向量积的坐标运算及度量公式

向量数量积的 坐标运算与度量公式
一.复习回顾：
r
r
1.已知a
rr
a1,
a2
,
b
b1,
b2
,
则
a r
b r
a1
b1,
a2
b2
a b a1 b1, a2 b2
r
a a1, a2
2. (1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a a a；
a b a b 0; cos a b .
2
(1)a a a 或 a a a；
(1)向量的模
2
设a (x, y), 则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
3.向量的长度、距离、夹角公式
设a与b的夹角为（0 180），
ur r ①m n=0
ur r ur r
②
x x =-y y
12
12
③ m+n m-n
ur r ④ m+n
ur 2 r 2 m n
知识反馈
例3 已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、 D(3，5). （1）求证：四边形ABCD是直角梯形； （2）求∠DAB的大小.
(1) 证明： AB = (1 – (-1), 1 – 3) y
=
AD·AB |AD||AB|
=
4 2√5 ·2√2
∴∠DAB = arccos√1100 .
=√10 ,
10
四.逆向及综合运用
例3 （1）已知 a=（4，3），向量 b 是
垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 ,b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
答案：（1）b (3 , 4)或b ( 3 , 4).
r
r
建立正交基底 e1, e2 ,已知a a1, a2 ,b b1,b2 ,
rr
则arb ？ur uur r ur uur
Q
a
r
r
a1e1
ur
a2
e2uur,
b
ur
b1
e1uur
b2
e2
a b a1e1 a2 e2 b1e1 b2 e2
ur ur
ur uur uur ur
uur uur
巩固提高：
课本112页思考与讨论：
二.探究新知:
1.平面向量的数量积能否用坐标表示？
r
r
2.已知两个非零向量a rr
ra1r,
a2
,
b
b1,
b2
,
怎样用a和b的坐标表示a b呢？
3.怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直
的条件？
4.能否根据所学知识推导出向量的长度、距
离和夹角公式？
3.向量的长度、距离、夹角公式
则cos a b
ab
设a （x1, y1), b (x2, y2 ),且a与b夹角为，
(0 180)则cos
x1x2 y1 y2
.
x12 y12 x22 y22
其中 x12 y12 0，x22 y22 0.
变式1：(2) 已知a (2,3), b (2,4),
则（a b）（ a b）
ab
二.探究新知:
1.平面向量的数量积能否用坐标表示？
r
r
2.已知两个非零向量a rr
ra1r,
a2
,
b
b1,
b2
,
怎样用a和b的坐标表示a b呢？
3.怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直
的条件？
4.能否根据所学知识推导出向量的长度、距
离和夹角公式？
三.新课讲授:
1.向量内积的坐标运算
ur uur
练习A.2.3.
x 0
课堂r 练习：r
1.若a 2， 3，b
x,
2x
,
r 且a
r b
4
,
B 则x等于____
3
A. 3 B. 1 C. 1 D.-3
D r
3r
3 rr
2.设a 1, 2,b 1, m,若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是 ___
A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1
rr
直
因此：a b a1b1 a2b2 0
当b1b2
0时，条件a1b1 rr
a2b2
0，可以写成 a1 b2
a2 b1
k
即：如果a b,向量a1,a2 与b2,b1平行。k为比例系数
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直 例如：向量3,4与向量4,3,8,6,12, 9…垂直
55
55
答（案2）：（（12），b2 2(）3 ,或 4（)或b 2，(23 ,24）). ；（3）k 5.
55
55
（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
五。探索与研究
uuur
uuur
uuur
已知OP 2,1,OA 1,7,OB 5,1,设C是直线OP上的一点
（O为原点），
y A(a1,a2)
即:
rr
B(b1,b2)
a
a b a1b1 a2b2
bj
oi x
所以，根据平面向量数量积的坐标表示， 向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
二.探究新知:
1.平面向量的数量积能否用坐标表示？
r
r
2.已知两个非零向量a rr
ra1r,
a2
,
b
b1,
b2
,
怎样用a和b的坐标表示a b呢？
A
C
（2）解：AD = (3 – (-1), 5 – 3) = (4, 2),
|AB| = √(1 – (-1))2 + (1 – 3)2 = 2√2 ,
B
x
|AD| = √(3 – (-1))2 + (5 – 3)2 = 2√5 ,
AD·AB = 4×2 + 2× (-2) = 4,
cos∠DAB
D
= (2, -2),
A
C
DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1),
BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3).
B x
∵ AB = 2DC, ∴ AB//DC.
∵ AB·BC = 2×3 +(-2) ×3 = 0,
∴ AB⊥BC.
又∵ AB≠DC,
y D
∴ ABCD是直角梯形.
uuur uuur
uuur
1 求使CA CB取到最小值时的OC;
2对1中求出的点C，求cos ACB.
知识小结：
１、各公式的正向及逆向运用；
２、数量积的运算转化为向量的 坐标运算； ３、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式，形成转化技能。
作业： 《成才之路》101页 11题 102页 13题
提高练习
3.怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直
的条件？
4.能否根据所学知识推导出向量的长度、距
离和夹角公式？
2.两向量垂直和平行的条件
r
r
设a
源自文库
a1,
a2
,
b
r
b1r,
b2
，
平行
1 若a
/
/b, 则a1b2
a2b1
r
0, r
反之若a1b2 a2b1 0,则a / /b
r r rr
rr
rr
垂
2.若a b,则a b 0;反之，若a b 0，则a b.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
证明: AB (2 1,3 2) (1,1)
y AC (2 1,5 2) (3,3) C(-2,5)
AB AC 1 (3) 1 3 0
AB AC
三角形ABC 是直角三角形.
B(2,3) A(1,2)
A 2
2 uuur
2uuur
2
3.在ABC中，C=90o，AB k,1, AC 2,3,则k的值是_____
A. 5 B. 5
C. 3
D. 3
ur r
2 ur
2r
式4.设中m与、nmu是r 两nr个等非价零的向是量__，①__且_②m ③ x1④, y1 , n x2, y2 ，则以下关系
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB， BC AB，则点C的坐标为 C(3, 29)
3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
.
法一：a b (0,7), a b (4,1)
（a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
法二：（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
22
a b 13 20 7
练习A 1(4). A 3.
变式2：
已知A 1, 2, B 3, 4,C 5,0,求BAC的正弦值
sin BAC 3 10 10
ur ura1b1ueur1 eu1ur a1b2 e1 eu2r uaur2b1e2uur e1ur a2b2 e2 e2
Q e1 e1 e2 e2 1, e1 e2 e2 e1 0
我们得r到数r 量积的坐标表达式 a b a1b1 a2b2
结论：两个向量的数量积等于它们
对应坐标的乘积的和。