2018届云南省昆明市高三摸底调研测试理科数学试题

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云南省昆明一中2018届高三考前适应性训练数学(理)试卷及答案

云南省昆明第一中学2018届高三第八次月考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln A x y x ==，集合{}xB y y e==，则集合A 与B 的关系是（）A ． AB = B ．A B ≠⊂ C ．B A ≠⊂ D ．A B ∈2.在复平面内，复数z 与复数103i+对应的点关于实轴对称，则z =（） A ．3i + B ．3i - C ．3i -+ D ．3i --3.某班有50人，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()110,100N ．已知()1001100.34P x <≤=，估计该班本次考试学生数学成绩在120分以上的有（） A ．5人 B ．6人 C ．7人 D ．8人4. ()62111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（） A ．14- B ．14 C. 15 D ．305.已知点F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，O 为坐标原点，若以F 为圆心，FO 为半径的330x y -+=相切，则抛物线C 的方程为（）A ． 22x y = B ．24x y = C. 26x y = D ．28x y =6.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，若图中在点,A D 处()f x 取得极大值，在点,B C 处()f x 取得极小值，且四边形ABCD 的面积为32，则ω的值是（） A ．18 B ．14 C. 8π D ．4π7.已知函数()f x x =，函数()2g x x =-，执行如图所示的程序框图，若输入的[]3,3x ∈-，则输出m 的值为()g x 的函数值的概率为（） A ．16 B ．14 C. 13 D ．128.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11,,*,2n n n S S S n N n -+∈≥构成等差数列，且122,4a a =-=-，则6a =（） A ． 64- B ．32- C. 16 D ． 649.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 是双曲线C 底面右顶点，点M 是双曲线C 上一点，MA 平分12F MF ∠，且12:2:1MF MF =，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3 C. 2 D ．310.过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与直线1AC 垂直，且平面α与平面11ABB A 的交线为直线l ，平面α与平面11ADD A 的交线为直线m ，则直线l 与直线m 所成角的大小为（）A ．6π B ．4π C. 3π D ．2π11.已知ABC ∆的面积为6，4cos 5A =-，P 为线段BC 上一点，2BP PC =u u u r u u u r ，点P 在线段,AB AC上的投影分别为,Q R ，则PQR ∆的面积为（） A ．625 B ．1225 C. 3225 D ．362512.已知定义在()0,+∞上的函数()()222,6ln 4f x x m h x n x nx =-=-，其中0n >，设两曲线()y f x =与()y h x =有公共点，且在公共点处的切线相同，则mn的最大值为（） A ．163e -B ．133e -C. 1332e D ．2313e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若,x y 满足约束条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≤⎩，则函数2z x y =+的最小值为．14.在数列{}n a 中，112a =，且()11*2n n a n N a +=∈-，设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，则100T = ．15.定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是．16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点Q 是1BDC ∆内的动点，若1PQ BC ⊥，则点Q 到平面1111A B C D 的距离的范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-u r r ，且2cos p q C ⋅=u r r（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c a b =+=ABC ∆中边上的高h .18.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：（Ⅰ）根据以上22⨯列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X 的分布列及数学期望.参考公式：()()()()()22=n ad bc a b c d a c b d κ-++++，其中=n a b c d +++参考数据：()0P K k ≥0.05 0,。

云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题理2017110201121

云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x11.已知集合，集合，则（）A{x0}B{x N1x5}A Bx3A．{0,1,3,4,5}B．{0,1,4,5}C．{1,4,5}D．{1,3,4,5}2.如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）11A．B．C．D．42841z3.已知（其中是虚数单位），则（）i i1z1zA．1 B．0 C．2D．24.设函数f(x)x1x a的图象关于直线x1对称，则a的值为（）A．3 B．2 C. 1 D．-15.二项式(x x1)5展开式中的常数项为（）xA．10 B．-10 C. 5 D．-56.设数列{a}的前n项和为S，若2,S,3a成等差数列，则S的值是（）n n n n5A．-243 B．-242 C.-162 D．2437.执行如图所示的程序框图，若输出n的值为9，则判断框中可填入（）1A．S45?B．S36? C. S45?D．S55?8.设x,y为正数，且3x4y，当3x py时，p的值为（）A．B． C. D．log4log36log2log234339.一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，这个几何体的表面积为（）A．1643B．1645 C. 2043D．204510.已知函数f(x)sin(x)sin(x)（0），且f()0，当取最小值时，623以下命题中假命题是（）A．函数f(x)的图象关于直线x对称12B．是函数的一个零点6C. 函数f(x)的图象可由g(x)3sin2x的图象向左平移个单位得到32D．函数f(x)在[0,]上是增函数1211.已知抛物线C:y24x的焦点为F，准线为l，点A l，线段AF交抛物线C于点B，若FA3FB，则AF（）A．3 B．4 C.6 D．712.已知数列{a}的前n项和为S，且，S 14a2，则数列{a}中的a为a12n n n n n12（）A．20480 B．49152 C. 60152 D．89150第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a(2,1)，a b10，a b52，则b．x3y3014.若实数x,y满足不等式组2x y30，则x y的最大值为．x y115.已知双曲线C的中心为坐标原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，过点F作渐近线的垂线l，垂足为M，直线l交y轴于点E，若FM3ME，则双曲线C的方程为．16.体积为183的正三棱锥A BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R:BC2:3，点E为线段BD的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且a2c23ac b2，3a2b （1）求3a2b的值；（2）若b6，求ABC的面积.18. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为ABC A B C BAC900AB AC2M,N111A1C1,AB1的中点.3（1）证明：MN//平面BB C C；11（2）若CM MN，求二面角M CN A的余弦值.19. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N(69,49)，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校50名学生成绩的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；（3）现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：若X~N(,2)，则p(X)0.6826，p(2X2)0.9544p(3X3)0.997420. 已知动点M(x,y)满足：(x1)2y2(x1)2y222.4（1）求动点 M 的轨迹 E 的方程；（2）设过点 N (1, 0) 的直线l 与曲线 E 交于 A , B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为C （点C与点 B 不重合），证明：直线 BC 恒过定点，并求该定点的坐标.a21. 已知函数 f (x )e x ， g (x ) x 2x ，（其中 a R ， e 为自然对数的底数，2e 2.71828……）.（1）令 h (x )f (x )g ' (x ) ，若h (x )0对任意的 x R 恒成立，求实数 a 的值；nim（2）在（1）的条件下，设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，( )m ，求的最小值.nni 1请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程极坐标系中，O 为极点，半径为 2的圆C 的圆心坐标为 (2, ) .6（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设直角坐标系的原点与极点O 重合， x 轴非负关轴与极轴重合，直线l 的参数方程为1 x t2 3y t 82（为参数），由直线上的点向圆引切线，求线线长的最小值.t l C23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x )x 2 x 3 .（1）求不等式 f (x ) 3的解集；（2）若不等式 f (x )a 26a 解集非空，求实数 a 的取值范围.5昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师杨昆华李文清孙思应梁云虹王在方卢碧如凹婷波吕文芬陈泳序一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C C A B B A C D C B B1.解析：集合A,1U3,，B0,1,2,3,4,5，所以A I B0,1,4,5，选B.2.解析：设正方形边长为2，则圆半径为1.此时正方形面积为224.图中黑色部分面积为2.则此点取自黑色部分的概率为2，选C.481izi3.解析：因为1i ，所以1z 2，选C.4.解析：12a1所以a 3，选A.r15511555r r r5.解析：通项T C x x C x221r 0，所以r 3，所以常，令r rr155x22数项为C5110，选B.336.解析：据题意得223a12；当n 2时，Sa，当n 1时，2S 23a，所以n n113333a S S a a a a ，即11n n n1n n1n n1222213aa a ，即3n 2，所以nn n122an1数列a是首项a ，公比q 3的等比数列，S5，所以12 n a 1q52135 2421q 13选B.7.解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S 12L 945，选A.8.解析：可令3x 4y t，则x log t，3y log t，由3x py 得4p3log t3log43，选C.t3log46l og233log t log34t19.解析：将三视图还原可得下图，所以S 5224252045，选D. 263310. 解析：f xxxxsin cos 3 sin2 23得，由f ( ) 0 3Z，即 3k 1，由 0 知的最小值是 2，当取得最小值时，kk3 33sin2f xx.由 f3 sin 2 3 sin 33 1212 32可得出：函数 f (x )的图象关于直线 x对称，A 为真； 12由 f3 sin 2 066 3可得出： x是函数 f (x ) 的一个零点，B 为真； 6将函数 g x 3 sin 2x 的图象向左平移6个单位得到3sin2f xx 的图象，所以3 C 为假；由复合函数单调性可得 f (x ) 在 0,上是增函数，所以 D 为真，选C.1211.解析：由已知B为AF的三等分点，作BH l于H（如图），则24BHFK，所以33BF BH 43，所以AF 3BF 4，选B.12.解析：由S a有2412a a a ，解得12412a ，故28a22a14，又aSSaa，于是aaaa ，因此数列aa是以n n n n n n n n n n n 221414221212127a 2 2a 14 为首项，公比为 2 的等比数列.得 1 24 2 1 2 1a a，于是nnnnaan 1n11， 22nn因此数列aanan.是以1为首项，1为公差的等差数列，解得1 1nnn ，2n22nnn所以 a 1249152 ，选 B.二、填空题13. 解析：因为 a b 5 2 ，所以2a b50 ，即2 2 2a b a b5 b20 50 250 ，所以所以 b 5 .14. 解析：如图， x y 在点 A (4, 5) 处取得最大值9 .15. 解析：设双曲线C 的方程为：xy2 2221 ，由已知得： FM b ，所以 a b24b 4 3， a 2b而 a 2 4 b 2 ，所以b 2 3 ， a 2 1，所以双曲线C 的方程：y2x 21 316. 设 BC 3k ，则 R 2k k0，因为体积为18 3 的正三棱锥 A BCD 的每个顶点都在半13径为R的球O的球面上，所以9k2h 18 3，得34h24.由2R2h R3k，2 k2得k 2或k 324（舍），所以R 4.由题意知点E为线段BD的中点，从而在△ODB中，OD OB 4，DB 6，解得OE 1697.所以当截面垂直于OE时，截面圆的半径为1673，故截面圆面积最小值为9.三、解答题17.解：（Ⅰ）由cos Ba2c2b23ac3得出：2ac2ac2B，6由3a 2b及正弦定理可得出：3sin A 2sin B，所以sin2sin1A，3638再由3a2b 知 a b ，所以 A 为锐角， cos1 12 2 A， 9 3所以sinsinsin sin coscos sin CA BA BA BA B3 226（Ⅱ）由b 6 及3a 2b 可得出 a 4 ，113 2 2所以Sab sin C46 2 3 2 2 . 2 2 618. 解：（Ⅰ）证明：连接 A B ， BC 1 ，点 M ， N 分别为 A 1C 1 ，A 1B 1的中点，所以 MN 为△ A BC 的一条中位线， MN //BC ，111MN平面 BB C C ， 1 1BC平面1BB C C ，1 1所以 MN // 平面 BB C C .1 12a 2 a 2 4 8（Ⅱ）设 AA 1 a ，则1 MN 1，CM， 2a24420CN5 ， 2a 2a 244由CMMN ，得CM 2MN 2CN 2 ，解得 a 2 ，由题意以点 A 为坐标原点， AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，AA 为 z 轴建立空间直角坐标系.12可得 A (0,0,0) ，C (0, 2,0) ， N (1,0, ) ， M (0,1, 2) ，22 2 1 0故 AN （，，）， AC （0，2，0）， CN （1， 2，）， CM (0,1, 2），2 2 设 m （x ，y ，z ）为平面 ANC 的一个法向量，则 m m A C AN0 0，得 m （1，0，2），同理可得平面 MNC 的一个法向量为 n （3，2，2），设二面角 MCNA 的平面角为，cos m,n mnmn332155，15cos cos m,n5，15所以，二面角M CN A的余弦值为515.919.解：（Ⅰ）x450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2（Ⅱ）0.0080.012105010.10.9974（Ⅲ）P3X3=0.9974，则P X900.0013.20.00132000026.所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上.上述50名考生成绩中90分以上的有0.08504人.随机变量X0,1,2.于是C12X6， P0==C3210C C811P X1==，64C15210C22P X2==.4C15210X的分布列：X012P 13815215182 4E X012.315155数学期望20.解：（Ⅰ）由已知，动点M到点P (1,0)，Q(1,0)的距离之和为22，且PQ 22，所以动点M的轨迹为椭圆，而a 2，c 1，所以b 1，所以，动点M的轨迹E的方程：x22y21.（Ⅱ）设A(x,y)，B(x,y)，则C(x ,y)，由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直11221110线l 的方程为： y k (x 1)y k (x 1)由2xy 122 得 (1 2k 2 )x 2 4k 2 x 2k 220，所以4k2xx12212k，2k 22x x1 2212k ，y yy y x yx y直线 BC 的方程为：21() y xy yx x ，所以211 22 122xxxxxx212121 ，x y x y2kx x k (xx ) 2x x(xx )令 y 0 ，则 x 1 22 11 2121 2122yyk (x x ) 2k(xx ) 2211 212，所以直线 BC 与 x 轴交于定点 D (2, 0) . 21. 解：（Ⅰ）因为 g (x )ax1所以 h (x ) e x ax1，由 h (x )0对任意的 xR 恒成立，即 h x ，( ) 0min由 h (x ) e x a ，（1）当 a 0 时， h (x ) e x a0 ， h (x )的单调递增区间为,，所以 x(,0) 时， h (x ) h (0) 0 ，所以不满足题意. （2）当 a 0 时，由 h(x ) e x a0 ，得 x ln axa 时， h (x ) 0 ， x (ln a,) 时， h (x ) 0 ，( ,ln )所以 h (x ) 在区间(,ln a ) 上单调递减，在区间 (ln a ,) 上单调递增，所以h(x)的最小值为h(ln a)a a ln a1.设(a)a a ln a1，所以(a)0，①因为(a)ln a令(a)ln a0得a1，所以(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减，所以(a)(1)0，②11由①②得(a)0，则a 1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知e x x10，即1x e x，令xk kk （n N*，k0,1,2,,n1）则01 e，n n nkk所以(1)n(e n)n e k，nni12n1n所以()n()n()n()n()n e(n1)e(n2)e2e11 n n n nn i11e1e1n12，1e1e e1e111ni，所以()2nni1又(1)3(2)3(3)3 1，333所以m的最小值为2.第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：（Ⅰ）设M(,)是圆上任意一点，如图，连接OC，并延长与圆C交于点A，当点M异于O，A时，连接OM、MA，直角△MOA中，OM OA cos MOA，即4cos4cos()，66当点M与O，A重合时，也满足上式，所求圆C的极坐标方程为4cos().6（Ⅱ）直线l的普通方程为3x y80，圆心C(3,1)到直线l的距离为d，3318d3r，所以直线l与圆C相离，2故切线长的最小值为32225.23.解：（Ⅰ）由f(x)x2x33可化为：12xx 3 3 2或 x 2 x 3 3 x 2 x 3 3x 2或x 2 x 3 3 解得：x或 2 x 2 或 x2 ，所以，不等式解集为2,.（Ⅱ）因为 f (x )x 2x 3(x 2) (x 3)5所以 5 f (x ) 5，即 f (x ) 的最小值为 5 ，要不等式 f (x ) a 2 6a 解集非空，需 f (x )a 2 6a ，min从而 a 26a 5 0 ，解得 a1或 a 5 ，所以 a的取值范围为,1U5,.13昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师杨昆华李文清孙思应梁云虹王在方卢碧如凹婷波吕文芬陈泳序一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112答案BCCA B BA CDCB B 24. 解析：集合 A,1U3,， B0,1, 2, 3, 4, 5，所以 A I B0,1, 4, 5，选 B.25. 解析：设正方形边长为 2 ，则圆半径为 1.此时正方形面积为 2 2 4 .图中黑色部分面积为 2 .则此点取自黑色部分的概率为 2 ，选 C.4 81 iz i26. 解析：因为1 i，所以 1 z 2 ，选 C. 27. 解析：12 a1 所以 a 3 ，选 A.r15 55r1 r r15 528. 解析：通项TC x xC xr0 ，所以 r3 ，所以常1 ，令rr2 2 r 155x22数项为C，选 B.33511029. 解析：据题意得 22 3 12Sa ，当 n1时， 2S2 3a ，所以 a；当 n 2 时，nn113 3 3 3 a S Saaaa ，即1 1nnn 1nn 1n n 122 2 21 3 a a a ，即 3 n2，所以nnn 122an 1数列S5，a是首项a ，公比q 3的等比数列，所以12n a 1q 21355 24211q 13选B.30.解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算S 12L 945，选A.31.解析：可令3x 4y t，则x logt，3y log t，由3x py得4p3log t3log43，选C.t3log46l og233log t log34t132.解析：将三视图还原可得右图，所以S 5224252142045，选D.3333.解析：f x sin x cos x3sin x223得，由f()03Z，即3k 1，由0知的最小值是2，当取得最小值时，kk333sin2f x x.由f3sin23sin33121232可得出：函数f(x)的图象关于直线x对称，A为真；12由f3sin20663可得出：x是函数f(x)的一个零点，B为真；6将函数g x 3sin2x的图象向左平移6个单位得到3sin2f x x的图象，所以3C为假；由复合函数单调性可得f(x)在0,12上是增函数，所以D为真，选C.A4334.解析：由已知B为AF的三等分点，作BH l于H（如图），则BH FK ，所以424BF BH333，所以AF 3BF 4，选B.H21B35. 解析：由 Sa 有 28 24 1 2 124 1 2 a，故aa a ，解得a 22a 1 4 ，K22O F又2 21 4 1 4 a2 2a 1 2 a12a ，因此aSS a a ，于是nnnnnnnnn1数列aa 是以，12a 2 2a 14 为首项，公比为 2 的等比数列.得n 1 n 1 aannn n12 4 2 2aa于是 11，因此数列nn22nnan2n 是以 1为首项， 1为公差的等差数列，解得a nn21 n1n ， an 2n .所以na ，选B.1249152二、填空题36. 解析：因为 a b 5 2 ，所以2a b50 ，即2 2 2a b2ab 505 b20 50 ，所以所以 b 5 .37. 解析：如图， x y 在点 A (4, 5) 处取得最大值9 .x -y +1=0yxy2 2 221，由已知得： FMb ，所abx +3y-3=0 32 12x-y -3=038. 解析：设双曲线 C 的方程为：–6 –5 –4 –3 –2 O–1–11 x23456–2 –315以24b4 ，而 3 a 2 ba 24 b 2 ，所以b 23 ， a 2 1，所以双曲线C 的方程：y2x 21 339. 设 BC 3k ，则 R 2kk0，因为体积为18 3 的正三棱锥 A BCD 的每个顶点都在半1 3径为 R 的球O 的球面上，所以 9k 2h18 3 ，得 34h24R 2h R3k ，.由22k2得 k 2 或 k 3 24 （舍），所以 R 4 .由题意知点 E 为线段 BD 的中点，从而在△ODB 中，OD OB ， DB 6 ，解得OE 16 9 7 .所以当截面垂直于OE 时，截面圆的半径4为 16 73，故截面圆面积最小值为9 .三、解答题 40. 解：（Ⅰ）由cos Ba 2 c 2b 2 3ac 3得出： 2ac 2ac 2B， (2)分 6由3a 2b 及正弦定理可得出：3sin A 2sin B ，所以 21sin A sin ，………4分3 6 3 再由3a2b 知 a b ，所以 A 为锐角， cos1 12 2 A， ………6分9 3所以 sinsinsin sin coscos sin CA BA BA BAB3 26………8分（Ⅱ）由b 6 及3a 2b 可得出 a 4 ，所以113 2 2S ab sin C462 3 2 2 .2 2 6………12分41. 解：（Ⅰ）证明：连接 A B ， BC 1 ，点 M ， N 分别为 A 1C 1 ，A 1B1的中点，所以 MN 为△ A BC 的一条中位线， MN //BC ，111MN平面 BB C C ， 1 1BC平面1BB C C ，1 1所以 MN // 平面 BB C C .………6分1 1162a 2a 2 4 8（Ⅱ）设 AA 1a ，则1CM， MN 1，2a244220CN5 ， 2a a 244由CMMN ，得CM 2 MN 2 CN 2 ，解得 a 2 ，由题意以点 A 为坐标原点， AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，AA 为 z 轴建立空间直角坐标系.12可得 A (0,0,0) ，C (0, 2,0) ， N (1,0, ) ， M (0,1, 2) ，22 2故 AN （，，）， AC （0，2，0）， CN （1， 2，）， CM (0,1, 2），1 02 2 设 m （x ，y ，z ）为平面 ANC 的一个法向量，则m m A C AN0 0，得 m （1，0，2），同理可得平面 MNC 的一个法向量为 n （3，2，2），设二面角 M CNA 的平面角为，cos m , nmnmn3 3 0 2 15 5，15cos cos m , n5，15所以，二面角 M CNA 的余弦值为5 15. ………12分42. 解：（ Ⅰ ）x 45 0.08 55 0.2 65 0.32 75 0.2 85 0.12 95 0.08 68.2 ………4分（Ⅱ） 0.008 0.012105010 .………6分1 0.9974（Ⅲ）P 3 X3=0.9974 ，则P X 900.0013 .2 0.0013 20000 26 .所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上.上述50名考生成绩中90分以上的有0.08504人.随机变量X0,1,2.于是C126， P X0==C321017C C118， P X1=64=C15210C224.P X2==C15210X的分布列：X012P138152151824数学期望E X12. ………12分31515543.解：（Ⅰ）由已知，动点M到点P (1,0)，Q(1,0)的距离之和为22，且PQ 22，所以动点M的轨迹为椭圆，而a 2，c 1，所以b 1，所以，动点M的轨迹E的方程：x22y2 1. (5)分（Ⅱ）设A(x,y)，B(x,y)，则C(x ,y)，由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，112211则直线l的方程为：y k(x 1)(1)y k x由2xy122得(12k2)x24k2x 2k220，所以4k2x x12212k，2k22x x12212k，………8分y y y y x yx y直线BC的方程为：y y 21(x x)，所以y 21x 122122x x x x x x212121，x y x y2kx x k(x x)2x x (xx)令y 0，则122112121212x2y y k(x x)2k(x x)2211212，所以直线BC与x轴交于定点D (2,0) (12)分44.解：（Ⅰ）因为g(x)ax 1所以h(x)e x ax 1，由h(x)0对任意的x R恒成立，即h x ，()0min18由h(x)e x a，（1）当a0时，h(x)e x a0，h(x)的单调递增区间为,，所以x(,0)时，h(x)h(0)0，所以不满足题意.（2）当a0时，由h(x)e x a0，得x ln ax a时，h(x)0，x(ln a,)时，h(x)0，(,ln)所以h(x)在区间(,ln a)上单调递减，在区间(ln a,)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(ln a)a a ln a1.设(a)a a ln a1，所以(a)0，①因为(a)ln a令(a)ln a0得a1，所以(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减，所以(a)(1)0，②由①②得(a)0，则a 1. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知e x x10，即1x e x，令xk kk （n N*，k0,1,2,,n1）则01 e，n n nkk所以(1)(e)en n n k，nn i12n1n所以()n()n()n()n()n e(n1)e(n2)e2e11 n n n nn i11e1e1n12，1e1e e1e111ni，所以()n2ni1又(1)3(2)3(3)3 1，333所以m的最小值为2. ………12分19第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 45. 解：（Ⅰ）设 M (,) 是圆上任意一点，如图，连接OC ，并延长与圆C 交于点 A ，当点 M 异于O ， A 时，连接OM 、 MA ，直角△ MOA 中，OM OAcos MOA ，即4 cos4 cos() ，66当点 M 与O ， A 重合时，也满足上式，所求圆C 的极坐标方程为4 cos() .………5分6（Ⅱ）直线l 的普通方程为 3x y 8 0 ，圆心C ( 3,1) 到直线l 的距离为 d ，3 318d3 r ，所以直线l 与圆C 相离，2故切线长的最小值为 32225 .………10分46. 解：（Ⅰ）由 f (x ) x 2 x 3 3 可化为：x 33 x 2或x 2 x 3 3 x 2 x 3 3x 2或 x 2 x 3 3 解得：x 或 2 x 2 或 x2 ，所以，不等式解集为2,. ………5分（Ⅱ）因为 f (x )x 2x 3(x 2) (x 3)5所以 5 f (x ) 5，即 f (x ) 的最小值为 5 ，要不等式 f (x ) a 2 6a 解集非空，需 f (x )a 2 6a ，min从而 a 26a 5 0 ，解得 a1或 a 5 ，所以 a的取值范围为,1U5,.………10分20。

云南省昆明市2018届高三下学期统测数学

云南省昆明市2018届高三下学期统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4B．3C．2D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7C．5D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120B．﹣60C．60D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48B．36C．30D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2B．3C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，设二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为θ，则sinθ=（） A ． B ．C ．D ．12．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，抛物线M 的焦点F 在x 轴正半轴上，抛物线M 的准线与曲线x 2+y 2﹣6x +4y ﹣3=0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上的一点，若•=﹣4，则点A 的坐标是（）A ．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B ．（1，2）或（1，﹣2）C ．（1，2）D ．（1，﹣2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为．14. 若函数()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0x =处的切线方程为31y x =-+，则ω= ．15. 表面积为16π的球面上有四个点,,,P A B C ，且ABC ∆是边长为角形，若平面PAB ⊥平面ABC ，则棱锥P ABC -体积的最大值为． 16. 某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有种．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2. （1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积.18.根据“2015年国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在GDP中的比重如下:（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP中的比重y关于年份代码x的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP中的比重. 附注:回归直线方程$$y a bx=+$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1122211()()()()n ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx n x x x====---==--∑∑∑∑$, $a y bx=-$.19. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===， 160B BC ∠=o .（1）证明:1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45o ，求1BEBB 的值. 20. 在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆221:20O x x y ++=外切，同时与圆222:2240O x y x +--=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:OS OT g 为定值.21. 已知函数()()1ln 11x x f x e -++=.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()()232'g x x x f x =++(其中()'f x 为()f x 的导函数) ，证明:1x >- 时，()21g x e <+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122(2x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程；（2）若将曲线1C倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =+.（1）解不等式()241f x x <--；（2）已知()10,0m n m n +=>>，若不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题参考答案1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4B．3C．2D．1【考点】子集与真子集．【分析】若集合A有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7C．5D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出的值，进而求出的值．【解答】解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120B．﹣60C．60D．120【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣1）r x10﹣2r，【解答】解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d【考点】函数的零点．【分析】由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），由函数零点的定义求出对应方程的根，画出g（x）和直线y=2017的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．【解答】解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48B．36C．30D．24【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2B．3C．D．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数f（x）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最小值为，可得T=π．根据f（x0）=，≤x0≤，求出x0，可得cos2x0的值．【解答】解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），再由•=﹣4，可求得y0的值，最后可得答案．【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题13. 8 14. 3 15.3 16.12三、解答题17. 解：(1)由已知11sin2sin222ABDS AB BD ABD ABD∆=∠=⨯∠=g g，所以sin ABD∠=，又0,2ABDπ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos ABD∠=ABD∆中，由余弦定理得：2222cos5AD AB BD AB BD ABD=+-∠=g g g，所以AD=(2)由AB BC⊥，得2ABD CBDπ∠+∠=，所以sin cos5CBD ABD∠=∠=，又42,sin2sin cos5BCD ABD BCD ABD ABD∠=∠∠=∠∠=g，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBDππππ⎛⎫∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠⎪⎝⎭，所以CBD∆为等腰三角形，即CB CD=，在CBD∆中，由正弦定理得：sin sinBD CDBCD CBD=∠∠，所以sin51155455,sin4sin42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCDBCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠gg g.18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)3,47.06x y ==，1122211()()151.510()()n ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y bx n x x x ====---====--∑∑∑∑$, $42.56ay bx =-=$ ，所以回归直线方程为$1.542.56y x =+.(3)代入2017 年的年份代码7x =，得$1.5742.5653.06y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP 中的比重将达到0053.06. 19. 解：(1)证明：在1BCB ∆中，111,2,60BC BB B BC ==∠=o，则1B C ==22211BC B C BB +=，故1B C BC ⊥.所以AC ⊥平面11BCC B ，于是1AC B C ⊥，又BC AC C =I ，故1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AB ⊥.(2)如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则())()()10,0,0,,0,1,0,0,0,1C B B A ，由11BB CC =u u u r u u u u r，得)11,0C -，设()1BE BB λλ=0≤≤1u u u r u u u r，则),1,0Eλ-，于是))1,1,1,1,1AE AC λ=--=--u u u r u u u u r，求得平面1AEC的一个法向量为(n λ=-r ，取平面1EC C 的一个法向量为()0,0,1m =u r，又二面角1A EC C --为45o ，则cos 45m n m n ===ou r r g u r r g ，解得12λ=或2λ=（舍），所以1BE BB 的值为12. 20. 解：(1)由圆221:20O x x y ++=，得()2211x y ++=，所以()11,0O -，半径为1；由圆222:2240O x y x +--=，得()22125x y -+=，所以()21,0O ，半径为5，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，因为M e 与1O e 外切，所以1R 1MO =+，又因为M e 与2O e 外切，所以25R MO =-，将两式相加得12126MO MO OO +=>，由椭圆定义知，圆心M 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，所以动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则1010AP y y k x x -=-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x yx y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，于是222201100110011022101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-g g ，又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故2222010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22222222222222011001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()()222222010110222210018989x x x y x y OS OT y y x x --===--g . 21. 解：(1)函数()f x 的定义域为()()()111ln 111,,'x x x f x e---++-+∞=，由于()()1'00,1ln 11f y x x ==--++在()1,-+∞上是减函数，所以当10x -<<时，()'0f x >；当0x >时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.(2)由()()()()21'g x x x f x =++，①当0x ≥时，由(1) 知()'0f x ≤，所以()201g x e ≤<+.② 当10x -<<时，()()()()()()()1111ln 121ln 1121x x x x x x x x g x x x e e ----++--++⎡⎤⎣⎦+=++=()()()2121ln 1x x e x x x e ++=--++⎡⎤⎣⎦gg ，构造函数()()12x h x e x +=-+，则()1'10x h x e +=->，则当10x -<<时，()()()112210,01x x x h x e x h e+++=-+>-=∴<<，易知当10x -<<时，()()1ln 10x x x --++>，()()()()()()22121ln 11ln 1x x g x e x x x e x x x e++∴=--++<--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦gg .要证()21g x e <+，只需证()()21ln 11x x x e --++≤+，设()()()1ln 1p x x x x =--++，得()()'2ln 1p x x =--+，由()()'2ln 10p x x =--+=，得21x e -=-，当()21,1x e -∈--时，()'0p x >，则()p x 单调递增；当()21,0x e -∈-时，()'0p x <，则()p x 单调递减，当10x -<<时，()()()()221ln 111p x x x x p e e --=--++≤-=+，所以当10x -<<时，()21g x e <+成立.综合① ②可知：当1x >-时，()21g x e <+.22. 解：(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C的参数方程为cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），可设点()cos P θθ，故点P 到直线l的距离为d ==，所以min d =点P 到直线l的距离的最小值为223. 解：（1）不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<，即()22214x x x ≤-⎧⎪⎨-+-+<⎪⎩或 ()212214x x x -<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214x x x ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x -<-或∅，所以不等式的解集为7|13x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（2）因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+，所以()x a f x --的最大值是2a +，又()10,0m n m n +=>>，于是()112224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，11m n ∴+的最小值为4.要使()11x a f x m n --≤+的恒成立，则24a +≤，解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.。

昆明市2018届高三复习适应性检测(理科)数学试卷及答案

)(＞0，|
|
＜
)在(
，2
)
上
单
调
递
减
，
且
f(x) 满足
2 63
f ( ) f (11 ) 0 ，则 f ( ) ( )
12
12
A. 3 2
B. 1 2
C. 1 2
D. 3 2
10. 已知 F 为抛物线 C： y2 2 px( p＞0) 的焦点，直线 y k(x p ) 与抛物线 C 相交于 A， 2
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三角形组成，则该几何体的表面积为( )
A. 13 B. 11 C. 12
D. 2 3
7.
已知函数
f
(
x)

x
2
e x，x 2x
0，若f 1，x＞0，
(a

1)

f (a) ，则实数 a 的取值范围是(
)
A. (，1 ] 2
(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为该市 20 岁至 60 岁市民的日
平均睡眠时间与年龄有关；
年龄在区间[20，40) 年龄在区间[40，60)
合计
日平均睡眠时间少于 7 小时
日平均睡眠时间不少于 7 小时
合计
(2)同一组数据用该区间的中点值作代表，经计算得，这 500 位市民日平均睡眠时间的样平平均数 t =6.78，样本方差 s2≈2.32，由频率分布直方图可认为，该市 20 岁至 60 岁市民的日
4 (2)若 C1 与 C2 相交于不同的两点 A，B，M 是线段 AB 的中点，当| PM |= 40 时，求 sin 的

2018届云南省昆明市高三上学期摸底调研测试理科数学试题及答案精品

昆明市2018届高三摸底调研测试理科数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设全集U=R，集合A={x| x(x -3)>0}，则C A=(A) [0，3] (B)(0，3)(C) (-∞,0) (3,+ ∞) (D) (-∞,0][3,+ ∞)(2) 设复数z满足(13)3,i z i z-=+=则(A)一i (B) i (C) 3455i-(D) 3455i+(3)设命题p：∀x∈R ，2x>0，则⌝p为(A) ∀x∈R, 2x<0(B) ∀x∈R, 2x<0(C) ∃xo∈R, 2 xo <0 (D)∃3xo∈R, 2xo <0(4) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(A) 8+4π(B) 8+2π(C) 8+43π(D) 8+23π(5)设a ，b ∈N*，记R(a\b)为a 除以b 所得的余数．执行如图所示的程序框图，若输入a= 243，b=45，则输出的值等于 (A) 0 (B) 1 (C) 9 (D) 18(6)已知ω>0，在函数y=sin ωx 与y=cos ωx 的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为1，则ω=(A)1 (B)2 (C)π (D) 2π(7)己知四边形ABCD 为正方形，3BP CP =，AP 与CD 交于点E ，若PE mCP nPD =+ 则m-n= (A)一23(B)23(C) —13(D) 13(8)己知a ∈（0，2π），cos(a +4π)= 一35，则tan a =(A) 17(B) 7 (C) 34(D) 43(9)四人进行一项游戏，他们约定：在一轮游戏中，每人掷一枚质地均匀的骰子1次，若某人掷出的点数为5或6，则此人游戏成功，否则游戏失败．在一轮游戏中，至少有2 人游戏成功的概率为(A) 127 (B) 827(C) 1127(D)89(10)已知F1，F2为双曲线C的左，右焦点，过F1的直线分别交C的左，右两支于A，B两点，若△AF2B为等腰直角三角形，且∠AF2B=90°，那么C的离心率为(11)已知曲线f(x)=e2x- 2e x+ax -1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为(A)(3，+∞) (B) [3，72] (C) (一∞，72](D)(0，3)(12)棱长为a的正方体可任意摆放，则其在水平平面上投影面积的最大值为2：22 (D) 2a2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。

云南省昆明市2018届高三5月复习适应性检测数学(理)试题Word版含解析

云南省昆明市2018届高三5月复习适应性检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A．2. 已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，，，故选D．3. 已知，为单位向量，设与的夹角为，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，，∴，故选B．4. AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度. AQI共分六级，从一级优（-），二级良（-)，三级轻度污染（-），四级中度污染（-)，直至五级重度污染（-)，六级严重污染（大于）.下图是昆明市年月份随机抽取天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市年月份空气质量优的天数（按这个月总共天计算）为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】从茎叶图中知10天中有4天空气质量优，因此空气质量优的概率为，那么4月份空气质量优的天数为．故选C．5. 已知实数，满足则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值6．故选C．6. 已知等差数列各项均为正数，其前项和为，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D...【解析】设公差为，由题意得，解得（舍去），∴．故选D．7. 执行下边的程序框图，若输入，则输出的精确到的近似值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然当时，，因此，故选C．8. 在，已知，，，则边上的高等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，，，，，所以，故选A．9. 下列命题中，错误的是（）A. ，B. 在中，若，C. 函数图象的一个对称中心是D. ，【答案】D【解析】∵，∴D错误．10. 我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于世纪末提出下面的体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是几何体的高，“幂”是截面面积.意思是：若两等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体（如图10—1所示），它是由抛物线（），直线及轴围成的封闭图形绕轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，旋转体D参照体的三视图如图10—2所示，则旋转体的的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】参照体是一个直三棱柱，体积为，故选C．11. 已知函数若方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程有两个不同的解，即直线与函数的图象有两个不同交点．作出函数的图象和直线，如图．由，得，设直线与函数图象切点为，则，，，即是的切线，当时，与有两个交点，但与也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意，当，与至多只有一个交点，不合，只有当时，有三个交点，符合题意，故选B．点睛：方程的解的个数，函数的零点个数，两函数图象（一般是一直线与一函数图象）交点个数问题常常相互转化，数形结合思想是解决上此类问题的基本方法，再转化时要注意“动”的一般是直线或易观察其变化规律的函数图象，本题转化为直线与函数的交点问题，其中应用了两直线的相交问题和直线与曲线相切的问题，掌握解决这些问题的方法是解题的关键．12. 设为抛物线的焦点，曲线与相交于点，直线恰与曲线相切于点，交的准线于点，则等于（）...A. B. C. D.【答案】B【解析】由解得，又对，，所以，化简得，所以，，故选B．点睛：本题所求比值，从图象上上看它等于，因此我们只要把点的坐标用表示即可，因此要列出相应的等式．由两曲线相交联立方程组可解得交点的坐标（用参数表示），再利用导数求出交点处的切线斜率，此斜率又可用两点式表示，由此得出等式，可求出，代入可求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，项的系数是___________(用数字作答）．【答案】【解析】通项为，令，，所以所求系数为．点睛：用二项式定理求某一项的系数，首先要掌握二项式定理展开式通项公式：（），解题时，写出通项后把常数与字母了分离，令字母的幂指数为指定幂指数，求得，代入后可得此项系数．14. 已知函数（），是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则__________．【答案】【解析】设周期为，则，，所以，，．15. 已知点为双曲线的一个焦点，以点为圆心的圆与的渐近线相切，且与交于两点，若轴，则的离心率为__________．【答案】16. 已知函数若不等式的解集恰好为，则__________．【答案】【解析】由解析式知函数在是单调递减，在上单调递增，，若，则不等式的解集为，不合题意，所以，此时因为，因此，由，，解得或，取，由得，所以，所以．点睛：本题研究函数不等式的解集问题，通过函数解析式研究函数的性质，主要是单调性，在得出函数在是单调递减，在上单调递增后可与二次函数联系分析知不能大于的最小值，应是方程的解，因此求出的解后分析的可能从而易得解．本题中函数的的图象对解题具有帮助提示效果．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 数列满足.（Ⅰ）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）已知符号函数设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）只要证明是不为0的常数，同时计算即证，由等比数列通项公式可得；（Ⅱ）根据的定义知，因此数列的和可分组，每一项的前半部分求和，后半部分凑配求和．试题解析：...（Ⅰ）因为，所以，所以数列是公比为，首项为的等比数列.故，即.（Ⅱ）数列的前项和.18. 某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机抽取了名学生进行调査，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照分成组，制成样本的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；（Ⅲ）用样本频率代替概率. 现从全校高一年级随机抽取名学生，其中有名学生“阅读时间”在小时内的概率为，其中.当取最大时，求的值.【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）;（Ⅲ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为1可求得；（Ⅱ）中位数就是把直方图所有小矩形面积平分的那一点；（Ⅲ）在取出的名学生中，周末阅读时间在中的有人，则服从二项分布，由此可得，其中.用相除法可求得的最大值．试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知，周末的“阅读时间”在的频率为.同理，在等组的频率分别为，由解得.（Ⅱ）设中位数为小时.因为前组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以.由，解得.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时. ...（Ⅲ）设在取出的名学生中，周末阅读时间在中的有人，则服从二项分布，即，则恰好有名学生周末阅读时间在中的概率为，其中.设.若，则；若，则.所以当时，最大.所以的取值为.19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，,点为的中点.（1）证明：；（2）设点在线段上，且平面，若平面平面，求二面角的大小. 【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）要证明线线垂直，可先证明线面垂直，由是中点，可知，又由是锐角为的菱形，可得，从而有线面垂直，再得线线垂直；（2）与平面平行，则与平面内一条直线平行，由平面平面可得两两垂直，以它们为轴可建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角可得二面角大小，其中在求平面法向量时，平面的一条直线的方向向量可用代替．试题解析：（1）连接，因为，所以为正三角形，又点为的中点，所以.又因为，为的中点，所以.又，所以平面，又平面，所以.（2）连接交于，连接.因为平面，平面，平面平面，所以，由（1）知.又平面平面，交线，所以平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，...则，，设平面的一个法向量为,可得因为，所以得，由（Ⅰ）知平面，则取平面的一个法向量，故二面角的大小为.20. 已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若，，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出动点坐标为，把斜率之积用坐标表示出来化简可得的方程（注意有些点不合要求）；（Ⅱ）解析几何中的定值问题，设点的坐标分别为.由，可求得，并代入曲线的方程，得的方程，同理得的方程，这样发现是方程的两个实数根，由韦达定理可得．试题解析：（Ⅰ）设点，由已知得，化简得点的轨迹的方程:.（Ⅱ）设点的坐标分别为.由，所以，所以因为点在曲线上，所以，化简得①，同理，由可得：，代入曲线的方程得②，由①②得是方程的两个实数根(△>0)，所以.点睛：解析几何中的定值问题，一般先要求出此量戒代数表达式，本题就是的表达式，为此设点的坐标分别为.由，求得，目的是利用点在曲线，坐标代入方程得的式子，同理得的式子，两式比较知是方程的两根，由韦达定理可得结论．21. 已知函数. ...（Ⅰ）当时，若函数存在零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若恒成立，求的最小值.【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）函数存在零点问题，要研究函数的变化趋势，从函数解析式可看出时，，因此函数必有负值，求出其导数，可对其中的求导后确定其单调性及零点，从而确定的正负得的极小值，由极小值小于0可得结论；（Ⅱ）恒成立，即的最小值，由导数的性质可得有最小值，只是最小值点不能直接确定，可设为，由得，这样最小值中参数可用替换为，由得，，右边作为一个函数可由导数求得其最大值，即得的最小值．试题解析：（Ⅰ）由题意，得.所以.设，由于在上单调递增，且，当时，，所以在(0,1)上单调递减；当时，，所以在上单调递增.当时，.因为函数存在零点，且时，，所以，解得，即实数的取值范围为.（Ⅱ）由题意，得因为，令，得.设，由于在上单递增，当时，；当时，，所以存在唯一，使得，即 .当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.当时，.因为恒成立，所以，即. .... 设，则当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.当时，.所以当，即时，.点睛：本题是导数的综合应用，首先不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，难点是函数的最值，在导数＝0时，方程的不能直接求出，解题时设根为，求出参数与的关系（可把用表示），的最小值中就可以不含参数，因此最终求的最小值就可化为求函数的最小值．本题就是解题过程中不断转化，逐步减少参数的个数（解题时也可适当先引入参数，然后再减少参数）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）分别写出曲线与直线的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，极角为的射线与曲线、直线分别交于两点（异于极点），求的最大值.【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由公式可化直角坐标方程为极坐标方程；试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为.（Ⅱ）由题意得，因为，所以，因为，所以，所以，所以的最大值为，此时 .23. 选修4-5：不等式选讲已知都是实数，且.（Ⅰ）证明；...（Ⅱ）若，证明.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由绝对值的性质有，再每个式子用基本不等式放大可得；（Ⅱ）由已知，利用柯西不等式可得结论．试题解析：（Ⅰ）因为，所以.即.（Ⅱ）因为，所以. 所以 .。

昆明市2018届高三摸底调研测试(理数试卷)

A．15 C． 45
B． 30 D． 60
11．若函数 f (x) 2x1 x2 2x 2 ，对于任意 x Z 且 x (, a) ， f (x) 0 恒成立，则实数
a 的取值范围是 A． (, 1]
B． (,0]
C． (,3]
D． (, 4]
12．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 4，AA1 2 .过点 A1 作平面与 AB ， AD 分别交于 M ， N 两点.若 AA1 与平面所成角为 45 ，则截面 A1MN 面积的最小值是
．
15．已知函数
f
(x)
log2 (x 1) ,
x3
3x
1,
x 1, 则函数 f (x) 的零点个数为 x 1,
．
16．将数列an 中的所有项按每一行比上一行多 1 项的规则排成如下数阵：
a1 a2 , a3 a4 , a5 , a6 a7 , a8 , a9 , a10
记数阵中的第 1 列数 a1 ，a2 ，a4 ，，构成的数列为bn ，Sn 为数列bn 的前 n 项和.
D．x 0 x 1
2．设复数 z 满足 (1 i)z i ，则 z 的共轭复数 z
A． 1 1 i 22
C． 1 1 i 22
B． 1 1 i 22
D． 1 1 i 22
3．已知向量 a (1, 2) ， b (1,3) ，则 2a b
A． 2
B． 2
C． 10
D．10
4．已知等差数列{an} 的公差为 2，且 a4 是 a2 与 a8 的等比中项，则 an
8．定义[x] 表示不超过 x 的最大整数，例如[2] 2 ，[3.6] 3 ．右

2018-2019年云南省昆明市质检一：昆明市2018届高三第一次质量检测数学(理)试题-附答案精品

云南省昆明市2018届高三第一次质量检测理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11212i i+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（） A ．35 B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（）A ．2b ≥B ．12b <≤C ．1b ≤D ．1b <3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（）A ．4x =，22s <B ．4x =，22s >C ．4x >，22s <D ．4x >，22s > 4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A ．2213632x y +=B ．22198x y +=C ．22195x y +=D ．2211612x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为（） A ．4 B ．2 C ．12 D ．14 6.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个。

【数学】云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统）数学（理）试题含答案

【数学】云南省昆明市2018届⾼三教学质量检查（⼆统）数学（理）试题含答案昆明市2018届⾼三复习教学质量检测理科数学⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知a ，b R ∈，复数21ia bi i+=+，则a b +=（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2-2.设集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|20}B x x x =+-≤，则AB =（）A ．{0,1,2}B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1}-- 3.若点55(sin,cos )66ππ在⾓α的终边上，则sin α=（）A ．12 C ．． 12-4.“搜索指数”是⽹民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越⼤，表⽰⽹民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越⾼.下图是2017年9⽉到2018年2⽉这半年中，某个关键词的搜索指数变化的⾛势图.根据该⾛势图，下列结论正确的是（）A ．这半年中，⽹民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，⽹民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从⽹民对该关键词的搜索指数来看，去年10⽉份的⽅差⼩于11⽉份的⽅差 D ．从⽹民对该关键词的搜索指数来看，去年12⽉份的平均值⼤于今年1⽉份的平均值 5.⼀个简单⼏何体的三视图如图所⽰，其中正视图是等腰直⾓三⾓形，侧视图是边长为2的等边三⾓形，则该⼏何体的体积等于（）A ．26.已知直线:l y m +与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若120ACB ∠=?，则实数m 的值为（）A ．33．3+3-C.9或3- D ．8或2-7.执⾏下⾯的程序框图，如果输⼊1a =，1b =，则输出的S =（）A ．7B ．20 C.22 D ．548.若直线(01)x a a π=<<与函数tan y x =的图像⽆公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为（） A ．{|,}62x k x k k Z ππππ+≤<+∈ B ．{|,}42x k x k k Z ππππ+≤<+∈ C. {|,}32x k x k k Z ππππ+≤<+∈ D ．{|,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈9.已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ?-+<=?+≥?，若⽅程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞ C. (,5)-∞ D ．(,5]-∞10.已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||2||PF QF =，且120PFQ ∠=?，则椭圆E 的离⼼率为（）A ．13 B ．12C. 3 D．211.已知函数2()2ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯⼀极值点，则实数k 的取值范围是（）A ． 2(,]4e -∞ B ．(,]2e -∞ C. (0,2] D ．[2,)+∞12.定义“有增有减”数列{}n a 如下：*t N ?∈，满⾜1t t a a +<，且*s N ?∈，满⾜1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{,,}(1,2,3,4)i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（）A ．64个B ．57个 C.56个 D ．54个⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 满⾜a b ⊥，||1a =，|2|22a b +=，则||b = ．14.已知变量x ，y 满⾜3040240x x y x y +≥??-+≥??+-≤?，则3z x y =+的最⼤值为．15.在ABC △中，⾓,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =，3c =，且cos cos a bA B=，则ABC △的⾯积等于．16.如图，等腰PAB △所在平⾯为α，PA PB ⊥，4AB =，点C ，D 分别为PA ，AB 的中点，点G 为CD 的中点.平⾯α内经过点G 的直线l 将PAB △分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点'P （'P ?平⾯α）.若点'P 在平⾯α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段'P H 的长度的取值范围是．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 中，13a =，{}n a 的前n 项和n S 满⾜：21n n S a n +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满⾜：(1)2n an n b =-+，求{}n b 的前n 项和n T .18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、⼄两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，⼯作组对这100户村民的年收⼊情况、劳动能⼒情况、⼦⼥受教育情况、危旧房情况、患病情况等进⾏调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表⽰甲村贫困户，“+”表⽰⼄村贫困户.若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收⼊户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出⼀户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的⾮绝对贫困户”中选3户，⽤ξ表⽰所选3户中⼄村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试⽐较这100户中，甲、⼄两村指标y 的⽅差的⼤⼩（只需写出结论）. 19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AB 的中点.（1）证明：1//BC 平⾯1MCA ；（2）若BMC △是正三⾓形，且1AB BC =，求直线AB 与平⾯1MCA 所成⾓的正弦值. 20. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆⼼，半径为4的圆与l 交于A 、B 两点，E 是该圆与抛物线C 的⼀个交点，90EAB ∠=?.（1）求p 的值；（2）已知点P 的纵坐标为1-且在C 上，Q 、R 是C 上异于点P 的另两点，且满⾜直线PQ 和直线PR 的斜率之和为1-，试问直线QR 是否经过⼀定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.21. 已知函数23()(4cos 1)x f x e x x x x α=+++，()(1)x g x e m x =-+. （1）当1m ≥时，求函数()g x 的极值；（2）若72a ≥-，证明：当(0,1)x ∈时，()1f x x >+. 请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在平⾯直⾓坐标系xOy 中，圆O 的⽅程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程是2cos21ρθ=. （1）求圆O 的参数⽅程和曲线C 的直⾓坐标⽅程；（2）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意⼀点，证明：22||||PM PN +为定值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(2)(4)6f x f x ++≥；（2）若a 、b R ∈，||1a <，||1b <，证明：()(1)f ab f a b >-+.试卷答案⼀、选择题1-5:ADCDD 6-10:ABBCC 11、12：AD ⼆、填空题16. 3(0,]2三、解答题17.解：（1）由21n n S a n +=+①，得2111(1)n n S a n +++=++②则②-①得21n a n =+.当13a =时满⾜上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由（1）得21(1)2n n n b +=-+，所以12n n T b b b =+++2[(1)(1)(1)]n =-+-++-+3521(222)n ++++3(1)[1(1)]2(14)1(1)14n n -?--?-=+---(1)18(41)23n n--=+-. 18.解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出⼀户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P == （2）由图知，“今年不能脱贫的⾮绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，⼄村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3.从⽽36310201(0)1206C P C ξ====，1246310601(1)1202C C P C ξ====，2146310363(2)12010C C P C ξ====，3431041(3)12030C P C ξ====.所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望113112()0123 1.262103010E ξ=?+?+?+?==. （3）这100户中甲村指标y 的⽅差⼤于⼄村指标y 的⽅差.19.解：（1）连接1AC ，设1AC 与1AC 的交点为N ，则N 为1AC 的中点，连接MN ，⼜M 是AB 的中点，所以1//MN BC .⼜MN ?平⾯1MCA ，1BC ?/平⾯1MCA ，所以1//BC 平⾯1MCA .（2）M 是AB 的中点，BMC 是正三⾓形，则60ABC ?∠=，30BAC ?∠=，90ACB ?∠=，设1BC =，则1AC CC ==1CC 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴建⽴空间直⾓坐标系.则(0,1,0)B，A，1A，(0,1,AB =，1(0,2CM =，1(3,0,CA =.设(,,)n x y z =是平⾯1MCA 的法向量，则10n CM n CA ??==??，可取平⾯1MCA 的法向量为(1,3,1)n =-，则 |cos ,|AB n ??=||155||||AB n AB n ?=，所以直线AB 与平⾯1MCA .20.解：（1）由题意及抛物线定义，||||||4AF EF AE ===，AEF 为边长为4的正三⾓形，设准线l 与x 轴交于点D ，11 ||||4222AD p AE ===?=. （2）设直线QR 的⽅程为x my t =+，点11(,)Q x y ，22(,)R x y . 由24x my t y x=+??=?，得2440y my t --=，则216160m t ?=+>，124y y m +=，124y y t ?=-. ⼜点P 在抛物线C 上，则11221144p P PQ P P y y y y k y y x x --=P y y y ==+-，同理可得241PR k y =-. 因为1PQ PR k k +=-，所以124411y y +=--1212124()8()1y y y y y y +--++1681441m t m -==---+，解得734t m =-.由21616073417(1)344m t t m m m ?=+>?=-≠-+-，解得71(,)(,1)(1,)22m ∈-∞-??+∞. 所以直线QR 的⽅程为7(3)4x m y =+-，则直线QR 过定点7(,3)4--. 21.解：（1）()xg x e m '=-，由()0g x '=得ln x m =. 由ln x m >得()0g x '>，ln x m <得()0g x '<，所以函数()g x 只有极⼩值(ln )(ln 1)ln g m m m m m m =-+=-.。

云南省昆明市2018届高三数学上学期第二次月考试题理2018010302122

云南省昆明市2018届高三数学上学期第二次月考试题理注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，时间120分钟。

考试结束后，只交答题卡，试卷本人妥善保存。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞)2．函数y＝x2－2x＋m无零点，则m的取值范围为()A．m＜1 B．m＜－1 C．m＞1 D．m＞－12x＋1，x ≤0，{1－log2x，x >0，)则f(f(3))＝()3．已知函数f(x)＝4 2 4A．B．C．－D．－33 3 34．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()3 3 1 1A．－B．C．－D．2 2 2 21 πα－5．已知sin 2α＝3，则cos2(4)＝()1 12 2A．B．－C．. D．－3 3 3 316．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则x＝()5A．4 B．－4 C．3 D．－3θθθ7．设θ是第三象限角，且|cos |＝－cos ，则是()2 2 2A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角- 1 -3 5 ππ8．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，0)，则sin α＝13 (0，2)(－5 2()33 63 33 63A．. B．. C．－D．－65 65 65 659．在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()10．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜1的解集是()A．(－3，0) B．(－3，5) C．(0，5) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)12．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－1<x<2；②f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.- 2 -则函数f(x)的大致图象是()第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）cos α13．若sin α·tanα<0，且<0，则α是第________象限角．tan α14．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．215．x dx=1-16．已知x∈R，则使sin x>cos x成立的x的取值范围是________．三．解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）π3πsin（α－）·cos（＋α）·tan（π－α）2 217. (1) 化简：tan（－α－π）·sin（－α－π）(2) sin(－1 071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)- 3 -4 π18．已知sin θ＝，<θ<π.5 2(1) 求tan θ的值；sin2θ＋2sin θcos θ(2) 求的值．3sin2θ＋cos2θ19．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1) 求实数m的值；(2) 作出函数f(x)的图象；(3) 根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4) 根据图象写出不等式f(x)>0的解集；120．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.5(1) 求sin A cos A的值；(2) 判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3) 求tan A的值．- 4 -21．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1) 求a，b的值；(2) 若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．22．已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 求f(x)在区间[0，1]上的最小值．- 5 -昆明黄冈实验学校2017-2018学年上学期第二次月考高三理科数学参考答案与试题解析第Ⅰ卷选择题（共60分）二．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞)D[解析] 由题意知，f′(x)＝e x－e，令f′(x)> 0，解得x>1，故选D.2．函数y＝x2－2x＋m无零点，则m的取值范围为()A．m＜1 B．m＜－1 C．m＞1 D．m＞－1C[解析] 由Δ＝(－2)2－4m＜0，得m＞1，故选C.2x＋1，x ≤0，{1－log2x，x >0，)则f(f(3))＝()3．已知函数f(x)＝4 2 4A. B. C．－D．－33 3 3A[解析] 由f(x)的解析式可得f(3)＝1－log23，又1－log23<0，则f(f(3))＝f(1－22 4log23)＝22－log23＝＝，故选A.2log23 34．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()3 3 1 1A．－B．C．－D．2 2 2 2D[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin110°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.21 π5．已知sin 2α＝3，则cos2(α－4)＝()1 12 2A. B．－ C. D．－3 3 3 3π 11＋cos(2)2α－1＋π1＋sin 2α 3 2C[解析] c os2(＝＝＝＝，故选C.α－4)2 2 2 316．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则x＝()5A．4 B．－4 C．3 D．－3D[解析] 因为α是第二象限角，所以x<0.x 1又由题意知＝x，解得x＝－3.x2＋16 5θθθ7．设θ是第三象限角，且|cos |＝－cos ，则是()2 2 2A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角- 6 -3ππθB[解析] 由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋< <k2 2 23π π＋(k∈Z)；4θθθπθ3π又|cos |＝－cos ，所以cos ≤0，从而2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，综上可2 2 2 2 2 2πθ3πθ知2kπ＋< <2kπ＋(k∈Z)，即是第二象限角．2 2 4 23 5 ππ8．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈2)，β∈(，则sin α＝13 (－0，，0)5 2()33 63 33 63A. B. C．－D．－65 65 65 65π－5 12A[解析] 因为β∈(，sin β＝，所以cos β＝.－，0)2 13 133 4又因为α－β∈(0，π)，cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝，5 533所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝.659．在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()D[解析] 当a>1时，A中的直线位置错误，排除A；D中的三个函数图象都正确；当0<a<1 时，B中的直线位置错误，排除B，C中的直线与指数函数的图象都错误，排除C.故选D.10．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()- 7 -D [解析]当 x <0时，由导函数 f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数 f (x )在该区间内单调递减；当 x >0时，由导函数 f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于 0的，则在此区间内函数 f (x )单调递增．只有 D 选项符合题意．11．(2017·郑州第一次质量预测)已知定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为 f (x )的导函数，且导函数 y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式 f (x )＜1的解集是( )A ．(－3，0)B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 12．函数 f (x )的导函数 f ′(x )有下列信息： ①f ′(x )>0时，－1<x <2； ②f ′(x )<0时，x <－1或 x >2；③f ′(x )＝0时，x ＝－1或 x ＝2. 则函数 f (x )的大致图象是( )C [解析] 根据信息知，函数 f(x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选 C.第Ⅱ卷非选择题（共 90分）三、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20分）cos α13．若 sin α·tan α<0，且 <0，则 α 是第__三______象限角． tan α[解析] 由 sin α·tan α<0可知 sin α，tan α异号，从而 α 为第二或第三象限角； cos α 由 <0，可知 cos α，tan α异号，从而 α 为第三或第四象限角．综上，α为第三象限 tan α 角．14．曲线 y ＝x 2与直线 y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．y ＝x 2，(1)如图，阴影部分的面积即为所求．由{y ＝x ， )得 A (1，1)．111 1故所求面积为 S ＝∫(x －x 2)d x ＝| ＝ .(x 3)x 2－10236215．x dx =1-212∫0 ∫0 ∫|1－x|d x＝(1－x)d x＋(x－1)d x1- 8 -11 1 11＝(| ＋| ＝－0＋－＝1.x － x 2)x 2－x)× 12－1)12) ( × 22－2) (21－2 22 216．已知 x ∈R ，则使 sin x >cos x 成立的 x 的取值范围是________．π 5π[解析] 在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当 x ∈( ， )时，sin x >cos x ，所以4 4 π 5π使 sin x >cos x 成立的 x 的取值范围是(2k π＋，2k π＋ )，k ∈Z . 4 4π 5π[答案] (2k π＋，2k π＋ )，k ∈Z 4 4三．解答题（共 6小题，第 17小题 10分，其余各小题 12分，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）π 3πsin （α－）·cos （＋α）·tan （π－α） 2 217. (1) 化简：tan （－α－π）·sin （－α－π）π 3πsin （α－）·cos （＋α）·tan （π－α） 2 2[解] (1) f (α)＝tan （－α－π）·sin （－α－π）（－cos α）·sin α·（－tan α）＝＝－cos α.（－tan α）· sin α(2) sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)[解析] 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填 0. 4 π18．已知 sin θ＝， <θ<π. 5 2(1) 求 tan θ的值； sin 2θ＋2sin θcos θ(2) 求的值．3sin 2θ＋cos 2θ9 [解] (1)因为 sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以 cos 2θ＝. 25π 3又 <θ<π，所以 cos θ＝－ . 2 5 sin θ 4 所以 tan θ＝＝－ . cos θ 3 sin 2θ＋2sin θcos θ tan 2θ＋2tan θ 8(2)由(1)知，＝＝－ . 3sin 2θ＋cos 2 θ 3tan 2θ＋1 5719．已知函数 f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且 f (4)＝0. (1)求实数 m 的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；- 9 -[解] (1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.(2)由(1)得f(x)＝x|4－x|x（x－4）＝（x－2）2－4，x≥4，＝{－x（x－4）＝－（x－2）2＋4，x< 4.) f(x)的图象如图所示．(3)f(x)的单调递减区间是[2，4]．(4)由图象可知，f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．120．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.5(1)求sin A cos A的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值．1[解] (1)因为sin A＋cos A＝，①51所以两边平方得1＋2sin A cos A＝，2512所以sin A cos A＝－.2512(2)由sin A cos A＝－<0，且0<A<π，25可知cos A<0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．24 49 (3)因为(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝1＋＝，25 25又sin A>0，cos A<0，所以sin A－cos A>0，7 所以sin A－cos A＝，②54 3所以由①，②可得sin A＝，cos A＝－，5 54sin A 5 4所以tan A＝＝＝－cos A 3 3－521．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．[解] (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，所以f′(x)＝3ax2＋b.由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，f′（2）＝0，12a＋b＝0，a＝1，故有{f（2）＝c－16，)即{8a＋2b＋c＝c－16，)解得{b＝－12.) (2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.- 10 -当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数．当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2，2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16. 由题设条件知16＋c＝28，得c＝12，此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4.22．已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解] (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)f′(x) －0 ＋f(x) －e k－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增．所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝－e k－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.- 11 -。

云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题理

云南省昆明市2018届高三数学第一次摸底测试试题理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1{0}3x A xx -=≥-，集合{15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（） A ．{0,1,3,4,5} B ．{0,1,4,5} C ．{1,4,5} D ．{1,3,4,5} 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．4π，则1z +=（） A ． 21x =对称，则a 的值为（） A ．-15.二项式51()x展开式中的常数项为（） A ．10 B ．-10 C. 5 D ．-56.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2,,3n n S a 成等差数列，则5S 的值是（） A ．-243 B ．-242 C.-162 D ．2437.执行如图所示的程序框图，若输出n 的值为9，则判断框中可填入（）A ．45?S ≥B ．36?S ≥ C. 45?S > D ．55?S ≥ 8.设,x y 为正数，且34xy=，当3x py =时，p 的值为（） A ．3log 4 B ．4log 3 C. 36log 2 D ．3log 29.一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，这个几何体的表面积为（）A 20+．20+)2x πω+（0ω>），且()03f π=，当ω取最小值时，以下命题中假命题是（） A ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称B ．6x π=-是函数()f x 的一个零点C. 函数()f x 的图象可由()2g x x =的图象向左平移3π个单位得到D ．函数()f x 在[0,]12π上是增函数11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB =，则AF =（）A ．3B ．4 C.6 D ．712.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，142n n S a +=+，则数列{}n a 中的12a 为（）A ．20480B ．49152 C. 60152 D ．89150第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,1)a =，10a b ∙=，52a b +=，则b = ．14.若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为．15.已知双曲线C 的中心为坐标原点，点(2,0)F 是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若3FM ME =，则双曲线C 的方程为．16.体积为A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且222a cb +=，32a b = （1）求32a b =的值；（2）若6b =，求ABC ∆的面积.18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，2AB AC ==，点,M N 分别为111,A C AB 的中点.（1）证明：//MN 平面11BB C C ；（2）若CM MN ⊥，求二面角M CN A --的余弦值.19. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布(69,49)N ，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校50名学生成绩的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；（3）现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：若2~(,)X N μσ，则()0.6826p X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544p X μσμσ-<≤+= (33)0.9974p X μσμσ-<≤+=20. 已知动点(,)M x y =（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标. 21. 已知函数()xf x e =，2()2a g x x x =--，（其中a R ∈，e 为自然对数的底数，2.71828e =……）.（1）令'()()()h x f x g x =+，若()0h x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，设m 为整数，且对于任意正整数n ，1()nn i i m n =<∑，求m 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心坐标为(2,)6π.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设直角坐标系的原点与极点O 重合，x 轴非负关轴与极轴重合，直线l的参数方程为1282x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），由直线l 上的点向圆C 引切线，求线线长的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()23f x x x =--+. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式2()6f x a a <-解集非空，求实数a 的取值范围.昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师杨昆华李文清孙思应梁云虹王在方卢碧如凹婷波吕文芬陈泳序积为2π.，选C.3. 解析：因为1iz i 1i--==--，所以1A.()1552251rr r r C x -=-，令155022r -=，所以3r =，所以1n =时，11223S a =+，所以12a =-；当2n ≥时，13322n n a a --，即11322n n a a -=，即()132n n a n a -=≥，所以数列n 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，所以()()55151213242113a q S q---===---，选B.7. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算12945S =+++=L ，选A.8. 解析：可令34x y t==，则3l o g x t =，4log y t =，由3x p y=得33343log 3log 43log 46log 2log log 3t t t p t ====，选C. 9. 解析：将三视图还原可得下图，所以52214252⨯⨯⨯+⨯=S 5420+=，选D.10. 解析：()3cos 23f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由()03f π=得()33k k ππωπ+=∈Z ，即31k ω=-，由0ω>知ω的最小值是2，当ω取得最小值时，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出：函数()f x 的图象关于直线12x π=对称，A 为真；由20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得出：6x π=-是函数()f x 的一个零点，B 为真；将函数()2g x x =的图象向左平移6π个单位得到()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以C 为假；由复合函数单调性可得()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以D 为真，选C.11. 解析：由已知B 为AF 的三等分点，作BH l ⊥于H （如图），则2433BH FK ==，所以43BF BH ==，所以34BF AF ==，选B.12. 解析：由2142S a =+有12142a a a +=+，解得28a =，故2124a a -=，又221144n n n n n a S S a a ++++=-=- ，于是()211222n n n n a a a a +++-=-，因此数列{}12n n a a +-是以2124a a -=为首项，公比为2的等比数列.得1112422n n n n a a -++-=⨯=，于是11122n n n n a a ++-=，因此数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，解得()112n n a n n =+-=，2nn a n =⋅.所以1249152a =，选B.二、填空题52a b +=，250a b += ，即22250a b a b ++⋅=，所以22050b +=5b =.解析：如图，在点(4,5)A 处取得最大值9.15. 解析：设双曲线C 的方程为：22221x y a b-=，由已知得：FM b =，a b =，而224a b =-，所以23b =，21a =，所以双曲线C 的方程：2213y x -=16. 设3BC k =，则()20R k k =>，因为体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，所以2193k h ⨯=，得224h k=.由())222R h R =-+，得2k =或k =，所以4R =.由题意知点E 为线段BD的中点，从而在△ODB 中，4OD OB ==，6DB =，解得OE =所以当截面垂直于OE 3=，故截面圆面积最小值为9π. 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-==6B π=，由32a b =及正弦定理可得出：3sin 2sin A B =，所以21sin sin 363A π==，再由32a b =知a b <，所以A 为锐角，cos A =，所以()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+=⎡⎤⎣⎦ （Ⅱ）由6b =及32a b =可得出4a =，所以11sin 46222S ab C ==⨯⨯=.18. 解：（Ⅰ）证明：连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11A C ，B A 1的中点，所以MN 为△11A BC 的一条中位线，1//MN BC ， MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .（Ⅱ）设a AA =1，则122+=a CM ，48441222+=++=a a MN ， 42054222+=+=a a CN ，由CM MN ⊥，得222CN MN CM =+，解得2=a ，由题意以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 1AA 为z 轴建立空间直角坐标系.可得)0,0,0(A ，)0,2,0(C ，)22,0,1(N ，)2,1,0(M ，故），，（2201=，），，（020=AC ，），，（2221-=，）2,1,0(-=CM ，设），，z y x 为平面ANC 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AN m ，得10m =-（，同理可得平面MNC 的一个法向量为32n =（，设二面角M CN A --的平面角为α，<,cos 153203⋅++-=155-=， =αcos ><-n m ,cos 155=，所以，二面角M CN A --的余弦值为155.19. 解：（Ⅰ） 450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）()0.0080.012105010+⨯⨯=. （Ⅲ）()P 33=0.9974X μσμσ-<≤+，则()10.9974P 900.00132X -≥==.90分以上. 450=⨯人. ()242102P 2==15C X C =.X 的分布列：数学期望()1824012315155E X =⨯+⨯+⨯=.20. 解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q的距离之和为且PQ <M的轨迹为椭圆，而a ，1c =，所以1b =，所以，动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：(1)y k x =+由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，直线BC 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---，令0y =，则1221121212122112122()2()2()2()2x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -. 21. 解：（Ⅰ）因为()1g x ax '=-- 所以()e 1x h x ax =--，由()0h x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即min ()0h x ≥，由()e x h x a '=-，（1）当0a ≤时，()e 0x h x a '=->，()h x 的单调递增区间为(),-∞+∞，所以(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h <=，所以不满足题意.（2）当0a >时，由()e 0x h x a '=-=，得ln x a =(,ln )x a ∈-∞时， ()0h x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增，所以()h x 的最小值为(ln )ln 1h a a a a =-- . 设()ln 1a a a a ϕ=--，所以()0a ϕ≥，① 因为()ln a a ϕ'=-令()ln 0a a ϕ'=-=得1a =，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0a ϕϕ≤=，②由①②得()0a ϕ=，则1a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知e 10x x --≥，即1e x x +≤，令kx n=-（*n N ∈，0,1,2,,1k n =-）则01e k n kn-<-≤，所以(1)(e )e k nn k n k n ---≤=，所以(1)(2)211121()()()()()e e e e 1nn n n n nn n i i n n nn n n n ------=-=++++≤+++++∑111e 1e 1121e 1e e 1e 1n ----=<==+<----，所以1()2nn i in=<∑，又333123()()()1333++>，所以m 的最小值为2.第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 解：（Ⅰ）设(,)M ρθ是圆上任意一点，交于点A ，，，C 的极坐标方程为4cos()6πρθ=-.0=，圆心C 到直线l 的距离为d ，与圆C 相离，.23. 解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为： 3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞. （Ⅱ）因为()23(2)(3)5f x x x x x =--+≤--+= 所以5()5f x -≤≤，即()f x 的最小值为5-，要不等式2()6f x a a <-解集非空，需2min ()6f x a a <-，从而2650a a -+>，解得1a <或5a >，所以a 的取值范围为()(),15,-∞+∞U .昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师杨昆华李文清孙思应梁云虹王在方卢碧如凹婷波吕文芬陈泳序}{25. 解析：设正方形边长为2，则圆半径为1.此时正方形面积为224⨯=.图中黑色部分面积为2π.则此点取自黑色部分的概率为2ππ=，选C.26. 解析：因为1iz i 1i--==--，所以127. 解析：11a -+= 所以3=a ()1552251rr r r C x -=-，令155022r -=，所以3r =，所以1n =时，11223S a =+，所以12a =-；当2n ≥时，13322n n a a --，即11322n n a a -=，即()132n n a n a -=≥，所3q =的等比数列，所以()()55151213242113a q S q---===---，选B.30. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算12945S =+++=L ，选A.31. 解析：可令34x y t ==，则3l o g x t =，4log y t =，由3x p y =得33343log 3log 43log 46log 2log log 3t t t p t ====，选C.32. 解析：将三视图还原可得右图，所以52214252⨯⨯⨯+⨯=S 5420+=，选D.33. 解析：()3cos 23f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由()03f π=得()33k k ππωπ+=∈Z ，即31k ω=-，由0ω>知ω的最小值是2，当ω取得最小值时，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出：函数()f x 的图象关于直线12x π=对称，A 为真；由20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得出：6x π=-是函数()f x 的一个零点，B 为真；将函数()2g x x =的图象向左平移6π个单位得到()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以C 为假；由复合函数单调性可得()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦34. 解析：由已知B 为AF 的三等分点，作BH 2433BH FK ==，所以43BF BH ==，所以34BF AF ==，选35. 解析：由2142S a =+有12142a a a +=+，解得28a =，故22a a -又221144n n n n n a S S a a ++++=-=- ，于是22n n a a +-数列{}12n n a a +-是以2124a a -=为首1112422n n n n a a -++-=⨯=，于是11122n n n n a a ++-=，因此数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，解得()112n n a n n =+-=，2nn a n =⋅.所以1249152a =，选B.二、填空题36. 解析：因为52a b +=，所以250a b += ，即22250a b a b ++⋅=，所以252050b ++= 所以5b =.37. 解析：如图，x y +在点(4,5)A 处取得最大值9.38. 解析：设双曲线C 的方程为：22221x y a b-=，由已知得：FM b =，所a b =，而224a b =-，所以23b =，21a =，所以双曲线C 的方程：2213y x -= 39. 设3BC k =，则()20R k k =>，因为体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，所以2193k h ⨯=，得224h k=.由())222R h R =-+，得2k =或k =，所以4R =.由题意知点E 为线段BD 的中点，从而在△ODB 中，4OD OB ==，6DB =，解得OE =面垂直于OE3=三、解答题40. 解：（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-===………2分由32a b =及正弦定理可得出：3sin 2sin A B =，所以21sin sinAπ==，………4分cos A =， ………6分 22sin cos cos sin A B A B =+=4，以1i 2a =. ………12分41. 解：（Ⅰ）证明：连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11A C ，B A 1的中点，所以MN 为△11A BC 的一条中位线，1//MN BC ， MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C . ………6分（Ⅱ）设a AA =1，则122+=a CM ，48441222+=++=a a MN ， 42054222+=+=a a CN ，由CM MN ⊥，得222CN MN CM =+，解得2=a ，由题意以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 1AA 为z 轴建立空间直角坐标系.可得)0,0,0(A ，)0,2,0(C ，)22,0,1(N ，)2,1,0(M ，故），，（2201=，），，（020=，），，（2221-=，）2,1,0(-=，设），，z y x 为平面ANC 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AN m，得10m =-（，同理可得平面MNC的一个法向量为32n =（，设二面角M CN A --的平面角为α，<,cos 153203⋅++-=155-=， =αcos ><-n m ,cos 155=，所以，二面角M CN A --的余弦值为155. ………12分 42. 解：（Ⅰ）450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………4分（Ⅱ）()0.0+⨯⨯. ………6分（Ⅲ）()P 33=0.9974X μσμσ-<≤+，则()10.9974P 900.00132X -≥==. 26200000013.0=⨯.所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上. 上述50名考生成绩中90分以上的有4500.08=⨯人. 随机变量0,1,2X =.于是 ()262101P 0==3C X C =，()11642108P 1==15C C X C ⋅=， ()242102P 2==15C X C =.X 的分布列：12分43. 解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1Q且PQ <M 的轨迹为椭圆，而a 1，所以，动点M 的轨迹E . ………5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则l 的斜率存在，设斜率为k ，0， ………8分 2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---， 1212122()2()2x x x x x x ++==-++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -. ………12分44. 解：（Ⅰ）因为()1g x ax '=--所以()e 1x h x ax =--，由()0h x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即min ()0h x ≥，由()e x h x a '=-，（1）当0a ≤时，()e 0x h x a '=->，()h x 的单调递增区间为(),-∞+∞，所以(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h <=，所以不满足题意.（2）当0a >时，由()e 0x h x a '=-=，得ln x a =(,ln )x a ∈-∞时， ()0h x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增，所以()h x 的最小值为(ln )ln 1h a a a a =-- . 设()ln 1a a a a ϕ=--，所以()0a ϕ≥，① 因为()ln a a ϕ'=-令()ln 0a a ϕ'=-=得1a =，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0a ϕϕ≤=，②由①②得()0a ϕ=，则1a =. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知e 10x x --≥，即1e x x +≤，令kx n=-（*n N ∈，0,1,2,,1k n =-）则01e k n kn-<-≤，所以(1)(e )e k nn k n k n ---≤=，所以(1)(2)211121()()()()()e e e e 1nn n n n nn n i i n n nn n n n ------=-=++++≤+++++∑111e 1e 1121e 1e e 1e 1n ----=<==+<----，所以1()2nn i in=<∑，又333123()()()1333++>，所以m 的最小值为2. ………12分第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 45. 解：（Ⅰ）设(,)M ρθ是圆上任意一点，如图，连接OC ，并延长与圆C 交于点A ，当点M 异于O ，A 时，连接OM 、MA ，直角△MOA 中，cos OM OA MOA =⋅∠，即4cos 4cos()66ππρθθ=-=-，当点M 与O ，A 重合时，也满足上式，所求圆C 的极坐标方程为4cos()6πρθ=-. ………5分（Ⅱ）直线l 80y --=，圆心C 到直线l 的距离为d ，3d r ==>，所以直线l 与圆C 相离，. ………10分46. 解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为：3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞. ………5分(2)(3)5x x --+= 5-，2min ()6f x a a <-， 5a >，). ………10分。

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