，rank(B)=3,此时rank(A|B)=3,所以只有a=0，rank(A|B)<3。
（7）设三阶方阵A =[21,,γγα] ，B=[β21,,γγ]其中21,,,γγβα均为三维列向量，且已知det A =3， det B=4,则det(5A -2B )= 63 (8)已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+-=-+-++00)3(0)2()2(3213213221ax x x abx x a x x a ab x a b bx 的解空间是二维的，则=a 2 ,=b -1（8）注：齐次线性方程组的解空间的维数=n-r(A).非齐次线性方程组的解不够成线性空间。
线性代数--期末试题解析
,选A.
0 A 的逆 4.设A,B分别为m阶和n阶可逆矩阵,那么矩阵 B 0
矩阵等于
0 (A ) −1 B
[ B
0 A −1 , (B) −1 A 0 B −1 A −1 , (C) 0 0 B −1 0 , (D) 0 −1 B
5.设矩阵A和B都是3阶矩阵,如果有可逆矩阵P使P- 1AP =B, 当A的秩R(A)=2时, R(B)=( 二、选择题(15分)
1 − 3 4 1.如果矩阵A = 2 − 1 3 的秩是2, 则a必等于 −1 2 a
2
).
[
].
(A) -1,
(B) 1,
(C) -3,
=-λ(2-λ)2
所以 A的特征值为λ1=λ2=2, λ3=0
对λ1=λ2=2, 解方程(A-2E)x=0, 因为
−1 0 1 1 0 −1 A − 2E = 0 0 0 ~ 0 0 0 1 0 −1 0 0 0
12 0 得特征向量: e1 = 1 ,e2 = 0 1 0 2
A满足条件(2E-C-1B)AT=C,求 1. (2C-B)-1 ; 2. A .
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 − 2 1 解.1. (2C-B,E ) = 0 1 2 0 1 0~ 0 1 0 0 1 − 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
所以:
1 − 2 1 (2C-B)-1 = 0 1 − 2 0 0 1
2. 由(2E-C-1B)AT=C , 得 AT= (2C-B)-1C2 , 即
1 − 2 1 1 T A = 0 1 − 20 0 0 1 0 1 − 2 1 1 = 0 1 − 20 0 0 1 0
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整word版)线性代数题目及解析。
一. 判断题（正确打√，错误打×）1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示,则s ααα,,,21 线性无关. (×)解答:反例：取01=α，02≠α,则2α不能由1α线性表示，但21,αα线性相关。
2。
如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关。
（√） 解答:向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ； 所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3。
向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数。
(×)解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数。
4。
若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×） 解答:反例：取0,0==≠γβα,则向量组γβα,,只有一个极大无关组α，但γβα,,线性相关.正确命题：若γβα,,线性无关,则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题1.设向量组(1）:321,,ααα与向量组(2）:21,ββ等价，则（ A ）。
（A ） 向量组（1)线性相关; （B ）向量组(2）线性无关；(C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关. 解答：因为等价的向量组具有相同的秩,所以32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关,则向量组中（A) (A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示； （C)只有一个向量不能由其余三个向量线性表示；（D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示。
线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案,2020考研数学基础训练)
线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020考研数学基础训练）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6D.12【答案】C【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。
有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。
本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。
【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。
热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。
【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6D ．15答案：C 。
2.计算行列式32 3 20 2 0 0 05 10 2 0 2 0 3 ----=( )A.-180B.-120C.120D.180 【答案】A【解析】本题考查了行列式的计算。
行列式可以根据任意一行（列）展开。
一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。
本题，按第三列展开，有：441424344433313233 3 0 2 03022 10 5 000033(1)21050 0 2 00022 3 2 3303(002)6(1) =630180. 210A A A A A A A ++--=⋅+⋅+⋅+⋅=-----=⋅+⋅-=---⨯=-【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。
2024考研数学一线性代数历年真题全解析
2024考研数学一线性代数历年真题全解析线性代数是数学中的一个重要分支，也是考研数学一科目的必考内容之一。
掌握线性代数的基本理论和解题方法，对于考研的成功至关重要。
本文将对2024年考研数学一线性代数历年真题进行全面解析，帮助考生更好地理解和掌握这一内容。
一、第一题：（2024年考研数学一真题）题目描述：设A、B为n阶方阵，且满足A^2=AB-B^2。
求证：可以得出B^2=BA-A^2。
解析：根据题目中的等式A^2=AB-B^2，我们可以推导出：A^3 = (AB-B^2)A = ABA-BA^2将B^2=BA-A^2代入上式，得到：A^3 = A(BA-A^2) = ABA-A^3移项化简可得：2A^3 = ABA进一步整理：2A^3 - ABA = 0因此，我们证明了B^2=BA-A^2。
二、第二题：（2023年考研数学一真题）题目描述：已知线性变换T：R^3->R^3的矩阵为A=[a1,a2,a3]，其中a1、a2、a3分别为R^3的列向量，向量a3可以表示为a3=k1a1+k2a2，其中k1、k2为实数。
证明：线性变换T在R^3的任意向量上的投影运算P与反射运算S满足P^2=P，S^2=S。
解析：设矩阵A=[a1,a2,a3]，且a3=k1a1+k2a2，根据题目条件可知向量a3可由a1、a2线性表示。
由此，我们可以得到矩阵A的列向量组线性相关。
由于投影运算P的定义为P^2=P，这意味着对于任意向量x，有P(P(x))=P(x)，即P^2(x)=P(x)。
另一方面，反射运算S的定义为S^2=S，即S(S(x))=S(x)，即S^2(x)=S(x)。
根据线性变换T的定义，我们有T(x)=Ax，其中A=[a1,a2,a3]。
根据题意，向量a3可由a1、a2线性表示，说明向量a3可以写为a3=k1a1+k2a2。
我们知道，投影运算P的定义为P(x)=A(A^TA)^(-1)A^Tx，反射运算S的定义为S(x)=2P(x)-x。
经济数学《线性代数》期末试卷二(含答案解析)
《线性代数》试卷二一．选择题（每题3分，共30分）1.若行列式1023145xx 中，代数余子式121A =-，则21A =（ ） A.2 B.2- C.3 D.3- 【解答】由于31211(1)4545x A x =-=-=-，可解得1x =，进而有32102(1)215A =-=，故选A.2.已知A ，B 均为n 阶方阵，则必有（ ）A.222()2A B A AB B +=++ B.TTT()AB A B = C.n n AB O ⨯=时，A ，B 中至少有一个为零矩阵 D.以上都不对 【解答】本题考察矩阵的乘法运算的性质.在A ，B 相乘可换时，选项A 才成立；()T T T AB B A =，故选项B 是错误的；n n AB O ⨯=说明B 的列向量组均为齐次方程组0Ax =的解向量，故选项C 亦不成立.故选D.3.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）. A. ()()r A r B m == B.()()，r A m r B n == C. ()()，r A n r B m == D. ()()r A r B n ==【解答】显然有()min{(),()}max{(),()}r AB r A r B r A r B m ≤≤≤，于是由AB E =可知()()r A r B m ==.故选A.4.向量组12,,,m ααα（3≥m ）线性无关的充要条件是（ ）A. 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++=；B. 所给向量组中任意两个向量都线性无关；C. 所给向量组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；D. 所给向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.【解答】本题考察线性无关的定义.选项A 为线性相关的定义；选项B.选项C 为必要条件；故选D.5.设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100β，下列选项中（ ）为βα,的线性组合.A.1B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403ηC.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022ηD.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010η【解答】由βα,的第二个分量均为零易知其线性组合亦必满足第二个分量为零，因此选B.6.当λ取（ ）时,方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x +-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩λλλλλλ有无穷多解.A.1B.2C.3D.4【解答】思路同上题，欲使该方程组有无穷多解，系数行列式12131301λλ--=--必为零.故选C.7.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）0Ax =和（Ⅱ）T 0A Ax =必有（ ）.A.（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解 B ．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解 C ．（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解 D ．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解【解答】事实上，齐次方程组（Ⅰ）0Ax =和（Ⅱ）T 0A Ax =为同解方程组.证明如下：一方面，显然（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解；另一方面，设β是（Ⅱ）的解，则T0A A β=，进而()()TT T 0A A A A ββββ==，由此可知0A β=，即β亦是（Ⅰ）的解.命题得证. 由此可知选A.8.设1λ与2λ是A 的两个互异特征值，ξ与η分别为其特征向量，则下列说法正确的是（ ） A ．对任意非零常数12,k k ，12k k ξη+均为A 的特征向量 B ．存在非零常数12,k k ，使得12k k ξη+均为A 的特征向量C ．对任意非零常数12,k k ，12k k ξη+均不是A 的特征向量D ．存在唯一的一组非零常数12,k k ，使得12k k ξη+均为A 的特征向量【解答】首先易知，ξ与η线性无关.又知对于任意非零常数12,k k ，若12k k ξη+为属于特征值3λ的特征向量，则有()123132A k k k k ξηλξλη+=+，()12121122A k k k A k A k k ξηξηλξλη+=+=+同时成立，于是()()1132230k k λλξλλη-+-=进而可知123λλλ==，与题设矛盾.故12k k ξη+不是A 的特征向量.选C.9.设矩阵1111400011110000,1111000011110000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则A 与B （ ）.A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似【解答】易知A 为对称矩阵且其特征值为4,0,0,0，故A 必可正交对角化为矩阵B .进而A 与B 合同且相似.故选A.10.二次型()2221231231223,,244f x x x x x ax x x x x =++--经正交变换化为标准形22212325f y y by =++，则（ ）A.3,1a b ==B.3,1a b ==-C.3,1a b =-= Ｄ.3,1a b =-=-【解答】由题意知，矩阵12022202A a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值为2,5,b ，直接计算可知3,1a b ==-，故选B.二．填空题（每题3分，共18分）1．设A 为4阶方阵，且A 的行列式13A =，则12A -= . 【解答】易知13A -=，故1412216348A A --==⨯=.2.已知1231100011000100000101n n na a a D a a ---=-,若12--=+n n n n D a D kD ,则k = .【解答】按最后一行展开，得()()121312100011000100110000011n n n n n n a a a D a D a +-----=+---()()1121211n n n n n n n n a D D a D D +-----=+--=+,所以1k =.3.若非齐次方程组123412341234 242 217411x x x x x x x x x x x x λ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪+-+=⎩ 有解，则λ=【解答】非齐次方程组有解当且仅当增广矩阵化为行阶梯阵时，最后一个非零行不具有“有且只有最后一个元素非零”的形式，于是直接计算可知5λ=。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。
答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。
矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。
2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。
答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。
转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。
3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。
答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。
若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。
4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。
答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。
5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。
答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。
行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。
其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。
6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。
答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。
4月全国自考线性代数(经管类)试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共20小题，每小题1分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=( )A.m-nB.n-mC.m+nD.-(m+n )2.设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBAD.BCA3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为( ) A.-8 B.-2 C.2D.84.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ）A.P AB.APC.QAD.AQ5.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为06.下列命题中错误．．的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关2B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出 8.设A 为m ×n 矩阵，m ≠n ,则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n9.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1D.A *10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=212322212x x x x x +++的正惯性指数为（ ） A.0 B.1 C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数习题（带答案解析）
线性代数习题（带答案解析）第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3-(D)011. 若22351011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111 .12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a c b a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1. cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222 111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++ ; 10. 2 1000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a . 2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-；2. )(233y x +-；3. 1,0,2-=x ;4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 7. ∏=--n k k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数习题及答案解析
1. 三阶行列式()100420563= 。
A. 6B. 1C. 2 答：A 。
2. n 阶行列式()00100200n=。
A.!nB. 2!- C. 1(1)!--n nn答：C 。
二、讨论题1. n 阶行列式怎样定义的？答：n 阶行列式是这样定义的：（1）位于不同行，不同列n 个元素的乘积；（2）共有!n 项，每一项确定：行标为自然数排列，列标为1,,n m m ，当列标为偶数排列时取正号，为奇数排列时取负号；（3）一般项为11(1),-n N m nm a a 即11(1)=-∑n N m nm D a a 。
2.从左上角到右下角，对角线称为什么？ 答：主对角线。
一、选择题1、将行列式转置，行列式值（ ）。
A. 变B. 不变C. 不确定 答：B 。
2、把行列式某一行的倍数加到另一行，行列式（ ）。
A. 不变B. 变C. 不确定 答：A 。
二、填空题1. 行列式123456789D =中12a 的代数余子式为 。
答 ： 12(1)(6)+--。
三、讨论题1、按第一列展开行列式的定理指的是什么？ 答：111111n n a A a A D ++=。
2.、按第一列展开行列式与第二列代数余子式乘积之和的定理指的是什么？答：1121120n n a A a A ++=。
一、选择题1、行列式100302540=（ ）。
A. 6B.（-8）C. 8答：B 。
2、行列式1000520067389104=（ ）。
A. 2!B. 3!C. 4!答：C 。
二、填空题1、行列式12345006D == 。
答：用上三角行列式24。
2、行列式127158169D =-=- 。
答：-8（其解题过程为：2131127715071588160816+==-+r r D r r ）。
三、讨论题1、用化零降阶法计算行列式111111a D a a=等于什么？答：213222301111011(1)(1)(2)1111---+--=-=-+--a a r ar a Da a a a a r r a。
考研数学一2024线性代数历年真题答案解析
考研数学一2024线性代数历年真题答案解析一、真题回顾在开始解答具体问题之前，我们先回顾一下考研数学一2024年的线性代数真题，了解题目的背景和要求。
（这里省略了小节一、小节二等文字，直接进入正文）二、题目一解析接下来，我们逐个解析2024年考研数学一的线性代数历年真题，首先是题目一。
【题目一】(2024年考研数学一真题)题目：已知3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量分别为α1=(1,1,1)T，α2=(1,λ2,λ2^2)T，α2=(1,λ3,λ3^2)T，则矩阵A满足的谱定理条件是 ________。
解析：根据谱定理，对于任意实对称矩阵A，其必定有3个特征值，并且可以通过正交矩阵P对角化，即A=PDP^T。
其中D是对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。
由已知条件，A的特征向量分别为α1=(1,1,1)T，α2=(1,λ2,λ2^2)T，α2=(1,λ3,λ3^2)T。
首先，我们可以通过特征向量求出P矩阵。
将特征向量α1, α2, α3归一化得到P矩阵的列向量，即为：P=[α1/|α1|, α2/|α2|, α3/|α3|]其中，|α|表示向量α的模。
由于α1, α2, α3都是不同的特征向量，它们之间是线性无关的，因此可以得到满秩的P矩阵。
接下来，我们可以构造对角矩阵D。
根据题目已知的特征值，我们可以得到D：D=diag(λ1, λ2, λ3)=diag(1, 2, 3)最后，根据谱定理的公式A=PDP^T，我们可以得到矩阵A满足的谱定理条件为：A=PDP^T将P和D代入上述公式，即可得到矩阵A满足的谱定理条件。
三、题目二解析接下来，我们继续解析2024年考研数学一的线性代数历年真题，下面是题目二的解析。
【题目二】(2024年考研数学一真题)题目：设F是n维欧氏空间，T是线性变换:F→F，T*是T的伴随变换。
证明：T的不变子空间与T*的不变子空间维度相等。
解析：要证明T的不变子空间与T*的不变子空间维度相等，我们可以采用证明维数相等的方法。
经济数学《线性代数》期末试卷五(含答案解析)
《线性代数》试卷五一．选择题（每题3分，共30分）1.已知多项式101111111111111x D ---=----,则D 中的一次项系数是（ ）.A.4B.1C.4-D.1-【解答】由于13x a =，故将D 按照首行展开可得：111314D A xA A =-++，即一次项系数是13x a =的代数余子式13A ，计算可知134A =-，故选C.2.设矩阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭，另有矩阵12010100100, 010001101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则必有（ ） A.12AP P B = B.21AP P B = C.12P P A B =D.21P P A B =【解答】直接计算可知选C.事实上，本题考察了初等变换与矩阵乘法的关系：对矩阵进行初等行变换，等于在其左侧乘以相对应的初等矩阵.本题中，B 可视为由A 经过第一.三行的倍加变换，以及第一.二行的对换变换所得，故B 必等于在A 的左侧乘以相对应的初等矩阵12,P P .3.设A 为m n ⨯矩阵阵，B 为n m ⨯阶方阵,则（ ）.A. 当m n >时，必有行列式0AB ≠.B. 当m n >时，必有行列式0AB =.C. 当n m >时，必有行列式0AB ≠.D. 当n m >时，必有行列式0AB =. 【解答】显然当m n >时，由于A 与B 的秩均小于等于n ，故(),()r A r B m <，进而由“秩越乘越小”的性质，知()min{(),()}r AB r A r B m ≤<，此时必有行列式0AB =，故选B.4.设n 维列向量组12,,,r ααα与同维列向量组12,,,s βββ等价，则（ ）A.r s = B ．1212(,,,)(,,,)r s r r αααβββ=C ．两向量组有相同的线性相关性D ．矩阵[]12,,,r ααα与矩阵 []12,,,s βββ等价【解答】向量组等价则必秩相等.故选B.5.已知A 为57⨯矩阵，且()5r A =，则A 的列向量组（ ）A. 线性相关B. 线性无关C. 线性关系无法判定D. 线性关系和行向量组相同【解答】A 的行秩与列秩显然均为5，由于A 的列向量组共7个向量，故必线性相关.6.设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量,且()3R A =,()()T T1121,2,3,4,0,1,2,3=+=ααα,则线性方程组Ax b =的通解为（ ）A.11213141k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.10213243k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.12233445k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.13243546k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解答】非齐次方程组Ax b =的通解必有形式：特解加上导出组基础解系的线性组合.由()3R A =可知导出组基础解系中仅含有1个向量，显然()()T 11222,3,4,5-+=ααα为导出组的非零解，故可作为基础解系.故选C.7.非齐次方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为r , 则（ ） A.r m =时,方程组Ax b =有解; B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解; C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解; D.r n <时,Ax b =有无穷解.【解答】当r m =时，易知增广矩阵亦为m 行，一方面其秩不超过m ，另一方面其秩不小于系数矩阵A 的秩r m =，故增广矩阵秩为r ，此时方程组有解，故选A.8.若A 与B 相似，则（ ）A.E A E B λλ-=-B.A B =C.对于其相同的特征值，对应的特征向量必亦相同D.A 与B 均相似于同一对角阵【解答】选项A 的反例：0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.令1111P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1P AP B -=，于是A 与B 相似，但显然E A E B λλ-≠-.相似矩阵的行列式必相等，故选项B 正确.9.二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩为2,则a =（ ）. A.0 B.1 C.2 D.3【解答】显然该二次型的矩阵51315333A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭秩为2，故计算可知3a =，故选D.10.二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型,则λ的取值范围是（ ）.A.21λ-<<B.12λ<<C.32λ-<<-D.2λ>【解答】易知该二次型的矩阵为1142124A λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，由A 为正定矩阵知，其各阶顺序主子式都大于零，即10>，21404λλλ=->，且11424(2)(1)0124λλλλ-=-+->-，进而有22λ-<<，且21λ-<<，所以21λ-<<，应选A.二．填空题（每题3分，共18分）1.方程23111112301491827x x x =的全部根是 .【解答】由()()()()()()2311111232131321231491827x x x x x x =------()()()2123x x x =---，可知方程的全部根为1, 2, 3.2.设A 为n 阶矩阵)2(≥n ，*A 为A 的伴随矩阵，则当1)(-=n A R 时，=)(*A R .【解答】关于伴随矩阵的秩，我们由如下结果：*,()()1,()10,()1n R A n R A R A n R A n ⎧=⎪==-⎨⎪<-⎩当时当时当时，于是可知答案为1.3.设12,,,s γγγ为非齐次方程组Ax b =的一组解，且1122s s c c c γ+γ++γ亦为Ax b =的解，则12s c c c +++=【解答】事实上，由()()1122112212s s s s s A c c c c A c A c A c c c b b γ+γ++γ=γ+γ++γ=+++=可知121s c c c +++=。
大一线性代数考试题库及答案解析
大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。
2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。
将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。
二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。
答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。
4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。
答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。
三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。
答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。
6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。
答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。
但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。
四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。
线性代数与解析几何习题讲解
解：反对称矩阵的元素满足：aij aji i, j 1, 2,L , n
则 aii aii i 1, 2,L , n 得 aii 0 i 1, 2,L , n 即主对角线元素a11, a22 ,L , ann全为0。
13 设有n阶行列式D |aij|, 若其元素满足aij =-a ji ,则 称为反对称行列式。试证明：
r2r1 x 2 y
r 3r1
0
0
y x y
0
y
0 (x 2 y)(x y)2
x y
2.证明下列等式：
a bx a b a x
(1)
c dy c d c y
解：根据二阶行列式的定义： a bx
a(d y) c(b x) c dy
ad bc ay cx
ab ax
cd cy
2.证明下列等式： 0b a ab
11 利用行列式的性质计算下列行列式：
x xKx a
0 0Ka x
（6）M M
MM
0 aK0 x
a 0K0 x
解：当a 0时，若n 1,原式 x;
若n 2,原式 x a x2 ax
若n 3，原式=0
当a 0时，
cn
x a
c1
x cn
x a
c
2
M
xK
原式 0 cn
x a
cn1
0
K
(1735246) 1 2 3 4 5 6 +7
031 2110 8
1735246是偶排列，此时，i 3, j 4 i 4, j 3时，1745236是奇排列，不符合要求。
5. 如果排列i1i2 L in的逆序数为m,求排列inin1L i2i1 的逆序数。
线性代数练习题及答案解析(一)
线性代数练习题及答案解析（一）一、行列式1、排列25341的逆序数为 7 ；2、排列643125的逆序数是 9 ；3、方程211123049x x =的根为 2,3 ；（范德蒙行列式） 4、行列式D=162021304---中，元素－3的代数余子式是（ A ）（A ）10 （B ）2 （C ）－10 （D ）－2 考点：代数余子式定义5、(1)三阶行列式det()ij D a =中含有因子1322a a 的项为 132231-a a a ，含有因子1223a a 的项为 122331a a a . 考点：行列式展开式的定义规则(2)四阶行列式det()ij D a =中含有因子1123a a 的项为 12233144a a a a 或12233441-a a a a .6、设n 阶行列式60D =，且D 中的每列的元素之和为6，则D 中的第三行的代数余子式之和为 10 .考点：行列式的性质6，行列式按行（列）展开7、(1)设n 阶行列式det()ij D a =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）. 考点：行列式按自己的行（列）展开等于行列式，如行（列）与代数余子式的行（列）不一致则等于零。
A 、10nijij i aA ==∑；B 、10nijij j aA ==∑； C 、1nijij j aA D ==∑； D 、121ni i i aA D==∑(2)若4阶行列式D 中第2行的元素212223242,1,3,0,a a a a ====余子式212M =,2223241,3,0M M M ===则D= -12 .注意：代数余子式与余子式的区别。
行列式的展开只与代数余子式有关。
(3)若3阶行列式D 中第1行的元素1112133,2,5,a a a ===代数余子式114A =,12131,2,A A =-=则D= 20 .8、行列式112233440000000a b a b b a b a =（ B ）。
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一. 判断题（正确打√，错误打×）1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答：反例：取01=α，02≠α，则2α不能由1α线性表示，但21,αα线性相关.2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答：向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ； 所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×)解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×) 解答：反例：取0,0==≠γβα，则向量组γβα,,只有一个极大无关 组α，但γβα,,线性相关.正确命题：若γβα,,线性无关，则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). （A ） 向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A ）（A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示; （C ）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A ）3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则(B ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;（C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B ）正确. 注意（D ），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312121αα，线性无关，但⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32132121αα，线性相关.4. 下列命题错误的是（ ）（A ）若n 维向量组m ααα,,,21 中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；（B ）若n 维向量组m ααα,,,21 的秩小于m ，则此向量组线性相关； （C ）若n 维向量组12,,,r ααα线性无关，12,,,s βββ也线性无关，则向量组12,,,r ααα，12,,,s βββ的秩为r s +；（D ）任何一组不全为零的数12,,,r k k k 使11220r r k k k ααα+++≠，则向量组12,,,r ααα线性无关.解答：选项（C ）错误. 反例：设1α线性无关，则11βα=线性无关，但11,αβ线性相关，它的秩=1≠1+1.5.已知向量组321,,ααα线性无关, 则下面线性无关的向量组是 (C).(A) 133221,,αααααα---; (B) 133221,,αααααα-++; (C) 133221,,αααααα+++; (D) 2132218-,53,2αααααα+++.解答：(A):0101-1-11-1=; (B) 0101-110011=；(C) ：2101110011=； (D) 0081-053021=.三. 填空题1. 设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα---的秩=r2 .解答：因为011-1-11-1=, 所以133221,,αααααα---线性相关, (或者因为0)()()(133221=-+-+-αααααα, 所以133221,,αααααα---线性相关) 但3221,αααα--线性无关, 所以2=r .(设0)()(322211=-+-ααααk k 则0)(3221211=--+αααk k k k , 因为321,,ααα线性无关, 所以021==k k , 所以3221,αααα-- 线性无关.)2. 已知),1,1,2(),2,0,1,1()0,1,2,1(321a ==-=ααα，, 若由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 则=a 6 .解答：因为由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 而21,αα线性无关, 所以3α可由21,αα唯一线性表示, 所以22113αααk k +=, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+=21212121212k a k k k k k , 解得6=a . 3. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组m ααα,,,21 ，β的秩=1m + .解答：因为m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，所以m ααα,,,21 ，β线性无关，所以秩=1m + .4. 若向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322121αα，与向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 14321ββ，不等价， 则常数=k 34. 解答：如果21ββ，线性无关，则两个向量组等价，所以应该是21ββ， 线性相关，所以34=k .5. 已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量 组γβα,,的极大无关组为γβ,.解答：因为,,γβδ线性无关，所以γβ,线性无关，而γβα,,线性相 关，所以向量组γβα,,的极大无关组为γβ,.四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由. 1． ),,(1z y x =α, ),,(2y z x =α,)2,2,2(3y z x =α； 解答：因为32αα，线性相关，所以321ααα，，线性相关. 2．),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β； 解答：三个四维向量一定线性相关. 3．)3,2,1(1=γ, )3,2,0(2=γ, )2,3,1(3=γ；解答：因为05231320321≠-=，所以线性无关.4．)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ.解答：因为)1,1,1(11=δ，)0,1,1(22=δ, )0,0,1(33=δ线性无关， 所以)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ线性无关. 五．计算题1. 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===，问：（1）t 为何值时，向量组123,,ααα线性无关；（2）t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关，当线性相关时，将3α表示为23,αα的线性组合.解答：（1）向量组123,,ααα线性无关当且仅当111123013t≠，所以5t ≠；（2）向量组123,,ααα线性相关当且仅当111123013t=，即5t =，设31122k k ααα=+，所以12121212335k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1212k k =-⎧⎨=⎩，即3122ααα=-+.2. 设123,,ααα线性无关，问常数,,a b c 满足什么条件时，122331,,a b c αααααα---线性相关.解答：设112223331()()()0k a k b k c αααααα-+-+-=，即131122233()()()0ak k k bk k ck ααα-+-++-+=，因为123,,ααα线性无关，所以131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，当01101001a babc c --=-≠-时，1030k k k ===，当1abc =时，由131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩知12321k bk k k c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以122331,,a b c αααααα---线性相关当且仅当1abc =.六．证明题1.设向量组m ααα,,,21 中任意向量i α都不能由121,,,i ααα-线性表示，且10α≠，证明m ααα,,,21 线性无关.证明 因为10α≠，2α不能由1α线性表示，所以1α也不能由2α线性表示（如果120k αα=≠，则0k ≠，所以2α能由1α线性表示，矛盾），所以12,αα线性无关，而3α不能由12,αα线性表示，所以123,,ααα线性无关，以此类推，由于m 有限，所以m ααα,,,21 线性无关.2.已知向量组（Ⅰ）123,,ααα，（Ⅱ）1234,,,αααα，（Ⅲ）1235,,,αααα 如果，()4r III =，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证明 因为()4r III =，所以1235,,,αααα线性无关，所以123,,ααα线性无关，且5α不能由123,,ααα线性表示，而()3r II =，所以4α可由123,,ααα线性表示，所以54αα-不能由123,,ααα线性表示，所以12354,,,ααααα-的秩为4.3．已知⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ,证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.证明： 因为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ，所以321,,βββ可由321,,ααα线性表示，又因为01321100111321211111≠-==，所以321,,ααα也可由321,,βββ线性表示（或者直接由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-+=2133212321122ββαβββαβββα）.4.已知向量组,21αα+,32αα+13αα+线性无关，证明向量组321ααα,, 也线性无关.证明：记⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=313322211ααβααβααβ，那么321,,βββ可由321,,ααα线性表示，又因为02101110011≠=，所以321,,ααα可由321,,βββ线性表示，所以两个向量组等价，从而秩相等，而321,,βββ线性无关，所以321,,ααα线性无关. （如果要解出321,,ααα的话，可以这样做：∑∑=iiαβ2，所以2211ββα-=∑j ，3212ββα-=∑j ，1213ββα-=∑j ）5. 设n 维向量组（1）:s ααα,,,21 的秩为1r ；（2）：s βββ,,,21 的秩为2r ；（3）：s s βαβαβα+++,,,2211 的秩为3r .证明321r r r ≥+.证明： 不妨设1,,,21r ααα 是s ααα,,,21 的一个无关组，2,,,21r βββ 是s βββ,,,21 的一个无关组，则s s βαβαβα+++,,,2211 可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示，所以s s βαβαβα+++,,,2211 的无关组可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示，所以321r r r ≥+.6．已知2≥s 且s ααα,,,21 线性无关, s αααβ+++= 21.证明向量组s αβαβαβ---,,,21 线性无关. 证明： 记s αααγ+++= 321， s αααγ+++= 312 131-+++=s s αααγ因为0)1)(1(011111101≠--=-s s，所以s γγγ,,,21 可由s ααα,,,21 线性表示，二者等价，秩相等，所以s γγγ,,,21 线性无关.7．若向量组s ααα,,,21 线性相关，证明对任意的实数s k k k ,,,21 ， 向量组s s k k k ααα,,,2211 也线性相关.证明 如果s k k k ,,,21 中至少有一个为零，则s s k k k ααα,,,2211 线性相关.下面假设s k k k ,,,21 全不为零. 因为s ααα,,,21 线性相关，所以存在不全为零的数s λλλ,,,21 使得02211=+++s s αλαλαλ ，所以0)()()(22221111=+++s s ssk k k k k k αλαλαλ ，由于sλλλ,,,21 不全为零，所以ss k k k λλλ，，， 2211不全为零，所以向量组s s k k k ααα,,,2211 线性相关.。