图论 第四章 割集
图论中的割集算法设计与分析
图论中的割集算法设计与分析图论是数学的一个分支，研究的是图的性质及其应用。
在图论中，割集（Cut Set）是指将一个图分为两个非空子图所需要移除的边集合。
割集算法是解决图论问题中的一个重要方法，本文将介绍割集算法的设计与分析。
一、割集算法的基本概念与思想割集算法是针对无向图的，用来寻找图中的割集。
割集算法的基本思想是通过不断剪枝的过程，寻找导致图分裂的边集。
其具体步骤如下：1. 首先选择一个起始顶点，并将其标记为已访问。
2. 从起始顶点开始进行深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）。
3. 在遍历的过程中，将访问到的顶点与未访问的顶点之间的边加入当前的割集。
4. 如果当前的割集将图分为两个非空子图，则停止搜索，输出当前割集。
5. 否则，继续遍历其他未访问的顶点，直到所有顶点都被访问。
二、割集算法的设计与实现割集算法可以通过编程实现。
下面是一个基于深度优先搜索策略的割集算法的伪代码：1. 定义一个函数cutSet(graph, start)，其中graph为输入的图，start 为起始顶点。
2. 初始化一个空的集合cut，用来存储割集。
3. 初始化一个空的栈stack，用来进行深度优先搜索。
4. 将起始顶点start标记为已访问，并将其入栈。
5. while stack不为空：a. 取出栈顶的顶点vertex。
b. 遍历vertex的邻接顶点adjVertex：(1) 如果adjVertex未被访问过：i. 将vertex与adjVertex之间的边加入cut。
ii. 将adjVertex标记为已访问，并将其入栈。
iii. 若cut将图分为两个非空子图，则停止搜索，输出cut。
c. 将vertex出栈。
6. 如果搜索完所有顶点后仍未找到割集，则输出图不包含割集。
在具体的编程实现中，可以根据具体情况对算法进行优化，例如使用邻接表来表示图，提高算法的效率。
三、割集算法的分析与应用割集算法的时间复杂度取决于图的规模和结构，一般来说，割集算法的时间复杂度为O(|V| + |E|)，其中|V|是顶点的数量，|E|是边的数量。
图论第四章
S
11
Graph Theory
Bond
4.1.14
A bond is a minimal nonempty edge cut.
Here “minimal” means that no proper nonempty subset is also an edge cut.
– We characterize bonds in connected graphs.
3
Graph Theory
Example: Connectivity of Kn
x
Delete two vertices
Delete four vertices
4
Graph Theory
Example: Connectivity of Km,n
Consider a bipartition X,Y of Km,n.
Proposition 4.1.19: Two blocks in a graph
share at most one vertex.
Proof:
Use contradiction.
– Suppose that blocks B1, B2 have at least two common vertices. – We show that B1∪B2 is a connected subgraph with no cut-vertex, which contradicts the maximality of B1 and B2.
17
Graph Theory
Proposition 4.1.19: Two blocks in a graph
share at most one vertex.
点割集和边割集的找法
点割集和边割集的找法
1 点割集和边割集
点割集和边割集是图论中比较重要的一个概念，它们的定义如下：点割集是指从一张图中去掉某些点，使得去掉的点集合不能形成连通图；而边割集则是指从一张图中去掉某些边，使得去掉的边的集合不
能形成连通图。
2 找法
点割集的找法基本上是贪心法，从图中找出最小的一组点使得这
些点移除之后，图不能连通，有两种特殊情况：
（1）对于完全图，如果顶点数大于2，那么顶点数减一即为最小
点割集
（2）对于任何图，如果有任何点入度和出度均为0，则移除这一点，必可以使图不能连通。
边割集的找法则有三种：
（1）最小生成树法：找出该图的最小生成树，移除最小生成树中
的边，图不再连通；
（2）树形图法：将图转换为树状图，它的极大边割集由图G中最
少的环边组成；
（3）搜索法：令S={R},R是任意一条边，当S已无法使图G不连
通时，必定令S最小。
3 应用
点割集和边割集在很多实际应用中都有体现，例如电线布线，点
割集可以用来检测电线的连接状况，以检测两个地点的通路是否可行；边割集则可以用来确定电路的正确性，检测一个电路中是否有悬挂边
或孤立点等。
此外，点割集和边割集还可以用于网络测量、网络容量
规划以及通信网络的设计等方面。
图论第四章
15
Graph Theory
Example of Blocks
4.1.17
If H is a block of G, then H as a graph has no cut-vertex, but H may contain vertices that are cut-vertices of G.
Hence any path in Bi from every vertex in Bi-{v} to any in V(B1)∩V(B2)-{v} is retained. Since the blocks have at least two common vertices, deleting a single vertex leaves a vertex in the intersection. Paths from all vertices to that vertex are retained, so B1∪B2 cannot be disconnected by deleting one vertex.
2
Graph Theory
Example: Connectivity of Kn
4.1.2
Because a clique has no separating set, we need to adopt a convention for its connectivity.
– This explains the phrase “or has only one vertex” in Definition 4.1.1.
1
Proof: The edges incident to a vertex v of minimum degree form an edge cut; hence ’(G) (G) . It remains to show that (G) ’(G).
割集
割集
割集，也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。
也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。
引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。
中文名：割集
别称：截集或截止集
对象：简化成图的路网
目的：计算最大运输量
割集法是针对简化成图（有向图或无向图）的路网，运用图论的相关理论与方法，计算最大运输量。
由于实际路网是一个多起点、终点，随机开放的复杂系统，要想采用图论的最大流最小割定理，就必须将实际的路网抽象成一个单起、终点的理想图。
那么如何简化路网及如何寻找路网的最小割集是这种方法的关键，目前，针对这2个问题，按照不同的路网简化方式，已建立了2种模型，即修正模型和衍生割集网络极大流模型。
运用割集法方法解决路网容量问题的关键在于如何将实际的路网抽象成一个单收发点的理想图及如何寻求路网的最小割集。
而上述2类模型虽然对这个问题有所处理，但其处理结果不是引起路网上的交通重新分配，就是疏漏某些流量，因此如何既简化了路网，又能得出合理而准确的结果是是目前亟待研究的重点。
《电路（第五版）》（邱关源著，高等教育出版社）中第十五章“电路方程的矩阵形式”，第一节“割集”中给出了割集的定义：连通图G的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G分离为两个部分，但是如果少移去一条支路，图仍将是连通的。
最小径集和最小割集的区别
最小径集和最小割集的区别最小径集和最小割集是图论中两个重要的概念，它们分别用于解决不同的问题。
本文将围绕这两个概念展开，逐步回答关于它们的区别，解释它们的定义、性质、应用以及算法。
首先，我们先来详细介绍最小径集（Minimum Path Set）。
最小径集是指图中连接两个给定节点的最小路径集合。
在一个有权图（weighted graph）中，每条路径都有一个权重（或称为长度），最小径集即为连接两个节点的路径中的最短路径集合。
最小径集可以用来解决许多实际问题，比如网络通信中的最短路径选择、导航系统中的最优路径规划等。
为了更好地理解最小径集，我们可以使用Dijkstra算法来计算最短路径。
Dijkstra算法是一种贪婪算法，用于解决单源最短路径问题。
它从起点开始，一步一步地扩展路径，直到找到目标节点或遍历完所有可能的路径。
Dijkstra算法的基本思想是维护两个集合：一个是已知最短路径的节点集合，另一个是未知最短路径的节点集合。
通过不断更新节点的最短路径长度，Dijkstra算法可以找到两个节点之间的最短路径。
接下来，让我们来介绍最小割集（Minimum Cut Set）。
最小割集是指将一个图分割为两个不相交子图的最小边集合。
在一个有权图中，每条边都有一个容量，最小割即为将图分割为两个子图的边中容量最小的边集合。
最小割问题是图论中的经典问题，它具有广泛的应用，比如网络流量控制、电路布线、社交网络分析等。
FordFulkerson算法是一种常用的算法，用于解决最小割问题。
该算法基于图的流网络（flow network）模型，通过不断寻找增广路径（augmenting path）来求解最小割。
增广路径是从源节点到汇节点的一条路径，它上的边容量都还没有被饱和。
通过不断寻找增广路径，并更新路径上的边的容量，FordFulkerson算法可以找到图的最小割。
最小径集和最小割集的区别可以从以下几个方面来说明：1. 定义：最小径集是图中连接两个给定节点的最短路径集合，而最小割集是将图分割为两个子图的最小边集合。
图论第4章
如果d G (v)是偶数，那么Y1与Y2中与v关联的边数均为偶数。
其次，设Y1与Y2中与v关联的边数分别为y1与y2, 其中相 同的边数为y0，那么，Y中与v关联的边数为：
y1 y0 y2 y0 y1 y2 2 y0
所以，Y中与v关联的边数为偶数，说明 G[Y]的每个顶 点度数必然为偶数。 由于G[Y]的每个顶点度数为偶数。所以，它的每个分支 是欧拉图。因此， G[Y]可以作圈分解。
E(G) E(Q1 ) E(Q2 ) E(Qk )
问题：邮递员从邮局出发，递送邮件，然后返回邮局，要求辖
区每条街至少走一遍且走过的总路程最短，应如何选择路线？
图论模型：在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条 包含每条边（允许重复）且边权之和最小的闭途径，称之
为最优环游。 对该问题 (1) 若图G是一个欧拉图，则找出G的欧拉回路即可。 (2) 对一般图，其解法为：添加重复边以使G成为欧拉图G*， 并使添加的重复边的边权之和为最小，再求G*的欧拉回路。
中任意一个圈在该圈中如果重复边的总权值超过该圈中非重复边总权值那么可以把该圈中平行边改为非平行边而把非平行边改为平行边如此修改得到的图仍然是包含g的欧拉图但对应的欧拉回路长度减小了
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
§ 4.1 欧拉图
定义1 设G 是无孤立点的图。经过G的每条
边的(闭)迹被称为 Euler(闭)迹，存在Euler闭
令C是G中的一条欧拉闭迹。C中任一个给定的 点在C中每出现一次恰关联两条边，因为G的每条 边在C中仅出现一次，所以该点的度应为该点在C 中出现的次数乘以2, 是一个偶数。
(2) (3): 因为G连通非平凡，故每个点的度至少是2， 所以G含有一个圈Z 。移去Z的各条边产生一个生成子图G1 ，其中每个点的度仍然是偶数。若G1没有边，则（3）已经 成立；否则，重复应用这种论证于G1，产生一个图G2，其 中所有的点的度仍然是偶数，等等。当该过程终止于空图 Gn时，我们就得到了将G的边分成若干圈的一个划分。 (3) (1) : 令Z1是这个划分的一个圈。若G仅由Z1组 成，则G显然是欧拉图。否则，有另外一个圈Z2与Z1有一 个公共点v，从v开始并且由Z1和Z2相连组成的通道是含有 这两个圈中各条边的一条闭迹。继续这个过程，我们可以 构成一条含有G的所有边的闭迹；从而G是欧拉图。
第四章 割集
低。网络可靠性，是指网络运作的好坏程度，即
指如计算机网络、通信网络等对某个组成部分崩 溃的容忍程度。网络可靠性，是用可靠性参数来 描述的。参数主要分确定性参数与概率性参数。 确定性参数主要考虑网络在最坏情况下的可 靠性度量，常称为网络拓扑的“容错性度量”， 通常用图论概念给出。
§4.1 割集与断集
（1）该图是几阶图？最大度数和最小度数各是多少？ 请陈述握手定理。 (2)该图是欧拉图吗？若是，请画出一条欧拉 图 圈或欧拉路 （3）该图存在哈密顿圈吗？如果存在， 请画出哈密顿圈。
v1
e6 e9
e1 e8
v2
e2 e3
v8 e10
v6
e5
v7
e7
v3 v4
v5
e4
2.(1)请画出下图的两颗不同的生成树；
则G没有割边; (2) 若G为k正则二部图(k≧2)，
则G无割边。
证明: (1)若不然，设e=uv 为G的割边。则
G-e的含有顶点u的那个分支中点u的度数为奇，
而其余点的度数为偶数，与握手定理推论相矛
盾！
(2)若不然，设e=uv 为G的割边。取G-e的其 中一个分支G1, 显然，G1中只有一个顶点的度数
(1) R (G-S) = p-2; (2) 对S的任一真子集S,有R(G- S)=p-1。 称S为G的一个边割集。
a
e c d
a f
g i h e c d g
b
f
i h
b
a
e c d f
g
i h
b
连通图的割集将该图的 顶点集合分成两部分， 分成两个连通分支
连通图的将该图的顶点集合分成两部分的边集合 未必是图的割集
推论：图G的任一关联集都可以表示为其
电路原理12.1.1割集 - 割集
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②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q2：{ 2，3，6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q3：{ 1，4，6}
②
1
①
③
3
④
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4：{ 1，5，2 }
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电路方程的矩阵形式
单树支割集(基本割集) 对一个连通图，若任选一个树，则对应的连支集合不能构成一个
割集(将所有连支移去后所得的图还是连通的)，故每一割集应至少包
12
4
3
{1，2，3，4}
割集
4 保留4支路，图不连通。
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电路方程的矩阵形式
同一个树的基本回路和基本割集关系
②
1
2
①5
③
43 ④6
基本回路 {1，2，3，4} {1，4，5}
{1，2，6}
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
1. 由某个连支 bl 确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树 支所构成的基本割集中含有 bl 。
独立割集 单树支割集
独立割集
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电路方程的矩阵形式
应注意的是，割集是有方向的(移去割集的所有支路，图G 被分 离为两部分后，从其中的一部分指向另一部分的方向，即为割集的 方向，每个割集只有两个可能的方向)。若是基本割集，一般选取树 支的方向为割集的方向。
1
3
2
4
图论中的割集算法设计与分析
图论中的割集算法设计与分析在图论中，割集（Cut Set）是指将图的顶点集合分成两个不相交的子集，使得其中一个子集与剩余部分构成一个切割。
割集算法是一种用于寻找割集的方法，它在诸多领域中都有广泛的应用。
本文将对割集算法的设计与分析进行探讨。
一、割集算法的概述割集算法的目标是寻找图中的最小割集，即将图划分成两个子图，并且割集中的边数最少。
最常用的割集算法是基于图的最大流最小割定理的Ford-Fulkerson算法。
该算法通过不断增加流量来找到切割，直到无法再增加为止。
然而，该算法在实践中的效率并不高，因此人们提出了许多改进的割集算法。
二、割集算法的设计1. Stoer-Wagner算法Stoer-Wagner算法是一种启发式算法，它通过迭代地计算图的最小割来找到割集。
该算法的基本思想是将图中的所有顶点分为两个集合，然后计算两个集合之间的最小割。
重复此过程，每次都将最小割的集合合并，直到只剩下一个顶点为止。
最后得到的割集即为图的最小割集。
2. Kernighan-Lin算法Kernighan-Lin算法是一种以贪心策略为基础的割集算法。
该算法的主要思想是通过不断地交换顶点，使得交换后的两个子图之间的割集权重最小。
算法的具体步骤如下：（1）初始时，将图的顶点随机分为两个子集。
（2）计算两个子集之间的割集权重。
（3）选择两个子集中的一个顶点v，将其从一个子集中移动到另一个子集中，并计算割集权重的变化量。
（4）重复步骤（3），直到无法得到更优的割集权重为止。
三、割集算法的分析1. 时间复杂度割集算法的时间复杂度与算法的设计有关。
对于Ford-Fulkerson算法，其时间复杂度为O(E * F)，其中E是图中的边数，F是最大流的值。
而对于启发式算法如Stoer-Wagner算法和Kernighan-Lin算法，其时间复杂度通常为O(V^3)或O(V^4)，其中V是图中的顶点数。
2. 空间复杂度割集算法的空间复杂度主要取决于图的表示方法。
图论第四章(2)
(Ⅶ)
论
4.5 对偶图 1. 定义: 对于给定的平面图G，作相应 的一个图G’：在G的每个域内设置G’的一 个结点；对G中每条边e作G’相应的一条 边e’，联结以e为边界的G的两域中G’的两 个结点。这样得到的G’，称为G的对偶图。
• 对偶图的意义在于，关于域的问题可以 转换成关于结点的问题。 •注意：简单平面图的对偶图是平面图， 但不一定是简单图（可能含重边或环）。
3. 对偶图的应用 定理 每一个平面图G都是5 -可着色的。
证明的思路是作G的对偶图，使问题转化为一 个平面图的点着色问题(相邻点不同色)。因为环 和重边不影响点的着色，故可去掉环和重边，这 样只需要证明一个简单平面图的点5 -可着色即可。 可用数学归纳法证之，具体证明过程略。
经验表明，一张实际的彩色地图使用四种不同颜色即 可区别相邻国家的疆域。“四色猜想”断言，对于任何 一个平面图 (地图)这个结论成立。 四色猜想已由美国数学家阿佩尔与黑肯(1976年)用计 算机程序证明，但尚未找到数学方法给予简练证明。
3)色数多项式
给定图G,如果最多使用t 种颜色对它的结点进行着色, 满足相邻结点着以不同颜色,其着色的不同方案数用f(G,t) 表示。称f(G,t)为G的色数多项式。
• 显然，当t < (G) 时f(G,t)=0；满足f(G,t)>0的最少颜色
数t= (G). • 对平面图G: 五色定理断言 f(G,5)>0， 四色定理断言 f(G,4)>0。
作原图的对偶图(红图)。问题相当于问，其对 偶图中是否存在Euler回路。由于图中有结点度数 为奇，故不存在Euler回路。
例 对平面连通图G的无限域边界上的任意 两结点i和j，求G中分离i和j的所有割集。
最小径集和最小割集的区别
最小径集和最小割集的区别摘要：1.最小径集与最小割集的定义及意义2.最小径集与最小割集的区别3.实例分析4.应用场景及实际应用价值正文：最小径集和最小割集是图论中的两个重要概念，它们在图的遍历、连通性分析以及算法设计等方面具有显著作用。
一、最小径集与最小割集的定义及意义1.最小径集：在一个连通图中，径集是指连接两个不相邻顶点的顶点集合。
最小径集是指在所有径集中，顶点数最少的一个。
最小径集的意义在于，它能够用最少的顶点数连接两个不相邻的顶点，从而体现出图的连通性。
2.最小割集：在一个连通图中，割集是指将图划分为两个不相交的部分的一个顶点集合。
最小割集是指在所有割集中，顶点数最少的一个。
最小割集的意义在于，它能够用最少的顶点将图划分为两个不相交的部分，从而体现出图的连通性。
二、最小径集与最小割集的区别1.定义上的区别：最小径集关注的是连接两个不相邻顶点的顶点集合，而最小割集关注的是将图划分为两个不相交部分的顶点集合。
2.性质上的区别：最小径集具有传递性，即如果一个顶点集是某个图的最小径集，那么这个顶点集的任意子集都不能再作为该图的最小径集。
而最小割集不具有传递性，同一个顶点集可以同时是多个图的最小割集。
3.应用上的区别：最小径集主要用于图的遍历和连通性分析，例如在拓扑排序、求解最短路径等问题中；最小割集主要用于图的连通性分析、最小生成树算法、网络流算法等。
三、实例分析以一个简单的例子来说明最小径集和最小割集的概念。
假设有一个图，共有5个顶点，边集为{1-2，2-3，3-4，4-5}，则最小径集为{1，2，4}，最小割集为{1，3，5}。
四、应用场景及实际应用价值1.最小径集：在计算机网络中，路由算法和拓扑排序算法需要利用最小径集来判断网络的连通性以及求解最短路径。
此外，在运筹学中，最小径集也被应用于求解最短路径问题。
2.最小割集：在网络流算法中，最小割集被用于求解最大流问题。
此外，最小割集在最小生成树算法中也有广泛应用，如Prim算法和Kruskal算法。
图论中的割点、割边、圈与块(黄劲松)
浙江省2006年集训讲义
10
小H的聚会(1)
给定每个节点的度限制，求在满足所有度限 制的条件下的最大生成树。(NOI2005)
这是一道提交答案式的题目，对于后面的几 个较大的数据，用另类MST算法对你的解进 行调整也能取得不错的效果！
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
11
最小环问题
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
5
水管局长(2)
数据范围约定
结点个数N≤1000 图中的边数M≤100000 询问次数Q≤100000 删边次数D≤5000
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
6
水管局长(3)
根据kruskal算法可以知道，最小生成树上的 连接两点之间的唯一路径一定是最大边最小 的
end
else
lowlink[v] := min(lowlink[v],dfn[u]); //uv是返祖边
end;
end;
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
25
割点与割边
猜想：两个割点之间的边是否是割边?割边的 两个端点是否是割点？
都错！
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
定理3：DFS的根r是割点的充要条件是：至 少有2条以r为尾(从r出发)的父子边
2020/10/28
证明？
浙江省2006年集训讲义
21
程序代码
PROCEDURE DFS(v);
begin
inc(sign); dfn[v] := sign;
//给v按照访问顺序的先后标号为sign
lowlink[v] := sign;
图论中的割集算法应用
图论中的割集算法应用图论是数学中的一个分支，研究图及其应用的结构和性质。
在图论中，割集算法是一种常见的算法，用于寻找图中的割集。
割集是指将图中的顶点分成两个不相交的子集，并移除这两个子集之间的边，从而将图分割成两个部分。
割集算法在实际应用中有着广泛的应用，下面将从网络通信、社交网络和电路布局三个方面来介绍图论中割集算法的应用。
1. 网络通信在网络通信中，割集算法可以用来优化网络的可靠性和稳定性。
通过找到网络中的割集，可以保证网络中某一部分的故障不会对其他部分造成影响。
例如，当互联网中某个地区的通信故障时，通过割集算法可以将这个地区与其他地区隔离开来，从而保证其他地区的通信正常运行。
2. 社交网络在社交网络中，割集算法可以用来寻找社交网络中的关键人物或群体。
通过找到关键的割集，可以对社交网络进行优化和管理。
例如，在一部电影中找到一个关键的角色，其与其他角色的联系紧密，可以通过与这个角色建立连接，达到更好的推广效果。
3. 电路布局在电路布局中，割集算法可以用来寻找布局中的关键部分。
通过找到电路中的割集，可以对电路进行优化和管理。
例如，在一块集成电路中找到一个关键的电路模块，其与其他模块的连接紧密，可以通过与这个模块的位置和布线方式进行调整，达到更好的电路性能。
总结：图论中的割集算法在网络通信、社交网络和电路布局等领域中有着广泛的应用。
通过寻找割集，可以优化和管理不同领域的系统和网络。
这些应用领域中的割集算法都需要根据具体情况进行调整和优化，以适应不同的问题和需求。
通过割集算法，我们可以更好地理解和分析图的结构和性质，从而为实际应用提供更有效的解决方案。
随着技术的不断进步和应用的不断发展，图论中割集算法的应用领域还将不断扩展和发展，为各个领域带来更多的便利和创新。
图论算法-割点、割边应用
• 这个很显然，因为对于一棵子树，如果与 其连通，那么就都会遍历到，不然就回溯 至其祖先。
算法
• 那么在DFS的时候，我们纪录每个儿子子 树，与其相连的最高的祖先的层号，如果 这个层号>=其父亲的层号,那么删掉这个 父亲结点后这棵子树将于其祖先不连通.
• 如果这个层号>其父亲的层号,那么删掉这 条连接父亲的边,那么这棵子树将于其祖 先不连通.
任务目标
• 编一段程序，找出关键网线数 编一段程序， （TaskA）以及 ） 连接这些网线的两端结点（结点对） 连接这些网线的两端结点（结点对） （TaskB）。 ）。
输入数据
• 文件 文件net.in的第一行包含 个整数： 的第一行包含4个整数 的第一行包含 个整数： 总的结点数N 总的结点数 (1 ≤ N ≤ 100 000)， ， 连接的网线数 M (1 ≤ M ≤ 1000 000)， ， 提供A服务的结点数 提供 服务的结点数 K (1 ≤ K ≤ N)， ， 提供B服务的结点数 (1 ≤ L ≤ N)。 提供 服务的结点数L 。 服务的结点数 • 第二行是 个整数，标明提供A服务的结点。。 第二行是K个整数，标明提供 服务的结点 服务的结点。 个整数
Example
net.in 9 10 3 4 2 4 5 4 9 8 3 1 2 4 1 2 3 4 2 1 5 5 6 6 7 6 8 7 9 8 7
net.out 3 3 2 5 6 7 9
分析
• 这题,很显然是求桥,但是这个桥有不同之 处,并不是只要图不连通就可以了.由题意 可知这些边一定是桥,但是桥不一定是这 些边. • 要是某些点得不到某种服务,那么就是要 求在其连通块中该没有服务的点.
输出文件
• 文件 文件net.out的第一行是关键网线的数目 的第一行是关键网线的数目S 的第一行是关键网线的数目 （TaskA）。 ）。 • 接下来的 行各含一对整数p q (1≤ p, q ≤ 接下来的S行各含一对整数 行各含一对整数 N)，分别定义了一条关键网线（TaskB） ，分别定义了一条关键网线（ ） • 关键网线可以按任意顺序输出。每一条关 关键网线可以按任意顺序输出。 键网线的两个端点也可按任一顺序输出。 键网线的两个端点也可按任一顺序输出。
图论树与割集
4)无回路，如在任意两结点之间添上一条
边，得到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 必要性：设T是树．故无回路，由(3)已证任 意两点vi与vj之间有且只有一条基本路 径，故添上一条边(vi,vj)，只能得到唯 一的一条基本回路，故条件(4)成立。 充分性：设条件(4)成立，因而图无回路， 往证明图是连通的，若图不连通，则存在 两点，这两点之间不存在路径，则在这两 点之间添上一条边就不可能得到一个回路 与条件矛盾。
定理3.2 当且仅当连通无向图的每一条边均 为割边时，该图才是一棵树。 证： 必要性 设图G是一棵树， e是G的任一条边，因为 树不含回路，所以e不在回路中， 由定理 2.10知，e是割边。 充分性 设G的任一条边均为割边，则去掉 任一条边图将不连通，由定理3.1(5)知， 定理2.10 当且仅当无向图G的一条边e 图是树。
定理3．5 一个连通图至少有一棵生成树。 证： 如果连通图G无回路，根据的定义，则G本身就是 一棵生成树。 如果连通图G有回路，去掉回路的任一条边得到生 成子图G1，显然G1仍然是连通的，如果G1不含回 路，则G1就是G的生成树，否则又可去掉回路的任 一条边得到另一个生成子图，只要生成图还有回 路，就去掉回路的一条边，由于图的有限性，最 后一定得到不含回路的生成子图T，由于每次去掉 回路的一条边，并不破坏图的连通性，所以T是G 的生成树。
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1 将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1 N |S|=n-1 Y 输出S N 取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y j=j+1 停
平凡树
第15节树和割集
第15节
树和割集
主要内容：
树及其性质 生成树 割点、桥和割集
1/35
集合与图论
1 树及其性质
定义1 连通且无圈的无向图称为无向树，简 称树. 一个没有圈的不连通的无向图称为无向森林， 简称森林. 仅有一个顶点的树称为平凡树. 例如:
(a)
(b)
2/35
集合与图论
树的等价定义
12/35
集合与图论
树的性质
性质1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点.
性质2 任何一个非平凡的树都可用两种颜色给 其顶点染色，使得每条边的两个端点不同色. 偶图的充分必要条件是图中所有圈都是偶数长可 得树是偶图.
因此树可用两种颜色染色，并且每条边的两个端 点不同色.
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集合与图论
2 生成树
推论1 设G是一个(p, q)连通图，则q≥p-1.
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集合与图论
1
最小生成树问题
3
2 3 1 2
3
3
2
1
2
1
图G
T
给定边带权连通图G，G中边的权是一个非负实 数，生成树中各边的权之和称为该生成树的权。 图G的生成树T的权是6. G的生成树中权最小的那个生成树就是最小生成 树。10/35源自集合与图论 如果n>3，
树的等价定义证明
在圈上不相邻的两点间连一条边，则得到两个以 上的圈，与(6)矛盾. 如果n=3，由于p≥4，已知条件中G不是Kp，则 G中存在不相邻的两个顶点. 连接不相邻的两个 顶点，至少得到两个 圈，与已知条件矛盾.
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集合与图论
极小连通图
图2 图1 定义2 连通图G称为是极小连通图，如果 去掉G的任意一条边后得到的都是不连通图. 定理2 图G是树当且仅当G是极小连通图.
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定理5.2.1 图G 关于生成树的基本圈
C1, C2 , , Cq p1 是线性无关的。
定理5.2.2 连通图G的任一环路均可表示成 若干个基本圈的环和。
定理5.2.3 连通（p,q）图G的所有环路和空图 的集合构成一个q-p+1维空间，记作 (G)称为圈 空间。
定理5.2.4 连通（p,q）图G的圈空间中元素的 个数为2 q-p+1。
第四章 割 集
4.1 割集与断集
我们定义连通图G的顶点数减1为图G的秩，记作 R(G)，即R(G)=p-1 如果G有k个连通分支，则R(G)=p-k
定义4.1.1 设S E(G),如果
1.R(G-S)=p-2
2.对S S,R(G-S)=p-1 则称边集S为图G的的一个割集(cut set)。
割集是指一个边集S，在G中去掉S的所有边后G变 为具有两个分支的分离图，但是去掉S中的部分边时 图仍然是连通的。
2
a
c
b
1
d
e
4
3
g f
5
1 2
1
d
e 3
f
g
5
2
a
4
e
3
g
5
2
a
c
b
2
1
d
e
4
3
2
a
1 f
e
4
3
g
g f
5
a b
1
4
3
d
5
2
a
b
5
1
d
4
3
f
5
1
3 2
a
b
c
d
e
f
4
5
1
7
6
c 2
3
1
h
l
10
V1
i
9
8 V1
4
e
5
V1
6
7
g
2 3
1
4
5
10
8
6
7 9
• 定义4.1.2 图G中端点分别属于V1
(2)T e包含G的一个唯一的割集
定理4.1.2 连通图G的一个割集至少包含生成的一个 树枝。
4.2 关联图
定义4.2.1 设v是图G的一个顶点，与v关联的所有边 的集合，称为顶点v 的关联集，记作S（v）.
2
d a
7
i k
1 b
c e
3
fg
j
9
5
h
6
l
8
4
2
割点、割集、
断集？
a
c
7
3 k
1
8
结论：1. p阶连通图G关于生成树T的基本割集组是G的 割集空间的一组基底，割集空间维数为p-1。 2. 图G的全部断集的个数为2p-1-1，空集不是断集。
推断：求一个图的全部断集，首先选取一棵生成树，然后 找到对应的基本割集，求所有可能基本割集的环合。
定理5.3.5 p阶连通图恰有p-1个线性无关的关联集。
0Gi ,1 Gi Gi ,Gi
下构成域 F 0,1上的一个q维向量空间。
5.2 圈 空 间
定义5.2.1 设T是连通G的一棵生成树，由T的树枝和一条 连枝构成的圈，称为图G关于生成树T的基本圈。
设图G为连通（p,q）图，那么G的任一生成树T的树 枝数和关于T的连枝数均为p和q-p+1。
由q-p+1条连枝构成的q-p+1个基本圈，称为G关于生 成树的基本圈组，记作Cf。由于一个图G的生成树不是唯 一的，因而一个图的基本圈组也不是唯一的。
• 线性空间R的一个线性无关极大组叫做空 间的基底，基底中所含的向量的个数叫 做空间的维数。
命题5.1.1图G中所有不同的子图的个 数是2q(包括图G中空图 )。
设G1,G2,…,GN（N=2q）是图G的全部子图， 则有下面的定理。
定题5.1.1集合 G1,G2, ,GN在环和运算与
数乘运算：
定理5.3.2 设S1，S2，…，Sp-1是连通（p,q） 图G的基本割集，那么它们是线性无关的。
定理5.3.3 图G的任一断集均可表示成若干基 本割集的环和。 对任意一个断集我们规定0·S=φ，1·S=S
定理5.3.4 图G的所有断集和空图的集合 作成向 量空间 (G)的一个子空间，称为G的割集空间。
P阶连通图G有p-1个关联集，然后求出它们 所有可能的环合，即可求出G的全部断集。
5.3 割集空间
定义5.3.1 设S是图G的一个割集，T是一棵生 成树，如果S中恰好含有T的一树枝，则称S为 G的关于生成树T的基本割集。 P-1个基本割集称为图G的基本割集组。
定理5.3.1 设T是图G的一棵生成树，T的连枝 e`包含在由树枝e确定的基本割集中的充要树枝 e包含在由连枝e`确定的基本圈中。
E(V1 V1) E(V2 V2 ) E(V11 V22 V21 V12 )
E(V3 V3 )
其中
V11 V1 V2 V12 V1 V2 V21 V2 V1
V22 V1 V2 V3 V11 V22
定理4.2.1 图G 的任一断集均可表示成若干个关联集的环 和。
推论4.2.1 图G 中任一顶点的关联集等于其余顶点关联集 的环和。
b
5
h
6
l
9 4
引理4.2.1 设V1，V2 ， V3 ， V4是图G 的顶点集合的 非空子集，其中任何两个的交均为空集，则：
E(V1 V2 V3 V4 ) E(V1 V3 ) (V1 V4 ) E(V2 V3) (V2 V4 )
引理4.2.2 设V1和V2 是图G 顶点集合的非空子集，则：
第五章 圈空间与割集空间
5.1 图的向量空间
定义5.1.1 n个只取0或1的数a1, a2, …, an,按一定次序 排成一行，再用括号括起来写成（a1, a2, …, an ） 叫做一个n维向量，其中a1, a2, …, an 叫做分量。
定义5.1.2 设 u1,u2, un 为n个向量，如果存在n个不全 为零的数， c1, c1, c1 F,i 1, 2, n, 使等式
c1u1 c2u2 cnun 0 成立 ，则称u1,u2, un 线性相关，否则称为线性无 un 的线性组合。
设S是一个n维向量组，如果S中任一向量都可表示成 向量u1,u2, un 的线性组合，则称u1,u2, un是S是的 生成元素组。又若u1,u2, un线性无关，则称u1,u2, un 是一个线性无关极大组。
和集(Vse1g的)。所有边的集合称为G的断
• E(V1×V2)表示一个端点在V1中， 另一个端点在V2中的所有边的集 合。
2
V1 a 1
b V2
c
3
e
f
d
g
5
h
4
2
V1 a
b
1
c
e
f
d
3
V1
g
5
h
4
V1
V1
V1
V1
V1
定理4.1.1 设T是连通图G的一棵生成树，并且e是任 一树枝，则：
（1）连枝集中不包含G的割集。