第三章 流体运动学

为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。
设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a, b, c ) 。当赋予(a, b, c ) 为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 ( x, y, z ) ，又与时间 t 有关。
所以质点在空间的坐标 ( x, y, z ) 可以表示为起始坐标 (a, b, c )
和时间 t 的函数，即：
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) z z (a，b，c，t )
( 3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质
（2） 欧拉法 欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察
不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流
动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。 欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐
标（x，y，z）和时间 t
的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固
（3）拉格朗日变数和欧拉变数的相互转换 （略）。
3.1.2
欧拉法中流体运动的基本概念
在研究流体运动时，为了便于分析，常根据流体流动的 性质和特点，将流体的运动区分为各种类型。 （1） 流体的恒定流与非恒定流 恒定流 ：流场中所有空间点上一切运动要素（如流速向量、 压强、密度等等）均不随时间变化 ，即
u u( x, y, z, t ) u 0 t
p p( x, y, z, t )
p 0 t
( x, y, z , t )
0 t
恒定流
非恒定流
（2） 迹线与流线 1、迹线
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属拉格朗日法的研究内容
定义：流场中某一流体质点的运动轨迹。它是单个质点在运
根据矢量的点积公式，上式可写为
( 3.8)
du u a ( u )u dt t ( u )u t ( 3.9)
式中 i j k 为哈密尔顿算子。 x y z
质点加速度：
du u a ( u )u dt t
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质
点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨
迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的
困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。
所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
定义：表示流速场内某瞬时流速方向的曲线。在同一时刻，流 线上各空间点的流体质点的流速方向均与该曲线相切。 强调的是空间连续质点 而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不
是一段连续时间内
表示的是质点的速度方
向而不是空间位置连线
流线的几个性质：
① 流线是一条光滑的连续曲线，不能是折线 。
② 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，流线不能相交 和分支。 ③ 在恒定流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非恒定流动中，由于各空间点上速度随时间变化，
点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这
一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。 对于某个确定的时刻，t 为 常数， a、b、c为变量，x、y、
z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
u u( x, y, z )
u 0 t
p p( x, y, z )
p 0 t
( x, y, z )
0 t
加速度
u a ( u )u t
等于零
对于恒定流，当地加速度等于零，只存在迁移加速度。 不满足恒定流的条件即为非恒定流：
dux ux ux ux ux ax ux uy uz dt t x y z
duy u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z
（3.10）
duz uz uz uz uz az ux uy uz dt t x y z
迁移加速度
当地加速度
第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的，称为当地加速度（或称局部加速度），或称
为时变加速度（定位加速度）。它表示在固定空间点处，流
体质点由于速度随时间变化而引起的加速度，这是由流场的 非恒定性引起的，也就是非恒定性所给予流体质点的速度变 化率；
第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速 度 u 可表示为：

u u( x, y, z, t )
ux ux ( x , y , z , t ) uy uy ( x, y, z, t ) u u ( x, y, z, t ) z z
动过程中所占据的空间位置随时间连续变化的轨迹。
迹 线 微 分 方 程
dx ux dt （t 为自变量， dy uy x, y, z 为t dt 的函数 ） dz uz dt
dx dy dz dt ux u y uz
2、流线
属欧拉法的研究内容
流线的形状和位置是在不停地变化的。
流线微分方程 速度矢量
u ux i u y j uz k
ds dxi dyj dzk
通过该点流线上的微元线段
速度与流线相切
i j k u ds ux u y uz 0 dx dy dz
x 0, t 0 m 0 x at
t y b n 2 2 t y 0, t 0 n 0 y b 2
dy dt bt
y
2
b 2 y 2 x ——迹线方程（抛物线） 2a
谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过
该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u( x, y, z, t ) ，在研究 t 时刻某一
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点， 在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。 因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。


du u u dx u dy u dz a dt t x dt y dt z dt
又因为
dx dy dz ux , uy , uz dt dt dt
所以
d u u u u u a ux uy uz dt t x y z
表示成各分量形式：
( 3.4)
在x， 式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。 ux , u y , uz 分别是速度 u y，z上的分量。
写成矢量形式：
u ux i u y j uz k
( 3.5)
同理，在欧拉法中，密度ρ 、压强 p也可以表示为欧拉变 量的函数：
( x, y, z, t )
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。 流 场：充满运动流体的空间。 流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续 介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度
和加速度：
速度表达式
x(a , b, c , t ) u x u x ( a , b, c , t ) t y(a , b, c , t ) u y u y ( a , b, c , t ) t z(a , b, c , t ) uz uz (a , b, c , t ) t
欧拉法。
3.1.1
（1）
拉格朗日法和欧拉法
Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。 这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
u x d y u y dx 0 u y d z u z dy 0 u z dx u x dz 0
（3.21）
dx dy dz ux u y uz
【例3.1】速度场ux=a，uy=bt，uz=0（a、b为常数）
求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图；
（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。
化而产生的，称为迁移加速度（对流加速度），或称为位 变加速度（变位加速度）。它表示在同一时刻，因空间不 同点处流体质点由于速度不同而引起的加速度，即由流场 的不均匀性引起的，也就是流场非均匀性给予流体质点的
速度变化率。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
a 流体质点加速度 在坐标轴上的分量，即式（3.9）可写为：
dx dy 【解】（1）流线： ux u y
积分：
y
dx dy a bt
——流线方程
y c=2 c=1 c=0
bt y xc a
y c=2 c=1 c=0 o
o
c=2 c=1 c=0 x
x
o
x
t=2时流线
t=0时流线
t=1时流线
（2）迹线
dx dy dt a bt
dx dt x at m 即 a
（3.2）
ux 2 x(a , b, c, t ) ax t t 2
加速度表达式
u y 2 y ( a , b , c , t ) ay t t 2
（3.3）
uz 2 z(a , b, c, t ) az t t 2
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。 同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写 成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
p p( x , y , z , t )
( 3.6) ( 3.7)
在式（3.4）中，当 t 为常数，x，y，z 为变数，式（3.4）
表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即
流体运动的流速场。 当 x，y，z 为常数， t 为变数，式（3.4）表示某一固定空 间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。 欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理 意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所